【区级联考】北京市门头沟区2019届高三3月综合练习数学（文）试题

北京市门头沟区2020年高考一模试题数学（文）2019.3一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合2{230},{0}A x x x B x x =--<=≥，则A B I 等于 A ．1,3)-（ B ．[0,3) C ．(1,0]- D.(1,2]-2.复数z 满足21iz i=-，那么z 是 A ．2 B ．22 C ．2 D. 3 3. 一个体积为123的正三棱柱的三视图如 图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为 A.36 B ．8 C ．38 D ．124. 右面的程序框图，如果输入三个实数,,a b c 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 A ．c x > B ．x c >C ．c b >D ．b c >5.向量,a b →→满足1a b →→==，且其夹角为θ，则“1a b →→-=”是“3πθ=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件输入a b c ，， x a = b x >xb = xc = 输出x 结束6. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是A. B. C. D.7. 已知ABC△中，BC=1，，则ABC△的面积为A.8. 函数()221f x x ex m=-++-，函数()2(0)eg x x xx=+>，（其中e为自然对数的底数，2.718e≈）若函数()()()h x f x g x=-有两个零点，则实数m的取值范围为A．221m e e<-++B．221m e e>-+C．221m e e>-++D．221m e e<-+二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ）9.若x y，满足条件1010x yx yy+-⎧⎪-+⎨⎪≥⎩≤≥，则2z x y=+的最大值为．10. 双曲线22:21C x y-=的渐近线方程是.11．等比数列中，32321,2S a a==则数列的通项公式na=.12．过抛物线24y x=焦点且斜率为1的直线l与此抛物线相交于,A B两点，则AB=.13．若函数()f x满足对定义域上任意12,x x都有不等式1212()()()22x x f x f xf++>，成立,则称此函数为“P函数”，请你写出一个“P函数”的解析式.14．一半径为4m的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点P从水中浮现时开始计时,即从图中点P开始计算时间.(Ⅰ)当5t=秒时点P离水面的高度；(Ⅱ)将点P距离水面的高度h(单位:m)表示为时间t(单位:s)数，则此函数表达式为.sin C C={}na{}n a三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.） 15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =-+()x R ∈ （1）求()f x 的周期及单调增区间； （2）若5[0,]12x π∈时，求()f x 的最大值与最小值.16．（本题满分13分）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 和，若51025,19S a ==。

北京门头沟区军庄中学2019年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的反函数为(A) (B)(C) (D)参考答案：C略2. 已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为A．B． C． D．参考答案：B3. 将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象，设，则的图象大致为（）参考答案：A4. 已知函数是偶函数，且则（A）2 （B）3 （C）4 （D）5参考答案：D略5. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．-B．C．3 D．参考答案：C考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=0，A=3i=1，A=不满足条件i＞2015，i=2，A=不满足条件i＞2015，i=3，A=3不满足条件i＞2015，i=4，A=…不满足条件i＞2015，i=2015=3×671+2，A=不满足条件i＞2015，i=2016=3×672，A=3满足条件i＞2015，退出循环，输出A的值为3．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构，是直到型循环，先执行循环，直到满足条件退出循环，属于基础题6. 已知 A 、 B 、 C 是平面上不共线的三点， O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足，则点 P 一定为三角形的（）A．AB 边中线的中点 B．AB 边中线的三等分点（非重心）C．重心 D．AB边的中点参考答案：7. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（）A． B． C．( D．参考答案：B略8. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日B．8日C．16日D．12日参考答案：A【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m++97m+=2×1125，解得：m=9．故选：A．9. 函数，满足，其中，则n的最大值为（）A．13 B．12 C．10 D．8B【考点】余弦函数的图象．【分析】化简函数f（x），利用正弦函数的图象特征，直线的斜率公式，即可求得n的最大值．【解答】解：函数=﹣sin3x，当时，可得图象上的点（x i，f（x1））与原点连线的斜率为定值m，故当n最大时，m=0，点（x i，f（x i））为f（x）的图象与x轴的交点（原点除外）；∵函数f（x）=sin3x的周期为，故[﹣2π，2π]包含6个周期，所以满足的点（x i，f（x i））共有12个，即n的最大值为12．故选：B．【点评】本题主要考查了三角函数的化简以及正弦函数的图象与直线斜率公式的应用问题，抽象符号容量大，不易理解，是综合性题目．10. 已知函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则2a＋b的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是．240【考点】二项式系数的性质；定积分．【专题】二项式定理．【分析】求定积分可得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）=﹣1﹣1=﹣2，则二项式（x2﹣）6=（x2+）6展开始的通项公式为T r+1=?2r?x12﹣3r，令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是?24=240，故答案为：240．【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12. 若正实数a、b、c满足，，则c的最大值为________．参考答案：【分析】通过表示出，再结合可得，这样问题转化为已知，求的最小值即可，由“1”的代换可得．【详解】由，，解得，，，，【点睛】本题考查用基本不等式求最值问题，考查换元代入的思想。

