向量与解析几何交汇例题解析

向量与解析几何结合解答题精选平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。

或者考虑向量运算的 几何意义，利用其几何意义解决有关问题。

1.已知1OF ＝（－3，0），2OF ＝（3，0），（O 为坐标原点），动点M 满足：||1＋||2MF ＝10。

（1）求动点M 的轨迹C ；（2）若点P 、Q 是曲线C 上任意两点，且·=0，求222OQOP •的值【解】（1）由||1MF ＋||2MF ＝10知： 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆：122=+y x （2）∵点P 、O 是1162522=+y x 上任意两点 设P(ααsin 4,cos 5)，Q(ββsin 4,cos 5)（注意：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用） ∵OP ·OQ =0 得：βαβαsin sin 16cos cos 25+＝0 ①而2、22•都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得：222•＝400412.已知：过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）的直线l 与⊙C ：1)3()2(22=-+-y x 相交与M 、N 两点。

（1）求实数k 的取值范围；（2）求证：AM ·AN 为定值；（3）若O 为坐标原点，且OM ·ON ＝12，求k 的值。

【解】∵直线l 过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）∴直线l 的方程为：y ＝kx ＋1 （注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率） 将其代入⊙C ：1)3()2(22=-+-y x ，得：07)1(4)1(22=++-+x k x k ①由题意：△＝07)1(4)]1(4[2>⨯+⨯-+-k k 得：374374+<<-k （注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，d<R 来解）（2）利用切割线定理可以证明|AM |·|AN |＝|AT |2=7,AT 为切线，T 为切点。

向量与解析几何的结合题1、设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅OB OA A ．43 B ．43-C ．3D ．－3（答案B ）2、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足 OB OA OC βα+=，其中α、1,=+∈βαβ且R ，则点C 的轨迹方程为A ．01123=-+y xB ．5)2()1(22=-++y xC ．02=-y xD ．052=-+y x （答案D ）3、如图，P 为双曲线12222=-by ax （a 、b 为正常数）上任一点，过P 点作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A 、B 两点．若．（1）求证：A 、B 两点的横坐标之积为常数； （2）求△AOB 的面积（其中O 为原点）．（2004年南京师大附中数学高考模拟试题）解：（1）设A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）、P （0x ，0y ）．因为2=PBAP ，所以02132x x x =+，02132y y y =+．又11x ab y =，22x ab y -=．所以)2(22121x x ab y y -=+．从而)2(3210x x ab y -=．又因为P 点在双曲线上．所以1220220=-by ax ，222122219)2(9)2(ax x ax x --+221891a x x =⇒=为常数．（2）又∠α=AOX ，则ααcos ||tan 1x OAab ==⋅，αcos ||2xOB =1||||sin 22A O BS O A O B α∆=⋅⋅⋅12121sin 2tan 2cos cos x x x x αααα==⋅⋅⋅289a=ab ab 89=⋅4、．以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系.设,1=⋅FG OF 点F 的坐标为（t ，0），),3[+∞∈t ，点G 的坐标为).,(00y x（1）求0x 关于t 的函数)(0t f x =的表达式，判断函数)(t f 的单调性，并证明你的判断.（2）设△OFG 的面积t S 631=，若以O 为中心，F为焦点的椭圆经过点G ，求当||OG 取得最小值时椭圆的方程.（3）在（2）的条件下，若点P 的坐标为)29,0(，C 、D 是椭圆上的两点，且)1(≠=λλPD PC ，求实数λ的取值范围.解：（1）由题意知：.1)(),0,(),,(000=-=⋅=-=t x t FG OF t OF y t x FG 则解得.1)(0t t t f x +==设)1()1()()(,322112121t t t t t f t f t t +-+=-≥>则=.1)()(212121212121t t t t t t t t t t t t --=---∵,0,01,0212121>>->-t t t t t t ∴),()(,0)()(2121t f t f t f t f >>- 函数)(t f 在区间[3，+∞）上单调递增.（2）由.331,631||21||||21000±==⨯⨯==y t y t y OF S 得∴点G 的坐标为.931)1(||),331,1(22++=±+t t OG tt ∵函数)(t f 在区间[3，+∞]上单调递增，∴当t=3时，||OG 取得最小值，此时点F 、G 的坐标分别为（3，0）、（331,310±）.由题意设椭圆方程为.192222=++by b x由点G 在椭圆上，得.1931)9(910022=++bb 解得b 2=9.∴所求椭圆方程为.191822=+yx（3）解答一：设C 、D 的坐标分别为（x ，y ）、（m ，n ）， 则).29,(),29,(-=-=n m PD y x PC由.2929,),29,()29(,+-==-=--=λλλλλn y m x n m y x PD PC 得∵点C 、D 在椭圆上，∴.19)2929(18,191822222=+-+=+λλλn mnm消去m ，得.4513λλ-=n 又∵,3||≤n ∴.551,3|4513|≤≤≤-λλλ解得∴实数λ的取值范围是].5,1()1,51[⋃解答二：设点A 、B 的坐标分别为（0，3）、（0，－3），过点A 、B 分别作y 轴的垂线，交直线PC 于点M 、N.若|,||||,|||PC PN PD PC ≤<则∴1.5==≤<则.151,511<≤≤<λλ若|,|||PD PC >同理可得.51,51≤<==≤<λ则综上，实数λ的取值范围是].5,1()1,51[⋃5、如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且0AC BC =，|BC |＝2|AC |．（I ）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（II ）如果椭圆上有两点P 、Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO ，证明：存在实数λ，使P Q A Bλ=．解：（I ）以O 为原点，O A 为X 轴建立直角坐标系，设A （2，0），则椭圆方程为22214xy b+=∵O 为椭圆中心，∴由对称性知|O C |＝|O B | 又∵0AC BC =，∴AC ⊥BC又∵|BC |＝2|AC | ∴|O C |＝|AC | ∴△A O C 为等腰直角三角形∴点C 的坐标为（1，1） ∴点B 的坐标为（－1，－1）将C 的坐标（1，1）代入椭圆方程得243b =， 则求得椭圆方程为223144xy +=（II ）由于∠PCQ 的平分线垂直于O A （即垂直于x 轴），不妨设PC 的斜率为k ，则QC 的斜率为－k ，因此PC 、QC 的直线方程分别为y ＝k （x －1）+1，y ＝－k （x －1）+1由22(1)13144y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得（1＋3k 2）x 2－6k （k －1）x ＋3k 2－6k －1＝0 *）∵点C （1，1）在椭圆上，∴x ＝1是方程（*）的一个根，∴x P •1＝2236131k k k --+即x P ＝2236131k k k --+同理x Q ＝2236131k k k +-+∴直线PQ 的斜率为2222(31)2()213112331P Q P Q P QP Qk k ky y k x x kk k x x x x k -⋅--+-+===---+（定值）又∠ACB 的平分线也垂直于OA ∴直线PQ 与AB 的斜率相等（∵k AB =13）∴向量//P Q A B ，即总存在实数λ，使P Q A B λ=成立．。

平面向量与解析几何交汇题的分类解析湖北省广水市第一高级中学 (432700) 刘才华 Email:lch2019@平面向量既有大小又有方向，它具备数与形的双重身份，因此平面向量与解析几何交汇题，要善于分析清楚向量式的几何意义，借助向量形的特征使抽象的问题直观化、形象化；也要善于运用向量的坐标运算，借助向量数的特征用代数的方法研究几何图形的性质.一、利用向量式的几何意义求解定值问题例1 已知过点(0,1)A 的直线l 与⊙c ：1)3()2(22=-+-y x 相交与M 、N 两点. 求证：AM AN ⋅为定值.解 如图1示，由于向量AM 、AN共线且同方向， ∴||||AM AN AM AN ⋅=⋅ ，作圆的切线AT ，由圆的切割线定理，则 222||||||||817AM AN AT AC r ⋅==-=-= ，∴AM AN ⋅为定值.例2 已知1OF ＝(3,0)-，2OF＝(3,0)（O 为坐标原点），动点M 的轨迹为c ，且M 满足：12||||10MF MF +=.(1) 求动点M 的轨迹方程；(2) 若点P 和Q 是曲线c 上的任意两点，且0OP OQ ⋅= ，求222PQOP OQ⋅ 的值.解 (1）∵1212||||10||6MF MF F F +=>=，∴动点M 的轨迹c 为椭圆，且210a =，26c =，∴5a =，3c =，则4b =，∴点M 的轨迹方程为2212516x y +=. (2) 向量式2222222||||()||||||||PQ PQPQ OP OQ OP OQ OP OQ ==⋅⋅⋅ 如图2示，∵0OP OQ ⋅=，∴POQ ∆为直角三角形，∴POQ ∆的面积为11||||||22S OP OQ PQ d =⋅=⋅ ，∴d =∴向量式22221PQ d OP OQ=⋅ ，即为原点到直线PQ 的距离d 的平方的倒数. 图2图1设PQ 的方程为y kx m =+，联立2212516y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(1625)50254000k x kmx m +++-=，设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则有1222122501625254001625km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， 由12121212()()OP OQ x x y y x x kx m kx m ⋅=+=++⋅+221212(1)()0k x x km x x m =++++= ∴22222222540050(1)016251625b k m k m k k -+-+=++，化简得2241400(1)m k =+，即22400141m k =+，∴2222400141m d k ===+， 若斜率k 不存在，则OP 的方程为y x =，联立2212516y xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =∴直线PQ的方程为x =PQ的距离d =240041d =.∴综合上述2222141400PQ d OP OQ==⋅ . 二、利用向量的坐标运算求解轨迹方程例3 设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = ，且1OQ AB ⋅=.求P 点的轨迹方程解 由题意设(,0)A a 、(0,)B b ，且0a >、0b >.∵2BP PA =，即(,)2(,)x y b a x y -=--，∴222x a x y b y =-⎧⎨-=-⎩， 即323a x b y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴3(,0)2A x 、(0,3)B y ，3(,3)2AB x y =-又点Q 与点P 关于y 轴对称知，∴(,)Q x y -，OQ=(,)x y -，则2233(,)(,3)3122OQ AB x y x y x y ⋅=-⋅-=+= ，又302a x =>，30b y =>，∴0x >且0y >. ∴P 点的轨迹方程为223312x y +=（0x >且0y >）． 三、利用向量证明几何图形中的位置关系例4 设A 、B 分别为椭圆22143x y +=的左、右顶点，且点P 是右准线上不同点(4,0)的任意一点，若直线AP 、BP 分别与椭圆相交于异于A 、B 的点M 、N .证明：点B 在以MN 为直径的圆内.解 如图3示，要证点B 在以MN 为直径的圆内，只需证2MBN π∠>，即要证0BM BN ⋅<.由题意得(2,0)A -、(2,0)B ，右准线方程为4x =. ∴设点(4,)P t 且0t ≠，11(,)M x y 、22(,)N x y ， 则直线AP 的方程为(2)6t y x =+，PB 直线方程为(2)2t y x =-∵点M 、N 分别在直线AP 、PB 上，∴11(2)6t y x =+，22ty =∴21212(2)(2)12t y y x x =+-， 联立22(2)6143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得到2222(27)44(27)0t x t x t +++-=， ∵2-，1x 是方程的两根，∴2124(27)227t x t --⋅=+，即2122(27)27t x t-=+， ∴11221212(2,)(2,)(2)(2)BM BN x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+21212(2)(2)(2)(2)12t x x x x =--++-2112[2(2)](2)12t x x x =-++-=2225(2)27t x t -+ ∵22(,)N x y 是椭圆上异于A 、B 的点，∴22x <.又0t ≠，∴BM BN ⋅=2225(2)027t x t -<+． ∴点B 在以MN 为直径的圆内.图3。

向量与解析几何交汇例题解析上海市新场中学 周青教学内容：1.会用向量法解决解析几何问题2.会解决与向量有关的解析几何问题教学目标：1．灵活运用平面向量的运算的几何意义及圆锥曲线的定义； 2．掌握平面向量的坐标运算及解析几何的基本解题方法；3．通过运用向量解题，培养学生生善于思考、乐于探究、敢于创新的思想品质。

教学重点：平面向量的运算的几何意义及坐标运算 教学难点：灵活运用平面向量处理解析几何问题。

教学过程：向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。

而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是高考命题改革的发展方向和创新的趋势之一。

有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。

上海二期课改教材注重于虽然利用向量解决解析几何问题，但课本上例题还不是很多，因此学生对于利用向量解决解析几何问题的能力还不高，本节课通过将向量与解析几何相结合处理问题，旨在使学生树立并增强应用向量的意识和能力。

