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ABCD 数学中的“特殊与一般”思想方法在数学学习的过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，经过证明后，成为一般性结论，又使用它们来解决相关的数学问题。
在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想的集中体现。
由特殊到一般、由一般到特殊的过程是认识事物的基本过程，数学也不例外。
所谓特殊与一般的思想包括两个方面：通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，再逐渐形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规律，形成公式，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，从实践到理论，这种认识事物的过程就是由特殊到一般的认识过程；在理论指导下，用已有的规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程就是由一般到特殊的认识过程。
由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程。
在数学高考中，对特殊与一般思想的考查方式主要有，利用一般的归纳法进行猜想；通过构造特殊函数、特殊数列、寻求特殊点、特殊位置关系；利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等。
高考特别注重利用选择题、填空题的特点，重点考查由特殊到一般的思想；利用解答题的严密性，重点考查由一般到特殊的思想，或综合考查特殊与一般的思想。
一．利用特殊情形判断一般性结论是否成立辩证法告诉我们：矛盾的一般性寓于特殊性之中。
相对于一般情形而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知。
解题时若能注意到问题的特殊性，进而分析考虑有无可能把待解决问题化归为某个特殊问题或极端情形，不仅是可行的，也是必要的。
例1．（2005年北京春季高考题）若不等式nnn a 1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A ),2[23-B ),2(23-C ),3[23-D ),3(23-解析：当n 为正奇数时，不等式为n a 12+<-，又221>+n，所以要使不等式对任意正奇数n 恒成立，应有2≤-a ，即2-≥a ；当n 为正偶数时，不等式为n a 12-<，又2312112,≥-≤nn ，所以要使不等式对任意正偶数n 恒成立，应有23<a 。
第四十讲特殊化与一般化特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时,从考虑一组给定的对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象．也就是为了解答一般问题,先求解特例,然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题．另外,特殊化、一般化和类比联想结合起来,更可以由此及彼地发现新命题、开拓新天地．1．特殊化、一般化和类比推广命题1在△ABC中,∠C=90°,CD是斜边上的高(图2-102),则有CD2=AD·BD．这是大家所熟知的直角三角形射影定理．类比命题1,如果CD是斜边上的中线,将怎样？由此得到命题2．命题2在△ABC中,∠C=90°, CD是斜边上的中线(图2-103),则有CD=AD=BD．这便是大家已经学过的直角三角形中的斜边中点定理(在此定理中仍保持CD2=AD·BD)．再类比,如果CD是∠C的平分线,将怎样？于是得到命题3．命题3在△ABC中,∠C=90°,CD是∠C的平分线(图2-104),则有这是一个新命题,证明如下.引DE⊥BC于E,DF⊥AC于F．因为所以我们把命题1、命题2、命题3一般化,考虑D点是AB上任一点,便产生了以下两个命题．命题4在△ABC中,∠C=90°,D是斜边AB上的任一内分点(图2-105),则有证引DF⊥AC于F,DE⊥BC于E．因为CD2-BD2＝CE2-BE2=(CE-BE)BC,而所以所以即命题5在△ABC中,∠C=90°,D是斜边AB上的任一外分点(图2—106),则有证只要令命题4之结论中AD为-AD,则有我们再把命题4和命题5特殊化,令D点与A点重合(即│AD│=0),那么无论是①式或②式都有AB2=BC2+AC2.这就是我们熟知的勾股定理．命题4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的,因此,它们也可称作广勾股定理．下面用命题4或命题5来证明以下定理．定理在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,a在c上的射影为n,时,取“-”号,∠B为钝角时,取“＋”号)．证我们仅利用命题4证图2-107中的情况(∠B＜90°)．为此,我们作图2-109,其中∠DBA=90°,CD=x,CE⊥DB于E,并设CE=n．由命题4,立得得所以b2=a2+c2-2cn．同理可证图2-108(∠B＞90°)的相应结论．2．特殊化、一般化在解题中的应用例1设x,y,z,w为四个互不相等的实数,并且求证:x2y2z2w2=1分析与解我们先考虑一个特例,只取两个不同实数,简化原来命(1)求证这个特殊化的辅助问题就容易多了．事实上,因为又因为到原命题,由容易想到变形去分母变形为①×②×③×④,并约去(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)(利用x,y,z,w互不相等)就得到x2y2z2w2=1.例2设凸四边形O1O2O3O4的周长为l,以顶点O1,O2,O3,O4为圆心作四个半径为R 的圆轮．如果带动四个圆轮转动的皮带长为s,求s的长度(图2-110)．解(1)先解一个特例(图2-111)．设只有两个圆轮⊙O1,⊙O2,2│O1O2│=l＇．显然,带动两轮转动的皮带长度为s=l＇+2πR．(2)再回到原题,我们猜想:s=l＋2πR．以下证实这个猜想是正确的．为此,设皮带s与各圆轮接触的四个弧为由于它们是等圆上的弧,因此,只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可．事实上,引O1A＇3∥O2A3,由于O1A1∥O2A2,所以∠A1O1A＇O1为圆心,以R为半径的圆．因此,四圆弧之长为2πR．又因为O1O2=A1A2,O2O3=A3A4,O3O4=A5A6,O1O4=A7A8,所以l＝A1A2＋A3A4＋A5A6＋A7A8．所以,所求皮带长为s=l＋2πR．例3设a1,a2,…,a n都是正数．试证:证欲证①成立,先考虑最简单的情形,设n=3,即证把②变形为即证由于④中左边有(a1-a2),(a2-a3),(a3-a1),其和为零,因此,我们猜想:若④式左边相加,其和不小于(a1-a2),(a2-a3),(a3-a1)之和即可．为此,我们证更简单的事实．设a,b是任意正整数,则有事实上,由(a-b)2≥0有a2-ab≥ab-b2,根据⑤,④显然成立,因为≥(a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a1)≥0,从而③式成立,②式成立．剩下来的工作是把②式推到一般情形①,这是很容易的．因为根据⑤,①式必然成立,因为练习十九1．如图2-112．已知由平行四边形ABCD各顶点向形外一条直线l作垂线,设垂足分别为A＇,B＇,C＇,D＇．求证:＇A＋B＇B=C＇C＋D＇D．2．在上题中,如果移动直线l,使它与四边形ABCD的位置关系相对变动得更特殊一些(如l过A,或l交AB,BC等),那么,相应地结论会有什么变化？试作出你的猜想和证明．3．在题1中,如果考虑直线l和平行四边形更一般的关系(如平行四边形变成圆,或某一中心对称图形,垂线AA＇,BB＇,CC＇,DD＇只保持平行等),那么又有什么结论,试作出你的猜想和证明．4．如果△ABC的周长为40米(m),以A,B,C三点为圆心,作三个半径为1米的圆轮,带动圆轮转动的皮带长为l,试求l的长度．。
用“一般问题特殊化思想方法”指导解题什么叫一般问题特殊化法？ 选取符合题意的特殊值、特殊向量、特殊数列、特殊方程、不等式或函数、特殊点和特殊图形，代入或者对比选项来确定答案。
