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第二讲 函数（二）一、函数的图象1，图象的变换 （1）平移变换①函数(),y f x a =+的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向右（0a >）或向右（0a <）平移||a 个单位得到的；②函数)0(,)(<+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿y x f y )(=向上（0a >）或向下（0a <）平个单位得到的移a 。
（2）对称变换①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
③如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有=+)(a x f )(a x f -，那么)(x f y = 的图象关于直线a x =对称。
④设函数y=f(x)的定义域为R ，满足条件f(a+x)=f(b －x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=2ba +对称。
（3）伸缩变换①)0(),(>=a x af y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(>a 或缩短)10(<<a 到原来的a 倍。
②)0(),(>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的横坐标伸长)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a1倍。
例1.将下列变换的结果填在横线上： （1）将函数xy -=3的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象；（2）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数 的图象；（3）将函数3)2(-=x y 的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图象. 解析：（1）关键是答案为23--=x y ，还是)2(3--=x y ，可以取一个点检验，将函数xy -=3的图象向右平移2个单位后点（－1，3）变为（1，3），故答案为)2(3--=x y ，即xy -=23（2）关键是答案为)213(log 2+-=x y ，还是]1)2(3[log 2-+=x y ，注意到)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位后（1，1）变为点（－1，1），所以后者正确，故答案为)53(log 2+=x y ；（3）函数3)2(-=x y 的图象经过变换后，点（3，0）变为（9，1），故答案为3)131(-=x y .评析：总结上述解答，应该明白一个函数)(x f 的图象的各种变换都是针对基本变量x （或y ）进行的，所以变换后发生的变化都应该紧随着变量x （或y ）的后面，应认真总结这些经验.注意，函数图象变换的规律也可以应用到曲线方程表示的图形的变换. 例2.已知函数,1-=x xy 给出下列三个命题中正确命题的序号是 ①函数的图象关于点（1，1）对称； ②函数的图象关于直线x y -=2对称； ③将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数xy 1=重合. .答案：①、②、③.（提示：111y x =+-） 例3．将奇函数)(x f y =的图象沿着x 轴的正方向平移2个单位得到图象C ，图象D 与C 关于原点对称，则D对应的函数是（ ）A ．)2(--=x f yB ．)2(-=x f yC ．)2(+-=x f yD ．)2(+=x f y答案D ．（提示：)2()2()(---=⇒-=⇒=x f y x f y x f y ，即).2(+=x f y例4．已知f(x+199)=4x 2＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．分析：由f(x ＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由2214434()22y x x x =++=++，立即求得f(x)的最小值即f(x ＋199)的最小值是2． 2.利用图象解决函数问题熟练掌握函数图象的有关知识是学习函数以及解决函数问题的重要基本技能，在学习时要抓住下面两个要点：（1）学习函数图象的最基本的能力是熟练掌握所学过的基本初等函数（如正、反比例函数，二次函数，指数、对数函数，三角函数）的图象；（2）“数形结合”是一种很重要的数学方法，在解决许多函数、方程、不等式及其它与函数有关的问题时，常常运用“数形结合”的方法解答问题或帮助分析问题，运用“数形结合”解答问题需要有下述能力与经验：1）必须有能力准确把握问题呈现的全部图象特征；2）必须能够列出等价的数学式子表达问题的图象特征。
