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拟合实例 数学建模

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数学建模第四讲(下)：拟合模型

数学建模第四讲(下)：拟合模型

切比雪夫（Chebyshev）多项式
切比雪夫多项式
在 [-1, 1] 上带权 (x)= 1 的正交多项式称为 切比雪夫多项式
1 x2
记号：T0 , T1 , T2 , ...
Tn ( x) cos(n arccos x), x 1,
若令x cos ,则Tn ( x) cos n , 0 .
n
( x, y) i xi yi 1 x1 y1 2 x2 y2 n xn yn i 1
正实数 1, 2, , n 称为加权系数
内积
例：Cn 上的内积：
n
( x, y) xi yi x1 y1 x2 y2 xn yn
i 1
加权内积 n
( x, y) i xi yi 1 x1 y1 2 x2 y2 n xn yn
式 记号：P0 , P1 , P2 , ...
P0 ( x) 1,
Pn (
x)
1 2n n!
dn dx n
( x2
1)n
x [-1, 1]，n = 1, 2, …
l
Pn (x) 的首项
xn
的系数为：2 n( 2 n
1) ห้องสมุดไป่ตู้n 2n n!
1)
(2n)! 2n ( n !)2
l
令
Pn( x)
n! (2n)!
函数逼近
最佳一致逼近
f
(x)
P
*(x)
min
PH n
f (x) P(x)
最佳平方逼近
f ( x) P * ( x) min f ( x) P( x)
2 PHn
2
正交多项式
定义 设 n(x) 是首项系数不为 0 的 n 次多项式，

数学建模Matlab数据拟合详解

数学建模Matlab数据拟合详解
9 10 11 12 13 14 15 16
刀具厚度 y/cm 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 24.0 拟合曲线为: 拟合曲线为 y=-0.3012t+29.3804
一个15.4cm×30.48cm的混凝土柱在加压实验中的 例3 一个 × 的混凝土柱在加压实验中的 应力-应变关系测试点的数据如表所示 应力 应变关系测试点的数据如表所示
用切削机床进行金属品加工时, 例2 用切削机床进行金属品加工时 为了适当地调整 机床, 需要测定刀具的磨损速度. 机床 需要测定刀具的磨损速度 在一定的时间测量刀 具的厚度, 得数据如表所示: 具的厚度 得数据如表所示 切削时间 t/h
0 1 2 3 4 5 6 7 8
刀具厚度 y/cm 30.0 29.1 28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 切削时间 t/h
已知应力-应变关系可以用一条指数曲线来描述 已知应力 应变关系可以用一条指数曲线来描述, 即假设 应变关系可以用一条指数曲线来描述
σ = k1ε e
k 2ε
式中, 表示应力, 表示应变. 式中 σ 表示应力 单位是 N/m2; ε 表示应变
σ 令 z = ln , a0 = k2 , a1 = ln k1 , 则 z = a0ε + a1 ε
σ = k1ε e
k 2ε
式中, 表示应力, 表示应变. 式中 σ 表示应力 单位是 N/m2; ε 表示应变 选取指数函数作拟合时, 在拟合前需作变量代换, 指数函数作拟合时 解 选取指数函数作拟合时 在拟合前需作变量代换 化为 k1, k2 的线性函数 的线性函数.
σ 于是, 于是 ln = ln k1 k2ε ε σ 令 z = ln , a0 = k2 , a1 = ln k1 ε

数学建模插值与拟合实验题

数学建模插值与拟合实验题

数学建模插值与拟合实验题
1.处理2021年大学生数学建模竞赛a题：“中国人口增长预测”附件中的数据，得
到以下几个问题的拟合结果，并绘制图形
（1）将1994～2022岁婴儿的性别比设为2022，预测性别比例为2022～2022。

