下载文档原格式
广义积分与收敛性判定广义积分是微积分中的重要概念之一，它扩展了定积分的概念，用于求解某些无界函数的积分。
而广义积分的收敛性判定则是确定广义积分是否存在有限值的关键方法。
本文将介绍广义积分的定义、性质以及几种常见的收敛性判定方法。
一、广义积分的定义广义积分是对某些函数在无界区间上的积分进行推广，定义如下：设函数f(x)在区间[a, +∞)上有定义，如果对于任意的正数M，存在一个实数A使得当x ≥ A时，有1/(M(x)) ≤ f(x) ≤ 1/(N(x))成立（其中M(x)和N(x)是[x, +∞)上的两个函数），则称f(x)在区间[a, +∞)上绝对可积。
如果极限∫(x→+∞) f(x)dx存在，且与A的选取无关，那么称该极限为函数f(x)在区间[a, +∞)的广义积分，记作∫[a, +∞) f(x)dx。
二、广义积分的性质广义积分具有线性性、区间可加性和保号性等性质，使得我们可以进行算术操作和区间分割来计算广义积分。
具体性质如下：（1）线性性质：对于任意实数α和β，以及可积函数f(x)和g(x)，有∫[a, +∞) [αf(x) + βg(x)]dx = α∫[a, +∞) f(x)dx + β∫[a, +∞) g(x)dx。
（2）区间可加性：对于可积函数f(x)，如果a ≤ c ≤ b，那么∫[a, b) f(x)dx = ∫[a, c) f(x)dx + ∫[c, b) f(x)dx。
（3）保号性：如果对于区间[a, +∞)上的可积函数f(x)，有f(x) ≥ 0成立，则∫[a, +∞) f(x)dx ≥ 0。
三、收敛性判定方法确定广义积分的收敛性是对其进行求解的重要步骤。
下面介绍几种常见的收敛性判定方法。
（1）比较判定法：设在区间[a, +∞)上，函数f(x)和g(x)满足0 ≤ f(x) ≤ g(x)，如果∫[a, +∞) g(x)dx收敛，则∫[a, +∞) f(x)dx也收敛；如果∫[a, +∞) f(x)dx发散，则∫[a, +∞) g(x)dx也发散。
广义积分收敛判别法
广义积分收敛判别法是代数几何学中很重要的工具，它能够为复杂形式的连续函数求解，已被应用于不同的领域，如量子力学，数值模拟和天文等。
一般来说，这种方法是用来解决计算多项式的积分问题，它可以在不知道函数表达式的情况下，用实数序列进行积分数值计算，从而得到函数的收敛性和判别性。
这是一种多元函数的变形计算方法，可在函数未知情况下计算积分，并依据实数序列的判别性，判断函数的收敛性，从而进行函数的求解。
多项式积分的计算步骤比较复杂，在极大程度上依赖于计算机技术，同时需要大量精确数值运算，以及数学积分定理等，才能获得精确的结果。
而广义积分收敛判别法就是为了解决这个问题，可以明显减少计算步骤，减少运算时间，提高计算效率。
具体来说，它可以将复杂的积分问题分解成一系列实数序列，然后再用它们的收敛性和判别性来评估函数的积分结果。
首先，通过多项式积分的定义可以获取不同维度的数学表达式，通过求解可获得序列的实数模式。
通过将这种实数模式拓展成更复杂的数字，如高阶多项式和级数，再使用它们的收敛性和判别性来评估函数的积分结果。
在这种情况下，如果结果的实数序列是收敛的，则说明函数的收敛性满足要求，而如果结果的实数序列是判别的，则说明函数的判别性满足要求。
通常情况下，使用广义积分收敛判别法，可以根据实数序列的判
别性，来判断函数的收敛性，从而有效地求解复杂函数的积分结果。
由于它可以明显减少计算步骤，减少运算时间，提高计算效率，因此在不同的领域中都有广泛的应用。
因此，广义积分收敛判别法是一个重要的工具，它可以有效地帮助我们求解复杂的函数，同时也可以减少计算步骤，提高计算效率。
广义积分的收敛判别法第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在[a, +∞）上的广义积分«Skip收敛的充分必要条件是：«Skip Record If...», 存在A>0, Record If...»使得b, «Skip Record If...»>A时，恒有«Skip Record If...»使用柯西收敛原理立即证明：对«Skip Record If...»«Skip Record If...»得此结论．(«Skip Record If...»为瑕点), 我同样对瑕积分«Skip Record If...»们有定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a, b–«Skip Record If...»]上常义可积，则瑕积分收敛的充要条件是: «Skip Record If...», «Skip «Skip Record If...»Record If...», 只要0<«Skip Record If...»，就有«Skip Record If...»定义9.5如果广义积分«Skip Record If...»收敛，我们称广义积分«Skip Record If...»绝对收敛（也称f (x )在[a ,+«Skip Record If...»上绝对可积]; 如«Skip Record If...»收敛而非绝对收敛，则称«Skip RecordIf...»条件收敛，也称f (x )在[a ,+«Skip Record If...»上条件可积．由于«Skip Record If...»，均有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分«Skip Record If...»绝对收敛，则广义积分«Skip Record If...»必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
