高数

(1) Π 1⊥ Π 2 ⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0;
A1 B1 C1 = = . ( 2 ) Π 1// Π 2 ⇐⇒ A2 B2 C 2
特别 Π 1 与 Π 2 重合
A1 B1 C1 D1 ⇐⇒ = = = A2 B2 C 2 D2
- 17 -
第五节
平面与直线方程
D = 0,
6 A − 3 B + 2C = 0 ∴ 4 A − B + 2C = 0
2 ⇒ A = B = − C, 3 所求平面方程为 2 x + 2 y − 3 z = 0.
-8-
例4 设平面与 x , y , z 三轴分别交于 P (a ,0,0)、 Q(0, b,0)、R(0,0, c ) （其中 abc ≠ 0) 求此平面方程.
空间直线的一般方程
- 11 -
z
Π1
Π2
o x
L
y
第五节
平面与直线方程
2 空间直线的对称式方程与参数方程 如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量． 设直线过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ), 方向向量为 s = { m , n, p}, M ( x , y , z ) 为直线上任意一点
x 轴上截距 y 轴上截距
z 轴上截距
-9-
例5 求平行于平面 6 x + y + 6 z + 5 = 0 而与三个 坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
第五节
平面与直线方程
第七章 空间解析几何与向量代数
x y z 解 设平面为 + + = 1, a b c
1 1 ∵V = 1, ∴ ⋅ | abc |= 1, 3 2 , C 2 },
第五节
平面与直线方程
按照两向量夹角余弦公式有
cosθ =
| A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 | A1 + B1 + C1 ⋅ A2 + B2 + C 2
2 2 2 2 2 2
第七章 空间解析几何与向量代数
两平面夹角余弦公式 两平面位置特征：
方向向量的余弦称为直线的方向余弦.
第七章 空间解析几何与向量代数
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = =t 令 m n p ⎧ x = x0 + mt ⎪ 直线的参数方程 ⎨ y = y0 + nt ⎪ z = z + pt ⎩ 0
所求直线的方向向量为 s = AB = { x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 } 所求直线方程为 x − x1 y − y1 z − z1 直线两点式方程 = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
d =| Prjn P1 P0 |
n
第七章 空间解析几何与向量代数
⋅ P0 P1 ⋅
N
Prjn P1 P0 = P1 P0 ⋅ n
0
P1 P0 = { x0 − x1 , y0 − y1 , z0 − z1 }
⎧ n = ⎨ ⎩
0
A , 2 2 2 A + B +C
B , 2 2 2 A + B +C
- 20 -
C ⎫ 2 2 2 ⎬ A + B +C ⎭
第五节
平面与直线方程
Prjn P1 P0 = P1 P0 ⋅ n0
第七章 空间解析几何与向量代数
=
A( x0 − x1 ) B( y0 − y1 ) C ( z0 − z1 ) + + 2 2 2 2 2 2 A + B +C A + B +C A2 + B 2 + C 2
-3-
第五节
平面与直线方程
例1求过三点 A( 2,−1,4) B( −1,3,−2) 和 C (0,2,3) 的平面方程. 解
第七章 空间解析几何与向量代数
AB = { −3, 4,−6} AC = {−2, 3,−1}
取 n = AB × AC = {14, 9,−1}, 所求平面方程为
14( x − 2) + 9( y + 1) − ( z − 4) = 0,
平面直线间的夹角及相互关系
1 两平面间的夹角 定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.
（通常取锐角）
n2
n1
θ
Π2
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0, n1 = { A1 , B1 , C1 },
Ax0 + By0 + Cz0 − ( Ax1 + By1 + Cz1 ) = , 2 2 2 A + B +C
∵ Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0
∴ d= | Ax0 + By0 + Cz0 + D | A2 + B 2 + C 2
( P1 ∈ Π )
.
点到平面距离公式
- 21 -
第五节
(1) D = 0, 平面通过坐标原点；
⎧ D = 0, ( 2 ) A = 0, ⎨ ⎩ D ≠ 0,
平面通过 x 轴； 平面平行于 x 轴；
类似地可讨论 B = 0 , C = 0 情形.
( 3) A = B = 0, 平面平行于xoy 坐标面；
类似地可讨论 A = C = 0, B = C = 0 情形.
1 . 两平面相交，夹角 θ = arccos 60
- 18 -
第五节
平面与直线方程
( 2 ) 2 x − y + z − 1 = 0,
解
− 4 x + 2 y − 2z − 1 = 0
n1 = {2,−1, 1},
n2 = {−4, 2,−2}
第七章 空间解析几何与向量代数
−1 2 −1 1 ⇒ = = ≠ − 4 2 − 2 −1
第五节
平面与直线方程
第七章 空间解析几何与向量代数
⎧aA + D = 0, ⎪ 将三点坐标代入得 ⎨bB + D = 0, ⎪cC + D = 0, ⎩ D D D ⇒ A=− , B=− , C =− . a b c
代入所设方程得
解
设平面为 Ax + By + Cz + D = 0,
x y z + + = 1 平面的截距式方程 a b c
-7-
第五节
平面与直线方程
例3
第七章 空间解析几何与向量代数
设平面过原点及点 (6,−3, 2), 且与平面
4 x − y + 2 z = 8 垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0,
由平面过原点知 由平面过点 (6,−3, 2) 知
∵ n ⊥ {4,−1,2},
M0
o x
y
垂直于平面内的任一向量． 已知平面的法向量为 n = { A, B , C }, 且过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ), 设平面上的任一点为 M ( x , y , z ) 必有 M 0 M ⊥ n ⇒ M 0 M ⋅ n = 0
-2-
第五节
平面与直线方程
∵ M 0 M = { x − x 0 , y − y0 , z − z 0 }
例9
第七章 空间解析几何与向量代数
研究以下各组里两平面的位置关系：
(1) − x + 2 y − z + 1 = 0,
解
y + 3z − 1 = 0
| −1 × 0 + 2 × 1 − 1 × 3 | cosθ = 2 2 2 2 2 ( −1) + 2 + ( −1) ⋅ 1 + 3 1 cosθ = 60
Ax + By + Cz + D = 0
平面的一般方程 法向量 n = { A, B , C }.
-5-
第五节
平面与直线方程
) x− y+z=7 和 ，且垂直于平面 例2 求过点 (1,1,1 3 x + 2 y − 12 z + 5 = 0 的平面方程.
解
第七章 空间解析几何与向量代数
n1 = {1,−1, 1},
取
第七章 空间解析几何与向量代数
s = n1 × n2 = {4,−1,−3},
x −1 y −0 z + 2 = = , 4 −1 −3 ⎧ x = 1 + 4t ⎪ . 参数方程 ⎨ y = − t ⎪ z = −2 − 3t ⎩
- 14 -
对称式方程
第五节
平面与直线方程
例8 一直线过点 A( 2,−3,4), 且和 y 轴垂直相交，
由所求平面与已知平面平行得
1 1 1 1 ⇒ t = ±6 1= ⋅| ⋅ ⋅ | 代入体积式 6 6t t 6t ∴ a = ±1, b = ±6, c = ±1, 所求平面方程为 6 x + y + 6 z = ±6.
- 10 -
a = b = c, 6 1 6 令 1 1 1 1 1 1 =t ⇒ a = , b= , c = , = = 6a b 6c 6t 6t t
第七章 空间解析几何与向量代数
∴ A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0