回归课本引例：（高二课本例题）已知椭圆14922=+y x 的焦点为F ,1F 2，椭圆上的点P 的坐标(,)P P x y ，且∠F 1P F 2为钝角，求P x 点P 横坐标的取值范围解：因为点(,)P P P x y 在椭圆上，所以22449P Py x =-焦点12(F F ，1,)P P PF x y =- （，2,)P P PF x y =- 21PF F ∠ 为钝角∴ 12,),)0P P P P PF PF x y x y ⋅-⋅-<=（化简得225PP x y +< 224459P P x x +-< 得259Px <解得：P x <<∴点P 横坐标的取值范围是（553,553-）例题1：已知常数0m > ，向量(0,1),(,0)a b m = =，经过点(,0)A m ，以a b λ+ 为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-为方向向量的直线交于点P ，其中R λ∈．求点P 的轨迹解：∵(,)a b m λλ+=，∴ 直线AP 方程为λ()y x m m=-；……①又4(,4)b a m λλ-=- , ∴ 直线NP 方程为4()y x m mλ=-+；……②由①、②消去λ得 22224()y x m m =--，即 22214x y m +=． 故当2m =时，轨迹E 是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：224x y +=；当2m >时，轨迹是以原点为中心，以(0)为焦点的椭圆：当02m <<时，轨迹是以中心为原点，焦点为(0,的椭圆．例题2(2007年全国高考Ⅱ·理科·12题)．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++= （ ）A ．9B ．6C ．4D ．3例题3：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，[0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） （A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心变式训练1、（2003年天津高考题）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()AB AC OP OA AB ACλ=++，)0λ⎡⎣∈∞，＋，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心变式训练2：已知ABC ∆的三个顶点的坐标是(1,2)A ，(3,1)B --，(9,6)C -，求ABC ∠的平分线的方程。

专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命中的热点问题。

它们具体结合体现在夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将向量语言坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题【例1】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为247-的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若1212()0F F F A F A +⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A ．43y x =±B ．34yx C ．3y x =± D ．33y x =±【来源】陕西省西安市长安区2021届高三下学期二模理科数学试题 【举一反三】1.（2020南宁模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A ． ()1,2B ． 321,4⎛⎤⎥ ⎝⎦ C ． 32,4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ． ()2,+∞ 2.（2020·四川高考模拟（理））已知圆1C ：22(5)1x y ++=，2C ：22(5)225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ） A ．22B ．23C ．4D ．25 3．（2020·江西高考模拟（理））过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为__________．类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点5(2,)3到右准线的距离为52，过点()0,1M 的直线l 与C 交于两点,A B ，且23AM MB =，则l 的斜率为 A ．13B ．13±C ．12±D ．19【来源】江苏省无锡市八校联盟2020-2021学年高三上学期第三次适应性检测数学试题 【举一反三】1．（2020·四川高考模拟）已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，点1,0A ，直线FA 与抛物线C交于点P （P 在第一象限内)，与其准线交于点Q ，若2PQ FP =，则点P 到y 轴距离为（ ）A ．1B ．2C ．1D ．22.（2020南充模拟）已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=（O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 13．（2020·江西高考模拟（理））双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线分别交1l 及2l 于P ，Q 两点，若满足11122OP OF OQ =+，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D 类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程 【例3】已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与该抛物线相交于A ，B 两点，点M 是线段AB 的中点，以AB 为直径的圆与y 轴相交于P ，Q 两点，若2AF FB =，则sin MPQ ∠=（ ） A ．59B ．37C ．917D ．513【来源】山西省太原市2021届高三一模数学（理）试题 【举一反三】1．（2020·武汉市实验学校高考模拟）以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是12,F F ，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点00(,)P x y 00(0,0)x y >>，满足11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-= （ ） A ．2B ．4C ．1D ．1-2.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．类型四 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例4】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,A B ，直线l 过A 点且与x 轴垂直，P 为直线l 上的任意一点，若122AB F F =，则12F PF ∠的取值范围是（ ） A ．[0,]6πB ．[0,]4πC ．[0,]3πD ．7[0,]12π【来源】数学-学科网2021年高三5月大联考（广东卷） 【举一反三】1.（2020锦州一模）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． 52⎫-⎪⎪⎝⎭ B ． 52⎛- ⎝⎭ C ． 51⎛- ⎝⎭ D ． 51⎫-⎪⎪⎝⎭2.已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+ D ． ()2,+∞ 类型五 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆()222:124x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12F F 、，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ⋅=，则PM PN ⋅的值为___________．【举一反三】已知,A B 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点，点A 在第一象限且3AF FB =，以AB 为直径的圆与准线的公共点为C ，则点C 的纵坐标为（ ） A ．1B ．43C ．3D ．233【来源】四川省宜宾市2021届高三二模（理科）试题三．强化训练一、选择题1．已知过点()0,1的直线与圆224x y +=相交于A 、B 两点，若OA OB OP +=，则点P 的轨迹方程是（ ） A ． 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ B ． ()2211x y +-= C ． 22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ． ()2212x y +-=2．（2020烟台市届高三高考一模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ） A ．12B ．C ．24D ．3．（2020·河南高考模拟（理））1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．)3,⎡+∞⎣B ．)2+∞，C ．[)1+∞，D ．(][)11-∞-+∞，，4．（2020·山东高考模拟（理））已知直线l 过抛物线C ：23y x =的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF FP =，则AB =（ ）5.（2020莆田市高三）已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ．6.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω：2224a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐标原点，若12QN OF OM +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ． 32y x =±B ． 3y x =±C ． 62y x =± D ． 6y x =± 7．（2020柳州市高考模拟）已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．8．（2020葫芦岛市高三联考）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A ．B ．C ．D ． 9．（2020重庆市南开中学高三检测）如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（ ）10．（2020·辽宁高考模拟（理））已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M （-a ，0），N （0，b ），点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则21S S =( ) A ．23 B ．4 C ．43 D ．811．（2020·四川石室中学高考模拟）已知动直线l 与圆224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OC OM ⋅的值为（ ） A ．3B ．23C ．2D ．-312.（2020桂林高三质检）已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若125430HP HF HF →++=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【来源】四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第三次联考理科数学试题14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左､右顶点分别为,A B 点,P Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F .如果M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，E 在y 轴的正半轴上，且E A M ,,三点共线，,,P E B 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．5B ．5C ．26D ．6【来源】河南省安阳市2021届高三一模数学（文）试题15．已知点F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线l 与曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为N ，与C 的另一条渐近线的交点为M ，若3MN FN =，则双曲线C 的离心率e 的值为（ ） A ．233B ．62C ．2D ．5【来源】贵州省毕节市2021届高三三模数学（文）试题16．（2020上海市金山区高三）正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n ∈R ，则的最大值是________17．（2020·辽宁高考模拟（理））已知圆22:(2)(1)1C x y -+-=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点，则•PA PB 的取值范围为__________．18．（2020·北京高考模拟（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点O （0，0），M （-4，0），N （4，0），P （0，-2），Q （0，2），H （4，2）．线段OM 上的动点A 满足()()01OA OM λλ=∈，；线段HN 上的动点B 满足HB HN λ=．直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k'，则k•k'的值为______；当λ变化时，动点L 一定在______（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．19．（2020·江苏高考模拟）已知点()0,5Q ，若P R 、分别是22:4O x y +=和直线34y x =上的动点，则QP QR +的最小值为_____.20．（2020·湖南长沙一中高考模拟（理））设F 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点，过F且斜率为ab的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且||2||AF BF =，则双曲线C 的离心率为________.21．（2020·河南高考模拟（理））物线22(0)x py p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=，过弦AB 的中点C 作该抛物线准线的垂线CD ，垂足为D ，则AB CD的最小值为22．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线与双曲线C 的一条渐近线交于B 点，且1BA AF =，若12BF F △是等腰三角形，且12cAF =，则双曲线C 的离心率为___________.【来源】湖南省2021届高三下学期4月联考数学试题23．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，以双曲线E 的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为过双曲线E 的右焦点F 作双曲线E 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线交于点B ，若FA AB =，则双曲线E 的标准方程为___________．【来源】文科数学-学科网2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷）24．已知抛物线24y x =，斜率小于0的直线l 交抛物线于()1,2A 、B 两点，点Q 是线段AB 的中点，过点Q 作与y 轴垂直的直线1l ，交抛物线于点C ，若点P 满足2QC CP =，则直线OP 的斜率的最大值为________．【来源】江西省重点中学盟校2021届高三第二次联考数学（理）试题25．如图，已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，抛物线C 的准线l 与x 轴相交于点A ，点Q （Q 在第一象限）在抛物线C 上，射线FQ 与准线l 相交于点B ，2BQ QF =，直线AQ 与抛物线C 交于另一点P ，则||||||||PQ BP AQ PF +=________．【来源】甘肃省金昌市2021届高三第二次联考理科数学试题。

一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势.平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题 【例1】【河北省石家庄市2019届高三3月检测】已知双曲线的左，右焦点分别是，，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【指点迷津】由向量加法法则结合三角形中位线性质，可得△MF 1F 2是以为F 1F 2斜边的直角三角形．由此设运用勾股定理算出与，得到结论．【举一反三】1.【山东省济南市2019届高三3月模拟】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( )A ．B ．C ．D ．2.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥u u u r u u u r，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A ． ()1,2B ． 321,4⎛ ⎝⎦C ． 324⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ． ()2,+∞ 【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将AP FP ⊥u u u r u u u r系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解， 0∆≥，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键． 类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点(),0F c 作圆222x y a +=的切线，切点为M ．直线FM 交抛物线24y cx =-于点N ，若2OF ON OM +=u u u r u u u r u u u u r（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ． 51+ C ． 5 D ． 15+【指点迷津】本题主要考查利用抛物线及双曲线的定义、双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值．本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值． 【举一反三】1.【江西省上饶市2019届高三二模】设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，满足，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．2.已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r （O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等． 首先得出原点为线段AB 的中点，再求出直线PA ，PB 斜率的表达式， 算出mn 为定值，再由基本不等式求出最小值． 类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程【例3】已知对任意平面向量(),AB x y =u u u r ，把AB u u u r绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+u u u r，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ．设平面内曲线C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转4π后得到点的轨迹是曲线222x y -=，则原来曲线C 的方程是（ ）A ． 1xy =-B ． 1xy =C ． 222y x -= D ． 221y x -=【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点P 的轨迹方程． 【举一反三】【广东省江门市2019届高考一模】直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．类型四 利用向量相等的关系，把几何问题代数化【例4】【福建省莆田市2019届高三下学期检测】已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ．【指点迷津】本题主要结合题意，绘制图形，利用抛物线的性质，建立方程，将几何问题代数化，计算p 值.求解此类问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．【举一反三】已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω：2224a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐标原点，若12QN OF OM +=u u u v u u u v u u u u v，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ． 32y x =±B ． 3y x =C ． 62y x =± D ． 6y x =类型五 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例5】已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+ D ． ()2,+∞【指点迷津】求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b a c =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用．求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查． 【举一反三】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． 52,1⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ B ． 520,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ． 510,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ． 51,1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭类型六 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆()222:124x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12F F 、，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ⋅=，则PM PN ⋅的值为___________．【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答． 【举一反三】【上海市闵行区七宝中学2019届高三3月月考】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立 ，则的最小值是_________.三．强化训练 一、选择题1．已知过点()0,1的直线与圆224x y +=相交于A 、B 两点，若OA OB OP +=u u u v u u u v u u u v，则点P 的轨迹方程是（ ） A ． 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ B ． ()2211x y +-= C ． 22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ． ()2212x y +-=2．【山东省烟台市2019届高三高考一模】已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ）A ．12B ．C ．24D ．3．【贵州省2019年高考适应】已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，若，则的离心率取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．【广西壮族自治区柳州市2019届3月模拟】已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．【山东师范大学附属中学2019届高三四模】已知直线与圆交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有，那么k 的取值范围是 A ．B ．2C ．D ．26．【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A ．B ．C ．D ．7．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月月考】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，交双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．【重庆市南开中学2019届高三第三次检测】如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A．-2 B．1 C．4 D．9．【江西省南昌市2019届高三一模】已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )A．B．C．D．10．【山东省济宁市2019届高三一模】已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为A．2 B．3 C．D．11.【广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研】已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（）A．B．C．D．二、填空题12．【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、n R，则的最大值是________13．【河南省洛阳市2019届高三第二次统考】已知直线与圆：相交于，两点，为圆周上一点，线段的中点在线段上，且，则______．14．【福建省永安市第三中学2019届高三4月测试】已知分别为双曲线的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为N，则的面积为__________.15．【贵州省2019年高考适应】抛物线的焦点为，在上存在，两点满足，且点在轴上方，以为切点作的切线，与该抛物线的准线相交于，则的坐标为__________.16．【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．则_______；若，则点A的横坐标为___．17．【上海市南洋模范中学2019届高三3月月考】以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.。