（2）生育率随年龄的变化而变化，试以生育年龄为自变量，生育率为因变量，对各
年的育龄妇女生育率进行拟合；
（3）根据时间分布分析城镇、城镇的生育率，以时间为自变量，以生育率为因变量，拟合城镇、城镇的生育率，并将生育率从2022预测到2022。

（4）将某年的城镇化水平pu(t)定义为当年的城镇人口数与总人口数之
Karmeshu（1992）发现，自20世纪50年代以来，随着经济发展水平的提高，发达国
家城市人口的增长速度一直快于农村地区。

但是，随着城市化水平的提高，达到100%，速度将会放缓。

城市化水平的增长曲线粗略地表现为“S”型Logistic曲线〔4〕，对中国
人口1%的调查数据进行了曲线拟合，从附录2中给出了2001～2022的数据，得到了曲线，并绘制了城市化水平从2001到2050的曲线。

2.处理2021年大学生数学建模竞赛a题：“城市表层土壤重金属污染分析”附件中
的数据，完成下列问题
（1）以城区采样点为插值节点，绘制城区地形图和等高线图；（2）绘制城区8种
重金属浓度的空间分布图。

并指出最高和最低浓度点的位置。

插值的方法可用三次插值、kriging插值、shepard插值等。

工具可用matlab，也可
用surfer软件实现。

数学建模课件--最小二乘法拟合

数学建模课件--最小二乘法拟合

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 11数学建模课件--最小二乘法拟合4. 最小二乘法线性拟合 我们知道， 用作图法求出直线的斜率a 和截据b ， 可以确定这条直线所对应的经验公式， 但用作图法拟合直线时， 由于作图连线有较大的随意性， 尤其在测量数据比较分散时， 对同一组测量数据， 不同的人去处理， 所得结果有差异， 因此是一种粗略的数据处理方法， 求出的 a 和 b 误差较大。

用最小二乘法拟合直线处理数据时, 任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误， 得到的斜率 a 和截据 b 是唯一的。

最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据， 用计算的方法求出最佳的 a 和 b 。

显然， 关键是如何求出最佳的 a 和b 。

(1) 求回归直线 设直线方程的表达式为：(2-6-1) 要根据测量数据求出最佳的 a 和 b 。

对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi ， yi ），假定自变量xi 的误差可以忽略， 则在同一 xi 下， 测量点 yi 和直线上的点a+bxi 的偏差 di 如下：显然最好测量点都在直线上（即 d1=d2==dn=0）， 求出的 a 和 b 是最理想的， 但测量点不可能都在直线上， 这样只有考虑 d1、 d2、 、dn 为最小， 也就是考虑 d1+d2++dn 为最小， 但因 d1、 d2、 、 dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而| d1| + | d2| ++ | dn| 又不好解方程，因而不可行。

现在采取一种等效方法：当 d1对 a 和 b 为最小时， d1、 d2、、 dn也为最小。

取（d12+d22++dn22+d22++dn2）为最小值，求 a和 b 的方法叫最小二乘法。

数学建模参数拟合题目：玉米种植施肥量

数学建模参数拟合题目：玉米种植施肥量

数学建模参数拟合题目：玉米种植施肥量
引言
本文旨在通过数学建模的方法，对玉米种植施肥量进行参数拟合。

玉米种植施肥量是指在农田中适当施加肥料以提高玉米产量的一种农业实践。

通过拟合施肥量与其他影响因素之间的关系，可以为玉米种植提供科学的指导和决策依据。

数据收集
首先，我们需要收集相关的数据来进行建模和拟合。

这些数据可以包括以下内容：
- 玉米产量：记录不同施肥量下的玉米产量数据；
- 土壤质量：记录不同土壤质量指标的数据，如含水量、有机质含量等；
- 气候因素：记录不同气候因素对玉米生长的影响，如温度、光照等。

