第十二章 推理与证明挖命题【真题典例】【考情探究】5年考情考点内容解读考题示例考向关联考点预测热度2017课标全国Ⅱ,9,5分合情推理逻辑推理2016课标全国Ⅱ,16,5分合情推理逻辑推理合情推理与演绎推理①了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用;②了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行简单的推理;③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异2014课标Ⅰ,14,5分合情推理逻辑推理★★☆2018江苏,20,16分直接证明转化,推理直接证明与间接证明①了解直接证明的两种基本方法:分析法与综合法,并了解分析法和综合法的思考过程、特点;②了解间接证明的一种基本方法:反证法,并了解反证法的思考过程、特点2014天津,20,14分直接证明转化,推理★★☆分析解读 本部分在高考中主要考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属于中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属于中高档题.【考点集训】考点一 合情推理与演绎推理1.(2018安徽安庆二模,11)对于大于1的自然数的三次幂可以分解成几个奇数的和,比如23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,……,以此规律,453的分解和式中一定不含有( ) A.2 069B.2 039C.2 009D.1 979答案 D2.(2017江西鹰潭一模,2)用三段论推理:“任何实数的绝对值大于0,因为a 是实数,所以a 的绝对值大于0”,你认为这个推理( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的答案 A3.(2017陕西渭南一模,4)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,故将其称为三角形数,由以上规律,知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n },那么a 10的值为( )A.45 B.55 C.65 D.66答案 B 考点二 直接证明与间接证明1.(2018湖北普通高中联考,7)分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a<b<c,且a+b+c=0,求证:b 2-ac<3c 2,则证明的依据应是( )A.c-b>0 B.c-a>0C.(c-b)(c-a)>0D.(c-b)(c-a)<0答案 C 2.(2017山西大学附中第二次模拟,17)在等比数列{a n }中,a 3=,S 3=.3292(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2,且{b n }为递增数列,若c n =,求证:c 1+c 2+c 3+…+c n <.6a2n +11b n ·b n +114解析 (1)设{a n }的公比为q(q ≠0).∵a 3=,S 3=,3292∴⇒或{S 3-a 3=a 1+a 2=a 1(1+q)=3,a 3=a 1·q 2=32{q =1,a 1=32{q =-12,a 1=6,∴a n =或a n =6.32(-12)n -1(2)证明:由题意知b n =log 2=log 2=log 222n =2n,6a2n +166(-12)2n∴c n ===,1b n ·b n +114n (n +1)14(1n -1n +1)∴c 1+c 2+c 3+…+c n ===-<.14(1-12+12-13+…+1n -1n +1)14(1-1n +1)1414(n +1)14【方法集训】方法 归纳推理与类比推理的应用1.(2018广东肇庆一模,14)观察下列不等式:1+<,1++<,1+++<,……,照此规律,第五个不等式122321221325312213214274为 . 答案 1+++++<1221321421521621162.(2017上海浦东期中联考,12)在Rt △ABC 中,两直角边长分别为a 、b,设h 为斜边上的高,则=+,由此类比:三棱锥P-ABC 中1ℎ21a21b2的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直,且长度分别为a 、b 、c,设棱锥底面△ABC 上的高为h,则 . 答案 =++1ℎ21a21b 21c2过专题【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组1.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 . 答案 1和32.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市;乙说:我没去过C 城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 . 答案 AB 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 合情推理与演绎推理1.(2015陕西,16,5分)观察下列等式1-=12121-+-=+12131413141-+-+-=++1213141516141516……据此规律,第n 个等式可为 . 答案 1-+-+…+-=++…+12131412n -112n 1n +11n +212n2.