初三数学第一学期期中考试试卷

初三数学期中考试试卷及答案第一卷：选择题（共80分）一、选择题（每小题1分，共40分）1. 下列各组函数中，相等的是（）a) y = x^2 - 2x + 1，y = (x - 1)^2b) y = |2x - 1|，y = -(2x - 1)c) y = |2x - 1|，y = 2|x| - 1d) y = 2|x + 1|，y = -2|x + 1|2. 单项式 2x^3 y z^2 的次数是（）a) 2 b) 3 c) 4 d) 53. 若 a:b = 7:5，b:c = 4:3，求 a:b:c =a) 7:5:3 b) 7:4:5 c) 7:10:12 d) 28:20:154. 圆心坐标为 (-4, 2)，半径为 5 的圆方程是（）a) (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 5^2b) (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 5^2c) (x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 5^2d) (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 5^2...第二卷：非选择题（共70分）五、计算题（共30分）1. 化简：(3a^2b)^3 / (6a^5b^2) =2. 解方程：4x - 5 = 3x + 73. 已知图中三角形 ABC，其中∠B = 90°，AC = 8cm，BC = 6cm。

求 sin A 和 cos C 的值。

...八、解答题（共20分）1. 某商店购进一批相同的商品，第一天卖出了商品总数的 1/4，第二天又卖出了剩余商品总数的1/3 ，已知最后剩下的商品总数是60 件，求原先购进的商品总数。

2. 一辆汽车从 A 地开往 B 地，全程 300 km，开了 4 个小时到达终点。

第二天，汽车原路返回，回到 A 地用了 6 个小时。

求汽车在去程和返程时的平均速度。

...第三卷：答题卡（共10分）请将你的答案填写在答题卡上。

注意事项：1. 请认真核对试卷上的题号和试卷形式，确保填涂无误。

九年级第一学期期中考试数学试卷（含参考答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.1.在下列方程中是一元二次方程的是（）A.x2-2x y+y2=0B. x2-2x=3C. x（x +3）= x2-1D. x + =02.将二次函数y= x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（）A.y=(x- 2)2+1B.y= (x +2)2+1C. (x- 2)2-1D.y= (x +2)2- 13.一元二次方程x2-2x +5=0的根的情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断4.对于二次函数y= - (x- 2)2-3，下列说法正确的是（）B A.当x >0时，y随x的增大而增大 B.当x =2时，y有最大值- 3C.图象的顶点坐标为（-2，-7）D.图象与x轴有两个交点5.用配方法解方程x2- 6x- 3=0时，原方程应变形为（）A. (x +3)2=3B. (x +3)2=12C. (x- 3)2=3D. (x- 3)2=126.已知函数y=(x- 1)2+2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A x <1 B. x >1 C. x >-2 D. - 2< x <47.若x1，x2是一元二次方程2x2- 9x +4=0的两根，则x1+ x2的值是（）A. - 2B.2C.D. - 28.二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图像如图所示，则函数值y>0时，x的取值范围是（）A. x <-1B. x >3C. -1< x <3D. x <-1 或x >3第8题图第10题图9.某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175 亿元，二月、三月平均增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（）A.50(1+x)2=175B.50+50(1+x)+50(1+x)2=175C.50 (1+x) +50(1+x)2= 175D.50+50(1+x)2=17510.已知二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图像如图所示，对称轴为直线x=2.则下列结论中正确的是（）A a bc>0 B.4a-b=0 C.9a+3b+c<0 D.5a+c>0二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11.方程x2= x的解是____________12.当k______时，y=( k +3)x2- k x+2是关于x的二次函数.13.抛物线y=2(x +1)2-3，的顶点坐标为________，对称轴为直线______14.已知x=1是方程x2+ax-b=0的一个根，则a-b+2023=_____15如图，一段抛物线：y=-x（x -2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C6，若P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m的值为=____三、解答题（一）：本大题共3小题，第16 题10分，第17、18题7分，共24分.16.计算：用适当方法解方程：（1）(x +1)2=5x+5 （2）x2- 4x- 5=017.某次聚会上，同学们互相送照片，每人给每个同学一张照片，一共送出90张照片，问一共有多少位同学参加了聚会？18.已知抛物线y= x2- 2x- 3.（1）求抛物线与两坐标轴的交点坐标（2）求它的顶点坐标。

九年级期中考试试卷（数学）考试时间：120分钟；满分120分姓名 班级一、选择题（每小题3分，共24分） 1．方程x 2＝25的解是（ ）。

A ．x 1＝x 2＝5B ．x 1＝x 2＝25 Ｃ．x 1＝5，x 2＝－5 Ｄ．x 1＝25，x 2＝－25 2．用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -=3．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A ．y ＝2a (x －1)B ．y ＝2a (1－x )C ．y ＝a (1－x 2)D ．y ＝a (1－x )24．某中学准备建一个面积为375cm 2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m ．设游泳池的长为xm ，则可列方程（ ）．A ．x(x －10)＝375B ．x(x ＋10)＝375Ｃ．x(2x －10)＝375 Ｄ．2x(2x ＋10)＝375 5．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 6．下列说法正确的是（ ） A 、等腰梯形的对角线互相平分B 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C 、线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等D 、两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似7．如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （ ）Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．94第8题图第7题图8．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE 是平行四边形，连接CE 交AD 于点F ，连接BD 交CE 于点G ，连接BE ．下列结论中：①CE=BD ； ②△ADC 是等腰直角三角形； ③∠ADB=∠AEB ； ④CD •AE=EF •CG ； 一定正确的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个二、填空题（每小题3分，共24分） 9．方程x 2+2x=0的解为 ．10．已知关于x 的方程250x x m -+=的一个根是1，则m 的值是．11．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB 的高度为36cm ，那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为 cm .第12题图12．如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m 的位置上，则球拍击球的高度 为．13．已知线段AB=10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），那么线段AC 的长 为 ．（结果保留根号）第14题图 第15题图14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上高，若AD=8，BD=2，那么CD ．15．如图，在直角三角形ABC 中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x 的三个正方形，则x 的值为 ．16．如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3 在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 3B 3． 若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1、4，则图中三个阴影 三角形面积之和为 ．__A三、解答题（本题共6个小题，每小题6分，共36分）17．解方程：x2－x－1＝0+18.19．某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元。

一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 3/4D. √-12. 若 |x-3|=5，则 x 的值为（）A. 8 或 -2B. 8 或 2C. -8 或 2D. -8 或 -23. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = x^2 + 2x + 1B. y = x^2 + 2C. y = 2x + 1D. y = x^2 - 2x + 14. 若 a, b, c 成等差数列，且 a + b + c = 18，则 b 的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 155. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^26. 若等腰三角形的底边长为 8，腰长为 10，则该三角形的面积为（）A. 40B. 32C. 48D. 367. 下列各数中，绝对值最大的是（）A. -3B. 2C. -2D. 18. 若一个数列的前三项分别是 1, 2, 3，则该数列的通项公式是（）A. a_n = nB. a_n = n + 1C. a_n = n - 1D. a_n = 2n - 19. 下列各式中，正确的是（）A. 2a^2b^3c^4 = 2abcB. 2a^2b^3c^4 = 2a^2b^2c^2C. 2a^2b^3c^4 = 2a^2b^3cD. 2a^2b^3c^4 = 2a^2b^2c^310. 若 a, b, c 成等比数列，且 a + b + c = 18，则 bc 的值为（）A. 9B. 6C. 12D. 18二、填空题（每题4分，共20分）11. 若 a = 3，b = -2，则 a^2 - b^2 = _______。

