上海市杨浦区2015届高三一模数学理含答案

2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷（理科）考生注意：1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分。

2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的指定位置以及答题卡上准确填写学校、姓名、 考号等信息。

3、考试结束只交答题卡和答题纸。

一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．已知(3,4)P -为角α终边上的一点，则cos()πα+= ． 2．已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．3．已知集合}),2lg({2R x x x y x M ∈-==，{}N x x a = <，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是 ．4．已知幂函数()f x过点，则()f x 的反函数为1()fx -= ．5．若无穷等比数列n a {}满足：4)(lim 21=+++∞→n n a a a ，则首项1a 的取值范围为 ．6．若直线l a x y :10++=平分圆x y x y 222650+-++=的面积，则直线l 的倾斜角为 ．（用反三角函数值表示）7．已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为 ． 8．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象,其中5=AB ，那么()1f -=___________.9. 已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是 .10. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点),2(0y M ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则=OM ．11. 在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，若1,3==BD AB ，则=⋅ ． 12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足891011()()()()0f x f x f x f x +++=，则2014x 的值为 ．13．过点*1(2,0)()n N n-∈且方向向量为(2,1)的直线交双曲线224x y -=于,n n A B 两点，记原点为O ，n n OA B ∆的面积为n S ，则lim n n S →∞= ____ ____． 14. 设1271a a a ≤≤≤≤，其中1357,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，246,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是____ ____．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.） 15．已知命题:12x α-≤，命题3:01x x β-≤+，则命题α是命题β成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件16．已知直线)(sin :1R x y l ∈=αα和直线c x y l +=2:2，则下述关于直线21,l l 关系的判断正确的是（ ）A. 通过平移可以重合B. 不可能垂直C. 可能与x 轴围成等腰直角三角形D. 通过绕1l 上某点旋转可以重合17．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）A ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦18. 设,a b R ∈ ，定义运算“∧ ”和“∨ ”如下：,,a a b a b b a b ≤⎧∧=⎨>⎩，,,b a ba b a a b ≤⎧∨=⎨>⎩．若正数,,,a b c d 满足4,4ab c d ≥+≤ ，则（ ） A ．2,2a b c d ∧≥∧≤ B ．2,2a b c d ∨≥∧≤C ．2,2a b c d ∧≥∨≥D ．2,2a b c d ∨≥∨≥三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .）19.（本题满分12分）第1小题满分7分，第2小题满分5分．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()()()cos ,sin m A B A B →=--，()cos ,sin n B B →=-，且35m n →→⋅=-．（1）求sin A 的值；（2）若5a b ==，求角B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影．20.（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆E 长轴的一个端点是抛物线212y x =的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A 、B 是椭圆E 的左右端点，O 为原点，P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，直线AP 、BP 分别交y 轴于M 、N ，问ON OM ⋅是否为定值，说明理由．21.（本题满分14分）第1小题满分8分，第2小题满分6分． 等差数列{}n α的前n 项和236n S n π=，数列{}n β满足()7236n n πβ-=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①221111sin cos sin cos m αβαβ+-=； ②222222sin cos sin cos m αβαβ+-=； ③223333sin cos sin cos m αβαβ+-=；④224444sin cos sin cos m αβαβ+-=； ⑤225555sin cos sin cos m αβαβ+-=；⑥226666sin cos sin cos m αβαβ+-=． （1）求数列{}n α的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数m 的值；（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角θ的三角恒等式，并证明你的结论．22.（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 若函数()f x 在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （1）已知函数()sin()(,0)2f x x x R πϕϕ=+∈<<，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（3）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．23.（本题满分18分）第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可得到“n 边形数列”，记它的第r 项为(,)P n r ．1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28 （1）求使得(3,)36P r >的最小r 的取值； （2）试推导(,)P n r 关于n 、r 的解析式；（3）是否存在这样的“n 边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷答案 （理科）一、填空题1、352、、[)2,+∞ 4、2(0)x x ≥ 5、)8,4()4,0(⋃ 6、arctan 2π-7、1(,)2+∞ 8、2 9、1(,][1,)4-∞-⋃+∞ 10、32 11、21512、400913、8314二、选择题15、B 16、D 17、C 18、B 三、简答题19、（1）由3cos()cos sin()sin cos 5m n A B B A B B A ⋅=---==- …3分 又0A π<<，则4sin 0sin 5A A >⇒=…6分 （2）由sin sin sin sin a b b B A A B a =⇒==…7分 又4a b A B B π>⇒>⇒=…8分由余弦定理，得222352515c c c =+-⨯⨯⇒=或7-（舍） …10分 则BA −−→在BC −−→方向上的投影为cos cos 2BA B c B =⋅= …12分20、（1）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴，且3a =， …2分 又12a c c -=⇒=，所以2225b a c =-=故椭圆E 的标准方程为22195x y +=． …6分 （2）设),(00y x P ，则22005945x y +=，且(3,0),(3,0)A B -又直线00:(3)3y PA y x x =++，直线00:(3)3y PB y x x =-- …10分 令0x = ，得：000033(0,),(0,)33y y OM ON x x -==+- 故 ⋅220022009545599y x x x --===--为定值. …14分21、（1）当1n =时，136πα=…1分当2n ≥时，()221136361836n n n S S n n n ππππα-=-=--=-…3分∵当1n =时，1α适合此式 ∴数列{}n α的通项公式为1836n n ππα=-…5分选择②，计算如下：212πβ=…6分222222sin cos sin cos m αβαβ=+-＝22sin cos sincos12121212ππππ+-＝11sin 26π-＝34…8分 （2）由（1）知，(21)(72)36366n n n n πππαβ--+=+=， 因此推广的三角恒等式为223sincos sin cos 664ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …10分 证明: 22sincos sin cos 66ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin 6666ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2222311sin cos sin sin cos sin 442θθθθθθθθ++- =2233cos sin 44θθ+＝34…14分22、（1）()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x -+=有解．即sin()sin()2cos sin 0x x x ϕϕϕ-+++==有解 …2分 因0sin 02πϕϕ<<⇒>，得cos 0()2x x k k Z ππ=⇒=+∈()f x ∴为“局部奇函数”． …4分 （2）存在实数x 满足()()0f x f x -+=，即2220xx m -++=在[1,1]-有解令12,[1,1][,2]2xt x t =∈-⇒∈，则12m t t -=+在1[,2]2t ∈上有解 …7分因为1()g t t t =+在1[,1]2上递减，在[1,2]上递增，5()2,2g t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦522,2m ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，故5,14m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦…10分（3）存在实数x 满足()()0f x f x -+=，即2442(22)260x x x x m m --+-++-=在x R ∈有解 令22,[2,)x x t x R t -=+∈⇒∈+∞，且2442xx t -+=-从而22g()2280t t mt m =-+-=（*）在[2,)t ∈+∞上有解 …12分1.︒ 若(2)0g ≤，即11m -≤*）在[2,)t ∈+∞上有解2.︒ 若(2)0g >，即1m <或1m >+*）有解，则2244(28)021(2)0m m m m g ⎧∆=-->⎪>⇒+≤⎨⎪>⎩综上，所求m的取值范围为[1 ． …16分23、（1）(1)(3,)122r r P r r +=+++=…3分 由题意得(1)362r r +>, 所以，最小的9r =. …5分（2）设n 边形数列所对应的图形中第r 层的点数为r a ，则12(,)r P n r a a a =++⋅⋅⋅+ 从图中可以得出：后一层的点在2n -条边上增加了一点,两条边上的点数不变 则12r r a a n +-=-，11a =得{}r a 是首项为1公差为2n -的等差数列 则(,)[2(1)(2)]2r P n r r n =+--.（或(2)(1)2n r r r --+等） … 12分 （3）2(,1)(,)(2)21P n r P n r n r r ++=-++ …14分 显然3n =满足题意， …15分而结论要对于任意的正整数r 都成立，则2(2)21n r r -++的判别式必须为零 所以44(2)0n --=，得3n =故满足题意的数列为“三角形数列”. …18分。

