第四讲-长方体和正方体(巧算体积)

长方体正方体解题技巧长方体和正方体是立体几何中两个最基本的几何体，掌握它们的解题技巧对于解决其他复杂几何问题也有很大的帮助。

本文将围绕长方体和正方体的基础公式、比例关系、立体思维、切割合并、运动问题以及排列组合等方面进行介绍。

1.基础公式长方体和正方体是最常见的立体几何体，它们的基础公式包括体积和表面积等。

对于长方体，体积V可以表示为长a、宽b、高h的乘积，即V=a×b×h。

长方体的表面积S可以表示为2ab+2bc+2ac，即S=2(ab+bc+ac)。

对于正方体，体积V和表面积S都可以表示为边长a的立方和六倍边长的乘积，即V=a³和S=6a²。

2.比例关系长方体和正方体中存在一些比例关系，例如边长与角度的关系。

在长方体中，如果一个面是正方形，那么其余三个面也必须是长方形，而且长宽高两两垂直。

这意味着在长方体中，相邻面的面积比是相等的，而且长宽高两两之间的比也相等。

在正方体中，如果一个面是正方形，那么其余五个面也必须是正方形，而且相邻面的角度和边长都相等。

这意味着在正方体中，相邻面的面积比是相等的，而且每个面的面积和体积也都相等。

3.立体思维解决长方体和正方体的问题需要具备一定的立体思维，从三个方向上看问题，理解空间形态，掌握形体特征。

要充分运用长方体和正方体的性质，如对称性、平行性、垂直性等，帮助自己更好地理解问题。

例如，在解决一个涉及长方体和正方体的几何问题时，可以尝试将问题转化为一个二维问题，通过平面的角度解决三维问题。

4.切割合并在解决长方体和正方体的问题时，往往需要通过切割和合并的方式，将复杂的问题分解为几个简单的问题，从而化繁为简。

例如，一个复杂的长方体可以切割成几个小的长方体，通过计算每个小长方体的体积和表面积，再合并起来就可以得到整个长方体的体积和表面积。

要注意切割和合并过程中的一些细节问题，例如切割后每个部分的长度、角度、面积和体积等。

5.运动问题长方体和正方体中也存在一些运动问题，例如角速度和杆速度等。

目录第一分数乘法（乘法中的简算）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2卷⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯⋯⋯.5第二方体和正方体（巧算表面积）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6卷⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯10第三分数除法用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11卷⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.15第四方体和正方体（巧算体积）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16卷⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20第五复的分数用（找寻不变量）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21卷⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..24第六百分数（浓度问题）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯25卷⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯28合演（1）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯29合演（2）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯31第一讲分数乘法例题讲学例1（1）14×19（2）27×111526【思路点拨】察看这两道题中数的特色，第（1）题中的14比1少1，能够把14看作151515 1-1，而后和19相乘，利用乘法分派律使计算简易；相同，第（2）题中27与11中的分1526母26相差1，能够把27看作（26+1），而后和11相乘，再运用乘法分派律使计算简易。

26技巧把哪个数拆分是解决问题的重点，或拆成与1有关的两数之差或和；或许把一个数拆分红与分数分母有关的和或差，最后用乘法分派律使计算简易。

同步精练1.13×352.22×1036233.8×144.3×12615255.17×116.242612251999 2000 1998例21999 2000 1【思路点拨】认真察看分子、分母中各数的特色，我们就会发现，分子1999+2000×1998=1999+2000×（1999-1）=1999+2000×1999-2000=2000×1999-1，这样就把分子转化成与分母完好相同的式子，结果自然就好计算了，试一试吧！技巧解决稍复杂的分数乘法问题时，不要慌乱，要认真察看数的特色，依据数的特色一般都能化成分子、分母能约分的状况，而后使计算简易。