12. 若 sin x = 1/2，则 x 的值为 _______（写出所有可能的解）。

2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学试题注意事项1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟。

2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置。

3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．方程的解是（ ）A ．，B ．C ．，D ．，2．的半径长为4，若点P 到圆心的距离为3，则点P 与的位置关系是（ ）A ．点P 在内B ．点P 在上C ．点P 在外D ．无法确定3．方程的两根为、，则（ ）A ．6B ．－6C ．3D ．－34．下列函数的图象与的图象形状相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10（第5题）6．如图，在半径为5的中，弦，点C 是弦AB 上的一动点，若OC 长为整数，则满足条件的点C 有（）240x x -=12x =-22x =4x =10x =24x =14x =-24x =O e O e O e O e O e 2261x x -=1x 2x 25y x =22y x=252y x =-+251y x x =++51y x =-20ADB ∠=︒O e 8AB =（第6题）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，已知某市一共有285个社区，第一季度已有60个社区实现垃圾分类，第二、三季度实现垃圾分类的小区个数较前一季度平均增长率为x ，要在第三季度将所有社医都进行垃圾分类，下列方程正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．当时，函数的最小值为1，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．0或3二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）9．一元二次方程的根是______．10．请在横线上写一个常数，使得关于x 的方程有两个相等的实数根．11．若是一元二次方程的一个根，则______．12．如图，是的内切圆，若，，则______°．（第12题）13．已知二次函数的图像经过点、，则______（填“>”“<”或“＝”）．14．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为108°，半径为12cm 的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为______cm．()2601285x +=()2601285x -=()()2601601285x x +++=()()260601601285x x ++++=1a x a -≤≤221y x x =-+213x -=26______0x x -+=1x =20x mx n --=2024m n ++=O e ABC △60ABC ∠=︒50ACB ∠=︒BOC ∠=()()210y a x c a =-+<()11,y -()24,y 1y 2y（第14题）15．平面直角坐标系中，若平移二次函数的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为______．16．已知如图，二次函数的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，连接BC ，点M 是BC 上一点，射线MN 与以A 为圆心，1为半径的相切于点N ，则线段MN 的最小值是______．（第16题）三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）解下列方程：（1）；（2）．18．（本题8分）已知关于x 的一元二次方程．求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）如图，AB 是的直径，弦AD 平分，，垂足为E ．试判断DE 与的位置关系，并说明理由．（第19题）()()202420254y x x =--+2y =+A e 2420x x --=()()323x x x +=+210x mx m ++-=O e BAC ∠DE AC ⊥O e20．（本题8分）某小区有一块矩形绿地，长为20m ，宽为8m ．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少a m ，宽增加a m ，改造后的面积比原来增加，求a 的值．21．（本题10分）已知y 是x 的函数，下表中给出了几组x 、y 的对应值：x …－2－1.5－101 4.55…y…3m－2－31.3753…（1）建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图像可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m 的值；（2）结合图像回答问题：当x 的取值范围是____________时，．（第21题）22．（本题10分）如图，在中，，以AB 为直径作，分别交AC 、BC 于点D 、E ．（1）求证：；（2）当时，求的度数；（3）过点E 作的切线，交AB 的延长线于点F ，当时，求图中阴影部分面积．（第22题）23．（本题10分）商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元．（1）该商场平均每月可售出______件商品（用含x 的代数式表示）；（2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？227m 0y ≥ABC △AB AC =O e BE CE =40BAC ∠=︒ADE ∠O e 2AO BE ==()50100x x <<（3）该商场决定每销售一件商品就捐赠a 元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小，求a 的取值范围．24．（本题10分）（1）如图①，点A 、B 、C 、D 在上，，则______°：（2）如图②，A 、B 两点分别在x 轴和y 轴上，是的外接圆，利用直尺和圆规在第一象限内作出一点P ，使，且；（保留作图痕迹）（3）如图③，已知线段AB 和直线l ，利用直尺和圆规在l 上作出点P ，使；（保留作图痕迹）（4）如图④，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为，过点B 作轴，轴，垂足分别为A 、C ，若点P 在线段AB 上滑动（点P 可以与点A 、B 重合），使得的位置有两个，则m 的取值范围为______．（第24题）25．（本题10分）如图，二次函数的图像与x 轴交于点、，与y 轴交于点C ．连接AC 、BC ．（1）填空：______，______；（2）如图①，若点D 是此二次函数图像的第一象限上一点，设D 点横坐标为m ，当四边形OCDB 的面积最大时，求m 的值；（3）如图②，若点P 在第四象限，点Q 在PA 的延长线上，当时，求点P 的坐标．（第25题）()1a ≥O e 35BAC ∠=︒BOC ∠=C e AOB △OPA OBA ∠=∠OP AP =30APB ∠=︒()2,m AB y ⊥BC x ⊥45OPC ∠=︒212y x bx c =-++()1,0A -()4,0B b =c =45CAQ CBA ∠=∠+︒2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）题号12345678答案CACBCCDD二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）9．，10．911．202512．12513．>14．3.615．向下平移4个单位长度16三、解答题（本大题共9小题，共84分）17．（本题10分）解：（1）移项，得配方，得即直接开平方，得∴（2）移项，得因式分解，得∴或∴，18．（本题8分）解：∵，，∴∵不论m 为何值∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）解：DE 与相切理由是：连接OD∵∴∵AD 平分∴∴∴∵∴∴DE 与相切．12x =22x =-242x x -=24424x x -+=+()226x -=2x -=12x =+22x =()()3230x x x +-+=()()230x x -+=20x -=30x +=12x =23x =-1a =b m =1c m =-()2²4411b ac m m -=-⨯⨯-²44m m =-+()22m =-()220m -≥O e OD OA =ODA OAD∠=∠BAC ∠OAD CAD ∠=∠ODA CAD ∠=∠AC OD ∥DE AC ⊥OD DE ⊥O e（第19题）20．（本题8分）解：根据题意得：即：解得：，答：a 的值为3或9．21．（本题10分）（1）描点、连线如图是二次函数，设函数的表达式为：把点，，代入得解得：∴函数得表达式为（2）或．22．（本题10分）（1）证明：连接AE∵AB 是直径∴∴∵∴()()20820827a a -+-⨯=212270a a -+=13a =29a =()20y ax bx c a =++≠()1,0-()0,2-()1,3-023a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩213222y x x =--1.375m =1x ≤-4x ≥O e 90AEB ∠=︒AE BC ⊥AB AC =BE CE=（第22题）（2）解：∵，∴∵四边形ABED 是的内接四边形∴∴．（3）解：连接OE 则∵∴∴是等边三角形∴∵EF 是切线∴∴∴∴∴阴影部分的面积．23．（本题10分）（1）（2）设每月销售利润为y 元则∵，∴当时，y 有最大值16000答：商品售价定为80元时，每月销售利润最大；（3）设每月销售利润为y 元则∴对称轴为直线∵∴当时，y 随x 得增大而减小∵每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小∴解得：∵∴a 的取值范围是．24．（本题10分）（1）35，702分AB AC =40BAC ∠=︒180180407022BAC ABC ︒-∠︒-︒∠===︒O e 180ADE ABC ∠+∠=︒180********ADE ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒OE OA OB==2OA BE ==OA OB BE ==OBE △60BOE ∠=︒O e OE EF ⊥30F ∠=︒24OF OE ==EF ===2160π222π23603OEF BOE S S ⨯=-=⨯⨯=-扇形△101200x -+()()()224010120010160048000108016000y x x x x x =--+=-+-=--+100-<50100x <<80x =()()()24010120010160010480001200y x a x x a x a=---+=-++--()160010802102a a x +=-=+⨯-100-<802ax >+80852a+≤10a ≤1a ≥110a ≤≤（2）如图（3）如图（4）25．（本题10分）（1），2（2）∵点D 横坐标为m ，且点D 在二次函数的图像上∴点D 坐标为对于二次函数，当时，∴设BC ：则解得：∴BC ：21m ≤<32213222y x x =-++213,222m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213222y x x =-++0x =2y =()0,2C y kx b =+402k b b +=⎧⎨=⎩122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩122y x =-+过点D 作轴，交BC 于点E 则∴∴到DE 的距离到DE 的距离（C 到DE 的距离到DE 的距离）∵，∴当时，有最大值8∴．（3）∵，，∴，，∴∴设，则∵∴∴DE y ∥1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2213112222222DE m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭OBC BCD OCDB S S S =+四边形△△OBC CDE BDES S S =++△△△1122OC OB DE C =⨯⨯+⨯⨯12DE B +⨯⨯112422DE =⨯⨯+⨯⨯B +1442DE =+⨯⨯214222m m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭244m m =-++()()22804m m =--+<<10a =-<04m <<2m =OCDB S 四边形2m =()1,0A -()4,0B ()0,2C 25AC =220BC =225AB =222AC BC AB +=90ACB ∠=︒ABC x ∠=90CAB x∠=︒-45CAQ CBA ∠=∠+︒45CAQ x ∠=+︒()()180459045PAB x x ∠=︒-+︒-︒-=︒设直线AP 交y 轴于F则∴设AP ：则解得：∴AP ：设∵点P 在二次函数的图象上∴解得：，（舍去）当时，∴点P 的坐标为．1OF OA ==()0,1F -y kx b =+01k b b -+=⎧⎨=-⎩11k b =-⎧⎨=-⎩1y x =--()(),10P n n n -->213222y x x =-++2132122n n n -++=--16n =21n =-6n =17n --=-()6,7-。