杨浦区2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（理科） 2015.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知() , 0,1sin 2∈=απα，则α=________________. 2．设{}13A x x =≤≤，{}124,B x m x m m R =+≤≤+∈，A B ⊆，则m 的取值范围是________. 3．已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则通项公式为n a =________________. 4．已知直线l 经过点()()1,2,3,2A B --，则直线l 的方程是___________________. 5. 函数()()012<-=x x x f 的反函数()=-x f1．6. 二项式91x x -⎛⎫⎪⎝⎭的展开式（按x 的降幂排列）中的第４项是_________________.7． 已知条件:12p x +≤；条件:q x a ≤，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．8．向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则实数m =_________. 9．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：窗口6排A 座6排B 座6排C 座走廊6排D 座 6排E 座窗口其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有__________种。

10．在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为_______________.（相同质量的冰与水的体积比为10：9）11．不等式()2log 431xx ->+的解集是_______________________.1,0i s ==开始1i i =+否 输出s结束 是第15题图2s s i =+12．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若30a b c a ba b c++=+-，则角C =_________. 13．已知1322i ω=-+，集合{}2*1,n A z z n N ωωω==++++∈，集合1212{|,}B x x z z z z A ==⋅∈、（1z 可以等于2z )，则集合B 的子集个数为__________.14．如图所示，已知函数 2log 4y x =图像上的两 点 A 、 B 和函数 2log y x =上的点 C ，线段 AC 平行于 y 轴， 三角形 ABC 为正三角形时， 点 B 的坐标为 (),p q , 则22q p ⨯的值为________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（ ） A ． 7i < B ．8i <C ． 7i >D ．8i > 16．下列命题中正确的是（ ） A ．若x C ∈，则方程32x =只有一个根 B ．若12,z C z C ∈∈且120z z ->，则12z z > C ．若z R ∈，则2z z z ⋅=不成立D ．若z C ∈，且20z <，那么z 一定是纯虚数17．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个 圆的方程是（ ）A ．01222=+--+y x y xB ．041222=---+y x y x第14题图A1A C1CB1BD1D OCDC ．01222=+-++y x y xD ． 041222=+--+y x y x 18．对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n a b ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞-=，则称{},n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套。

