江苏省镇江市2014届高三期末考试数学试卷2014.01

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏）卷数学（理科）一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上）1．已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B =I 。

2．已知复数()252z i =+（i 为虚数单位），则z 的实部为 。

3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 。

4．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 。

5．已知函数cos y x =与()()sin 20y x ϕϕπ=+≤<，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 。

6．设抽测的树木的底部周长均在区间[]80,130，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm 。

7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 。

8．设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V的值是 。

9．在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆()()22214x y -++=截得的弦长为 。

10．已知函数()21f x x mx =+-，若对于任意[],1x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 。

11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点()2,5P -，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 。

12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，3CP PD =u u u r u u u r ，2AP PB ⋅=u u u r u u u r ，则AB AD ⋅u u u r u u u r的值是 。

开始0←n 1+←n n202>n输出n 结束 （第3题）NY DCBA（第12题）P13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，()21|2|2f x x x =-+。

江苏省镇江市2014届高三期末考试数学试卷2014.01第I 卷注意事项：1•本试卷共4页，包括填空题(第 1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分。

七 试卷满分160分，考试时间120分钟。

2•答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置。

答题卡不折叠，无破损。

3.答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5毫米签字笔写在答题卡的指定位置，其它位置作答一 律无效。

4. 如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，交请加黑加粗，描写清楚。

一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直 接填在答题卡相应位置上。

1•已知集合 A ｛1,a1｝ , B ｛2,3｝，且A B ｛3｝，则实数a 的值为 _________ 。

2•已知算数z 满足(1 i)z 1 5i ，则z ______________ 。

3•点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为 __________4•我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛，各校上传文章的时间为3月1日到30日，评委会把各校上传的文章按 5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图) 。

已知从左至右各长方形的高的比为 2:3:4:6:4:1，第二组的频数为 180.那么本次活动收到的文章 数是5•执行上面的流程图，输出的结果 6.在等差数列｛a n ｝中，已知a 5 a 6-，则数列｛a n ｝的前10项的和S 1037•设函数f(X)log 2 X 则在区间(0,5)上随机取一个数 x , f (X)2的概率为前收到的文禎敌足_一 A一•［第4思闺】｛第3感图)8•“ a 1 ”是“直线ax y 2a 0与直线(2a 1)x ay a 0互相垂直”的 _________________________ 条件(在“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一个合适的填空)。