解析几何与向量的交汇问题（含答案）将解析几何与向量交汇考查是考试命题的热点.解题思路是先通过向量的几何运算或者坐标运算对向量条件进行转化，然后再结合解析几何加以解决.一、利用数量积定义转化1.在平面中，过圆O ：221x y +=外一点P 作圆的两条切线，切点分别是A ，B ，则P A P B ⋅最小值是_____.分析：2||||c o s c o s 2P A P BP A P B A P B P A O P A⋅=∠=∠u ur u ur u ur u ur22222222(1)(12sin )(1)(1)33OP OPA OP OP OP OP =--∠=--=+-≥当且仅当OP =P 在以O .二、利用几何运算转化2.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆(x -1)2+(y -1)2＝4，C 为圆心，点P 为圆上任意一点，则OP CP ⋅uu u r uu r 的最大值为 ___ .分析：连接OC2()OP CP OC CP CP OC CP CP ⋅=+⋅=⋅+uu u r uu r uuu r uu r uu r uuu r uu r uu r又[0,]OCP π∠∈所以4OP CP ⋅≤+u u u r u u r3.已知圆C: 22650x y x +-+=，点,A B 在圆C 上，且AB =则||OA OB +最大值为____. 分析：设弦AB 中点为D ，连接CD ，则1CD == 点D 在以C 为圆心，以1为半径的圆上运动所以||2||2()8OA OB OD OC r +=≤+=u u r u u u r u u u r4.如图，已知圆M: 221214600x y x y +--+=及其上一点(2,4)A .设点(,0)T t 满足：存在圆M上的两点,P Q ，使得TA TP TQ +=u u r u u r u u r ，求实数t 的取值范围.分析：如图，由向量加法的平行四边形法则得 //AT PQ 且AT PQ =又(0,2]PQ r ∈所以 10AT ≤10≤所以22t -≤≤+5.已知点A 是椭圆2214x y +=的右顶点，若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC BA λ=uu u r uu r ，且0OB OC ⋅=uu u r uu u r ，求实数λ的值.分析：因为OC BA λ=uu u r uu r ，且0OB OC ⋅=uu u r uu u r所以 OB OC ⊥且//OC AB所以 OB AB ⊥设OB ：y kx =，AB ：(2)y k x =- 联立得22222(,)11k k B k k -++代入椭圆方程得k =k =从而2(,)33B - ， 直线OC：2y x =联立椭圆方程得C由OC BA λ=uu u r uu r得2(2)3λ=- 所以λ=三、利用坐标运算转化6.已知1(,0)F c -、2(,0)F c 分别是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左右焦点，若椭圆上存在点P 满足212PF PF c ⋅=uuu r uuu r ，则椭圆离心率的取值范围是________.分析：设(,)P x y ，则12(,),(,)PF c x y PF c x y =---=--uuu r uuu r 由212PF PF c ⋅=uuu r uuu r 得2222x y c +=表示以原点为圆心，以c 为半径的圆 又点P 在椭圆上所以 该圆与椭圆有公共点（如图） 所以b a ≤≤从而e ≤≤。

向量在解析几何中的应用1. 设A 、B 是抛物线422+=x y 上两点，O 为坐标原点，且2+=，P 点的 坐标为()1,0，则直线AB 的斜率为 （ ）（A ）21（B ）1 （C ）2 （D ）3 2. 设OM =（1，12），ON =（0，1），则满足条件0≤OP ·OM ≤1，0≤OP ·ON ≤1 的动点P（ ）3. 设F 1、F 2为椭1342=+的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，21PF PF ⋅的值等于 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．44.O 为空间中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足（OA OP -）·（AC AB -）=0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的 （ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心 5.△ABC 中，A 、B 两点的坐标分别为（－4，2）、（3，1），O 为坐标原点。

已知||=//,||,|⋅=⋅λλ，且直线DC 的方向向量为i =（1，2），求顶点C 的坐标。

6.已知)0,3(),0,3(21=-=OF OF （0为坐标原点，动点M 满足12||||10.MF MF += （1）求点M 的轨迹C ；（2）若点P 、Q 是曲线C 上的任意两点，且0=⋅OQ OP ,求222PQ⋅的值。

7.已知：过点A （0，1）且方向向量为),1(k =的直线l 与⊙C:(x －2)2+(y －3)2=1相交于M 、y 2 y 2 yN 两点。

（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM ⋅=定值。

（3）若O 为坐标原点，且OM ·ON ＝12，求k 的值。

8. 已知动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为6。

（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若321=⋅PF ，求21F PF ∆的面积；（3）若已知点D （0，3），M 、N 在C 上且DM λ=，求实数λ的取值范围。

