高中北师大版数学必修2精练：第一章 5.2 平行关系的性质

由此易知三者之间可以任意转化．另一种转化就是空间问题平 面化，辅助面在转化空间问题为平面问题中有着重要作用．
3．有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆 空间之中两直线，平行相交和异面． 线线平行同方向，等角定理进空间． 判断线和面平行，面中找条平行线； 已知线和面平行，过线作面找交线． 要证面和面平行，面中找出两交线． 线面平行若成立，面面平行不用看． 已知面与面平行，线面平行是必然． 若与三面都相交，则得两条平行线．
∵M，N，K 分别为 AE，CD1，CD 的中点，
∴MK∥AD，NK∥DD1. 又∵MK 平面 ADD1A1，NK AD，DD1 平面 ADD1A1，
平面 ADD1A1，
∴MK∥平面 ADD1A1，NK∥平面 ADD1A1， 又 MK∩NK＝K，∴平面 MNK∥平面 ADD1A1. 又 MN 平面 MNK，MN 平面 ADD1A1， ∴MN∥平面 ADD1A1.
规律方法 以符号语言为载体考查位置关系问题的判断题，是 高考选择题考查立体几何的主要形式，要熟悉相关定理是前提， 全面分析问题是关键，合理应用模型及排除法是常用方法．
【变式 1】 两个相交平面分别过两条平行直线中的一条，则它 们的交线和这两条平行直线是什么位置关系？试说明理由． 解 平行． 如右图，已知 a α，b β，a∥b，α∩β＝l. 因为 a α，b⃘α，且 a∥b，所以 b∥α.
【解题流程】 α∥β → AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′
→ 线段成比例 → S△A′B′C′ [规范解答] 相交直线 AA′、BB′所在平面和两平行平面 α、β 分 别相交于 AB、A′B′， 由面面平行的性质定理可得，AB∥A′B′.(2 分) 同理相交直线 BB′、CC′确定的平面和平行平面 α、β 分别相交 于 BC、B′C′，从而 BC∥B′C′. 同理易证 AC∥A′C′.(4 分)

课后训练1．如图，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则()．A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能2．设a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题中不正确的是()．A．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥bB．a∥b，b∥α，aα⇒a∥αC．α∥β，β∥γ⇒α∥γD．α∥β，a∥α⇒a∥β3．给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l与m为异面直线，lα，mβ，则α∥β；②若α∥β，lα，mβ，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()．A．3 B．2 C．1 D．04．a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的平面β()．A．只能作一个B．至多可以作一个C．不存在D．至少可以作一个5．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC 于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为()．A．2∶5 B．3∶8C．4∶9 D．4∶256．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．(第6题图)7．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于__________．(第7题图)8．如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．9．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．(1)若E 为A 1C 1的中点，求证：DE ∥平面ABB 1A 1；(2)若E 为A 1C 1上一点，且A 1B ∥平面B 1DE ，求11A E EC 的值． 10．已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA ＝SB ＝SC ，SG 为△SAB 的高，D ，E ，F 分别是AC ，BC ，SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并证明．参考答案1答案：B2答案：D 解析：当α∥β且a ∥α时，可能有a ∥β，也可能有a β，因此选项D 中的命题不正确．3答案：C 解析：①②错误，③正确．4答案：B 解析：由于a 在平面α外，所以a ∥α或a ∩α＝P .当a ∥α时，过a 可作唯一的平面β，使β∥α；当a ∩α＝P 时，过a 不能作平面β，使β∥α，故至多可以作一个． 5答案：D 解析：由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ， 从而'''22'24525A B C ABC S PA S PA ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6答案：平行四边形 解析：∵平面ABFE ∥平面CDHG ，∴EF ∥HG ，同理EH ∥FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形．7解析：因为EF ∥平面AB 1C ，由线面平行的性质可得EF ∥AC ，而E 为AD 的中点，所以F 也为CD 的中点，即EF ＝12AC＝12⨯= 8答案：解：设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．因为A 1B ∥平面B 1CD ，所以A 1B ∥DE .又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1.9答案：(1)证明：取B 1C 1的中点G ，连接EG ，GD ，则EG ∥A 1B 1，DG ∥BB 1，又EG ∩DG ＝G ，所以平面DEG ∥平面ABB 1A 1， 又DE 平面DEG ，所以DE ∥平面ABB 1A 1.(2)解：设B 1D 交BC 1于点F ，则平面A 1BC 1∩平面B 1DE ＝EF .因为A 1B ∥平面B 1DE ，A 1B平面A 1BC 1，所以A 1B ∥EF . 所以111A E BF EC FC =.又因为11112BF BD FC B C ==，所以1112A E EC = 10答案：解：SG ∥平面DEF .证明如下：方法一：连接CG 交DE 于H ，连接FH ，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB .在△ACG 中，D 是AC 的中点，且DH ∥AG ，∴H 为CG 的中点，∴FH 为△SCG 的中位线，∴FH ∥SG .又SG 平面DEF ，FH 平面DEF ，∴SG ∥平面DEF . 方法二：∵EF 为△SBC 的中位线，∴EF ∥SB .∵EF 平面SAB ，SB 平面SAB ，∴EF ∥平面SAB . 同理：DF ∥平面SAB .又EF ∩DF ＝F ，∴平面SAB ∥平面DEF .又SG 平面SAB ，∴SG ∥平面DEF .。

2．面面平行的性质定理的本质： 化面面平行为线线平行是面面平行性质定理的本质，而转化的关键是作辅 助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行，进而化为 线线平行．
[探究共研型] 平行关系的综合应用 探究 1 如图 1-5-23 所示，已知 P 是▱ABCD 所在平面外一点，M，N 分别 是 AB，PC 的中点，平面 PAD∩平面 PBC＝l，直线 l 与直线 BC 平行吗？请说 明理由．
【导学号：10690018】
图 1-5-20
1．直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平 行．
2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的 平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平 行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．
[基础·初探]
教材整理 1 直线与平ห้องสมุดไป่ตู้平行的性质定理
阅读教材 P32“练习”以下至 P33“例 4”以上部分，完成下列问题．
文字语言
符号语言
图形语言
如果一条直线与一个平面平行，那 么过该直线的 任意一个平面 与已 知平面的 交线与该直线平行
a∥α a β ⇒a∥b α∩β＝b
教材整理 2 面面平行的性质定理
面面平行性质的应用 如图 1-5-22，已知 α∥β，点 P 是平面 α，β 外的一点(
不在 α 与 β 之间)，直线 PB，PD 分别与 α，β 相交于点 A，B 和 C，D.
(1)求证：AC∥BD；
图 1-5-22
(2)已知 PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求 PD 的长．
1．利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤： (1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； (2)判定这两个平面平行； (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； (4)由定理得出结论．

