费马最后定理的介绍前言:商高定理(毕氏定理)：22'22'====∈=这个耳熟能详的q l lz q l l Zn3444414定理,陪伴我许久也困扰我多年,证明部分,在国中的几何及高中的向量部分都有完整且严谨的证明,但通解却不知为何？例如：222+=、345222+=、222+=、、、接下来便不清楚了.9404151213+=、22272425在考上大学这段期间,柯文柔老师建议我们利用这一段时间对此问题作深入的探讨,于是便拿了一份论文给我们,希望我们研读并且尝试做报告,目的是督促自己并且提升自己的数学程度,进而带动学弟妹对数学这门科目的喜好,提升本校在数学上的风气.此篇心得报告包含222+=的通解,进而介绍费马的生平及其重要相关定理( 高中程x y z度可理解的) .费马问题古希腊数学家丢番图着《算术》一书.1621年,数学家巴切将《算术》由希腊文译成拉丁文,在法国出版.费马买到了它,并对其中的数论问题产生浓厚的兴趣.课余之时,对希腊数学家的一些问题进行研究与推广.当他读到第二卷第八命题“将一个平方数分为两个平方数”时,他想到了更一般的问题,于是他在页边空白处用拉丁文写了一段话：“一个高于二次的幂是不可能分成两个同次的幂.为此,我确信已发现一种美妙的证法,可惜这里空白地方太小写不下”即：n n n x y z +=,其中n 是大于 2 的正整数,则方程式没有正整数解 后来因找不到费马的证明,这激发起历代数学家之研究.这就是大家所熟知费马最后定理的由来.费马问题又叫做费马猜想,但更多的叫做费马最后定理,我们把他简记为 FLT .中国较普遍叫做费马大定理,我国叫费马大定理是为了要区别费马小定理.从费马研究丢番图的书到他逝世有三十年的时间,在这种情况下,方程式n n n x y z +=的解的定理无疑不是他的最后定理.为什么这样叫呢 ? 数学家们解释说,名字的来源很大可能是费马提出很多数论命题,后来的数学家经过长期努力,证明大部分都是正确的,只有一个是错误的.到 1840 年左右,只剩下 FLT 没有被人证明,因此称为最后定理.丢番图的《算术》仅论及有理数,费马的意思是不存在有理数 x, y, z 使 n nn x y z += 成立.如果 x, y, z 可以取无理数,那么对于数对 x, y,得到z =, 即容易证明 FLT 不成立.但是,如果n nn x y z += 存在有理数解,那么n nn x y z +=存在整数解.因为如果有理数 x, y, z 适合方程n n n x y z+=.d 是它们分母的最小公倍数,那么xd, yd, zd 都是整数,并且()()()()n n n n n n xd yd x y d zd +=+=.因此,整数 zd 的n 次幂是两个整数 xd 与yd 的 n 次幂的和.此外,丢番图和费马都论及整数(再费马时期,负数和零仍被怀疑).因此, x或y为零的情况不言而喻也被排除(例如,555+=自然与FLT相连) .当解x,y,z中202有零时,则称此解为平凡解.历史我们先简单的回忆一下它的历史.费马是十七世纪最优秀的数学家之一,1601年8月20日出生于法国南部土鲁斯附近的博蒙─德洛马涅,父亲是一位皮革商.费马于1665年1月12日逝世于土鲁斯.大学时期,费马专攻法律,学成后回到土鲁斯做律师,并以法律知识渊博、做事清廉而著称.他是土鲁斯议会议员,终身职业是律师,并做了土鲁斯议会三十年的法律顾问.费马年近三十才开始认真研究数学,虽然如此但他对数论、几何、分析和概率等学科都做过深入的研究,而且都做出了重大的贡献. 他给出了素数的近代定义,且提出了一些重要命题；他又同笛卡儿分享着创立解析几何的荣誉；他被公认为数学分析的先驱之一,同时也是概率论的开拓者.费马于较早或与笛卡儿同时已得解析几何的要旨. 他于《平面与立体轨迹引论》﹝1629-1636：「立体轨迹」指不可用尺规作出的曲线,有别于现在之含义﹞一文中明确地指出曲线可以方程描述,且曲线性质可由方程的研究推断出. 因此,他与笛卡儿分享创立解析几何之荣誉.另外,他也是早期微积分学的先驱. 