建立模型
在收集到足够的数据后，我们可以通过建立合适的数学模型来拟合施肥量与其他因素之间的关系。

常见的模型包括多项式回归模
型、指数函数模型等。

在选择模型时，需要考虑模型的适应性、拟
合效果和计算复杂度等因素。

参数拟合
一旦选择了合适的模型，我们可以使用参数估计的方法对模型
进行拟合。

通过最小二乘法等统计方法，可以估计模型中的参数值，使得模型与实际数据的拟合误差最小。

结果分析
拟合出的模型可以用于预测不同施肥量下的玉米产量，并为农
民提供种植决策的参考。

此外，还可以通过对模型的敏感性分析，
了解不同因素对施肥量的影响程度，提供更全面的决策支持。

结论
通过数学建模参数拟合的方法，我们可以建立一个科学、准确
的玉米种植施肥量模型。

该模型可以为农民提供科学的施肥建议，
最大限度地提高玉米产量。

但需要注意的是，模型的建立依赖于收
集到的数据的质量和数量，因此在实际应用中仍需谨慎使用。

数学建模实验报告8拟合

数学建模实验报告8拟合

数学建模试验报告（八）姓名学号班级.问题：.（拟合）用给定的多项式，y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi 和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。

如果作2或4次多项式拟合，结果如何？问题的分析和假设：这道多项式拟合题可从两个方面入手。

已给定多项式y=x3-6x2+5x-3 x为了便于观察计算可取1-10依次求解。

yi利用rand产生（0,1）均匀分布的随机干扰与yi取和求出结果进行比较建模：分别建立。

M文件与主程序。

先求出多项式产生的数据，再求出添加rand（0,1）干扰后的数据。

用所得出新数据分别进行3、2、4次拟合。

求解的Matlab程序代码：(1).m文件function f=fun(x)f=x^3-6*x^2+5*x-3主程序：for n=1:10fun (n);end(2).m文件for n=1:10y=fun(n)+rand;endx=1:10;y=[-2.942 -8.6471 -14.1868 -14.9901 -2.8611 27.2028 81.197 165.6038 285.2722 447.1988] A=polyfit(x,y,3)z=polyval(A,x);plot(x,y,’k+’,x,z,’r’)(3)for n=1:10y=fun(n)+rand;endx=1:10;y=[-2.942 -8.6471 -14.1868 -14.9901 -2.8611 27.2028 81.197 165.6038 285.2722 447.1988] A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,’k+’,x,z,’r’)(4)for n=1:10y=fun(n)+rand;endx=1:10;y=[-2.942 -8.6471 -14.1868 -14.9901 -2.8611 27.2028 81.197 165.6038 285.2722 447.1988] A=polyfit(x,y,4)z=polyval(A,x);plot(x,y,’k+’,x,z,’r’)计算结果与问题分析讨论：f=-3 f=-9 f=-15 f=-15 f=-3 f=27 f=81 f=165 f=285 f=447值为xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10yi -3 -9 -15 -15 -3 27 81 165 285 447添加随机干扰后的值y1 =-2.942 y 2=-8.6471 y 3=-14.1868 y 4=-14.9901 y 5=-2.8611 y 6=27.2028y 7=81.197 y8 =165.6038 y 9=285.2722 y10 =447.1988拟合结果A=1.0015 -6.0272 5.1422 -2.9055与原系数比较差异不大2次拟合多项式系数A=10.4977 -71.0725 83.02384次拟合多项式系数A=-0.0039 1.0863 -6.6475 6.8373 -4.2277。