广义函数收敛和发散的判断
广义积分判断敛散性的方法是积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散。
广义积分判别法只要研究被积函数自身的性态,即可知其敛散性。
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。
广义积分判别法不仅比传统的判别法更加精细,而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。
第二节广义积分的收敛判别法广义积分的收敛与发散是数学分析中的一个重要问题，因为广义积分不同于普通积分，广义积分可能存在收敛性，也可能存在发散性。
对于一个广义积分的收敛与发散，我们需要利用一些收敛判别法来判断，本文将介绍一些广义积分的收敛判别法。
I. 初等判别法对于某个广义积分 $\int_{a}^{\infty} f(x)\mathrm{d}x$，如果能找到一个常数$c>0$，使得 $f(x)\ge c$ 对于所有 $x\ge a$ 成立，则该积分必定发散。
该判别法的原理很简单，因为当 $f(x)\ge c$ 的时候，因为积分极限为从 $a$ 到无穷大，所以它会与一个发散的积分 $\int_{a}^{\infty} c\mathrm{d}x$ 进行比较，由于$f(x)\ge c$，所以 $\int_{n}^{n+1} f(x)\mathrm{d}x\ge c$ 就可以得到最后的结论。
1. 若 $\int_{a}^{\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\int_{a}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛IV. 绝对收敛和条件收敛这里需要注意的是，绝对收敛必定收敛，但是条件收敛不一定收敛。
因此，对于一个条件收敛的积分，我们通常需要采用柯西收敛判别法或者达朗贝尔判别法来判断其收敛性。
V. 柯西收敛判别法对于一个条件收敛的广义积分 $\int_{a}^{\infty} f(x)\mathrm{d}x$，如果$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_{a}^{b_n} f(x)\mathrm{d}x=0$，则该积分收敛，其中 $b_n$ 是一个单调递增的正数列，且满足$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n=\infty$。
该判别法的原理在于，因为 $|f(x)|\ge |f(x+1)|\ge |f(x+2)|\ge \cdots$，所以可以认为 $|f(x)|$ 随着 $x$ 的增大而逐渐减小，而较小的 $|f(x)|$ 对于积分的影响会相对较小，因此可以利用这个性质来证明广义积分的收敛性。
第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分⎰+∞adxx f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰b adx x f )((b 为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在[a ,b )上有定义，在其任何闭子区间[a , b –ε]上常义可积，则瑕积分⎰ba dx x f )(收敛的充要条件是: 0>∀ε , 0>∃δ, 只要0<δηη<</，就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f定义9.5如果广义积分⎰+∞a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰+∞adxx f )(绝对收敛（也称f (x )在[a ,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞a dx x f )(收敛而非绝对收敛，则称⎰+∞adx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,，均有|)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A Adx x f因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛，则广义积分⎰+∞adx x f )(必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
本节阐述广义积分收敛原理及判别法
1、正文
1.1广义积分收敛原理
无穷限积分收敛原理
1处：这里采用的是柯西收敛原理，而我们知道柯西收敛原理和语言的极限定义是等价的。
因为只是判定积分是否收敛，那么用柯西收敛原理是更好的。
无穷限积分的比较判别法
无穷限积分判别法的重点是找到满足条件的。
绝对收敛可推出条件收敛，但反之不然。
条件发散可推出绝对发散，但反之不然。
注记
1处：无穷下限的积分，我初步尝试了一下，发现和无穷上限的积分收敛原理和比较判别法是一样的。
2处：双无穷限的积分不难，就是判断无穷下限的积分和无穷上限的积分是否同时收敛。
瑕积分收敛原理
注意这个指的是点的左开区间。
瑕积分收敛的比较判别法
绝对收敛可推出条件收敛，但反之不然。
条件发散可推出绝对发散，但反之不然。
注记
1.左端点的无界积分的收敛原理和比较判别法是类似的。