求证： BACB＝DEFE. 【思路探究】 (1)证明线段成比例问题，常用什么方 法？ (2)如何寻求线线平行？
【自主解答】 如图，连接DC， 设DC与平面β相交于点G， 则平面ACD与平面α、β分别相交于直线AD、BG.
平面DCF与平面β、γ分别相交于直线GE、CF. 因为α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF. 于是在△ADC内有BACB＝DGGC， 在△DCF内有DGGC＝DEFE. ∴BACB＝DEFE.
1．直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据， 可以用来证明线线平行．
2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行， 再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确 定线线平行，证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的 相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平 行”．
如图1－5－13所示，已知异面直线AB，CD都平行于平 面α，且AB，CD在α的两侧，若AC，BD与α分别交于M，N 两点，求证：MAMC＝NBND.
图1－5－14
【证明】 过点A作AE∥CD交平面β于E，连接DE， BE，
∵AE∥CD，∴AE、CD确定一个平面，设为γ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.
由于α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理) 取AE中点N，连接NP，MN， ∵M、P分别为AB、CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE. 又NP β，DE β，MN β，BE β， ∴NP∥β，MN∥β.又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β. ∵MP 平面MNP，∴MP∥β.
(2)得出矩形EFGH的面积表达式，求最大值．
【自主解答】 (1)因为CD∥平面EFGH， 所以CD∥EF，CD∥GH，所以GH∥EF. 同理EH∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形． 又因为AB⊥CD，所以HE⊥EF. 所以四边形EFGH是矩形．

5．2平行关系的性质时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF 的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面答案：A解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.2．设平面α∥β，直线aα，直线bβ，有下列四种情形：①a⊥b；②a∥b；③a与b 为异面直线；④a与b相交．其中可能出现的情形有()A．1种B．2种C．3种D．4种答案：C解析：易知①②③均可能出现，如果a与b相交，则α与β有公共点，这与α∥β相矛盾，故④不可能出现．3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论正确的是()A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE EA＝BF FC，且DH HA＝DG GCD．AE EB＝AH HD，且BF FC＝DG GC答案：D解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案：A解析：当直线a平面β，且点B在直线a上时，在平面β内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线．故选A.5．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C()A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面答案：D解析：如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′.则CE∥AA′，∴CE∥α.C′E∥BB′，∴C′E∥β.又∵α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．6．若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为()A．16和12 B．15和13C．17和11 D．18和10答案：B解析：如图，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为M、N，设AB＝x，则CD＝28－x，BM＝9，ND ＝5，∴x 2－81＝(28－x )2－25， ∴x ＝15,28－x ＝13.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．若空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是8,12，过AB 的中点E 作平行于BD 、AC 的截面四边形的周长为________．答案：20解析：截面四边形为平行四边形，则l ＝2×(4＋6)＝20.8．如图所示，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 四边上的点，且它们共面，AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当四边形EFGH 为菱形时，AE EB ＝________.答案：m ∶n解析：因为AC ∥平面EFGH ，平面ABC ∩平面EFGH ＝EF ，AC 平面ABC ，所以EF ∥AC ，所以EB BA ＝EF AC ①.同理可证AE BA ＝EHBD ②.又四边形EFGH 是菱形，所以EF ＝EH ，由①②，得AE EB ＝AC BD .又AC ＝m ，BD ＝n ，所以AE EB ＝m n.9．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则点M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.答案：M ∈线段FH解析：如图，连接FH ，HN ，FN ，由平面HNF ∥平面B 1BDD 1，知当点M 在线段FH 上时，有MN ∥平面B 1BDD 1.三、解答题(共35分，11＋12＋12) 10.如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EF.求证：BB1∥EF.证明：∵CC1∥BB1，CC1⃘平面BEFB1，BB1平面BEFB1，∴CC1∥平面BEFB1.又CC1平面CC1D1D，平面CC1D1D∩BEFB1＝EF，∴CC1∥EF，∴BB1∥EF.11．如图，多面体ABC－DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1.(1)证明：四边形ABED是正方形；(2)判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由．解：(1)平面ABC∥平面DEFG，平面ABED∩平面ABC＝AB，平面ABED∩平面DEFG＝DE，由面面平行的性质定理，得AB∥DE.同理AD∥BE.所以四边形ABED为平行四边形．又AB⊥AD，AB＝AD，所以四边形ABED是正方形．(2)如图，取DG的中点P，连接PA，PF.在梯形EFGD中，FP∥DE且FP＝DE.又AB∥DE，AB＝DE，所以AB∥FP且AB＝FP.所以四边形ABFP为平行四边形，所以AP∥BF.在梯形ACGD中，AP∥CG，所以BF∥CG.故B，C，F，G四点共面．12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．解：能．取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1，∵A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1， PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形， 又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ， A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形． 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝ 5，MN ＝2 2， ∴A 1H ＝ 3.∴S △A 1MN ＝12×2 2× 3＝ 6.故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6.。

∴
4
5


=

.

=
反思解决已知两个平面平行的问题时,通常用到面面平行的性质.
面面平行是平行中的“最高级”,利用面面平行的性质“降低”其档次,
即转化为线面平行或线线平行.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 例2中若点P在α与β之间,在第(2)问的条件下,求
PD的长.