曲线拟合

曲线拟合

数模俱乐部
曲线拟合
现在我们使用上面求得的系数产生 y： y = (0.1032)x - 28.4909 图像为如图：
如何改善这种状况呢？我 们可以尝试拟合更高阶的多项式。让我们使用一个二次多项式看看。
数模俱乐部
曲线拟合
使用下面的步骤来做： >> p = polyfit(sqft,price,2); 这次有三个系数产生。次数设为 2的 polyfit 函数使用下面的形式给我们返 回系数： y = p1x + p2x + p3 我们把它们提取出来放进变量中并绘图： >> a = p(1); >> b = p(2); >> c = p(3); >> x = [1200:10:4000]; >> y = a*x^2+ b*x + c; >> plot(x,y,sqft,price,'o'), xlabel('房子平方英尺数'),ylabel('平均售价'), ... title('欢乐谷的房子平均售价与平方英尺数的关系'), axis([1200 4000 135 450])
数模俱乐部
曲线拟合
图象如图 所示。 虽然 4000 平方英尺的 房子的价格看起来有点 偏离正常，其它的数据 还是基本上一个直线的 周围的，让我们找出这 条最拟合这些数据的直线。 在我们尝试求出 y = mx + b 的过程中， 房子的 SQFT（平方英尺数）充当 x的角色而平均售价充当 y 的角色。使用 polyfit 找出我们需要的系数，我们只需把数据传递给它并告知它我们在求一 次的多项式。
曲线拟合

-数学建模-数据拟合

-数学建模-数据拟合

+
+
+ i (x+ i,yi)
+ +
+
y=f(x)
x
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
拟合与插值的关系 问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟 合． 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同 的． 实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？
超定方程组一般不存在解的矛盾方程组．
2 ( r a r a r a y ) 如果有向量a使得 i1 1 i 2 2 达到最小， im m i i 1
则称a为上述超定方程组的最小二乘解．
线性最小二乘法的求解 所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是 求以下超定方程组的最小二乘解的问题． Ra=y r 1 ( x1 ) 其中 R 1 ( xn ) r （3） rm ( x1 ) a1 y1 , y , a rm ( xn ) am yn
942 1032
设 R=at+b a,b为待定系数
40
60
80
100
拟 合 问 题 引 例 2 已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01

数学建模数据拟合例题解析建模及代码

数学建模数据拟合例题解析建模及代码

数学建模数据拟合例题解析近年来，数学建模在各个领域得到了广泛的应用，其中数据拟合作为数学建模中重要的一环，更是被广泛应用于实际问题中。

本文将以一个例题为例，通过建模和代码的方法，解析数据拟合的过程，帮助读者更好地理解和应用数据拟合的方法。

1. 问题描述假设我们有一组实验数据，数据中包含了一个变量x和一个变量y，我们想通过这组实验数据，建立一个数学模型来描述x和y之间的关系，并且用这个模型来预测其他x对应的y值。