高中数学第二章函数2.2 函数的简单性质素材苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章函数2.2 函数的简单性质素材苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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函数的简单性质若函数f （z)在点0z 的ε邻域内点点可导，则称在点0z 解析；若函数在区域D 内点点可导，则称f （z ）在区域D 内解析；若f(z ）在包含 D 的某个开区域解析，则称在闭区域 D 中解析。
函数f （z ）在区域D(或点z ）解析的充要条件:在区域D(或点z 的ε邻域）内各点u （x ，y)和v （x ，y)可微并满足C －R 条件。
解析函数作为复变函数的主要研究对象,它具有多种性质，像其共轭性、调和性、保角性等微分性质及积分性质等.1. 微分性质:x y y x v u v u -==,。
具体表现为共轭性、调和性、保角性1.1共轭性解析函数的实部和虚部通过柯西—黎曼条件互相联系，并不独立。
若给定解析函数w=f(z ）在某点 000iY X Z +=的值f （0z )=i v u 00+,则可由v （x,y ）求u(x,y ）或由u （x ，y)求v(x ，y)，进而求出w=f(z ）。
1。
2调和性二维拉普拉斯方程02=∇，在区域D 内f （z ）=u(x,y)+iv(x ，y ）的实部和虚部都是调和函数。
1。
3保角性映射前后两切线的夹角是相等的。
2. 积分性质：主要包括柯西定理、柯西公式、高阶导数公式和最大模定理等2.1柯西定理单通区域的柯西定理：若f （z ）在单通区域D 内解析，则f （z ）在D 内的积分与路径无关；复通区域的柯西定理：若f(z ）在闭复通区域D 中解析，则f （z)沿所有边界线正方向积分之和为零。
同步检测训练一、选择题1. (2009武汉市4月调研)函数f(x) = . 1 — Inx 的定义域为( )A . (e ,+^ )B . [e ,+s )C . (0, e]D . ( — 3 e]答案：C解析：由1 — lnx > 0得0<x W e.故选C.2. (2009湖北省华师4月模拟)函数y = . x(x + 1)+> x + 1的定义域为( )A . {x|x >0}B . {x|x >— 1}C . {x|x > 0} U { — 1}D . {x|— 1< x w 0} 答案：Cx(x + 1) > 0解析：依题意得，由此解得x > 0或x =— 1，选C.x + 1> 0A . — 1B . 1C . 2D . 4答案：B Iog 2|x|(x<0)f(x)= v (x >0) , f( — 1) = Iog 2|— 1|= 0, f(0) = 20= 1，所以 f(f(— 1))2 (x 卩 0)的值为1,选择B. 14. (2009 郑州市一测)已知函数 f(x) = alog 2x + blog 3x + 2 且 f( ) = 4,则 f(2008)的值为 2008 ( )A . — 4B .— 2C . 0D . 2答案：C1 1 1解析：依题意得，f (2008)+ f(2008) = (alog 22008 + blog 3^^ + 2) + (alog 22008 + blog 32008 + 2) = 4,即即 4 + f(2008) = 4, 故 f(2008) = 0，选 C.5. (2008西安地区八校联考)2005年10月27日，全国人大通过了关于修改个人所得税 法的决定，工薪所得减除费用标准从 800元提高到1600元，也就是说原来收入超过 800元的 部分要纳税，2006年1月1日开始超过1600元的部分才纳税，则税法修改前后部分的税率 相同，具体见下表：如果某人2005年9月交纳个人所得税123元，那么按照新税法，他只需交税 ( )A . 23 元B . 33 元C . 43 元D . 