- -从Fourier 分析到小波分析1 Fourier 分析所有客观存在的事物都包含着大量标志其本身所存的时间空间特征的数据，这就是该事物的信息。
当人们要了解事物某方面的情况时，通常要以各种手段把所需的信息表达出来，供人们观测和分析，这种对信息的表达形式称之为“信号”，所以信号是信息的载体。
信号是无处不在的。
如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的视频图像信号，发电机组运行时的温度信号和振动信号等。
对一个给定的信号或过程，如)(t x ，我们可以用众多的方法来描述它，如)(t x 的函数表达式，通过Fourier 变换所得到的)(t x 的频谱，即)(ˆωx，再如)(t x 的相关函数，其能量谱或功率谱等。
在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即时间和频率。
Fourier 变换和反Fourier 变换作为桥梁建立了信号)(t x 与其频谱)(ˆωx之间的一对一映射关系，从时域到频域的映射关系为Fourier 变换：⎰∞∞--=dt e t x x t j ωω)()( (1-1)反过来，从频域到时域的映射关系为反Fourier 变换：⎰∞∞-=ωωπωd e x t x t j )(21)( (1-2)Fourier 变换的本质思想是用一些简单的基本函数的加权和来近似和表示一个复杂的函数，这样的近似和表示有很多优点，它给我们分析和认识复杂现象提供了一种有效的途径，一些在时域内难以观察的现象和规律，在频域内往往能十分清楚地显示出来。
Fourier 变换和反Fourier 变换属于整体或全局变换，即只能从整体信号的时域表示得到其频谱，或者只能从整体信号的频域表示得到信号的时域表示。
也就是说频谱)(ˆωx的任一频点值都是由时间过程)(t x 在整个时域(-∞,∞)上的贡献所决定；反之，过程)(t x 在某一时刻的状态也是由其频谱)(ˆωx在整个频域(-∞,∞)上的贡献所决定。
也就是说，)(t x 在任何时刻的微- -小变化都会牵动整个频谱，而任何有限频段上的信息都不足确定任意小时间范围内的过程)(t x 。
因此，Fourier 变换建立的只是一个域到另一个域的桥梁，并没有把时域和频域组合在一起，所以频谱)(ˆωx只是显示了信号)(t x 中各频率分量的振幅和相位，而无法表现信号各频率分量随时间变换的关系。
t / s t / s (a) x 1(t ) (b) x 2(t )图2.1 信号x 1(t )和x 2(t )图2.1中的两个信号x 1(t )、x 2(t )可很好地说明Fourier 变换的局限性，它们的时域表示如下：)18sin()12sin()6sin()(1t t t t x πππ++= 0≤t ≤4s (1-3)⎩⎨⎧≤≤+<≤+=s 4t 2 )(18sin 2)(12sin s 2t 0 )(12sin )(6sin 2)(2t t t t t x ππππ (1-4) 这两个信号都是由三种频率分量组成，但它们的持续过程是不一样的，在x 1(t )中，三种分量一直存在；而在x 2(t )中，只有一个分量一直存在，另两个只是分别占信号整个过程的前一半和后一半。
f / Hz f / Hz(a)21|)(ˆ|ωx (b)22|)(ˆ|ωx 图2.2 信号x 1(t )和x 2(t )的频谱图2.2是这两个信号的频谱21|)(ˆ|ωx、22|)(ˆ|ωx ，显然这两个不同的信号有相同的频谱，这说明Fourier 分析不能将这两个信号区分开。
- -2 短时Fourier 分析2.1 基本定义为了克服Fourier 变换不能同时进行时间——频率局域性分析的缺点，因发明全息照相技术而获诺贝尔奖的Gabor 于1946年提出了短时Fourier 变换(STFT)。
短时Fourier 变换的思想是把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性则是通过时间域加窗来实现，所以也称为加窗Fourier 变换，定义如下：⎰∞∞---=dt e t g t x t j x ωτωτ)()(),(STFT (2-6) 式中)(t g 是分析窗函数，它在时域是紧支的，一般选用能量集中在低频处的实偶函数。
随着τ的不断变化，由g 所确定的窗口在时间轴上移动，使分析信号)(t x 逐步进入被分析的状态，因此该变换反映了信号)(t x 在时刻为τ、频率为ω的分量的相对含量。
Gabor 采用Gauss 函数)(t g a (式2-7)作为分析窗函数，因此用Gauss 函数作为窗函数的短时Fourier 变换也称Gabor 变换),(τωx G 。
Gauss 函数是紧支的，它的Fourier 变换也是Gauss 函数)(ˆωa g(式2.2-8)，从而保证了Gabor 变换在时域和频域都具有局域化功能。
a t a e at g 4/221)(-=π (2-7) 2)(ˆωωa a e g -= (2-8)t / s rad/s (a))(t g a (b))(ˆωa g图2.3 Gauss 函数)(t g a 及其Fourier 变换)(ˆωa g可以证明，对于Gabor 变换，式2-9是成立的⎰∞∞-=)(ˆ),(ωττωxd G x (2-9)- -这说明信号x (t )的Gabor 变换按窗口宽度精确地分解了x (t )的频谱)(ˆωx，提取了它的局部频谱信息，当τ在整个时间轴上平移时，就给出了x (t )的完整的Fourier 变换，因此没有损失x (t )在频域上的任何信息。