上海市杨浦区2015届高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．函数f（x）=的定义域是__________．2．若集合A=，则A∩B的元素个数为__________．3．若，则x的值是__________．4．（2x﹣）6展开式中常数项为__________（用数字作答）．5．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为__________．6．对数不等式（1+log3x）（a﹣log3x）＞0的解集是，则实数a的值为__________．7．极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为__________．8．如图，根据该程序框图，若输出的y为2，则输入的x的值为__________．9．（1999•广东）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________．10．已知是不平行的向量，设，则与共线的充要条件是实数k等于__________．11．已知方程x2﹣px+1=0（p∈R）的两根为x1、x2，若|x1﹣x2|=1，则实数p的值为__________．12．已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为__________．13．已知n∈N*，在坐标平面中有斜率为n的直线l n与圆x2+y2=n2相切，且l n交y轴的正半轴于点P n，交x轴于点Q n，则的值为__________．14．对于自然数N*的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9﹣6+4﹣2+1=6；则集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的总和为__________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．在复平面中，满足等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹是( )A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．两条射线17．设反比例函数f（x）=与二次函数g（x）=ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A （x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则=( )A．2或B．﹣2或C．2或D．﹣2或18．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为( )A．B．C．D．三.解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15°，BC=10公里．现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处；方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处．若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由．20．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1﹣EF﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）．21．已知函数f（x）=是奇函数．（1）求t的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．22．数列{a n}满足a1=1，a2=r（r＞0），令b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，设c n=a2n﹣1+a2n．（1）求证：c n=（1+r）•q n﹣1；（2）设{c n}的前n项和为S n，求的值；（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，求n为何值时，T n取到最小值．23．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦．（1）若弦PQ过焦点F，求证：为定值；（2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有为定值；（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设，点N在x轴的负半轴上，且满足，求N点坐标．上海市杨浦区2015届高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．函数f（x）=的定义域是﹣2＜x≤1．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：只需被开方数为非负数、分母不为零同时成立即可．解答：解：根据题意，只需，即，解得﹣2＜x≤1，故答案为：﹣2＜x≤1．点评：本题考查函数的定义域，属于基础题．2．若集合A=，则A∩B的元素个数为3．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：集合A表示长轴为，短轴为1的椭圆内部的点集，B表示整数集，画出相应的图形，如图所示，找出A∩B的元素个数即可．解答：解：如图所示，由图形得：A∩B={（0，0），（﹣1，0），（1，0）}，共3个元素．故答案为：3．点评：此题考查了交集及其运算，利用了数形结合的思想，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．若，则x的值是log23．考点：二阶矩阵；有理数指数幂的化简求值．专题：矩阵和变换．分析：根据矩阵的定义直接计算即可．解答：解：∵，∴4x﹣2×2x=3，化简得（2x）2﹣2×2x﹣3=0，解得2x=3或﹣1（舍），从而，解得x=log23，故答案为：log23．点评：本题考查矩阵的计算，解对数方程，弄清矩阵的涵义是解题的关键，属于基础题．4．（2x﹣）6展开式中常数项为60（用数字作答）．考点：二项式定理．分析：用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．解答：解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为60点评：二项展开式的通项公式是解决二项展开式中特殊项问题的工具．5．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．解答：解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．点评：本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．对数不等式（1+log3x）（a﹣log3x）＞0的解集是，则实数a的值为2．考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先解出不等式，再结合已知解集，可得结果．解答：解：将对数不等式两边同时乘以﹣1，得（log3x+1）（log3x﹣a）＜0，即（log3x﹣）（log3x﹣）＜0，所以此不等式的解为：或，∵其解集为解集是，∴=2，故答案为：2．点评：本题考查对数不等式的解法，属于中档题．7．极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆的面积计算公式即可得出．解答：解：化为，∴，配方为+=．因此极坐标方程所表示的曲线为圆心为，半径r=的圆．其围成的图形面积S=πr2=．故答案为：．点评：本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．如图，根据该程序框图，若输出的y为2，则输入的x的值为4．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，得其功能是求分段函数y=的值，由输出的y为2，分情况讨论即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得其功能是求分段函数y=的值，若输出的y为2，则x＞0时，有=2，解得：x=4．当x≤0时，有2x=2，解得x=1（舍去）．故答案为：4．点评：本题考查了分支结构的程序框图，根据框图的流程分析得到程序的功能是解题的关键，属于基础题．9．（1999•广东）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p的值．解答：解：当△=p2﹣4≥0，即p≥2或p≤﹣2，由求根公式得|x1﹣x2|==1，得p=±，当△=p2﹣4＜0，即﹣2＜p＜2，由求根公式得|x1﹣x2|==1，得p=±．综上所述，p=±或p=±．故答案为：±或±．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．12．已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：根据乘法原理得出甲、乙、丙三人选5班航班的总共事件为53，利用排列组合知识得出：他们之中正好有两个人选择同一航班”的有60个，再运用概率知识求解即可．解答：解：设“他们之中正好有两个人选择同一航班”的事件为B，根据题意得出甲、乙、丙三人选5班航班的总共事件为53，∵B事件的基本事件的个数为=60．∴P（B）==，故答案为：点评：本题考查了古典概率问题的事件的求解，关键是确定基本事件的个数，难度不大，属于容易题．13．已知n∈N*，在坐标平面中有斜率为n的直线l n与圆x2+y2=n2相切，且l n交y轴的正半轴于点P n，交x轴于点Q n，则的值为．考点：极限及其运算；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设切线l n的方程为：y=nx+m，由于直线l n与圆x2+y2=n2相切，可得=n，取m=n．可得切线l n的方程为：y=nx+n，可得P n，Q n，可得|P n Q n|．再利用数列极限的运算法则即可得出．解答：解：设切线l n的方程为：y=nx+m，∵直线l n与圆x2+y2=n2相切，∴=n，取m=n．∴切线l n的方程为：y=nx+n，∴P n，Q n．∴|P n Q n|==1+n2．∴===．故答案为：．点评：本题考查了直线的方程、直线与圆的相切性质、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．对于自然数N*的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9﹣6+4﹣2+1=6；则集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的总和为448．考点：集合的表示法；进行简单的合情推理．专题：新定义；集合．分析：根据“交替和”的定义：求出S2、S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n即可．解答：解：由题意，S2表示集合N={1，2}的所有非空子集的“交替和”的总和，又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}，∴S2=1+2+2﹣1=4；S3=1+2+3+（2﹣1）+（3﹣1）+（3﹣2）+（3﹣2+1）=12，S4=1+2+3+4+（2﹣1）+（3﹣1）+（4﹣1）+（3﹣2）+（4﹣2）+（4﹣3）+（3﹣2+1）+（4﹣2+1）+（4﹣3+1）+（4﹣3+2）+（4﹣3+2﹣1）=32，∴根据前4项猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n=n•2n﹣1，所以S7=7×27﹣1=7×26=448，故答案为：448．点评：本题主要考查了数列的应用，同时考查了归纳推理的能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次函数的性质进行判断即可．解答：解：若函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点，则判别式△=a2﹣4=0，解得a=2或a=﹣2，则“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的既非充分又非必要条件，故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．16．在复平面中，满足等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹是( ) A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．两条射线考点：轨迹方程．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：利用复数的几何意义，即可判断出等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹．解答：解：复数z满足|z+1|﹣|z﹣1|=2，则z对应的点在复平面内表示的是到两个定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之差为常数2，所以z对应的点在复平面内表示的图形为以F2（1，0）为起点，方向向右的一条射线．