【初一数学下册】7年级春季班-第13讲：等腰三角形一教师版

七年级下学期春季班最新讲义初一数学春季班（教师版）教师日期学生课程编号13课型复习课课题等腰三角形一教学目标1．熟练掌握等腰三角形的性质，并能用相关的性质解决边和角的问题；2．理解并能熟练的运用等腰三角形的判定定理判断特殊的三角形．教学重点1、利用三角形的性质进行相关边和角的计算；2、利用判定定理进行三角形的判定．教学安排版块时长1等腰三角形的性质40min2等腰三角形的判定40min3随堂检测20min4课后作业20min等腰三角形从边和角两方面出发，阐述了它的特殊性．在理解等腰三角形的性质和判定的基础上，能够熟练的进行边和角之间的计算及证明，本节课的内容相对基础．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）．（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线．等腰三角形一内容分析知识结构模块一：等腰三角形性质知识精讲【例1】 等腰三角形底边长为7cm ，它的周长不大于25cm ，则它的腰长x 的取值范围是____________． 【难度】★【答案】792cm x cm <≤．【解析】由题意得7257x x x x ++≤⎧⎨+>⎩，解得：792cm x cm <≤．【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用．【例2】 （1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数是_______； （2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50°，则顶角的度数是___________． 【难度】★【答案】（1）40︒或140︒；（2）100︒．【解析】（1）当三角形为锐角三角形时，顶角为40︒，当三角形为钝角三角形时，顶角为140︒； （2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50°，所以底角为40︒，所以顶角为100︒． 【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和的运用，注意分类讨论．【例3】 已知：AB =AC ，AD =DE =BE ，BD =BC ，那么∠A 的度数为________． 【难度】★ 【答案】45︒．【解析】∵AB =AC ，AD =DE =BE ，BD =BC ， ∴ABC ∆、AED ∆、BED ∆、BDC ∆都是等腰三角形，设EBD α∠=，则2A AED α∠=∠=，3ABC ACB BDC α∠=∠=∠=，∴8180A ABC ACB α∠+∠+∠==︒，∴22.5α=︒，∴245A α∠==︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．例题解析ABCDE【例4】 已知：在三角形ABC 中，D 是AC 上一点，且AB =BC =CD ，BE =DE ，AD =AE ，连接DE ，则∠C 的度数为_________． 【难度】★ 【答案】36︒．【解析】∵AB =BC =CD ，BE =DE ，AD =AE ， ∴ABC ∆、AED ∆、BED ∆、BDC ∆都是等腰三角形，设EBD α∠=，则2ADE AED α∠=∠=，2CBD CDB α∠=∠=，∴5180ADE EDB BDC α∠+∠+∠==︒，∴36α=︒，∴180436A α∠=︒-=︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及平角定理的综合运用．【例5】 如果等腰三角形的两个角的度数的比为4:1，那么顶角为（）A ．30°或120°B ．120°或20°C ．30°或20°D ．以上都不正确【难度】★ 【答案】B ．【解析】当三个角度数比为4:4:1时，顶角为20︒；当三个角度数比为4:1:1时，顶角为120︒． 【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．【例6】 如图，在△ABC 中，已知∠C =90°，AD =BD ，如果∠DBC =15°，那么∠A （）A ．75°B ．37.5°C ．60°D ．以上都不对【难度】★★ 【答案】B ． 【解析】901537.52A ︒-︒∠==︒． 【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用．【例7】 等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（ ） A ．4厘米 B ．8厘米C ．4厘米或8厘米D ．不确定【难度】★★ 【答案】C ．【解析】当腰比底大2时，腰长为8厘米；当腰比底小2时，腰长为4厘米． 【总结】本题考查了等腰三角形的性质．ABCDE ABCD【例8】 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，那么△ABC 的最大外角为（）A ．160°B ．140°C ．135°D ．145°【难度】★★ 【答案】C ．【解析】B ∠和C ∠的外角为135︒．【总结】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用．【例9】 在等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数最多有（重合的算一条）（）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【难度】★★ 【答案】B ．【解析】两腰上的角平分线、中线、高的条数最多有6条，底边上三线合一，所以共7条． 【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用．【例10】 如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD =DE ，∠BAD =20°，∠EDC =10°，求∠DAE 的度数． 