2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高一（上）期末数学试卷一、填空题1．（3.00分）若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是．2．（3.00分）函数f（x）=的定义域为．3．（3.00分）若函数y=lnx+2x﹣6的零点为x0，则满足k≤x0的最大整数k=．4．（3.00分）函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是．5．（3.00分）已知，，则tan（2α﹣β）=．6．（3.00分）已知cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），则cos（α+）﹣sinα的值是．7．（3.00分）f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为．8．（3.00分）已知m＞2，则函数f（θ）=sin2θ+mcosθ，θ∈R的最大值g（m）=．9．（3.00分）已知函数log a（0＜a＜1）在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），则实数a的值为．10．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，则=．11．（3.00分）已知实数m≠0，函数，若f（2﹣m）=f（2+m），则实数m的值为．12．（3.00分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，则a+b的值为．13．（3.00分）给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④是函数的一条对称轴；⑤函数的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为．14．（3.00分）若函数f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值是．二、解答题：15．（14.00分）（1）已知角α终边经过点P（x，﹣）（x≠0），且cosα=x．求sinα+的值．（2）已知sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），α，β∈（0，π），求α，β的值．16．已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．17．已知函数．（1）当时，若，求函数f（x）的值；（2）当时，求函数的值域；（3）把函数y=f（x）的图象按向量平移得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，写出最小的向量的坐标．18．（16.00分）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？19．（16.00分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．20．（16.00分）设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）若，解关于求x的方程f（x）=1；（2）求g（a）．2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3.00分）若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是4．【解答】解：由题意可知：tan120°=，所以a=4故答案为：42．（3.00分）函数f（x）=的定义域为（0，2）∪（2，3] ．【解答】解：要使函数有意义，必须：，解得x∈（0，2）∪（2，3]．所以函数的定义域是：（0，2）∪（2，3]．故答案为：（0，2）∪（2，3]．3．（3.00分）若函数y=lnx+2x﹣6的零点为x0，则满足k≤x0的最大整数k=2．【解答】解：∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，∴函数y=lnx+2x﹣6的零点x0∈（2，3）．∴满足k≤x0的最大整数k=2．故答案为2．4．（3.00分）函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是．【解答】解：函数的图象向右平移个单位，得到函数=，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是：．故答案为：．5．（3.00分）已知，，则tan（2α﹣β）=1．【解答】解：由==2tanα=1，解得tanα=，又tan（α﹣β）=，则tan（2α﹣β）=tan[α+（α﹣β）]===1．故答案为：16．（3.00分）已知cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），则cos（α+）﹣sinα的值是．【解答】解：∵cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），∴cos（α﹣）=﹣cos （α﹣+π）=﹣cos（α﹣）=，cos（α﹣）=．∴cos（﹣α）=＜．再由α∈（0，），可得﹣α＞（舍去），或﹣＜﹣α＜﹣，∴sin（﹣α）=．cos（α+）﹣sinα=sin（﹣α）﹣sinα=2cos sin=sin（﹣α）=．故答案为：．7．（3.00分）f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为．【解答】解：∵f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，可得﹣•2ω≥2kπ﹣，且•2ω≤2kπ+，k∈z，求得ω≤，故ω的最大值为，故答案为：．8．（3.00分）已知m＞2，则函数f（θ）=sin2θ+mcosθ，θ∈R的最大值g（m）= m．【解答】解：由三角函数的知识可得f（θ）=sin2θ+mco sθ=﹣cos2θ+mcosθ+1，令cosθ=t，则t∈[﹣1，1]可得函数化为y=﹣t2+mt+1，t∈[﹣1，1]配方可得y=，可知关于t的函数图象为开口向下，对称轴为t=的抛物线一段，又m＞2，故，故函数在[﹣1，1]单调递增，故g（m）=﹣12+m×1+1=m故答案为：m9．（3.00分）已知函数log a（0＜a＜1）在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），则实数a的值为﹣1．【解答】解：由题意，y=log a在区间（a，1）上是增函数，∵函数在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），∴log a=1，∴=a，∴a2+2a﹣1=0，∵0＜a＜1，故答案为：﹣1．10．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，则=﹣9．【解答】解：因为：log8=﹣3；∴=f（﹣3）；∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，∴f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（1+23）=﹣9．故答案为：﹣9．11．（3.00分）已知实数m≠0，函数，若f（2﹣m）=f（2+m），则实数m的值为和8．【解答】解：∵，∴f（x）在x≤2和x＞2时，函数均为一次函数，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴2﹣m和2+m分别在x≤2和x＞2两段上各一个，①当2﹣m≤2，且2+m＞2，即m＞0时，∴f（2﹣m）=3（2﹣m）﹣m=6﹣4m，f（2+m）=﹣（2+m）﹣2m=﹣2﹣3m，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴6﹣4m=﹣2﹣3m，∴m=8，；②当2﹣m＞2，且2+m≤2，即m＜0时，∴f（2﹣m）=﹣（2﹣m）﹣2m=﹣2﹣m，f（2+m）=3（2+m）﹣m=6+2m，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴﹣2﹣m=6+2m，综合①②，可得实数m的值为和8．