(2016山东,12,5分)观察下列等式:+=×1×2;(sin π3)-2(sin 2π3)-243+++=×2×3;(sin π5)-2(sin 2π5)-2(sin 3π5)-2(sin 4π5)-243+++…+=×3×4;(sin π7)-2(sin 2π7)-2(sin 3π7)-2(sin 6π7)-243+++…+=×4×5;(sin π9)-2(sin 2π9)-2(sin 3π9)-2(sin 8π9)-243……照此规律,+++…+= . (sin π2n +1)-2(sin 2π2n +1)-2(sin 3π2n +1)-2(sin 2nπ2n +1)-2答案 4n (n +1)33.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ; ②该小组人数的最小值为 . 答案 ①6 ②12考点二 直接证明与间接证明1.(2018江苏,20,16分)设{a n }是首项为a 1,公差为d 的等差数列,{b n }是首项为b 1,公比为q 的等比数列.(1)设a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,求d 的取值范围;(2)若a 1=b 1>0,m ∈N *,q ∈(1,],证明:存在d ∈R ,使得|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d 的取值范围(用b 1,m,q 表示).m2解析 (1)由条件知a n =(n-1)d,b n =2n-1.因为|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,即|(n-1)d-2n-1|≤1对n=1,2,3,4均成立.即1≤1,1≤d ≤3,3≤2d ≤5,7≤3d ≤9,得≤d ≤.7352因此,d 的取值范围为.[73,52](2)由条件知:a n =b 1+(n-1)d,b n =b 1q n-1.若存在d ∈R ,使得|a n -b n |≤b 1(n=2,3,…,m+1)均成立,即|b 1+(n-1)d-b 1q n-1|≤b 1(n=2,3,…,m+1).即当n=2,3,…,m+1时,d 满足b 1≤d ≤b 1.qn -1-2n -1qn -1n -1因为q ∈(1,],m2所以1<q n-1≤q m ≤2,从而b 1≤0,b 1>0,对n=2,3,…,m+1均成立.qn -1-2n -1qn -1n -1因此,取d=0时,|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立.下面讨论数列的最大值和数列的最小值(n=2,3,…,m+1).{qn -1-2n -1}{qn -1n -1}①当2≤n ≤m 时,-==,q n-2n q n -1-2n -1nq n-q n-n q n -1+2n (n -1)n (q n-q n -1)-q n+2n (n -1)当1<q ≤时,有q n ≤q m ≤2,21m从而n(q n -q n-1)-q n +2>0.因此,当2≤n ≤m+1时, 数列单调递增,{qn -1-2n -1}故数列的最大值为.{qn -1-2n -1}q m-2m ②设f(x)=2x (1-x),当x>0时,f '(x)=(ln 2-1-xln 2)2x <0.所以f(x)单调递减,从而f(x)<f(0)=1.当2≤n ≤m 时,=≤=f <1.q n nqn -1n -1q (n -1)n 21n(1-1n )(1n )因此,当2≤n ≤m+1时,数列单调递减,{qn -1n -1}故数列的最小值为.{qn -1n -1}q mm 因此,d 的取值范围为.[b 1(q m -2)m,b 1qmm ]2.(2014天津,20,14分)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x 1+x 2q+…+x n q n-1,x i ∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t ∈A,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,其中a i ,b i ∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n <b n ,则s<t.解析 (1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x 1+x 2·2+x 3·22,x i ∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t ∈A,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,a i ,b i ∈M,i=1,2,…,n 及a n <b n ,可得s-t=(a 1-b 1)+(a 2-b 2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n -b n )q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=-q n-1(q -1)(1-q n -1)1-q=-1<0.所以,s<t.C 组 教师专用题组考点一 合情推理与演绎推理1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位:米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030秒跳绳(单位:次)63a 7560637270a-1b65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛答案 B 2.(2014陕西,14,5分)已知f(x)=,x ≥0,若f 1(x)=f(x), f n+1(x)=f(f n (x)),n ∈N +,则f 2 014(x)的表达式x1+x 为 . 