【难度】★★ 【答案】60︒．【解析】∵AD =DE ，∴DAE DEA α∠=∠=， ∵AB =AC ，∴ABC ACB ∠=∠， ∵∠BAD =20°，∠EDC =10°，∴10ABC ACB α∠=∠=-︒∴()21020180αα-︒++︒=︒，解得：60α=︒，∴60DAE ∠=︒． 【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．【例11】 如图，在△ABC 中，AC =BC ，CD 为AB 边上的中线，点E 为BC 边上的一点，EF ⊥AB ，垂足为F ，试说明∠ACD =∠BFE 的理由． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】∵AC =BC ，CD 为AB 边上的中线，∴CD AB ⊥，ACD BCD ∠=∠， ∵EF ⊥AB ，∴CD ∥EF ，∴BFE BCD ∠=∠，∴ACD BFE ∠=∠．【总结】本题考查了等腰三角形的性质与平行线性质的综合运用．ABCDEABCD EF【例12】 如图，AB =AC ，AD =CE ，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明∠EAC =∠ACB 的理由． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】∵AB =AC ，AD =CE ，∠1=∠2， ∴ADB ∆≌CEA ∆，∴3EAC ∠=∠， ∵∠3=∠4，4ACB ∠=∠，∴EAC ACB ∠=∠．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及全等的综合运用．【例13】 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 上一点，EC ⊥BC ，EC =BD ，DF =EF ，说明AF ⊥DE 的理由． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴45B ACB ∠=∠=︒，∵EC ⊥BC ，∴45ACE ∠=︒，∴ACE B ∠=∠． 在△ABD 与△ACE 中，AB ACB ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ∆≌ACE ∆，∴AD AE =，∵DF =EF ，∴AF ⊥DE ． 【总结】本题考查了等腰三角形的性质与全等三角形性质的综合运用．【例14】 等腰三角形的周长为30cm（1） 若腰长为xcm ，则x 的取值范围是____________cm ； （2） 若底边长为acm ，则a 的取值范围是____________． 【难度】★★ 【答案】（1）15152x <<；（2）015cm a cm <<． 【解析】由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三边关系的综合运用．ABCDE1342 ABEF【例15】 如图，已知∠A =150，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠FEM =_____________． 【难度】★★★ 【答案】75︒．【解析】∵∠A =150，AB =BC ， ∴15ACB ∠=︒，30CBD ∠=︒．∵BC =CD =DE =EF ，同理可得：75FEM ∠=︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．【例16】 如图，在△ABC 中，AB =BC ，M ，N 为BC 边上两点，并且∠BAM =∠CAN ，MN =AN ，则∠MAC 的度数是____________．【难度】★★★ 【答案】60︒．【解析】设NAM α∠=，∠CAN β=∵AB =BC ，∴BAC C ∠=∠．∵MN =AN ，∴NMA NAM α∠=∠=．∵NMA B BAM ∠=∠+∠，∠BAM =∠CAN β=， ∴2BAC C αβ∠=∠=+，B αβ∠=-，∴33180BAC C B αβ∠+∠+∠=+=︒，∴60αβ+=︒，∴60MAC αβ∠=+=︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理的综合运用．【例17】 已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠C =900，D 为AB 边中点，∠EDF =900，将∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC ，BC (或它们的延长线)于E 、F ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时(如图1)，易证：S △DEF +S △CEF =12S △ABC ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．【难度】★★★ 【答案】图2成立， 图3不成立．A B C AB CABCEDF E DF D F图1图2图3M N【解析】如图2，过点D 作DM AC ⊥，DN BC ⊥， ∵AC =BC ，∠C =900，D 为AB 边中点，∠EDF =900， ∴DM DN =，EDM FDN ∠=∠， ∴DEM ∆≌DFN ∆，∴S △DEF +S △CEF =S 四边形DECF =S 四边形DMCN =12S △ABC ．图3不成立，关系为S △DEF -S △CEF =12S △ABC ． 【总结】本题考查了等腰三角形的性质及等面积法的综合运用，综合性较强，注意对解题方 法的总结．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）．【例18】 下列说法中，不正确的是（）A ． 如果三角形ABC 是等腰三角形，那么∠B =∠C B ． 如果△ABC 中，∠B =∠A ，那么△ABC 是等腰三角形 C ． 如果三角形的两条边相等，那么此三角形一定是等腰三角形D ． 有两个角相等的三角形是等腰三角形 【难度】★ 【答案】A ．