一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命中的热点问题。

它们具体结合体现在夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将向量语言坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题【例1】（2020·湖北高考模拟（理））已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左，右焦点分别为12,F F ，点P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若M 是线段1PF 上一点，且满足122,0MF PM MF OP =⋅=，则椭圆离心率的取值范围为______________. 【答案】1(,1)2【解析】试题分析：由题意得，设(,)P x y ，取1MF 的中点N ，由12MF PM=，则112NF PN =，解得点(,)33x c yN -，又20MF OP ⋅=，所以2MF OP ⊥，由三角形的中位线可知ON OP ⊥，即(,)(,)033x c yx y -⋅=，整理得222()x c y c -+=，所以点P 的轨迹为以(,0)c 为圆心，以c 为半径的圆上，所以使得圆与椭圆有公共点，则12c a c c a -⇒，所以椭圆的离心率为1(,1)2e ∈． 【方法点晴】本题的解答中设出点P 的坐标，取1MF 的中点N ，可转化为ON OP ⊥，代入点的坐标，可得点P 的轨迹方程，只需使得圆与椭圆有交点即可得到,a c 的关系，求解椭圆离心率的取值范围. 【举一反三】1.（2020南宁模拟）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （ ）2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>A 2:8C y ax =F E P AP FP ⊥EA．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，设，由，得，因为在的渐近线上存在点，则，即，又因为为双曲线，则，故选B．【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解，，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键．2.（2020·四川高考模拟（理））已知圆1C：22(5)1x y++=，2C：22(5)225x y-+=，动圆C满足与1C 外切且2C与内切，若M为1C上的动点，且1CM C M⋅=，则CM的最小值为（）A．B．C．4D．【答案】A【解析】∵圆1C：()2251x y++=，圆2C：()225225x y-+=，动圆C满足与1C外切且2C与内切，设圆C的半径为r，由题意得1211516CC CC r r+=++-=（）（），()1,21,4⎛⎝⎦4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭()2,+∞()(),0,2,0A a F a00,bP x xa⎛⎫⎪⎝⎭AP FP⊥2220020320cAP PF x ax aa⋅=⇒-+=E P0∆≥222222299420988ca a a c e ea-⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤E14e<≤AP FP⊥0∆≥∴则C 的轨迹是以（()()505,0，，- 为焦点，长轴长为16的椭圆，∴其方程为221,6439x y += 因为10CM C M ⋅=，即CM 为圆1C 的切线，要CM 的最小，只要1CC 最小，设()00,M x y ，则2211CM CC =-==00106488,64x x =++-≤≤minCM∴=== ，选A.3．（2020·江西高考模拟（理））过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)的左焦点F(−c,0) (c >0)，作倾斜角为π6的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，且OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则双曲线的离心率为__________． 【答案】√3+1【解析】试题分析：因为OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以OE ⊥EF ，由题意∠PFO =π6，故OE =12OF =12c ， ∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗=12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴E 为PF 的中点，令右焦点为F′，则O 为FF′的中点，则PF′=2OE =c ， ∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以OE ⊥EF ，∴PF ⊥PF′，∵PF −PF′=2a ， ∴PF =PF′+2a =2a +c 在Rt △PFF′中，PF 2+PF′2=FF′2， 即(2a +c)2+c 2=4c 2，所以离心率e =√3+1．类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】（2020·江苏省如皋中学高考模拟）已知圆22:1C x y +=，点()00,P x y 是直线l ：3240x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在不同的两点A ，B 使得OA OB OP +=，则0x 的取值范围是_____． 【答案】240,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由在圆C 上总存在不同的两点A ，B 使得OA OB OP +=可知四边形OAPB 是菱形，于是AB 垂直平分OP ．然后分类讨论：当直线AB 的斜率为0时，此时在圆C 上不存在不同的两点,A B 满足条件．当直线AB 的斜率不存在时，可得4(,0)3P ，此时直线AB 方程为为23x =，满足条件．当直线AB 的斜率存在且不为0时，利用AB OP ⊥，OP y k x=，可得直线AB 方程为2000220x x y y y +-=，圆心到直线AB 的距离1d =<，即22004x y +<，再利用003240x y +-=，即可解出所求范围．【详解】∵在圆C 上总存在不同的两点,A B 使得OA OB OP +=， ∴四边形OAPB 是菱形， ∴直线AB 垂直平分OP ．①当直线AB 的斜率为0时，由直线:3240l x y +-=得(0,2)P ，此时在圆C 上不存在不同的两点,A B 满足条件．②当直线AB 的斜率不存在时，由直线:3240l x y +-=可得4(,0)3P ，此时直线AB 的方程为23x =， 满足条件．③当直线AB 的斜率存在且不为0时， ∵AB OP ⊥，0OP y k x =， ∴0AB x k y =-． ∴直线AB 的方程为000022y x x y x y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即2000220x x y y y +-=，由题意得圆心到直线AB 的距离1d =<，即22004x y +<，又003240x y +-=，∴20013240x x -<，解得024013x <<． ∴0x 的取值范围是24(0,)13． 【点睛】解答本题的关键有两个：一个是根据题意得到四边形OAPB 是菱形，于是AB 垂直平分OP ，进而转化为坐标运算处理．二是针对直线AB 的斜率的取值情况进行分类讨论，在每种情况下判断是否满足条件，最后将问题转化为圆心到直线的距离小于半径求解．考查转化和计算能力，具有综合性和难度． 【举一反三】1．（2020·四川高考模拟）已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，点1,0A ，直线FA 与抛物线C交于点P （P 在第一象限内)，与其准线交于点Q ，若2PQ FP =，则点P 到y 轴距离为（ ） A．1 B．2C．1D．2【答案】B 【解析】【分析】过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为1P ．根据三角形相似可得直线FA 的倾斜角为135︒，从而斜率为1-，进而可求得2p =，于是可求得点P 的纵坐标，根据点P 在曲线上可得其横坐标，即为所求．【详解】由题意得抛物线的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，设准线与y 轴交于点1F ．过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为1P ，则11PP FF ∥，∴1||||||||QP QP FP PP ==， ∴145PQP ∠=︒,∴直线FA 的倾斜角为135︒， ∴21012FApp k -==-=--，解得2p =． 又由11PP FF ∥得11||||||||PP QP QF FF ==12||PP =，∴)1||14PP ==-设(),P x y，则14y +=-∴3y =-∴()224341x =-=，又点P 在第一象限，∴)212x ==，即点P 到y轴距离为2．故选B ．2.（2020南充模拟）已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1 【答案】B【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等． 首先得出原点为线段AB 的中点，再求出直线PA ，PB 斜率的表达式， 算出为定值，再由基本不等式求出最小值．3．（2020·江西高考模拟（理））双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线分别交1l 及2l 于P ，Q 两点，若满足11122OP OF OQ =+，则双曲线的离心率为（ ）,,A B P 2214yx -=2PA PB PO +=O ,PA PB ,m n 224nm+mnABC ．2D【答案】C 【解析】【详解】∵22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，∴F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 双曲线的两条渐近线方程为y b a =-x ，y ba=x ， ∵过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P ，Q ． ∵11122OP OF OQ =+， ∴点P 是线段F 1Q 的中点，且PF 1⊥OP ，∴过F 1的直线PQ 的斜率k PQ ab =， ∴过F 1的直线PQ 的方程为：y ab=（x +c ），解方程组()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得P （2a c -，abc ），∴|PF 1|＝|PQ |＝b ，|PO |＝a ，|OF 1|＝|OF 2|＝|OQ |＝c ，|QF 2|＝2a ， ∵tan ∠QOF 2b a =，∴cos ∠QOF 2ac=， 由余弦定理，得cos ∠QOF 2222242c c a c +-==1222a ac c-=， 即e 2﹣e ﹣2＝0，解得e ＝2，或e ＝﹣1（舍）故选C ．类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程【例3】（2020荆州模拟）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点．设平面内曲线上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线，则原来曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】设平面内曲线上的点，则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点，∵点在曲线上，∴，整理得 ．故选A ．【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点的轨迹方程． 【举一反三】1．（2020·武汉市实验学校高考模拟）以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是12,F F ，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点00(,)P x y 00(0,0)x y >>，满足(),AB x y =AB θ()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+B A θP C 4π222x y -=C 1xy =-1xy =222y x -=221y x -=C (),P x y 4π())'22P x y x y ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，'P 222x y -=()()22222x y x y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1xy =-P11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-= （ ） A ．2B ．4C ．1D ．1-【答案】A 【解析】【分析】通过已知条件，写出双曲线方程，结合已知等式及平面几何知识得出点M 是12F PF △ 的内切圆的圆心，利用三角形面积计算公式计算即可． 【详解】作出简图如下∵椭圆22195x y +=，∴其顶点坐标为3030-（，）、（，）， 焦点坐标为（2020-，）、（，）， ∴双曲线方程为22145x y -=，12(3,0),(3,0)F F - 由11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，可得1 M F 在1PF 与21 F F 方向上的投影相等，1111111tan 5MA F A F B MF A MF B MF A F A ∴=∴∠=∠∠==，，，112122tan 55tan 11tan 12125MF A PF A MF A ∠∴∠===-∠-，∴直线1PF 的方程为5312y x （）=+．即：512150x y -+=，把它与双曲线联立可得532P（，） ，2PF x ∴⊥轴，又2tan 1MF O ∠=，所以245MF O ∠=︒，即M 是12F PF △ 的内切圆的圆心，12121114222PMF PMF SSPF PF ∴-=-⨯=⨯=（）．故选A ． 2.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，则C 、A 、B 三点共线．设C （x ，y ），则C 在AB 所在的直线上， ∵A （2，1）、B （4，5）， ∴AB 所在直线方程为 ，整理得：．故P 的轨迹方程为：．故选：A.类型四 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例4】（2020·兰州高考模拟（理））设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，直线l过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足1132FC AF =且1230CF F ∠=，则椭圆的离心率为() A 3B 3C ．13 D ．16【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆中线段关系，表示出1439c AF =，122F F c =，24329cAF a =-．由余弦定理即可求得a 与c 的关系，进而求得离心率．【详解】因为F 1是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，直线l 过F 1交y 轴于C 点所以()1,0F c - ，即1OF c = 因为1230CF F ∠=，所以123cCF =又因为1132FC AF =所以19AF =在三角形AF 1F 2中，19AF =，122F F c =，229AF a =-，根据余弦定理可得 222112212112cos 2AF F F AF AF F AF F F +-∠=，代入得=⎝⎭a = 所以离心率为c e a ==，所以选A 【举一反三】1.（2020锦州一模）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点， 为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】如图所示， 为与的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为， ，，向量的夹角为钝角时， ，又，两边除以得，即，解集x 1212,,,A AB B 2F 12B F 12A B P 12B PB ∠⎫⎪⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭⎛ ⎝⎭⎫⎪⎪⎝⎭12B PB ∠22A B 21F B ,,a b c ()()2221,,,A B a b F B c b =-=--222210,0A B F B ac b ⋅<∴<<22222,0b a c a ac c =-∴-->2a 210e e -->210e e +-<，又，故选C ． 2.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D类型五 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆，圆，椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为___________． 【答案】1122e -<<101,02e e <<∴<<F 22221(0,0)x y a b a b-=>>E F x ,A B ABE ∆e ()1,+∞()1,2(1,1+()2,+∞()222:124x y C a a +=>222:4O x y a +=+C 12F F 、P O l O ,M N 126PF PF ⋅=PM PN ⋅6【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答．【举一反三】1.（2019上海市闵行区七宝中学高三）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立，则的最小值是_________.【答案】【解析】因为是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可设，，，又，，即，它表示的圆心在，半径为的圆， 表示圆上的点到的距离，圆心到点的距离为， 的最大值为， 要使恒成立，即的最小值是，故答案为.三．强化训练 一、选择题1．已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设，，过点的直线为，由得，直线代入得则，即，，所以，故选B 2．（2020烟台市届高三高考一模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ） A ．12 B ．C ．24D ．【答案】C 【解析】设，，∵、分别为双曲线的左、右焦点，∴，.∵，()0,1224x y +=A B OA OB OP +=P 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()2211x y +-=22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()2212x y +-=()P x y ，()()1122A x y B x y ，，()0,11y kx =+OA OB OP +=()()1212x y x x y y =++，，1y kx =+224x y +=()221230k x kx ++-=12221k x x k +=-+12221y y k+=+221k x k =-+221y k=+()2211x y +-=∴，∴，∴， 即，∴， 解得，，设，则，在中可得，解得，∴，∴的面积.故选：C ．3．（2020·河南高考模拟（理））1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．)3,⎡+∞⎣ B ．)2+∞，C ．[)1+∞，D ．(][)11-∞-+∞，，【答案】B 【解析】【分析】由题，1212,,PF m PF n F PF θ==∠=，先由双曲线的定义2m n a -=，再利用余弦定理2224cos 2m n c mnθ+-=，由题意212PF PF a ⋅=-可得222242m n c a +=-，最后再用 ,m a c n c a ≥+≥-可得c 、a 的不等关系，可得离心率.【详解】由题，取点P 为右支上的点，设1212,,PF m PF n F PF θ==∠= 根据双曲线的定义知：2m n a -=在三角形1F PF 中，由余弦定理可得：2224cos 2m n c mnθ+-=又因为 212PF PF a ⋅=-可得2cos mn a θ=- 即222242m n c a +=- 又因为,m a c n c a ≥+≥-所以222222()()422c a c a c a c a ++-≤-⇒≥即22e e ≥∴≥4．（2020·山东高考模拟（理））已知直线l 过抛物线C ：23y x =的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF FP =，则AB =（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B 【解析】【分析】先求出抛物线的焦点及准线，由向量关系可得F 是AP 的中点，再利用三角形中位线求出点A 到准线的距离，从而求出A 的坐标，进而确定直线AF 的方程，再联立直线与抛物线方程求出两交点横坐标之和，代入焦点弦12||AB x x p =++求值.【详解】如下图所示：不妨设A 在第一象限，由抛物线C ：23y x =可得3(,0)4F ，准线3:4DP x =-因为AF FP =，所以F 是AP 的中点 则23AD CF ==.所以可得9(,42A则AF k AP的方程为：3)4y x =-联立方程23)43y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩整理得：2590216x x -+=所以1252x x +=，则1253||422AB x x p =++=+=.选B.5.（2020莆田市高三）已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】结合题意，绘制图形，可知，结合，可知，所以设，所以，解得，故设F 的坐标为，则A 的坐标为，代入抛物线方程，得到，解得，故选B. 抛物线方程，得到，解得，故选B.6.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作圆：的切线，切点为，且直线与双曲线的一个交点满足，设为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）C 22221x y a b -=0a >0b >1F 2F 1F Ω2224a x y +=l M l C N 122NF NF a -=O 12QN OF OM +=CA ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】，故，即，故点为线段的中点，连接，则为的中位线，且，故，且，故点在双曲线的右支上，，则在中，由勾股定理可得， ，即，解得，故，故双曲线的渐近线方程为，故选C ． 7．（2020柳州市高考模拟）已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵是的边上的中线，∴．∵，∴，当且仅当三点共线时等号成立． 又，，∴， ∴， 又，∴．故离心率的取值范围为．故选C ．8．（2020葫芦岛市高三联考）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A ．B ．C ．D ．32y x =±3y x =62y x =±6y x =12ON PF OM +=1ON OM OM PF -=-1MN FM =M 1F N OM OM 12NF F ∆1,2aOM OM F N =⊥22NF OM a ==2112,2F N F N NF NF a ⊥-=N C 13NF a ∴=12Rt NF F ∆2221212NF NF F F +=()()22232a a c +=22101c b a a==+6b a =C 62y x =±【答案】C 【解析】 因为，所以，．因为，所以是线段的中点．又直线过双曲线的右顶点且平行于双曲线的一条渐近线，，所以，化简可得，所以，所以，结合解得．本题选择C 选项.9．（2020重庆市南开中学高三检测）如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（ ）A ．-2B ．1C ．4D ．【答案】B 【解析】 由题可设A ，其中a>0,d ＜0.又焦点F(1,0)， 所以|FD|=1+， 所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B10．（2020·辽宁高考模拟（理））已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M （-a ，0），N （0，b ），点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则21S S =( ) A ．B ．4C ．D ．8 【答案】B 【解析】【分析】根据离心率求得ba的值，由此求得线段MN 所在直线方程，设出P 点的坐标，代入12PF PF ⋅，利用二次函数求最值的方法求得12PF PF ⋅取得最小值和最大值时对应的P 点的纵坐标，根据面积公式求得面积的比值.【详解】由于双曲线的离心率为12c b a ⎛=+=，故b a = 所以直线MN的方程为)y x a =+，设()[](),0P t t a ∈-，焦点坐标为()()12,0,,0F c F c -，将12,,P F F 坐标代入12PF PF ⋅并化简得22313444t a a⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由于[],0t a ∈-，故当34t a =-时取得最小值，此时344P y a a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭；当0t =时取得最大值，此时P y =.故214S S ==.所以选B. 11．（2020·四川石室中学高考模拟）已知动直线l 与圆224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OC OM ⋅的值为（ ） A ．3 B ．3C ．2D ．-3【答案】A【解析】动直线l 与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，则OAB 为等边三角形，于是可设动直线l 为32y x =+，根据题意可得()2,0B -，()1,3A -，∵M 是线段AB 的中点， ∴33,2M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),C x y ， ∵52CB CA =，∴()()52,1,32x y x y ---=---， ∴()()5212532x x y y ⎧--=--⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得13533x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴153,3C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴1533315,,33222OC OM ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．12.（2020桂林高三质检）已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 设直线，与椭圆方程联立可得，，设，则，，代入得,，于是，,故选C.二、填空题13．（2020上海市金山区高三）正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、n R，则的最大值是________【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1），P（，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E（﹣3，﹣2）与点P（sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y+2k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：114．（2020·辽宁高考模拟（理））已知圆22:(2)(1)1C x y -+-=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点，则•PA PB 的取值范围为__________． 【答案】12[,)5+∞ 【解析】PA?PB =PA PB cos θ=22222222(1)(12sin)(1)(1)32PC PC PC PC PC θ--=--=+-因为圆心到直线的距离d =所以PC ≥，25PC ≥，2223PC PC +-125≥，当25PC =时取最小值。