2019北京门头沟区高三综合练习（一模）数学（理）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合2{230},{A x x x B x y =--<==，则A B 等于A ． 1,3)-（B ．[0,3)C ． (1,0]- D. (1,2]- 2. 复数z 满足21iz i=-，那么z 是A ．．3. 一个体积为则这个三棱柱的左视图的面积为A.36 B ．8 C ．38 D ．124. 右面的程序框图，如果输入三个实数,,a b c 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的A ．c x >B ．x c >C ．c b >D ．b c >5.已知向量,a b →→满足1a b →→==，且其夹角为θ，则“1a b →→->”是“(,]3πθπ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是D.7.某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人。

北京市门头沟区2019届高三语文3月综合练习（一模）试题一、本大题共7小题，共23分。

阅读下面的材料，完成1-7题。

材料一2018年10月24日上午，被称为“现代世界新七大奇迹”之一的港珠澳大桥正式通车运营。

大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，创造了沉管隧道“最长、最大跨径、最大埋深、最大体量”的世界纪录，涵盖了当今世界岛隧桥多项尖端科技，是当今世界最具挑战性的工程之一。

大桥的设计既要保障珠江口伶仃洋主航道（繁忙时候超过4000艘轮船）的绝对畅通，还要保证所在海域附近香港机场（每天1800多架航班）的正常起降。

为了克服这两点，就得用沉管法建造海底隧道。

这条世界最长的海底公路沉管隧道由33个巨型沉管组成，每节管道长180米，单节重约8万吨，且沉到海底40多米。

港珠澳大桥背后有哪些科技智慧？首先，如此巨大的沉管要怎样才能沉降到海底实现对接？沉管法需要浮运安装。

所谓浮运安装，是用拖船将预制沉管拖运到桥位附近，再用绞锚方式进行横、纵移沉管至安装基槽并进行沉放安装。

实验发现，在浅水海域，沉管在横向水流和波浪的作用下，会产生横倾与下沉，并容易触碰到海底，极其不安全。

团队一遍遍进行实验与计算，为港珠澳大桥的浮运与沉放施工方案提供了重要的技术支持。

其次，位于海泥环境中的钢管桩如何确保120年不损坏？针对特定的海泥环境，设计团队研制出新一代高性能环氧涂层钢筋，并参与大桥基础的防腐涂装施工，保障35％以上，析了港珠澳大桥120年耐久性设计要求。

复杂的海床结构、恶劣的自然环境、超长的跨度距离，对桥梁钢是一个巨大考验。

新一代控轧．．控冷工艺，使钢材组织细化出相尺寸减少25％以上，有效满足了桥梁钢高强度和高韧性的需求。

通过优化的“成分设计+控制轧制+轧后超快冷却”组合拳，满足了桥梁的抗震和抗应变设计。

最后，伶仃洋上多台风，怎么能保证施工的正常进行并准时交工？港珠澳大桥像“搭积木”一样被拼装出来。

先在工厂里把桥墩、桥面、钢箱梁、钢管桩等生产出来，等到伶仃洋风平浪静时再组装起来，首次实现大型化、工厂化、标准化、装配化的建设理念。

2019北京门头沟区高三综合练习（一模）数 学（理）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合2{230},{A x x x B x y =--<==，则A B 等于A ． 1,3)-（B ．[0,3)C ． (1,0]- D. (1,2]- 2. 复数z 满足21iz i=-，那么z 是A ．．3. 一个体积为则这个三棱柱的左视图的面积为A.36 B ．8 C ．38 D ．124. 右面的程序框图，如果输入三个实数,,a b c 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的A ．c x >B ．x c >C ．c b >D ．b c >5.已知向量,a b →→满足1a b →→==，且其夹角为θ，则“1a b →→->”是“(,]3πθπ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是D.7.某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人。