这种方法叫做一般问题特殊化法，或叫特值代验法，是一种使用频率很高的方法。
下面就几类题型来说明它的独到之处。
（1）特殊值1.在∆ABC 中，角A ．B ．C 所对的边分别为a ．b ．c ，如果a ．b ．c 成等差数列，则=++CA CA cos cos 1cos cos。
解法一：取特殊值a ＝3, b ＝4, c ＝5 ,则cosA ＝,54cosC ＝0, =++C A C A cos cos 1cos cos 45． 解法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝600cosA ＝cosC ＝21,=++C A C A cos cos 1cos cos 45．2.求值=++++)240(cos )120(cos cos 222a a a 。
分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令 0=a ，得结果为23。
（2）特殊向量3.（2011年东城一模4）已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足→→→→=++0PC PB PA ， 且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为（ B ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 注：提供三种方法给大家。
解法1：（向量加法的几何意义）→→→→→→→→→=-+=+++=+P 3)A (P 2)PC P ()PB P (C B A P A A A A A 故m =3.解法2：（特殊化思想方法）画图以P 为坐标原点，建立平面直角坐标系，并令)0,1(A =→P ，)1,0(PB =→，故)1,1(PC --=→。
然后求出→→+C B A A 的坐标（-3，0）及→P A 的坐标（-1，0）。
解法3：画三个向量，相互间的夹角为120度。
4．（2010年西城二模理）设,,a b c 为单位向量，,a b 的夹角为60，则()++⋅a b c c 的最大值为___ __.1。
第五讲 特殊与一般的思想1、由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一. 数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程就是数学研究中特殊与一般的思想.2、由特殊到一般的思想的运用水平，能反映出考生的数学素养和一般能力，所以考查特殊与一般的思想在高考中占有重要位置. 在高考中，有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题，突出体现了特殊化方法的意义与作用. 如通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊位置，利用特殊值、特殊方程等方法解决一般问题、抽象问题、运动变化问题、不确定问题等等. 一、取特殊数值例1、若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈有()()()12121f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是（ ）A.()f x 为奇函数B.()f x 为偶函数C.()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数例2、若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是 A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12例3、已知)(x f 对一切实数y x ,都有()()()f x y f x f y +=+，且当x ＞0时，)(x f ＜0（1）证明)(x f 为奇函数且是R 上的减函数；（2）若关于x 的不等式22[cos ()][sin ()]()66f x f x f m ππ+-+<对一切0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的取值范围；（3）如果(1)1f =-，()n a f n =-，记数列{}1n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和的前n 项和分别为T n n S 和，求证2n nn S T > (1)n >二、取特殊函数例4、定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)1f =，则(3)f -等于（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9例5、如果函数y ＝sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =8π-。
、特殊与一般的思想和其它方法对比解析1．什么是特殊化思想对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.2．什么是一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.【例1】设三棱柱111ABC A B C -的体积为,,V P Q 分别是侧棱11,AA CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为 （Ａ）16V （Ｂ）14V （Ｃ）13V （Ｄ）12V【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算.方法一 常规方法如图2-18,因为1PA QC =，所以PQ 将三棱柱的侧面11AAC C 分成面积相等的两个梯形，从而11B APQC B PA C Q V V --=.又1111133B A B C V V V -==柱体，且三棱柱111ABC A B C -被分成两个四棱锥B APQC -与11B PA C Q -以及三棱锥111B A B C -三部分，所以13B APQC V V -=. 方法二 特殊化的方法. 仔细分析题目的已知条件会发现，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；侧棱11,AA CC 上的两点,P Q 只有1PA QC =的要求，而没有具体位置的限制.从选项来看，所求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定，用特殊化方法求解本题可以体现出快捷的特点.首先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱，其次还可以将点,P Q 分别为11,AA CC 的中点；也可以使点P 趋近于点A ，点Q 趋近于点1C ，即使10PA QC =→，使四棱锥特殊化为三棱锥，实际上，这种处理方法也包含有极限的思想.经过特殊化处理后，再求解几何体的体积就要简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想，用特殊的方法来解决一般的问题.A B C A 1B 1C 1P Q【例2】已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -= （Ａ）b （Ｂ）b - （Ｃ）1b （Ｄ）1b- 【分析及解】为了说明本题所体现的出来的数学思想方法，我们先来看解决本题的三种方法. 方法一 常规方法本题所研究的函数是确定的，其函数解析式已知且不含有参数.如果把,a b 看成是两个用字母表示的数，则它们也是确定的，已知的.于是由()f a b =，得1lg 1a b a-=+.又1()lg1a f a a+-=-，那么为求得()f a -的值，实际上就是求1lg 1a a +-怎样用关于b 的解析式来表示，就是求1lg 1a a +-与1lg 1a a-+的关系.到此，不难发现，有1111lg lg()lg 111a a a a a a -+--==--++，于是()f a b -=-. 方法二 一般化方法如果我们探究()f a 与()f a -的关系，产生猜想：如果()f x 是奇函数或偶函数，那么由()f a 的值求()f a -的值就会变得相当简单.