第四章 插值与多项式逼近

高中数学中的插值与多项式逼近在高中数学中，插值和多项式逼近是两个重要的概念和技巧。

它们在数学和工程领域中具有广泛的应用，可以用来解决实际问题，提高计算精度和效率。

本文将对插值和多项式逼近进行介绍和探讨。

一、插值的概念和应用1. 插值的概念插值是指通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数在已知数据点上与已知函数或数据完全一致。

插值的目的是为了通过已知的离散数据点来估计未知的数据点，从而实现对数据的预测和补充。

2. 插值的应用插值在实际应用中非常广泛，例如地理信息系统中的地图绘制、图像处理中的图像重建、金融领域中的股票价格预测等。

通过插值方法，可以根据已知数据点的特征和规律，推断出未知数据点的值，从而提供更准确的预测和分析。

二、插值方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。

这个多项式函数通过已知数据点的横纵坐标来确定，从而实现对未知数据点的估计。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来构造一个多项式函数。

差商是指已知数据点之间的差值与对应函数值之间的比值，通过差商的递归计算，可以得到一个多项式函数，从而实现对未知数据点的估计。

三、多项式逼近的概念和方法1. 多项式逼近的概念多项式逼近是指通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，使得这个多项式函数在已知数据点上与已知函数或数据最接近。

多项式逼近的目的是为了简化计算和分析，提高计算效率和精度。

2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的多项式逼近方法，它通过最小化已知数据点与多项式函数之间的误差平方和，来确定最优的多项式函数。

最小二乘法可以用来解决数据拟合、曲线拟合等问题，广泛应用于统计学、信号处理等领域。

四、插值与多项式逼近的比较1. 精度比较插值方法可以通过已知数据点完全重构已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度非常高。

而多项式逼近方法则是通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度可能会有一定的误差。

第四章 插值法与函数逼近A 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令证明是n 次多项式,它的根是,且 .2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设,k =0,1,2,3,求.6. 设为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)ii)7. 设且,求证8. 在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少? 9. 若,求及. 10. 如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数).11. 证明.12. 证明13. 证明14. 若有个不同实根,证明2000011211121()(,,,,)11n n n n nn n n nx x x V x V x x x x x x x xx x ----==()n V x 01,,n x x -101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--0k x x kh =+032max ()x x x l x ≤≤jx 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑[]2(),f x C a b ∈()()0f a f b ==21()()().8maxmax a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"44x -≤≤()x f x e =x e 610-h 2n n y =4n y ∆4n y δ()f x m ()()()f x f x h f x ∆=+-()f x k ()(0)k f x k m ∆≤≤m k -()0(m l f x l +∆=1()k k k k k kf g f g g f +∆=∆+∆110010.n n k kn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++n 12,,,n x x x15. 证明阶均差有下列性质: i)若,则;ii) 若,则.16. ,求及.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,.20. 设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到.21. 设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差.22. 求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23. 求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i)ii)25. 若,是三次样条函数,证明i);ii) 若,式中为插值节点,且,则.26. 编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用(8.7)式的表达式).{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑n ()()F x cf x =[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =()()()F x f x g x =+[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+74()31f x x x x =+++0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈()P x (0)(1)P P k =-+()P x (0)(0)0P P ='=(1)(1)1P P ='=(2)1P =[](),f x C a b ∈[],a b n ()n x ϕn →∞()nx ϕ[],a b ()f x 2()1/(1)f x x =+55x -≤≤10n =()h I x ()h I x ()f x 2()f x x =[],a b ()h I x 4()f x x =[],a b (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='=(0.25)(0.53)0.S S "="=[]2(),f x C a b ∈()S x [][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰()()(0,1,,)i i f x S x i n ==i x 01n a x x x b=<<<=[][][]()()()()()()()()()b aS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰()S x ()S xB 函数逼近1. (a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.(b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当时,. (b)当时,.3. 在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.4. 假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数,使达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求在上的最佳一次逼近多项式. 8. 如何选取,使在上与零偏差最小?是否唯一?9. 设,在上求三次最佳逼近多项式. 10. 令,求.11. 试证是在上带权.12. 在上利用插值极小化求1的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使14. 设在上,试将降低到3次多项式并估计误差. 15. 在上利用幂级数项数求的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16.是上的连续奇(偶)函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数. 17. 求、使为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. 、,定义问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.[],a b ()sin f x x =[]0,/2π()m f x M ≤≤(,)n m B f x M ≤≤()f x x =(,)n B f x x =()sin 4f x x =[]0,2π()f x [],a b ()f x a 301max x x ax≤≤-()sin f x x =[]0,/2π()xf x e =[]0,1r2()p x x r =+[]1,1-r 43()31f x x x =+-[]0,1[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈***0123(),(),(),()T x T x T x T x {}*()nT x []0,1ρ=[]1,1-1()f x tg x -=()xf x e =[]1,1-()n L x n f L ∞-1n ≥n αn β11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤[]1,1-234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----()x ϕ[]1,1-()sin f x x =()f x [],a a -n ()f x *()n n F x H ∈a b []220sin ax b x dx π+-⎰()f x []1(),g x C a b ∈()(,)()();()(,)()()()();bbaaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰6101x dx x +⎰20. 选择,使下列积分取得最小值:.21. 设空间,分别在、上求出一个元素,使得其为的最佳平方逼近,并比较其结果.22. 在上,求在上的最佳平方逼近.23.是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系.24. 将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把在上展成切比雪夫级数.26..27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录,试用改进FFT 算法求出序列的离散频谱a 1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=1ϕ2ϕ[]20,1x C ∈()f x x=[]1,1-{}2411,,span x x ϕ=sin (1)arccos ()nn x u x +=()()()112n n n u x xu x u x +-=-1()sin2f x x=[]1,1-()arccos f x x =[]1,1-2y a bx =+{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x ={}k x {}k C (0,1,,7).k =。