故答案为：和8．12．（3.00分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，则a+b的值为1．【解答】解：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b转化为：g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a∴函数的对称轴方程x=1，∵a＞0，∴x∈[1，+∞）为单调递增函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，∴即解得∴a+b=1故答案为：113．（3.00分）给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④是函数的一条对称轴；⑤函数的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为①④．【解答】解：①函数=﹣sin x，而y=﹣sin x是奇函数，故函数是奇函数，故①正确；②因为sinx，cosx不能同时取最大值1，所以不存在实数x使sinx+cosx=2成立，故②错误．③令α=，β=，则ta nα=，tanβ=tan=tan=，tanα＞tanβ，故③不成立．④把x=代入函数y=sin（2x+），得y=﹣1，为函数的最小值，故是函数的一条对称轴，故④正确；⑤因为y=sin（2x+）图象的对称中心在图象上，而点不在图象上，所以⑤不成立．故答案为：①④．14．（3.00分）若函数f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值是6．【解答】解：∵min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，∴画出3个函数：y=2x，y=x+2，y=10﹣x的图象，取3个图象中下方的部分，可得函数f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}的图象：观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）=2x，当2≤x≤4时，f（x）=x+2，当x＞4时，f（x）=10﹣x，f（x）的最大值在x=4时取得为6，故答案为：6．二、解答题：15．（14.00分）（1）已知角α终边经过点P（x，﹣）（x≠0），且cosα=x．求sinα+的值．（2）已知sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），α，β∈（0，π），求α，β的值．【解答】解：（1）（满分14分）∵P（x，﹣）（x≠0），∴点P到原点的距离r=又cosα=x．∴cos=x．∵x≠0，∴x=，∴r=2…（6分）当x=时，P点坐标为（，﹣），由三角函数的定义，有sin α=﹣，，∴sinα+=﹣﹣=﹣；…（10分）当x=﹣时，同样可求得sin α+=…（14分）．（2）∵sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），∴由诱导公式化简可得sinα=sinβ，cosα=sinβ，∴两边平方后相加可得：1=2，可解得cosβ=∵α，β∈（0，π），∴可解得：，β=或，β=．16．已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．【解答】解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．17．已知函数．（1）当时，若，求函数f（x）的值；（2）当时，求函数的值域；（3）把函数y=f（x）的图象按向量平移得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，写出最小的向量的坐标．【解答】解：（1）∵，∴，==．（2）∵，∴，，=．（3）设，所以，要使g（x）是偶函数，即要，即，，当k=﹣1时，最小，此时，b=0，即向量的坐标为．18．（16.00分）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【解答】解：（1）当x≤6时，y=50x﹣115，令50x﹣115＞0，解得x＞2.3．∵x∈N，∴x≥3，∴3≤x≤6，且x∈N．当6＜x≤20时，y=[50﹣3（x﹣6）]x﹣115=﹣3x2+68x﹣115综上可知（2）当3≤x≤6，且x∈N时，∵y=50x﹣115是增函数，∴当x=6时，y max=185元．当6＜x≤20，x∈N时，y=﹣3x2+68x﹣115=，∴当x=11时，y max=270元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．19．（16.00分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．【解答】解：（1）∵f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得k=1．（2）∵f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），当a＞1时，f（x）在R上递增．理由如下：设m＜n，则f（m）﹣f（n）=a m﹣a﹣m﹣（a n﹣a﹣n）=（a m﹣a n）+（a﹣n﹣a﹣m）=（a m﹣a n）（1+），由于m＜n，则0＜a m＜a n，即a m﹣a n＜0，f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），则当a＞1时，f（x）在R上递增．（3）∵f（1）=，∴a﹣=，即3a2﹣8a﹣3=0，解得a=3或a=﹣（舍去）．∴g（x）=32x+3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）=（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2，令t=3x﹣3﹣x，∵x≥1，∴t≥f（1）=，∴（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当m时，2﹣m2=﹣2，解得m=2，不成立舍去．当m时，（）2﹣2m×+2=﹣2，解得m=，满足条件，∴m=．20．（16.00分）设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）若，解关于求x的方程f（x）=1；（2）求g（a）．【解答】解：（1）由于当，方程f（x）=1，即，即，所以，sinxcosx+sinx+cosx=1 （1）．…1分令t=sinx+cosx，则t2=1+2sinxcosx，所以．…3分所以方程（1）可化为t2+2t﹣3=0，解得t=1，t=﹣3（舍去）．…5分所以sinx+cosx=1，即，解得所求x的集合为．…7分（2）令，∴t 的取值范围是．由题意知g（a）即为函数m（t）=at2+t﹣a ，的最大值，…9分∵直线是抛物线m（t）=at2+t﹣a的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：①当a＞0时，函数y=m（t），的图象是开口向上的抛物线的一段，由知m（t）在上单调递增，故g（a）==． (11)分②当a=0时，m（t）=t ，，有g（a）=；…12分③当a＜0时，函数y=m（t），的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即时，g（a）=，…13分若，即时，g（a）==．…15分赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．<．x．2．时，都有f(．．x．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．综上所述，有．…16分．。