解:仿照例 2 易证得 AC∥BD,∴ = ,
∴四边形MNPQ为平行四边形.
题型一
题型二
题型三
题型二
面面平行性质的应用
【例2】 如图所示,已知α∥β,P是平面α,β外的一点(不在α与β之
间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.
(1)求证:AC∥BD;
(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.
分析:由PB与PD相交于点P可知PB,PD确定一个平面,结合α∥β,
题型一
线面平行性质的应用
【例1】 已知平面α∩平面β=l,直线a∥α,a∥β.
求证:a∥l.
分析:先利用线面平行的性质将线面平行转化为线线平行,再利
用平行公理证明.
证明:如图所示,过a作平面γ交平面α于b.
∵a∥α,∴a∥b.
过a作平面δ交平面β于c.
∵a∥β,∴a∥c.∴b∥c.
又b⊈β,c⫋β,∴b∥β.
又四边形A1B1C1D1是平行四边形,
∴A1B1∥C1D1,从而AB∥CD.
同理BC∥AD,故四边形ABCD是平行四边形.
1
2
3
4
5
5.有一块木料如图所示,已知棱BC平行于面A'B'C'D',要经过木料表

探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:由于正方体中平面ABB1A1∥平面DCC1D1,又截面EFGH与 平面ABB1A1、平面DCC1D1分别相交于GF,EH,由面面平行的性质 定理知GF∥EH;同理可得EF∥GH,故四边形EFGH一定是平行四边 形,故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究三平行关系的综合问题 【例3】 如图所示,在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E
解:存在.当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC,证明如下: 取PE的中点M,连接FM,BF,则FM∥CE.
因为FM⊈平面AEC,CE⫋平面AEC,所以FM∥平面AEC.①
由EM= 1 PE=ED,知E是MD的中点,连接BM,BD, 设BD∩AC2=O,则O为BD的中点,连接OE,则BM∥OE,因为BM⊈平
探究一
探究二
探究三
易错辨析
分析:由PB与PD相交于点P可知PB,PD确定一个平面,结合α∥β, 可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系,这样就转化为平面 问题.
(1)证明:∵PB∩PD=P,
∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ,
则 α∩γ=AC,β∩γ=BD.又 α∥β,∴AC∥BD.
(2)解:由(1)得 AC∥BD,∴������������������������ = ������������������������.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
证明:如图所示,取 PD 的中点 E,连接 EN,AE, 又因为 N 为 PC 的中点,
面AEC,OE⫋平面AEC,所以BM∥平面AEC.②
由FM∩BM=M,得平面BFM∥平面AEC. 因为BF⫋平面BFM,所以BF∥平面AEC.

数学ⅱ北师大版1.5.2平行关系的性质练习第一章第六节 平面与平面平行的性质定理课堂练习A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交B.平行于同一个平面的两个平面平行C.平行于同一条直线的两条直线平行D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交 〔2〕,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面：①m α⊂，n ∥α，那么m ∥n ②m α⊂，m ∥β，那么α∥β③n αβ=，m ∥n ，那么m ∥α且m ∥β上面结论正确的有〔〕.A.0个B.1个C.2个D.3个〔3〕3个平面把空间分成6个部分，那么〔〕.A.三平面共线B.三平面两两相交C.有两平面平行且都与第三平面相交D.三平面共线或者有两平面平行且都与第三平面相交〔4〕直线与两个平行平面中的一个平行，那么它与另一平面_______________. 〔5〕如下图，四边形ABCD 与ABEF 是两个全等的正方形，M N ，分别是AC 、BF 上的点，且AM FN =，求证：MN ∥平面BCE 、课后作业〔1〕AB 和CD 是夹在平行平面,αβ间的两条异面线段，,E F 分别是它们的中点，那么EF 和α〔〕.A.平行B.相交C.垂直D.不能确定〔2〕以下说法正确的选项是〔〕.A.假如两个平面有三个公共点，那么它们重合B.过两条异面直线中的一条能够作许多个平面与另一条直线平行C.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D.假如两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行〔3〕α∥β，,,a B αβ⊂∈那么在β内过点B 的所有直线中〔〕.A 、不一定存在与a 平行的直线B 、只有两条与a 平行的直线C 、存在许多条与a 平行的直线D 、存在唯一一条与a 平行的直线〔4〕平面//α平面β，P 是,αβ外一点，过点P 的直线m 与,αβ分别交于点,A C ，过点P 的直线n 与,αβ分别交于点,B D ，且6PA =，9AC =，8PD =，那么BD 的长为〔〕.A.16B.24或245C.14D.20〔创新题〕〔5〕如图，平面四边形ABCD 的四个顶点A B C D ，，，均在平行四边形A B C D ''''所确定的平面α外，且AA BB CC DD ''''，，，互相平行、求证：四边形ABCD 是平行四边形、参考答案课堂练习〔1〕选D ；提示：平行于同一个平面的两条直线平行、相交或者异面。