2. 数据分析我们需要对实验数据进行分析，观察数据的分布规律以及x和y之间的关系。

通常情况下，我们可以通过绘制散点图的方式来直观地观察数据的分布情况。

3. 数据拟合模型的选择在观察了实验数据的分布规律之后，我们需要选择一个适合的数据拟合模型来描述x和y之间的关系。

常用的数据拟合模型包括线性回归模型、多项式拟合模型、指数拟合模型、对数拟合模型等。

在选择模型时，需要考虑模型的复杂程度、拟合效果以及实际问题的需求。

4. 模型建立选择了数据拟合模型之后，我们需要利用实验数据来建立模型，通常可以通过最小二乘法或者最大似然估计的方法来确定模型的参数。

以线性回归模型为例，假设模型为y=ax+b，我们需要通过最小二乘法来确定参数a和b的取值，使得模型能够最好地拟合实验数据。

5. 模型评估建立模型之后，我们需要对模型进行评估，以确定模型的拟合效果。

常用的评估指标包括决定系数R^2、均方误差MSE等。

通过这些评估指标，我们可以了解模型的拟合效果如何，并且对模型进行优化和改进。

6. 模型预测我们可以利用建立的模型来进行预测，预测其他x对应的y值。

通过模型预测，我们可以更好地理解实验数据中x和y之间的关系，从而为实际问题的决策提供支持。

通过以上的解析，我们可以清楚地了解了数据拟合的整个过程，包括数据分析、模型选择、模型建立、模型评估以及模型预测等环节。

通过这些方法和步骤，我们可以更好地理解和应用数据拟合的方法，在实际问题中更好地解决实际问题。

数学建模——拟合：建立一个动物体重与心率之间的模型

数学建模——拟合：建立一个动物体重与心率之间的模型
3、通过实例学习用插值和拟合解决实际问题。
实验内容
生物学家认为，对于休息状态的热血动物，消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重（单位：g）与心率（单位：次/min）之间的模型，并用下面的数据加以检验。
动物
体重
心率
田鼠
25
670
家鼠
200
SSE: 2433
R-square: 0.993
Adjusted R-square: 0.9902
RMSE: 22.06
通实实例实用生物家实实实于休息实的实血实物消耗的能量主要用于实持能量心实到全身的血流量成正比而主要通实身表面散失建立一实物次min之实的模型用下面的据加以实实
实验报告
实验目的Байду номын сангаас
1、掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。
2、掌握MATLAB曲线拟合工具箱。
实验结果
f(x) = a*x^b+c
Coefficients (with 95% confidence bounds):
a = 1592 (1252, 1931)
b = -0.2483 (-0.3346, -0.1621)
c = -36.17 (-128.5, 56.12)
Goodness of fit:
420
兔
2000
205
小狗
5000
120
大狗
30000
85
羊
50000
70
人
70000
72
马
450000
38

MATALAB三维曲面拟合及其数学建模模型、案例参考

MATALAB三维曲面拟合及其数学建模模型、案例参考
’nearest’：最临近插值；
’spline’：三次样条插值；
’cubic’：双三次插值。
例3：
>>[X,Y] = meshgrid(-3:.25:3);
>>Z = peaks(X,Y);
>>[XI,YI] = meshgrid(-3:.125:3);
>>ZZ = interp2(X,Y,Z,XI,YI);
若Y为一矩阵，则按Y的每列计算。yi是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。
yi = interp1(Y,xi) %假定x=1:N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数。
yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法计算插值：
’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；
ydata=[56.2000 62.8000 62.2000 40.8000 61.4000 57.5000 44.5000 54.8000...
53.9000 64.2000 62.9000 64.1000 63.0000 62.2000 64.2000 63.6000...
52.5000 62.0000];
p1995 =
252.9885
命令2 interp2
功能二维数据内插值（表格查找）
格式ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI) %返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI与YI（可以是向量、或同型矩阵）的元素，即Zi(i,j)←[Xi(i,j),yi(i,j)]。用户可以输入行向量和列向量Xi与
>> Z = X.^2 - Y.^2;

数学建模案例与方法教学课件第5章插值法与拟合方法

数学建模案例与方法教学课件第5章插值法与拟合方法

5.1 城市供水量的预测问题
图5-3 三种插值函数曲线
5.1 城市供水量的预测问题
3. 用2000—2006年每年1月份城市的总用水量预测
由表5-2可得到7个 插值节点（x i，y i）， 其中，xi=i，i=1,2,…,7， 其散点图如图5-4所示。 用三次样条插值法求得 的f(8)=4 378.139 0×104 t即为所求的 2007年1月份总用水量 的估计值，表5-3
5.1 城市供水量的预测问题
5.1.2 用插值法预测2007年1月份城市的总用水量
预测2007年1月份城市的用水量有三种 办法：一是用2006年的日用水量进行预测， 二是用2000—2006年每年1月份的日用水量 进行预测，三是用2000—2006年每年1月份
5.1 城市供水量的预测问题
1. 用2006年的日用水量进行预测
图5-4 2000—2006年每年1月份 城市的总用水量散点图
5.1 城市供水量的预测问题
5.1 城市供水量的预测问题
5.1.3 用数据拟合方法预测2007年1月份城市的总用水量 1. 用2006年每天的日用水量进行预测
由图5-1可知，这些点并不是简单地成线性或二次关系， 而是具有很强的聚集性。我们试图用几个多项式进行拟合。 用 MATLAB工具箱得到的拟合结果见表5-4。
5.2.1 曲线拟合
【实例】 气象部门观测到一天中某些时刻t的温度T变化数据见 表5-6。试描绘出温度变化曲线。
5.2 MATLAB与拟合、插值
曲线拟合就是计算出两组数据之间的一 种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计
曲线拟合有多种方式，下面是一元函数 采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线
5.2 MATLAB与拟合、插值

