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高中数学北师大版必修4习题：第三章§2、2.1、2.2应用案巩固提升

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[A 基础达标]1．化简cos(x ＋y )sin y －sin(x ＋y )cos y 等于( )A ．sin(x ＋2y )B ．－sin(x ＋2y )C ．sin xD ．－sin x解析：选D.cos(x ＋y )sin y －sin(x ＋y )cos y ＝sin[y －(x ＋y )]＝－sin x .2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－7210B.7210 C ．－210 D.210解析：选A.因为cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－35，由两角和的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝⎝⎛⎭⎫－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210. 3．在△ABC 中，若sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D.因为sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，即sin B cos C －cos B sin C ＝0，所以sin(B －C )＝0，所以B ＝C .所以△ABC 是等腰三角形．4．如果sin （α＋β）sin （α－β）＝m n ，那么tan βtan α等于( ) A.m －n m ＋n B.m ＋n m －nC.n －m n ＋mD.n ＋m n －m解析：选A.sin （α＋β）sin （α－β）＝sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β＝m n ， 所以n sin αcos β＋n cos αsin β＝m sin αcos β－m cos αsin β，所以(m －n )sin αcos β＝(m ＋n )cos αsin β，所以cos αsin βsin αcos β＝m －n m ＋n ，即tan βtan α＝m －n m ＋n. 5．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值为( ) A ．－235 B.235C ．－45D.45解析：选C.因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 所以cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝435， 所以32cos α＋32sin α＝435，即12cos α＋32sin α＝45. 所以sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝45. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 6．已知3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)则φ的值是________． 解析：因为3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 又因为3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)且φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6. 答案：－π67．函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝cos φsin x －sin φcos x ＝sin(x －φ)， 又－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1.答案：18．若cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，则cos(α－β)＝________． 解析：由已知得cos α－cos β＝12，① sin α－sin β＝－13.② ①2＋②2得(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝14＋19， 即2－2cos αcos β－2sin αsin β＝1336， 所以cos αcos β＋sin αsin β＝12×⎝⎛⎭⎫2－1336＝5972， 所以cos(α－β)＝5972. 答案：59729．已知α、β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值． 解：因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π. 由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365. 又因为cos α＝45， 所以sin α＝35. 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665×45＋6365×35＝513. 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫13×5π4－π6＝2sin π4 ＝2×22＝ 2. (2)f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫3α＋π2－π6＝2sin α＝1013，所以sin α＝513. f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎡⎦⎤13（3β＋2π）－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2 ＝2cos β＝65，所以cos β＝35. 因为α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝1－cos 2β＝45， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665. [B 能力提升]1．若sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－12，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋β＝32，其中π4<α<π2，π4<β<π2，则角α＋β的值为( ) A.π6B. 5π6C.π3D.23π 解析：选B.因为π4<α<π2，所以－π4<π4－α<0， 因为π4<β<π2，所以π2<π4＋β<3π4， 由已知可得cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝32，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋β＝－12. 则cos(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋β－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋βcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋βsin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝⎝⎛⎭⎫－12×32＋32×⎝⎛⎭⎫－12＝－32. 因为π2<α＋β<π，所以α＋β＝5π6. 2．形如⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d 的式子叫作行列式，其运算法则为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝ad －bc ，若行列式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin x cos x sin π6 cos π6＝12，则x ＝________． 解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝ad －bc ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin x cos x sin π6 cos π6＝ sin x cos π6－cos x sin π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝12，所以x －π6＝π6＋2k π或x －π6＝5π6＋2k π，k ∈Z ，所以x ＝π3＋2k π或x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z. 答案：π3＋2k π或(2k ＋1)π，k ∈Z 3．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ. 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝22A ＝322，所以A ＝3. (2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3 ＝3⎣⎡⎝⎛⎭⎫sin θcos π3＋cos θsin π3 ⎦⎤－⎝⎛⎭⎫－sin θcos π3＋cos θsin π3 ＝6sin θcos π3＝3sin θ＝3， 所以sin θ＝33.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63， 所以f ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝3cos θ＝ 6.4．(选做题)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，1，b ＝(4，4cos x －3)． (1)若a ⊥b ，求sin ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的值； (2)设f (x )＝a ·b ，若α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α－π6＝23，求cos α的值． 解：(1)因为a ⊥b ⇔a ·b ＝0，则a ·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋4cos x －3 ＝23sin x ＋6cos x －3＝43sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3＝0， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝14， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－14. (2)由(1)知f (x )＝43sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以由f ⎝⎛⎭⎫α－π6＝23得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝34， 又α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， 又因为22<34<32，所以α＋π6∈⎣⎡⎭⎫π6，π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝74， 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6 ＝74×32＋34×12＝3＋218.。