2023学年第一学期温州市瓯海区部分学校期中考试九年级数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（每题3分，共30分）1．下列各式中，y 是关于x 的二次函数的是（）A ．23y x =+B ．2y x =C ．()221y x x =--D ．231y x =-2．已知：如图OA ，OB 是O 的两条半径，且OA OB ⊥，点C 在O 上，则ACB ∠的度数为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．15︒3．已知粉笔盒里只有3支黄色粉笔和2支红色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是（）．A ．15B ．25C ．35D ．234．如果将抛物线221y x =-向左平移1个单位，那么得到的新抛物线的表达式为（）A ．22y x =B ．()2211y x =+-C ．()2211y x =+-D ．()2211y x =--5．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y 米与飞行时间x 秒的关系式为21105=-+y x x ，当炮弹落到地面时，经过的时间为（）A ．40秒B ．45秒C ．50秒D ．55秒6．下列说法正确的是（）A ．等弧所对的弦相等B ．相等的弦所对的弧相等C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．相等的圆心角所对的弦相等7．抛物线()2237y x =--的顶点坐标是（）A ．()37，B ．()37-，C ．()37-，D ．()37--，8．如图，CD 是O 是直径，AB 是弦且不是直径，CD AB ⊥，则下列结论不一定正确．．．．．的是（）A ．AE BE =B ．OE DE=C ．AO CO =D ． AD BD =9．已知二次函数()231y x =--，则当14x ≤≤时，该函数（）A ．只有最大值3，无最小值B ．有最大值3，有最小值0C ．有最小值1-，有最大值3D ．只有最小值1-，无最大值10．如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，已知6,10OE DO ==，则CD 的长为（）A ．16B ．12C ．10D ．8二、填空题（每题3分，共24分）11．抛物线22(1)3y x =---与y 轴交点的纵坐标为12．一个盒子中有m 个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任取一个球，若取得白球的概率是14，则m =．13．已知抛物线()()223y x m x m =+--+的对称轴是y 轴，则m =．14．如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为BC 延长线上的一点，若102A ∠=︒，则DCE ∠的度数为．15．如下图，函数2()y x h k =--+的图象，则其解析式为．16．如图，ABCD 是正方形，边长为2，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影面积为．17．把二次函数2241y x x =-+通过配方化成2()y a x h k =-+的形式为．18．如图，A 、B 、C 为O 上的点，OC AB ∥，连接OA ，BC 交于点D ，若AC CD =，2OC =，则AB 的长为．三、计算题46分）19．（6分）已知拋物线2y x bx c =-+经过点()1,0A -，()3,0B ，求抛物线的解析式．20．（6分）如图，O 中，弦AB 与CD 相交于点H ，AB CD =，连接AD 、BC ．求证：AH CH =．21．（8分）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x 米矩形花圃的面积为y 平方米．(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)当x 为多少时，矩形花圈的面积最大？22．（8分）已知二次函数的解析式223y x x =+-，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图．x…－3－2－101…223y x x =+-…0_________0…23．（8分）临近毕业，甲、乙、丙三人相约去餐馆聚餐，丙先到达餐馆，选了一张方桌坐在如图所示的座位上，甲到达餐馆后，从座位①、②、③中随机选择一个坐下，乙到达餐馆后，从剩下的座位中再随机选择一个坐下．(1)甲坐在①号座位上的概率是______．(2)用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两人恰好相邻而坐的概率．．24．（10分）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF AD(1)证明：E是OB的中点；AB ，求CD的长．(2)若6参考答案1．D解：A 、23y x =+是一次函数，故不符合题意；B 、2y x=是反比例函数，故不符合题意；C 、()22121y x x x =--=-+是一次函数，故不符合题意；D 、231y x =-是二次函数，故符合题意；故选D ．2．B解：OA OB ⊥ ，90AOB ∠=︒∴，1452ACB AOB ∴∠=∠=︒．故选：B ．3．C解：粉笔盒里只有3支黄色粉笔和2支红色粉笔，共5支粉笔，从中任取一支粉笔，有5种等可能的结果，取出黄色粉笔的结果有3种，∴取出黄色粉笔的概率是35p =，故选：C ．4．C解：将抛物线221y x =-向左平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为()2211y x =+-．故选：C5．C解：令0y =，则211005x x -+=，解得10x =（舍去），250x =，故选C ．6．A解：A 、等弧所对的弦一定相等；故原说法正确；B 、在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原说法错误；C 、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误；D 、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．故原说法错误；故选：A ．7．C解：抛物线()2237y x =--的顶点坐标是()37-，．故选：C ．8．B解：如图所示，∵CD AB ⊥,∴AE BE =, AD BD=,O 的半径都相等，那么AO CO =,不能得出OE DE =.故选:B .9．C解： 二次函数()231y x =--，开口向上，离对称轴越远函数值越大，∴当14x ≤≤时，在3x =时，函数取得最小值，此时1y =-，当1x =时，函数取得最大值，此时()21313y --==，故选：C ．10．A解： 弦CD AB ⊥于点E ，12CE DE CD ∴==，90OED ∠=︒，8DE ∴==，216CD DE ∴==，故选：A ．11．()0,5-解：将0x =代入22(1)3y x =---，得：22(01)35y =-⨯--=-，∴与y 轴交点的纵坐标为()0,5-．故答案为：()0,5-．12．9解：3134m =+，∴9m =，经检验9m =是原方程的解，∴9m =，故答案为：9．13．2解：根据题意可得()2022m b a ---==，解得2m =，故答案为：2．14．102︒解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180A DCB ∠+∠=︒，又180DCE DCB ∠+∠=︒，∴102DCE A ∠∠==︒，故答案为102︒．15．2(1)5y x =-++解：由图象可知抛物线的顶点坐标为()15-，，∴函数的解析式为2(1)5y x =-++．故答案为：2(1)5y x =-++．16．4π-解：∵ABCD 是正方形，边长为2，∴ 2290224360BACS S S ππ⨯=-=-=-阴影面积正方形扇形．故答案为：4π-．17．()2211y x =--解：()()22224122121211y x x x x x =-+=-+-+=--，故答案为：()2211y x =--18．解：过点O 作OE AB ⊥交于点E ，如图：设ABC α∠=，∵ AC AC =，∴22AOC ABC α∠=∠=，∵OC AB ∥，∴2BAO AOC α∠=∠=，则23ADC BAO ABC ααα∠=∠+∠=+=，∵AC CD =，∴3ADC DAC α∠=∠=，∵=2OA OC =，∴3OCA OAC α∠=∠=，∵180AOC OCA OAC ∠+∠+∠=︒，即233180ααα++=︒，解得：22.5α=︒，∴222.545BAO ∠=⨯︒=︒，∵OE AB ⊥，∴90AEO ∠=︒，AE BE =，∴90EAO EOA ∠+∠=︒，即45EAO EOA ∠=∠=︒，∴AE OE =，在Rt AEO △中，222AE OE AO +=，即224AE =，解得：AE =∵OE AB ⊥，∴AE BE =，∴2AB AE ==故答案为：19．2=23y x x --解：将()1,0A -，()3,0B 代入2y x bx c =-+得：01093b c b c =++⎧⎨=-+⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：2=23y x x --．20．22(2)3y x =--解：根据题意，设二次函数的解析式为2(2)3y a x =--，把()5,15代入得215(52)3a =--，解得2a =，所以二次函数的解析式为22(2)3y x =--．21．（1）解：由题意可知，平行于墙的一边BC 的长为()202x -米，∴()2202220y AB BC x x x x =⋅=-=-+，2020x ->，∴010x <<，∴y 关于x 的函数表达式为2220y x x =-+()010x <<；（2）解： ()222202550y x x x =-+=--+(010)x <<，∴当5x =时，y 取得最大值，此时50y =，即当5x =时，苗圃的面积最大，最大值是50平方米．22．解：填表如下：x…－3－2－101…223y x x =+-…0－3－4－30…描点、连线，如图所示：23．（1）解：因为甲、乙、丙三人坐在①号座位上的概率相同故甲坐在①号座位上的概率是：13（2）解：画树状图如下∶由图可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种，所以甲、乙两人恰好相邻而坐的概率为4263=24．（1）证明：直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接AC ，∴ AC AD =，∴AC AD =，∵过圆心O 的直线CF AD ⊥，∴AF DF =，即CF 是AD 的中垂线，∴AC CD =，∴AC AD CD ==．即：ACD 是等边三角形，∴30FCD ∠=︒，在Rt COE △中，有12OE OC =，∴12OE OB =，∴点E 为OB 的中点；（2）解：∵6AB =，∴132OC OB AB ===，又∵BE OE =，∴32OE =，∴CE =AB CD ⊥ ，∴2CD CE ==。

