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理论力学-动能定理

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理论力学——动能定理

理论力学——动能定理
力F在刚体从角j1转到j2所作的功为
W12 M z dj
j1
j2
Mz可视为作用在刚体上的力偶
例1 如图所示滑块重P＝9.8 N，弹 簧刚度系数k＝0.5 N/cm，滑块在A 位置时弹簧对滑块的拉力为2.5 N， 滑块在20 N的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置A运动到位置B，求 作用于滑块上所有力的功的和。
第十三章 动能定理
• • • • •
力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率· 功率方程· 机械效率
引言
前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。
13.1 力的功
13.1.2 变力的功 设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图。 力 F 在微小弧段上所作的功称为力的元功 , 记为 dW, 于是有
δW F cos d s
力在全路程上作 的功等于元功之和 M M1
ds dr
M'

F
M2
W F cos ds
0
s
上式称为自然法表示的功的计算公式。
I 为AB杆的瞬心
v IA
系统分析

v l sin
v

C
T总 TA TAB
3 TA Mv 2 4
TAB
T总
2
A
1 2 I I AB 2
1 9 M 4m v 2 12

理论力学-动能定理

理论力学-动能定理

vr2
质点系的动能与刚体的动能
质点系的动能——例 题 1
通过本例可以看出，确定系统动能时，注意以下几 点是很重要的：
系统动能中所用的速度必须是绝对速度。 正确应用运动学知识，确定各部分的速度。 需要综合应用动量定理、动量矩定理与动能定理。
质点系的动能与刚体的动能
刚体的动能
v0
r
C1
C2
d
坦克或拖拉机履带单位 长度质量为ρ ，轮的半径 为 r ，轮轴之间的距离为d， 履带前进的速度为v0 。
求：全部履带的总动能。
质点系的动能与刚体的动能——例 题 2
y´
v0 C1
d
r C2
解：把履带看成一质点系
在 C1 C2 上建立平动坐标系
C1x´y´，则牵连运动为水平平
移，牵连速度为 v0。
● 平移刚体的动能
刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速度， 并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能
T
i
12mivi2

1 2
(
mi )vC2

1 2
mvC2
上述结果表明，刚体平移时的动能，相当于将 刚体的质量集中于质心时的动能。
质点系的动能与刚体的动能
刚体的动能
● 定轴转动刚体的动能
* 机器中有相对滑动的两个零件之间的摩擦力是内力，作负功。
* 有势力的内力作功，如系统内的弹簧力作功。
力的功
不作功的力
* 刚体的内力不作功
刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体的内力所作 功之和恒等于零。
* 理想约束约束反力不做功
光滑的固定支承面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和活动支座 都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或作功之和等于零。

理论力学第12章动能定理

理论力学第12章动能定理

合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。

理论力学动能定理

理论力学动能定理


12
2
mi ri 2
即
T

1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T

1 2
J
p 2

1 2
(JC

md 2 ) 2
得
T

1 2
mvC2

1 2
JC
2
即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
与绕质心转动的动能之和。
§14-3 动能定理
1、质点的动能定理
将 m d F 两端点乘 dt dr ，
1.势力场
力场 F F x, y, z 如：重力场、弹性力场、万有引力场
势力场： 物体在力场内运动，作用于物体的力的功只 与力作用点的始、末位置有关，与路径无关。
2.势能：在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，
有势力所作的功。
V M0 F dr M
M 0 称零势能点

4．摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功
W
M1M2F
ds

M1M
2
f
'Nds
N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力 N ，摩擦力 F 作用于速度瞬心C，瞬心的元位移
dr vCdt0 W Fdr FvCdt0
dt
得 m d F dr
由于 m d d(1 m2 ), F dr w,
2 因此 d(1 m 2 ) w
2
上式称为质点动能定理的微分形式，即质点
动能的微分等于作用在质点上力的元功。