故选：C．点评：熟练掌握复数的几何意义是解题的关键．17．设反比例函数f（x）=与二次函数g（x）=ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A （x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则=( )A．2或B．﹣2或C．2或D．﹣2或考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知条件可以画出f（x），g（x）的图象，由图象可得到方程，即方程ax3+bx2﹣1=0有两个二重根，和一个一重根，所以可设二重根为c，另一根为d．所以上面方程又可表示成：a（x﹣c）2（x﹣d）=ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0，所以便得到2acd+ac2=0，所以c=﹣2d．所以再根据图象可得．解答：解：根据题意可画出f（x），g（x）可能的图象：A，B两点的横坐标便是方程即ax3+bx2﹣1=0的解；由上面图象知道A，B两点中有一个点是f（x），g（x）图象的切点，反应在方程上是方程的二重根；所以可设二重根为c，另一根为d，则上面方程可变成：a（x﹣c）2（x﹣d）=0；将方程展开：ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0；∴2acd+ac2=0；由图象知a，c≠0；∴由上面式子得：c=﹣2d；；∴；∴由图象知x1=c，x2=d，或x1=d，x2=c；∴．故选：B．点评：考查曲线的公共点和两曲线方程形成方程组的解的关系，以及方程二重根的概念，知道了方程的根会把方程表示成因式乘积的形式，两多项式相等时对应系数相等．18．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为( )A．B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：压轴题；数形结合．分析：根据题意和图形取AP的中点为D，设∠DOA=θ，在直角三角形求出d的表达式，根据弧长公式求出l的表达式，再用l表示d，根据解析式选出答案．解答：解：如图：取AP的中点为D，设∠DOA=θ，则d=2|OA|sinθ=2sinθ，l=2θ|OA|=2θ，∴d=2sin，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式．故选：C．点评：本题考查了正弦函数的图象，需要根据题意和弧长公式，表示出弦长d和弧长l的解析式，考查了分析问题和解决问题以及读图能力．三.解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15°，BC=10公里．现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处；方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处．若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由．考点：向量的三角形法则．专题：计算题．分析：分别计算两种方案的时间即可．解答：解：如图，过A作AD垂直BC交于D，根据题意知∠CAD=15°，∠BAD=45°，设CD为x公里，则有AD=，由于tan15°=tan（45°﹣30°）====，故AD===（2）x，∵BC=10公里，∠BAD=45°，∴BD=AD，即（2）x=x+10，解得x=CD=，从而AD=（2）×（）=5+，AC===10≈14.14，AB==（5+）=≈19.32，下面分别计算两种方案所要花费的时间：方案一：≈≈0.4023（时）；方案二：≈0.4293（时）；显然选择方案一．点评：本题考查速度、路程、时间之间的关系，属于基础题．20．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1﹣EF﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）．考点：直线与平面垂直的性质；反三角函数的运用；与二面角有关的立体几何综合题．专题：证明题；综合题；压轴题；探究型；向量法．分析：（I）法一：几何法：要D1E⊥平面AB1F，先确定D1E⊥平面AB1F内的两条相交直线，由三垂线定理易证D1E⊥AB1，同理证明D1E⊥AF即可．法二：代数法：建立空间直接坐标系，运用空间向量的数量积等于0，来证垂直．（II）法一：求二面角C1﹣EF﹣A的大小，转化为求C1﹣EF﹣C的大小，利用三垂线定理方法：E、F都是所在线的中点，过C连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．求解即可．法二：找出两个平面的法向量，运用空间向量数量积公式求出二面角的余弦值，再求其角．解答：解法一：（I）连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF．连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF．∵ABCD是正方形，E是BC的中点．∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点．又已知点E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=，∴tan∠C1HC=．∴∠C1HC=arctan，从而∠AHC1=π﹣arctan2．故二面角C1﹣EF﹣A的大小为．解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）∴∴=1﹣1=0，即D1E⊥AB1于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E∪AF⇔即x=．故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F（2）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF．连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1﹣EF﹣A的平面角．∵，∵．∴，=，即．故二面角C1﹣EF﹣A的大小为π﹣arccos．点评：本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力．空间向量计算法容易出错．21．已知函数f（x）=是奇函数．（1）求t的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．考点：反函数；函数奇偶性的性质；其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数f（x）=是奇函数，可得f（0）=0，解得t，并验证是否满足条件即可．（2）由（1）可得：y=f（x）==1﹣，可得y∈（﹣1，1）．化为3x=（y≠1），把x与y互换可得，两边取对数即可得出反函数．（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．（x∈（﹣1，1））．化为＞，又x∈（﹣1，1））．化为m＞1﹣x，对m分类讨论即可得出．解答：解：（1）∵函数f（x）=是奇函数，∴f（0）==0，解得t=1，经过验证满足条件，∴t=1．（2）由（1）可得：y=f（x）==1﹣，可得y∈（﹣1，1）．解得3x=（y≠1），把x与y互换可得，∴y=，（x∈（﹣1，1））．∴f（x）的反函数f﹣1（x）=，（x∈（﹣1，1））．（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．（x∈（﹣1，1））．即＞log3．∴＞，又∵x∈（﹣1，1））．∴m＞1﹣x，当0＜m≤2时，解得1＞x＞1﹣m．当m＞2时，解得1＞x＞﹣1．∴不等式：f﹣1（x）＞log3的解集为：当0＜m≤2时，解集为（1﹣m，1）；当m＞2时，解集为（﹣1，1）．点评：本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．数列{a n}满足a1=1，a2=r（r＞0），令b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，设c n=a2n﹣1+a2n．（1）求证：c n=（1+r）•q n﹣1；（2）设{c n}的前n项和为S n，求的值；（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，求n为何值时，T n取到最小值．考点：等比数列的前n项和；极限及其运算；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据题意得出=q（n≥2），判断出奇数项，偶数项分别成等比数列，运用等比数列的通项公式求解即可．（2）运用等比数列的求和公式得出q=1时，S n=（1+r）n，=0，q≠1时，S n=，=，分类讨论求解即可（3）利用条件得出（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，T n=（256）n•（﹣2）=（﹣1）•2，再根据函数性质得出最小项，注意符号即可．解答：解：（1）b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，因为数列{a n a n+1}是一个以q（q≠0，q≠﹣1））为公比的等比数列因此=q，所以=q（n≥2），即=q（n≥2），∴奇数项，偶数项分别成等比数列∵设c n=a2n﹣1+a2n．∴c n=1•q n﹣1+r•q n﹣1=（1+r）•q n﹣1∴bn=（1+r）•qn﹣1（2）q=1时，S n=（1+r）n，=0q≠1时，S n=，=若0＜q＜1或﹣1＜q＜0时，=若q＞1或q＜﹣1时，=0∴=（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n=（1+r）n∵T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，∴（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，∴T n=（256）n•（﹣2）=（﹣1）•2，根据数列的函数性质得出n=7，n=10时，T n的最小值为﹣235．点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求通项公式，等比数列求和公式的应用，数列极限的求解，要注意等比数列求和公式应用时对公比q的讨论，根据函数的性质解析式确定最值．23．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦．（1）若弦PQ过焦点F，求证：为定值；（2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有为定值；（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设，点N在x轴的负半轴上，且满足，求N点坐标．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出直线PQ的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1x2的值，由抛物线的定义分别表示出|FP|，|FQ|，代入整理得到定值，最后验证斜率不存在时的情况；（2）设出直线PQ的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，化简整理，即可求得定点M和定值；（3）运用向量共线的坐标表示和向量垂直的条件，化简整理即可求得定点N．解答：（1）证明：抛物线的焦点为F（，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣）（k≠0），代入抛物线方程，消去y，得k2x2﹣p（k2+2）x+=0，由根与系数的关系，得x1x2=，x1+x2=p+，由抛物线的定义，知|FP|=x1+，|FQ|=x2+．+=+===为定值．当PQ⊥x轴时，|FA|=|FB|=p，上式仍成立；（2）证明：设M（m，0），当PQ⊥x轴时，令x=m，可得y2=2pm，|MP|=|MQ|=，有+为定值．当PQ斜率存在时，设PQ：x=ty+m，代入抛物线方程可得，y2﹣2pty﹣2pm=0，设P（，y1），Q（，y2）则y1+y2=2pt，y1y2=﹣2pm．即有|MP|2=（m﹣）2+y12=+y12=（1+t2）y12，同理|MQ|2=（m﹣）2+y22=（1+t2）y22．即有+=•，存在m=p即有定点M（p，0）时，上式为•=为定值；（3）解：，可得=，，可得（+λ）•（﹣λ）=0，即为NP2=λ2NQ2，由P（，y1），Q（，y2），M（p，0），设，则y1=﹣λy2，①p﹣=λ（﹣p），②又设N（n，0）（n＜0），则（n﹣）2+y12=λ2，即为﹣n=λ（﹣n），③将①平方可得，y12=λ2y22，④，将④代入②③，化简可得n=﹣p．则N（﹣p，0）．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系．同时考查向量垂直的条件和向量共线的坐标表示，注意运用韦达定理和抛物线的定义是解题的关键，具有一定的运算量，属于中档题．。

