人教版高数选修4-5第1讲：不等式的性质与绝对值不等式(教师版)

第一讲 不等式和绝对值不等式§1.1.1不等式的基本性质学习目标1. 理解并掌握不等式的性质，能灵活运用实数的性质; 2 .掌握比较两个实数大小的一般步骤学习重难点学习重点：不等式的基本性质学习过程 一、课前准备实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知：b a b a -⇔>b a b a -⇔=0ba b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

二、新课导学不等式的基本性质： 10. 对称性：b a >⇔ ； 20. 传递性：⇒>>c b b a ,；30. 同加性：⇒>b a ；推论：同加性：⇒>>d c b a , ；30. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ；推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数)． 典型例题例1已知0,0>>>c b a ，求证：b ca c > ．例2若0a b a >>>-，0c d <<，则下列命题中能成立的个数是( )()1ad bc >；()20a bd c+<；()3a c b d ->-；()4()()a d c b d c ->-.A 1 .B 2 .C 3 .D 4.例3 ()1若0x y <<，试比较()()22x yx y +-与()()22xy x y -+的大小()2设0a >，0b >，且a b ≠，试比较a b a b 与b a a b 的大小.例4 若2()f x ax c =-满足4-≤(1)f ≤1-，1-≤(2)f ≤5，求(3)f 的取值范围.变式训练1：（1）已知0a b >>，0d c <<<（2）已知,,a b c 满足：a b c R +∈、、，222a b c +=，当n N ∈，2n >时，比较n c 与n na b +的大小.（3）设()1log 3,()2log 2x x f x g x =+=，其中0,1x x >≠，比较()f x 与()g x 的大小．§1.1.2基本不等式学习目标1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的件 2 . 初步掌握不等式证明的方法学习重难点学习重点： 基本不等式的运用学习过程 一、课前准备 二、新课导学探究1：重要不等式 1. 222(,)a b ab a b R +≥∈（当且仅当a b =时取“=”） 2．重要不等式的几何解释3．变式：（1）22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（2）222a b c ab bc ac ++≥++ （3）若0b >，则22a b a b+≥ 例1．若,,a b c R +∈，求证：222a b c a b c b c a++≥++探究2：基本不等式（均值不等式）1.2a b +≤(0,0)a b >>（当且仅当a b =时取“=”），其中2a b+正数a,b 的算数平均数和几何平均数 2．基本不等式的几何解释3．推广：若0,0a b >>,则有22ab a b a b +≤≤≤+a b =时取“=”）例2．已知y x ,都是正数①如果xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2； ②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积有最大值241s利用基本不等式求最值应注意:①x,y 一定要都是正数;②求积xy 最大值时,应看和x+y 是否为定值;求和x+y 最小值时,看积xy 是否为定值;③等号是否能够成立.以上三点可简记为“一正二定三相等”. 利用基本不等式求最值时,一定要检验等号是否．．．．．．．．．能取到．．．,若取到等号,则解法是合理的,若取不到,则必须改用其他方法. 例3．(1) 设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ； (2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. (3) 若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．例4．（1）已知,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+,指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x=+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x的值．例5．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC 长度大于1米， 且AC 比AB 长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？ 且当AC 最短时，BC 长度为多少米？变式训练2： （1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