短时Fourier 变换是能量守恒变换，对于任何窗函数下式都成立⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-=τωωτπd d dt t x x 22|),(STFT |21|)(| (2-10) 在归一化条件下，即dt t x ⎰∞∞-2|)(|＝1，短时Fourier 变换是可逆的，其逆变换公式如下 ⎰⎰∞∞-∞∞--=τωτωτπωd d e t g t x t j x )(),(STFT 21)( (2-11) 这里用短时Fourier 变换对上节中的信号x 1(t )和x 2(t )进行了分析，图2.4和图2.5给出了变换结果和相应的3D 显示效果。
t / s 图2.4 信号x 1(t )的Gabor 变换(窗口长度为1/8的信号长度)t / s 图2.5 信号x 2(t )的Gabor 变换(窗口长度为1/8的信号长度)通过图2.4和图2.5可以很容易地辨识出信号x 1(t )和x 2(t )，它们各个频率分量的持续时间也可轻易地知道，如对x 1(t )，它的三个频率成份就一直f / H z 120 6f / H z 02040- -存在，而x 2(t )中，只有一个频率成份一直存在，而其它两个频率成份只是占据了信号整个过程的前一半和后一半。
2.2.2 短时Fourier 变换的时频分辨率短时Fourier 变换是一种时频变换，从上面的例子可以看出，它可以方便地分析非平稳信号，现在很自然会产生这么一个问题，是不是窗口越小越好呢？先看两个极端的例子。
当窗口函数选择为)(τδ时，这时ωττωτj x e x -=)(),(STFT (2-12)信号的STFT 变成了信号x (t )，它保持了信号的所有时间特征，有完美的时域分辨率，却无任何频域分辨率。
另外，当取无限宽的窗函数时，即g (t )=1时，此时的短时Fourier 变换退化成一般的Fourier 变换，这时)(ˆ),(STFT ωωτxx = (2-13) 信号的STFT 变成了信号)(ˆωx，它有极好的频率分辨率，但没有任何时间分辨率。
为了分析Fourier 变换的时频局部化特性，引入相空间的概念。
所谓一个相空间是指以“时间”为横坐标，以“频率”为纵坐标的欧氏空间，而相空间中的有限区域被称为窗口。
相空间的作用是用来刻画一定的物理状态，因此它具有很强的工程背景。
从数学上来说，如果函数)()(2R L t g ∈，且)()(2R L t tg ∈，则)(t g 被称为窗口函数，相空间的点),(00ωt⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎰⎰∞∞-∞∞-ωωωωωd g g dt t g t t g t 220220|)(ˆ|)(ˆ1 |)(|)(1 (2-14) 被称为窗函数)(t g 的中心。
式中，)(ˆωg为窗函数)(t g 的Fourier 变换(下同)。
定义： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆⎰⎰∞∞-∞∞-2/122022/12202|)(ˆ|)()(ˆ1ˆ)()()(1ωωωωωd g g g dt t g t t t g g (2-15)- -为窗函数)(t g 的时宽和频宽。
相空间中以),(00ωt 为中心，以长为g ∆2，宽为gˆ2∆的平行于坐标轴的矩形称为由g (t )所确定的时频窗口。
若g ∆越小，则说明)(t g 在时域上的局部化程度越高，当用这么一个窗进行短时Fourier变换时，将取得较好的时域分辨率；同样，若gˆ∆越小，则说明)(t g 在频域上的局部化程度越高，用于短时Fourier 变换时，将取得较好的频域分辨率。
可以证明gg ˆ∆∆≥1/2 (2-16) 这就是Heisenberg 测不准原理在时频变换中的表现，它表明g ∆和gˆ∆之间存在一定的制约关系，两者不可能同时都任意小。
当且仅当g (t )取Gauss 函数时，式(2.2-16)中等号才成立。
从物理的直观意义上讲，信号的频率必须至少在一个周期内(t ∆≥0/1ω)进行测量，精确测量并认定某一时刻的频率是多少是没有意义的。
图2.6 短时Fourier 变换的相空间表示图2.6给出了短时Fourier 变换的相空间表示。
很明显窗口函数g (t )一旦选定，g ∆和g ˆ∆也随之确定。
因此，对于任意给定的0t 和0ω，短时Fourier变换的时频分辨率可由尺度固定的分辨基元)]ˆ()[(0gg t o ∆±⨯∆±ω来表示，也就是说，短时Fourier 变换在相空间中任何一点(00,ωx )给出的关于信号x (t )的信息，都是由g ∆和gˆ∆这两个不确定量限定的。
由于短时Fourier 变换的时频窗口有相同的时宽和频宽，也就是窗口的大小形状是固定不变的，它在时域和频域的分辨率是固定不变的，即在高频段和低频段有同样的分辨率，这在图2.4和图2.5上有很好的表现，可看出信号中的三个不同的频率成份在图上表现出了同样的带宽。
为了更好地说明g ∆和gˆ∆之间的相互制约性，这里用不同宽度的窗函数对前面的信号x 1和信号x 2进行了分析，如图2.7所示。
- -t / s t / s 图2.7 信号x 1(t )和x 2(t )的Gabor 变换(窗口长度为1/4的信号长度) 和图2.4和图2.5相比，那里的窗口宽度为1/8的信号长度，而现在的窗口用的是1/4的信号长度。