理论力学第13章动能定理

理论力学第13章动能定理
详细描述
在理论力学中，动能被定义为物体运动时的能量，其大小与物体的质量和速度有关。根据牛顿第二定律，物体的动量改变量等于作用在物体上的外力的冲量。因此，如果一个力在一段时间内作用在一个物体上，那么这个力就会使物体的动量发生改变，从而产生动能的变化。
动能的定义
外力的功
外力的功等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。
总结词
外力的功是指力对物体运动所产生的效应，其大小等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。这是物理学中功的定义，也是计算外力对物体所做功的基本方法。
详细描述
VS
系统动能的增量等于合外力对系统所做的功。
详细描述
系统动能的增量是指在一个过程中，系统动能的增加量。这个增量可以通过计算合外力对系统所做的功来得到。如果合外力对系统做正功，则系统动能增加；如果合外力对系统做负功，则系统动能减少。因此，系统动能的增量与合外力对系统所做的功有直接的关系。
总结词
系统动能的增量
03
CHAPTER
动能定理的应用
适用于单个质点在力的作用下运动的情况，计算质点的动能变化。
单个质点的动能定理指出，质点在力的作用下运动时，外力对质点所做的功等于质点动能的增量。这个定理是理论力学中研究质点运动的基本定理之一，可以用来解决各种实际问题。
总结词
详细描述
单个质点的动能定理
动能定理是能量守恒定律在动力学中的具体表现，是解决动力学问题的有力工具。
动能定理适用于一切宏观低速的物体，对于微观、高速适用于狭义相对论。
动能定理适用于直线运动，对于曲线运动需要积分形式进行处理。
动能定理的适用范围
02
CHAPTER
动能定理的基本内容
总结词

理论力学-11-动能定理及其应用ppt课件

理论力学-11-动能定理及其应用ppt课件

M k
其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度θ1转到角度θ 2时所 作的功为 12 12 2 W k dk k 1 2 1 2 1 2 2
11.1 力的功 3、内力的功
内力作功的情形 日常生活中，人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功； 弹簧力作功等等；摩擦力做功损耗能量。 刚体的内力不作功 刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体 的内力所作功之和恒等于零。
11.1 力的功
W F d r F dx + F dy + F dz 12 i i x y z W
M 2 M 2 M 2 M 1 M 1 M 1

由此得到了两个常用的功的表达式: 重力的功 对于质点：
z
M1 z1
F F 0 x y
重力的元功为
F P mg z=
r = k ( r l ) d r 0 r
r0——沿位矢方向的单位矢量 A k 2 2 2 W W r l r l 12 1 0 2 0 A 1 2


1 、 2 ——弹簧在初始位置和最终位置的变形量 。
k 2 2 W （ ） 12 1 2 2

vO O
C*
FN
W F d r F v d t 0 F C C

约束力为无功力的约束称为理想约束
11.1 力的功
总结： 内力不能改变质点系的动量和动量矩，但 它可能改变质点系的能量； 外力能改变质点系的动量和动量矩，但不 一定能改变其能量。
第11章 动能定理及其应用
11.2 质点与质点系的动能
弹性力作的功只与弹簧在初始和终止位置的变形量有关。

理论力学动能定理解析

度，则弹簧在此位置的变形量 l l0
对于线性弹簧，在此位置的弹簧力 F k
因此，弹簧力的功为
W12
1 2
k (12
2 2
)
B B1
FB1
FB
1
2
FA1
A1
FA
FA2
A
A2
B2 FB2
（3） 质点系的外力（主动力）的功
① 质点系的重力的功
设质点系内任一质点的质量为mi，当它由初位置点Ai
(xi1, yi1, zi1) 运动到末位置点Bi (xi2 , yi2 , zi2 )
在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，有势 力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能。以V表 示为
M0
M0
V F dr (Fxdx Fydy Fzdz)
M
M
点M0的势能等于零，称为零势能点。在势力场中， 势能的大小是相对于零势能点而言的。零势能点可以 任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位 置的势能可有不同的数值。
1 2
mvC2
Te
是质点系随质心平移的动能，亦 可称为牵连运动动能；
1 2
mi
vr2i
Tr
是质点系相对质心转动的动能，亦可 称为相对运动动能；
T
1 2
mvC2
1 2
mi
vr2i
或 Ta Te Tr
(2) 刚体的动能
（a）平移刚体的动能
T
1 m
2i
vi2
1 2
vC2
mi
即
T
1 2
mvC2
（1） 重力场中的势能
重力场中，以铅垂轴为z轴，z0处为零势能点。质点于 z坐标处的势能V等于重力mg由z到z0处所作的功，即