门头沟区2019年高三综合练习（一）数学（理）2019.3一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知集合2{230},{A x x x B x y =--<==，则A B 等于 A ． 1,3)-（ B ．[0,3) C ． (1,0]- D. (1,2]- 2. 复数z 满足21iz i=-，那么z 是 A．．．3.一个体积为 图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为 A.36 B ．8 C ．38 D ．124. 右面的程序框图，如果输入三个实数,,a b c 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的A ．c x >B ．x c >C ．c b >D ．b c >5.已知向量,a b →→满足1a b →→==，且其夹角为θ，则“1a b →→->”是“(,]3πθπ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是7.某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人。

则不同的选派方法的种数是A ．18B ．21 C ． 36 D ．428. 若函数()f x 图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则点对(),A B 称为函数()f x 的“友好点对”，且点对(),A B 与(),B A 可看作同一个“友好点对”.若函数()f x =2221,0,0x ex m x e x x x ⎧++-≤⎪⎨+>⎪⎩（其中e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）恰好有两个“友好点对”，则实数m 的取值范围为A ．2(1)m e ≤-B ． 2(1)m e >-C ．2(1)m e <-D ． 2(1)m e ≥- 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ）9. 若x y ，满足条件10100x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪≥⎩≤≥，则2z x y =+的最大值为 ．10. 双曲线22:21C x y -=的渐近线方程是 .11．等比数列中，32321,2S a a ==则数列的通项公式n a = .12．已知直线l 的参数方程为1x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 4cos 00,02ρθθρθπ-=≥≤<，若直线l 与曲线C 相交于两点,A B ，则AB = .{}n a {}n a13．已知,R xy +∈，求24(2)()z x y x y=++的最值.甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：甲：2444(2)()2818x y z x y x y y x =++=+++≥ 乙：24(2)()16z x y x y =++≥①你认为甲、乙两人解法正确的是 .②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确 14．一半径为4m 的水轮,水轮圆心O 距离水面2m ,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点P 从水中浮现时开始计时,即从图中点0P 开始计算时间. (Ⅰ)当5t =秒时点P 离水面的高度； (Ⅱ)将点P 距离水面的高度h (单位: m )表示为 时间t (单位: s )的函数，则此函数表达式为 . 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.） 15. （本小题满分12分）在ABC △中，且满足已知C b B c a cos cos )2(=-. （Ⅰ）求B ∠的大小；（Ⅱ）若ABC △6a c +=，求ABC △的周长.16．（本小题满分12分）在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区,,,A B C D 四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成下表：（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值） 假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的.（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A 学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，从,A C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）若将上表中的参与率视为概率，从A 学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望.D17.（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为6的菱形，且060ABC ∠=，PA ABCD ⊥平面，6PA =，F 是棱PA 上的一个动点，E 为PD 的中点.（Ⅰ）求证：BD CF ⊥ （Ⅱ）若2AF =,（i ）求PC 与平面BDF 所成角的正弦值；（ii ）侧面PAD 内是否存在过点E 的一条直线， 使得该直线上任一点M 与C 的连线,都满足//CM 平面BDF ，若存在,求出此直线 被直线,PA PD 所截线段的长度，若不存在，请明理由.18. （本题满分14分）如图， 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,12,F F 分别为其左、右焦点，过1F 的直线与此椭圆相交于,D E两点，且2F DE △的周长为8,椭圆C 的离心率为2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，已知点(0,1)P 与点(0,2)Q ，过P 的动直线（不与x 轴平行）与椭圆相交于,A B 两点，点1B 是点B 关于y 轴的对称点. 求证：（i ）1,,Q A B 三点共线. （ii ）.xOy l QA PAQB PB=19.（本题满分14分）已知()=x f x axe 在点(0,0)处的切线与直线2y x =-平行。