他于1636年给罗贝瓦尔及1638年给笛卡儿的信中提出求极大、极小与拐点的步骤,实际已相当于使导数成零而求极点之方法. 这成为现代微积分中函数取极值之必要条件. 而且,他曾讨论曲线xmyn = k﹝m , n是正整数﹞下的面积,并通过求和过程得到求曲线所围面积之公式.此外,他透过与帕斯卡之通信讨论赌金分配问题,得出正确解答,因而成为17世纪兴起的概率论的共同创立者之一. 他还于光学研究中提出「费马原理」,给后世变分法之研究极大的启示.因此费马被誉为“业余数学家之王”,与同时代的数学大师笛卡儿、莱布尼兹等齐名. 费马谦虚谨慎、鄙薄名利,生前很少发表著作. 他的卓越见识出自于他与同时代学者的信件和一批以手稿形式传播的论文. 他的崇拜者常常催促他发表著述,但都遭到拒绝,他的很多论述,特别是数论方面的论述,从没正式发表过. 费马死后,很多论述遗留在纸堆或阅读过的书的页边空白处. 他的儿子─ S.费马将遗稿进行了整理,汇编成册共分两卷. 第一卷有丢番图的《算术》,带有校订和注解；第二卷包括抛物形求面积法、极大极小及重心的论述,这些内容后来成为微积分的一部分.奖金为了找出FLT证明.1823年和1850年,法国科学院曾先后两次提供金质奖章和三千法郎奖金,奖励证明FLT的数学家.1856年的鉴定人有柯西、刘维尔、拉梅、伯传德和沙尔.布鲁塞尔科学院也以重金悬赏.1908年,德国达姆施塔城的数学家佛尔夫斯克尔遗言,把十万马克的巨款赠给哥廷根皇家科学会,有一个附加条件,将款项作为奖金,授予第一个证明FLT的人.按照哥廷根皇家科学会的决定.这种证明必须在一种杂志上或者作为单行本发表,该会不负鉴定稿件之责；得奖最早须在著作发表两年以后.这项奖金限期100年,到2007年取消. 在奖金发出之前,所得利息用来奖励在数学上作出重大贡献的人. 十万马克的奖金推动了FLT的研究.消息传出后,在德国和世界各地掀起了一股研究FLT的热潮.早些时候,每个稍有时誉的数学家,尤其是数学杂志的编辑们,都忙于处理所谓“几合作图三大不能问题”解法探求.这时,它们被FLT的解答所代替.应征者不仅有数学家,还有许多工程师、牧师、教员、大中学校的学生、银行职员和政府官员等；不仅有德国人,还有大量外邦人.人数之多,阶层之广,都是空前的.注:几何作图三大问题,是指化圆为方问题、任意角三等分问题和立方倍积问题.看完了历史部份我们来看几个重要的Fermat定理和证明Fermat定理定理 1.222x y z +=的互质正整数解为:2x uv =,22y u v =-,22z u v =+ ,其中 u, v 是任意互质正整数,且 u, v 不同时为奇数.定理 2.方程式442x y z +=没有全异于零的整数解.定理 3.Fermat 方程式333x y z +=的第一种情况成立.换句话说,如果 1x ,1y ,1z 是全异于零的整数并且满足333111x y z +=,则()1110mod 3x y z ≡ 定理 4. (费 马小定理 )若()0mod a p ≠ ,则()11mod p a p -≡.证明定理 1.222x y z +=的互质正整数解为2x uv =, 22y u v =-, 22z u v =+,其中 u, v 是任意互质正整数,且 u, v 不同时为奇数.证明 : 令 x, y, z 是互质正整数,且222x y z += .1. 若 x 与 y 都是奇数,则 z 是偶数则设 x=2h+1,y=2k+1,z=2q, 222244144142x y h h k k l +=+++++=+ 22'44z q l == ( l 与 l Z ∈), 矛盾.2. 若 x 是偶数, y 与 z 是奇数由 x2 = z2 - y2 = (z+y) (zy) ,令 x=2r, zy = 2s, z+y = 2t 代回. 由此既可得 , , r2 = st .讨论 :令/ , / ,又因 y 与 z 互质,所以 =1 .但 ,所以 是完全平方. 故令 s= v2 , t= u2 .