理论力学--第十二章 动能定理


由
M z Ft R
W M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
F 的功为
W12 M z d
1
2
若
Mz
常量
则 W12
M z ( 2 1 )
4. 平面运动刚体上力系的功 力系全部力的元功之和为
W Wi
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
2、弹性力的功 弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力
F k (r l0 )er
A2
弹性力的功为
W12
A1
A2
F dr
k (r l0 )er dr

A1
因
1 r 1 er dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r
例3 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上， 下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆 柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为 v，
杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。
B C
v

A
T总 TA TAB
3 TA Mv 2 4
I为AB杆的瞬心
P
B
C
v PA
S
W=0
N
dW F1 dr1 F dr2
' 2
F1 φ 1 dr1 dr2
F2
F1( dr1cos1 dr2cos2 )
0
约束力做功之和等于零。
φ2
(3)光滑铰链支座
(4)固定端约束
}
约束力不作功
F
dr
F’
(5)光滑铰链(中间铰链)

理论力学 动能定理

第11章动能定理即质点系的动能等于其随质心平BCθABθCPA2rOr C力的功2rOr CAP2rOr CAP2rOr CAPs汽车驱动问题能量角度：汽缸内气体爆炸力是内力，不改变汽车的动量，但使汽车的动能增加。

动量角度：地面对后轮的摩擦力是驱动力，使汽车的动量增加，但不做功，不改变汽车的动能。

内力不能改变质点系的动量和动量矩，但可以改变能量；外力能改变质点系的动量和动量矩，但不一定能改变能量。

例题11-8水平悬臂梁AB，B端铰接滑轮B，匀质滑轮质量m1，半径r；绳一端接滚，轮C，半径r，质量m2视为质量集中在边缘；绳另端接重物D，质量m3。

求重物加速度。

CωDv BωCv 解：末位置是一般位置hconst 01==T T =2T 2321D v m 221B B J ω+221CP J ω+运动学关系rr v v B C C D ωω===2121rm J B =2222222rm r m r m J P=+=2321222121Dv m m m T ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=gh m W 312=CωDv BωCv h1212W T T =−gh m T v m m m D 30232122121=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++对t 求导h g m vv m m m D D &&33210)221(=−++Dv h =&D D a v=&gm m m m a D 3213221++=例11-9匀质圆盘和滑块的质量均为m。

圆盘的半径为r。

杆平行于斜面，其质量不计。

斜面的倾斜角为θ。

圆盘、滑块与斜面的摩擦因数均为μ。

圆盘在斜面上作纯滚动。

试求滑块下滑加速度。

1212W T T =−01=T 2222212121mvJ mv T A ++=ω解()sF F mgs mgs W B A +−+=θθsin sin 12θμcos mg F F B A ==取导221,mrJ v r A ==ω2245mvT =()θμθcos sin 2452−=gs v a v v s==&&,()θμθcos sin 54−=g a F A 是静摩擦力，理想约束，不作功。