2023~2024学年度九年级（上学期）期中测试试卷第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡）一、选择题（每小题3分，共计30分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2.方程23x x =的解是（ ）A.3x =B.10x =，23x =C.10x =，23x =−D.11x =，23x = 3.已知函数()273m y m x −=−是二次函数，则m 的值为（ ）A.3−B.3±C.3D. 4.O 的半径为5，同一平面内有一点P ，且7OP =，则点P 与O 的位置关系是（ ）A.点P 在圆内B.点P 在圆上C.点P 在圆外D.无法确定5.已知22y x =的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A.()2222y x =−+B.()2222y x =++C.()2222y x =−−D.()2222y x =+− 6.如图，点A ，B ，C 在O 上，22.5OAB ∠=︒，则ACB ∠的度数是（ ）A.11.5°B.112.5°C.122.5°D.135° 7.设()12,A y −、()21,B y 、()32,C y 是抛物线()212y x =−++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A.123y y y >>B.132y y y >>C.321y y y >>D.312y y y >>8.如图，以O 为圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点.若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB 的长为（ ）A.2B. D.2 9.O 的半径为5cm ，弦AB ∥弦CD ，且8cm AB =，6cm CD =，则AB 与CD 之间的距离为（ ）A.1cmB.7cmC.3cm 或4cmD.1cm 或7cm 10.如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =−，点B 的坐标为()1,0，则下列结论：①4AB =；②240b ac −>；③0ab <；④2a ab ac −+其中正确的结论有（ ）个.A.1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题3分，共24分）11.已知关于x 的方程2230x x k ++=的一个根是1−，则k =______.12.在直角坐标系中，点()1,2A −关于原点对称的点的坐标是______.13.如图，P 是O 的直径BA 延长线上一点，点D 在O ，PD 交O 于点C ，且PC OD =，如果24P ∠=︒，则DOB ∠=______.14.如果二次函数281y x x m =−+−的顶点在x 轴上，那么m =______.15.如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm ，则这块扇形铁皮的半径是______.16.一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x ，可列方程为______.17.如图，已知P 的半径为2，圆心P 在抛物线2112y x =−上运动，当P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为______.18.如图，已知直线334y x =−与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 是以()0,1C 为圆心，1为半径的圆上一动点，连接P A ，PB .则PAB △面积的最大值与最小值的差为______.三、解答题（19~24题每题6分，25~27题每题10分，共66分）19.解方程（1）2890x x −−= （2）210x x −−= 20.如图，ABC △三个顶点的坐标分别为()2,4A ，()1,1B ，()4,3C .（1）请画出ABC △关于原点对称的111A B C ；（2）请画出ABC △绕点B 逆时针旋转90°后的22A BC △，并写2A 的坐标．21.如图，已知二次函数223y x x =−−的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C .（1）将223y x x =−−化成()2y a x h h =−+的形式； （2）求点A 、B 、C 的坐标；（3）观察图象直接写出不等式2230x x −−>的解集.22.如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A 处测得岛C 在北偏东60°方向，1小时后渔船航行到B 处，测得岛C 在北偏东30°方向，已知该岛C 上有一部信号发射塔，方圆20海里内的船只能够收到它发射的信号.（1）求B 处离岛C 的距离；（2）求该渔船在整个航行过程中收到岛C 发射信号的时间.23.先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等.如图1，点A ，B ，C ，D 均为O 上的点，则有C D ∠=∠.小明还发现，若点E 在O 外，且与点D 在直线AB 同侧，则有D E ∠>∠.请你参考小明得出的结论，解答下列问题：图1 图2问题：如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()0,10，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()2,0.（1）在图2中作出ABC △的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），并求出此圆与x 轴的另一个交点的坐标；（2）点P 为x 轴正半轴上的一个动点，连接AP 、BP ，当APB ∠达到最大时，直接写出此时点P 的坐标.24.某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图1所示位置放置，现将Rt AEF △绕A 点按逆时针方向旋转，旋转角为()090αα︒<<︒，得到图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P .（1）求证：AM AN =；（2）当旋转角30α=︒时，四边形ABPF 是怎样的特殊四边形？请说明理由.图1 图225.如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD MN ≤，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栅栏.（1）若围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值.26.如图，在ABC △中，点O 是AC 的中点，以O 为圆心，OA 为半径作O ，交BC 于点D ，交AB 于点E ，弧ED 与弧DC 相等，点F 在线段BE 上，2BAC BDF ∠=∠.（1）求证：AB AC =；（2）判断DF 与O 的位置关系，并加以证明；（3）若O 的半径为5，EB DF AO +=，求BD 的长.27.