上海市杨浦区控江社区2015届高考数学模拟试卷（5月份）一.填空题（每小题4分．共56分）1．（4分）函数的定义域为．2．（4分）若，则x+y=．3．（4分）不等式的解集为．4．（4分）若sinx=，，则x=．（结果用反三角函数表示）5．（4分）方程|lgx|+x﹣3=0实数解的个数是．6．（4分）在极坐标系中，直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为．（结果用反三角函数值表示）7．（4分）若多面体的各个顶点都在同一球面上，则称这个多面体内接于球．如图，设长方体ABCD﹣A 1B1C1D1内接于球O，且AB=BC=2，，则A、B两点之间的球面距离为．8．（4分）已知x是1、2、x、4、5这五个数据的中位数，又知﹣1、5、、y这四个数据的平均数为3，则x+y最小值为．9．（4分）设x5=a1（x﹣4）5+a2（x﹣2）4+a3（x﹣4）3+a4（x﹣2）2+a5（x﹣4）+a6，其中a1，a2，…，a6均为实数，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6=．10．（4分）在三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则三个数中任两个不同行不同列的概率是．（结果用分数表示）11．（4分）在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AC，BD的中点AB=CD=6，AB与CD 所成的角为60度，则EF的长为．12．（4分）定义点P对应到点Q的对应法则：，（m≥0，n≥0），则按定义的对应法则f，当点P在线段AB上从点A（4，0）开始运动到点B（0，4）时，可得到P的对应点Q的相应轨迹，记为曲线E，则曲线E上的点与线段AB上的点之间的最小距离为．13．（4分）已知函数，图象的最高点从左到右依次记为P1，P3，P5，…，函数y=f（x）图象与x轴的交点从左到右依次记为P2，P4，P6，…，设Sn=+++…+，则=．14．（4分）把a n=4n﹣1中所有能被3或5整除的数删去，剩下的数自小到大排成一个数列{b n}，则b2013=．二．选择题（每小题5分，共20分）15．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，当a1，d变化时，若a2+a8+a11是一个定值，那么下列各数中也为定值的是（）A．S13B．S15C．S7D．S816．（5分）已知集合A=，B={z||z|=1，z∈C}，若A∩B=∅，则b的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣1，0）∪（0，1）D． [﹣1，0）∪（0，1]17．（5分）已知θ为三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦在点y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线18．（5分）已知y=f（x）是定义域为R的单调函数，且x1≠x2，λ≠﹣1，α=，若|f（x1）﹣f（x2）|＜|f（α）﹣f（β）|，则（）A．λ＜0 B．λ=0 C．0＜λ＜1 D．λ＞1三．解答题.19．（12分）已知函数f（x）=sin．（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+h（A＞0）的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）若函数f（x）的定义域为，求函数f（x）的值域．20．（14分）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D，E分别是BC，AP的中点．（1）求异面直线AC与ED所成的角的大小；（2）求△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．21．（14分）已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（﹣2k，2）是函数y=f﹣1（x）图象上的点．（1）求实数k的值及函数f﹣1（x）的解析式；（2）将y=f﹣1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2 f﹣1（x+﹣3）﹣g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围．22．（16分）已知两点A（﹣1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点满足．（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；（2）过点B作斜率为的直线l交曲线C于M、N两点，且满足，又点H关于原点O的对称点为点G，①求点H，G的坐标；②试问四点M、G、N、H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．23．（18分）我们规定：对于任意实数A，若存在数列{a n}和实数x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+a n x n﹣1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=．如：A=，则表示A是一个2进制形式的数，且A=﹣1+3×2+（﹣2）×22+1×23=5．（1）已知m=（1﹣2x）（1+3x2）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．（2）若数列{a n}满足a1=2，a k+1=，b n=（n∈N*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，b n=p•8n+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．（3）若常数t满足t≠0且t＞﹣1，d n=，求．上海市杨浦区控江社区2015届高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一.填空题（每小题4分．共56分）1．（4分）函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，2]．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据函数解析式的特征可得然后求出x的范围即可得解．解答：解：∵∴∴x≤2且x≠0∴定义域为（﹣∞，0）∪（0，2]故答案为（﹣∞，0）∪（0，2]点评：本题主要考查了函数定义域及其求法．解题的关键是要根据函数的特征得出关于x所需满足的关系式．2．（4分）若，则x+y=1．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：计算题．分析：先根据矩阵的乘法化简成二元一次方程组，然后解方程组即可求出x和y的值，从而求出x+y的值．解答：解：∵，∴解得即x+y=1故答案为：1点评：本题主要考查了矩阵的乘法，以及二元一次方程组的解法，属于基础题．3．（4分）不等式的解集为（1，2）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据行列式的运算法则，原不等式即＜0，再利用对数函数的定义域和单调性求得x的范围．解答：解：不等式，即＜0，即0＜x﹣1＜1，即1＜x＜2，故答案为：（1，2）．点评：本题主要考查对行列式的运算，对数函数的定义域和单调性的应用，属于基础题．4．（4分）若sinx=，，则x=．（结果用反三角函数表示）考点：三角方程．专题：三角函数的求值．分析：直接利用三角方程求解即可．解答：解：sinx=，，则x=．故答案为：．点评：本题考查三角方程的求法，考查计算能力，注意角的范围．5．（4分）方程|lgx|+x﹣3=0实数解的个数是2．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：方程|lgx|+x﹣3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3﹣x的交点的个数，结合图象得出结论．解答：解：方程|lgx|+x﹣3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3﹣x的交点的个数，如图所示：函数y=|lgx|与函数y=3﹣x的交点的个数为2，故答案为2．点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．6．（4分）在极坐标系中，直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为arctan．（结果用反三角函数值表示）考点：简单曲线的极坐标方程；两直线的夹角与到角问题．专题：计算题．分析：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可．解答：解：∵ρ（2cosθ+sinθ）=2，ρcosθ=1∴2x+y﹣2=0与x=1∴2x+y﹣2=0与x=1夹角的正切值为直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为arctan故答案为：arctan点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能进行极坐标和直角坐标的互，属于基础题．7．（4分）若多面体的各个顶点都在同一球面上，则称这个多面体内接于球．如图，设长方体ABCD﹣A 1B1C1D1内接于球O，且AB=BC=2，，则A、B两点之间的球面距离为．考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD边长为2，高AA1=2，它的八个顶点都在同一球面上，那么，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的对角线长为球的直径，中点O为球心，根据球面距离的定义，应先算出球面两点对球心的张角，再乘以球的半径即可．解答：解：由题意可得：长方体ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，所以正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD边长为2，高AA1=2，它的八个顶点都在同一球面上，则正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的对角线长为球的直径，中点O为球心．所以正四棱柱对角线AC1=4，则球的半径为2．在△AOB中根据余弦定理可得∠AOB=；则A，B两点的球面距离为故答案为：．点评：解决多面体与球相关的“切”“接”问题时，关键是抓住球心的位置，球心是球的灵魂，再根据球面距离的定义，应先算出球面两点对球心的张角，再乘以球的半径．这是通性通法．8．（4分）已知x是1、2、x、4、5这五个数据的中位数，又知﹣1、5、、y这四个数据的平均数为3，则x+y最小值为．考点：基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式；众数、中位数、平均数．专题：计算题．分析：根据x是1、2、x、4、5这五个数据的中位数，得到x的取值范围，根据﹣1、5、、y这四个数据的平均数为3，得到x，y之间的关系，把要求的代数式换元变化为一个自变量的形式，得到一个递增的代数式，把x的最小值代入得到结果．解答：解：∵x是1、2、x、4、5这五个数据的中位数，∴x∈[2，4]，∵﹣1、5、、y这四个数据的平均数为3，∴﹣1+5+y=12，∴y=+8∵x+y=x++8在x∈[2，4]是一个增函数，x+y最小值为2++8=故答案为：点评：本题考查中位数，平均数，考查基本不等式在最值问题中的应用，考查函数的单调性，本题是一个综合题目，作为选择或填空做起来有点困难．9．（4分）设x5=a1（x﹣4）5+a2（x﹣2）4+a3（x﹣4）3+a4（x﹣2）2+a5（x﹣4）+a6，其中a1，a2，…，a6均为实数，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6=﹣35．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：利用赋值法，即可得出结论．解答：解：由题意，令x=3，可得﹣（a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6）=35，所以a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6=﹣35．故答案为：﹣35点评：本题主要考查二项式定理的运用，利用赋值法是解决本题的关键．10．（4分）在三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则三个数中任两个不同行不同列的概率是．（结果用分数表示）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：可得总的选法为84种，列举可得符合题意的共6个，由概率公式可得．解答：解：从9个数中任选3个共=84种选法，其中三个数中任两个不同行不同列的为：（a11，a22，a33），（a11，a23，a32），（a12，a21，a33），（a12，a23，a31），（a13，a22，a31），（a11，a21，a32）共6个，∴所求概率P==故答案为：点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及列举法的应用，属基础题．11．（4分）在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AC，BD的中点AB=CD=6，AB与CD 所成的角为60度，则EF的长为．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示．连接EC，ED．利用△ABC是等边三角形可得CE，同理可得ED，再利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：取BC是中点G，连结GE，GF，∠EGF就是AB与CD所成的角或补角；∵AB=CD=6，∴EG=GF=3，当∠EGF=60°时，EF=3，当∠EGF=120°时，EF==3．故答案为：．点评：本题考查空间两点间的距离公式的应用，距离的求法，考查异面直线所成角的求法，考查计算能力．12．（4分）定义点P对应到点Q的对应法则：，（m≥0，n≥0），则按定义的对应法则f，当点P在线段AB上从点A（4，0）开始运动到点B（0，4）时，可得到P的对应点Q的相应轨迹，记为曲线E，则曲线E上的点与线段AB上的点之间的最小距离为．考点：两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：由题意可得线段AB的方程，进而可得曲线E为椭圆+y2=1在第三象限的部分，由点到直线的距离公式可得．解答：解：由题意可得点P在线段AB上，∴m+n=4，m≥0，n≥0，设x=﹣，y=﹣，则x≤0，y≤0，∴n=x2，m=4y2，代入m+n=4变形可得+y2=1，∴曲线E为椭圆+y2=1在第三象限的部分，∴下顶点（0，﹣1）到直线m+n=4的距离即为所求，由距离公式可得距离d==故答案为：点评：本题考查距离公式，考查新定义和椭圆的知识，属中档题．13．（4分）已知函数，图象的最高点从左到右依次记为P1，P3，P5，…，函数y=f（x）图象与x轴的交点从左到右依次记为P2，P4，P6，…，设Sn=+++…+，则=．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：求出函数P1，P2，P3，P4，P5，…，的坐标，求出向量，，求出，推出，然后求出S n，即可求解的值．解答：解：函数，图象的最高点从左到右依次记为P1，P3，P5，…，函数y=f（x）图象与x轴的交点从左到右依次记为P2，P4，P6，…，所以P 2（1，0），P4（3，0），P6（5，0）…∴，，，，，∴，S n=﹣2+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n=，===．故答案为：．点评：本题是中档题，考查函数的图象，数列的前n项和的求法，数列的极限的求解方法，考查计算能力．14．（4分）把a n=4n﹣1中所有能被3或5整除的数删去，剩下的数自小到大排成一个数列{b n}，则b2013=15091．考点：排列、组合的实际应用．专题：等差数列与等比数列；排列组合．分析：首先求出等差数列前15项中所含数列{b n}的项，由3和5的最小公倍数为15，得到若以60为区间长度，每一个区间长度内有数列{b n}的8项，求得b2013是第252个区间内的第5项，再由b2013=251×60+b5得答案．解答：解：∵a n=4n﹣1=3n+（n﹣1）=5n﹣（n+1），∴当n﹣1能被3整除时，a n能被3整除，n=1，4，7，13，16，19，…当n+1能被5整除时，a n能被5整除，n=4，9，14，19，…又∵3和5的最小公倍数是15，∴a n的每15项中有7项中要舍去，即每15个a n中有8个b n，即第一个区间段中的15个a n：3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，55，59中有b1=7，b2=11，b3=19，b4=23，b5=31，b6=43，b7=47，b8=59．又2013÷8=251余5，∴b2013=251×60+b5=15060+31=15091．故答案为：15091．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了排列在解决实际问题中的应用，关键是对问题规律性的发现，是中档题．