个基本初等函数的导数公式

8个基本初等函数的导数公式一、常数函数的导数公式：对于常数函数f(x)=c，其中c为任意常数，则有f'(x)=0。

这是因为常数函数的图像是一条水平线，斜率为0，所以它的导数恒为0。

二、幂函数的导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为一个实数常量，则有f'(x)=nx^(n-1)。

这是因为幂函数的图像是一条由原点出发，通过点(x,x^n)的曲线，斜率与该点的切线斜率相等，而切线的斜率正好等于x^n的导数。

三、指数函数的导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量，则有f'(x)=a^x*ln(a)。

这是因为指数函数的导数与函数自身成正比例关系，比例常数为该指数的底数乘以自然对数。

四、对数函数的导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量，则有f'(x)=1/(x*ln(a))。

这是因为对数函数的导数与函数自身成反比例关系，比例常数为导数函数的定义域上的所有值的倒数。

五、三角函数的导数公式：(1) 对于正弦函数f(x)=sin(x)，则有f'(x)=cos(x)。

(2) 对于余弦函数f(x)=cos(x)，则有f'(x)=-sin(x)。

(3) 对于正切函数f(x)=tan(x)，则有f'(x)=sec^2(x)。

(4) 对于余切函数f(x)=cot(x)，则有f'(x)=-csc^2(x)。

(5) 对于割函数f(x)=sec(x)，则有f'(x)=sec(x)*tan(x)。

(6) 对于余割函数f(x)=csc(x)，则有f'(x)=-csc(x)*cot(x)。

这是因为三角函数的导数与函数自身有一定的关系，可以通过极限的方法证明出来。

六、双曲函数的导数公式：(1) 对于双曲正弦函数f(x)=sinh(x)，则有f'(x)=cosh(x)。

合" 得到的,即y可以通过中间变量u表示为自变量x
的函数.
如果把y与u的关系记作y fu,u和x的关系记作 u gx,那么这个"复合"过程可表示为 y fu fgx lnx 2.
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
"复合"得到的,例如,函数y 2x 32由y u2和u
解 因为y' x3 2x 3 ' x3 ' 2x' 3'
3x2 2.
所以,函数 y x3 2x 3的导数是 y' 3x2 2.
例3 日常生活中的饮用水 通常是经过净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费
0.05eu 0.05e0.0 . 5x1
3函数y sinπx φ可以看作函数y sinu和
u πx φ的复合函数.
由复合函数求导法则有
y'x

y
' u
u'x
sinu' πx φ'
π cosu π cosπx φ.
明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,
而且净化费用增加的速度也越快.
思考 如何求函数y lnx 2的导数呢?
我们无法用现有的方法求函数y lnx 2的导数.
下面,我们先分析这个函数的结构特点.
若设u x 2x 2,则y lnu.从而y lnx 2 可以看成是由y lnu和u x 2x 2经过"复
1321,
所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率

上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y (x 解：因为2x 3)
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
(t ) 1.05t ln1.05 p
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
导数的运算法则:(和差积商的导数)
导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切y x 2
线的 方程 为
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x

16个基本初等函数的求导公式（y：原函数；y'：导函数）1、y=c，y'=0(c为常数) 。

2、y=x^μ，y'=μx^(μ-1)(μ为常数且μ≠0) 。

3、y=a^x，y'=a^x lna；y=e^x，y'=e^x 。

4、y=logax，y'=1/(xlna)(a>0且a≠1)；y=lnx，y'=1/x 。

5、y=sinx，y'=cosx 。

6、y=cosx，y'=-sinx 。

7、y=tanx，y'=(secx)^2=1/(cosx)^2 。

8、y=cotx，y'=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2 。

9、y=arcsinx，y'=1/√(1-x^2) 。

10、y=arccosx，y'=-1/√(1-x^2) 。

11、y=arctanx，y'=1/(1+x^2) 。

12、y=arccotx，y'=-1/(1+x^2) 。

13、y=shx，y'=ch x 。

14、y=chx，y'=sh x 。

15、y=thx，y'=1/(chx)^2 。

16、y=arshx，y'=1/√(1+x^2) 。

二、基本初等函数包括什么(1)常数函数y = c( c 为常数)(2)幂函数y = x^a( a 为常数)(3)指数函数y = a^x(a>0. a≠1)(4)对数函数y =log(a) x(a>0. a≠1.真数x>0)(5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数：y =sinx反正弦函数：y =arcsin x等)基本初等函数，所谓初等函数就是由基本初等函数经过有些次的四则运算和复合而成的函数。