2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高二（上）期末数学试卷（一）一、填空题1．已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的条件．2．命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．3．（2015•张家港市校级模拟）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的极大值为．4．若直线y=﹣x+b为函数的一条切线，则实数b= ．5．在平面直角坐标系xoy中，记不等式组表示的平面区域为D．若对数函数y=log a x（a＞1）的图象与D有公共点，则a的取值范围是．6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．7．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为．8．函数的图象经过四个象限，则a的取值范围是．9．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣3x，直线l：9x+2y+c=0．若当x∈[﹣2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是．10．若椭圆=1（m＞n＞0）和双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1•PF2的值是．11．已知椭圆的上焦点为F，直线x+y+1=0和x+y﹣1=0与椭圆相交于点A，B，C，D，则AF+BF+CF+DF= ．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．13．长为6的线段AB两端点在抛物线x2=4y上移动，在线段AB中点纵坐标的最小值为．14．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为．二、解答题（共6小题，满分46分）15．已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0； q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB=BC=2，CD=SD=1，BC⊥CD，M为SB的中点，DS⊥面SAB．（1）求证：CM∥面SAD；（2）求证：CD⊥SD；（3）求四棱锥S﹣ABCD的体积．17．（某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．（1）求抛物线方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M 的位置关系．19．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．20．设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）．（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极小值；（2）在（1）的结论下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m同时成立？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．（3）设G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1和x2，若x0=，试探究G′（x0）值的符号．2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高二（上）期末数学试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题1．已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的充分不必要条件．考点：充要条件．专题：阅读型．分析：先求出条件q满足的条件，然后求出¬p，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题¬p的关系．解答：解：条件q：，即x＜0或x＞1￢p：x＞1∴￢p⇒q为真且q⇒￢p为假命题，即¬p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．2．命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分离出m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围．解答：解：∵命题“∃x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m≤0是假命题，∴命题“∀x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m＞0”是真命题，∴m＞﹣x2+2x在[0，3]上恒成立，令f（x）=﹣x2+2x，x∈[0，3]，∴f（x）max=f（1）=1，∴m＞1．故答案为：（1，+∞）．点评：本题考查了命题的真假判断与应用、二次函数恒成立问题．解答关键是将问题等价转化为否命题为真命题即不等式恒成立，进一步将不等式恒成立转化为函数的最值．3．（2015•张家港市校级模拟）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的极大值为2ln2﹣2 ．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：先求导数，当x=1时，即可得到f′（1），再令导数大于0或小于0，解出x的范围，即得到函数的单调区间，进而可得函数的极大值．解答：解：由于函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f′（x）=2f′（1）×﹣1（x＞0），f′（1）=2f′（1）﹣1，故f′（1）=1，得到f′（x）=2×﹣1=，令f′（x）＞0，解得：x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，则函数在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，故f（x）的极大值为f（2）=2ln2﹣2故答案为：2ln2﹣2点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题．4．若直线y=﹣x+b为函数的一条切线，则实数b= ±2 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：设切点为P（m，n），求出函数的导数，得切线斜率为﹣1=，再根据切点P既在切线y=﹣x+b上又在函数图象上，列出关于m、n、b的方程组，解之即可得到实数b之值．