二．选择题（每小题5分，共20分）15．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，当a1，d变化时，若a2+a8+a11是一个定值，那么下列各数中也为定值的是（）A．S13B．S15C．S7D．S8考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的通项公式化简a2+a8+a11，整理后再利用等差数列的通项公式化简，由a2+a8+a11是一个定值，得到a7为定值，然后利用等差数列的求和公式表示出S13，利用等差数列的性质化简后，得到关于a7的关系式，由a7为定值，可得出S13为定值．解答：解：由a2+a8+a11=（a1+d）+（a1+7d）+（a1+10d）=3（a1+6d）=3a7，∵a2+a8+a11是一个定值，∴a7为定值，又a1+a13=2a7，∴S13==13a7，则S13为定值．故选A点评：此题考查了等差数列的通项公式、求和公式，以及等差数列的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．16．（5分）已知集合A=，B={z||z|=1，z∈C}，若A∩B=∅，则b的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣1，0）∪（0，1）D． [﹣1，0）∪（0，1]考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义分别化简集合A，B，再利用集合的运算性质即可得出．解答：解：对于集合A：设z=x+yi（x，y∈R），由bi﹣bi•z+2=0，∴bi（x﹣yi）﹣bi（x+yi）+2=0，化为by=﹣1．即b=﹣．对于集合B：∵|z|=1，设z=x+yi，（x，y∈R），则x2+y2=1．∵A∩B=∅，∴b∈[﹣1，1]，故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义、集合的运算性质，属于基础题．17．（5分）已知θ为三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦在点y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过条件，判断sinθ与﹣cosθ的大小，结合椭圆的性质判断选项即可．解答：解：θ为三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，当θ∈（0°，90°），sinθ+cosθ＞1，可得θ∈（90°，135°），sinθ＞﹣cosθ＞0，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示：焦在点y轴上的椭圆．故选：B．点评：本题考查椭圆的简单性质，三角函数值的大小的判断，基本知识的考查．18．（5分）已知y=f（x）是定义域为R的单调函数，且x1≠x2，λ≠﹣1，α=，若|f（x1）﹣f（x2）|＜|f（α）﹣f（β）|，则（）A．λ＜0 B．λ=0 C．0＜λ＜1 D．λ＞1考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：此题主要根据函数的单调函数，分类讨论，将比较函数值的大小转化为比较自变量的大小，然后建立不等关系，解之即可．解答：解：不妨设y=f（x）是定义在R上的单调减函数，由|f（x1）﹣f（x2）|＜|f（α）﹣f （β）|，求得|α﹣β|＞|x1﹣x2|①．将α=，代入①得||•|x1﹣x2|＞|x1﹣x2|，而x1≠x2，可得||＞1，即：|1﹣λ|＞|1+λ|，两边平方，求得λ＜0．当y=f（x）是定义在R上的单调增函数时，由|f（x1）﹣f（x2）|＜|f（α）﹣f（β）|，求得|α﹣β|＞|x1﹣x2|②．将α=，代入②得||•|x1﹣x2|＞|x1﹣x2|，而x1≠x2，可得||＞1，即：|1﹣λ|＞|1+λ|，两边平方求得，求得λ＜0．综上可得，λ＜0．故选：A．点评：本题主要考查了函数的单调性的知识，以及函数与方程的综合运用，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．三．解答题.19．（12分）已知函数f（x）=sin．（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+h（A＞0）的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）若函数f（x）的定义域为，求函数f（x）的值域．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用倍角公式对解析式化简；（2）由自变量的范围确定（）的范围，结合正弦函数的单调性求值域．解答：解：（1）…（3分）由=0即即对称中心的横坐标为…（6分）（2）∴，…（9分）∵，∴，∴，即f（x）的值域为，综上所述，，f（x）的值域为…（14分）点评：本题考查了三角函数的倍角公式的运用以及Asin（ωx+φ）+h的形式的值域求法，经常考查，注意掌握．20．（14分）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D，E分别是BC，AP的中点．（1）求异面直线AC与ED所成的角的大小；（2）求△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．考点：异面直线及其所成的角；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：（1）解法一：欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角，再放入三角形中，通过解三角形求出该角．本题中取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．再放入Rt△EFD中来求．解法二：利用空间向量来解，先建立空间直角坐标系，把异面直线AC与ED所成的角转化为向量，的夹角，再利用向量的夹角公式计算即可．（2）△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AD为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、AE为高的小圆锥，所以只需求出两个圆锥的体积，再相减即可．解答：解（1）解法一：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，所以∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．由已知，，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．在Rt△EFD中，，．所以异面直线AC与ED所成的角为（．解法二：建立空间直角坐标系，，E（0，0，1），PCDE，所以异面直线AC与ED所成的角为．（2）△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AD为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、AE为高的小圆锥，体积．点评：本题主要考查了异面直线所成角的求法，以及组合体体积的求法．21．（14分）已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（﹣2k，2）是函数y=f﹣1（x）图象上的点．（1）求实数k的值及函数f﹣1（x）的解析式；（2）将y=f﹣1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2 f﹣1（x+﹣3）﹣g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围．考点：反函数；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：（1）先根据A（﹣2k，2）是函数y=f﹣1（x）图象上的点，求得实数k的值，再求原函数的反函数即可．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．（2）要使2f﹣1（x+﹣3）﹣g（x）≥1恒成立，分离出参数m后得：x++2≥3在x＞0时恒成立，利用只要（x++2）min≥3．即可，从而求实数m的取值范围．解答：解：（1）∵A（﹣2k，2）是函数y=f﹣1（x）图象上的点，∴B（2，﹣2k）是函数y=f（x）上的点．∴﹣2k=32+k．∴k=﹣3．∴f（x）=3x﹣3．∴y=f﹣1（x）=log3（x+3）（x＞﹣3）．（2）将y=f﹣1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）=log3x（x＞0），要使2f﹣1（x+﹣3）﹣g（x）≥1恒成立，即使2log3（x+）﹣log3x≥1恒成立，所以有x++2≥3在x＞0时恒成立，只要（x++2）min≥3．又x+≥2（当且仅当x=，即x=时等号成立），∴（x++2）min=4，即4≥3．∴m≥．点评：本题主要考查反函数、函数恒成立问题．求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．22．（16分）已知两点A（﹣1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点满足．（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；（2）过点B作斜率为的直线l交曲线C于M、N两点，且满足，又点H关于原点O的对称点为点G，①求点H，G的坐标；②试问四点M、G、N、H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过已知条件可得，利用，计算即可；（2）①联立直线l与曲线C的方程，利用韦达定理及计算即可；②联立线段MN、GH的中垂线可得交点坐标，通过计算交点到M、H的距离即可得出结论．解答：解：（1）依据题意，有．∵，∴x2﹣1+2y2=1．∴动点P所在曲线C的轨迹方程是；（2）①∵直线l过点B，且斜率为，∴，联立方程组，得2x2﹣2x﹣1=0．设两曲线的交点为M（x1，y1）、N（x2，y2），由韦达定理，可得：．又∵，∴，∴x G=﹣1，y G=﹣，又点G与点H关于原点对称，于是可得点、．②结论：四点M、G、N、H共圆，圆心坐标为，半径为．理由如下：若线段MN、GH的中垂线分别为l 1和l2，则有，．联立方程组，解得l1和l2的交点为．因此，可算得，．所以，四点M、G、N、H共圆，圆心坐标为，半径为．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及到韦达定理、向量的坐标运算、两点间距离公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．23．（18分）我们规定：对于任意实数A，若存在数列{a n}和实数x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+a n x n﹣1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=．如：A=，则表示A是一个2进制形式的数，且A=﹣1+3×2+（﹣2）×22+1×23=5．（1）已知m=（1﹣2x）（1+3x2）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．（2）若数列{a n}满足a1=2，a k+1=，b n=（n∈N*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，b n=p•8n+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．（3）若常数t满足t≠0且t＞﹣1，d n=，求．考点：数列与函数的综合；数列的极限．专题：新定义；等差数列与等比数列；二项式定理．分析：（1）化简m，由新定义即可得到所求；（2）分别求得数列的前几项，可得数列是周期为3的数列，假设存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，总成立，化简整理，运用等比数列的求和公式，计算即可得到；（3）由新定义化简整理，运用二项式定理，结合数列极限的求法，即可得到，注意讨论．解答：解：（1）m=（1﹣2x）（1+3x2）=1﹣2x+3x2﹣6x3则m=；（2），∵∴∴=a n（n∈N*），则{a n}是周期为3的数列，假设存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，总成立，则b n====，∴．即存在实常数，对于任意的n∈N*，总成立；（3）=，∴，即．点评：本题考查新定义的理解和运用，同时考查数列的周期性和二项式定理的运用，以及数列极限的求法，考查运算能力，具有一定的综合性．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U AB =ð ．2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 4．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ．5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．7.方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．8.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．9.已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．10.设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ．11.在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．13.已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为 ．14.在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 16．已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532C ．112D ．13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 18．设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x →∞-=-（ ）A ．1-B ．12-C ．1D ．2 三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A=，E 、F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明11212S x y x y =-； （2）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值. 22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N .（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-. 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，()00f =，()4f πT =. （1）验证()sin 3xh x x =+是以π6为周期的余弦周期函数；（2）设b a <．证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；（3）证明：“0u 为方程()cos 1f x =在[]0,T 上得解”的充要条件是“0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上有解”，并证明对任意[]0,x ∈T 都有()()()f x f x f +T =+T .上海数学（理工农医类）参考答案一、（第1题至第14题） 1.}{1,4 2.1142i + 3.16 4.4 5.2 6.3π7.2 8.120 9.32yy x =± 10.4 11.45 12.0.2 13.8 14. 1615-二、（第15至18题） 题号 15 16 17 18 代号BDBA三、（第19至23题）19. 解：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A 1(2，0，1)、C 1(0，2，1)、E(2，1，0)、F （1，2,0）、C （0、2、0）、D （0,0,1）.因为)0,2,2(11-=C A，(1,1,0)EF =-， 所以11//EF AC ， 因此直线1AC与EF 共面， 即，1A 、1C 、F 、E 四点共面.设平面EF C A 11的法向量为(,,)n u v w =， 则n ⊥EF ，n ⊥1FC ，又(1,1,0)EF =-，1FC =(1,0,1)-,故0,u .0,u v v w u w -+=⎧==⎨-+=⎩解得取u=1，则平面EF C A 11 的一个法向量n =(1,1,1).又1(0,2,1)CD =-, 故111515||CD n CD n ⋅=-⋅因此直线1CD 与平面FE C A 11所成的角的大小1515arcsin . 20. 解：（1）138t =， 设乙到C 时甲所在地为D ，则AD=158千米。