5．2平行关系的性质1．直线与平面平行的性质定理性质定理文字语言图形语言符号语言直线与平面平行如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行⎭⎬⎫l∥αlβα∩β＝b⇒b∥l2.平面与平面平行的性质定理性质定理文字语言图形语言符号语言平面与平面平行如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∩α＝aγ∩β＝b⇒a∥b1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊆/α，那么b∥α.()(2)如果mα，n∥α，m，n共面，那么m∥n.()(3)若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ.()答案：(1)√(2)√(3)√2．如果直线a平行于平面α，则下列说法正确的是()A．平面α内有且只有一条直线与a平行B．平面α内有无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a平行的直线D．平面α内任一条直线都与a平行解析：选B.由线面平行的性质定理知，经过直线a的平面与α相交，则a与交线平行，因为经过直线a的平面有无数个，所以平面内有无数条直线与a平行．故选B.3．过平面外一条直线作已知平面的平行平面()A．必定可以并且可以作一个B．至少可以作一个C．至多可以作一个D．一定不能作解析：选C.直线与平面相交时，平行的平面不存在；直线与平面平行时，平行的平面唯一．4．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．解析：由线面平行的性质得，AB∥CD，AB∥EF，由公理4得CD∥EF.答案：平行1．对直线与平面平行的性质定理的三点说明(1)如图，在应用直线a与平面β平行的性质定理时，需要三个条件：①a∥β，②aα，③α∩β＝b，这三个条件缺一不可．(2)在应用性质定理时，往往会出现这样的易错点：“a∥β，bβ，所以a∥b”，在应用时要谨慎．(3)若a∥β，则直线a与平面β内的直线有两种位置关系：平行、异面，所以过直线a 作辅助平面α，使α与已知平面β交于b，这样直线a，b在同一个平面α内，所以才有直线a∥b.结合公理4知，平面β内与直线b平行的直线都与a平行．2．对平面与平面平行的性质定理的三点说明(1)面面平行的性质定理的条件有三个：①α∥β；②α∩γ＝a，③β∩γ＝b，这三个条件缺一不可．(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，其结论可用来证明线线平行．(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义：分别在两个平行平面内的直线没有公共点，但又同时在第三个平面内，故两直线平行．线面平行的性质定理的应用如图所示，四边形EFGH 为空间四面体ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围． [解] (1)证明：因为四边形EFGH 为平行四边形， 所以EF ∥HG ， 因为HG平面ABD ，E F ⊆/平面ABD ，所以EF ∥平面ABD . 因为EF平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ， 所以EF ∥AB . 所以AB ∥平面EFGH . 同理可证，CD ∥平面EFGH . (2)设EF ＝x (0<x <4)， 由(1)知，CF CB ＝x4，则FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－x 4. 从而FG ＝6－32x .所以四边形EFGH 的周长 l ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋6－32x ＝12－x ， 又0<x <4，则有8<l <12.即四边形EFGH 周长的取值范围是(8，12)．利用线面平行的性质定理解题的步骤1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.证明：连接AC交BD于O，连接MO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．又M是PC的中点，所以AP∥OM.又OM平面BMD，AP⊆/平面BMD，所以AP∥平面BMD.因为平面P AHG∩平面BMD＝GH，AP平面P AHG，所以AP∥GH.面面平行的性质定理的应用如图，已知α∥β，点P 是平面α、β外一点(不在α与β之间)，直线PB 、PD 分别与α、β相交于点A 、B 和C 、D .(1)求证：AC ∥BD ；(2)已知P A ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长． [解] (1)证明：因为PB ∩PD ＝P ， 所以直线PB 和PD 确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD . 又α∥β，所以AC ∥BD .(2)由(1)得AC ∥BD ，所以P A AB ＝PCCD .所以45＝3CD ，所以CD ＝154.所以PD ＝PC ＋CD ＝274(cm)．在本例中，若P 在α与β之间，在第(2)问的条件下求CD 的长．解：如图所示，因为PB ∩PD ＝P ，所以直线PB 和PD 确定了一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD ， 又α∥β， 所以AC ∥BD . 所以∠P AC ＝∠PBD ， ∠PCA ＝∠PDB ， 所以△P AC ∽△PBD ，所以PB P A ＝PDPC， 即PB 4＝PD 3. 又PB ＝AB －P A ＝1，则PD ＝34，所以CD ＝PC ＋PD ＝3＋34＝154(cm)．面面平行性质定理的两个主要应用(1)证明线线平行：利用面面平行的性质定理推出线线平行．(2)判断线面平行：其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2.(1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，作截面EFGH (如图)交C 1D 1，A 1B 1，AB ，CD 分别于E ，F ，G ，H ，则四边形EFGH 的形状为( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．梯形(2)如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为________．解析：(1)因为平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面EFGH 交平面ABCD 于GH ，交平面A 1B 1C 1D 1于EF ，则有GH ∥EF ，同理EH ∥FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形．(2)由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ，从而S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝⎝⎛⎭⎫252＝425. 答案：(1)A (2)4∶25平行关系的综合应用在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，如图． (1)求证：平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；(2)试找出体对角线A 1C 与平面AB 1D 1和平面C 1BD 的交点E ，F ，并证明：A 1E ＝EF ＝FC .[解] (1)证明：因为在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ═∥B 1C 1， 所以四边形AB 1C 1D 是平行四边形，所以AB 1∥C 1D . 又因为C 1D平面C 1BD ，AB 1⊆/平面C 1BD .所以AB 1∥平面C 1BD . 同理B 1D 1∥平面C 1BD . 又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，AB 1平面AB 1D 1，B 1D 1平面AB 1D 1，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD . (2)如图，连接A 1C 1交B 1D 1于点O 1，连接A 1C ，连接AO 1与A 1C 交于点E . 又因为AO 1平面AB 1D 1，所以点E 也在平面AB 1D 1内，所以点E 就是A 1C 与平面AB 1D 1的交点；连接AC 交BD 于O ，连接C 1O 与A 1C 交于点F ，则点F 就是A 1C 与平面C 1BD 的交点．证明A 1E ＝EF ＝FC 的过程如下：因为平面A 1C 1C ∩平面AB 1D 1＝EO 1， 平面A 1C 1C ∩平面C 1BD ＝C 1F ， 平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，所以EO 1∥C 1F .在△A 1C 1F 中，O 1是A 1C 1的中点，所以E 是A 1F 的中点，即A 1E ＝EF ； 同理可证OF ∥AE ，所以F 是CE 的中点， 即CF ＝FE ， 所以A 1E ＝EF ＝FC .(1)证明线面平行的方法有“线线平行⇒线面平行”或“线线平行⇒线面平行⇒面面平行⇒线面平行”．(2)常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系相互联系、相互转化．3.(1)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.(2)如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.①求证：l∥BC；②MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．解：(1)连接FH，由题意知，HN∥平面B1BDD1，FH∥平面B1BDD1，且HN∩FH＝H，所以平面NHF∥平面B1BDD1.所以当M在线段HF上运动时，有MN∥平面B1BDD1.故填M∈线段HF.(2)①证明：因为BC∥AD，BC⊆/平面P AD，AD平面P AD，所以BC∥平面P AD.又因为平面PBC∩平面P AD＝l，BC平面PBC，所以l∥BC.②平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE ═∥AM . 所以四边形AMNE 为平行四边形， 所以MN ∥AE . 又因为AE平面P AD ，MN ⊆/平面P AD ，所以MN ∥平面P AD .思想方法 函数思想在线面平行中的应用如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大．[解] 因为AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG 、EH ， 所以AB ∥FG ，AB ∥EH ，所以FG ∥EH .同理可得EF ∥GH ，所以截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α(α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BGBC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba (a －x )，所以S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α ＝x ·ba·(a －x )·sin α＝b sin αa x (a －x )＝b a sin α⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24(0<x <a )．