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 的解析式为34y x m =−+，与x 轴、y 轴分别交于点B 、点A ，抛物线21y ax bx =++经过点A ，与直线AB 交于点C ，点C 的横坐标为4，抛物线的对称轴为54x =. （1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在直线AC 上方的抛物线上，点P 的横坐标为t ，过点P 作x 轴的平行线交AC 于点M ，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点N ，当AM BN =时，求t 值；（3）点Q 是坐标平面内一点，将AOB △绕点Q 沿逆时针方向旋转90°后，得到111AO B △，点A 、O 、B 的对应点分别是点1A 、1O 、1B .若111AO B △的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出此时点1A 的横坐标.备图初三数学参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1.B2.B3.A4.C5.A6.B7.A8.B9.D 10.C二、填空题（每小题3分，共24分）11.12.()1,2− 13.72︒ 14.1715.40cm 16.()225116x −= 17.)或()2 18.5三、解答题（19~24题每题6分，25~27题每题10分，共66分）19.解（1）19x = 21x =−（2）112x x == 212x −= 20.（1）如图 （2）如图2A 的坐标()1,2−21.解：（1）()22223213114y x x x x x =−−=−+−−=−−，即()214y x =−−； （2）令0x =，则3y =−，即该抛物线与y 轴的交点C 坐标是()0,3−，令0y =，则2230x x −−=，()()310x x −+=，11x =−，23x = 所以该抛物线与x 轴的交点坐标是()3,0B 、()1,0A −.（3）不等式2230x x −−>，即0y >，由图可知1x <−或3x >.22.解：（1）过C 作CO AB ⊥于O ，则CO 为渔船向东航行到C 道最短距离，∵在A 处测得岛C 在北偏东的60︒，∴30CAB ∠=︒，又∵B 处测得岛C 在北偏东30︒，∴60CBO ∠=︒，120ABC ∠︒=∴30ACB CAB ∠∠==︒，∴12112AB BC ==⨯=（海里）（等边对等角）；（2）以点C 为圆心，20为半径作圆，与直线AB 交点E 、F ，连接OE ，2EF EO =，在BCO △中，60CBO ∠=︒，90COB ∠=︒，12BC =，6BO =，CO =Rt ECO △中，20CE =勾股定理求EO =2EF EO == 12÷=23.（1）如图，过圆心G 作GH OC ⊥垂足为H ，连接GB 、GC ，可证四边形GHON 为矩形，OH GN =，3BN AN ==，7GH ON ==，222GB BN GN =+，222GC CH GH =+GB GC =，2222BN GN CH GH +=+设CH 长为x ，()2222327x x ++=+ 9x =9CH = 18CK = 20OK OC CK =+=()20,0K（2）()P （D 经过AB 两点，与x 轴相切于的Q ，由阅读材料可的APB AQB ∠≤∠，点P 在切点时取等号.）24.（1）证明：∵用两块完全相同的且含60︒角的直角三角板ABC 与AFE ，∴ABC AFE ≌△△，∴AB AF = B F ∠=∠，∵Rt AEF △绕A 点按逆时针方向旋转，旋转角为α，∴BAM FAN α∠=∠=∴ABM AFN ≌△△，∴AM AN =（1）四边形ABPF 是菱形，理由如下：∵用两块完全相同的且含60︒角的直角三角板ABC 与AFE ， ∴30E C ∠=∠=︒，∵30BAM FAN α∠=∠==︒，∴E BAM ∠=∠，C FAN ∠=∠∴AF BP ∥，AB FP ∥∴四边形ABPF 是平行四边形∵AB AF =，∴四边形ABPF 是菱形25.解：（1）设AD 长x 米，则BC 长为()11002x −米， 根据题意得()11004502x x −=，解得110x =，290x =不合题意舍去； 答：AD 的长为10米. （2）设AD 长x 米，∴()()21110050125022S x x x =−=−−+， 则50x =时，S 的最大值为1250；S 的最大值为1250.（1）证明：连接AD ，∵弧ED 与弧DC 相等∴CAD BAD ∠=∠，∵AC 是O 的直径∴90ADC ∠=︒，∴90ADB ∠=︒，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ACD ABD ∠=∠，∴AB AC =（2）DF 与0相切，证明：连接OD ，∵90ADC ∠=︒∴AD BC ⊥∵AB AC =∴CD BD =∵点O 是AC 的中点∴OD AB ∥∵CAD BAD ∠=∠∴2BAC BAD ∠=∠∵2BAC BDF ∠=∠∴BAD BDF ∠=∠∵90ADB ∠=︒∴90ADF BDF ∠+∠=︒∴90ADF BAD ∠+∠=︒∴90AFD ∠=︒∴180ODF AFD ∠+∠=︒∴90ODF ∠=︒∴OD DF ⊥∴DF 与O 相切（3）解：连接DE ，CE ，∵弧ED 与弧DC 相等∴DE DC =∵CD BD =∴DE BD =∵90AFD ∠=︒∴DF BE ⊥∴EF FB =∴2EC DF =设EF 长为x ，则2BE x =，∵EB DF AO +=∴52DF x =−∴104EC x =−∵AB AC =∴10AB =∴102AE AB EB x =−=−∵AC 是O 的直径∴90AEC ∠=︒在Rt AEC △中，222AE EC AC += ()()22210210410x x −+−= 解得1x = 5x =（舍）1BF = 3DF =在Rt DFB △中，222BF DF BD +=BD =26.解：（1）抛物线21y ax bx =++与y 轴交于点A 令0x =，1y =，∴()0,1A ∵直线34ABy x m =−+经过点()0,1A ，∴1m =，∴直线AB 的解析式为314y x =−+直线AB 交于点C ，点C 的横坐标为4，令4x =，2y =−，∴()4,2C −∵抛物线21y ax bx =++经过点()4,2C −，对称轴为54x = ∴16412524a b b a ++=−⎧⎪⎨−=⎪⎩解得1254a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为215124y x x =−++；（2）∵AM AN =∴AM BM AN BM −=−∴AB MN = ∵PM x ∥轴PN y ∥轴∴PMN PBN ABO ∠=∠=∠ OAB PNM ∠=∠∴ABO NMP ≌△△∴1PN AO ==215,124P t t t ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，3,14N t t ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭2153111244t t t ⎛⎫⎛⎫−++−−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得2t =±（3）点1A 的横坐标34或712−.。