【解析】A 选项，三角形ABC 是等腰三角形，不能确定哪个角是顶角，故选A ． 【总结】本题考查了等腰三角形的判定．模块二：等腰三角形的判定知识精讲例题解析【例19】 （1）在△ABC 中，如果AB =AC ，∠B =52°，那么∠A =__________；（2）在Rt △ABC 中，如果∠B =45°，那么△ABC 是___________三角形；（3）在△ABC 中，如果∠BCA =30°，∠ABC =50°，那么△ABC 是________三角形． （按角分类）． 【难度】★【答案】（1）76︒；（2）等腰直角三角形；（3）钝角．【解析】（1）∵AB =AC ，∴B C ∠=∠，∵∠B =52°，∴180525276A ∠=︒-︒-︒=︒； （2）∵在Rt △ABC 中，∠B =45°，∴180904545C ∠=︒-︒-︒=︒， ∴△ABC 是等腰直角三角形；（3）1803050100CAB ∠=︒-︒-︒=︒，∴△ABC 是钝角三角形． 【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理的运用．【例20】 已知AC =BC ，∠ACD =∠BCE ，试说明△CDE 是等腰三角形的理由． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】∵AC =BC ， ∴A B ∠=∠．在△ACD 与△BCE 中，AC AB AC BCEA B D ⎧⎪=⎨⎪∠=∠∠=⎩∠∴CAD ∆≌CBE ∆（A ．S ．A ）， ∴CD CE =，∴△CDE 是等腰三角形．【总结】本题考查了等腰三角形的判定理及全等三角形性质的综合运用．【例21】 如图：BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的一个外角，DE ∥BC ，说明EF =BE -CF 的理由． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】∵BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的一个外角，∴EBD DBC ∠=∠，ACD DCM ∠=∠，∵ED ∥BC ，∴EDB DBC ∠=∠，FDC DCM ∠=∠， ∴EDB EBD ∠=∠，FDC FCD ∠=∠，∴EB ED =，CF DF =，∴EF BE CF =-．【总结】本题考查了等腰三角形的判定及性质与平行线性质的综合运用．ABCD EA BCDEFM11 / 21七年级春季班ED CABF 【例22】 如图，△ABC 中BA =BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，•试说明△DBE 是等腰三角形． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】∵BA =BC ，∴B C ∠=∠， ∵DF ⊥AC ，∴90A D ∠+∠=︒，90C CEF ∠+∠=︒， ∴D CEF ∠=∠，∵DEB CEF ∠=∠，∴DEB D ∠=∠，∴△DBE 是等腰三角形．【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理的运用．【例23】 △ABC 中，在（1）∠1=∠2；（2）AD ⊥BC ；（3）BD =CD ；这三个条件中有两个条件成立，能否得出AB =AC ?证明所有的可能．【难度】★★【答案】可以得到，详见解析． 【解析】（1）、（2）作为已知条件时， ∵∠1=∠2，AD ⊥BC ，AD AD =， ∴ABD ∆≌ACD ∆， ∴AB AC =；（2）、（3）作为已知条件时，∵AD ⊥BC ，BD =CD ，AD AD =，∴ABD ∆≌ACD ∆， ∴AB AC =；（1）、（3）作为已知条件时，过点D 分别向AB 、AC 作垂线交于M 、N 点， ∵AMD AND ∠=∠，∠1=∠2，AD AD =， ∴AMD ∆≌AND ∆，∴DM DN =， ∵BD =CD ，∴BMD ∆≌CND ∆，∴B C ∠=∠，∴AB AC =．【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理的运用．ABCD1 212 / 21【例24】 如图，已知：在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 上的一点，且BD =CE ，∠DEF =∠B ，说明△DEF 是等腰三角形的理由． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】∵AB =AC ，∴B C ∠=∠． ∵DEC B BDE DEF FEC ∠=∠+∠=∠+∠，∠DEF =∠B ，∴BDE FEC ∠=∠．在△DBE 与△ECF 中，BD CE BDE FEC B C⎧⎪=⎨⎪∠=∠∠=⎩∠∴DBE ∆≌ECF ∆（A.S.A ），∴DE EF =，∴△DEF 是等腰三角形． 【总结】本题考查了等腰三角形的判定及三角形外角性质的综合运用．【例25】 已知三角形三个内角度数如图所示，试画一条直线MN ，将这个三角形分割成两个等腰三角形．【难度】★★【答案】如图，详见解析． 【解析】【总结】本题考查了等腰三角形的分割，注意从多个角度考虑．【例26】 （1）如图，在△ABC 中，已知∠A =36°，∠ABC =72°，CD 平分∠ACB ，交边AB 于点D ．图中那几个是的等腰三角形?为什么?（2）在第（1）小题中，如果再作DE ∥BC ，交边AC 于E ，那么上图中还有哪几个三角形是等腰三角形?为什么?【难度】★★【答案】（1）ABC ∆、ADC ∆、BDC ∆是等腰三角形； （2）ADE ∆、DEC ∆是等腰三角形．【解析】（1）由题意易得36A ACD BCD ∠=∠=∠=︒，72B BDC ∠=∠=︒，∴ABC ∆、ADC ∆、BDC ∆是等腰三角形；（2）∵DE ∥BC ， ∴ADE ∆、DEC ∆是等腰三角形． 【总结】本题考查了等腰三角形的判定与平行线性质的综合运用．AB CDABCDEF120°40°20°120°40° 20°80°40°。