初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的并且可用一个式子表示的函数。

基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。

不是初等函数的函数,称为非初等函数,如狄利克雷函数和黎曼函数。

这里将列举 12 个基本初等函数的导数以及它们的推导过程，初等函数的导数可由之计算。

函数原函数导函数
常函数
（即常
（为常数）
数）
幂函数
指数函
数
对数函
数
（且，）
正弦函
数
余弦函
数
正切函
数
余切函
数
反正弦
函数
反余弦
函数
反正切
函数
反余切
函数
口诀
为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：
常为零，幂降次，对倒数（ e 为底时直接倒数， a 为底时乘以 1/lna ），指
不变（特其余，自然对数的指数函数圆满不变，一般的指数函数须乘以 lna ）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式。

用单位: 元为
cx 5284 80 x 100.求净化到下纯度
100 x 时,所需净化费用的瞬时变化率 :
1 90% ; 298%.
解 净化费用的瞬时变化率就是净化费
用函数的导数.
c
'
x


5284 100 x
'


5
28
4'

1
0
0 x528 100 x2
4
1
0
0

x'

0

100 x 5284 100 x2


1
5284
100 x2
.
1因为c'90
5284
100 902
52.84,
所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率
是55.84元 /吨.
2因为c'98
5284
100 982
解 因为y' x3 2x 3 ' x3 ' 2x' 3'
3x2 2.
所以,函数 y x3 2x 3的导数是 y' 3x2 2.
例3 日常生活中的饮用水 通常是经过净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费
；微营销云控 / 爆粉 ；
情の外人忽悠得信以为真...”老板娘轻笑,“连我公爹这种心善实诚のの人都不敢打包票说她是个好人...”陆羽眉头动了一下,笑了笑,不说话.能人遭妒很正常,这老板娘和善健谈,其实内心深处也对那余文凤羡慕妒忌恨吧？否则不会这么说话.“你家住哪儿？村里边？”陆 羽岔开话题.“家住在山对面呢,这房子我

基本初等函数求导公式(1) (C )=0 (2) (x )= x -1 (3)(sin x ) = cos x (4) (cos x ) = - sin x (5)(tan x ) = sec 2 x (6) (cot x ) = - csc 2 x (7) (sec x ) = sec x tan x (8) (csc x ) = -csc x cot x(9) (a x )=a x ln a(10) (e x )=e x (log a x ) = 1(ln x ) = 1 (11) x ln a(12) x ，(arcsin x ) = 1(arccos x ) = - 1 (13) 1 - x(14) 1 - x(arctan x ) = 1 (arccot x ) = - 1(15) 1 + x(16) 1 + x 函数的和、差、积、商的求导法则设u = u (x )， v = v (x )都可导，则反函数求导法则若函数x =(y )在某区间I y 内可导、单调且(y ) 0 ，则它的反函数y = f (x )在对应 区间 I x 内也可导，且dy 11 dx = dx( y ) 或 dy复合函数求导法则1) (u v ) = u v2) (Cu ) = Cu (C 是常数) 3) (uv ) = u v + uv4)设 y = f (u )，而u =(x )且 f (u )及(x )都可导，则复合函数 y = f [(x )]的导数为２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式： (sh x) = ch x (ch x ) = sh x (th x )= ch 2x(arsh x ) = 1 1 + x 2(arch x ) = 1 x 2 -1 (arth x ) = 1 1-x 2 dy dx。