2024学年第一学期九年级数学学科期中考试试卷2024.10（时间：100分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列函数中，一定为二次函数的是（）A. B. C. D.2.已知点P是线段AB的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（）A. B.C.D.3.如图，在中，点D、E和F分别在边AB、AC和BC上，，，如果，那么下列结论中正确的是（）A. B. C. D.4.下列关于向量的说法中，正确的是（）A.如果，那么B.如果，，那么C.已知是单位向量，如果，那么D.如果，，其中是非零向量，那么5.在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（）A. B.21yx=()()11y x x=+-2y ax=()21y x x x=-+BP AP>2BP AP AB=⋅2AP BP AB=⋅APAB=BPAP=ABC△DE BC∥DF AC∥34ADBD=34DEBC=34BFCF=37CFBC=37DFAC=k=0ka=2a=1b=2a b=e4a=4ea=23a b c+=2b c=ca b∥y ax b=+2y ax b=+C. D.6.已知在中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，联结CD 、BE 交于点F ，下列条件中，不一定能得到和相似的是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7.已知，且，那么_______.8.抛物线与y 轴的交点坐标为_______.9.已知二次函数的图像经过点、，那么该二次函数图像的对称轴为直线_______.10.已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m 的取值范围是_______.11.如图，已知在中，，CD 是边AB 上的高，如果，，那么_______.12.如图，在中，，点D 和点E 在边BC 上，，，那么_______.13.如图，已知，且，那么_______.ABC △ADE △ABC △DF EF BF CF =DF EF CF BF=BDE BFC ∠=∠BDF CEFS S =△△234a b c k ===0k ≠c a c b-=+223y x x =+-()20y x bx c a =++≠()1,1A --()5,1B -()21y m x =+ABC △90ACB ∠=︒3AD =2BD =CD =ABC △3AB AC ==4BE =BAE ADC ∠=∠CD =AD EF BC ∥∥::2:5:7AD EF BC =:AE AB =14.如图，在中，点D 在边BC 上，线段AD 经过重心G ，向量，向量，那么向量______.（用向量、表示）15.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为_______米.16.如图，在中，点D 在边AB 上，，点E 和F 分别在边BA 和CA 的延长线上，且，如果，那么_______.17.定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点A 的横、纵坐ABC △BA a = BC b = AG =a b ABC △ACD B ∠=∠CD EF ∥::3:4:2EA AD DB =AEF ABCS S =△△()20y ax bx c a =++≠(),A x y标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点A 的“简朴点”，已知抛物线上一点B 的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为_______.18.如图，在矩形ABCD 中，，在边CD 上取一点E ，将沿直线BE 翻折，使点C 恰好落在边AD 上的F 处，的平分线与边AD 交于点M ，如果，那么_______.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量.）20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知点在二次函数的图像上.（1）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标；（2）将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t 个单位后图像经过点，求的值.21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为.（1）求二次函数的解析式；（2）如果二次函数的图像与x 轴交于点A （不与原点重合），联结OP 、AP ，试判断的形状并说明理由.22.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）如图，已知在中，点D 在边AC 上，过点A 作，交BD 的延长线于点E ，点F 是BE 延长线上一点，联结CF ，如果.（1）求证：；（2）如果，，求的值.()1,A x x y +1A 241y ax x =-+()12,3B ()1,C m 1C 1AB =BCE △ABF ∠2AD MF =BC =a bx x ()2a x b x -=- ()3,1-2y x bx b =-++()1,5-t ()2,2P -AOP △ABC △AE BC ∥2BD DE DF =⋅AB CF ∥2DE =6EF =AB CF23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在中，CD 是AB 边上的高，点E 是边AC 的中点，联结ED 并延长交CB 的延长线于点F ，且.（1）求证：；（2）如果，求证：.24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图像与x 轴交于点，与y 轴交于点.（1）求该二次函数的解析式；（2）如果点是二次函数图像对称轴上的一点，联结AD 、BD ，求的面积；（3）如果点P 是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P 的横坐标.ABC △BD BF =ADE FDB ∽△△2DF AC CF AD=2BC BD AB =⋅22y x bx c =-++()2,0A -()0,4B (),1D m -ABD △PB AB ⊥25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在矩形ABCD 中，，，点E 是射线D A 上的一点，点F 是边AB 延长线上的一点，且.联结CE 、EF ，分别交射线DB 于点O 、点P ，联结CF 、CP .（1）当点E 在边AD 上时，①求证：；②设，，求y 关于x 的函数解析式；（2）过点E 作射线DB 的垂线，垂足为点Q ，当时，请直接写出DE 的长.2AB =1BC =2DE BF =DCE BCF ∽△△DE x =CP y =14OQ PQ =2024学年第一学期九年级数学学科期中考试卷2024.10参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B ；2.A ；3.C ；4.D ；5.D ；6.C.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.；8.；9.；10.；；12.；13.；14.；15.；16.；17.；18.三、解答题：（本大题共7题，其中第19—22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19.解： ，20.解：（1）∵点在二次函数的图像上，∴把，代入，得.解得.∴二次函数的解析式为.∴对称轴为直线.顶点的坐标为.（2）二次函数的解析式化为.∵将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t 个单位，∴平移后新二次函数的解析式为.∵平移后图像经过点，∴把，代入，得.解得.21.解：（1）∵二次函数图像的顶点坐标为，∴设二次函数的解析式为.∵二次函数的图像经过原点，∴把，代入得..27()0,3-2x =1m <-94352133a b -+ 45238()1,05322a x b x -=- 2x a b =- ()3,1-2y x bx b =-++3x =1y =-2y x bx b =-++193b b -=-++2b =222y x x =-++1x =()1,3()213y x =--+()233y x t =-+++()1,5-1x =5y =-()233y x t =-+++5163t -=-++8t =()2,2P -()222y a x =--0x =0y =()222y a x =--()20022a =--解得.∴这个二次函数的解析式为.（2）∵二次函数的图像与x 轴交于点A ，∴把，代入得，（舍去）.得点A 的坐标为.∴.∵，∴.∵，∴是等腰直角三角形.22.解：（1）∵，∴.∵，∴.∴∴.（2）∵，，∴.∵，∴.∵，∴，∴.23.证明：（1）∵，∴.∵CD 是AB 边上的高，点E 是边AC 的中点，∴在中.又∵，∴.∴.∵，∴.∴.（2）∵，∴.∴.∵，∴∴∴.∵，∴.∴.∴.24.解：（1）∵二次函数的图像与x 轴交于点，与y 轴交于点，12a =()21222y x =--0y =()21222y x =--14x =20x =()4,04OA =OP ==AP ==OP AP =222OP AP OA +=AOP △AE BC ∥AD DE CD BD=2BD DE DF =⋅DE BD BD DF=AD BD CD DF=AB CF ∥2DE =6EF =8DF DE EF =+=216BD DE DF =⋅=4BD =AB CF ∥AB BD CF DF =12AB CF =BD BF =F BD ∠=∠Rt ACD △12DE AC =12AE AC =AE DE =A ADE ∠=∠ADE BDF ∠=∠A F ∠=∠ADE FDB ∽△△2DF AC CF AD =DF AE CF AD =DF CF AE AD=A F ∠=∠ADE FCD ∽△△ADE FCD ∠=∠A FCD ∠=∠ABC CBD ∠=∠ABC CBD ∽△△BD BC BC AB=2BC BD AB =⋅22y x bx c =-++()2,0A -()0,4B得解得.∴二次函数的解析式为.（2）∵点是二次函数图像对称轴上的一点，又∵二次函数图像的对称轴为直线.∴，点D 坐标为.设直线AB 的表达式为.∵直线AB 经过，，得，解得，∴直线AB 的表达式为.设抛物线的对称轴与直线AB 交于点E ，得点E 坐标为.∴.∴.（3）过点P 作轴，垂足为H .设点.∴，.∵，又∵，∴.∵，∴.∴.∴.∴（舍去），.即点P 的横坐标是.25.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴，，∵，∴.()202224b c c⎧=-⨯--+⎪⎨=⎪⎩2b =-2224y x x =--+(),1D m -12x =-12m =-1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭()0y px q p =+≠()2,0A -()0,4B 024p q q =-+⎧⎨=⎩24p q =⎧⎨=⎩24y x =+1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭4DE =1142422ABD ADE BDE S S S DE AO =+=⋅=⨯⨯=△△△PH y ⊥()2,224P t t t --+PH t =-222BH t t =--ABO ABP P PHB ∠+∠=∠+∠90ABP PHB ∠=∠=︒ABO BPH ∠=∠90AOP PHB ∠=∠=︒ABO BPH ∽△△PH BH BO AO =22242t t t ---=10t =234t =-34-2AB CD ==90CDE ABC ∠=∠=︒90CBF ∠=︒CDE CBF ∠=∠∵，∴.∵，∴.∴.∴.（2）∵，∴.即.∵，∴.∴.∴.∵，∴.∴.又∵且，∴.∴.∵，∴.∴.∴.∵在中，，，∴.同理可得∴∴（3）1BC =12BC CD =2DE BF =12BF DE =BF BC DE CD=DCE BCF ∽△△DCE BCF ∠=∠DCE BCE BCF BCE ∠+∠=∠+∠BCD ECF ∠=∠,CD CE CB CF =CD CB CE CF=DCB ECF ∽△△PEC BDC ∠=∠EOP DOC ∠=∠EOP DOC ∽△△OE OP OD OC=OE OD OP OC=DOE COP ∠=∠DOE COP ∽△△EDO PCO ∠=∠EDO DBC ∠=∠PCE DBC ∠=∠ECP DBC ∽△△PC EC BC BD=Rt CDE △DE x =2CD =CE =BD =1y =y =1DE =2DE =3DE =。