数学建模曲线拟合例题

数学建模曲线拟合例题

数学建模曲线拟合例题一、概述形象的说，拟合就是把平面上一系列的点，用一条光滑的曲线连接起来。

因为这条曲线有无数种可能，从而有各种拟合方法。

拟合的曲线一般可以用函数表示，根据这个函数的不同有不同的拟合名字。

1.名称：如果待定函数是线性，就叫线性拟合，否则叫作非线性拟合。

表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条插值。

2.区分：拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础方法，通俗意义上它们的区别在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。

二、方法及应用我们手工求解时比较简便实用的方法是最小二乘法。

即下图所示：具体推导步骤如下：设拟合直线y=a+bx，有任意观察点（xi，yi）且误差为di=yi-(a+bxi)。

当D等于di平方的累加和取最小值时，直线拟合度最高。

而在matlab中数据拟合的原理是最小拟合也是运用了最小二乘原理，其中polyfit与polyval是最基本的拟合方法。

在实际运用中我们最常使用polyfit与polyval函数用来进行拟合求解。

polyfit函数用以拟合横、纵轴数据得到拟合多项式储存在p中，而polyval用于计算出每个横轴坐标x在拟合多项式p中对应的函数值。

三、例题【例题一】x从1到9，y为9，7，6，3，-1，2，5，7，20，运用polyfit 和polyval命令计算其多项式系数。

得结果多项式系数：P=0.1481-1.40301.85378.2698 y=0.1481x^3-1.4030x^2+1.8537x+8.2698图像如下所示：以下为预测出的部分数据。

结果说明：（1）p-最小二乘拟合多项式系数（向量）最优函数的多项式的各项系数应使得误差平方和S取得极小值。

（2）S-误差估计结构体（结构体）此可选输出结构体主要用作polyval函数的输入，以获取误差估计值。

（3）mu-中心化值和缩放值(二元素向量)中心化值和缩放值，以一个二元素向量形式返回，以单位标准差将x中的查询点的中心置于零值处。

一组适合初三教学的数学建模案例——数据拟合模型

一组适合初三教学的数学建模案例——数据拟合模型

一组适合初三教学的数学建模案例——数据拟合模型数学建模案例之数据拟合模型数学建模是一门研究建立数学模型以及利用模型去研究问题的学科，它可以用来解决许多实际问题，为这些问题提供更好的解决方案，有效地提高工作效率。

数学建模作为一门新兴的学科已经成为初中生学习数学的重要组成部分，而对于初中生来说，学习数学建模将有助于培养他们的分析问题和解决问题的能力。

其中，数据拟合模型是建模学科中的一种重要的建模方式，也是初中生学习的一种重要内容。

数据拟合模型的基本思想是：通过对一定数据资料的分析，将其用规律曲线图形表示，以拟合这些数据，使之更接近实际运行情况。

在实际应用中，数据拟合是一种建模技术，它可以用来分析特定系统或指标的多种变化趋势，因此可以更好地预测未来的变化趋势和结果。

下面以一个实际的例子来介绍数据拟合模型在初三数学教学中的应用，具体如下：一家企业的一周的产品销售情况如下表所示：星期一-2500，星期二-3000，星期三-4000，星期四-3500，星期五-4500，星期六-5100，星期日-6000，请根据这些数据建立数据拟合模型，了解这家企业每周的产品销售情况。