()f x 具有奇偶性吗()f x 的定义域为{11}x x -<<，关于原点对称.在定义域内任取x 和x -有1111()()lg lg lg()lg101111x x x x f x f x x x x x-+-++-=+=⋅==+-+-. 所以()f x 是定义域()1,1-内的奇函数，于是()()f a f a b -=-=-.方法三 特殊化方法考虑到是选择题，,a b 是用字母表示的数，那么不妨取特殊值来进行研究.令12a =，则11112()lg lg lg312312fb -===-=+，那么1112()lg lg31212f b +-===--.比较四个选项后，便可得出，只有（Ｂ）成立.对于这样一个求函数值的常规问题，其解法中蕴涵着特殊与一般的思维方法.如果将方法一与方法二相比较，方法一是对具体函数、具体函数值的研究，可以认为是对特殊问题的特殊研究.而方法二则是研究这个具体函数的一个一般性质，只要函数()f x 是奇函数，无论其解析式是否为1lg 1a a-+，都有()()f a f a b -=-=-.这种研究问题的方法体现出的恰是由特殊到一般的思维方法.由特殊函数，研究它的一个性质，再由一般函数的性质，得出一般的结论.不过最终还要回到这个特殊函数上来，得出所求结果，又由一般回到了特殊.这种特殊 —— 一般 —— 特殊的研究过程是特殊与一般思想方法的一种思维模式.如果将方法一与方法三相比较，由于方法一中含有字母已知数，而方法三中则是将字母具体化、特殊化，研究它的一咱特殊情况.这种研究问题的方法体现出的恰是由一般到特殊的思维方法.将用字母表示的一般函数值的研究，转化为某个特殊数值的特殊函数值的研究.不过最终还要回到一般上来，利用“特殊情况下命题不成立，那么在含有这个特殊情况的一般情况下这个命题必定不成立”得出一般结论.这种一般 —— 特殊 —— 一般的研究过程是特殊与一般思想方法的又一种思维模式.可以认为，本例是体现特殊与一般思想方法的一个典型范例.二、特殊与一般的思想应用举例【例3】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=59S S （A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）21 分析：确定一个等差数列需要两个独立条件，而题设中只给出了一个条件，因此不能确定这个等差数列，也就不能求出它的各项，自然也就求不出95,S S 的值.可以另辟蹊径，构造一个符合条件的特殊数列解此问题.解：由已知条件9535=a a ，令9,535==a a ，得公差23595-=--=d ， 13)2(291=-⨯-=a ，求出45,4595==S S ，所以159=S S ，选（A ）. 评析：符合条件的等差数列有无穷多个，虽然95,S S 的值不确定，但是由选择项可知，59S S 的值是确定的，即不因95,S S 的变化而变化，因此可以通过构造符合条件的特殊数列得出结果，也就是一般性结果，体现了由特殊到一般的“先退后进”的数学思想.【例4】定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5（提示：取()sin f x x =）【例5】在△OAB 中，O 为坐标原点，),1,(sin ),cos ,1(θθB A ]2,0(πθ∈，则当△OAB 的面积达到最大值时，=θ（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π 分析：由已知，1sin 0,1cos 0≤<<≤θθ， 可以把△OAB 放在平面直角坐标系中边长为1的 一个正方形的内部（如图），即构造一个特殊的正 方形，使它与△OAB 之间建立关于面积大小的一种关系，在此思路下寻求题目中所求的θ值.解：在正方形ODEC 中，得)1,1(),0,1(),1,0(E D C ，所以AEB ODA OBC OAB S S S S ∆∆∆∆---=1θ2sin 4121-=， 由]2,0(πθ∈可知， 当θ2sin 取最小值0时，OAB S ∆取最大值21，此时2πθ=，选（D ）. 评析：本题解法的特殊化思想体现了特殊情境的构造，即通过条件，把△OAB 放在一个正方形的内部，在新的特殊情境之中发现解题思路并求出问题的解.【例6】若π02x <<，则下列命题正确的是（ ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3sin πx x > （提示：取4x π=，可排除A 、D ；取6x π=，可排除C ） 【例7】已知⎩⎨⎧+-=,log ,4)13()(x a x a x f a .1,1≥<x x 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （A ）)1,0( （B ）)31,0( （C ）)31,71[ （D ）)1,71[分析：已知函数)(x f 是一个分段函数，从形的方面看，)(x f 的图象由一条直线的一部分和对数曲线的一部分组成，由条件，图象从左到右应呈下降趋势，若采用由特殊到一般的思想求解，可以对a 赋特殊值，并检验是否符合题意. 解：取31=a ，得⎪⎩⎪⎨⎧=,log ,34)(31x x f .1,1≥<x x 如图， 显然，)(x f 在),(+∞-∞上不是减函数，可排除选项（A ），（D ）； D B Ayx C o E1 o y x再取91=a ，得⎪⎩⎪⎨⎧+-=,log ,9432)(91x x x f .1,1≥<x x 如图， 0)1()32(==f f ，即)(x f 在),(+∞-∞上不是减函数，可排除选项（B ），综上，选（C ）. 评析：求参数取值范围的选择题一般可考虑用特殊值方法求解，根据选择项对参数赋予适当的特殊值，再根据题设条件进行检验.究竟对参数赋予哪些特殊值，通常要结合参数所在的数学式中的位置及相应的数学概念等来考虑，这种特殊化的思想在解此类问题时往往是行之有效的.【例8】在数列{}n a 中，2,121==a a ，且n n n a a )1(12-+=-+，*)(N n ∈，则=100S _____________.分析：可以考虑先求n S 或n S 2，再求100S ，这里采用先求n S 2的方法.解：由n n n a a )1(12-+=-+，得111)1(1--+-+=-n n n a a )2(≥n ，两式相加得2)()(121=+-+-++n n n n a a a a )2(≥n ，而2,121==a a ，得)()()(21243212n n n a a a a a a S ++++++=-)2(2)]12(3[)12(53+=++=++++=n n n n n ， 所以，26005250100=⨯=S . 评析：本题的解法采用的是一般化的思想，即把待求的100S 这一特殊值放在一般的n S 2中加以研究，正是因为一般性中蕴涵着特殊性，能使我们从该数列的本质特征入手，“先进后退”的解决了问题.【例9】．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…… ………………………………………【例10】若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）1 o yxA ．1a <-B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥（提示：取1a =±）【例11】两个相同的正四棱锥组成如图（1）所示的几何体，可放入棱长为1的正方体图（2）内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个分析：由已知，图（1）所示的几何体体积由正四棱锥的底面正方形的面积决定，根据该底面与正方体的位置关系，可考虑用一个特殊的平面衬托该底面，以此分析它与正方体的面的关系及该底面的面积情况.解：把图（1）所示的几何体放入棱长为1的正方体图（2）内，沿正四棱锥的底面所在平面将正方体切开，截面如图（3）所示，由平面几何知识可知，一个正方形有无穷多个边长各不相等的内接小正方形，设其面积为S ，则图（1）所示的几何体体积等于S 31，选（D ）. 评析：本题解法的特殊化思想体现在选取一个特殊的位置，即特殊的截面，使正四棱锥的底面和正方体的面可以依托在此截面内，从而将空间问题转化为易于研究的平面问题，这里的特殊化起到了寻找转化途径的作用.【例12】在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数 【分析及解】由条件知()f x 是以2为周期的周期函数，取()cos f x x π=，求单调区间.