答案 f 2 014(x)=x1+2 014x3.(2014福建,16,4分)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c 等于 . 答案 2014.(2014江西,21,14分)将连续正整数1,2,…,n(n ∈N *)从小到大排列构成一个数,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数123…n 为123 456 789 101 112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)当n ≤2 014时,求F(n)的表达式;(3)令g(n)为这个数中数字0的个数, f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n ≤100,n ∈N *},求当n ∈S 时p(n)的最大值.解析 (1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=.11192(2)F(n)={n , 1≤n ≤9,2n -9,10≤n ≤99,3n -108,100≤n ≤999,4n -1 107,1 000≤n ≤2 014.(3)当n=b(1≤b ≤9,b ∈N *)时,g(n)=0;当n=10k+b(1≤k ≤9,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N )时,g(n)=k;当n=100时,g(n)=11,即g(n)={0, 1≤n ≤9,k ,n =10k +b,1≤k ≤9,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N ,11,n =100.同理有f(n)=1≤k ≤8,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N ,{0, 1≤n ≤8,k ,n =10k +b -1,n -80,89≤n ≤98,20,n =99,100.由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以当n ≤100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.当n=9时,p(9)=0;当n=90时,p(90)===;g (90)F (90)9171119当n=10k+9(1≤k ≤8,k ∈N *)时,p(n)===,由于y=关于k 单调递增,故当n=10k+9(1≤k ≤8,k ∈N *)时,p(n)的g (n )F (n )k2n -9k20k +9k20k +9最大值为p(89)=.8169又<,所以当n ∈S 时,p(n)的最大值为.8169119119考点二 直接证明与间接证明1.(2016浙江,20,15分)设函数f(x)=x 3+,x ∈[0,1].证明:11+x (1)f(x)≥1-x+x 2;(2)< f(x)≤.3432证明 (1)因为1-x+x 2-x 3==,1-(-x )41-(-x )1-x 41+x 由于x ∈[0,1],有≤,1-x41+x 1x +1即1-x+x 2-x 3≤,1x +1所以f(x)≥1-x+x 2.(2)由0≤x ≤1得x 3≤x,故f(x)=x 3+≤x+=x+-+=+≤,1x +11x +11x +13232(x -1)(2x +1)2(x +1)3232所以f(x)≤.32由(1)得f(x)≥1-x+x 2=+≥,(x -12)23434又因为f =>,(12)192434所以f(x)>.34综上,<f(x)≤.3432疑难突破 (1)将证明f(x)≥1-x+x 2转化为证明1-x+x 2-x 3≤成立,而左边==≤=右边,从而问题得1x +1(1-x +x 2-x 3)(1+x)1+x 1-x41+x 11+x 证.(2)运用放缩思想,由0≤x ≤1⇒x 3≤x,从而f(x)=x 3+≤x+,而x+=x+-+=+≤,由(1)及f =>1x +11x +11x +11x +13232(x -1)(2x +1)2(x +1)3232(12)192434得f(x)>,从而问题得证.342.(2016江苏,20,16分)记U={1,2,…,100}.对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T,若T=⌀,定义S T =0;若T={t 1,t 2,…,t k },定义S T =a t 1++…+.例如:T={1,3,66}时,S T =a 1+a 3+a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T =30.a t 2a t k(1)求数列{a n }的通项公式;(2)对任意正整数k(1≤k ≤100),若T ⊆{1,2,…,k},求证:S T <a k+1;(3)设C ⊆U,D ⊆U,S C ≥S D ,求证:S C +S C ∩D ≥2S D .解析 (1)由已知得a n =a 1·3n-1,n ∈N *.于是当T={2,4}时,S T =a 2+a 4=3a 1+27a 1=30a 1.又S T =30,故30a 1=30,即a 1=1.所以数列{a n }的通项公式为a n =3n-1,n ∈N *.(2)因为T ⊆{1,2,…,k},a n =3n-1>0,n ∈N *,所以S T ≤a 1+a 2+…+a k =1+3+…+3k-1=(3k -1)<3k .12因此,S T <a k+1.(3)下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集,则S C +S C ∩D =S C +S D ≥S D +S D =2S D .