2024-2025学年第一学期九年级数学学科期中知识检索（满分：150分：考试时间：120分钟）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．方程的根是（）A．B．C．D．2．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（）A．B．C．D．3．抛物线与相同的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．有最低点D．对称轴是x轴关于x的一元二次方程根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．不能确定5．二次函数的图象上有两点和，则此抛物线的对称轴是直线（）A．B．C．D．6．某交易活动中，每两人都交换一次名片，共交换了110张名片，若有x人参加活动，可列方程为（）A．B．C．D．7．在同一平而直角坐标系中，函数与的图象可能是（）A．B．C．D．8．如图．在一块长为，究为的矩形绿化带的四周扩建一条宽度相等的小路（图中阴影部分），建成后绿化带与小路的总面积为，如果设小路的宽度为，那么下列方程正确的是（）A．B．24x=2x=2x=-4,4x x==-2,2x x==-2280x x--=2(1)9x+=2(1)7x+=2(1)9x-=2(1)7x-=2y x=2y x=-2320x x+-=2y ax bx c=++(3,4)(5,4)-1x=-1x=2x=3x=1(1)1102x x-=(1)110x x-=211102x=2110x=2y ax bx=+y bx a=+20m15m2546m m x(20)(15)546x x--=(20)(15)546x x++=C ．D ．9．关于x 的方程的两个根互为相反数，则m 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（）A ．①②B ．①③C ．③④D ．①②③二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）11．若关于x 的一元二次方程的一个根为2，则m 的值为_________。