门头沟区2020年高三年级综合练习高 三 数 学 2020．3一、选择题（本大题共10个小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.复数2(1)i i +的模为 A.12B. 1C. 2D. 2.集合2{2,},{230}A x x x R B x x x =>∈=-->，则A B =IA. (3,)+∞B. (,1)(3,)-∞-+∞UC. (2,)+∞D. (2,3)3.已知双曲线22:194x y C -=，则C 的渐近线方程为 A ．94y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．23y x =±4.若等差数列{}n a 的前n项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为A. 21B. 63C. 13D. 845.某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为6. 设非零向量,,a b c r r r ，满足 2,1b a ==r r 。

且b r 与a r 的夹角为θ，则“b a -=r r ”是“3πθ=”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围A. [0,)+∞B. (1,)+∞C. (0,)+∞D. [,1)-∞ 8. 若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为 A.2π B. 3π C. 512π D. 712π 9. 已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则21PM PF -的最小值为A. 3B. 51)-2（C. 45D. 410. 一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为12,,n A A A L （1A 为A 地，n A 为B 地）。

门头沟区2019年高三综合练习（一）数学（文）2019.3一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合2{230},{0}A x x x B x x =--<=≥，则A B 等于 A ． 1,3)-（ B ．[0,3) C ． (1,0]- D. (1,2]-2. 复数z 满足21iz i=-，那么z 是A ．．．3. 一个体积为 图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为 A.36 B ．8 C ．38 D ．124. 右面的程序框图，如果输入三个实数,,a b c 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 A ．c x > B ．x c >C ．c b >D ．b c >5.向量,a b →→满足1a b →→==，且其夹角为θ，则“1a b →→-=”是“3πθ=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是7. 已知ABC △中，BC=1，sin C C =，则ABC △的面积为A.8. 函数()221f x x ex m =-++-，函数()2(0)e g x x x x =+>，（其中e 为自然对数的底数，2.718e ≈）若函数()()()h x f x g x =-有两个零点，则实数m 的取值范围为A ．221m e e <-++B ．221m e e >-+C ．221m e e >-++D ．221m e e <-+ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ）9. 若x y ，满足条件10100x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪≥⎩≤≥，则2z x y =+的最大值为 ．10. 双曲线22:21C x y -=的渐近线方程是 .11．等比数列{}n a 中，32321,2S a a ==则数列{}n a 的通项公式n a = .12．过抛物线24y x =焦点且斜率为1的直线l 与此抛物线相交于,A B 两点，则AB = . 13．若函数()f x 满足对定义域上任意12,x x 都有不等式1212()()()22x x f x f x f ++>，成立,则称此函数为“P 函数”，请你写出一个“P 函数”的解析式 .14．一半径为4m 的水轮,水轮圆心O 距离水面2m ,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点P 从水中浮现时开始计时,即从图中点0P 开始计算时间.(Ⅰ)当5t =秒时点P 离水面的高度 ； (Ⅱ)将点P 距离水面的高度h (单位: m )表示为时间t (单位: s )的函数，则此函数表达式为 . 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.） 15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =-+ ()x R ∈（1）求()f x 的周期及单调增区间； （2）若5[0,]12x π∈时，求()f x 的最大值与最小值.16．（本题满分13分）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 和，若51025,19S a ==。