理论力学13-动能定理

理论力学13-动能定理
动能定理是理论力学中重要的定理之一，描述了物体动能的变化与外力做功 的关系。它为解决各种实际问题提供了有力的工具。
动能的定义与计算方法
动能定义
动能是物体由于运动而具有的能量。
动能计算方法
动能等于物体质量与速度平方的乘积乘以常数1/2。
举例
例如，一个质量为m的物体速度为v，它的动能为Ek=1/2mv^2。
碰撞实验
通过观察简谐摆的运动过程， 可以验证动能定理在实验中 的有效性和准确性。
利用碰撞实验可以验证动能 定理在不同碰撞情况下的适 用性。
滚动小球实验
通过观察滚动小球的动能变 化，可以验证动能定理在滚 动运动中的应用。
结论和要点
结论
动能定理是描述物体动能变化与外力做功关系的重要定理。
要点
动能定理的表达式是功等于动能的变化量，可以通过实验验证。
动能定理的提出及其重要性
1 提出背景
动能定理最早由牛顿提出，是牛顿运动定律的一部分。
2 重要性
动能定理能够精确描述物体动能的变化与外力做功的关系，对研究运动学和动力学等科 学领域具有重要意义。
动能定理的表达式及推导过程
动能定理表达式 推导过程 推导公式
功等于动能的变化量 根据牛顿第二定律和功的定义推导得出 W = ΔK = (1/2)mvf^2 - (1/2)mvi^2
动能定理在实际问题中的应用
1
碰撞问题
2
动能定理在研究碰撞问题中起到关 键作用，如弹性碰撞和非弹性碰撞。
3
机械能守恒
动能定理与势能定理结合可以帮助 解决机械能守恒的问题。
动能定理与其他物理定律的 关系
动能定理与动量定理、能量守恒定 律等相互关联，共同构成了理论力 学的核心部分。
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l0
)2
(r2
l0 )2 ]
其中， 1 、 2 是弹簧初始位置 和最终位置的变形量。
弹性力的功与路径无关。
力的功
作用在刚体上力与力偶的功
定轴转动刚体上作用力的功
刚体以角速度ω绕定轴 z 转动，其上 A 点作用
有力 F ，则
F F cos
ds Rd
则力F 的元功为
W F d r F R d Mz ( F )d
i
mi (ri )2
12(
2
i
miri2 )
1 2
J z
2
柔性约束也是理想约束。因为它们只有在拉紧时才受力，这时 与刚性杆一样，内力作功之和等于零。
力的 功 不作功的力
* 纯滚动时，滑动摩擦力(约束力)不作功
vO O
C* F
FN
C* 为瞬时速度中心，在这一 瞬时C*点的速度为零。作用在 C*点的摩擦力F 所作元功为
dWF F drC
F vC dt 0 约束力不做功的约束称为理想约束
对于质点： W12 mg z1 z2
其中：z1 、z2分别是质点在初位置和末位置的z 坐标
对于质点系: W12 mg zC1 zC2
其中：zC1、 zC2分别是质点系质心在初位置和末位置的z 坐
标 重力的功与路径无关。
力的功
几种常见力的功
弹性力的功
W12
k（
2
2 1
2）
2
k 2 [(r1
T
i
1 2mi
vi2
1 2
(
mi )vC2
1 2
mvC2
上述结果表明，刚体平移时的动能，相当于将 刚体的质量集中于质心时的动能。
质点系的动能与刚体的动能
刚体的动能
● 定轴转动刚体的动能
刚体以角速度 绕定轴 z 转动时，其上－点的速度
为：
vi ri
因此，定轴转动刚体的动能为
T 1 2
理论力学
第三篇 动力学
第12章 动能定理
第12章 动能定理
动能是物体因为运动而具有的机械能，它是作功 的一种能力。动能定理描述质点系动能的变化与力 作功之间的关系。
动力学普遍定理
动量定理 动量矩定理 动能定理
矢量形式
标量形式
求解实际问题时，往往需要综合应用动量定理、 动量矩定理和动能定理。
力的功
vD
mvrcos 2m m0
T
1 2
m(vD2
vr2 )
1 2
m(vD2
vr2
2vDvrcos )
1 2
m0vD2
2m(2m m0 ) m2cos2 2(2m m0 )
vr2
质点系的动能与刚体的动能
刚体的动能
● 平移刚体的动能
刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速度， 并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能