所以当x ＝a2时，S ▱EFGH 最大＝ab sin α4， 即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时，截面面积最大．(1)对于立体几何中的有关最值问题，当利用几何性质不能断定时，常转化为考虑函数方法求解．(2)利用函数思想解立体几何问题时，首先应把立体几何问题转化为平面问题，再利用函数的有关知识解决相应问题．1．如果平面α∥平面β，夹在α和β间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行、相交或异面解析：选D.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，AA 1∥BB 1，A 1D ∩A 1B ＝A 1，AD 1与A 1B 是异面直线．故选D.2．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a 、b 、c 、…，则这些交线的位置关系为( )A ．都平行B ．都相交且一定交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或交于同一点解析：选D.因为l ⊆/α，所以l ∥α或l ∩α＝A ，若l ∥α，则由线面平行性质定理可知，l ∥a ，l ∥b ，l ∥c ，…，所以由公理4可知，a ∥b ∥c …；若l ∩α＝A ，则A ∈a ，A ∈b ，A ∈c ，…，a ∩b ∩c ∩…＝A ，故选D.3．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，由线面平行的性质可得EF ∥AC ，而E 为AD 的中点，所以F 也为CD 的中点， 即EF ＝12AC ＝12×22＝ 2.答案： 2 4.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，E 是A 1C 1上的一点，且A 1B ∥平面B 1DE ，则A 1EEC 1的值为________．解析：连接BC 1交B 1D 于点F ，连接EF ，则平面A 1BC 1∩平面B 1DE ＝EF . 因为A 1B ∥平面B 1DE ，A 1B 平面A 1BC 1，所以A 1B ∥EF ， 所以A 1E EC 1＝BF FC 1.因为BC ∥B 1C 1， 所以△BDF ∽△C 1B 1F ，所以BF FC 1＝BD B 1C 1.因为D 是BC 的中点，所以BD B 1C 1＝12， 所以A 1E EC 1＝12.答案：12, [学生用书P99(单独成册)])[A 基础达标]1.如图，在三棱锥S -ABC 中，E 、F 分别是SB 、SC 上的点，且EF ∥平面ABC ，则( ) A ．EF 与BC 相交 B ．EF ∥BC C ．EF 与BC 异面 D ．以上均有可能解析：选B.因为EF ∥平面ABC ，BC 平面ABC ，EF平面SBC ，平面ABC ∩平面SBC ＝BC ，所以EF ∥BC .2．若α∥β，aα，bβ，下列几种说法中正确的是( )①a ∥b ；②a 与β内无数条直线平行；③a 与β内的任何一条直线都不垂直；④a ∥β. A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③④解析：选B.序号 正误 原因分析 ① × a 与b 可能异面② √ 过a 的平面与β的交线都与a 平行 ③×在β内与a 垂直的直线有无数多条④√因为aα，α∥β，所以a与β无公共点，所以a∥β3.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为()A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定解析：选B.由面面平行的性质定理知，EF∥HG，EH∥FG，故四边形EFGH为平行四边形．4．已知l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是()A．D1B1∥平面ABCD B．BD∥平面AD1B1C．l∥平面A1B1C1D1D．l⊥B1C1解析：选D.A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确，B，C可由线面平行的判定定理判定正确性．D错在D1B1∥l，l与B1C1所成角是45°.5．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C()A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面解析：选D.如图，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB的中点C变成A′B′的中点C ′，连接A ′B ，取A ′B 的中点E ，连接CE 、C ′E 、AA ′、BB ′.则CE ∥AA ′，所以CE ∥α， C ′E ∥BB ′，所以C ′E ∥β. 又因为α∥β，所以C ′E ∥α. 因为C ′E ∩CE ＝E ， 所以平面CC ′E ∥平面α. 所以CC ′∥α.所以不论A 、B 如何移动，所有的动点C 都在过C 点且与α、β平行的平面上． 6．若直线l 不存在与平面α内无数条直线都相交的可能，则直线l 与平面α的关系为________．解析：若直线l 与平面α相交或在平面α内，则在平面α内一定存在无数条直线与直线l 相交，故要使l 不可能与平面α内无数条直线都相交，只有l ∥α.答案：l ∥α 7.如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB 、AC 分别交平面α于点E 、F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝________．解析：EF 可看作直线a 与点A 确定的平面与平面α的交线，因为a ∥α，由线面平行的性质定理知，BC ∥EF ，由条件知AC ＝AF ＋CF ＝3＋5＝8.又EF BC ＝AFAC ，所以EF ＝AF ×BC AC ＝3×48＝32. 答案：328．如图，P 为▱ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当P A ∥平面EBF 时，PFFC＝________． 解析：连接AC 交BE 于点G ，连接FG ，因为P A ∥平面EBF ，P A平面P AC ，平面P AC ∩平面BEF ＝FG ， 所以P A ∥FG ，所以PF FC ＝AGGC .又因为AD ∥BC ，E 为AD 的中点， 所以AG GC ＝AE BC ＝12，所以PF FC ＝12.答案：129.如图，在△ABC 所在平面外有一点P ，点D ，E 分别为PB ，AB 上的点，过D ，E 作平面平行于BC ，试画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法依据．解：过D ，E 作平面，设所画平面为α，因为BC ∥α，且BC 平面PBC ，BC平面ABC ，则平面α与平面PBC 和平面ABC 的交线都与BC 平行，据此作平面α如下： 连接DE ，过D 作DG ∥BC ，交PC 于G ，过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，连接GF ，平面DEFG 即为平面α.10.如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，E，F，H分别是AB，CD，PD的中点，连接BD，BD∩EC＝M，BD∩AF＝N.求证：PM∥HN.证明：因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC，因为PC平面PCE，FH⊆/平面PCE，所以FH∥平面PCE.又由已知得AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，而CE平面PCE，AF⊆/平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH平面AFH，AF平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.而平面PBD∩平面AFH＝NH，平面PBD∩平面PEC＝PM.所以NH∥PM.[B能力提升]11．正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1与CC1的中点，则经过P、B、Q 三点的截面是()A．邻边不相等的平行四边形B．菱形但不是正方形C．矩形D．正方形解析：选B.如图所示，设经过P 、B 、Q 三点的截面为平面γ，由平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1；平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，知γ与两组平面的交线平行，所以截面为平行四边形．又因为△ABP ≌△CBQ ， 所以PB ＝QB .知截面为菱形．又PQ ≠BD 1，知截面不可能为正方形．故选B. 12.如图，A 是△BCD 所在平面外一点，M 是△ABC 的重心，N 是△ADC 的中线AF 上的点，并且MN ∥平面BCD .当MN ＝43时，BD ＝________．解析：如图，取BC 的中点E ，连接AE ，EF ，则点M 在AE 上，并且AM ∶AE ＝2∶3. 因为MN ∥平面BCD ， 所以MN ∥EF . 所以MN ∶EF ＝2∶3.而EF ＝12BD ，所以BD ＝3MN ＝4.答案：4 13.如图，在棱长为a 的正方体中，点M 为A 1B 上任意一点，求证：DM ∥平面D 1B 1C . 证明：由正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，知A 1B 1═∥AB ，AB ═∥CD ，所以A 1B 1═∥CD . 所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形， 所以A 1D ∥B 1C . 而B 1C平面CB 1D 1，所以A 1D ∥平面CB 1D 1. 同理BD ∥平面CB 1D 1， 且A 1D ∩BD ＝D .所以平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. 因为DM平面A 1BD ，所以DM ∥平面CB 1D 1. 14．(选做题)如图，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点． (1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC的值．解：(1)如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形， 所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， 所以OD 1∥BC 1. 又因为OD 1平面AB 1D 1，BC 1⊆/平面AB 1D 1， 所以BC 1∥平面AB 1D 1.所以A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.(2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O . 因此BC 1∥D 1O ， 同理AD 1∥DC 1.所以A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD.又因为A 1O OB ＝1，所以DC AD ＝1，即AD DC ＝1.。