第六章向量代数与空间解析几何习题 6-11、在平行四边形ABCD中, 设=a, =b. 试用a和b表示向量、、、, 其中M是平行四边形对角线的交点.解：由于平行四边形的对角线互相平分, 所以a+b, 即 -(a+b), 于是 (a+b).因为, 所以(a+b). 又因-a+b, 所以(b-a).由于, 所以(a-b).2、若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形.证： ,，与平行且相等, 结论得证.3、求起点为，终点为的向量与的坐标表达式.解：==, =4、求平行于={1，1，1}的单位向量.解：与平行的单位向量为.5、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？解： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ.6、求点与轴，平面及原点的对称点坐标.解：关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点的对称点为.7、已知点A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）.解：分别为.8、过点分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？解：平行于z轴的直线上面的点的坐标：；平行于xOy面的平面上的点的坐标为 .9、求点P(2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离.解：到原点的距离为，到x轴的距离为，到y轴的距离为,到z轴的距离为.10、求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：,，即，因此结论成立.11、在yoz坐标面上，求与三个点A(3, 1, 2), B(4, -2, -2), C(0, 5, 1)等距离的点的坐标.解：设yoz坐标面所求点为，依题意有，从而，联立解得，故所求点的坐标为.12、 z轴上，求与点A(-4, 1, 7), 点B(3, 5,-2)等距离的点.解：设所求z轴上的点为，依题意：，两边平方得，故所求点为.13、求使向量与向量平行.解：由得得.14、求与轴反向，模为10的向量的坐标表达式.解： ==.15、求与向量={1，5，6}平行，模为10的向量的坐标表达式.解：,故 .16、已知向量，，试求：（1）；（2）．解：（1） ;（2）.17、已知两点和，求向量的模、方向余弦和方向角．解：因为, 所以,,从而,,.18、设向量的方向角为、、．若已知其中的两个角为，．求第三个角．解： ,,由得.故或.19、已知三点，，，求：（1）与及其模；（2）的方向余弦、方向角；（3）与同向的单位向量.解：（1）由题意知故 .（2）因为所以，由向量的方向余弦的坐标表示式得：，方向角为：.（3）与同向的单位向量为：.20、设在x轴上的投影和在y轴上的分向量.解：.故向量在x 轴上的投影，在y轴上的投影分量为.21、一向量的终点为点B(-2,1,-4),它在x轴，y轴和z轴上的投影依次为3，-3和8，求这向量起点A的坐标.解：设点A为（x, y, z）,依题意有：，故，即所求的点A（-5， 4，-12）.22、已知向量的两个方向余弦为cos= ,cos=, 且与z轴的方向角是钝角.求cos.解：因，又是钝角，所以.23、设三力作用于同一质点，求合力的大小和方向角.解：合力，因此，合力的大小为合力的方向余弦为因此习题 6-21、，，，求，，，及，，，.解：依题意，，，，故，，.，，，.2、，求及 .与的夹角余弦.解：（1）, ..3、已知，求解：，∴ .4、证明下列问题：1）证明向量与向量垂直.2）证明向量与向量垂直.证：1）,，即与垂直.2） .5、求点的向径与坐标轴之间的夹角.解：设与、、轴之间的夹角分别为，则,, . , , .6、求与平行且满足的向量.解：因, 故可设，再由得，即，从而.7、求与向量，都垂直的单位向量.解：，8、在顶点为、和的三角形中，求三角形的面积以及边上的高.解：,三角形的面积为9、已知向量，，证明.解10、证明：如果，那么，并说明它的几何意义.证：由, 有, 但，于是,所以.同理由, 有 ,从而 .其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.11、已知向量和，计算下列各式：（1）（2）（3）（4）解：（1）.(2) ，故.（3）.（4）由（3）知.习题 6-31、已知，，求线段的垂直平分面的方程.解：设是所求平面上任一点，据题意有化简得所求方程.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则亦即从而所求的轨迹方程为.3、求下列各球面的方程：（1）圆心，半径为；（2）圆心在原点，且经过点；（3）一条直径的两端点是；（4）通过原点与解：（1）所求的球面方程为：（2）由已知，半径，所以球面方程为（3）由已知，球面的球心坐标，球的半径，所以球面方程为：（4）设所求的球面方程为：因该球面经过点，所以解之得所求的球面方程为.4、将坐标面上的抛物线绕旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解：(旋转抛物面) .5、将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解：绕轴旋转得绕轴旋转得.6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；（3）在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）；（2）（3）；（4）解：（1）平面上椭圆绕轴旋转而成；或者平面上椭圆绕轴旋转而成（2）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者平面上的双曲线绕轴旋转而成（3）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者平面上的双曲线绕轴旋转而成（4）平面上的直线绕轴旋转而成或者平面上的直线绕轴旋转而成.9、画出下列各曲面所围立体的图形：（1）与三个坐标平面所围成；（2）及三坐标平面所围成；（3）及在第一卦限所围成；（4）所围.解：（1）平面与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；（2）抛物柱面与平面及三坐标平面所围成；（3）坐标面、及平面、和圆柱面在第一卦限所围成；（4）开口向上的旋转抛物面与开口向下的抛物面所围.作图略.习题 6-41、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）；（2）；（3）解：（1）是平面与相交所得的一条直线；（2）上半球面与平面的交线为圆弧；（3）圆柱面与的交线.图形略.2、分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程.解：消去坐标得，为母线平行于轴的柱面；消去坐标得：，为母线平行于轴的柱面.3、求在平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：；； .4、试求平面与椭球面相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程化简为：，可知其为平面上的椭圆，半轴分别为，顶点分别为.5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程（1）；（2）解：（1）原曲线方程即：，化为；（2）.6、求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：；；.7、指出下列方程所表示的曲线（1）（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）圆；（2）椭圆；（3）双曲线；（4）抛物线；（5）双曲线.8、求曲线在面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即：，是位于平面上的抛物线，在面上的投影曲线为9、求曲线在坐标面上的投影.解：（1）消去变量后得在面上的投影为它是中心在原点，半径为的圆周.（2）因为曲线在平面上，所以在面上的投影为线段.（3）同理在面上的投影也为线段.10、求抛物面与平面的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解：交线方程为，（1）消去得投影（2）消去得投影，（3）消去得投影.习题 6-51、写出过点且以为法向量的平面方程.解：平面的点法式方程为.2、求过三点的平面方程.解：设所求平面方程为,将的坐标代入方程，可得，故所求平面方程为.3、求过点且与平面平行的平面方程.解：依题意可取所求平面的法向量为,从而其方程为即 .4、求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解：平面通过x轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x轴, ??即A=0; 另一方面表明?它必通过原点, 即D=0. 因此可设这平面的方程为By+Cz=0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有-3B-C=0, 或C=-3B . 将其代入所设方程并除以B (B?0), 便得所求的平面方程为y-3z=0.5、求过点，且垂直于平面和的平面方程.解：取法向量所求平面方程为化简得:6、6 设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程.解：设所求解设平面为由平面过点知平由平面过原点知，，所求平面方程为7、写出下列平面方程：（1）平面；（2）过轴的平面；（3）平行于的平面；（4）在，，轴上的截距相等的平面.解：（1）,（2）（为不等于零的常数）,（3） (为常数), （4） .8、求平行于而与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程.解: 设平面为由所求平面与已知平面平行得化简得令代入体积式或所求平面方程为或.9、分别在下列条件下确定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使与表示二平行平面；（3）使与表示二互相垂直的平面.解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：即：，解之得，，.（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：，所以，.（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：所以： .10 、求平面与的夹角；解：设与的夹角为，则 .11、求点到平面的距离.解：利用点到平面的距离公式可得.习题 6-61、求下列各直线的方程：（1）通过点和点的直线；（2）过点且与直线平行的直线.（3）通过点且与三轴分别成的直线；（4）一直线过点，且和轴垂直相交，求其方程.（5）通过点且与两直线和垂直的直线；（6）通过点且与平面垂直的直线.解：（1）所求的直线方程为：即：，亦即.（2）依题意，可取的方向向量为，则直线的方程为.（3）所求直线的方向向量为：，故直线方程为：.（4）因为直线和轴垂直相交, 所以交点为取所求直线方程（5）所求直线的方向向量为：，所以，直线方程为：.（6）所求直线的方向向量为：，所以直线方程为： .2、求直线的点向式方程与参数方程.解在直线上任取一点,取解.所求点的坐标为,取直线的方向向量,所以直线的点向式方程为：令则所求参数方程:3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）与；（2）与.解：（1）将所给的直线方程化为标准式为：二直线平行.又点与点（7，2，0）在二直线上，向量平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：，从而平面方程为：，即 .（2）因为，所以两直线不平行，又因为，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为，二直线所决定的平面的方程为：.设两直线的夹角为，则.4、判别下列直线与平面的相关位置：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与.解（1），而，所以，直线与平面平行.（2）,所以，直线与平面相交，且因为，直线与平面垂直.（3）直线的方向向量为：，，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点，显然点在也在平面上（因为），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为，直线与平面相交但不垂直.5、验证直线：与平面：相交，并求出它的交点和交角.解：直线与平面相交.又直线的参数方程为：设交点处对应的参数为，，从而交点为（1，0，-1）.又设直线与平面的交角为，则：，.6、确定的值，使：（1）直线与平面平行；（2）直线与平面垂直.解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：即.（2）欲使所给直线与平面垂直，则须：，所以：.7、求下列各平面的方程：（１）通过点，且又通过直线的平面；（２）通过直线且与直线平行的平面；（３）通过直线且与平面垂直的平面；（4）. 求过点与直线垂直的平面方程.解：（１）因为所求的平面过点和，且它平行于向量，所以要求的平面方程为：, 即. （２）已知直线的方向向量为，平面方程为：,即（３）所求平面的法向量为，平面的方程为：，即.（4）.所求平面的法向量为，则平面的方程为：, 即 .8、求点在平面上的投影.解：过点作已知平面的垂线，垂线的方向向量就是已知平面的法向量，所以垂线方程为，此垂线与已知平面的交点即为所求投影.为了求投影，将垂线方程化为参数方程，代入平面方程求得，故投影为.9、求点到直线的距离.解：直线的标准方程为：所以p到直线的距离.10、设是直线外一点，是直线上一点，且直线的方向向量为，试证：点到直线的距离为.证：设与的夹角为，一方面由于；另一方面，，所以.11、求通过平面和的交线且满足下列条件之一的平面：（1）通过原点；（2）与轴平行；（3）与平面垂直.解：（1）设所求的平面为：欲使平面通过原点，则须：，即，故所求的平面方程为即：.（2）同（1）中所设，可求出.故所求的平面方程为即：.（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面垂直，则须：从而，所以所求平面方程为.12、求直线在平面上的投影直线的方程．解：应用平面束的方法．设过直线的平面束方程为即这平面与已知平面垂直的条件是,解之得代入平面束方程中得投影平面方程为，所以投影直线为.13、请用异于本章第五节例7的方法来推导点到平面的距离公式.证：设是平面：外的一点，下面我们来求点到平面的距离.过作平面的垂线：，设与平面的交点为，则与之间的距离即为所求.因为点在上，所以，而在平面上，则，故.习题 6-7飞机的速度：假设空气以每小时32公里的速度沿平行轴正向的方向流动，一架飞机在平面沿与轴正向成的方向飞行，若飞机相对于空气的速度是每小时840公里，问飞机相对于地面的速度是多少？解：如下图所示，设为飞机相对于空气的速度，为空气的流动速度，那么就是飞机相对于地面的速度.所以, 千米／小时.复习题A一、判断正误:1、若且，则； ( )解析 ==0时，不能判定或．例如，，，有，但．2、若且，则； ( )解析此结论不一定成立．例如，，，则，，，但．3 、若，则或； ( )解析两个相互垂直的非零向量点积也为零．4、． ( √ )解析这是叉积运算规律中的反交换律．二、选择题:1 、当与满足（ D ）时，有；； (为常数)；∥；．解析只有当与方向相同时，才有．(A)中，夹角不为0，(B)，(C)中，方向可以相同，也可以相反．2、下列平面方程中，方程( C )过轴；(A) ； (B) ； (C) ； (D) ．解析平面方程若过轴，则，故选C．3 、在空间直角坐标系中，方程所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面．解析对于曲面，垂直于轴的平面截曲面是椭圆，垂直于轴或轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．4、空间曲线在面上的投影方程为( C )；(A)； (B)； (C) ；(D)解析曲线与平面平行，在面上的投影方程为．5 、直线与平面的位置关系是( B )．(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为； (D) 夹角为．解析直线的方向向量={2，1，-1}，平面的法向量={1，-1，1}，=2-1-1=0，所以，⊥，直线与平面平行．三、填空题:1、若，，则， 0 ；解 ==，==0．2、与平面垂直的单位向量为；解平面的法向量 ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为==，所以，与平面垂直的单位向量为．3、过点和且平行于轴的平面方程为；解已知平面平行于轴，则平面方程可设为，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有得，即．4、过原点且垂直于平面的直线为；解直线与平面垂直，则与平面的法向量 ={0，2，-1}平行，取直线方向向量=={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为．5、曲线在平面上的投影曲线方程为解: 投影柱面为，故为空间曲线在平面上的投影曲线方程．四、解答题:1、已知，，计算(a) ； (b) ； (c) ；解: (a) =.(b) ，，所以．(c) ，所以．2、已知向量的始点为，终点为，试求：(1)向量的坐标表示； (2)向量的模；(3)向量的方向余弦； (4)与向量方向一致的单位向量．解: (1) ；(2)；(3) 在三个坐标轴上的方向余弦分别为；(4)．3、设向量，，求与和都垂直的单位向量.解：令，，故与、都垂直的单位向量为.4、向量垂直于向量和，且与的数量积为，求向量解：垂直于与，故平行于，存在数使因，故， .5、求满足下列条件的平面方程：(1)过三点，和；(2)过轴且与平面的夹角为．解 (1)解1：用三点式．所求平面的方程为，即．解2：用点法式．，，由题设知，所求平面的法向量为，又因为平面过点，所以所求平面方程为，即．解3：用下面的方法求出所求平面的法向量，再根据点法式公式写出平面方程也可．因为，所以解得，于是所求平面方程为，即．（2）因所求平面过轴，故该平面的法向量垂直于轴，在轴上的投影，又平面过原点，所以可设它的方程为，由题设可知（因为时，所求平面方程为又，即．这样它与已知平面所夹锐角的余弦为，所以），令，则有，由题设得，解得或，于是所求平面方程为或．6、一平面过直线且与平面垂直，求该平面方程；解法1：直线在平面上，令=0，得，=4，则（0，-，4）为平面上的点．设所求平面的法向量为=，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 ={1，5，1}，={1，0，-1}，则直线的方向向量==={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即={-5，2，-5}?==0，因为所求平面与平面垂直，则==0，解方程组所求平面方程为，即．解法2：用平面束（略）7、求既与两平面和的交线平行，又过点的直线方程.解法1：，，，从而根据点向式方程，所求直线方程为，即.解法2：设，因为，所以；又，则，可解，从而．根据点向式方程，所求直线方程为，即.解法3：设平面过点，且平行于平面，则为的法向量，从而的方程为，即．同理，过已知点且平行于平面的平面的方程为．故所求直线的方程为．8、一直线通过点，且垂直于直线，又和直线相交，求该直线方程；解：设所求直线的方向向量为，因垂直于，所以；又因为直线过点，则所求直线方程为，联立由①，令，则有代入方程②有可得，代入③解得，因此，所求直线方程为．9、指出下列方程表示的图形名称：(a) ；(b) ；(c) ；(d) ；(e) ； (f) ．解： (a) 绕轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕轴旋转的锥面．(d) 母线平行于轴的两垂直平面：，． (e) 母线平行于轴的双曲柱面．(f) 旋转抛物面被平行于面的平面所截得到的圆，半径为，圆心在（0，0，2）处．10、求曲面与所围立体在平面上的投影并作其图形．解：将所给曲面方程联立消去，就得到两曲面交线的投影柱面的方程，所以柱面与平面的交线所围成的区域即为曲面与所围立体在平面上的投影(图略)．复习题B1、设，，，求以和为邻边的平行四边形的面积.解：.2、设，，求.解：由已知可得：，即，．这可看成是含三个变量、及的方程组，可将、都用表示，即，从而，.3、求与共线，且的向量．解由于与共线，所以可设，由，得，即，所以，从而．4、已知，求，使且．解法1: 待定系数法．设，则由题设知及，所以有由①得④，由②得⑤，将④和⑤代入③得，解得，于是或．解法2: 利用向量的垂直平行条件，因为，所以∥．设是不为零的常数，则，因为，所以，解得，所以或．解法3: 先求出与向量方向一致的单位向量，然后乘以．，，故与方向一致的单位向量为．于是，即或．5、求曲线的参数式方程.解：曲线参数式方程是把曲线上任一点的坐标都用同一变量即参数表示出来，故可令，则．6、求曲线在面上及在面上的投影曲线的方程．解：求在面上的投影的方程，即由的两个方程将消去，即得关于面的投影柱面的方程则在面上的投影曲线的方程为．同理求在面上的投影的方程，即由的两个方程消去，得关于面的投影柱面的方程，则在面上的投影曲线方程为．7、已知平面过点和直线，求平面的方程．解法1：设平面的法向量为，直线的方向向量，由题意可知，是直线上的一点,则在上，所以,故可取．则所求平面的点法式方程为，即为所求平面方程．解法2：设平面的一般方程为，由题意可知，过点，故有, （1）在直线上任取两点，将其代入平面方程，得, （2）, （3）由式（1）、（2）、（3）解得,故平面的方程为.解法3：设为上任一点．由题意知向量、和共面，其中为直线上的点，为直线的方向向量．因此，故平面的方程为，即为所求平面方程．8、求一过原点的平面，使它与平面成角，且垂直于平面．解：由题意可设的方程为，其法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，由题意得，即（1）由，得，将代入（1）式得,解得或，则所求平面的方程为或．9、求过直线：且平行于直线：的平面的方程．解法1：直线的方向向量为，直线的对称式方程为，方向向量为，依题意所求平面的法向量且，故可取，则，又因为过原点，且在平面上，从而也过原点，故所求平面的方程为．解法2：设所求平面为，即，其法向量为，由题意知，故，得，则所求平面的方程为．另外，容易验证不是所求的平面方程．10、求过直线：且与球面相切的平面方程解：设所求平面为，即，由题意：球心到它的距离为1，即解得：或所求平面为：或11、求直线：在平面：上投影直线的方程，并求直线绕轴旋转一周而成的曲面方程.解：将直线：化为一般方程，设过直线且与平面垂直的平面方程为，则有，即，平面方程为，这样直线的方程把此方程化为：，因此直线绕轴旋转一周而成的曲面方程为：即 .12、求过点且平行于平面：，又与直线相交的直线L的方程．解法1：用点向式方程.因为直线L平行于平面，故直线的方向向量垂直于平面的法向量，从而得①，又直线的方向向量为，是直线上一点，是直线上一点，根据题设：直线与直线相交，所以及共面，因此，即②，将①和②联立解得，由此得，于是所求直线方程为．解法2：用一般式，即先求出过的两个平面，将其方程联立便得的方程．直线在过点且平行于平面的平面上，平面的方程为，即，直线又在过点及直线的平面上，平面的法向量可取为，故平面的方程为，即，于是所求直线方程为13、求直线：与直线：的公垂线的方程解：的方向向量而的方向向量于是公垂线的方向向量，过与的平面的法向量.也可取法向量，以代入方程，可得上的点，于是平面方程，即再求与的交点，的参数方程为，，，代入上述平面方程，得：，，再代回的参数方程得，，，于是，兼顾公垂线的方向向量，于是可产生公垂线的方程为.14、求点到直线：的距离.解法1：直线的方向向量为，在上任取一点，则，，故，又，解法2：将直线的方程由一般式化为标准式得，故过点与直线垂直的平面的方程为，即，直线的参数式方程为：，，，将上式代入平面的方程，得：，解得：，所以直线的交点为2，于是点到直线的距离为.15.求两直线：与：之间的最短距离解法1：过作平面，过的平面方程为，即，要此平面平行于，则此法向量须垂直于，即，而，则，解得：，从而平面的方程为，容易得到直线上一点，点到平面的距离为即为与之间的距离.解法2：容易得到直线上的一点，直线上的一点，于是，可求得直线与直线的方向向量分别为，，两直线公垂线的方向向量为，直线与之间的距离为.第六章向量代数与空间解析几何习题详解1。