解答：解：函数的导数为设直线y=﹣x+b与函数相切于点P（m，n），则解之得m=n=1，b=2或m=n=﹣1，b=﹣2综上所述，得b=±2故答案为：±2点评：本题给出已知函数图象的一条切线，求参数b的值，着重考查了导数的运算公式与法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于基础题．5．在平面直角坐标系xoy中，记不等式组表示的平面区域为D．若对数函数y=log a x（a＞1）的图象与D有公共点，则a的取值范围是（1，] ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据对数函数的图象和性质，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：若a＞1，当对数函数图象经过点A时，满足条件，此时，解得，即A（2，3），此时log a2=3，解得a=，∴当1＜a≤时，满足条件．∴实数a的取值范围是1＜a≤，故答案为：（1，]点评：本题主要考查线性规划的应用，利用对数函数的图象和性质，通过数形结合是解决本题的关键．6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．7．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为[8，+∞）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：将条件¬p是¬q的必要不充分条件，转化为q是p的必要不充分条件，进行求解．解答：解：因为¬p是¬q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，即p⇒q，但q推不出p，即，即，所以m≥8．故答案为：[8，+∞）点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性，将条件进行转化是解决本题的关键，主要端点等号的取舍．8．函数的图象经过四个象限，则a的取值范围是（﹣96，﹣15）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：首先讨论a=0时原函数图象的情况，当a≠0时，求出原函数的导函数，分a＞0和a＜0两种情况讨论原函数的单调性，求出函数的极值点并求解极值，当a＞0时，要使原函数的图象经过四个象限，需要极大值大于0，且极小值小于0，此时a的值不存在；当a＜0时，要使原函数的图象经过四个象限，则需要极小值小于0，且极大值大于0，由此解得a 的取值范围．解答：解：由，若a=0时，原函数化为f（x）=80．为常数函数，不合题意；f′（x）=ax2+ax﹣2a=a（x2+x﹣2）=a（x+2）（x﹣1）．若a＞0时，当x∈（﹣∞，﹣2），x∈（1，+∞）时有f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上为增函数．当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣2，1）上为减函数．所以函数f（x）在x=﹣2时取得极大值=．函数f（x）在x=1时取得极小值．因为函数的图象先增后减再增，要使函数的图象经过四个象限，则，解①得：a＞﹣15．解②得：a＜﹣96．此时a∈∅；若a＜0，当x∈（﹣∞，﹣2），x∈（1，+∞）时有f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上为减函数．当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣2，1）上为增函数．所以函数f（x）在x=﹣2时取得极小值=．函数f（x）在x=1时取得极大值．为函数的图象先减后增再减，要使函数的图象经过四个象限，则，解得﹣96＜a＜﹣15．所以使函数的图象经过四个象限的a的取值范围是（﹣96，﹣15）．故答案为（﹣96，﹣15）．点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的极值与函数图象之间的关系，思考该问题时考虑数与形的结合，属中档题．9．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣3x，直线l：9x+2y+c=0．若当x∈[﹣2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是c＜﹣．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：分离参数，构造函数，求出函数再闭区间上的最值即可．解答：解：∵当x∈[﹣2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，即x3﹣x2﹣3x＜﹣x﹣，在x∈[﹣2，2]时恒成立，即c＜﹣x3+2x2﹣3x，令g（x）=﹣x3+2x2﹣3x，∴g'（x）=﹣2x2+4x﹣3，∵g'（x）=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1＜0恒成立，∴g（x）在∈[﹣2，2]上单调递减，故当x∈[﹣2，2]时，[g（x）]min=g（2）=﹣∴c＜﹣，故答案为：c＜﹣，点评：本题主要考查函数的求导运算、闭区间上的恒成立问题．闭区间上的恒成立问题一般都是转化为求最值，即使参数大于最大值或小于最小值的问题．10．若椭圆=1（m＞n＞0）和双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1•PF2的值是m﹣a2．考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆和双曲线的定义写出两个定义式，然后平方，观察之后，两式相减，求出整体未知数PF1•PF2的值．解答：解析：PF1+PF2=2，|PF1﹣PF2|=2a，所以PF+PF+2PF1•PF2=4m，PF﹣2PF1•PF2+PF=4a2，两式相减得：4PF1•PF2=4m﹣4a2，∴PF1•PF2=m﹣a2．故答案：m﹣a2．点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于根据椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，利用定义化简．11．（ 2011•南京校级模拟）已知椭圆的上焦点为F，直线x+y+1=0和x+y﹣1=0与椭圆相交于点A，B，C，D，则AF+BF+CF+DF= 8 ．考点：椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：由题意可知AB=CF+DF=，则AF+BF+AB=4a=8，进而可得AF+BF=8﹣AB=8﹣，由此可知答案．解答：解：直线x+y+1=0代入椭圆，并整理得7x2+6x﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴同理，可得CD=CF+DF=．