2.对于区间中有一瑕点的无界积分，其要义是判定区间和的无界积分是否同时成立。
注意！
无论是无穷限积分还是无界积分，都要求它们的子闭区间是黎曼可积的。
1.2广义积分收敛判别法
无穷限积分收敛判别法的比较形式。
第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分⎰+∞adxx f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰b adx x f )((b 为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在[a ,b )上有定义，在其任何闭子区间[a , b –ε]上常义可积，则瑕积分⎰ba dx x f )(收敛的充要条件是: 0>∀ε , 0>∃δ, 只要0<δηη<</，就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f定义9.5如果广义积分⎰+∞a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰+∞adxx f )(绝对收敛（也称f (x )在[a ,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞adxx f )(收敛而非绝对收敛，则称⎰+∞adx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,，均有 |)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A Adx x f因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛，则广义积分⎰+∞adx x f )(必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有),()(0x k x f ϕ≤≤（k 为正常数） 则当⎰+∞a dx x )(ϕ收敛时,⎰+∞adx x f )(也收敛;当⎰+∞adx x f )(发散时,⎰+∞adx x )(ϕ也发散．证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立．对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使∈∀≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则1） 如⎰b adx x g )(收敛，则⎰badx a f )(也收敛。
2）如⎰b adx x f )(发散，则⎰badx x g )(也发散．比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．定理9.6 如果f (x ), g (x )是[a ,+)∞上的非负函数, 且,)()(liml x g x f x =+∞→则 (1) 如果+∞<≤l 0, 且⎰+∞adx x g )(收敛, 则积分⎰+∞a dx x f )(也收敛． (2) 如果+∞≤<l 0, 且⎰+∞adx x g )(发散，则积分⎰+∞a dx x f )(也发散．证明：如果,0)()(lim≠=∞→l x g x f x则对于)0(0>->εεl , 存在A, 当A x ≥时, εε+<<-≤l x g x f l )()(0 即)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-成立. 显然⎰+∞adx x f )(与⎰+∞adx x g )(同时收敛或同时发散，在l =0或 l =∞时，可类似地讨论.使用同样的方法，我们有定理9.7 对以b 为唯一瑕点的两个瑕积分⎰ba dx x f )(与⎰ba dx x g )(如果f (x ),g (x ) 是非负函数，且,)()(lim l x g x f bx =-→则 （1） 当+∞<≤l 0, 且⎰badx x g )(收敛时，则⎰b adx x f )(也收敛．（2） 当+∞≤<l 0，且⎰b adx x g )(发散时，则⎰badx x f )(也发散．对无限区间上的广义积分中，取⎰∞+ap dx x1作比较标准，则得到下列Cauchy 判别法：设f (x )是[a ,+)∞的函数，在其任意闭区间上可积,那么:定理9.8 若0≤f (x )≤p xc， p >1,那么积分⎰+∞adx x f )(收敛，如f (x )≥p xc，p ≤1,则积分⎰+∞a dx x f )(发散．其极限形式为定理9.9 如+∞→x lim l x f x p =)((+∞<≤l 0, p >1), 则积分⎰+∞a dx x f )(收敛．如∞→b lim l x f x p =)(,而+∞≤<l 0, p ≤1, 则⎰+∞adx x f )(发散.例9.8 判断下列广义积分的收敛性。