所以 x=2rzy = 2sz+y = 2t得x=2uv, y=u2-v2,因此得证定理2方程式x4 + y4 = z2没有全异于零的整数解.证明:令x1, y1, z1是互质正整数,且x14 + y14 = z12 .由定理1,可设是奇数,且x12 = 2uv, y12 = u2 -v2 , z1 = u2 + v2 ,其中且u与v是互质正整数.因y12 = u2 -v2 v2 + y12 = u2 , y1是奇数,且 ,故v是偶数（定理1）,令v=2w代入x12 = 2uv,得,因u与w 互质,且uw是完全平方.故令u=r2, w=s2, v=2w=2s2 . 由r<r2 =u < u2 + v2 = z1（,u>v）.将u与v的值代入v2 + y12 = u2 . 得(2s2)2 + y12 = (r2)2故其中a与b互质.由s2 = ab得a = x22 , b= y22 ,其中x2与y2互质. 将a与b之值代入r2 = a2 + b2 ,并令z2 = r ,得,且z2 < z1若(x1, y1, z1)是方程式x4 + y4 =z2的一组互质正整数解,则必存在另一组互质正整数解(x2, y2, z2)且z2 < z1 . 以次类推,必得到一个矛盾,因为正整数数列z1 > z2 > z3 >… 不可能是无限的. 因此不合得知方程式x4 + y4 = z2没有全异于零的整数解.定理4.若 ,则 .证明：根据因为是整数,且其分母部分与p互质,故p整除 .令B=1得故(两边同减去)以代入,得故若 ,得将军巡营解三座兵营分别设置在大片草原的三处,将军经常要去巡视. 他从自己的指挥所出发,到达第一兵营后回到指挥所；再去到第二兵营后回到指挥所；最后去到第三兵营后回到指挥所. 一天,他忽然想到要把指挥所搬到少走路程的地方,却拿不定主意,不知指挥所应放在那儿才合适.这则故事引起了许多人的兴趣,进行研究这个问题的大有人在. 经历了不知多少年,谜底始终没有揭开,便一直成为悬案,称为「将军巡营」问题.以每座兵营为一个点三座兵营便构成一个三角形那么指挥所可拟作三顶点以外的一个点,于是问题可以叙述为：试确定一点,使它至三顶点往返的距离何为最小.往返的距离何为最小,相应地,单程的距离和也最小. 这样,「将军巡营」问题实质上就：「试求一点,使它到已知三角形的三顶点距离之和为最小.」这样一个极值问题.根据那则民间传说提出这个极值问题的就是费马,后人从他致义大利物理学家托里切利的信中见到它.对于这类几何的极值问题,费马相当熟悉它的解法. 最简明的解法是应用「等角特征」原理. 如果三角形ABC中有一点P ,那么当∠ APB=∠ BPC=∠ CPA=120°时,这点便是费马所提出求解的那个点,即P点是到ABC三点距离之和最小之点. 若另取一点Q ,必有将军巡营问题是由费马解决的,将军的指挥所放在那儿？是费马向托里切利提出的那个点,后人称为「费马点」.证明：有最小值时∠ APB=∠ BPC=∠ CPA=120°1.由图1,2先证 ,当有最小值时,为一直线段.由图1以点B为轴将向左旋转60°, 使点落在点 , 以点P为轴将向左旋转60°,使点P落在点Q ,连 ,使 ,连 , 且60°,所以为正三角形,因此 ,又 ,所以 ,所以 ,当有最小值时, 为一直线段, 因此得证.图1图22.再证有最小值时∠ APB=∠ BPC=∠ CPA=120°由图3为一直线段,则P为即「费马点」,为正三角形.因此由图3知∠ APB=∠ AQB=120° ∠ BPC=180° -60° =120° ∠ CPA=120°因此∠ APB=∠ BPC=∠ CPA=120° 得证图3结语:「……一个高于二次的幂是不可能分成两个同次的幂.为此,我确信已发现一种美妙的证法,可惜这里空白地方太小写不下.」写这段笔录的书丢失了,但在1670年由他而儿子S.费马出版的费马著作中有此记载. 迪克森的《数论史》中第二卷中说,费马的断言大约产生在1637年. 理由是费马家的皮革厂提到费马给梅森的信,信中写到,他希望找到两个立方数的和是一个立方数,两个四次幂的和是一个四次幂. 