东胜一中初三年级2022-2023学年第一学期期中试题（数学）一．选择题（共13小题）1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（）A．B．C．D．解析：解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．2．将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣2（x+2）2+3B．y＝﹣2（x﹣2）2+3C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3D．y＝﹣2（x+2）2﹣3解析：解：将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+3，故选：B．3．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个解析：解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，∴a≤0，当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，∵Δ＝22﹣4a＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如表所示：x (01234)y…﹣4﹣10﹣1﹣4点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1⩾y2D．y1⩽y2解析：解：设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵x＝0时y＝﹣4；x＝1时y＝﹣1；x＝2时y＝0，∴，解得，，∴此抛物线的解析式为：y＝x2+4x﹣4，∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣2，对称轴越近值越小，∴可知抛物线顶点为（﹣2，8），∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，∴y1＜y2．故选：B．5．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．200（1+x）2＝1000B．200+200×2x＝100C．200+2003x＝1000D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000解析：解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，∴该超市二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为200（1+x）2万元，又∵第一季度的总营业额共1000万元，∴200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．故选：D．6．下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个解析：解：①过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆，错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，错误；真命题有1个，故选：D．7．已知二次函数y＝ax2+2ax+1（其中x是自变量），当x≥1时，y随x的增大而增大，且﹣3≤x≤2时，y的最大值为9，则a的值为（）A．﹣1B．C．1D．﹣8解析：解：∵二次函数y＝ax2+2ax+1＝a（x+1）2﹣a+1（其中x是自变量），∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，∵当x≥1时，y随x的增大而增大，∴a＞0，又∵当﹣3≤x≤2时，y的最大值为9，∴x＝2时，y＝9，即9＝a（2+1）2﹣a+1，解得，a＝﹣1，故选：C．8．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．解析：解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，故选项正确；D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的对称轴x＝﹣＜0，故选项错误．故选：C．9．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝24°，则∠DCA的度数为（）A．40°B．41°C．42°D．43°解析：解：如图，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵∠BAC＝24°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣24°＝66°，根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B＝180°，∵∠ADC+∠CDB＝180°，∴∠B＝∠CDB＝66°，∴∠DCA＝∠CDB﹣∠BAC＝66°﹣24°＝42°．故选：C．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s 的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN．设运动时间为ts，△MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．解析：解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，AC＝BC＝6，∵CD⊥AB，∴CD＝AC＝3，AD＝CD＝3，BD＝BC＝，∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD＝AD﹣AM＝3﹣t，DN＝DC+CN＝3+t，∴S＝MD•DN＝（3﹣t）（3+t）＝﹣t2+，当M在BD上时，3＜t≤4，MD＝AM﹣AD＝t﹣3，∴S＝MD•DN＝（t﹣3）（3+t）＝t2﹣，故选：B．二．填空题（共6小题）11．已知函数y＝（m+2）-2是关于x的二次函数．满足条件的m＝﹣3或2．解析：解：由题意得：m2+m﹣4＝2且m+2≠0，∴m＝﹣3或m＝2且m≠﹣2，∴m＝﹣3或2，故答案为：﹣3或2．12．已知关于x的方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是k≤且k≠0解析：解：根据题意得k≠0且Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，解得k≤且k≠0．13．在同一个平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为a3＞a2＞a1（用“＞”连接）．解析：解：∵二次函数y1＝a1x2的开口最大，二次函数y3＝a3x2的开口最小，∴a3＞a2＞a1，故答案为：a3＞a2＞a1．14．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是10m．解析：解：令函数式y＝﹣（x﹣4）2+3中，y＝0，0＝﹣（x﹣4）2+3，解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），即铅球推出的距离是10m．故答案为：10．15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③3a＜﹣c；④若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；⑤若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中结论正确的是②③⑤解析：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴b＜0，∵抛物线与x轴交点在y轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，①错误．∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，②正确．由图象可得x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴3a+c＜0，∴3a＜﹣c，③正确．∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y取最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c，∴a﹣bm≥am2+b，④错误．若图象经过点（﹣3，﹣2），由抛物线对称性可得图象经过（1，﹣2），∵|x1|＜|x2|，∴x1＝1，x2＝﹣3为方程ax2+bx+c+2＝0的两根，∴2x1﹣x2＝﹣5，⑤正确．16．如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D 逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是（﹣2023，2022）．解析：解：∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，∴D1（1，2），∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），∵2022＝4×505+2，∴D2022（﹣2023，2022）；故答案为：（﹣2023，2022）．三．解答题（共9小题）17．解下列方程．（Ⅰ）x（3x+2）＝6（3x+2）；（Ⅱ）3x2﹣2x﹣4＝0．解析：解：（Ⅰ）x（3x+2）＝6（3x+2），x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0，（3x+2）（x﹣6）＝0，3x+2＝0或x﹣6＝0，所以x1＝﹣，x2＝6；（Ⅱ）3x2﹣2x﹣4＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣4）＝4+48＝52，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．（1）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和它的另一根；（2）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；解析：（1）解：将x＝1代入原方程得：1﹣（m+3）+3m＝0，解得：m＝1，∴方程的另一根为3m÷1＝3m．∴m的值为1，方程的另一根为3．（2）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．（2）平移△A1B1C，使点A1的对应点A2坐标为（2，0），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．解析：解：（1）如图，△A1B1C即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）如图，点（﹣1，﹣1）即为所求．20．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大．解析：解：设涨价x元，利润为y，则y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250因此当x＝5时，y有最大值6250．60+5＝65元每件定价为65元时利润最大．设每件降价a元，总利润为w，则w＝（60﹣40﹣a）（300+20a）＝﹣20a2+100a+6000＝﹣20（a﹣2.5）2+6125因此当a＝2.5时，w有最大值6125．每件定价为57.5元时利润最大．综上所知每件定价为65元时利润最大．21．为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM 线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．解析：解：（1）根据题意，顶点P的坐标为（6，6），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，把点O（0，0）代入得：36a+6＝0，解得：，即所求抛物线的解析式为：（0≤x≤12）；（2）根据题意，当x＝6﹣0.5﹣3.5＝2时（或者当x＝6+0.5+3.5＝10）时，，∴这辆货车不能安全通过；（3）设A点的坐标为，则OB＝m，，根据抛物线的对称性可得CM＝OB＝m，∴BC＝12﹣2m，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝12﹣2m，，∴三根支杆AB，AD，DC的长度之和：＝，∴当m＝3，即OB＝3米时，三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值为15．22．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．解析：解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．∵AD平分∠CAB，∴＝，∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝5；（2）如图②，连接OB，OD，∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直径为10，则OB＝5，∴BD＝5．23．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA＝，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为2，正方形ABCD的边长为．（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB 的度数，并说明理由．（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为．解析：解：（1）∵△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，∴BP＝BP′＝3，P′C＝PA＝，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°，∴△BPP′为等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB＝3，∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，在Rt△PP′C中，由勾股定理得：PC＝＝＝2，过点A作AE⊥BP交BP的延长线于E，如图1所示：∵∠APB＝135°，∴∠APE＝180°﹣135°＝45°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴AE＝PE＝PA＝×＝1，∴BE＝PB+PE＝3+1＝4，在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，故答案为：2，；（2）∠APB的度数为150°，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，如图2所示：则△BPP′是等边三角形，∴PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，∵AP＝3，AP′＝PC＝5，∴P'P2+AP2＝AP'2，∴△APP′为直角三角形，∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝90°+60°＝150°；（3）∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，∴△BAC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABD绕点A顺时针旋转90°，得到△ACK，连接DK，如图3所示：由旋转的性质得：AK＝AD＝3，CK＝BD，∠KAD＝90°，∴△DAK是等腰直角三角形，∴DK＝AD＝3，∠ADK＝45°，∴∠CDK＝∠ADC+∠ADK＝45°+45°＝90°，∴△CDK是直角三角形，∴CK＝＝＝，∴BD＝，故答案为：．24．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣4，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点P是抛物上第三象限内的一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ABCP的面积；（3）点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、B、C 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解析：解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣4，0）、B（3，0）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图，设点P的坐标为（m，m2+m﹣4），则﹣4＜m＜0，m2+m﹣4＜0．连接OP．＝S△AOP+S△COP+S△BOC∵S四边形ABCP＝×4（﹣m2﹣m+4）+×4（﹣m）+×4×3＝﹣m2﹣m+14＝﹣（m+2）2+，∴当m＝﹣2时，四边形ABCP的面积最大，最大值为，此时点P的坐标为（﹣2，﹣）；（3）存在这样的点M、N，能够使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°，∴BC＝＝5．设M点的坐标为（﹣，y），分两种情况讨论：（i）以BC为边长时，如果四边形CBMN是菱形，那么BM＝BC，即（3+）2+y2＝25，解得y＝±，即存在M（﹣，）或（﹣，﹣），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；如果四边形BCMN是菱形，那么CM＝BC，即（0+）2+（y+4）2＝25，整理，得4y2+32y﹣35＝0，解得y＝﹣4±，即存在M（﹣，﹣4+）或（﹣，﹣4﹣），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；（ii）以BC为对角线时，四边形MCNB是菱形，则BM＝CM，即（3+）2+y2＝（0+）2+（y+4）2，解得y＝﹣，即存在M（﹣，﹣），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；综上可知，存在这样的点M、N，使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，此时点M的坐标为：M1（﹣，），M2（﹣，﹣4+），M3（﹣，﹣），M4（﹣，﹣4﹣），M5（﹣，﹣）．18。