令22k x k ππππ-≤≤，解得增函数区间为[]21,2k k -，取2k =，得增区间[34]，； 令22k x k ππππ≤≤+，解得减函数区间为[]2,21k k +，取1k =-，得减区间[21]--，；从而选C.图（3）图（2） 图（1）【例13】（07上海）．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111p q n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ）A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 【分析及解】取1,2p q ==，得从而选C.【例14】（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、… 堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f __________ ；=)(n f __________（答案用n 表示）.…分析：通过观察与计算，得出 )4(),3(),2(),1(f f f f ，然后归纳探求其内在的变化规律，猜想出结论的一般形式，并给出证明.解：1)1(=f ，654310)2(6)3(,64324)1(3)2(⨯⨯==+=⨯⨯==+=f f f f ， 665420)3(10)4(⨯⨯==+=f f ，下一堆球的个数等于其第一层球的个数与上一堆球的个数之和，而各堆第一层球的个数分别是 ,10,6,3,1，2)1(+n n ，于是可得676535)4(265)5(⨯⨯==+⨯=f f ，… ，)1(2)1()(-++=n f n n n f ， 猜想：6)2)(1()(++=n n n n f ，此命题可用数学归纳法证明（略）. 评析：归纳是通过对某类事物中的若干特殊情形分析得出一般结论的思维方法，本题的核心就是由特殊的)4(),3(),2(),1(f f f f 得到一般的6)2)(1()(++=n n n n f ，其主要意义是它的猜测发现，其重要作用是启发解决问题的思路.【例15】（2006年浙江卷）如图，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________________.分析：为了解决此问题，可考虑平面几何中与此类同的问题：求边长为1的正三角形上的所α D C B A有点在一条直线上的射影构成的线段长的取值范围.从解决平面问题的方法中得到解决立体问题的思路.解：在上述平面几何问题中，让正三角形绕其一个顶点旋转，如图，当正三角形的一条边平行于直线a 时，在直线a 上的射影为正三角形的边，是最大射影长为1；当正三角形的一条边垂直于直线a 时（图中b a ⊥），在直线a 上的射影为正三角形的高，是 最小射影长为23（证明略），得射影的取值范围是]1,23[. 有了平面几何问题的结论和已知棱AB ∥平面α，可类比得到立体几何问题的结论：当正四面体ABCD 的棱CD ∥α时，可得正四面体在α内的射影最大面积，是对角线长为1（正四面体的棱长）的正方形的面积等于21，当α⊥CD 时，可得正四面体在α内的射影最小面积，是底边长为1（正四面体的棱长）且对应高为22（对棱CD AB ,间的距离）的三角形的面积等于42，由此可得所求射影图形面积的取值范围是]21,42[（射影图及证明略）. 评析：本题的解法采用了由特殊（平面）到一般（空间）的类比方法，关键是从联想的角度先考虑平面几何中的类似问题（相对容易一些），从中挖掘出立体几何中相关问题的突破点，也为充分发挥空间想象能力提供重要线索.四、复习建议1．明确特殊化思想的特点特殊情形相对一般情形而言是比较简单、直观和具体的，因而常常易于找出特殊情形的解答，而且普遍性存在于特殊性之中，一些特殊情形的解答过程常常蕴含着一般问题的解法途径或思路，因此，特殊化思想是探索一般性问题的解题途径的重要思想之一.2．明确一般化思想的特点从一般性问题入手，可以使我们的视野更为广阔，避免在枝节问题上纠缠，容易触及问题的本质.同时，由于限制条件减少，涉及范围增大，更容易引起联想，发现各种条件与结论之间的内在联系.因此，从一般到特殊，是人们认识事物的另一个重要侧面，它与从特殊到一般是相辅相成、和谐统一的两个方面.3．注意与其他数学思想方法的联合运用在同一道题中，有时需要运用多种数学思想方法，因此复习时要全面复习高中阶段的重要数学思想方法，不能重此轻彼，复习时要注意这一点.4．能适时正确的选用 1a b要清楚特殊与一般的数学思想方法的适用条件，如特殊化处理的可行性，有时虽然能用特殊化思想解答，但是比起其他方法未必是最佳解法.另外在解答题中，由于需要写出解答过程，因此对于一般性的结论，要防止用特殊代替一般的解答等.。
5. 特殊与一般的思想由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一，对数学而言，这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研究的特殊与一般的思想.在高考中,会有意设计一些能集中体现特殊与一般的思想的试题,例如: (1) 由一般归纳法进行猜想的试题;(2) 由平面到立体,由特殊到一般进行类比猜想的试题; (3) 抽象函数问题; （4）定点,定值问题;(5) 用特殊化方法解选择题等.【分析及解】本题可以直接通过解不等式得到答案，也可以通过特殊化方法和估算求解，首先由集合B 可知，3-≠x ，因而排除(C)， 再由B x ∉-=2，又可排除(A)，(B)，于是选(D).【分析及解】本题是一道抽象集合问题,直接求解有困难,但可以用特殊化策略解决问题.可以构造特例,例如设=1S {}{}{}4,2,3,2,2,132==S S ,则{}{},4,3,4,3,2,11==S C I I {}4,12=S C I , {}3,13=S C I ,经简单的计算,就可以排除(A),(B),(D).而由选择题的四选一的要求,可选(C).123S S =∅（）)23IS123II S S =∅? )23IS1n a x -+++次加法），那么计算【分析及解】本题给出了一个求特殊的多项式的值的算法的运算次数的示范,要求归纳出求一般的多项式的值的运算的次数,这是对特殊与一般的思想和归纳抽象能力的考查.第一种算法, 计算0()n P x 的值共需要n n n +++-+1)1( 次运算,即()23+n n 次运算;第二种算法, 计算0()n P x 的值可以采用递推的方法.设计算0()n P x 的值的次数为n b ,则21+=-n n b b ,由{}n b 是等差数列及21=b 可得n b n 2=.【分析及解】解法一： （I ）;22111,111=-==b a 故 ;3821871,8722=-==b a 故.320,2013;421431,434433===-==b a b a 故故（II ）因231)34(3832)34)(34(=⨯=--b b ，2231222)34()34)(34(,)34()34(-=--=-b b b b故猜想.2,32}34{的等比数列公比是首项为=-q b n因2≠n a ，（否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾）,034,3436162038212)34(2,36162034368163421134).1(8162511111≠--=--=--=---=---=--=-≥-+=++++b b a a a b a a a a a b n a aa n n n n n n nn n n n n n 因故故2|34|=-q b n 确是公比为的等比数列. n n b b 23134,32341⋅=-=-故因, )1(34231≥+⋅=n b n n,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++= 2211故)152(313521)21(31)(2121-+=+--=++++=n n n b b b n n n 解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）2342312)34(3832,38,34,32=⨯=-=-=-b b b b b b 因此故又因的等比数列公比是首项为猜想).1(81625,2231,2,32}{111≥-+=≠⋅=-=-+++n a a a a b b q b b nnn n nn n n n1222181625121121111----+=---=-++n n n n n n n a a a a a b b;3681036636816--=----=n n n n n a a a a a3681636816211211111212-----=---=-++++++n n n n n n n n a a a a a a b b).(2361620368163624361n n n n n n n n b b a a a a a a -=--=-----=+,231,2}{,0321112n n n n n b b q b b b b ⋅=-=-≠=-++的等比数列是公比因从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---nn n n n n n n n n n n b a b a b a S b b a a b n +++=+=-=≥+⋅=+-=++++=-- 2211121,121211).1(342312)22(312)222(31故得由n b b b n ++++=)(2121 ).152(313521)21(31-+=+--=n nn n。