首先，在构建数据拟合模型之前，需要根据上述数据分析出其变化趋势，它可以通过观察上述数据来判断：这些数据显示出了一个以上下缓冲为特征的曲线变化趋势。

其次，根据上述分析，可以利用它的特征，构建一个拟合函数来模拟上述变化趋势，具体的拟合函数可设为y=A·sin(k·x+b)+c，其中A、k、b、c是拟合模型的参数，它们的值可通过给定的数据点的拟合来进行计算。

同时，可以利用Excel等绘图工具，建立数据拟合模型，进行实际分析模型，从而更好地分析这家企业每周的产品销售情况，并进行有效的预测。

从上述案例可以看出，数据拟合模型中的介绍可以帮助初三学生更加系统的理解数据拟合的基本原理以及建模的具体方法，从而更好地应用到实践中。

总之，在初中数学教学中，引入数据拟合模型可以使学生更系统地掌握建模技术，也可以让学生更加实践性地学习数学，从而更有效地学习数学。

§4.常见的数学建模方法(1)---数据拟合(曲线拟合)法

§4.常见的数学建模方法(1)---数据拟合(曲线拟合)法
§4. 常见的数学建模方法(1) --- 数据拟合（曲线拟合）法
在建立数学模型时,实际问题有时仅给出一组数据. 处理这类问题的 较简单易行的方法是通过数据拟合法求得 “最佳” 的近似函数式 --经验公式. 从几何上看就是找一条 “最佳” 的曲线, 使之和给定的 数 （ 1）决定经验公式的形式 . 根据所描绘的系统固有的特点 ,参照 据点靠得最近 , 即进行曲线拟合 . 根据一组数据来确定其经验公式 , 已知数据的图形和特点或者它应服从的规律来决定经验公式的形式 . 一般可 分为三步进行: 这一步是关键的一步. （2）决定经验公式中的待定参数 . 一般可用线性情况下的最小二 乘法 .它误差较小,适用于测定数据比较精确的情况.在使用最小二 乘法 时,如遇到数学模型是非线性经验公式时其中参数的待定,通
2 .磷施肥量 x 关于生菜产量 y 的情况 .
描点图为:
由描点图可知, 在模型建立中应注意以下两个因素: 1) 当磷肥施肥量为零时, 生菜产量并非为零, 这说明土壤中原来就 含有一定量的磷肥成分; (2) 实验数据说明,磷肥施肥量再多不会引起产量明显下降, 而使生 菜产量趋于一个渐近值, 即极限产量. ax y 0 考虑到上面一些分析,可采用双曲线模型: y 1 x 这里 a 为生菜极限产量数 . 为了利用线性模型的最小二乘法 , 令 X = 1 / (1 + x ) , Y = y , k = y0 – a , 化为线性函数模型: Y = a + kX .
由土豆产量 y 依赖于氮施肥量 x 的数学模型 → 0.197 – 0.00068x0= 350 / 0.8 → 对土豆的最佳氮施肥量 x0 = 290.57 kg / ha . 由生菜产量 y 依赖于氮施肥量 x 的数学模型 → 0.101 – 0.00048x = 350 / 0.2 → 对生菜的最佳氮施肥量 x0 = 203.57 kg / ha .

数学建模-插值拟合的案例讲解

数学建模-插值拟合的案例讲解
水塔是一个高12.2米，直径17.4米的正圆柱．按照 设计，水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动，水 位升到约10.8米时水泵停止工作． 表1 是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻 （包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一 天的总用水量．
估计水塔的流量
内容
问题
解题思路
算法设计 与编程
表 1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动）
y=0:400:4800;
z=[370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250;
510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320;
650 760 880 970 1020 1050 1020 830 900 700 300 500 550 480 350;
1600
1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500
2000
1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550
2400
1230 1400 1400 1350 1550 1550 1510
2800
1040 1300 900 1450 1600 1600 1430
162 117.5]; y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -
33.5]; z=[-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9];
cx=75:0.5:200; cy=-70:0.5:150; cz=griddata(x,y,z,cx,cy','cubic');