时间：25分钟1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交答案D解析如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．2．三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF与BC平行C．EF与BC异面D．以上均有可能答案B解析由线面平行的性质定理可知EF∥BC.3．如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能答案B解析∵MN∥平面P AD，MN平面P AC，平面P AD∩平面P AC＝P A，∴MN∥P A.4．下列说法正确的个数是()①两个平面平行，夹在两个平面间的平行线段相等；②两个平面平行，夹在两个平面间的相等线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个也平行；④平行于同一条直线的两个平面平行．A．1 B．2 C．3 D．4答案A解析只有①正确．②中的两线段还可能相交或异面；③中的直线可能在另一个平面内；④中的两个平面可能相交．5．平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的()A．一个侧面平行B．底面平行C．仅一条棱平行D．某两条相对的棱都平行答案C解析当平面α∥平面ABC时，如下图(1)所示，截面是三角形，不是梯形，所以A、B不正确；当平面α∥SA时，如上图(2)所示，此时截面是四边形DEFG.又SA平面SAB，平面SAB∩α＝DG，所以SA∥DG.同理，SA∥EF，所以EF∥DG.同理，当平面α∥BC时，GF∥DE，但是截面是梯形，则四边形DEFG中仅有一组对边平行，所以平面α仅与一条棱平行．所以D不正确，C正确．6．下列说法正确的是()A．平行于同一条直线的两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行D．若三直线a，b，c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b，c均平行答案B解析平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交，所以A错；B 显然正确；C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧，不正确；D不正确，因为过直线a的平面中，只要b，c不在其平面内，则与b，c均平行．7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)答案①②⇒③(或①③⇒②)解析①②⇒③设过m的平面β与α交于l.∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，∵n⊆/α，lα，∴n∥α.8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F 在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．答案2解析因为直线EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又因为E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝12AC，又因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝22，所以EF＝ 2.9．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.答案 22a3解析 ∵MN ∥平面AC ，PQ ＝平面PMN ∩平面ABCD ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3， 故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3.10．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN .求证：MN ∥平面AA 1B 1B .证明 如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ，∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CPPB .∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ，∴B 1M ＝BN ，∴CM MB 1＝DN NB ，∴CP PB ＝DNNB ，∴NP ∥CD ∥AB . ∵NP ⊆/ 平面AA 1B 1B ，AB 平面AA 1B 1B ，∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP∥BB1，MP⊆/平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP平面MNP，NP平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.。