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2019-2020学年度北师大版高中数学必修四学案：第三章 2

2019-2020学年度北师大版高中数学必修四学案：第三章 2

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版高中数学必修四学案：第三章 2______年______月______日____________________部门学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式的过程.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．知识点一两角和的余弦思考如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？梳理两角和的余弦公式公式cos(α＋β)＝________________简记符号使用条件α，β都是________记忆口决：“余余正正，符号相反”知识点二两角和与差的正弦思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？梳理两角和与差的正弦公式内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号S(α＋β)S(α－β)公式形式sin(α＋β)＝___________________sin (α－β)＝__________________记忆口诀：“正余余正，符号相同”．类型一给角求值例1 (1)＝________.(2)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°)．反思与感悟(1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．类型二给值求值例2 已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)的值．反思与感悟(1)给值(式)求值的策略①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．跟踪训练2 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．类型三可化为两角和与差的正弦形式例3 将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：(1)sin x－cos x；(2)sin(－x)＋cos(－x)．反思与感悟一般地对于asin α＋bcos α形式的代数式，可以提取，化为Asin(ωx＋φ)的形式，公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))称为辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值．跟踪训练3 sin －cos ＝________.1．计算cos ＋sin 的值是( )A. B．2 C．2 D.222．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )A．－ B. C．－ D.123．已知锐角α、β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________. 4．设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(α－)＝________.5．化简：sincos－cos·sin.1．公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C(α－β)C(α＋β)S(α＋β) S(α－β)．(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意．2．应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin 90°，＝cos 60°，＝sin 60°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．答案精析问题导学知识点一思考用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β便可得到．梳理cos αcos β－sin αsin βC(α＋β)任意角知识点二思考 1 sin(α＋β)＝cos α＋β))＝cos ＝cos cos β＋sin sin β＝sin αcos β＋cos αsin β.思考 2 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.梳理sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β题型探究例1 (1) (2)22跟踪训练1解(1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.例2 解∵0<α<<β<，∴<＋α<π，－<－β<0. 又∵sin＝， cos ＝， ∴cos＝－， sin ＝－.∴cos(α＋β)＝sin α＋β)) ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝sincos －cos·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝×－×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－.跟踪训练2 解 ∵<β<α<， ∴0<α－β<，π<α＋β<. ∴sin(α－β)＝α－β) ＝ ＝，cos(α＋β)＝－α＋β) ＝－ ＝－.∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝－×－×＝－，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－×＋×＝－.例3 解(1)sin x－cos x＝2(sin x－cos x)＝2(cos sin x－sin cos x)＝2sin(x－)．(2)原式＝[sin(－x)＋cos(－x)]＝[sin sin(－x)＋cos cos(－x)]＝cos(－x－)＝cos(－x)＝sin(x＋)．跟踪训练3 －2当堂训练1．B 2.D 3. 4. 5.2－64。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 复习题三》3

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 复习题三》3

第三章三角恒等变形（复习题三）一、教学分析（一）教材分析：本节是北师大版高中数学必修4中第三章复习课，作为本章的结束部分，学生应该通过对本章的知识进行归纳、小结，对本章的思想方法进行回顾、梳理，以加强、提高对三角公式体系整体、系统的认识。

本章三角函数模型是主线，三角变形是关键。

三角函数及其三角恒等变形不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后续内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考察的重要内容。