力的功
内力作功的情形
质点系的内力总是成对出现的，且等值、反向、共线。因此， 质点系的内力对质点系的动量和动量矩没有影响。
？ 那么，质点系的内力对质点系作不作功呢
事实上，在许多情形下，物体的运动是由内力作功而引起的。 当然也有的内力确实不作功。
* 人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功。
* 所有的发动机从整体考虑，其内力都作功。
M z (F ) F R ——力 F 对轴 z 的矩
于是，力在刚体上由 1 转到 2 时所作的功为
W12
2 1
M
z
(
F
)
d
力的功
作用在刚体上力的功、力偶的功 定轴转动刚体上外力偶的功
若力偶矩矢量为 M ，则力偶所作之功为
W M zd
W12
2 1
M
zd
其中Mz 为力偶矩矢 M 在 z 轴上的投影，即力偶对转轴 z 的矩。
方向无关。质点系的动能与刚体源自动能质点系的动能——例 题 1
设重物A、B的质量为mA= mB= m， 三角块D 的质量为 m0 ，置于光滑地 面上。圆轮C 和绳的质量忽略不计。
系统初始静止。
v 求：当物块A以相对速度
系统的动能。
r 下落时
解：重物A、B的运动可以看成质点的运动，
三角块D做平动，也可以看成质点的运动。
* 机器中有相对滑动的两个零件之间的摩擦力是内力，作负功。
* 有势力的内力作功，如系统内的弹簧力作功。
力的 功 不作功的力
* 刚体的内力不作功
刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体的内力所作 功之和恒等于零。
* 理想约束约束反力不做功
光滑的固定支承面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和活动支座 都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或作功之和等于零。
开始运动后，系统的动能为
T
1 2
mAvA2
1 2
mBvB2
1 2
m0vD2
其中 vA vD vAr ； vB vD vBr
质点系的动能与刚体的动能
质点系的动能——例 题 1
v A vD v Ar vB vD vBr
或者写成
v
2 A
vD2
vr2
？
vB2 vD2 vr2 2vDvr cos (vD vr cos)2 (vr sin )2
理想约束的约束反力不做功
第12章 动能定理
质点系的动能与刚体的动能 质点系的动能 刚体的动能
质点系的动能与刚体的动能
质点系的动能
物理学中对质点的动能的定义为
T 1 mv2 2
质点系的动能为质点系内各质点动能之和。
T
i
1 2mi
vi2
动能是度量质点系整体运动的另一物理量。动能
是正标量，其数值与速度的大小有关，但与速度的
力的功
力的功定义
M1
变力 Fi 的元功
δW Fi dri Fi ds cosFi，dri
M2
Fxdx Fydy Fzdz
力 Fi 在其作用点的轨迹上从 M1 点到 M2 点所作的功：
W12
M2 M1
Fi
d
ri
M2 M1
(
Fxdx
Fydy
Fzdz)
力的功
几种常见力的功
重力的功
质点系的动能与刚体的动能
质点系的动能——例 题 1
T
1 2
mAvA2
1 2
mBvB2
1 2
m0vD2
v
2 A
vD2
vr2
vB2 vD2 vr2 2vDvr cos (vD vr cos)2 (vr sin )2
注意到,系统水平方向上动量守恒，故有
mAvAx mBvBx mDvDx 0 mvD m(vD vrcos) m0vD 0
力的功定义
常力对直线运动质点所作的功： W F s F s cos
变力 Fi 的元功
M1
δW Fi dri Fi ds cosFi，dri
M2
Fxdx Fydy Fzdz
需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的全微 分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示。 W仅仅 是Fi•dri 的一种记号。