又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，故选B.]
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2．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，
G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，
EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
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A [∵EH∥FG，EH 平面BCD，FG 平面BCD， ∴EH∥平面BCD，∵EH 平面ABD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，∴EH∥BD.]
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[解] 因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH 平 面BCC1B1，B1C1 平面BCC1B1，
所以EH∥平面BCC1B1. 又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG， 所以EH∥FG，即FG∥A1D1. 又FG 平面ADD1A1，A1D1 平面ADD1A1， 所以FG∥平面ADD1A1.
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面面平行性质的应用 【例2】 如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点 (不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B 和C，D.
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(1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长． [思路探究] 由PB与PD相交于点P，可知PB，PD确定一个平 面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这 样就转化为平面问题．
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2．面面平行的性质定理 文字语言
如果两个平行平面同时 与第三个平面相交，那么 它们的 交线 平行
符号语言
图形语言
α∥β，
γ∩α＝a

，⇒a∥b
γ∩β＝b

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思考2：若平面α∥平面β，直线a α，直线b β，直线a与平面β 有怎样的位置关系？直线a与直线b有怎样的位置关系？

证明： 连接CD, A, B, C, D在同一平面内,
设该平面为β. 则α∩β=CD.
A

B
AB
AB//CD
AC//BD

AB//平面α


C
D
四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
二、两个平面平行的性质 1.问题提出: 两个平面平行，它具有什么性质？

a


a


b
b
// a a // b b
A1 P
C1
（ 2）
EF 面AC EF // 面AC. BC 面AC EF // BC
E D
B1 C B
A
BE、CF显然都和面AC相交.
例2.如图，A, B, C, D在同一平面内, AB//平面α， AC//BD, 且AC, BD与α分别交于点C, D. 求证: AC=BD.
线面平行则线线平行
3.应 用:
例1.如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A1C1. （1）要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯开, 应怎样画线？ （2）所画的线和面AC是什么位置关系？ （1）在面A1C内,过点P画直线EF, D1 使EF//B1C1,EF交棱A1B1、C1D1 F 于点E、F, 连结BE、CF.
平面ACF∩β=BG 平面ACF∩γ=CF //


A
AD // GE DE
EF AG GF
BG // CF
AB DE .
BC EF
AG AB GF BC


B
G
E
F
C
三、反馈练习 1.如果直线a//α, 直线b , 那么a与b一定平行吗？ 为什么？ 2.已知两条直线m, n及平面α, 判断下面四个命题 是否正确： （1）若m//α, n//α, 则m//n;

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1。

5。

2 平行关系的性质[A。

基础达标］1．如图，在三棱锥S­ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则（)A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能解析:选B。

因为EF∥平面ABC，BC平面ABC,EF平面SBC,平面ABC∩平面SBC＝BC,所以EF∥BC。

2．若α∥β,aα,bβ，下列几种说法中正确的是（）①a∥b；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a∥β。

A．①②B．②④C．②③D．①③④解析：选序号正误原因分析①×a与b可能异面②√过a的平面与β的交线都与a平行③×在β内与a垂直的直线有无数多条④√因为aα，α∥β，所以a与β无公共点,所以a∥β3.111111EF的平面EFGH 分别交BC和AD于G，H两点，则HG与AB的位置关系是（)A．平行B．相交C．异面D．不确定解析：选A.因为E，F分别是AA1和BB1的中点，所以EF∥AB。

又因为AB平面EFGH,EF平面EFGH，所以AB∥平面EFGH。

又因为AB平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH＝GH，所以AB∥GH.4．已知l是过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线,下列结论错误的是（)A．D1B1∥平面ABCD B．BD∥平面AD1B1C．l∥平面A1B1C1D1D．l⊥B1C1解析:选D。

5.2 平行关系的性质问题导学1．直线与平面平行的性质活动与探究1如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM 上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.迁移与应用1．如图，E，H分别是三棱锥A－BCD的棱AB，AD的中点，平面α过EH分别交BC，CD 于点F，G.求证：EH∥FG.2．如图，AB∥α，CD∥α，AB与CD在平面α两侧且AB与CD不平行，AC，BD分别交α于M，N两点．求证：AM∶MC＝BN∶ND．线、面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，解题时要注意把握．当证明了直线平行于平面后，再过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平行．具体方法如下：线、线平行―-----------------―→线、面平行的判定线、面平行――-----------------→线、面平行的性质线、线平行．2．平面与平面平行的性质 活动与探究2如图，已知α∥β，点P 是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB ，PD 分别与α，β相交于点A ，B 和C ，D ．(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．迁移与应用1．设平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )．A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线2．如图，α∥β，AB交α，β于点A，B，CD交α，β于点C，D，AB∩CD＝O，O在两平面之间，AO＝5，BO＝8，CO＝6.求CD．利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由定理得出结论．3．用面面平行证线面平行活动与探究3如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN∥平面OCD．迁移与应用如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.因为两个平行平面没有公共点，所以当两个平面平行时，其中一个平面内的任何一条直线必与另一个平面无公共点，所以可得线面平行关系．4．平行关系的综合应用活动与探究4如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．迁移与应用如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，平面PAD∩平面PBC＝l.求证：l∥BC．1．熟练掌握空间平行关系中定理的条件与结论，注意它们之间的相互转化．2．在论证过程中，“已知位置关系，用性质”，“论证位置关系，用判定”．3．本例题是探索型问题，解决这类探索型问题的基本思路是：先假设所研究的对象成立或存在，然后以此为条件进行推理，得出存在的结论或得出矛盾．当堂检测1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )．A．α内的所有直线均与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内直线均与a相交D．直线a与平面α有公共点2．下列说法中正确的是( )．①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．A．①②③④B．①②③C．②④D．①②④3．若α∥β，aα，下列四种说法中正确的是( )．①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．A．①②B．②④C．②③D．①③④4．过两平行平面α，β外的点P有两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为__________．5．如图所示，四边形ABCD是矩形，P 平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP 于F.求证：四边形BCFE是梯形．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.课前预习导学预习导引1．(1)平行过该直线交线(2)∥预习交流1 提示：不是．当直线a与平面α平行时，它和平面α内的直线有两种位置关系：平行与异面．预习交流2 提示：(1)线面平行的性质定理的条件有三个：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即aβ.三个条件缺一不可．(2)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．(3)如果直线a∥平面α，在平面α内，除了与直线a平行的直线外，其余的任一直线都与直线a是异面直线．2．(1)平行交线(2)∥a b预习交流3 提示：a∥β.由于α∥β，所以α与β没有公共点，而aα，所以a与β也没有公共点．故必有a∥β.由此可得到证明线面平行的一种新方法，即转化为面面平行．预习交流4 提示：直线a与b可能平行，也可能异面，但不可能相交．课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：欲证线线平行，往往先证线面平行，再由线面平行的性质定理证得线线平行．证明：连接AC交BD于O，连接MO，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点．又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM .又OM 平面BMD ，AP 平面BMD ，∴AP ∥平面BMD .∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，AP 平面PAHG ，∴AP ∥GH .迁移与应用 1.证明：∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD .又BD 平面BCD ，EH 平面BCD ，∴EH ∥平面BCD .又EH α，α∩平面BCD ＝FG ，∴EH ∥FG .2．证明：连接AD 交平面α于点E ，连接ME 和NE .∵平面ACD ∩α＝ME ，CD ∥α， ∴CD ∥ME ，∴AM MC ＝AE ED. 同理，EN ∥AB ，∴AE ED ＝BN ND， ∴AM MC ＝BN ND . 活动与探究2 思路分析：由PB 与PD 相交于点P 可知PB ，PD 确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题．(1)证明：∵PB ∩PD ＝P ，∴直线PB 和PD 确定一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD .又α∥β，∴AC ∥BD .(2)解：由(1)得AC ∥BD ， ∴PA AB ＝PC CD . ∴45＝3CD ，∴CD ＝154(cm)． ∴PD ＝PC ＋CD ＝274(cm)． 迁移与应用 1．D 解析：依题意，由点B 和直线a 可确定唯一的平面γ，平面γ与平面β的交线设为c ，则必有c ∥a ，且这样的直线c 是唯一的．2．解：∵AB ∩CD ＝O ，∴AB ，CD 可确定一个平面，记为平面γ.⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝AC β∩γ＝BD ⇒AC ∥BD ，∴AO OB ＝CO OD ，即58＝6OD， ∴OD ＝485，∴CD ＝485＋6＝785. 活动与探究3 思路分析：解题的关键是构造过MN 与平面OCD 平行的平面，根据题目条件中M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，可利用三角形中位线的性质构造平面．证明：取OB 的中点G ，连接GN ，GM .在△OAB 中，GM 为中位线，∴GM ∥AB .又AB ∥CD ，∴GM ∥CD .∵GM 平面OCD ，CD 平面OCD ，∴GM ∥平面OCD .在△OBC 中，GN 为中位线，∴GN ∥OC .∵GN 平面OCD ，OC 平面OCD ，∴GN∥平面OCD.由于GM∩GN=G，∴平面GMN∥平面OCD.∵MN平面GMN，MN平面OCD，∴MN∥平面OCD.迁移与应用证明：连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD1.∵CD1平面BPQ，PQ平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ.∵BQ平面BPQ，AD1平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.活动与探究4 思路分析：可从“若两平面平行，则一平面内的任一直线都与另一平面平行”这一结论入手考虑，作过B点与平面AEC平行的平面，与PC的交点就是要找的点．解：存在．当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE .①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ，则BM ∥OE .②由①②可知，平面BFM ∥平面AEC ，又BF平面BFM ， ∴BF ∥平面AEC .迁移与应用 证明：因为BC ∥AD ，BC 平面PAD ，AD平面PAD ，所以BC ∥平面PAD . 又因为平面PBC ∩平面PAD ＝l ，BC 平面PBC ，所以BC ∥l .当堂检测1．D 2．D 3．B 4．125．证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ∥AD .∵AD 平面PAD ，BC 平面PAD ，∴BC ∥平面PAD .∵平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ，BC 平面BCFE ，∴BC ∥EF .∵AD ＝BC ，AD ≠EF ，∴BC ≠EF ，∴四边形BCFE 是梯形．。