本节课利用多媒体, 在教师的指导下,倡导学生自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式。

通过各种不同形式的自主学习、探索活动，不但能让学生体验数学发现和创造的经历，培养他们的数学思维能力和创新意识，而且可以大大减少课堂的教学时间，达到了新课标的要求。

（二）学情分析：学生已经学习了同角三角函数的基本关系式、和差角公式、倍角公式，但只会简单的公式应用。

由于三角恒等变形公式较多，侧重点又在变换，所以学生解题时往往存在不知如何变换的问题，具体表现在学生不知道选用哪些公式来解题，特别是公式的逆用、变形用。

二、教学目标1、知识与技能1通过复习全章知识，掌握同角三角函数的基本关系式、和差角公式、倍角公式。

2能正确地运用上述公式化简三角函数式、求角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式。

2过程与方法通过公式的三种应用：正用、逆用、变形用，培养学生在解题中解决用哪个公式、怎样用的能力，掌握简单的三角恒等变形的基本思想方法。

3情感态度与价值观通过三角恒等变形体会数学的逻辑性特征，并进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换思想，认识事物间是相互依存、相互联系的。

三、教学重点、难点:教学重点: 同角三角函数的基本关系式、和差角公式、倍角公式的理解和应用。

教学难点: （1）应用和差角公式解题时的“变角”；（2）应用倍角公式时对“二倍”的广义理解和应用；（3）在例题讲解时，重视对学生渗透转化与化归、整体处理等数学思想方法。

北师大版数学必修四同步练习：第三章 三角恒等变形巩固提升训练

北师大版数学必修四同步练习：第三章 三角恒等变形巩固提升训练

1．已知f (x )＝1－x ，当α∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2时，f (sin 2α)－f (－sin 2α)可化简为( )A ．2sin αB ．－2cos αC ．－2sin αD ．2cos α解析：选 D.f (sin 2α)－f (－sin 2α)＝1－sin 2α－1＋sin 2α＝（sin α－cos α）2－（sin α＋cos α）2＝|sin α－cos α|－|sin α＋cos α|，由α∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2，所以sin α<cos α<0，f (sin 2α)－f (－sin 2α)＝2cos α.2．函数f (x )＝sin x cos x ＋3cos 2x 的图像的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫2π3，0B.⎝⎛⎭⎫5π6，0C.⎝⎛⎭⎫－2π3，0D.⎝⎛⎭⎫π3，32 解析：选D.f (x )＝sin x cos x ＋3cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32，令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，所以x ＝k π2－π6，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝π3，此时f (x )＝32，所以函数f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π3，32. 3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B.易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.4.sin 9°＋cos 15°sin 6°cos 9°－sin 15°sin 6°＝________． 解析：原式＝sin （15°－6°）＋cos 15°sin 6°cos （15°－6°）－sin 15°sin 6°＝sin 15°cos 6°－cos 15°sin 6°＋cos 15°sin 6°cos 15°cos 6°＋sin 15°sin 6°－sin 15°sin 6°＝sin 15°cos 6°cos 15°cos 6°＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝2－ 3. 答案：2－ 35．函数f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ]的最大值为2，则f (x )的最小正周期为________． 解析：f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ] ＝1＋a sin[(1－a )x ＋φ]，所以f (x )max ＝1＋a ，即1＋a ＝2，a ＝3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π|1－a |＝π. 答案：π6．已知0<α<π4，β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β，－1，b ＝(cos α，2)，且a ·b ＝m ，求2cos 2α＋sin 2（α＋β）cos α－sin α的值． 解：因为β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，所以β＝π， 因为a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β，－1，b ＝(cos α，2)， 所以a ·b ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β，－1·(cos α，2)＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β·cos α－2＝m ，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋14πcos α＝m ＋2.因为0<α<π4， 所以2cos 2α＋sin 2（α＋β）cos α－sin α＝2cos 2α＋sin （2α＋2π）cos α－sin α＝2cos 2α＋sin 2αcos α－sin α＝2cos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝2cos α·1＋tan α1－tan α＝2cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2m ＋4.由Ruize收集整理。