长方体和正方体的体积计算方法
体积是在三维空间中的物体所占有的空间大小。

长方体和正方体是常见的几何体，计算它们的体积可以通过简单的公式来实现。

长方体的体积计算方法
长方体是一种具有三个相互垂直的长、宽和高的几何体。

它的体积可以通过以下公式来计算：
体积 = 长 ×宽 ×高
其中，长代表长方体的长度，宽代表宽度，高代表高度。

只需要将对应的数值代入公式中进行计算，就可以得到长方体的体积。

正方体的体积计算方法
正方体是一种具有相等边长的立方体，即它的长、宽和高都相等。

它的体积可以通过以下公式来计算：
体积 = 边长 ×边长 ×边长
其中，边长代表正方体的边长。

只需要将边长的数值代入公式
中进行计算，就可以得到正方体的体积。

示例
以一个长方体的体积计算为例，如果长方体的长为5，宽为3，高为2，则可以通过以下计算得到体积：
体积 = 5 × 3 × 2 = 30
同样地，以一个正方体的体积计算为例，如果正方体的边长为4，则可以通过以下计算得到体积：
体积 = 4 × 4 × 4 = 64
通过以上方法，我们可以简单快速地计算长方体和正方体的体积。

注意：此文档中所述的体积计算方法仅适用于长方体和正方体，其他几何体的体积计算方法可能不同。

此文档中所述的体积计算方法仅适用于长方体和正方体，其他几何体的体积计算方法可能不同。

长方体和正方体的相关数学问题和解决方法长方体和正方体是几何学中常见的两种立体形状。

在数学中，我们可以探讨关于长方体和正方体的各种问题，并找到相应的解决方法。

本文将深入探讨长方体和正方体的相关数学问题，并提供解决方法。

一、长方体的性质和计算公式长方体是一种具有六个面，且相对面两两平行且相等的立体形状。

它的面包括两个底面和四个侧面。

长方体的性质及计算公式包括：1. 体积公式：长方体的体积可以用公式V = l × w × h 计算，其中l、w和h分别表示长方体的长、宽和高。

2. 表面积公式：长方体的表面积可以用公式SA = 2lw + 2lh + 2wh计算，其中l、w 和h分别表示长方体的长、宽和高。

3. 对角线长度：长方体的对角线长度可以根据勾股定理计算，公式为d = √(l² + w² + h²)，其中，l、w和h分别表示长方体的长、宽和高。

二、正方体的性质和计算公式正方体是一种六个面均为正方形的立体形状。

正方体和长方体一样，有许多与其相关的数学问题和计算公式。

正方体的性质及计算公式包括：1. 体积公式：正方体的体积可以用公式V = a³计算，其中a表示正方体的边长。

2. 表面积公式：正方体的表面积可以用公式SA = 6a²计算，其中a表示正方体的边长。

3. 对角线长度：正方体的对角线长度可以根据勾股定理计算，公式为d = √3a，其中a表示正方体的边长。

三、长方体和正方体的相关数学问题除了以上提到的基本性质和计算公式，长方体和正方体还涉及以下一些相关数学问题：1. 最大体积问题：给定一定的材料或已知空间，如何设计出一个最大体积的长方体或正方体是一个常见的问题。

在解决这个问题时，可以使用微积分方法找到体积函数的极值点。

2. 表面积最小问题：类似最大体积问题，如何设计出一个表面积最小的长方体或正方体也是一个常见的数学问题。

同样地，可以运用微积分的方法找到表面积函数的极值点。

长方体和正方体的体积教资试讲
摘要：
一、长方体和正方体的定义及特征
1.长方体的定义和特征
2.正方体的定义和特征
二、长方体和正方体的体积计算
1.长方体的体积计算公式
2.正方体的体积计算公式
三、长方体和正方体的表面积计算
1.长方体的表面积计算公式
2.正方体的表面积计算公式
四、教学反思与建议
1.教学过程中的困难与解决方法
2.教学策略和建议
正文：
一、长方体和正方体的定义及特征
长方体是一种底面为长方形的直四棱柱，它有六个面，其中有两个面是长方形，四个面是正方形。