复合函数的求导法则
定理2.2 若函数u u(x)在点x可导，函数y＝f (u)
在点u处可导，则复合函数y f (u(x))
在点x可导，且
dy dx
dy du
du dx
或记作：
dy dx
f
'(u) u '(x)
推论 设 y = f (u) ， u = (v) ， v =
(x) 均可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可
注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的
即 f xy ( x, y) f yx (x, y)
例 3 设 z arctan xy,
试求函数的四个二阶偏导函数
2z 2z x2 y2
2z x y
2z y x
思考题一
求曲y 线2x x3 x
上与 轴平行的切线方程 .
思考题一解答
y 2 3x2 令 y 0 2 3x2 0
tan
x
(4) 把 tan x 当作中间变量， y ' (etan x ) ' etan x (tan x) ' sec2 xetan x
(5) 把 x 当作中间变量， y ' (2x ) ' 2x ln 2 (x) ' 2x ln 2
求导方法小结：
先将要求导的函数分解成基本初等函 数 , 或常数与基本初等函数的和、差、积、 商.
z y
2 y ln(x2
y2)
(x2
y2)
2y x2 y2
2 y[ln(x2 y2 ) 1]
二元函数的二阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导
数
z x
f x ( x, y),

几个常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式函数的导数是用来描述函数在一点上的变化率。

对于常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式，以下是一些常见的公式和规则。

常见函数的导数公式：1.常数函数：导数为0。

即对于函数f(x)=C，其中C是常数，导数f'(x)=0。

2.幂函数：对于函数f(x)=x^n，其中n是一个实数，导数f'(x)=n*x^(n-1)。

3. 指数函数：对于函数 f(x) = a^x，其中 a 是一个正实数且a ≠ 1，导数 f'(x) = a^x * ln(a)。

4. 对数函数：对于函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是一个正实数且a ≠ 1，导数 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

5. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数（sin(x)）、余弦函数（cos(x)）、正切函数（tan(x)），它们的导数分别为 sin'(x) =cos(x)、cos'(x) = -sin(x)、tan'(x) = sec^2(x)，其中 sec(x) = 1 / cos(x)。

基本初等函数的导数公式：1.常见的常数导数公式：即常数函数的导数为0，如f(x)=5的导数为0。

2.单项式函数导数公式：对于f(x)=a*x^n，其中a是常数且n是正整数，导数f'(x)=a*n*x^(n-1)。

3.指数函数导数公式：对于f(x)=e^x，导数f'(x)=e^x，其中e是自然对数的底数。

4. 对数函数导数公式：对于 f(x) = ln(x)，导数 f'(x) = 1 / x。

5. 反三角函数导数公式：包括反正弦函数（arcsin(x)）、反余弦函数（arccos(x)）、反正切函数（arctan(x)）等。

其导数分别为：arcsin'(x) = 1 / sqrt(1-x^2)、arccos'(x) = -1 / sqrt(1-x^2)、arctan'(x) = 1 / (1+x^2)。

4
1
0
0

x'

0

100 x 5284 100 x2


1
5284
100 x2
.
1因为c'90
5284
100 902
52.84,
所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率
是55.84元 /吨.
2因为c'98
5284
100 982
1 u
3

3 3x 2
.
例4 求下列函数的导数
1y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
3y sinπx φ其中π,φ均为常数.
解 1函数y 2x 32可以看作函数y u3和
u 2x 3的复合函数.由复合函数求导法则有
导数间的关系为y
' x

yu'
u'x.
y
' x
表
示y对
x的
导
数
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
由此可得,y ln3x 2对x的导数等于y lnu对u的
导数与u 3x 2对x的导数的乘积,即
y
' x

y
' u
u'x

ln u' 3x
2'

明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,
而且净化费用增加的速度也越快.
思考 如何求函数y lnx 2的导数呢?
我们无法用现有的方法求函数y lnx 2的导数.
下面,我们先分析这个函数的结构特点.