北京门头沟区2019年高三年级抽样测试--数学(文）数学〔文〕本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷l 至2页，第二卷3至5页，共150分、考试时间120分钟、考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效、考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交、第一卷(选择题40分)【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分、在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项、1. 集合{}24A x x =≤，{}1B x x =<，那么集合B A 等于〔〕A.{}12x x ≤≤B.{}1x x ≥C.{}2x x ≤D.R {}-2x x ≥2、在等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41=a ，那么12a 的值是〔〕A.15B.30C.31D.64 3、为得到函数sin (π-2)y x =的图象，可以将函数πsin (2)3y x =-的图象〔〕 A.向左平移3π个单位 B.向左平移6π个单位C.向右平移3π个单位 D.向右平移6π个单位4、如果()f x 的定义域为R ，(2)(1)()f x f x f x +=+-，假设(1)lg 3lg 2f =-，(2)lg 3lg 5f =+，那么(3)f 等于〔〕A.1B.lg3-lg2C.-1D.lg2-lg35、如下图，为一几何体的三视图，那么该几何体的体积是〔〕A.1B.21C.13D.656、假设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足422=-+c b a )(，且C =60°，那么ab 的值为〔〕A.348-B.1C.34 D.327.函数22,0()42,0x f x x x x ≥⎧=⎨++<⎩的图象与直线(2)2y k x =+-恰有三个公共点，那么实数k 的取值范围是〔〕A.()02，B.(]02，C.()-2∞，D.()2+∞，8、点P 是以12F F ，为焦点的椭圆上的一点，过焦点2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为M 点，那么点M 的轨迹是 A.抛物线 B.椭圆C.双曲线 D.圆第二卷〔非选择题110分〕【二】填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分、 9、复数11i-在复平面内对应的点到原点的距离是、10、在给定的函数中：①3-y x =；②x y -2=；③sin y x =；④1y x=，既是奇函数又在定义域内为减函数的是.主视图 左视图俯视图11、用计算机产生随机二元数组成区域-11-22x y <<⎧⎨<<⎩，对每个二元数组(,)x y ，用计算机计算22y x +的值，记“(,)x y 满足22y x +<1”为事件A ，那么事件A 发生的概率为________. 12、如下图所示的程序框图，执行该程序后 输出的结果是、13、为了解本市的交通状况，某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三个组，从下午13点到18点，分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查，并绘制了频率分布直方图〔如图〕，记甲、乙、丙三个组所调查数据的标准差分别为321,,s s s ， 那么它们的大小关系为、〔用“>”连结〕14、设向量()21,a a =，()21,b b =，定义一种向量积：a ⊗b =()21,a a ⊗()21,b b =()2211b a b a ，、m =⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21，n =⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6π，点P 在x y sin =的图象上运动，点Q 在)(x f y =的图象上运动，且满足=m ⊗OP +n 〔其中O 为坐标原点〕，那么)(x f y =的最大值是、三、 解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程、甲乙丙函数)-2π(cos cos sin )(2x x x x f +=、 〔Ⅰ〕求)3π(f 的值； 〔Ⅱ〕求函数()f x 的最小正周期及值域. 16.〔本小题总分值13分〕 函数2()x f x x b=+，其中b ∈R 、〔Ⅰ〕)(x f 在1x =-处的切线与x 轴平行，求b 的值； 〔Ⅱ〕求)(x f 的单调区间、 17.〔本小题总分值13分〕如图，平面α,β，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥是垂足、 〔Ⅰ〕求证：AB ⊥平面PCD ；〔Ⅱ〕假设1,PC PD CD ===，试判断平面α与平面β是否垂直，并证明你的结论、18.〔本小题总分值13分〕某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人、〔I 〕假设从初高中各选1名同学做代表，求选出的2名同学性别相同的概率；〔II 〕假设从6名同学中任选2人做代表，求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率、APCDBβα椭圆与双曲线122=-y x 有相同的焦点，且离心率为22、〔I 〕求椭圆的标准方程；〔II 〕过点P 〔0，1〕的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，假设PB AP 2=，求AOB ∆的面积、 20.