正方体是一种侧面和底面均为正方形的直平行六面体，即棱长都相等的六面体。

二、长方体和正方体的体积计算
1.长方体的体积计算公式为：V = a × b × h，其中a、b、h 分别代表长
方体的长、宽、高。

2.正方体的体积计算公式为：V = a，其中a 代表正方体的棱长。

三、长方体和正方体的表面积计算
1.长方体的表面积计算公式为：S = 2(ab + bc + ac)，其中a、b、c 分别代表长方体的长、宽、高。

2.正方体的表面积计算公式为：S = 6a，其中a 代表正方体的棱长。

四、教学反思与建议
在教学过程中，可能会遇到学生对长方体和正方体的体积、表面积计算公式难以理解的问题。

对此，教师可以通过直观的教具、模型等方式，帮助学生更好地理解这些概念。

解决简单的正方体和长方体问题五年级数学技巧在五年级的数学学习中，正方体和长方体问题是一个常见的考点。

通过掌握几个简单的技巧，我们可以轻松解决这类问题。

本文将介绍一些实用的数学技巧，帮助同学们在解决正方体和长方体问题时更加得心应手。

1. 理解正方体和长方体的概念在解决正方体和长方体问题之前，首先要确保对这两个几何体的概念有清晰的理解。

正方体是一个六个面都是正方形的立体，而长方体则是一个六个面都是矩形的立体。

了解这些基本定义可以帮助我们准确地理解问题并找到解决方案。

2. 计算正方体的体积当我们需要计算正方体的体积时，可以使用以下公式：体积 = 边长 x 边长 x 边长其中，边长指的是正方体每个边的长度。

通过明确使用该公式，我们可以准确地计算出正方体的体积。

例如，如果一个正方体的边长是5厘米，那么它的体积就是5 x 5 x 5 = 125立方厘米。

3. 计算长方体的体积计算长方体的体积时，我们可以使用以下公式：体积 = 长 x 宽 x 高在这个公式中，长指的是长方体的长，宽指的是长方体的宽，高则是长方体的高。

通过应用这个公式，我们可以轻松地计算出长方体的体积。

例如，如果一个长方体的长为10厘米，宽为5厘米，高为3厘米，那么它的体积就是10 x 5 x 3 = 150立方厘米。

4. 解决与正方体和长方体相关的图形问题除了计算体积，数学问题还可能涉及到正方体和长方体的表面积、边长等。

在解决这类问题时，我们可以使用一些技巧。

例如，计算正方体的表面积时，可以使用以下公式：表面积 = 6 x 边长 x 边长这里的边长指的是正方体的边长。

类似地，计算长方体的表面积时，可以使用以下公式：表面积 = 2 x (长 x 宽 + 长 x 高 + 宽 x 高)在使用这些公式时，要注意将单位进行统一，确保结果的准确性。

5. 应用技巧解决实际问题在解决实际问题时，我们可以应用前面所学的技巧。

例如，问题可能给出一个长方体的体积和其中两个边的长度，我们需要计算第三个边的长度。

长方体与正方体体积知识点：1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。

长方体的体积=长×宽×高 V=abh长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h宽=体积÷长÷高b=V÷a÷h高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a= a3读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）长方体或正方体底面的面积叫做底面积。

长方体（或正方体）的体积=底面积×高用字母表示：V=S h（横截面积相当于底面积，长相当于高）。

3、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。

固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。

常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。

1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升（1 L = 1 dm3 1 ml = 1 cm3）注意：1、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。

（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。

2、*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。

排水法的公式：V 物体 =V 现在－V 原来也可以 V 物体 =S×(h 现在- h 原来)V 物体 = S×h 升高3、【体积单位换算】 大单位 小单位小单位 大单位进率：　1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 （立方相邻单位进率1000） 1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升 1立方厘米＝1毫升1平方米=100平方分米=10000平方厘米1平方千米=100公顷=1000000平方米注意：长方体与正方体关系把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。