证明： a//
a与 没 有 公 共 点
a
又 因 为 b在 内
b
a与 b没 有 公 共 点
又 a与b都在平面内
且没有公共点
a // b
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直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,那么过该直线的任意一 个平面与已知平面的交线与该直线平行。
b
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识应用知识应用
【例2】三棱锥A-BCD被一平面所截，截面 为平行四边形EFGH，求证：CD//平面EFGH
线面平行
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知识应用知识应用
【例1】已知平面外的两条平行直线中的一条平 行于这个平面, 求证：另一条也平行于这个平面。
如 图 ： 已 知 直 线 a ， b ， a//b ， a//。 求 证 ： b / /
a
b
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2.5.2 直线和平面平行的性质
复习
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行．
a
a
b
a
//
b
a // b
判定定理可概括为:线线平行
线面平行.
直线与平面平行的判定定理解决了直线与平面平行的条件 问题，反之，如果已知直线与平面平行，可以得到什么结论呢 ？

第一章 §5 平行关系
5.2 平行关系的性质
1
学习目标
1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面 平行，两平面平行的性质定理. 2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.
2
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
3
问题导学
4
知识点一 直线与平面平行的性质
思考1
如图，直线 l∥平面 α，直线 a 平面 α，直线 l 与直线 a 一
解析 42 答案
4. 如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平
面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，
3 F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝_2___.
解析 由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β ＝EF. 因为 a∥平面 α，a 平面 β，所以 EF∥a.
12345
解析 41 答案
3.平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，
β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是
√A.互相平行
B.交于一点
C.相互异面
D.不能确定
解析 由平面与平面平行的性质定理知，a∥b，a∥c，b∥d，c∥d， 所以a∥b∥c∥d，故选A.
12345
29
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上， 点M在B1C上，且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B.
30 证明
命题角度2 探索性问题 例4 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点 A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截 面的面积.

a
α
思考2:如果直线a与平面α平行，那么经过直线a的平面与平面 α有几种位置关系？
a
a
α
α
思考3:如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面与平面 α相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何？为什么？
a
b α
思考4:综上分析，在直线与平面平行的条件下可以得到什么 结论？并用文字语言表述之.
βa
例3.如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与 γ之间.点A、D∈α，C、F∈γ，AC∩β=B，DF∩β=E.
求证：AB DE
A
BC EF
证明：连结AF交β于M,连结BM、EM，BE. ∵β∥γ，平面ACF分别交β、
γ于BM、CF，∴BM∥CF.
B
∴ AB AM
BC MF
同理， AM DE
MF EF
C
AB DE BC EF
D
M E
F
知识小结
1．直线与平面平行和平面与平面平行的性质：
面面平行
线面平行
线线平行 2．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
l α β
“若面面平行，则线面平行”
/ /,l l / /
思考7:若 // ，平面α、β分别与平面γ相交于直线a、b，
那么直线a、b的位置关系如何？为什么？
γ
b β
α
a
定理 如果两个平行平面同时 和第三个平面相交，那么它们 的交线平行.
γ
“若面面平行，则线线平行”
b β
α
a
/ /, a, 平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行.
直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平 行”，在实际应用中它有何功能作用？