2015年上海市杨浦区高考一模数学试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若，则α＝．2．（4分）设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是．3．（4分）若在等差数列{a n}中，a3＝7，a7＝3，则通项公式a n＝．4．（4分）已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是．5．（4分）函数f（x）＝x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）＝．6．（4分）二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是．7．（4分）已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．8．（4分）向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．9．（4分）一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有种．10．（4分）在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部熔化后，容器中液面的高度为．（相同质量的冰与水的体积比为10：9）11．（4分）不等式log2（4x﹣3）＞x+1的解集是．12．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角C＝．13．（4分）已知，集合A＝{z|z＝1+ω+ω2+…+ωn，n∈N*}，集合B ＝{x|x＝z1•z2，z1、z2∈A}（z1可以等于z2），则集合B的子集个数为．14．（4分）如图所示，已知函数y＝log24x图象上的两点A、B和函数y＝log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则p2×2q的值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7B．i＜8C．i＞7D．i＞816．（5分）下列命题中正确的是（）A．若x∈C，则方程x3＝2只有一个根B．若z1∈C，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2C．若z∈R，则不成立D．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数17．（5分）圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1＝0B．C．x2+y2+x﹣2y+1＝0D．18．（5分）对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）；②，则称{[a n，b n]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD 与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．20．（14分）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON＝，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？21．（14分）已知函数是奇函数，a，b，c为常数（1）求实数c的值；（2）若a，b∈Z，且f（1）＝2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）≥m﹣2x对x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．22．（16分）如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．23．（18分）数列{a n}各项均不为0，前n项和为S n，b n＝a n3，b n的前n项和为T n，且T n＝S n2（1）若数列{a n}共3项，求所有满足要求的数列；（2）求证：a n＝n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列；（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015＝﹣2014；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）．2015年上海市杨浦区高考一模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若，则α＝或．【解答】解：∵sinα＝，且α∈（0，π），∴α＝或．故答案为：或2．（4分）设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是[，0]．【解答】解：∵A⊆B；∴；∴；∴m的取值范围是[，0]．故答案为：．3．（4分）若在等差数列{a n}中，a3＝7，a7＝3，则通项公式a n＝﹣n+10．【解答】解：设数列的公差为d∵a3＝7，a7＝3，∴a1+2d＝7，a1+6d＝3，∴a1＝9，d＝﹣1，∴a n＝﹣n+10．故答案为：﹣n+10．4．（4分）已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是x+y+1＝0．【解答】解：∵A（1，﹣2），B（﹣3，2），∴过A，B两点的直线方程为，整理得：x+y+1＝0．故答案为：x+y+1＝0．5．（4分）函数f（x）＝x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）＝﹣（x＞﹣1）．【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣1（x＜0），∴值域为（﹣1，+∞），y＝x2﹣1，∴反函数f﹣1（x）＝﹣（x＞﹣1），故答案为：﹣（x＞﹣1）6．（4分）二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是﹣84x3．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x9﹣2r，故按x的降幂排列中的第4项为﹣•x3＝﹣84x3，故答案为：﹣84x3．7．（4分）已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由|x+1|≤2得﹣2≤x+1≤2，即﹣3≤x≤1，又|x+1|≤2是x≤a成立的充分不必要条件，即﹣3≤x≤1是x≤a成立的充分不必要条件，所以a≥1．故答案为[1，+∞）．8．（4分）向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．【解答】解：∵＝（2，3），＝（﹣1，2），∴m+＝m（2，3）+（﹣1，2）＝（2m﹣1，3m+2），﹣2＝（2，3）﹣2（﹣1，2）＝（4，﹣1）．又m+与﹣2平行，∴（2m﹣1）•（﹣1）﹣4（3m+2）＝0，解得：m＝﹣．故答案为：．9．（4分）一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有30种．【解答】解：第一类，当爷爷在6排D座时，再排小孙女，最后排其他人，共有＝18种，第二类，当爷爷在6排C座时，再排小孙女，最后再排其他人，共有＝12种，根据分类计数原理共有18+12＝30种，故答案为：3010．（4分）在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部熔化后，容器中液面的高度为．（相同质量的冰与水的体积比为10：9）【解答】解：半径为2的冰球的体积为＝，水的体积为，设冰球全部熔化后，容器中液面的高度为h，则π×32h＝，∴h＝．故答案为：．11．（4分）不等式log2（4x﹣3）＞x+1的解集是（log23，+∞）．【解答】解：∵4x﹣3＞0，∴，∵log2（4x﹣3）＞x+1，∴2x+1＜4x﹣3，∴（2x）2﹣2•2x﹣3＞0，解得2x＞3，或2x＜﹣1（舍），∴x＞log23．故答案为：（log23，+∞）．12．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角C＝．【解答】解：已知等式变形得：（a+b+c）（a+b﹣c）﹣3ab＝0，整理得：（a+b）2﹣c2﹣3ab＝0，即a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝，∵C为三角形内角，∴C＝，故答案为：13．（4分）已知，集合A＝{z|z＝1+ω+ω2+…+ωn，n∈N*}，集合B ＝{x|x＝z1•z2，z1、z2∈A}（z1可以等于z2），则集合B的子集个数为16．【解答】解：∵，∴ω2＝，ω3＝1，1+ω+ω2＝0，∴当n＝1时，z＝1+ω＝+，当n＝2，z＝1+ω+ω2＝0，当n＝3时，z＝1+ω+ω2+ω3＝1，当n＝4时，z＝1+ω+ω2+ω3+ω4＝+，则A＝{+，0，1}，则B＝{x|x＝z1•z2，z1、z2∈A}＝{+，0，1，﹣+}，则集合B的子集个数为24＝16，故答案为：1614．（4分）如图所示，已知函数y＝log24x图象上的两点A、B和函数y＝log2x 上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则p2×2q的值为12．【解答】解：根据题意，设A（x0，2+log2x0），B（p，q），C（x0，log2x0），∵线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴AC＝2，2+log2p＝q，∴p＝2q﹣2，∴4p＝2q；又x0﹣p＝，∴p＝x0﹣，∴x0＝p+；又2+log2x0﹣q＝1，∴log2x0＝q﹣1，x0＝2q﹣1＝；∴p+＝，2p+2＝2q＝4p，∴p＝，2q＝4；∴p2•2q＝3×4＝12．故答案为：12．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7B．i＜8C．i＞7D．i＞8【解答】解：当S＝0，i＝1时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝1，i＝2，当S＝1，i＝2时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝5，i＝3，当S＝5，i＝3时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝14，i＝4，当S＝14，i＝4时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝30，i＝5，当S＝30，i＝5时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝55，i＝6，当S＝55，i＝6时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝91，i＝7，当S＝91，i＝7时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝140，i＝8，当S＝140，i＝8时，应不满足继续循环的条件，故循环条件应为：i＜8，故选：B．16．（5分）下列命题中正确的是（）A．若x∈C，则方程x3＝2只有一个根B．若z1∈C，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2C．若z∈R，则不成立D．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数【解答】解：对于A，若x∈C，则方程x3＝2有三个根，故错误；对于B，若z1∈C，z2∈C，则z1，z2无法比较大小，故错误；对于C，若z∈R，则成立，故错误；对于D，若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数，故正确；故选：D．17．（5分）圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1＝0B．C．x2+y2+x﹣2y+1＝0D．【解答】解：圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x＝，即圆心（，1），半径是1，所以圆的方程是x2+y2﹣x﹣2y+＝0．故选：D．18．（5分）对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）；②，则称{[a n，b n]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，对于A，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以A 不正确；对于B，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以B不正确；对于C，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）成立，并且，所以C正确；对于D，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以D不正确；故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD 与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠CBC1为异面直线AD与BC1所成角，∴CBC1＝60°，…（2分）∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥面ABCD，BB1⊥面ABCD，∴线段BB1的长为线段A1B1到底面ABCD的距离，…（4分）∵RT△BCC 1中，BC＝1，∠CBC1＝60°，∴，线段A1，B1到底面ABCD的距离为．…（6分）（2）＝…（8分）＝＝…（10分）＝．…（12分）20．（14分）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON＝，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB＝，∴AB＝2R sin，OH＝R cos，OE＝DE＝AB＝R sin，∴EH＝OH﹣OE＝R（cos﹣sin），S＝AB•EH＝2R2（sin cos﹣sin2）＝，（2）设∠AOB＝θ（0＜θ＜），则AB＝2R sin，OH＝R cos，oe＝AB＝R cos，OE＝AB＝R sin，∴EH＝OH﹣OE＝R（cos﹣sin），S＝AB•EH＝R2（2sin cos﹣2sin2）＝R2（sinθ+cosθ﹣1）＝R2[sin（θ+）﹣1]，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴θ+＝即θ＝时，S max＝（﹣1）R2，此时A在弧MN的四等分点处．答：当A在弧MN的四等分点处时，S max＝（﹣1）R2．21．（14分）已知函数是奇函数，a，b，c为常数（1）求实数c的值；（2）若a，b∈Z，且f（1）＝2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）≥m﹣2x对x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）∴＝﹣化简得bx+c＝bx﹣c，解得c＝0，（2）又f（1）＝2，所以a+1＝2b①，因为f（2）＜3，所以＜3②，将①代入②并整理得＜0，解得0＜b＜，因为b∈z，所以b＝1，从而a＝1，∴f（x）＝x+（3）∵f（x）＝x+，∴x+≥m﹣2x，∴m≤3x+，对x∈（0，+∞）恒成立∵3x+≥2，当且仅当x＝时等号成立即x＝时，（3x+）min＝2，∴m≤222．（16分）如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C 2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴，解得，则曲线Γ的方程为和．（2）证明：曲线C2的渐近线为，如图，设直线l：y＝，则，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）＝0，△＝4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得．又由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2＝m，x1x2＝，∴＝，．∴，即点M在直线y＝﹣上．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x＝ny+6（n＞0）．，化为（5+4n2）y2+48ny+64＝0，△＝（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|y3﹣y4|＝＝，＝＝＝，令t＝＞0，∴n2＝t2+1，∴＝＝＝，当且仅当t＝，即n＝时等号成立．∴n＝时，＝．23．（18分）数列{a n}各项均不为0，前n项和为S n，b n＝a n3，b n的前n项和为T n，且T n＝S n2（1）若数列{a n}共3项，求所有满足要求的数列；（2）求证：a n＝n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列；（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015＝﹣2014；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）．【解答】（本题（18分），第一小题（4分），第二小题（6分），第三小题8分）解：（1）n＝1时，T1＝S12⇒a13＝a12⇒a1＝1（a1＝0舍去）…（1分）n＝2时，T2＝S22⇒a13+a23＝（a1+a2）2⇒1+a23＝（1+a2）2⇒a2＝2或a2＝﹣1（a2＝0舍去）…（2分）n＝3时，，当a2＝2时，⇒a3＝3或a3＝﹣2（a3＝0舍去）当a2＝﹣1时，…（3分）所以符合要求的数列有：1，2，3；1，2，﹣2；1，﹣1，1…（4分）（2）∵a n＝n，即证13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，…（5分）用数学归纳法证：当n＝1时，13＝12，等式成立；假设当n＝k时，13+23+33+…+k3＝（1+2+3+…+k）2＝，…（7分）则当n＝k+1时，13+23+33+…+k3+（k+1）3＝（1+2+3+…+k）2+（k+1）3＝+（k+1）3＝（）2（k2+4k+4）＝＝，即当n＝k+1时，等式也成立；综上所述，对任意n∈N*，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；…（10分）（3）＝++…+①＝++…++②②﹣①得：2S n+a n+1＝，∴2S n＝﹣a n+1；③…（11分）∴当n≥2时，2S n＝﹣a n，④…（12分）﹣1③﹣④得：2a n＝﹣a n+1﹣+a n，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∴a n+1＝﹣a n，或a n+1＝a n+1（n≥2）…（14分）（i）a n＝；（ii）a n＝；（iii）a n＝；（v）a n＝百度文库——让每个人平等地提升自我本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除。

杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷（理科） 2016.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A _____________.2. 已知全集U=R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩，则集合UA =_____________.3. 已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________. 4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4用白布包裹，则至少需要白布_________平方米. 5. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ， 且1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是_____________. 6. 已知虚数z 满足i 61z z 2+=-，则 =z __________. 7．执行如右图所示的流程图，则输出的S 的值为________.8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. (1n-展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为______________.10. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的 方差为____________.11. 如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈,则=μ+λ____________.12. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，当[]1a ,a x +∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立，则实数a 的最大值是____________.13. 抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________. 14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，c d >则a c b d ->-C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则11a b< 16. 设,a b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-”的 （ ） AB FSDCB AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,αβ和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A.若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B.若m α‖, αβ⊥, 则m β⊥C. 若m α‖，n β‖，αβ⊥，则m n ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥18. 下列函数中，既是偶函数，又在()π,0 上递增的函数的个数是 （ ）① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分 ．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。

综合题讲解18、如图，将边长为6的正方形ABCD 折叠，使得点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，那么△EBG 的周长为。

23、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB ，∠ABC=2∠C ，E 与F 分别为边AD 于DC 上的两点，且有∠EBF=∠C 。

（1）求证：BE:BF=BD:BC（2）当F 为DC 中点时，求AE:ED 的比值。

24、如图，已知抛物线y =58x 2+bx +c 经过直线y =−12x + 1与坐标轴的两个交点A 、B ，点C 为抛物线上的一点，且∠ABC=90°。

（1）求抛物线的解析式； （2）求点C 坐标；（3）直线y =−12x + 1上是否存在点P ，使得△BCP 和△OAB 相似，若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

25.已知在ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，O 为边AB 上一动点（不与A 、B 重合），以O 为圆心OB 为半径的圆交BC 于点D ，设OB x =，DC y =．（1）如图１，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）当⊙O 与线段AC 有且只有一个交点时，求x 的取值范围；（3）如图２，若⊙O 与边AC 交于点E （有两个交点时取靠近C 的交点），联结DE ，当DEC ∆与ABC ∆相似时，求x 的值.C CAD OB · ·· （图1）BCA（备用图1）E CA D OB · ···（图2）BCA（备用图2）18、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE ⊥CD ，垂足为点E ，连接AE ，∠AEB=∠C ，且cos ∠C=25，若AD=1，则AE 的长为。

23、已知，如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且∠ABE=∠ACD ，BE 、CD 交于点G 。

否是结束输出Sk=1S=0k=k+2S=S+1k(k+2)k>2016开始杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷（理科） 2016.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A _____________.2. 已知全集U=R ，集合102x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩，则集合U A =ð_____________.3. 已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________. 4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面 用白布包裹，则至少需要白布_________平方米. 5. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ，且1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是_____________. 6. 已知虚数z 满足i 61z z 2+=-，则 =z __________. 7．执行如右图所示的流程图，则输出的S 的值为________. 8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. ()31nx -展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为______________.10. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的 方差为____________.11. 如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈,则=μ+λ____________.12. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，当[]1a ,a x +∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立，则实数a 的最大值是____________.13. 抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________. 14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2fx x=，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，c d >则a c b d ->- C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则11a b< 16. 设,a b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-b a ”的 （ ）OAE B FCSDCB AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,αβ和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A.若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B.若m α‖, αβ⊥, 则m β⊥C. 若m α‖，n β‖，αβ⊥，则m n ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥18. 下列函数中，既是偶函数，又在()π,0 上递增的函数的个数是 （ ）① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分 ．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。