这封信的日期是1638年6月. 费马于1640年和1657年将同样内容推荐给一些数学家,但都没有提到他所找到的奇妙的证明.费马的遗著发表了,人们很想从中知道费马是怎样证明FLT的,但查遍了他所有的著作,结果使人们大失所望. 关于他的“奇妙的证明”,人们有各种猜测:有人认为他根本没有给出证明,相反,也有人认为他给出过证明,不过证明中有错误,他们认为用费马时期的数学知识没办法给出证明.许多知名数学家都研究过它,他们中有欧拉、勒让徳、高斯、阿贝尔、狄利克雷、拉梅、柯西和库麦等,有的人为此献出毕生经历都没能找出证明,究竟费马是否有那奇妙的证明我们不得而知,但是他带给后是数学上的贡献是无可置疑的,他带动了整数论等一些理论.在未来的日子,我们也会抱着谨慎的态度继续往数学这方面前进,去钻研更高深的数学,也希望能在这方面能有所贡献,带动数学上的进步.这次的报告,对我们来说意义重大,不但可以多学一项数学的伟大定理,也提前感受到大学的学术研究是如何进行,学生们需要自己找书来研读,老师只帮忙指导,提供意见,主要的负责还是学生我们,而以前感觉柯老师上台教书好像蛮轻松的,不但敎的好,也可以偶尔带给我们些幽默,但事实上自己在报告前,上台演练时才知道并不如想像中的,不但事前的准备要周详,还要克服紧张的感觉,而最难的是能讲的让台下的人听的懂,柯老师常说,自己懂100%讲出来可能只有50%,因为我们懂得人容易把它当成一种正常的现象,变的不好表达,如果有讲的不完全或不周详的还请老师,同学多多包含…最后我们要感谢做帅气的柯老师,能在他自己每天至少4堂课中抽出宝贵时间来指导我们,也感谢各位老师,同学的聆听…我们的报告到次结束…谢谢大家~!参考论文: <费马问题>康明昌教授.tw/articles/mm/mm_07_4_01/index.htm1参考著作:<费玛最后定理>(Simon Singh/着薛密/译)<费马猜想>(姚玉强/着)<创新演绎的10大数学家>(傅钟鹏/着)<数学家传奇>(李信铭教授/着)<初等代数研究>(左铨如.季素月.朱家生.陈鼎/着)同余同余(Congruence)是数学上一个很重要的概念,二百年前由德国数学家高斯提出的.给定一个正整数n,如果是n的倍数,我们说两个数a、b是对模数n同余. 用符号表示.比方说:7, 4是对模3同余,因为 . 16, 52是对模6同余,因为；23 , 13是对模2、模5同余,因为写成数学式子是 , , 或. 而 .因此,下列三个命题等价(1)(2)(3)a,b分别被m除,所得余数相同.我们现在令表示所有的整数集合,给定一个正整数n ,我们看同余究竟有什么性质？对于任何整数a , b , c , n1.我们恒有「同余具有反身性(Reflexive property)」.2.若成立,则也成立「同余具有对称性(Symmetry property)」.3.若 , ,则我们可以得到「同余具有递移性(Transitive property)」.4.若则或(其中p表质数)说明:1.因为2.由 ,我们得 , k是一个整数,因此 ,即 .3.若即可表示成即可表示成因此由上两式可得即可得4.若即可表示成又p为质数所以p为a或b之质因数由于同余这四种特别的性质,我们可以把整数集分成n部分,我们用 , , ； , 来表示这些部分,对于 , 包含所有使得的整数a .让我们看看底下的例子：例1.取 ,则我们把整数分为偶数或奇数,就是包含所有的偶数.包含所有的奇数.例2.取 ,则现在让我问一个问题：「什么被2除余1？」我想你一定会回答：是所有的奇数,奇数一般可以用来表示. 就是在的数.现在让我再问一个问题：「什么被3除余2」？我想你一定会回答：所有形如的数,这里可以等于 ,这就是在里的数.这两个问题都是很容易. 现在让我们把这两个问题合成一个问题：「什么数被2除余1 ,被3除余2？」这时你就必须在里找所有的奇数,即等等. (如果你学过初等集合论,你就是要找交集的所有元素. )而这些所有的数可以写成形如 . ( )因为以上的问题写成数学式子就是：「寻找 ,使得 , . 」而答案是：所有形如的数.。