②若C 是D 的子集,则S C +S C ∩D =S C +S C =2S C ≥2S D .③若D 不是C 的子集,且C 不是D 的子集.令E=C ∩∁U D,F=D ∩∁U C,则E ≠⌀,F ≠⌀,E ∩F=⌀.于是S C =S E +S C ∩D ,S D =S F +S C ∩D ,进而由S C ≥S D 得S E ≥S F .设k 为E 中的最大数,l 为F 中的最大数,则k ≥1,l ≥1,k ≠l.由(2)知,S E <a k+1.于是3l-1=a l ≤S F ≤S E <a k+1=3k ,所以l-1<k,即l ≤k.又k ≠l,故l ≤k-1.从而S F ≤a 1+a 2+…+a l =1+3+…+3l-1=≤=≤,3l -123k -1-12a k -12S E -12故S E ≥2S F +1,所以S C -S C ∩D ≥2(S D -S C ∩D )+1,即S C +S C ∩D ≥2S D +1.综合①②③得,S C +S C ∩D ≥2S D .【三年模拟】时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018广东六校第三次联考,10)自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考,主要包括“北约”联盟,“华约”联盟,“卓越”联盟和“京派”联盟.调查某高中学校学生自主招生报考的情况,得到如下结果:①报考“北约”联盟的学生,都没报考“华约”联盟;②报考“华约”联盟的学生,也报考了“京派”联盟;③报考“卓越”联盟的学生,都没报考“京派”联盟;④不报考“卓越”联盟的学生,就报考“华约”联盟.根据上述调查结果,下列结论错误的是( )A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟答案 D 2.(2017山东青岛一模,4)中国有句名言“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算的,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如图,当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推.例如6 613用算筹表示就是,则8 335用算筹可表示为( )中国古代的算筹数码答案 B 3.(2017江西南昌调研,11)设等比数列{a n }的公比为q,其前n 项和为S n ,前n 项之积为T n ,并且满足条件:a 1>1,a 2 016a 2 017>1,<0,下列结论中正确的是( )a 2 016-1a 2 017-1A.q<0B.a 2 016a 2 018-1>0C.T 2 016是数列{T n }中的最大项D.S 2 016>S 2 017答案 C4.(2019届福建龙岩期中,6)如图,第n 行首尾两数均为n,图中的递推关系类似于杨辉三角,则第19行(n ≥2)第2个数是( )A.170B.172C.174D.176答案 B5.(2019届福建福州期中,6)某次数学考试成绩公布后,甲、乙、丙、丁四人谈论成绩的情况.甲说:“我们四个人的分数都不一样,但我和乙的成绩之和等于丙、丁两人的成绩之和.”乙说:“丙、丁两人中一人分数比我高,一人分数比我低.”丙说:“我的分数不是最高的.”丁说:“我的分数不是最低的.”则四人中成绩最高的是( )A.甲B.乙C.丙D.丁答案 D6.(2019届湖北孝感期中,5)因为余弦函数是偶函数,而f(x)=cos(x 2+1)是余弦函数,所以f(x)=cos(x 2+1)是偶函数,以上推理( )A.结论不正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确答案 C7.(2019届北京朝阳期中,8)将正奇数数列1,3,5,7,9,…依次按两项、三项分组,得到分组序列如下:(1,3),(5,7,9),(11,13),(15,17,19),……,若称(1,3)为第1组,(5,7,9)为第2组,……,依此类推,则原数列中的2 019位于分组序列中的( )A.第404组 B.第405组C.第808组 D.第809组答案 A 二、填空题(每小题5分,共20分)8.(2018江西上饶第二次模拟,13)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr 2;三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr 2,三维测度(体积)V=πr 3.应用合情推理,若四维空间中,“特级球”的三维测度V=12πr 3,则其四维测度43W= . 答案 3πr 49.(2018河北衡水中学第十次模拟考试,16)观察下列各式:13=1;23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……若m 3(m ∈N *)按上述规律展开后,发现等式右边含有“2 017”这个数,则m 的值为 . 答案 4510.(2018河北衡水中学模拟,16)数列{a n }满足a n+1=已知a 7=2,{a n }的前7项和的最大值为S,把a 1的所有可{12a n ,a n 是正偶数,3a n +1,a n 是正奇数,能取值按从小到大排成一个新数列{b n },{b n }所有项的和为T,则S-T= . 答案 6411.(2018豫南九校第六次质量考评,15)已知函数f(x)=++,由f(x-1)=++是奇函数,可得函数f(x)的图象关于1x 1x +11x +21x -11x 1x +1点(-1,0)对称,类比这一结论,可得函数g(x)=++…+的图象关于点 对称. x +2x +1x +3x +2x +7x +6答案 (-72,6)。