“特殊与一般”思想的应用江苏省姜堰中学 张圣官（225500）在数学学习的过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，经过证明后，成为一般性结论，又使用它们来解决相关的数学问题。
在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想的集中体现。
由特殊到一般、由一般到特殊的过程是认识事物的基本过程，数学也不例外。
所谓特殊与一般的思想包括两个方面：通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，再逐渐形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规律，形成公式，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，从实践到理论，这种认识事物的过程就是由特殊到一般的认识过程；在理论指导下，用已有的规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程就是由一般到特殊的认识过程。
由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程。
在数学高考中，对特殊与一般思想的考查方式主要有，利用一般的归纳法进行猜想；通过构造特殊函数、特殊数列、寻求特殊点、特殊位置关系；利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等。
高考特别注重利用选择题、填空题的特点，重点考查由特殊到一般的思想；利用解答题的严密性，重点考查由一般到特殊的思想，或综合考查特殊与一般的思想。
一．利用特殊情形判断一般性结论是否成立相对于一般情形而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知。
解题时若能注意到问题的特殊性，进而分析考虑有无可能把待解决问题化归为某个特殊问题或极端情形，不仅是可行的，也是必要的。
例1．（2004年天津高考题）已知数列{}n a ，那么“对任意*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“{}n a 为等差数列”的（ ）A 必要而不充分条件B 充分而不必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析：如果对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上，那么12+=n a n ，因为21=-+n n a a ，所以{}n a 为等差数列；另一方面，设n a n 2=，则{}n a 为等差数列，但122+≠n n ，即12+≠n a n ，所以点),(n n a n P 不都在直线12+=x y 上。
特殊与一般学案人们对一类新事物的认识往往是从这类事物中的个体开始的.通过对某些个例的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，逐渐形成对这类事物总体的认识，发现特点，掌握规律，形成共识，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，由实践到理论，这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程.但这并不是目的，还需要用理论指导实践，用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程.于是这种由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程之一.数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程，就是数学研究中的特殊与一般的思想.在教学过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来，证明后，又使用它们来解决相关的数学问题，在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想方法的集中体现，既然它是教学中经常使用的数学思想方法，那么也必然成为高考考查的重点.在高考中，会有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题.我们曾设计过利用一般归纳法进行猜想的试题;还着重体现选择题的特点，考查特殊与一般的思想方法，突出体现特殊化方法的意义与作用.通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点，确定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等.随着新教材的全面实施，高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般的思想必然成为今后命题改革的方向.特殊与一般的思想一、特殊与一般的思想和其它方法对比解析1．什么是特殊化思想对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.2．什么是一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.【例1】（０５）设三棱柱111ABC A B C -的体积为,,V P Q 分别是侧棱11,AA CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为 （Ａ）16V （Ｂ）14V （Ｃ）13V （Ｄ）12V 【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算. 方法一 常规方法 如图2-18,因为1PA QC =，所以PQ 将三棱柱的侧面11AAC C 分成面积相等的ABC A 1B 1C 1PQ两个梯形，从而11B APQC B PA C Q V V --=.又1111133B A B C V V V -==柱体，且三棱柱111ABC A B C -被分成两个四棱锥B APQC -与11B PAC Q -以及三棱锥111B A B C -三部分，所以13B APQC V V -=.方法二 特殊化的方法.仔细分析题目的已知条件会发现，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；侧棱11,AA CC 上的两点,P Q 只有1PA QC =的要求，而没有具体位置的限制.从选项来看，所求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定，用特殊化方法求解本题可以体现出快捷的特点.首先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱，其次还可以将点,P Q 分别为11,AA CC 的中点；也可以使点P 趋近于点A ，点Q 趋近于点1C ，即使10PA QC =→，使四棱锥特殊化为三棱锥，实际上，这种处理方法也包含有极限的思想.