多项式逼近和插值多项式逼近和插值是计算数学中的两个基本概念，它们是求一定准确度下函数近似值所必须采用的数值方法。

多项式逼近是指用低阶多项式逼近原函数，插值是利用已知数据点在插值区间内构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处等于原函数。

它们的应用范围很广，包括科学工程计算、图像处理、信号处理等领域。

下面介绍它们的原理和应用。

一、多项式逼近当我们需要用低阶多项式逼近原函数时，可以采用最小二乘法。

最小二乘法是一种在数据拟合中广泛使用的方法，通过将误差的平方和最小化来确定函数的系数。

假设给定函数$f(x)$及其在$n+1$个采样点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$处的值，我们要用一个$m$次多项式$p_m(x)$去逼近$f(x)$。

我们可以将$p_m(x)$表示为$p_m(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_mx^m$，则函数的误差可以表示为$E(a_0,a_1,...,a_m)=\sum_{i=0}^n [f(x_i)-p_m(x_i)]^2$，通过最小化误差函数来确定多项式系数$a_0,a_1,...,a_m$。

最小二乘法可以用线性代数和矩阵计算方法求解。

最小二乘逼近是一种非常有效的数据拟合方法，并且有许多实际应用。

例如，在金融领域中，我们可以用该方法来估计股票期权价格；在图像处理中，我们可以用该方法实现图片的平滑处理和降噪处理。

二、插值插值是利用已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处等于原函数。

插值法可分为以下两种情况：一是利用拉格朗日插值公式，将函数表示为已知节点函数的线性组合；二是利用牛顿插值公式，基于差商的思想构造插值多项式。

两种方法的计算效果是相同的，但在计算机实现过程中，两者有些微小的差别。

在实际应用中，插值方法常常用于图像处理、信号处理、数值微分和数值积分等问题，例如，在金融领域中，也可以利用插值方法对期权的未来价格进行预测。

函数的插值与多项式近似计算1. 实验描述计算机中常常要用到库函数，sin(x),cos(x)和e x ,它们是用多项式逼近来计算的。

常见的多项式逼近方法有泰勒级数、拉格朗日逼近、牛顿多项式等。

在求解不同的问题时，采用不同逼近方法或同一种方法不同阶数都会对逼近结果造成影响。

好的方法可以降低误差优化计算。

2. 实验内容比较对函数f(x)=tan(x)的逼近：计算N=9的多项式计算及误差比较;要求：1.用泰勒多项式逼近；2.拉格朗日多项式逼近；3.牛顿多项式逼近；4.帕德逼近。

3. 实验结果及分析泰勒多项式逼近：设f ∈C N+1[a,b]，而x 0∈[a,b]是固定值。

如果x ∈[a,b]，则有f x =P N x +E N (x )其中P N x 为用来近似f x 的多项式：f x ≈P N x = f k x 0 k !N k =0(x −x 0)k 误差项E N (x )形如E N (x )=f N +1 c N +1 ! x −x 0 N +1，c 为x 和x 0的某个值c =c x 。

令w=tan(x)，则泰勒展开的9项式为：P = x+1/3*x^3+2/15*x^5+17/315*x^7+62/2835*x^9用泰勒展开逼近其绝对误差b=|F-P|，相对误差c=b/|F| 由图（1）得在区间从-1到1之间泰勒展式能很逼近tan （x ），误差基本为零。

但随着x的变化，绝对误差和相对误差都变大，失去逼近效果。

红线为tan （x ），蓝线为P图（1）绝对误差相对误差拉格朗日多项式逼近：设f ∈C N+1[a,b]，且x 0,x 1,…,x N ∈[a,b]为N+1个节点。

如果x ∈[a,b]，则f x =P N x +E N (x )其中P N x 是可以用于逼近f(x)的多项式：f x ≈P N x = f (x k )L N ,k Nk =0x误差项E N (x )形如E N (x )= x −x 0 x −x 1 … x −x N f N +1 c N +1 ！c =c x 为区间[a,b]内的某个值。

插值与多项式逼近的数组计算方法实验【摘要】计算机软件中经常要用到库函数，如）cos，x e，它们（x（xsin，）是用多项式逼近来计算的。

虽然目前最先进的逼近方法是有理函数（即多项式的商），但多项式逼近理论更适于作为数值分析的入门课程。

在已知数据具有高精度的情况下，通常用组合多项式来构造过给定数据点的多项式。

构造组合多项式的方法有许多种，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的方分和系数表。

关键字泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近一、实验目的1.通过具体实验，掌握泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近的编程技巧。

2.比较各插值方法的优劣并掌握。

二、实验原理1.泰勒级数在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

具有任意阶导数，则幂级数如果在点x=x处的泰勒级数。

称为在点x=0，得到的级数在泰勒公式中，取x称为麦克劳林级数。

函数的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。

2.拉格朗日插值法如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。

这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。

数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。

在平面上有(x 1,y 1)(x 2,y 2)...(x n ,y n )共n 个点，现作一条函数f （x ）使其图像经过这n 个点。

作n 个多项式p i (x),i=1,2,3...,n,使得最后可得3.牛顿插值法插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。