数学建模实验拟合

数学建模实验拟合

数学建模实验拟合
曲线拟合
在美国的二手车价格在一年的调查数据显示在下表，其中席代表汽车服务年限，
yi表示相应的平均价格。

试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并计算使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？
xiyi123456538748290922610204042615194314941087765（1）绘制粗曲线操作程序
x1=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];
y1=[2615194314941087765538484290226204]；绘制（x1，Y1，'o'）运行结果
假设曲线方程y=a*e?kx方程两边取对数lny=lna-kx
让t=LNY，M=-K，n=LNA，拟合曲线t=n+MX执行以下程序来拟合并获得参数
X1=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]；
y1=[2615,1943,1494,1087,765,538,484,290,226,204];t=log(y1);aa=polyfit(x1,t,1)运行结果aa=
-0.29698.1591是Y1=e^（-0.2969*x+8.1591）。

运行程序以获得精确的曲线
X1=[1:0.001:10]；
y1=exp(-0.2969*x1+8.1591);plot(x1,y1,'r')
按运营方案计算的4.5年后的平均汽车价格X1=4.5；
y1=exp(-0.2969*x1+8.1591)运行结果y1=
九百一十八点七八三零。

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拟 合 问 题 引 例 2 已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
求血药浓度随时间的变化规律c(t). 作半对数坐标系(semilogy)下的图形
即要求 出二次多项式:
f ( x) a1x 2 a2 x a3
中 的 A (a1 , a2 , a3 ) 使得:
2 [ f ( x ) y ] i i i 1 11
最小
8
解法1．用解超定方程的方法
此时 x12 R x2 11 1 x11 1 x1
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。
记
J (a1 , a2 , am ) i2 [ f ( xi ) yi ]2
i 1 n i 1
n
n
[ ak rk ( xi ) yi ]2
i 1 k 1
m
(2)
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问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
10
2
MATLAB(aa1)
10
1
c(t ) c0 e
kt
c, k为待定系数
0 2 4 6 8
3
10
0
曲 线 拟 合 问 题 的 提 法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所 有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 y + +
+
+
+ i (x+ i,yi)
+ +
+
y=f(x)
x
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
4
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) 其中 a1,a2, …am 为待定系数。 第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）： （1）
则称a为上述超定方程的最小二乘解。
6
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x), …rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)； 2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)： f=a1+a2x + + + + + f=a1+a2x+a3x2 + + + + + f=a1+a2x+a3x2 + + + + +
f=a1+a2/x + + +
f=aebx +
+
-bx f=ae + +
+ +
+ + +
+
+ +
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例 对下面一组数据作二次多项式拟合
xi yi 0.1 1.978 0.2 3.28 0.4 6.16 0.5 7.34 0.6 7.66 0.7 9.58 0.8 9.48 0.9 1
9.30 11.2
f ( x) 9.8108x 2 20.1293x 0.0317
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线性最小二乘法的求解：预备知识 超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组
r11a1 r12 a2 r1m am y1 ( n m) r a r a r a y nm m n n1 1 n 2 2
r11 R 其中 rn1 r 12 rn 2
1）输入以下命令： x=0:0.1:1;
y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; R=[(x.^2)' x' ones(11,1)]；
MATLAB(zxec1)
A=R\y'
2）计算结果： Ａ = -9.8108 20.1293 -0.0317
nБайду номын сангаас
即 Ra=y

r1m a1 y1 , y , a rnm am yn
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。
2 ( r a r a r a y ) 如果有向量a使得 i1 1 i 2 2 达到最小， im m i i 1
拟 合
1. 拟合问题引例 2.拟合的基本原理
1
拟 合 问 题 引 例 1
0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 温度 t( 已知热敏电阻数据：
电阻R() 765 求600C时的电阻R。
1100 1000 900 800 700 20
826
873
942 1032
设 R=at+b a,b为待定系数