(x 2) (x 1) 2x 3
sin x (sin x)'cos x sin x(cos x)'
(3) y' ( )' cos x
cos2 x

cos2 x sin cos2 x
2
x

1 cos2
x

sec2
x.
例2求下列函数的导数.
(1) y 2sin x cos x 2x2 1 (2) y cos2 x sin 2 x
【教育类精品资料】
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
一、基本初等函数的导数公式:
C'0C为常 (数 xn)'n(x)n1(nQ)
(sin x) cos x (cxo)ssixn
(ax)' ax lna,(ex)' ex
(loga
x)'

1 ,(lnx)' xlna
1 x
二、导数的运算法则:(和差积商的导数)
[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
函 数 和 （ 差 ） 的 导 数 等 于 它 们 导 数 的 和 （ 差 ） .
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
(轮流求导之和)
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)' [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'(g(x)0)
(2 )y f(1 x 2) 2 x x f(1 x 2); 21 x 2 1 x 2
(3) y[f(sin2 x)f(cos2 x)]

基本初等函数的导数
把所有基本初等函数（常用的6种）的导数说清楚
高等数学中，初等函数是指一般性数学函数，它们的构造过程就和多项式的构造过程是一样的，常用的初等函数有常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数等等。

关于这些函数的一个很重要的概念就是它们的导数。

这些基本初等函数的导数依次如下：
1. 常数函数的导数是 0。

即 f' (x) = 0。

2. 幂函数的导数记作 y'= a*x^(a-1) 。

3. 指数函数的导数记作 y' = a^x*ln(a) 。

4. 对数函数的导数记作 y' = 1/x 。

5. 三角函数的导数分别是：sin(x)' = cos(x)，cos(x)' = -sin(x)，tan(x)' = 1/cos^2(x) 。

6. 反三角函数的导数分别是：arcsin(x)' =1/√(1-x^2)，arccos(x)' = -1/√(1-x^2)，arctan(x)' = 1/(1+x^2) 。

以上就是基本初等函数的导数，熟悉了这些导数的求法对数学的学习有很大的帮助，希望大家能够把这些导数记熟，提高自己的数学水平。

即(x0－1)2·(2x0＋1)＝0，∴x0＝1 或 x0＝－12， 切点坐标为(1,2)或－12，－58， 切点为(1,2)时切线斜率为 k1＝3＋1＝4， 切线方程为：y－2＝4(x－1)即 4x－y－2＝0， 切点为(－12，－58)时切线斜率为 k2＝74， 切线方程为：y－2＝74(x－1)即 7x－4y＋1＝0.
2．含根号的函数求导一般先化为分数指 数幂，再求导．
(1)求下列函数的导数． ①y＝x2sinx ②y＝x2(x2－1)
(2)求 y＝1x＋x22＋x33的导数．
[解析] (1)①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′ ＝2x(x2－1)＋x2·2x＝4x3－2x. (2)y′＝1x＋x22＋x33′＝1x＋2x－2＋3x－3′ ＝－x12－4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
[例3] 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)， 且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、 c的值．
[分析] 题中涉及三个未知量，已知中有三个独 立条件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c 的值．
[解析] 因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，

导数间 y'x 的 yu ' u 'x.关系为
y'x表示y对x的导数
即 y对 x的导数 y对 u 等 的于 导u数 对 x的 与导数. 的
由此,y可 ln 3 得 x2对 x的导数 yln 等 u对 u的 于
导数 u3 与 x2对 x的导数 ,即 的乘积
y'xyu ' u'xln u'3x2' 1 u33x3 2.
1321,
所以,纯净度为 98%时,费用的瞬时变化率
是1321元/吨.
函数 fx 在某点处的导数的大小表示函数
在此点附近变化的快慢 .由上述 计算可知,
c' 98 25c' 90.它表示纯净度为98%左
右时净 化费用的变化率 ,大约是纯 净 度 为
90% 左右时净化费用变化率的 25 倍 .这说
当p0 5时,pt 5 1.05t.这时,求p关于t的导 数可以看成求函数ft 5与 gt 1.05t 乘积
的导数.下面的" 导数运算法则"可以帮助我们解 决两个函数加、减、乘、除的求导问题.
导数运算法则
1 . f x g x ' f 'x g 'x ;
2 . f x g x ' f ' x g x f x g ' x ;
3 . g fx x 'f'x g x g x f2 x g 'x g x 0 .
例2 根据基本初等函数的导数公式 和导数运算法则,求函数 y x3 2x 3的导数.
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x

基本初等函数的导数公式推算
基本初等函数指的是一元函数的各种基本形式，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