第一讲方程(解方程)例1①14x-12=7x+23②3x+4x-6=36-5x ③7*(x-8)=31+4x同步精练①15x-10=8x+11②5x+6x-6=36-3x ③9*(x-4)=45+6x例 2 ①21.5+8*4x=28.7 ②37x=7.5+12x ③23x-21=49+3x同步精练①26-3.5*4=2.5x② 3.4x-9.8=1.4x+9 ③0.72*3+4x=3.06+3x例3第二讲方程(列方程解应用题)例1光明小学买2张桌子和5把椅子共付220元，每张桌子的价钱是每把椅子价钱的3倍，每张桌子和每把椅子各多少钱?1．幼儿园买来花毛巾和白毛巾各40条，共用640元，已知花毛巾单价是白毛巾单价的3倍，一条花毛巾和一条白毛巾共多少元?2．买30于克精粉和70千克小米共付人民币312元，l千克精粉的价格是1千克小米价格的2倍，买精粉和小米各用去多少元?3．买10个排球和4个篮球共付510元，每个篮球比每个排球贵5元，篮球和排球的单价各是多少元?例2有一群鸭，在河里的只数是岸上的3倍，如有26只鸭上岸，那么岸上的鸭子就与河里的鸭一样多。

这群鸭一共有多少只?1．甲筐有梨400个，乙筐有梨240个，现在从两筐取出相等数目的梨，剩下的梨数，甲筐恰好是乙筐的5倍，求两筐所剩的梨数各是多少?2．六(1)班与六(2)班原有图书一样多，后来六(1)班又买来新书38本，六(2)班从本班原有图书中取出72本送给一年级同学，这时六(1)班的图书是六(2)班的3倍，两班原有图书各多少本?3．有甲、乙两个班，如果从甲班调8个同学到乙班，则两个班人数相等。

如果从乙班调8个同学到甲班，则甲班的人数就是乙班的2倍，甲乙两班各多少人?例3生产一批零件，原计划10天完成，实际每天比原计划多生产42个零件，结果提前3天完成任务。