53 元答案：C解析：设此人的税前收入是 x 元，因此由题意得 500X 5% + (x — 800 — 500) X 10% = 123,由此解得x = 2280，因此按照新税法，他只需交税500 X 5% + (2280 — 1600 — 500) X 10% =43 元，选C.3. (2009郑州市二测)已知函数f(x)= Iog 2|x|(x<0) 2x (x > 0)，则f(f( — 1))的值为(解析: 依题意,x _ 16. (2009湖北重点中学联考)函数f(x) = 9尹二4的定义域为()A . {x|_ 2<x<1}B . {x|x< _ 2 或x>1}C. {x|x>2}D . {x|_ 2<x<1 或x>2}答案：Dx —1由>0? (x_ 1)(x_ 2)(x+ 2)>0，解得：x>2 或一2<x<1，故选 D. x2_ 447. (2009西安地区八校联考)已知函数f(x) = |x^2_ 1的定义域是［a, b］(a, b€ Z)，值域是［0,1］，则满足条件的整数数对(a, b)共有()A . 2个C. 6个答案：BB. 5个D.无数个4解析：求解0W _K 1,得到凶W2,所以[0,2]、[_ 2,1]、[_ 1,2]、[_ 2,0卜[_2,2]|x汁2五个区间即可满足要求，故选 B.8. (2008成都市一模)若函数f(x)的定义域为{x|x>|}，则函数f(1)的定义域为()1A . {x|x>2}1戸B . {x|x<2且X M 0}C. {x|x>2} U {x|x<0}D . {x|0<x<2}答案：D二、填空题9. (2009重庆第一次调研理)定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x_ 1)= f(x+ 1).当x€ [2,3]时,f(x) = x,则x€ [ _ 2,0]时，f(x)= .答案：x+ 4, x€ [ _ 2,_ 1]2 _ x, x€ [ _ 1, 0]解析：•/ f(x_ 1)= f(x+ 1),••• f(x)= f(x+ 2) = f(x + 4).设x€ [ _ 2, _ 1]，则x+ 4€ [2,3].• x€ [_ 2,_ 1]时，f(x)= f(x+ 4) = x+ 4. 又f(x)= f(x+ 2)且f(x) = f( _ x),• f(_ x)= f(x+ 2)，即f(x) = f(2 _ x).设x€ [ _ 1,0]时，2 _ x€ [2,3],• x€ [_ 1,0]时，f(x)= f(2_x) = 2_x.x+ 4, x€ [ _2,_ 1]• x€ [ _ 2,0]时，f(x) =2_ x, x€ [ _ 1, 0]10. ________________________________________________________________________ 已知a, b 为常数，若f(x) = x2+ 4x+ 3, f(ax+ b) = x2+ 10x+ 24,则5a_ b = ___________________ 答案：2解析：由f(x) = x2+ 4x+ 3, f(ax+ b) = x2+ 10x+ 24,得解析:(ax + b)2+ 4(ax + b) + 3= x 2 + 10x + 24, 即 a 2x 2 + 2abx + b 2+ 4ax + 4b + 3= x 2 + 10x + 24.a 2= 1,比较系数得 2ab + 4a = 10,b 2+ 4b + 3 = 24,求得 a =— 1, b =— 7,或 a = 1, b = 3,贝V 5a — b = 2. 111.设函数 f(x)= log a x(a>0, 1)，函数 g(x) = — x 2 + bx + c 且f(2 + - 2) — f( 2+ 1) = ,g(x)的图象过点 A(4, — 5)及 B(— 2, — 5),则 a = 答案：2, (—1,3)1解析：由 f(2+ '2) — f( 2+ 1) = $ 得又g(x)的图象过点(4,— 5)及(—2, — 5),••• — 16+ 4b + c =— 5 且—4 — 2b + c =— 5, 解得 b = 2, c = 3. • f[g(x)] = log 2( — x 2+ 2x + 3). 由一x 2+ 2x + 3>0 得一1<x<3. 三、解答题lg( x 2 — 2x)12. (1)求函数f(x)= — -的定义域；⑵已知函数f(2x )的定义域是［—1,1］，求f(log 2x)的定义域. 解：(1)要使函数有意义，则只需要： x 2 — 2x>0x>2 或 x<0 ，即29 — x >0— 3< x<3解得—3<x<0 或 2<x<3.故函数的定义域是(—3,0) U (2,3). (2) •/ y = f(2x )的定义域是[—1,1],1即一K x w 1, • 2^ 2x < 2.、， 1•函数 y = f(log 2x)中 2三 log 2x < 2. 即 log 2 .'2w Iog 2x w log 24, • .'2 w x < 4. 故函数f(log 2x)的定义域为[.2, 4].13. 