注2007年广东高考理科卷第7题也可采用类似的方法．以上解法采用了课本定义，其中A向B移交了x台则B向A移交了x台，而最后求“A向B 移交的设备总台数”为|x|．同时①式是由若干个含有绝对值符号组成的函数，求最小值类似于例题1中采用“零点分区”与“数形结合”法相结合的解法．通过思考绝对值|x|的定义与本题的情境进行对比，就会提高对其本质属性认识的深刻程度．这个过程是人对自已认知活动的自我意识和自我调节，其结果是既充实又优化了原有的认知结构．4元认知在解题结束后的监控对解题活动的结果进行反思：探讨解法，挖掘规律，引申结论．4.1解题反思能否一眼看穿原来的解法？利用不同的知识，通过不同途径求得问题的解？是否有更一般的方法？更特殊的方法？方法之间有什么联系？4.2规律挖掘能否导出一些有用的东西？偶然中是否隐含着某种必然？4.3结论引申能否将这个问题的结论变形、推广？能否改变一下条件？能否改变一下结论？例3解方程与方程组(1)解方程|23||1||32|x x x++=+．分析本题采用零点分区法就可获得圆满解决．零点分区法虽然是一般性解法(通法)，但此解法没有发现题目的特殊性．我们对原有的认知活动进行反思，发现对题目的认识是不深入的，因为解题时把题中出现的式子(23),(1),(32)x x x++仅仅看成一般性的三个式子，没有注意它们之间的特殊关系．设23,1,32A xB xC x=+==+则“A B C+=”是一个十分鲜明而强烈的信号，直接使用绝对值的有关性质||||||A B A B+≥+当且仅当A B C×≥时取“=”，问题就得到解决．当我们对题目的本质结构认识深入的时候，解题思路就更宽广了．(2)方程组|2|2|1||2||1|y x xy x x=++=+(3)方程组|4||2|52|1||4|5x yx y++=++=分析方程组(2)中①②式都含“|2|x”项，可采用加减消元法处理．方程组(3)就没有这样的特征，只有采用通法即零点分区法(分为4,2y y≥<<4,y2≤三种情况处理；同理也可分1,4x x≥< 1,<x4≤三种情况处理)．数学解题不仅仅是对题目材料的识别、理解和加工的认识过程，而且还是一个对该过程进行积极参与的监控、调节的再认识过程．我们坚信，在数学的内容与内容之间、内容与形式之间、形式与形式之间，存在着本质上的和谐与统一．在数学学习中，通过反思来沟通各知识点之间的联系，形成知识链，建立知识网络，是一个自觉开发元认知的过程，是一个积极优化认知结构的过程．参考文献[1]涂荣豹．数学教学认识论．南京：南京师范大学出版社，2004．从高考试题看平面向量与解析几何的交汇福建省福州第四中学杜谦(350002)解析几何运用代数的方法解决几何问题，具有数形结合与转换的特征．向量具有代数与几何的双重身份，既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁．平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角，平行，垂直，共线，轨迹等问题的处理，解决此类问题的基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用几何意义解决有关问题．主要包括以下三类题型，本文通过各类典型例子的分析，①②①②寻找其求解规律，希望有助于了解高考题型变化和发展趋势．1运用向量共线充要条件处理解析几何中有关平行，共线问题若1122(,),(,)a x y b x y ==，则a 与b 共经121221120x x x y x y y y λλ===．运用以上向量共线的充要条件处理解析几何中有关平行，共线问题，可使解题思路清晰，易于操作，比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简洁得多．例1(2006山东21)双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线3y x =为C 的一条渐近线．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P(0，4)的直线l ，交双曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于Q 点(Q 点与C 的顶点不重合)．当PQ =1QA λ2QB λ=，且128/3λλ+=时，求Q 点的坐标．(1)双曲线C 的方程为22/31x y =(过程略)．(2)解法一由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零．设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y 则(4/,0)Q k 1PQ QA λ=∵，111(4/,4)(4/,)k x k y λ∴=+，11111111444/()4/()4/4x k k x k k y y λλλλ==+∴==．①∵11)(,A x y 在双曲线C 上，∴2121116116()10k λλλ+=∴22221116321616/30.k k λλλ++=∴22211(16)321616/30.k k λλ++=同理有：22222(16)321616/30.k k λλ++=若2160,k =则直线l 过顶点，不合题意．2160,k ∴≠12,λλ∴是二次方程222(16)321616/30.k x x k ++=的两根．32863λλ∴+==，24k ∴=，此时0,2k >∴=±．∴所求Q 的坐标为(2,0)±．解法二1PQ QA λ=∵，Q ∴分PA 的比为1λ．由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401xx k k y y λλλλλλλ==+++==+．①以下同解法一说明解法一把向量共线的条件坐标化得到①比解法二用线段定比分点的方法得到①直接，快捷．解法三设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则(4/,0)Q k ．12PQ QA QB λλ==∵，111222444(,4)(,)(,)x y x y k k kλλ∴=+=+．11224y y λλ∴==，114/y λ∴=，224/y λ=，又1283λλ+=，121123y y ∴+=，即12123()2y y y y +=．将4y kx =+代入2213y x =，得222(3)244830k y y k +=．230k ≠∵，否则l 与渐近线平行．212122224483,33k y y y y k k ∴+==．222244833233k k k ∴×=×2k ∴=±(2,0)Q ∴±解法四1PQ QA λ=∵，111(4/,4)(4/,)k x k y λ∴=+．∴1114/44/4k x k kx λ==++．同理：1244kx λ=+．1212448443kx kx λλ+==++．即2121225()80k x x k x x +++=．以下步骤类似解法三．评注上述四种解法的共同点都是把两个向量共线的条件坐标化类似试题还有2007年宁夏19题，2007年福建20等等．运用向量的数量积处理解析几何中有关长度，角xOP y A BQ1221k 2度，垂直等问题(1)若1122(,),(,)a x y b x y ==则1212ab x x y y =+(2)cos(,)ab a b a b =(3)000090A B <∠<cos 00A B OA OB ∠>>运用以上向量数量积公式处理解析几何中有关长度，角度，垂直等问题，可以把有关几何关系迅速转化为数量关系，从而计算出所要求的结果．例2(2006湖北20)设,A B 分别为椭圆2222x y a b +=1(,0)a b >的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线．(I)求椭圆的方程；(II)设P 为右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN 为直径的圆内．解(I)依题意得a ＝2c ，2a c＝4，解得a ＝2，c ＝1，从而b ＝3故椭圆的方程为22143x y +=．(II)由(I)得A (－2，0)，B(2，0)．设00(,)M x y ．∵M 点在椭圆上，∴y 0＝34(4－x 02)．①又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2，由P 、A 、M 三点共线可以得P(4，0062y x +)．从而BM ＝(x 0－2，y 0)，BP ＝(2，0062y x +)．∴BM BP ＝2x 0－4＋20062y x +＝022x +(x 02－4＋3y 02)．②将①代入②，化简得BM BP ＝5(2－x 0)/2．∵2－x 0>0，∴BM BP >0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角，故点B 在以MN 为直径的圆内．评注证明点在圆内除了运用解析几何的有关方法，也可借助向量的知识来处理，通过证明点对直径所张的角为钝角来解决问题，此法较简捷．类似试题还有2007全国(2)20，2007四川20，2007江西21等等．3运用平面向量的综合知识，探求动点的轨迹方程与探究曲线的性质解析几何中，探求动点的轨迹常用定义法、代入法、参数法等等．把探求轨迹的问题与向量联系起来，能使问题立意更新，情景更好，内容更丰富．且应用向量的数量积，和差的坐标形式等知识，进行适当的转化，能减少运算量，使问题解刃而解．例3(2002年全国新课程卷)平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3),若点C 满足OC a OA bOB =+，其中α，βR ∈且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为()．A ．32110x y +=；B ．(x －1)2＋(y －2)2=5；C ．2x －y=0；D ．x ＋2y －5=0．解法一设(,)C x y ，则(,)(3,)(,3)(3,3),x y ααββαβαβ=+=+∴3,3.x y αβαβ==+又1αβ+=．∴41,2 3.x y αα==+消去参数α,得点C 的轨迹方程为250x y +=.解法二利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A ，B ，C 三点共线，故点C 的轨迹方程即为直线A B 的方程250x y +=，故本题应选D ．例4(2007湖南20)已知双曲线222x y =的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ,两点．(I)若动点M 满足1111F M F A F B F O =++(其中O 为坐标原点)，求点M 的轨迹方程；(II)在x 轴上是否存在定点C ，使CA C B 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．解由条件知1(20)F ，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．(I)设()M x y ，，则1(2)F M x y =+,，111(2)F A x y =+,，1221(2)(20)F B x y F O =+=,，，，由F M F F B F O =++得xOPy ABMN1111A121226x x x y y y+=++=+，即12124x x x y y y +=+=，．于是A B 的中点坐标为4()22x y，．当A B 不与x 轴垂直时，1212/2(4)/228y y y y x x x x ==，即1212()8y y y x x x =．又因为A B ,两点在双曲线上，所以22112x y =，22222x y =，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y +=+，即1212()(4)()x x x y y y =．将1212()8y y y x x x =代入上式，化简得22(6)4x y =．当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y =．(II)假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．当A B 不与x 轴垂直时，设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =≠±．代入222x y =有2222(1)4(42)0k x k xk ++=．则12x x ,是上述方程的两个实根，所以212241kx x k+=，2122421k x x k+=，于是CA CB 21212()()(2)(2)x m x m k x x =+22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k+++=++222222(12)2442(12)11m k m m m m kk+=+=++．因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m =，即1m =，此时CA CB =1．当AB 与x 轴垂直时，点A B ,的坐标可分别设为(22)，，(22)，，此时(12)(12)1CA CB ==，，．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．评注：类似试题还有2006全国卷20，2006陕西21等等．从上述几个例子可以看出：以解析几何知识为载体，以向量为工具，以考查轨迹方程曲线性质和向量有关公式及其应用为目标，是近年来高考在向量与解析几何交汇处设置试题的特点，对于解析几何中图形的重要位置关系(如平行、垂直、相交、三点共线等)和数量关系(如距离、角等)，向量都能通过其坐标运算进行刻划．因此，在解析几何复习时应适时融合平面向量的基础，渗透平面向量的基本方法．求解解析几何试题时只要要认真分析图形位置关系和数量关系，充分挖掘试题的向量背景，就完全有可能获得一个简捷的解法．此外，作为高中课标课程新增内容之一的向量具有数形兼备的特点，是联系众多知识的桥梁．所以，向量与三角、解析几何、立体几何的交汇应该是当今高考命题的一种趋势，考查的力度会逐渐加大．因此，必须重视对这些知识的复习和演练，直至深刻理解、灵活运用．从一道国际数学奥赛试题的背景谈起福建师范大学数学与计算机科学学院04级魏清达(350108)第十一届国际数学奥林匹克竞赛试题：已知对于所有实数121212,,,,,x x y y z z ，其中1x >20,0x >，21110x y z >，22220x y z >，求证：811x y z x y z ≤+，并给出等号成立的充要条件．从已知条件和所要求证的结论看，似乎是在考查求证一个不等式的方法．但是，这个不等式是如何构造出来的呢？我们先来证明一个关于正定矩阵的命题并通过该命题认识这道赛题所涉及的背景知222121212111222。