这批零件有多少个?1．一辆汽车从甲地到乙地，原计划每小时行30千米，实际每小时比原计划多行10千米，结果比原计划提前2小时到达。

长方体正方体体积问题长方体和正方体是常见的几何体形状，它们的体积是我们在数学中常常遇到的问题。

本文将围绕长方体和正方体的体积展开讨论，介绍它们的定义、计算方法以及实际应用。

一、长方体的体积长方体是一种有六个面的立体，它的六个面都是矩形。

我们可以用三个边长来描述一个长方体，分别为长、宽和高，用L、W和H表示。

长方体的体积是指长方体所占据的三维空间的大小，用V表示。

计算长方体的体积非常简单，只需要将长方体的长、宽和高相乘即可，即V = L × W × H。

例如，如果一个长方体的长为5cm，宽为3cm，高为2cm，那么它的体积就是5cm × 3cm × 2cm = 30cm³。

长方体的体积可以用立方厘米、立方米等单位来表示，具体使用哪种单位要根据实际情况来定。

在计算体积时，要确保所使用的长度单位一致，以避免计算结果的错误。

长方体的体积在日常生活中有许多实际应用。

比如，在装箱运输时，我们需要计算物体的体积以确定所需的包装箱尺寸；在建筑设计中，需要计算房间的体积以确定空调、采暖等设备的容量。

二、正方体的体积正方体是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形。

正方体的边长用a表示，正方体的体积用V表示。

正方体的体积计算方法与长方体类似，只需要将正方体的边长相乘三次即可，即V = a × a × a，也可以简写为V = a³。

例如，如果一个正方体的边长为4cm，那么它的体积就是4cm × 4cm × 4cm = 64cm³。

与长方体类似，正方体的体积也可以用不同的单位来表示，具体使用哪种单位要根据实际情况来确定。

在计算体积时，要注意所使用的长度单位的一致性，以免计算结果出现错误。

正方体的体积在几何学和物理学中有广泛的应用。

例如，在立方体的几何问题中，我们可以通过计算体积来解决相关的计算问题；在物理学中，正方体的体积可以用来计算物体的质量密度等。

3 长方体和正方体的体积（公开课教案）教学目标：1. 让学生理解长方体和正方体的体积概念。

2. 让学生掌握长方体和正方体的体积公式。

3. 培养学生运用体积知识解决实际问题的能力。

教学重点：1. 长方体和正方体的体积概念。

2. 长方体和正方体的体积公式。

教学难点：1. 理解并应用体积公式解决实际问题。

教学准备：1. 长方体和正方体的模型。

2. 体积计算工具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生观察教室里的长方体和正方体物体，如桌子、书架等。

2. 提问：同学们能找出哪些物体的形状是长方体或正方体吗？它们有什么特征？二、探究长方体和正方体的体积（10分钟）1. 展示长方体和正方体模型，引导学生观察其形状和尺寸。

2. 提问：同学们能想办法计算出这两个物体的体积吗？3. 引导学生探讨如何测量长方体和正方体的长、宽、高，并计算体积。

4. 总结长方体和正方体的体积公式：体积= 长×宽×高。

三、实践操作（5分钟）1. 让学生分组，每组选一个长方体或正方体模型。

2. 引导学生使用体积计算工具或手工计算模型物体的体积。

3. 让学生分享计算结果，并讨论解答过程。

四、巩固练习（5分钟）1. 出示一些长方体和正方体的图片，让学生计算其体积。

2. 让同学之间互相检查答案，讨论解题方法。

五、总结与拓展（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结长方体和正方体的体积概念和公式。

2. 提问：同学们能用体积知识解决实际问题吗？比如，一个教室的长、宽、高分别是10米、8米、3米，请计算教室的体积。

3. 让学生分享解答过程，讨论解题思路。

教学反思：本节课通过引导学生观察、探讨、实践和总结，让学生掌握了长方体和正方体的体积概念和公式。

在实践操作环节，学生通过动手测量和计算，加深了对体积公式的理解。

在巩固练习环节，学生通过解答实际问题，提高了运用体积知识解决实际问题的能力。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标。

长方体和正方体体积计算知识
嘿，朋友们！今天咱来聊聊长方体和正方体体积计算知识，这可太有意思啦！
你看啊，长方体就像一个长长的大盒子，比如说你家里的冰箱，那就是个长方体。

那怎么算它的体积呢？很简单，就是长乘宽乘高呀！就好像你要算冰箱能装多少东西，那就用它的长、宽、高相乘呗。

比如说冰箱长 50 厘米，宽 30 厘米，高 100 厘米，那它的体积就是50×30×100=150000 立
方厘米。

正方体呢，就像是一个超级规整的积木，每个边都一样长。

这就更好算了呀！只要知道一条边的长度，然后立方一下就行了。

好比一个魔方，边长是 5 厘米，那它的体积就是5×5×5=125 立方厘米。

我记得有一次，我和小伙伴一起做手工，要做一个长方体的盒子来装我们的小玩意儿。

我们到处找材料，量尺寸，然后就开始算这个盒子能有多大的空间。

哎呀，那可真是手忙脚乱又兴奋啊！最后算出体积，我们高兴坏了，因为正好能装下我们所有的小宝贝。

还有啊，在建筑工地上，工人们要建房子，那也得算长方体和正方体的体积呢。

比如要砌一堵墙，得知道用多少砖，这就得根据墙的体积来算，是不是很神奇？
长方体和正方体的体积计算真的无处不在呀，它们就像是我们生活中的小助手，帮助我们解决各种问题。

所以啊，大家一定要好好掌握它们的计算方法，说不定哪天就能派上大用场呢！别小看这简单的计算知识，它能给我们带来很多便利和乐趣哟！。