∵AF+BF+AB=4a=8，∴AF+BF=8﹣AB=8﹣，∴AF+BF+CF+DF=（8﹣）+=8．答案：8．点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx ﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．13．长为6的线段AB两端点在抛物线x2=4y上移动，在线段AB中点纵坐标的最小值为 2 ．考点：抛物线的简单性质．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，设线段AB的中点为M，分别过点A，B，C，作AD⊥x轴，BE⊥x轴，MN ⊥x轴，垂足分别为D，E，N．利用梯形的中位线和抛物线的定义可得|MN|=（|AD|+|BE|）=（|AF|﹣1+|BF|﹣1）≥（|AB|﹣2）即可得出．解答：解：如图所示，设线段AB的中点为M，分别过点A，B，C，作AD⊥x轴，BE⊥x轴，MN⊥x轴，垂足分别为D，E，N．则|MN|=（|AD|+|BE|）=（|AF|﹣1+|BF|﹣1）≥（|AB|﹣2）=（6﹣2）=2．当且仅当线段AB过焦点时取等号．故AB的中点到y轴的距离的最小值为2．故答案为：2点评：本题考查了抛物线的定义和梯形的中位线定理，考查了分析问题和解决问题的能力．14．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．考点：导数的乘法与除法法则．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故答案为：（0，+∞）．点评：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、解答题（共6小题，满分46分）15．已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0； q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）先通过解一元二次不等式求出p下的x的取值范围：a＜x＜3a，a=1时，所以p：1＜x＜3．根据p∧q为真得p，q都真，所以，所以解该不等式组即得x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，则：，所以解该不等式组即得a的取值范围．解答：解：（1）p：由原不等式得，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；当a=1时，得到1＜x＜3；q：实数x满足2＜x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是：（2，3）；（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；∴，解得1＜a≤2；∴实数a的取值范围是（1，2]．点评：考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．16．在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB=BC=2，CD=SD=1，BC⊥CD，M为SB的中点，DS⊥面SAB．（1）求证：CM∥面SAD；（2）求证：CD⊥SD；（3）求四棱锥S﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用平行线中的一条直线与令一条直线垂直，推出另一条直线垂直证明CD⊥SD；（2）取SA中点N，连接ND，NM，证明NMCD是平行四边形，通过ND∥MC，证明CM∥面SAD；（3）利用V S﹣ABCD：V S﹣ABD=S ABCD：S△ABD，求出V S﹣ABD，即可求四棱锥S﹣ABCD的体积．解答：（1）证明：取SA的中点，∵M为SB的中点，∴MN∥AB，MN=，∵AB=2，CD=1，∴MN∥CD，MN=DC，∴四边形MNDC为平行四边形，∴CM∥ND，ND⊂面SAD，CM⊄面SAD；∴CM∥面SAD证明：（2）∵DS⊥面SAB，AB⊂面SAB．∴DS⊥AB，∵AB∥DC，∴DS⊥DC，解：（3）V S﹣ABCD：V S﹣ABD=S ABCD：S△ABD=3：2，过D作DH⊥AB，交于H，由题意得，BD=AD==，在Rt△DSA，Rt△DSB中，SA=SB==2．所以，V S﹣ABD=V D﹣SAB=S△ABS×DS==，四棱锥S﹣ABCD的体积为：×=；点评：考查直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．17．（某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）根据L与x的函数关系式先求出该函数的导数，令L′（x）=0便可求出极值点，从而求出时最大利润，再根据a的取值范围分类讨论当a取不同的值时，最大利润各为多少．解答：解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x﹣3﹣a）（12﹣x）2，x∈[9，11]．（2）L′（x）=（12﹣x）2+2（x﹣3﹣a）（12﹣x）×（﹣1）=（12﹣x）2﹣2（x﹣3﹣a）（12﹣x）=（12﹣x）（18+2a﹣3x）．令L′（x）=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）．∵3≤a≤5，∴8≤6+a≤．在x=6+a两侧L′的值由正值变负值．所以，当8≤6+a≤9，即3≤a≤时，L max=L（9）=（9﹣3﹣a）（12﹣9）2=9（6﹣a）；当9＜6+a≤，即＜a≤5时，L max=L（6+a）=（6+a﹣3﹣a）[12﹣（6+a）]2=4（3﹣a）3，即当3≤a≤时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6﹣a）万元；当＜a≤5时，当每件售价为（6+a）元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（3﹣a）3万元．点评：本题主要考查了函数的导数的求法以及利用导数来求得函数的最值问题，是各地高考的热点和难点，解题时注意自变量的取值范围以及分类讨论等数学思想的运用，属于中档题．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．（1）求抛物线方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M 的位置关系．考点：抛物线的标准方程；直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）抛物线的准线为，于是，p=2，由此可知抛物线方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意得B，M的坐标，，，直线FA的方程，直线MN的方程，由此可知点N的坐标即可；（Ⅲ）由题意得，圆M的圆心坐标为（0，2），半径为2．