专题05 向量与解析几何、三角形等相结合问题专题概述近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理. 平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.典型例题考向1 平面向量与解三角形【例1】（2018春•定州市校级期中）O 为ABC ∆的外心，AB BC AC +==，sin (cos cos sin 0C A C A +=．若(,)AO xAB yAC x y R =+∈则(xy= )A ．1B ．1-C D ．【分析】设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，运用三角函数的和角公式和正弦定理、余弦定理，求得B ，A ，C ，再由AO xAB yAC =+的两边点乘AB ，AC ，运用向量数量积的定义和性质，可得x ，y 的方程组，解方程可得x ，y 的值，即可得到所求值． 【解答】解：设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB BC AC +==，sin (cos cos sin 0C A C A +=，可得c a +=，sin cos cos sin C A C A C +=，即为sin()C A C +，即有sin B C =，可得b =，a c =，222222231cos 222c a b c c c B ac c +-+-===-， 可得120B =︒，30A C ==︒， 若AO xAB yAC =+，可得2AO AB xAB yAC AB =+，即有222132c xc y c =+，化为231x y +=，又可得2AO AC yAC xAC AB =+， 即有22233322c xc y c =+，化为21x y +=， 解得1x =-，1y =， 则1xy=-， 故选：B ．【例2】（2019•白银模拟）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，2AB BC =-，且满足sin sin 2sin A C B +=，则该三角形的外接圆的半径R 为 ．【分析】通过向量的数量积以及余弦定理正弦定理转化求解该三角形的外接圆的半径R 即可． 【解答】解：因为1cos()22AB BC ac B ac π=-=-=-，所以4ac =．由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-．又因为sin sin 2sin A C B +=，所以2a c b +=．所以22()()34a c a c ac +=+-， 所以23()124a c +=，所以2()16a c +=，所以4a c +=，所以2b =，所以022sin sin 60b R B ===R =．． 【变式训练】（2019秋•浦东新区期末）已知ABC ∆满足313()||||AB AC AB AC AB AC ++=，则BAC ∠为 ． 【分析】根据题设，利用平面向量基本定理，作出图形，再利用余弦定理得解． 【解答】解：如图，设3,||||AB ACAB AC AB AC ='='，则||13AD = 在△AC D '中，由余弦定理有，19131cos 2132AC D +-∠'==-⨯⨯，故120AC D ∠'=︒，60BAC B AC ∴∠=∠''=︒．故答案为：60︒．考向2 平面向量与三角形“四心”【例3】（2020•淮南一模）在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC 的值为( ) A ．26B ．13C ．523D ．10【分析】作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将BC 用AB ，AC 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点，()AO BC AO AC AB AO AC AO AB =-=- ||||||||AC AT AB AS =- 646422=⨯-⨯10=．故选：D ．【例4】（2019秋•昌江区校级期末）已知ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点，则(HM BC = ) A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】题目是选择题，不妨通过特殊三角形，利用向量的坐标运算求解即可． 【解答】解：ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点， 不妨取特殊三角形如图：A 、H 重合，(3,0)B ，(0,5)C ，3(2M ，5)2， (3,5)BC =-，则3(2HM BC =，5)(32-，9255)822=-+=．故选：D ．【变式训练】（2019•怀化一模）已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=︒，2AB AC =-，则||AG 的最小值是( )A B C ．23D ．34【分析】由三角形重心的性质可得，21()33AG AD AB AC ==+，设||,||AB x AC y ==，由向量数量积的定义可知||||cos1202AB AC AB AC =︒=-，可得4xy =，然后根据向量数量积的性质可得1|||3AG x =，结合基本不等式可求【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，21()33AG AD AB AC ==+ 120A ∠=︒，2AB AC =-，则根据向量的数量积的定义可得，||||cos1202AB AC AB AC =︒=-设||,||AB x AC y == ∴||||4AB AC = 即4xy =2221111||||()23333AG AB AC AB AC AB AC AB AC x =+=+=++=2228x y xy +=（当且仅当x y =取等号）∴2||3AG 即||AG 的最小值为23故选：C ．考向3 平面向量与平面解析几何【例5】（2020•苏州模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆22:()(2)4C x a y -+-=上两个动点，且AB =:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=，则实数a 的取值范围为 ． 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，圆22:()(2)4C x a y -+-=的圆心(,2)C a ，半径2r =，求出圆心C 到AB 的距离为1，设(,)P x x -，由向量等式可得AB 的中点M 的坐标，再由||1CM =列关于x 的方程，由直线l 上存在点P ，使得PA PB OC +=，利用判别式大于等于0求得实数a 的取值范围． 【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 的中点12(2x x M +，12)2y y +，圆22:()(2)4C x a y -+-=的圆心(,2)C a ，半径2r =， 圆心(,2)C a 到AB的距离||1CM ， 直线:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=，设(,)P x x -，则1(x x -，12)(y x x x ++-，2)(y x a +=，2)， ∴1212222x x x a y y x +-=⎧⎨++=⎩，得12122212x x a x y y x +⎧=+⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎩，即(2a M x +，1)x -+，||1CM ∴=，整理，得222(2)04a x a x +-+=，直线:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=，∴△22(2)804a a =--⨯，解得22a ---+．故答案为：22a ---+．【例6】（2020•衡阳一模）设抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于两点A 、B ，若点(2,)M t 满足1()2OM OA oB =+，则||AB = ．【分析】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由抛物线的定义可知12||2AB x x =++，由1()2OM OA oB =+可得(2,)M t 是AB 的中点，所以124x x +=，所以12||26AB x x =++=．【解答】解：抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 直线AB 过焦点(1,0)F ， 12||2AB x x ∴=++，又1()2OM OA oB =+，则(2,)M t 是AB 的中点， 124x x ∴+=， 12||26AB x x ∴=++=，故答案为：6．【变式训练】（2020•四川模拟）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 且倾斜角为45︒的直线与双曲线C 的两条渐近线顺次交于A ，B 两点．若3FB FA =，则C 的离心率为 ．【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A ，B 表示出来，再由3FB FA =，求出a ，b ，c 的关系，然后求双曲线的离心率．【解答】解：设(,0)F c -，则双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点且倾斜角为45︒的直线为：y x c =+，而渐近线的方程是：by x a=±，由y x c b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得：(ac A a b -+，)bca b+， 由y x c b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得：(ac B b a -，)bcb a-， (ac FB c b a =+-，)bc b a -，(ac FA c a b =-+，)bca b+，3FB FA =，∴3bc bcb a a b=⨯-+， 2b a ∴=，22225c a b a ∴=+=，则c =，则e =．．专题强化1．（2020•兴宁区校级模拟）已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足||||()sin sin AB AB AC ACOP OA C Bλ=++，R λ∈．则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【分析】通过向量的数量积，结合向量和的几何意义，判断P 的轨迹经过的三角形的重心． 【解答】解：由正弦定理可知：||||2sin sin AB AC R C B==，R 为三角形的外接圆的半径， 所以动点P 满足||||()()sin sin AB AB AC ACOP OA OA R AB AC C Bλλ=++=++．因为AB AC +是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的对角线A 为起点的向量，经过BC 的中点， 所以P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的重心． 故选：C ．2．（2020•茂名一模）在ABC ∆中，60B C ∠=∠=︒，2AB =，且点M 满足2BM CM =，则(AM BC = ) A ．3B ．6C ．8D ．12【分析】由题意画出图形，再由平面向量的数量积运算及向量的加法与减法运算求解． 【解答】解：如图，三角形ABC 为等边三角形，且边长为2， 由2BM CM =，得BC CM =，∴2()22cos6046AM BC AC CM BC AC BC BC =+=+=⨯⨯︒+=．故选：B ．3．（2020•淮南一模）在ABC ∆中，3AB =，5AC =，点N 满足2BN NC =，点O 为ABC ∆的外心，则AN AO 的值为( ) A ．17B ．10C ．172D ．596【分析】作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将AN 用AB ，AC 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点112()333AN AC CN AC AB AC AB AC =+=+-=+，所以1212()3333AO AN AO AB AC AB AO AC AO =+=+，12||||||||33AB AS AC AT =⨯+⨯， 1325353232=⨯⨯+⨯⨯， 596=． 故选：D ．4．（2019秋•东莞市期末）已知圆O 的半径是P 是圆O 内部一点（不包括边界），点A 是圆O 圆周上一点，且2OA OP =，则2()OA OP +的最小值为( ) A ．232B ．12C ．252D ．13【分析】可画出图形，根据2OA OP =即可得出||OP =并得出0cos 1O <∠，从而得出2()OA OP +的最小值． 【解答】解：如图， 2OA =∴22||cos 2OA OP OP O =∠=，∴||2cos OP O∠0cos 1O <∠，∴2222125()28422OA OP OA OA OP OP cos O +=++=++∠，当cos 1O ∠=时取等号， ∴2()OA OP +的最小值为252． 故选：C ．5．（2020•赤峰模拟）已知椭圆2222:19x y C a a +=+，1F ，2F 是其左右焦点，若对椭圆C 上的任意一点P ，都有120PF PF >恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(3-，0)(0⋃，3) B ．[3-，0)(0⋃，3] C ．(-∞，3)(3-⋃，)+∞D ．(-∞，3][3-，)+∞【分析】由于椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中12F PF ∠最大时点P 为短轴上的顶点，而120PF PF >恒成立可得12F PF ∠为锐角，即145F PO ∠<︒可得b ，c 的关系，再由a ，b ，c 之间的关系可得a 的取值范围．【解答】解：椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中12F PF ∠最大时点P 为短轴上的顶点， 要使120PF PF >恒成立，则12F PF ∠为锐角，即145F PO ∠<︒，即1tan 1cF PO b=<，所以22c b <， 而2222299c a b a a =-=+-=所以29a <，解得：3a >或3a <-， 故选：C ．6．（2020•江苏二模）在ABC ∆中，BC 为定长，|2|3||AB AC BC +=，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ．【分析】取BC 边上靠近C 的三等分点D ，利用平面向量基本定理结合已知条件转化可得||||AD BC =，再利用三角形的面积公式进一步可得21()||2ABC max S BC ∆=，由此即可求得边BC 的长． 【解答】解：取BC边上靠近C 的三等分点D ，则2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，又|2|3||AB AC BC +=，∴12||||33AB AC BC +=，即||||AD BC =， ∴2111||||||||222ABC S BC h BC AD BC ∆==，其中h 为BC 边上的高，依题意，21||22BC =，即||2BC =． 故答案为：2．7．（2019秋•常州期末）在ABC ∆中，3A π∠=，点D 满足23AD AC =，且对任意x R ∈，||||xAC AB AD AB +-恒成立，则cos ABC ∠= ．【分析】根据题意，设2AD t =，则3AC t =，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析可得BD AC ⊥，即2ADB π∠=，进而可得AB 、BC 的值，结合余弦定理计算可得答案．【解答】解：根据题意，在ABC ∆中，点D 满足23AD AC =，设2AD t =，则3AC t =， 又由AD AB BD -=，若对任意x R ∈，||||xAC AB AD AB +-恒成立，必有BD AC ⊥，即2ADB π∠=；又由3A π∠=，则24AB AD t ==，BD ==，则BC =，ABC ∆中，4AB t =，3AC t =，BC =，则222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⨯⨯8．（2019春•湖州期中）如图，在ABC ∆中，M 为边BC 上一点，4BC BM =，3AMC π∠=，2AM =，ABC∆的面积为，则||CM = ；cos BAC ∠= ．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求||CM 的值，进而可得2BM =，8BC =，利用余弦定理分别求得AB ，AC 的值，根据余弦定理可求cos BAC ∠的值．【解答】解：4BC BM =，ABC ∆的面积为所以||:||3:4MC BC =，故AMC ∆的面积为由AMC ∆的面积为13||||sin ||3323AM MC MC π== 故||6MC =，||8BC =，||2BM =，所以222||26226cos283AC π=+-⨯⨯=，故||AC =2222||22222cos 84123AB π=+-⨯⨯=+=，故||AB =所以222cos 222327AB AC BC BAC AB AC +-∠===-，故答案为：6；． 9．（2019秋•南京期中）在ABC ∆中，已知(4)AB AC CB -⊥，则sin A 的最大值等于 ．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积的运算法则，结合基本不等式，求出cos A 的最小值，即得sin A 的最大值．【解答】解：在ABC ∆中，(4)AB AC CB -⊥，(4)0AB AC CB ∴-=；(4)()0AB AC AB AC ∴--=； 如图所示，22450AB AB AC AC ∴-+=，即2254AB AC AB AC =+； 22422||||4cos 55||||5||||AB AC AB AC A AB AC AB AC +⨯⨯∴==，当且仅当2||||AB AC =时，“=”成立；此时sin A 35=． 故答案为：35．10．（2019春•内江期末）如图，O 在ABC ∆的内部，且30OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比值为 ．【分析】取AB 的中点D ，运用向量的中点表示和向量共线定理，结合三角形的面积公式和性质，可得所求比值．【解答】解：取AB 的中点D ，连接OD ，可得2OA OB OD +=，由30OA OB OC ++=，即为23OD CO =， 可得12ACD ACB S S ∆∆=， 22115525ACO ACD ACB ACB S S S S ∆∆∆∆===， 则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比值为5:1．故答案为：5:1．11．（2019•河南模拟）在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点D 满足3AD DC =，且2AB BD ==，则边BC 的长为 ．【分析】设AB c =，BC a =，AC b =，由已知可求得34b AD =，在ABD ∆中，由余弦定理可得3cos 16b A =，在ABC ∆中，由余弦定理224160b a -+=，①在ABC ∆中，由60ABC ∠=︒，可得：22240b a a +--=，②，①-②可得232200a a +-=，解方程可得BC 的值．【解答】解：设AB c =，BC a =，AC b =，由3AD DC =，可得：34b AD =， 2AB BD ==，∴在ABD ∆中，由余弦定理可得：222234()434cos 3216224b c AD BD b A b c AD +-+-===⨯⨯， ∴在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，可得：22341622b b a b +-=⨯⨯，可得：224160b a -+=，① 在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，可得：22222142222a cb a b ac a +-+-==⨯⨯，可得：22240b a a +--=，② ∴①-②可得：232200a a+-=，解得：a=，负值舍去，即BC12．（2019•亭湖区校级模拟）在ABC ∆中，角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC ∆的面积为 ．【分析】如图：0OA OB OC ++=，所以O 为三角形ABC 的重心，连AO 并延长交BC 与E ，则E 为BC 的中点，延长AE 至F ，使AE EF =，连BF ，CF ，则四边形ABFC 为平行四边形，在三角形ABF 中用余弦定理解得AE ，在三角形AEC 中用面积公式求得面积，再乘以2可得．【解答】解：如图：0OA OB OC ++=，所以O 为三角形ABC 的重心， 连AO 并延长交BC 与E ，则E 为BC 的中点，延长AE 至F ，使AE EF =，连BF ，CF ， 则四边形ABFC 为平行四边形，4BF AC ∴==，3cos cos cos 8AFB CAE CAO ∠=∠=∠=，设AE x =，则2AF x =，在三角形ABF 中由余弦定理得222cos 2BF AF AB AFB BF AF +-∠=， 即3(25)8-=，解得2x =，即2AE =．又sin CAE ∠=122sin 242ABC AEC S S AE AC CAE ∆∆∴==⨯⨯⨯∠=⨯=．．13．（2020•运城一模）已知抛物线2:4C y x =的焦点F 与准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且3FA FB =-，则||AB = ．【分析】画出图象，根据抛物线的性质求出83BC =，又4AB BF =，求出AB ． 【解答】解：已知抛物线2:4C y x =，所以2DF =， 如图，因为3FA FB =-，所以:3:1AF FB =，又::DF BC AF AB =，所以2:3:4BC =，得83BC BF ==， 所以3243AB BF ==， 故答案为：323． 14．（2020•衡阳一模）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，若第一象限的点(,2)M t ，满足1()2OM OA OB =+（其中O 为坐标原点），则||AB = ． 【分析】设直线AB 方程为：1x my =+，m R ∈，与抛物线方程联立，利用根与系数关系求得1m =，进而得到t 的值，即可求出||AB【解答】解：由条件得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 方程为：1x my =+，m R ∈，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，则2440y my --=，且124y y m +=，124y y =-， 由条件可知1244y y m +==，解得1m =，1212()2322x x m y y t +++===， 所以||2(31)8AB =+=，故答案为：8．15．（2020•毕节市模拟）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，l 与y轴交于点P ，若FM MP λ=λ的值为 ．【分析】先利用FM 与渐近线垂直，写出直线FM 的方程，从而求得点P 的坐标，利用|||FM PM λ=，求得点M 的坐标，最后由点M 在渐近线上，代入得a 、b 、c 间的等式，进而变换求出离心率．【解答】解：设(,0)F c ，则222c a b =+ 双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±， ∴垂线FM 的斜率为a b-， ∴直线FM 的方程为()a y x c b=--， 令0x =，得P 的坐标(0,)ac b， 设(,)M x y ，||||FM PM λ=，(x c ∴-，)(y x λ=-，)ac y b -， x c x λ∴-=-且4acy y bλ=-， 即1c x λ=+，5ac y b λ=，代入b y x a =， 得(1)1ac b c b a λλλ=++，即22a b λ=， 222a c a λ∴=-， 22(1)a c λ∴+=，∴c =， 3e =，2λ∴=， 故答案为：2．。