经过特殊化处理后，再求解几何体的体积就要简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想，用特殊的方法来解决一般的问题.【例2】（04）已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -= （Ａ）b （Ｂ）b - （Ｃ）1b （Ｄ）1b- 【分析及解】为了说明本题所体现的出来的数学思想方法，我们先来看解决本题的三种方法.方法一 常规方法本题所研究的函数是确定的，其函数解析式已知且不含有参数.如果把,a b 看成是两个用字母表示的数，则它们也是确定的，已知的.于是由()f a b =，得1lg1a b a -=+.又1()lg 1a f a a+-=-，那么为求得()f a -的值，实际上就是求1lg 1a a +-怎样用关于b 的解析式来表示，就是求1lg 1a a +-与1lg 1a a-+的关系.到此，不难发现，有1111lg lg()lg 111a a a a a a -+--==--++，于是()f a b -=-. 方法二 一般化方法如果我们探究()f a 与()f a -的关系，产生猜想：如果()f x 是奇函数或偶函数，那么由()f a 的值求()f a -的值就会变得相当简单.()f x 具有奇偶性吗？()f x 的定义域为{11}x x -<<，关于原点对称.在定义域内任取x 和x -有1111()()lg lg lg()lg101111x x x x f x f x x x x x-+-++-=+=⋅==+-+-. 所以()f x 是定义域()1,1-内的奇函数，于是()()f a f a b -=-=-.方法三 特殊化方法考虑到是选择题，,a b 是用字母表示的数，那么不妨取特殊值来进行研究.令12a =，则11112()lg lg lg312312fb -===-=+，那么1112()lg lg31212f b +-===--.比较四个选项后，便可得出，只有（Ｂ）成立.对于这样一个求函数值的常规问题，其解法中蕴涵着特殊与一般的思维方法.如果将方法一与方法二相比较，方法一是对具体函数、具体函数值的研究，可以认为是对特殊问题的特殊研究.而方法二则是研究这个具体函数的一个一般性质，只要函数()f x 是奇函数，无论其解析式是否为1lg 1a a -+，都有()()f a f a b -=-=-.这种研究问题的方法体现出的恰是由特殊到一般的思维方法.由特殊函数，研究它的一个性质，再由一般函数的性质，得出一般的结论.不过最终还要回到这个特殊函数上来，得出所求结果，又由一般回到了特殊.这种特殊 —— 一般 —— 特殊的研究过程是特殊与一般思想方法的一种思维模式.如果将方法一与方法三相比较，由于方法一中含有字母已知数，而方法三中则是将字母具体化、特殊化，研究它的一咱特殊情况.这种研究问题的方法体现出的恰是由一般到特殊的思维方法.将用字母表示的一般函数值的研究，转化为某个特殊数值的特殊函数值的研究.不过最终还要回到一般上来，利用“特殊情况下命题不成立，那么在含有这个特殊情况的一般情况下这个命题必定不成立”得出一般结论.这种一般 —— 特殊 —— 一般的研究过程是特殊与一般思想方法的又一种思维模式.可以认为，本例是体现特殊与一般思想方法的一个典型范例.二、特殊与一般的思想应用举例【例3】 （04福建）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=59S S （A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）21 分析：确定一个等差数列需要两个独立条件，而题设中只给出了一个条件，因此不能确定这个等差数列，也就不能求出它的各项，自然也就求不出95,S S 的值.可以另辟蹊径，构造一个符合条件的特殊数列解此问题.解：由已知条件9535=a a ，令9,535==a a ，得公差23595-=--=d ， 13)2(291=-⨯-=a ，求出45,4595==S S ，所以159=S S ，选（A ）. 评析：符合条件的等差数列有无穷多个，虽然95,S S 的值不确定，但是由选择项可知，59S S 的值是确定的，即不因95,S S 的变化而变化，因此可以通过构造符合条件的特殊数列得出结果，也就是一般性结果，体现了由特殊到一般的“先退后进”的数学思想.【例4】（07安徽）．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5（提示：取()sin f x x =）【例5】（05江西）在△OAB 中，O 为坐标原点，),1,(sin ),cos ,1(θθB A ]2,0(πθ∈，则当△OAB 的面积达到最大值时，=θ（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π 分析：由已知，1sin 0,1cos 0≤<<≤θθ， 可以把△OAB 放在平面直角坐标系中边长为1的 一个正方形的内部（如图），即构造一个特殊的正 方形，使它与△OAB 之间建立关于面积大小的一种关系，在此思路下寻求题目中所求的θ值.解：在正方形ODEC 中，得)1,1(),0,1(),1,0(E D C ，所以AEB O D A O BC O AB S S S S ∆∆∆∆---=1)cos 1)(sin 1(21cos 21sin 211θθθθ-----= θ2sin 4121-=， 由]2,0(πθ∈可知， 当θ2sin 取最小值0时，OAB S ∆取最大值21，此时2πθ=，选（D ）. 评析：本题解法的特殊化思想体现了特殊情境的构造，即通过条件，把△OAB 放在一个正方形的内部，在新的特殊情境之中发现解题思路并求出问题的解.【例6】(07江西)．若π02x <<，则下列命题正确的是（ ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3sin πx x > （提示：取4x π=，可排除A 、D ；取6x π=，可排除C ） 【例7】（06北京）已知⎩⎨⎧+-=,log ,4)13()(x a x a x f a .1,1≥<x x 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）)1,0( （B ）)31,0( （C ）)31,71[ （D ）)1,71[分析：已知函数)(x f 是一个分段函数，从形的方面看，)(x f 的图象由一条直线的一部分和对数曲线的一部分组成，由条件，图象从左到右应呈下降趋势，若采用由特殊到一般的思想求解，可以对a 赋特殊值，并检验是否符合题意. 解：取31=a ，得⎪⎩⎪⎨⎧=,log ,34)(31x x f .1,1≥<x x 如图， 显然，)(x f 在),(+∞-∞上不是减函数，可排除选项（A ），（D ）； 再取91=a ，得⎪⎩⎪⎨⎧+-=,log ,9432)(91x x x f .1,1≥<x x 如图， 0)1()32(==f f ，即)(x f 在),(+∞-∞上不是减函数，可排除选项（B ），综上，选（C ）. 评析：求参数取值范围的选择题一般可考虑用特殊值方法求解，根据选择项对参数赋予适当的特殊值，再根据题设条件进行检验.究竟对参数赋予哪些特殊值，通常要结合参数所在的数学式中的位置及相应的数学概念等来考虑，这种特殊化的思想在解此类问题时往往是行之有效的.【例8】（2005年天津卷）在数列{}n a 中，2,121==a a ，且n n n a a )1(12-+=-+，*)(N n ∈，则=100S _____________.分析：可以考虑先求n S 或n S 2，再求100S ，这里采用先求n S 2的方法.解：由n n n a a )1(12-+=-+，得111)1(1--+-+=-n n n a a )2(≥n ，两式相加得2)()(121=+-+-++n n n n a a a a )2(≥n ，而2,121==a a ，得)()()(21243212n n n a a a a a a S ++++++=-)2(2)]12(3[)12(53+=++=++++=n n n n n ， 所以，26005250100=⨯=S . 评析：本题的解法采用的是一般化的思想，即把待求的100S 这一特殊值放在一般的n S 2中加以研究，正是因为一般性中蕴涵着特殊性，能使我们从该数列的本质特征入手，“先进后退”的解决了问题.【例9】（07湖南）．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…… ………………………………………【例10】（07安徽）．