(1)⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x (2)⎰∞++11dx xx nm(m >0, n >0) 解：（1）因为0x x +-+≤11)11ln(=+-≤x x 111 21)1(1x x x ≤+由⎰∞+121dx x 收敛推出⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x 收敛． （2）因为+∞→x lim ,11=+-nmmn x x x所以当n －m >1时，积分⎰∞++11dx x x n m收敛. 当n －m ≤1时，积分⎰∞++11dx x x n m发散．对于瑕积分，使用⎰-b apdx a x )(1作为比较标准，我们有下列柯西判别法．定理9.10 设x=a 是f (x )在[a ,b )上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么（1） 如0≤f (x )≤p a x c)(- (c>0), p<1, 则⎰b a dx x f )(收敛． （2） 如f (x )≥p a x c )(- (c>0), p ≥1, 则⎰b a dx x f )(发散． 瑕积分的Cauchy 判断法的极限形式为 定理9.11 设kx f a x p a x =-+→)()(lim如0≤k <∞, p<1, 则⎰b adx x f )(收敛 如0<k ≤∞, p ≥1, 那么⎰ba dx x f )(发散．例9.9 判别下列瑕积分的敛散性。
(1) ⎰--10222)1)(1(x k x dx(k 2<1)(2)⎰20cos sin πx x dxqp(p ,q>0) 解：（1）1是被积函数的唯一瑕点因为 -→1lim x )1)(1()1(22221x k x dx x --- =+∞<-)1(212k由21=p 知瑕积分收敛．（2）0与2π都是被积函数的瑕点． 先讨论,cos sin 40⎰πx x dx q p 由+→0lim x 1cos sin 1=xx x q p p知: 当p<1时, 瑕积分⎰4cos sin πxx dxqp 收敛; 当p ≥1时,瑕积分⎰40cos sin πxx dxqp 发散．再讨论 ⎰24cos sin ππx x dxqp 因-→2lim πx 1cos sin 1)2(=-xx x qp pπ所以当 q <1时, 瑕积分⎰24cos sin ππx x dxqp 收敛， 当q ≥1时，瑕积分⎰24cos sin ππx x dxqp 发散． 综上所述，当p<1且q<1时, 瑕积分⎰20cos sin πxx dxqp 收敛; 其他情况发散．例9.10 求证: 若瑕积分⎰1)(dx x f 收敛，且当+→0x 时函数f (x )单调趋向于+∞，则+→0lim x x f (x )=0. 证明：不妨设]1,0(∈∀x , f (x )≥0, 且f (x )在(0, 1)上单调减少。
已知⎰10)(dx x f 收敛，由柯西收敛准则，有0>∀ε, 0>∃δ(δ<1), δ<<∀x 0有,)(2ε<⎰xxdt t f从而0<)(2x f x≤ε<⎰x x dt t f 2)( 或0<x f (x )ε2<即+→0lim x x f (x )=0.例9.11 求证瑕积分⎰-1)]cos 1([1dx x x λ(λ>0), 当λ<31时收敛当λ31≥时发散. 证明:∵+→0lim x λλ)]cos 1([3x x x -=+→0lim x λλλ⎪⎭⎫ ⎝⎛-233cos 1x x x x =+→0lim x λλ2cos 112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x所以当3λ<1时，即λ<31时，瑕积分收敛．当3λ≥1，即λ≥31时，瑕积分发散．前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果．定理9.12（积分第二中值定理）设g (x )在[a ,b ]上可积，f (x )在[a ,b ]上单调，则存在ξ∈[a ,b ] 使⎰badx x g x f )()(=⎰⎰+ξξa a dx x f b g dx x f a g )()()()(为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况．引理9.1设f (x )在[a , b ]上单调下降并且非负，函数g (x )在[a ,b ]上可积，则存在c ∈[a ,b ]，使⎰badx x g x f )()(=f (a )⎰ca dx x g )(证明：作辅助函数)(x ψ= f (a ),)(⎰xa dt t g对[a ,b ]的任一分法P: a =x 0<x 1<x 2<…<x n =b我们有⎰badx x g x f )()(=dx x g x f ni x x ii )()(11∑⎰=-由此得到|⎰badx x g x f )()(－dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--|=|dx x g x f x f i ni x x ii )()]()([111-=-∑⎰-|≤dx x g x f x f i ni x x ii |)(||)()(|111-=-∑⎰-≤)(1f L ni i ∑=ω△x i这里L 是|g (x )|在[a ,b ]的上界, )(f w i 是)(x f 在[]i i x x ,1-上的振幅，从这个估计式可知,当P 0→时,应当有dx x g x f ni x xi ii )()(111∑⎰=--→⎰ba dx x g x f )()(我们来证明≤∈)(min ],[x b a x ψdx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--)(max ],[x b a x ψ∈≤为此，引入记号 G(x )= ⎰xadt t g )(并作如下变换dx x g x f ni x xi ii )()(111∑⎰=--=)]()([)(111-=--∑i i n i i x G x G x