不等式求最值的对策利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意“一正二定三相等”．在解题的过程中，有时往往出现“凑出了‘常数’却取不到‘等号’”的现象，下面给大家讲几种对策，仅供同学们参考．一、平衡系数 实施均拆这是最常用的一种技巧，常有均拆整式、均拆分式、均拆幂指数等．例1 求函数)0(132>+=x x x y 的最小值． 错解：0>x33222231231213=⋅⋅≥++=+=∴xx x x x x x x y 3min 23=∴y剖析：此类错误出现较多，而且错误是不知不觉的，实际是忽视了等号成立的条件，即212x x x ==必须成立，而实际上是不可能的，解决方法可实施均拆法． 正解：(均拆整式)0>x3322182321232331232313=⋅⋅≥++=+=∴x x x x x x x y 上式当且仅当2123x x =，即332=x 时取等号．3m i n 1823=∴y 例2 求函数y ＝x 2＋16x (x ＞0)的最小值． 解：(均拆分式)∵ x ＞0，∴y ＝x 2＋88x x +≥312． 当且仅当x 2＝8x，即x ＝2时，等号成立．故y 的最小值为12．例3 若0＜x ＜31，求函数y ＝x 2(1－3x )的最大值． 解：(均拆幂指数)∵0＜x ＜31，∴ 1－3x ＞0． y ＝x 2(1－3x )＝x •x •(1－3x )＝433(13)922x x x ∙∙- ≤3334132293x x x ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭＝4243． 当且仅当3132x x =-，即x ＝29时，等号成立，即y 的最小值为4243． 二、单调处理 简捷迅速例4 求函数4522++=x x y )(R x ∈的最小值．错解：042>+x 2241441445min 222222=∴≥+++=+++=++=∴y x x x x x x y剖析：本题似乎无懈可击，其实令41422+=+x x ，则有32-=x ，即无实数解，也就是等号取不到，因而找不到最小值．正解：由41422+++=x x y ，令242≥+=x t易证)2(1)(≥+==t t t t f y 为增函数．25212)2(min =+==∴f y 所以当242=+x ，即0=x 时，25m i n =y ．三、分项拆项 观察等号对于函数]),0(,()(c x R q p xq px x f ∈∈+=+、的最值，当直接使用均值不等式失效时，除用单调性外，还可用“分项拆项法”，再用均值不等式，同时要注意等号．例5 已知]2,0[π∈x ，求函数x x y sin 12sin 1-+-=的最小值． 解：由20π≤≤x ，得1s i n 10,1s i n 0≤-≤≤≤x x ，则min 111sin 1sin 1sin 213(sin 0时取等号)3y x x x x y =-++≥--≥+==∴=四、整体代换 减少放缩环节多次运用均值不等式，往往导致等号取不到．而用整体代换，可避免多次放缩，从而使问题获解．例6 若x ，y 这正整数，满足416x y+＝1，求 x ＋y 的最小值． 错解：∵1＝416x y +≥=∴16．又∵ x ＋y ≥232．故x ＋y 的最小值为 32．剖析：在求解过程中，利用两次放缩，在16中 y ＝4x 时等号成立．而在x ＋y ≥2，x ＝y 时等号成立，但这两次等号不能同时成立，故最小值32取不到．若采用整体代换，即可避免多次放缩，从而使问题获解．正解：x ＋y ＝1•(x ＋y )＝(416x y +)(x ＋y )＝20＋(416y x x y+) ≥20＋236． ∴ x ＋y 的最小值为36，当x ＝12，y ＝24时等号成立．。

不等式的性质与绝对值不等式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点: 掌握基本不等式的概念、性质；绝对值不等式及其解法；教学难点: 理解绝对值不等式的解法1.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件:(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号.2.几个重要的不等式).0(2);,(222>≥+∈≥+ab ba ab R b a ab b a ),(2)2();,()2(2222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3.算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为, 几何平均数为, 基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4.利用基本不等式求最值问题已知,0,0>>y x 则(1)如果积是定值那么当且仅当时, 有最小值是(简记: 积定和最小).(2)如果和是定值, 那么当且仅当时, 有最大值是(简记: 和定积最大).5.若, 则 (当且仅当时取“=”）若, 则 (当且仅当时取“=”）若, 则 (当且仅当时取“=”）若, 则 (当且仅当时取“=”）若, 则 (当且仅当时取“=”）若, 则（当且仅当时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时, 可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值, 正所谓“积定和最小, 和定积最大”.(2)求最值的条件“一正, 二定, 三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用6.绝对值的意义: （其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离）()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a7、含有绝对值不等式的解法: （解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）（1）定义法；（2）零点分段法: 通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法: 通常适用于两端均为非负实数时（比如）；（4）图象法或数形结合法；（5）不等式同解变形原理: 即()a x a a a x <<-⇔><0 ()a x a x a a x -<>⇔>>或0()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或0类型一: 基本不等式的性质例1.已知且则的最小值为( )A. 18B. 36C. 81D. 243解析：因为m>0, n>0, 所以m ＋n ≥2＝2＝18答案：A① 练习1.若则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是________(写出所有正确命题的编号). ② 1≤ab ②2≤+b a ③222≥+b a ④322≥+b a ⑤.211≥+ba 答案: ①③⑤练习2.已知则的最小值是________．答案：4 例2: 求函数的最大值解析: 注意到与的和为定值。