〔本小题总分值14分〕数列}{n a 的前n 项和为nS ，11=a ，满足以下条件①0≠∈∀na N n ,*；②点),(n n n S a P 在函数22x x x f +=)(的图象上； 〔I 〕求数列}{n a 的通项n a 及前n 项和nS ；〔II 〕求证：10121<-≤+++||||n n n n P P P P 、参考答案一、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 CABADCAD【二】填空题三． 解答题 15.解：〔I 〕由，得2πππππ()sin cos cos()33323f =+-……2分π31()342f =+ ……5分〔II 〕2()sin cos sin f x x x x =+1cos 2sin 222x x -=+111sin 2cos 2222x x =-+π1)42x =-+ 函数)(x f 的最小正周期T π= ……11分值域为 ……13分16、解：〔Ⅰ〕222()()b x f x x b -'=+、……2分依题意，由(1)0f '-=，得1b =、 ……4分 经检验，1b =符合题意、 ……5分 〔Ⅱ〕①当0b =时，1()f x x=、 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间、……6分 ②当0b >时，222()()b x f x x b -'=+、令()0f x '=，得1x =，2x = ……8分()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(、③当0b <时，()f x的定义域为{|D x x =∈≠R 、 因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立， 故()f x的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间、 ……13分 17.〔Ⅰ〕证明：因为,PC AB αα⊥⊂，所以PC AB ⊥、 同理PD AB ⊥、又PC PD P =，故AB ⊥平面PCD 、 ……5分 〔Ⅱ〕平面α与平面β垂直证明：设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH 、DH 、 因为α⊥PC ，所以CH PC ⊥， ……8分 在PCD ∆中，1,PC PD CD ===，所以2222CD PC PD =+=，即090CPD ∠=、 ……11分 在平面四边形PCHD 中，CH PC PD PC ⊥⊥,，所以CH PD // 又β⊥PD ，所以β⊥CH ，所以平面α⊥平面β、 ……13分 18.解：设高中部三名候选人为A1，A2，B 、初中部三名候选人为a,b1,b2〔I 〕由题意，从初高中各选1名同学的基本事件有 〔A1，a 〕，〔A1，b1〕，〔A1，b2〕， 〔A2，a 〕，〔A2，b1〕，〔A2，b2〕，〔B ，a 〕，〔B ，b1〕，〔B ，b2〕， 共9种设“2名同学性别相同”为事件E ，那么事件E 包含4个基本事件， 概率P(E)=94所以，选出的2名同学性别相同的概率是94、……6分〔II 〕由题意，从6名同学中任选2人的基本事件有 〔A1，A2〕，〔A1，B 〕，〔A1，a 〕，〔A1，b1〕，〔A1，b2〕， 〔A2，B 〕， 〔A2，a 〕，〔A2，b1〕，〔A2，b2〕，〔B ，a 〕，〔B ，b1〕，〔B ，b2〕，(a ，b1)，〔a ，b2〕，〔b1，b2〕 共15种 ……8分设“2名同学来自同一学部”为事件F ，那么事件F 包含6个基本事件， 概率P(F)=52516=所以，选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是25、……13分19.解：〔I 〕设椭圆方程为12222=+b y a x ，0>>b a ， 由2=c ，可得2=a ，2222=-=c a b 既所求方程为12422=+y x ……5分〔II 〕设),(11y x A ，),(22y x B ，由2=有⎩⎨⎧-=-=-)(12122121y y x x 设直线方程为1+=kx y ，代入椭圆方程整理，得0241222=-++kx x k )(……8分解得 1228222++±-=k k k x ……10分假设12282221++--=k k k x ，12282222+++-=k k k x 那么 122822122822222++--⋅=++---k k k k k k 解得1412=k ……12分又AOB ∆的面积81261228221||||212221=++⋅=-⋅=k k x x OP S 答：AOB ∆……14分20.解：〔I 〕由题意 22n n n a a S +=……2分当2≥n 时 2212121---+-+=-=n n n n n n n a a a a S S a整理，得0111=--+--))((n n n n a a a a……5分又0≠∈∀n a N n ,*，所以01=+-n n a a 或011=---n n a a01=+-n n a a 时，11=a ，11-=-n na a ， 得11--=n n a )(，211n n S )(--=……7分 011=---n n a a 时，11=a ，11=--n n a a ，得n a n =，22n n S n +=……9分〔II 〕证明：01=+-n n a a 时，))(,)((21111n n n P ---- 5121==+++||||n n n n P P P P ，所以0121=-+++||||n n n n P P P P ……11分011=---n n a a 时，),(22n n n P n + 22121)(||++=++n P P n n ，2111)(||++=+n P P n n222222121112111211121)()()()()()(||||++++++--++=++-++=-+++n n n n n n P P P P n n n n22112132)()(++++++=n n n ……13分因为 11122122+>+++>++n n n n )(,)(所以1112132022<++++++<)()(n n n综上10121<-≤+++||||n n n n P P P P……14分注：不同解法请教师参照评标酌情给分、。