f =-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(111-=-∑i ni i x G x f=-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(10i n i i x G x f ∑-==-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(11i n i i x G x f ∑-= （0)()(0==a G x G ）=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f因为0)()(1≥--i i x f x f , )(n x f 0≥,所以dx x g x f ni x xi ii )()(111∑⎰=--=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f≥{)(])()([11n ni i i x f x f x f +-∑=-})(min ],[x G b a x ∈=)(min )(],[x G a f b a x ∈同样可证dx x g x f ni x xi ii )()(111∑⎰=--≤)(max )(],[x G a f b a x ∈我们证明了不等式)(min )(],[x G a f b a x ∈≤dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max )(],[x G a f b a x ∈即)(min ],[x b a x ψ∈≤dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max ],[x b a x ψ∈现令|p|0→, 取极限，就得到 )(min ],[x b a x ψ∈≤⎰badx x g x f )()(≤)(max ],[x b a x ψ∈因此，存在c ∈[a ,b ]，使得)(c ψ=⎰ba dx x g x f )()( （因为)(x ψ在［b a ,］上是连续函数）也就是⎰badx x g x f )()(=⎰cadxx g a f )()(证毕下面我们证明定理9.12证明：如f (x )是单调下降的，则f (x )－f (b )单调下降且非负，由引理12.2.1知，存在c ∈[a ,b ), 使⎰-b a dx x g b f x f )()]()([=⎰-ca dx x gb f x f )()]()([即⎰badx x g x f )()(=,)()()()(⎰⎰+bc c a dx x g b f dx x g a f对f (x )单调上升的情形，可作类似讨论.使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法定理9.13 若下列两个条件之一满足，则⎰+∞a dx x g x f )()(收敛 （1）（Abel 判别法）⎰+∞adx x f )(收敛，g (x )在[a ,∞]上单调有界;（2）（Dirichlet 判别法）设F(A)=⎰A adx x f )(在[a ,∞]上有界，g (x )在[a ,)∞上单调, 且+∞→x lim g (x )=0.证明：（1）0>∀ε, 设|g (x )|≤M ，∈∀x [a ,∞), 因⎰+∞adx x f )(收敛，由Cauchy 收敛原理，a A ≥∃0, 使01,A A A ≥∀时, 有Mdx x f A A 2|)(|1ε<⎰由积分第二中值定理，我们得到|)()(|1⎰A A dx x g x f ≤+⋅⎰|)(||)(|ξA dx x f A g |)(||)(|11⎰⋅A dx x f A g ξ≤+⋅⎰|)(|ξAdx x f M |)(|1⎰⋅A dx x f M ξ≤2ε+2ε=ε 再由Cauchy 收敛原理知⎰+∞adx x g x f )()(收敛(2) 设M 为F(A)在[a ,+)∞上的一个上界，则a A A ≥∀1,, 显然有M dx x f A A 2|)(|1<⎰同时, 因为+∞→x lim g (x )=0，所以存在a A ≥0, 当x >A 0时, 有g (x )|<M4ε于是，对01,A A A ≥∀有≤⎰|)(|1A Adx x f +⋅⎰|)(||)(|ξAdx x f A g |)(||)(|11⎰⋅A dx x f A g ξ≤+⋅|)(|2A g M |)(|21A g M ⋅≤2ε+2ε=ε 由Cauchy 收敛原理知⎰+∞a dx x g x f )()(收敛 例9.12 讨论广义积分⎰∞+1cos dx xx的敛散性， 解：令f (x )=x1, g (x )=cos x则当x +∞→时，f (x )单调下降且趋于零， F(A)=⎰Axdx 1cos =1sin sin -A 在[a ,∞)上有界．由Dirichlet 判别法知⎰∞+1cos dx xx收敛， 另一方面≥x x |cos |=x x 2cos xx22cos 1+ 因⎰∞+121dx x 发散，⎰∞+122cos dx xx 收敛 从而非负函数的广义积分⎰∞+122cos dx xx发散 由比较判别法知⎰∞+1|cos |dx xx 发散， 所以⎰∞+1cos dx xx条件收敛 例9.13 讨论广义积分⎰∞+1arctan cos xdx xx的敛散性． 解：由上一题知，广义积分⎰∞+1cos dx xx收敛, 而arctan x 在[a , +∞)上单调有界，所以由Abel 判别法知⎰∞+1arctan cos xdx xx收敛。