它们可以用来表达几乎所有的函数。

1. 常数函数的导数为0：
常数函数f(x)=c(c为常数)，因此f'(x)=0；
2. 幂函数的导数为多项式乘以指数函数：
幂函数f(x)=x^n(n为常数），因此f'(x)=nx^{n-1}；
3. 指数函数的导数为指数函数的常数倍：
指数函数f(x)=a^x（a为常数），因此
f'(x)=ln(a)a^x；
4. 对数函数的导数为常数的倒数：
对数函数f(x)=ln(x)，因此f'(x)=1/x；
5. 三角函数的导数为另一个三角函数的乘积：
正弦函数f(x)=sin x，因此f'(x)=cos x；
余弦函数f(x)=cos x，因此f'(x)=-sin x；
正切函数f(x)=tan x，因此f'(x)=sec^2 x。

数学 24个基本求导公式常见导数公式简介目录1、f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]2、f(x)=a的导数， f'(x)=0, a为常数3、f(x)=x^n的导数， f'(x)=nx^(n-1), n为正整数4、f(x)=x^a的导数， f'(x)=ax^(a-1), a为实数5、f(x)=a^x的导数， f'(x)=a^xlna, a>0且a不等于16、f(x)=e^x的导数， f'(x)=e^x7、f(x)=log_a x的导数， f'(x)=1/(xlna), a>0且a不等于18、f(x)=lnx的导数， f'(x)=1/x9、(sinx)'=cosx10、(cosx)'=-sinx11、(tanx)'=(secx)^212、(cotx)'=-(cscx)^213、(secx)'=secxtanx14、(cscx)'=-cscxcotx15、(arcsinx)'=1/根号(1-x^2)16、(arccosx)'=-1/根号(1-x^2)17、(arctanx)'=1/(1+x^2)18、(arccotx)'=-1/(1+x^2)19、(f+g)'=f'+g'20、(f-g)'=f'-g'21、(fg)'=f'g+fg'22、(f/g)'=(f'g-fg')/g^223、(1/f)'=-f'/f^224、(f^(-1)(x))'=1/f'(y)常见导数公式四个基本的导数公式可以分为三类。

第一类是导数的定义公式，即差商极限。

然后由这个公式推导出17个基本初等函数的求导公式，这就是第二类。

基本初等函数求导公式基本初等函数是指常见的基本函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数等。

这些函数在数学和科学中有广泛的应用，求导是计算函数斜率和变化率的重要方法。

在这篇文章中，我们将介绍基本初等函数的求导公式。

一、多项式函数的求导公式多项式函数是指以整数指数的变量的多项式，形如：f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0多项式函数的求导公式可以通过求导的定义来推导，也可以通过规律总结出来。

根据求导的定义，对于多项式函数 f(x) = anxn + an-1xn-1+ ... + a1x + a0 ，其导函数 f'(x) 的形式为：f'(x) = nanxn-1 + (n-1)an-1xn-2 + ... + a1其中，n 是多项式的最高次幂，ai 是与 xi 的系数。

例如，对于f(x) = 3x3 + 2x2 - 5x + 1 ，它的导函数为 f'(x) = 9x2 + 4x - 5二、指数函数的求导公式指数函数是以指数为变量的函数，形如：f(x) = exf'(x) = ex这个公式的意义在于指数函数的导数等于它本身。

三、对数函数的求导公式对数函数是以指数为变量的反函数，形如：f(x) = loga(x)对数函数的求导公式是：f'(x) = 1 / (xln(a))其中，a 是对数的底数，ln(a) 是以 e 为底的 a 的对数。

例如，对于 f(x) = log2(x) ，它的导函数为 f'(x) = 1 / (xln(2))。

四、三角函数的求导公式三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们的求导公式如下：1.正弦函数的求导公式：f(x) = sin(x)f'(x) = cos(x)2.余弦函数的求导公式：f(x) = cos(x)f'(x) = -sin(x)3.正切函数的求导公式：f(x) = tan(x)f'(x) = sec^2(x)其中，sec^2(x) 是 sec(x)（正切函数的倒数）的平方。