若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥（提示：取1a =±）【例11】（2006年江苏卷）两个相同的正四棱锥组成如图（1）所示的几何体，可放入棱长为1的正方体图（2）内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个分析：由已知，图（1）所示的几何体体积由正四棱锥的底面正方形的面积决定，根据该底面与正方体的位置关系，可考虑用一个特殊的平面衬托该底面，以此分析它与正方体的面的关系及该底面的面积情况.解：把图（1）所示的几何体放入棱长为1的正方体图（2）内，沿正四棱锥的底面所在平面将正方体切开，截面如图（3）所示，由平面几何知识可知，一个正方形有无穷多个边长各不相等的内接小正方形，设其面积为S ，则图（1）所示的几何体体积等于S 31，选（D ）. 评析：本题解法的特殊化思想体现在选取一个特殊的位置，即特殊的截面，使正四棱锥的底面和正方体的面可以依托在此截面内，从而将空间问题转化为易于研究的平面问题，这里的特殊化起到了寻找转化途径的作用.【例12】（07天津）．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）图（3）图（2）图（1）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数【分析及解】由条件知()f x 是以2为周期的周期函数，取()cos f x x π=，求单调区间.令22k x k ππππ-≤≤，解得增函数区间为[]21,2k k -，取2k =，得增区间[34]，；令22k x k ππππ≤≤+，解得减函数区间为[]2,21k k +，取1k =-，得减区间[21]--，； 从而选C.【例13】（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f__________ ；=)(n f __________（答案用n 表示）.…分析：通过观察与计算，得出 )4(),3(),2(),1(f f f f ，然后归纳探求其内在的变化规律，猜想出结论的一般形式，并给出证明.解：1)1(=f ，654310)2(6)3(,64324)1(3)2(⨯⨯==+=⨯⨯==+=f f f f ， 665420)3(10)4(⨯⨯==+=f f ，下一堆球的个数等于其第一层球的个数与上一堆球的个数之和，而各堆第一层球的个数分别是 ,10,6,3,1，2)1(+n n ，于是可得676535)4(265)5(⨯⨯==+⨯=f f ，… ，)1(2)1()(-++=n f n n n f ， 猜想：6)2)(1()(++=n n n n f ，此命题可用数学归纳法证明（略）. 评析：归纳是通过对某类事物中的若干特殊情形分析得出一般结论的思维方法，本题的核心就是由特殊的)4(),3(),2(),1(f f f f 得到一般的6)2)(1()(++=n n n n f ，其主要意义是它的猜测发现，其重要作用是启发解决问题的思路.【例14】（2006年浙江卷）如图，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________________.分析：为了解决此问题，可考虑平面几何中与此类同的问题：求边长为1的正三角形上的所有点在一条直线上的射影构成的线段长的取值范围.从解决平面问题的方法中得到解决立体问题的思路.解：在上述平面几何问题中，让正三角形绕其一个顶点旋转，如图，当正三角形的一条边平行于直线a 时，在直线a 上的射影为正三角形的边，是最大射影长为1；当正三角形的一条边垂直于直线a 时（图中b a ⊥），在直线a 上的射影为正三角形的高，是 最小射影长为23（证明略），得射影的取值范围是]1,23[. 有了平面几何问题的结论和已知棱AB ∥平面α，可类比得到立体几何问题的结论：当正四面体ABCD 的棱CD ∥α时，可得正四面体在α内的射影最大面积，是对角线长为1（正四面体的棱长）的正方形的面积等于21，当α⊥CD 时，可得正四面体在α内的射影最小面积，是底边长为1（正四面体的棱长）且对应高为22（对棱CD AB ,间的距离）的三角形的面积等于42，由此可得所求射影图形面积的取值范围是]21,42[（射影图及证明略）. 评析：本题的解法采用了由特殊（平面）到一般（空间）的类比方法，关键是从联想的角度先考虑平面几何中的类似问题（相对容易一些），从中挖掘出立体几何中相关问题的突破点，也为充分发挥空间想象能力提供重要线索.四、复习建议1．明确特殊化思想的特点特殊情形相对一般情形而言是比较简单、直观和具体的，因而常常易于找出特殊情形的解答，而且普遍性存在于特殊性之中，一些特殊情形的解答过程常常蕴含着一般问题的解法途径或思路，因此，特殊化思想是探索一般性问题的解题途径的重要思想之一.2．明确一般化思想的特点从一般性问题入手，可以使我们的视野更为广阔，避免在枝节问题上纠缠，容易触及问题的本质.同时，由于限制条件减少，涉及范围增大，更容易引起联想，发现各种条件与结论之间的内在联系.因此，从一般到特殊，是人们认识事物的另一个重要侧面，它与从特殊到一般是相辅相成、和谐统一的两个方面.3．注意与其他数学思想方法的联合运用在同一道题中，有时需要运用多种数学思想方法，因此复习时要全面复习高中阶段的重要数学思想方α D C B A法，不能重此轻彼，复习时要注意这一点.4．能适时正确的选用要清楚特殊与一般的数学思想方法的适用条件，如特殊化处理的可行性，有时虽然能用特殊化思想解答，但是比起其他方法未必是最佳解法.另外在解答题中，由于需要写出解答过程，因此对于一般性的结论，要防止用特殊代替一般的解答等.五、练习题1．（2005年北京卷）对任意的锐角βα,，下列不等式关系中正确的是（A ）βαβαsin sin )sin(+>+ （B ） βαβαcos cos )sin(+>+（C ）βαβαsin sin )cos(+<+ （D ）βαβαcos cos )cos(+<+答案：（D ）. 提示，取特殊值，令==βα30°，再令==βα1°.2．（2006年全国卷Ⅰ）函数)4tan()(π+=x x f 的单调区间为 （A ）Z k k k ∈+-),2,2(ππππ （B ）Z k k k ∈+),)1(,(ππ （C ）Z k k k ∈+-),4,43(ππππ （D ）Z k k k ∈+-),43,4(ππππ 答案：（C ）. 提示，取特殊值，令0=k ，并结合)(x f 的图象.3．（2006年天津卷）已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列，其首项分别为11,b a ，且*,,51111N b a b a ∈=+，设n b n a c =（*N n ∈），则数列{}n c 的前10项和等于 （A ）55 （B ） 70 （C ）85 （D ）100答案：（C ）. 提示，取特殊数列，令11=a ，得41=b ，3,+==n b n a n n ，所以3+=n c n .4．（2006年上海卷） 若关于x 的不等式4)1(42+≤+k x k 的解集是M ，则对任意实数k ，总有（A ）M M ∈∈0,2 （B ）M M ∉∉0,2 （C ）M M ∉∈0,2（D ）M M ∈∉0,2答案：（A ）. 提示，取特殊值，令0=k ，得4≤x .5．（2006年福建卷）1=3=，0=∙OB OA ，点C 在AOB ∠内，且 30=∠AOC ，设),(R n m n m ∈+=，则n m 等于 （A ）31 （B ）3 （C ）33 （D ）3 答案：（B ）. 提示，取特殊位置，由0=∙，将点C 取在直角△AOB 的斜边AB 上.6．（2006年辽宁卷）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则=αcos __________.答案：36 . 提示，取特殊图形，求正方体的体对角线与各个面所成角的余弦值. 7．（2006年山东（文）卷）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，30,147104=-=S S S ，则=9S __________.答案：54 . 提示，先求一般的n S ，设bn an S n +=2，求出b a ,的值，可求9S .8．