平面向量与解析几何交汇的综合问题基础知识梳理1．向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法；2． 实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算；3． 平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平衡移公式；4． 椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用；5．曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；6． 直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题）确定参数的取值范围；7． 平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。

向量的基本知识：1.下列命题中是正确的有①设向量a 与b 不共线，若()()0a b a b +⋅-=，则||||a b =； ②||||||a b a b ⋅=⋅； ③a b a c ⋅=⋅，则b c =； ④若()a b c ⊥-，则a b a c ⋅=⋅向量的数运算：2．在ABC ∆中，0<⋅AC AB ，ABC ∆的面积是415，若3||=AB ，5||=AC ，则BAC ∠=_________3．已知|a |=|b |=2，a 与b 的夹角为600，则a +b 在a 上的投影为 。

4. 若正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则)(+⋅的取值范围是 ．[-2，41] 向量形的意义：6. P 为ΔABC 所在平面上的点，且满足AP =AB +12AC ，则ΔABP 与ΔABC 的面积之比是_______．1∶27。

已知P 是ABC ∆内一点，且满足23PA PB PC ++=0，记ABP ∆、BCP ∆、ACP ∆的面积依次为123,,S S S ，则123::S S S 等于向量与解析几何 例题讲解一、“减少运算量，提高思维量” 是未来几年高考的一个方向，高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法，以利于减少运算量，提高思维量。

平面向量与解析几何交汇的综合问题例1．已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a=j y i x )3(,b =j y i x )3(,且满足|a|+|b |=4.(1) 求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(2) 如果过点Q(0，m)且方向向量为c=(1,1) 的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，当 AOB 的面积取到最大值时，求m 的值。

解：(1) a =j y i x )3(, |b |=j y i x )3(,且|a|+|b |=4.点P(x,y)到点(3,0)，(-3,0)的距离这和为4，故点P 的轨迹方程为1422 y x (2)设A(11,y x ),B(22,y x )依题意直线AB 的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得0448522 m mx x ，则1x +2x =-58m, 1x •2x =)1(254m 因此，225221)5(m m d AB S AOB当225m m 时，即m=210时，1max S[题设变式I.1] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a=j y i x )3(,b =j y i x )3(,且满足||a |-|b||=2.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(轨迹为双曲线)[题设变式I.2] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a=j y i x )3(,b =j y i x)3(,且满足b •i =|a |.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.[提示：设K(-3,0)，F (3,0)，则b •i表示KP 在x 轴上射影，即点P 到x= -3的距离，所以点P 到定点F 的距离与到定直线x= -3的距离比为1，故点P 的轨迹是以(3,0)为焦点以x= -3为准线抛物线][题设变式I.3] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a=j y i x )3(,b =j y i x )3(,且满足b •i = |a|.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.[提示：设K(-3,0)，F (3,0)，则b •i表示KP 在x 轴上射影，即点P 到x= -3的距离，所以点P 到定点F 的距离与到定直线x= -3的距离比为1 •i b a，当110时，点P 的轨迹是以(3,0)为焦点，以x= -3为相应准线的椭圆；当11时，点P 的轨迹是以(3,0)为焦点，以x= -3为相应准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支 应满足什么条件？][题设变式I.4] 已知平面上两定点K 、F ，P 为一动点，满足，KF KP • .求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(以F 焦点，过K 且垂直于KF 的直线为准线的抛物线)[题设变式I.5] 已知平面上两定点K 、F ，P 为一动点，满足，KF KP • .求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(以F 焦点，过K 且垂直于KF 的直线为准线的圆锥曲线。

1.在平面直角坐标系中，点A(1，0)，向量e = (0，1)，点B 为直线1-=x 上的动点，点C 满足OB OA OC +=2，点M 满足0=⋅e BM ，0=⋅AB CM ． (1)试求动点M 的轨迹E 的方程； (2)试证直线CM 为轨迹E 的切线． 解：(1)：设B (1-，m)，C(x1，y1)〕，由OB OA OC +=2，得：2(x1，y1) = (1，0) + (－1，m)，解得x1 = 0，21my =设M(x ，y)，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CM BM e ，得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅-=⋅-+m y m x m m y x m y x 40)2()2(0)10()1(2，，，，，消去m 得E 的轨迹方程xy 42=．(2)：由题设知C 为AB 中点，MC ⊥AB ，故MC 为AB 的中垂线，MB ∥x 轴，设M(004y y ，)，那么B(－1，y0)，C(0，20y )，当y0≠0时，02y k MC =，MC 的方程220y x y y += 8分 将MC 方程与xy 42=联立消x ，整理得：22002=+-y y y y ，它有唯一解0y y =，即MC 与x y 42=只有一个公共点，又0≠MC k ，所以MC 为x y 42=的切线．当y0 = 0时，显然MC 方程x = 0为轨迹E 的切线 综上知，MC 为轨迹E 的切线．2．圆C 方程为：224x y +=. 〔Ⅰ〕直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B两点，假设||AB =l 的方程;〔Ⅱ〕过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，假设向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.解〔Ⅰ〕①当直线l 垂直于x 轴时，那么此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32 满足题意②假设直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx设圆心到此直线的距离为d ，那么24232d -=，得1=d∴1|2|12++-=k k ，34k =，故所求直线方程为3450x y -+= 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x 〔Ⅱ〕设点M 的坐标为()00,y x 〔00y ≠〕，Q 点坐标为()y x ,那么N 点坐标是()0,0y∵OQ OM ON =+， ∴()()00,,2x y x y = 即xx =0，20yy =又∵42020=+y x ，∴224(0)4y x y +=≠ ∴Q 点的轨迹方程是221(0)416x y y +=≠，轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆，除去短轴端点。