2019年3月门头沟区高三年级综合练习语文试卷一、本大题共7小题，共23分。

阅读下面的材料，完成1-7题。

材料一2018年10月24日上午，被称为“现代世界新七大奇迹”之一的港珠澳大桥正式通车运营。

大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，创造了沉管隧道“最长、最大跨径、最大埋深、最大体量”的世界纪录，涵盖了当今世界岛隧桥多项尖端科技，是当今世界最具挑战性的工程之一。

大桥的设计既要保障珠江口伶仃洋主航道（繁忙时候超过4000艘轮船）的绝对畅通，还要保证所在海域附近香港机场（每天1800多架航班）的正常起降。

为了克服这两点，就得用沉管法建造海底隧道。

这条世界最长的海底公路沉管隧道由33个巨型沉管组成，每节管道长180米，单节重约8万吨，且沉到海底40多米。

港珠澳大桥背后有哪些科技智慧？首先，如此巨大的沉管要怎样才能沉降到海底实现对接？沉管法需要浮运安装。

所谓浮运安装，是用拖船将预制沉管拖运到桥位附近，再用绞锚方式进行横、纵移沉管至安装基槽并进行沉放安装。

实验发现，在浅水海域，沉管在横向水流和波浪的作用下，会产生横倾与下沉，并容易触碰到海底，极其不安全。

团队一遍遍进行实验与计算，为港珠澳大桥的浮运与沉放施工方案提供了重要的技术支持。

其次，位于海泥环境中的钢管桩如何确保120年不损坏？针对特定的海泥环境，设计团队研制出新一代高性能环氧涂层钢筋，并参与大桥基础的防腐涂装施工，保障了港珠澳大桥120年耐久性设计要求。

复杂的海床结构、恶劣的自然环境、超长的跨度距离，对桥梁钢是一个巨大考验。

新一代控轧．．控冷工艺，使钢材组织细化35％以上，析出相尺寸减少25％以上，有效满足了桥梁钢高强度和高韧性的需求。

通过优化的“成分设计+控制轧制+轧后超快冷却”组合拳，满足了桥梁的抗震和抗应变设计。

最后，伶仃洋上多台风，怎么能保证施工的正常进行并准时交工？港珠澳大桥像“搭积木”一样被拼装出来。

先在工厂里把桥墩、桥面、钢箱梁、钢管桩等生产出来，等到伶仃洋风平浪静时再组装起来，首次实现大型化、工厂化、标准化、装配化的建设理念。

门头沟区2019年高三年级综合练习语文试卷2019．3考生须知:1．本试卷共8页。

共五道大题，24道小题。

2．请将条形码粘贴在答题卡相应位置处。

3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

请使用2B铅笔填涂，用黑色字迹签字笔或钢笔作答。

4. 考试时间150分钟，试卷满分150分。

一、本大题共7小题，共23分。

阅读下面的材料，完成各题。

材料一2018年10月24日上午，被称为“现代世界新七大奇迹”之一的港珠澳大桥正式通车运营。

大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，创造了沉管隧道“最长、最大跨径、最大埋深、最大体量”的世界纪录，涵盖了当今世界岛隧桥多项尖端科技，是当今世界最具挑战性的工程之一。

大桥的设计既要保障珠江口伶仃洋主航道（繁忙时候超过4000艘轮船）的绝对畅通，还要保证所在海域附近香港机场（每天1800多架航班）的正常起降。

为了克服这两点，就得用沉管法建造海底隧道。

这条世界最长的海底公路沉管隧道由33个巨型沉管组成，每节管道长180米，单节重约8万吨，且沉到海底40多米。

港珠澳大桥背后有哪些科技智慧？首先，如此巨大的沉管要怎样才能沉降到海底实现对接？沉管法需要浮运安装。

所谓浮运安装，是用拖船将预制沉管拖运到桥位附近，再用绞锚方式进行横、纵移沉管至安装基槽并进行沉放安装。

实验发现，在浅水海域，沉管在横向水流和波浪的作用下，会产生横倾与下沉，并容易触碰到海底，极其不安全。

团队一遍遍进行实验与计算，为港珠澳大桥的浮运与沉放施工方案提供了重要的技术支持。

其次，位于海泥环境中的钢管桩如何确保120年不损坏？针对特定的海泥环境，设计团队研制出新一代高性能环氧涂层钢筋，并参与大桥基础的防腐涂装施工，保障了港珠澳大桥120年耐久性设计要求。