已知函数 f(x)对任意的实数 x , y 都有 f(x + y) = f(x) + f(y) + 2y(x + y) + 1，且 f(1) = 1. (1)若x € N ，试求f(x)的表达式；⑵若x € N 且x >2时，不等式f(x)》(a + 7)x — (a + 10)恒成立，求实数 a 的取值范围. 解：(1)令 y = 1，则 f(x + 1) = f(x) + f(1) + 2(x + 1) + 1, • f(x + 1) — f(x) = 2x + 4.•••当 x € N 时，有 f(2) — f(1)= 2X 1 + 4, f(3) — f(2) = 2X 2+ 4, f(4) — f(3) = 2X 3+ 4,…, f(x) — f(x — 1) = 2(x — 1) + 4;将上面各式相加得：f(x) = x 2 + 3x — 3(x € N ). (2) •/ 当 x € N 且 x >2 时，f(x)= x 2 + 3x — 3,；函数f ［g(x)］的定义域为 _______log a,2(.2+ 1)1 1 c2log a 2 = 2,二 a = 2.•••不等式 f(x) > (a + 7)x — (a + 10)恒成立，即为当 x € N ，且 x >2 时不等式 x 2 + 3x — 3> (a + 7)x — (a + 10)恒成立，即 x 2— 4x + 7> a(x —1)恒成立.x 2 — 4x + 7•/ x >2, • > a 恒成立.x — 1x 2 — 4x + 7 4 4 又 =(x — 1) + —— —2>2(当且仅当x — 1 = ——即x = 3时取).x — 1 x — 1 x — 1 x 2 — 4x + 7 二 的最小值是2,故a <2.x — 114. (2009重庆一测)某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份 0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份•设每天从报社买进的报纸的数 量相同，则应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？并计算该销售点 一个月最多可赚得多少元？解：设每天应从报社买进 x 份报纸，易知250< x < 400. 设每月赚得y 元，则y = 0.5 x20 + 0.5X 250X 10 + (x — 250) X 0.08X 10 — 0.35 x30 = 0.3x + 1050(250 < x w 400),易知当 x = 400 时，y max = 120 + 1050= 1170.故应该每天从报社买进 400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，该销售点一个月最 多可赚得1170元.15. (2008荆州中学)已知定义域为 R 的二次函数f(x)的最小值为0且有f(1 + x)= f(1 — x), 直线g(x)= 4(x — 1)被f(x)的图象截得的弦长为 4,17，数列｛a n ｝满足a 1= 2, (a n +1 — a n ) g(a n ) + f(a n )= 0(n € N *).(1) 求函数f(x);(2) 求数列｛a n ｝的通项公式；(3) 设b n = 3f(a n ) — g(a n +1),求数列｛b n ｝的最值及相应的 n. 解：(1)设 f(x)= a(x — 1)2(a>0),4 16则直线g(x)= 4(x — 1)与 y = f(x)图象的两个交点为(1,0), - + 1，:, a a:4 2+ T 2=417(a >0),• a = 1, f(x)= (x — 1)2.(2)f(a n ) = (a n — 1)2, g(a n )= 4(a n — 1),• (a n + 1 — a n ) 4(a n — 1) + (a n — 1)2 = 0 ,• (a n —1)(4 a n +1 — 3a n — 1) = 0.-a 1= 2, • a n M 1,4a n +1 — 3a n — 1 = 0,3数列｛a n — 1｝是首项为1,公比为:的等比数列,a 1— 1 = 1,3 n 2 3 n 2• a n- 1=4 n—2, a n= 4 n—1+ 1.⑶ b n= 3(a n—1)2—4(a n+1—1)3 3n —1 2 =3 4一 3 3n—1 =3 4令b n= y, u= y= 3 u— 2 2- 4 3n—4 42—3n—143 n—14 ，11 一3••• n € Z* u的值分别为1, 34.3 9 27 9 1…，经比较后距2最近，•••当n= 3时，b n有4 16' 64'最小值是189256'当n —1时，b n有最大值是0.0.。