当m=4时，直线AP的方程为x=4，此时，直线AP与圆M相离；当m≠4时，写出直线AP的方程，圆心M（0，2）到直线AP的距离，由此可判断直线AP与圆M的位置关系．解答：解：（1）抛物线，∴p=2．∴抛物线方程为y2=4x．（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2），又∵F（1，0），∴，∴，则FA的方程为y=（x﹣1），MN的方程为．*k*s*5*u解方程组，∴．（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2．当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，当m≠4时，直线AK的方程为，即为4x﹣（4﹣m）y﹣4m=0，圆心M（0，2）到直线AK的距离，令d＞2，解得m＞1∴当m＞1时，直线AK与圆M相离；当m=1时，直线AK与圆M相切；当m＜1时，直线AK与圆M相交．点评：本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质、直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．19．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，得a=2，，由此能求出椭圆C的方程．（2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），设y1＞0．由于点M 在椭圆C上，故．由T（﹣2，0），知=，由此能求出圆T的方程．法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sin θ＞0，由T（﹣2，0），得=，由此能求出圆T的方程．（3）法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R •x S|=4为定值．解答：解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（3分）（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）…（4分）由已知T（﹣2，0），则，，∴=（x1+2）2﹣==．…（6分）由于﹣2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），则=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=．…（6分）故当时，取得最小值为，此时，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故（**）…（11分）又点M与点P在椭圆上，故，，…（12分）代入（**）式，得：．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（12分）故．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…点评：本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．20．设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）．（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极小值；（2）在（1）的结论下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m同时成立？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．（3）设G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1和x2，若x0=，试探究G′（x0）值的符号．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）只要利用条件f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），即可求出a、b的值，再求F（x）的导数，求单调区间，即可得到极小值；（2）由于f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x﹣1，只要验证 f（x）≥2x﹣1，g（x）≤2x﹣1 都成立即可；（3）由G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1和x2，得到x1，x2满足的关系式，由x0=，再经过讨论换元可证得G′（x0）＞0．解答：解：（1）由f（1）=g（1），得 b=1．∵f′（x）=2x，g′（x）=+b，f′（1）=g′（1），∴2=a+b，解得a=b=1，则g（x）=lnx+x．F（x）=x2﹣lnx﹣x（x＞0）的导数为F′（x）=2x﹣1﹣=，当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）递增，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）递减，则有x=1时，F（x）取得极小值，且为0；（2）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x﹣1，下面验证 f（x）≥2x﹣1，g（x）≤2x﹣1，都成立即可．由x2﹣2x+1≥0，得x2≥2x﹣1，知f（x）≥2x﹣1恒成立．设h（x）=lnx+x﹣（2x﹣1），即h（x）=lnx﹣x+1，h′（x）=﹣1=，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0．∴h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，∴h（x）在x=1时取得最大值，∴h（x）=lnx+x﹣（2x﹣1）的最大值为h（1）=0，则lnx+x≤2x﹣1恒成立．故存在这样的k和m，且k=2，m=﹣1，满足条件．（3）G′（x0）的符号为正，理由为：∵G（x）=x2+2﹣alnx﹣bx有两个不同的零点x1，x2，则有 x12+2﹣alnx1﹣bx1=0，x22+2﹣alnx2﹣bx2=0，两式相减得x22﹣x12﹣a（lnx2﹣lnx1）﹣b（x2﹣x1）=0．即x1+x2﹣b=，又x1+x2=2x0，则G′（x0）=2x0﹣﹣b=（x1+x2﹣b）﹣=﹣=[ln ﹣]=[ln﹣]，①当0＜x1＜x2时，令=t，则t＞1，且G′（x0）=[lnt﹣]，故μ（t）=lnt﹣（t＞1），μ′（t）=﹣=＞0，则μ（t）在[1，+∞）上为增函数，而μ（1）=0，∴μ（t）＞0，即lnt﹣＞0，又a＞0，x2﹣x1＞0，∴G′（x0）＞0，②当0＜x2＜x1时，同理可得：G′（x0）＞0，综上所述：G′（x0）值的符号为正．点评：本题考查了导数的综合应用，熟练利用导数求极值和最值及恰当分类讨论、换元是解决问题的关键．专业文档珍贵文档。