【精编】新版高中数学北师大版必修4习题：第三章三角恒等变形3.1.2

【精编】新版高中数学北师大版必修4习题：第三章三角恒等变形3.1.2

第2课时利用同角三角函数的基本关系化简、证明三角函数式课时过关·能力提升1.化简sin2β+cos4β+sin2βcos2β的结果是()A解析:原式=sin2β+cos2β(cos2β+sin2β)=sin2β+cos2β=1.答案:C2.化简-的结果是A.siC.co解析:-答案:C3.化简的结果是A.tan xB.sin xC.cos x D解析:·cos2x·cos2x答案:D4.已知α是三角形的一个内角,且sin α+cos α则这个三角形的形状是A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:∵sin α+cos α∴(sin α+cos α)2∴2sin αcos α=又α∈(0,π),∴sin α>0,∴cos α<0,∴α为钝角,∴这个三角形为钝角三角形.答案:B5.sin221°+cos2381°+sin417°+sin217°cos2377°+cos2377°=.解析:原式=sin221°+cos221°+sin417°+sin217°cos217°+cos217°=1+sin217°(sin217°+cos217°)+cos217°=2.答案:26.已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是.解析:由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.所以原式------答案:-17.求证:tan2α-sin2α=tan2αsin2α.证明右边=tan2α(1-cos2α)=tan2α-tan2αcos2α=tan2α·cos2α=tan2α-sin2α=左边,∴原等式成立.8.化简tan -其中是第二象限角解因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0.故tan---9.已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.证明(方法一)∵tan2α=2tan2β+1,∴tan2β-∵tan2β-∴sin2β-----(方法二)∵tan2α=2tan2β+1,∴tan2α+1=2(tan2β+1),∴cos2β=2cos2α,∴1-sin2β=2(1-sin2α),∴sin2β=2sin2α-1.10.已知θ∈(0,2π),且sin θ,cos θ是方程x2-kx+k+1=0的两个实根,求k和θ.解由题意,知①②由①,得1+2sin θcos θ=k2.将②代入上式,整理,得k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1.当k=3时,sin θcos θ=4,且Δ<0,不符合题意,舍去.-当k=-1时或又θ∈(0,2π),∴θ=π或θ综上可知,k=-1,θ=π或θ11.某次上必修4第三章第1节有关“同角三角函数的基本关系”课时,大家对某一个问题展开了激烈的讨论,对于“sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α”有以下几种说法:甲同学:已知sin α+cos α,可求解sin α-cos α,sin αcos α,且结果都唯一;乙同学:已知sin α+cos α,可求解sin α-cos α,sin αcos α,且sin αcos α的结果唯一,sin α-cos α的结果不唯一;丙同学:已知sin αcos α,可求解sin α-cos α,sin α+cos α,且结果都唯一;丁同学:已知sin αcos α,可求解sin α-cos α,sin α+cos α,且结果都不唯一.你认为谁的说法正确?说明理由.解乙、丁同学说法正确,理由如下:由1+2sin αcos α=(sin α+cos α)2,得sin αcos α-故当已知sin α+cos α时,sin αcos α的结果唯一.由(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α,得sin α-cos α=-故当已知sin α+cos α时,sin α-cos α的结果不唯一,故甲同学说法错误,乙同学说法正确.同理,由(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α,(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,得sin α-cos α=-α+cos α=故当已知sin αcos α时,sin α-cos α,sin α+cos α的结果都不唯一,所以丙同学说法错误,丁同学说法正确.★12.是否存在一个实数k,使关于x的方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.解假设存在.设直角三角形的两个锐角分别为α,β,则α+ββ=cos α.∵在方程8x2+6kx+2k+1=0中,Δ=(6k)2-4×8×(2k+1 ≥0∴当k≤-或k≥时,方程有两个实数根.又sin α+sin β=sin α+cos α=sin αsin β=sin αcos α且sin2α+cos2α=1, ③联立①②③,得1+2·-解得k1=2,k2=当k1=2时,不满足Δ≥0 故舍去;当k2=时,满足Δ≥0 但sin αsin β=这与α,β都是锐角相矛盾,故舍去.综上所述,不存在实数k满足条件.。