（2006年重庆卷）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第20,19,18层可以停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为31，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：（1）随机变量ξ的分布列；（2）ξ的期望.答案：（1）24332)0(==ξP ，24380)1(==ξP ，24380)2(==ξP ，24340)3(==ξP ， 24310)4(==ξP ，2431)5(==ξP ；（2）35=ξE . 提示，用一般化思想化为二项分布的模型. 9（07福建）．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<， （提示：取2(),()f x x g x x ==）10（07安徽）．如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ） A1 B1- C．1 D111（07广东）．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条，这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)f = ；()f n = ．（答案用数字或n 的解析式表示）12（07湖北）．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱11AA BB ，的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG λλ=≤≤．则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）图4 1D 1E A14（07重庆）．已知定义域为R的函数()f x在(8)+∞，上为减函数，且函数(8)y f x=+为偶函数，则Ａ．(6)(7)f f>Ｂ．(6)(9)f f>Ｃ．(7)(9)f f>Ｄ．(7)(10)f f>（提示：取2()(8)f x x=-）15(07江西)．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x++=+++++++，则01211a a a a++++的值为（）Ａ．2-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．2（提示：取1x=-）11。
一般化和特殊化思想在新课程教学中的应用【中图分类号】g623.5 【文献标识码】a 【文章编号】2095-3089（2013）01-0034-02一、问题的提出辩证法告诉我们，特殊与一般是对立统一的，从“特殊到一般”和“从一般到特殊”，是认识事物的普遍规律。
一般化和特殊化方法是中学数学重要的思想方法，将待解待证问题，通过对它的一般形式问题的解决而得到原问题解的化归策略就是一般化思想；与此相反，对于待解待遇证问题，先解决它的特殊情况，然后把解决特殊情况的方法或结果应用到一般情况，使原问题解决的策略就是特殊化思想。
它如何在中学教学发挥作用呢？本文将分别从一般化和特殊化思想的内涵、在新课程教科书中的应用来研究一般化和特殊化思想在新课程教学中的应用。
二、一般化数学思想一般化是由个别到普遍的认识方法，一般化也称普遍化。
它的基本特点是从同类的个别对象中发现它们的共同性。
一般化思想能让我们加强对数学中的一般性原理、性质、法则、规律等的认识，它是数学中一种很重要的思想，在教材中很多地方都能体现出来.比如在（人教a版必修四）三角恒等变换这一章中，教材中首先推出了两角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ（1）从这个公式出发，进一步推导其它的公式。
推导如下：把（1）式中的+β换成-β，则可以得到两角和的余弦公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ（2）把（2）式中的α换成β，则可以得到二倍角的余弦公式cos2β= cos2β- sin2β（3）由以上推导过程可以看出（2）是（1）的特殊情形，（3）又是（2）的特殊情形，所以要证明后两个公式，就需要先得到一般的情形，那就是公式（1）。
学过这一章的同学都知道，本章的公式较多，要很好地把握此章，首先就要搞清楚各公式之间的关系，而一般化思想可以帮助理解公式之间的关系，更好地构建知识框图，从而能够灵活地运用公式解决问题。
这也是新课程教材中这样处理这一章知识点的原因所在。
东北师范大学远程与继续教育学院网络教育本科毕业论文题目浅谈一般化,特殊化学生姓名熊辉专业数学教育年级0402级学习中心陕西汉中教育学院奥鹏学习中心 [8]学号04025042704045指导教师沈广艳通讯地址陕西省南郑县黄官中学2006年12月10 日浅谈一般化，特殊化陕西省南郑县黄官中学熊辉[摘要]：特殊化和一般化是数学思维中的两中基本形式，它们在数学领域里发挥着重要的作用，同时它们也是我们常用的数学解题思想，理解掌握它们是我们学习数学，研究数学的前提条件。
[关键词]：一般化特殊化抽象认识作用反思启示1 对一般化、特殊化的基本认识1．1 一般化和特殊化构成了数学抽象思维的两种基本形式“从特殊到一般，再由一般到特殊”，这是认识的一个基本规律，这一规律在数学的认识活动中也有着十分重要的应用．具体地说，一般化和特殊化即就构成了数学抽象思维的两种基本形式．文[1]1．1．1 “一般化”(generalization)也可称为“弱抽象”，指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为普遍、更为一般的概念或理论，并使前者成为后者的特例．由现实原型出发去建构相应的数学模型显然就是一个弱抽象的过程；另外，除真实的事物和现象以外，我们也可以已经得到建立的数学概念或理论为原型去进行抽象，例如，由“全等形”的概念出发，通过分离出“形状相似”和“面积相等”的特性，我们就可以分别获得“相似形”和“等积形”的概念，从而，相对于后者而言，全等形的概念就可说是一个原型，而由全等形的概念出发去建立相似形和等积形的概念则就是一个弱抽象的过程．弱抽象在数学中有着十分广泛的应用．例如，数学中有很多概念是密切相关、互相联系的，而如果从生成的角度去进行分析，它们就可看成一个“弱抽象概念链”，即由某一概念出发经多次弱抽象逐步生成的．例如，如果用符号“—（-）→”表示弱抽象的关系，那么，函数概念的历史演变事实上可以看成一系列弱抽象的过程，即有(图1)：对弱抽象在数学中的具体应用，可归结为：第一，只有结构内容较为丰富的对象才能作为弱抽象的原型；第二，实现弱抽象的关键在于如何对原型的性质作出具体分析，并从中分离出某个或某些特性；第三，为了最终完成所说的弱抽象，我们必须用明确的规范化语言去表达分离出来的特性，并以此为定义构建出新的、更为一般的对象．1．1．2 “特殊化”(specialization)也叫做“强抽象”，是指通过引入新特征强化原型来完成抽象，因此，所获得的新概念或理论就是原型的特例．例如，由一般三角形的概念出发，通过引入“边相等”与“一个角为直角”的条件，我们就分别获得了“等腰三角形”和“直角三角形”的概念，它们显然都可看成前者的特例．与弱抽象的情况相类似，在数学的历史发展中我们也可找到不少强抽象的例子．一般地说，这往往是与概念的澄清(分化)直接相联系的．就最终的表现形式而言，强抽象即可看成概念的适当组合．强抽象的最终表现形式也是较为简单的．但是，就实际的数学研究过程而言，这又往往并非是现成概念的简单组合，而必须通过新的特征的“发现”或”引入，才能由原型中分化出更为特殊的概念或理论．具体的说，为了实现强抽象，数学家们往往必须首先在原形中引入某种新的关系，如某种映射，对应关系或运算等，然后，如果这种新的关系造成了原有概念的分化，我们就可以所得出的子类的共同特性去定义新的、更为特殊的对象．例如：通过曲线(点)与方程(数组)之间建立对应关系，我们就可依据方程的类别(一次方程、二次方程)去对相应曲线作出分类，而一次曲线、二次曲线等相对于一般的曲线而言显然是更为特殊的．1．1．3 弱抽象和强抽象的关系文[2]第一，强抽象和弱抽象是方向相反的两种思维方法．从思维活动的方向看，弱抽象是“特殊到一般”的过程，强抽象则是“一般到特殊”的过程．由于强抽象是“一般到特殊”的过程，因而其实际是演绎推理的过程，这个过程比较直接，但不易理解．用这种方法建构新的数学概念，对思维水平要求较高一些．弱抽象是“特殊到一般”的过程，因而其实际是归纳推理的过程，这个过程比较直观，是通过直接经验来建构新的数学概念，更贴近学生的思维水平，更容易理解。