复杂的海床结构、恶劣的自然环境、超长的跨度距离，对桥梁钢是一个巨大考验。

新一代控轧．．控冷工艺，使钢材组织细化35％以上，析出相尺寸减少25％以上，有效满足了桥梁钢高强度和高韧性的需求。

北京市门头沟区2019年3月高三年级综合练习数学试卷（文）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A,再根据交集定义得结果.【详解】因为，所以，选B.【点睛】本题考查一元二次不等式以及交集的定义，考查基本求解能力，属基础题.2.复数z满足，那么是A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：，．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.一个体积为正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为A. B. 8 C. D. 12【答案】A【解析】试题分析：依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为.所以可得三棱柱的高为3.所以侧面积为.故选A.考点：1.三视图的知识.2.棱柱的体积公式.3.空间想象力.4.如图所示的程序框图，如果输入三个实数，，，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量.【详解】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，条件成立时，保存最大值的变量故选：A.【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题.5.向量满足，且其夹角为，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由得，得，即，得，即，则，即成立，反之当时，，则，即成立，即“”是“”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合成立数量积与向量模长公式的关系是解决本题的关键．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．【详解】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为，则AB不垂直于平面MNQ．故选：D．【点睛】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．7.已知中，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求C，再根据余弦定理求b，最后根据三角形面积公式求结果.【详解】因为,所以,因此,从而的面积为，选C.【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.函数，函数，（其中为自然对数的底数，）若函数有两个零点，则实数取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先分离变量，转化为求对应函数单调性及其值域，即可确定结果.【详解】由得，令，则,所以当时，,当时，,因此当时，函数有两个零点，选C.【点睛】本题考查利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若x，y满足条件，则的最大值为______．【答案】2【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】解：由x，y满足条件作出可行域如图，由，得，由图可知，当直线过可行域内点A时直线在y轴上的截距最大，z最大．联立，解得．目标函数的最大值为．故答案为：2．【点睛】本题考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10.双曲线的渐近线方程是______．【答案】【解析】【分析】将双曲线化成标准方程，得到a、b值，即可得到所求渐近线方程．【详解】解：双曲线的标准方程为：，，可得，又双曲线的渐近线方程是双曲线的渐近线方程是故答案为：【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题．11.等比数列中，，则数列的通项公式______．【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为q，用首项和公比q表示出已知条件，计算即可求解．【详解】解：设等比数列的公比为q，，，，，解得．数列的通项公式．故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题．12.过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则_______.【答案】8【解析】∵直线过抛物线的焦点，且斜率为1∴直线的方程为设，，抛物线的焦点为∴根据抛物线的定义可得：联立方程组，化简得∴∴故答案为8点睛：本题考查过抛物线焦点的弦的问题：在求过抛物线焦点的弦的长度或焦半径时，利用抛物线的定义（将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离），可起到事半功倍的效果，如：过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则，,.13.若函数满足对定义域上任意都有不等式，成立,则称此函数为“函数”，请你写出一个“函数”的解析式_______.【答案】开放性试题【解析】【分析】根据定义可得函数为凸函数，故可找对数函数.【详解】因为满足不等式的函数为凸函数，所以皆满足.【点睛】本题考查函数凹凸性，考查分析判断能力，属中档题.14.一半径为的水轮,水轮圆心距离水面2,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点从水中浮现时开始计时,即从图中点开始计算时间.(1)当秒时点离水面的高度_________；(2)将点距离水面的高度(单位: )表示为时间(单位: )的函数，则此函数表达式为_______________ .【答案】(1). (2).【解析】【分析】1利用直角三角形的边角关系，即可求出5秒后点P离开水面的距离；2由题意求值，结合的情况可求出的值，即得函数解析式．【详解】解：1秒时，水轮转过角度为，在中，，；在中，，，此时点离开水面的高度为；2由题意可知，，设角是以Ox为始边，为终边的角，由条件得，其中；将，代入，得，；所求函数的解析式为．故答案为：1，2．【点睛】本题考查函数的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义，是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数（1）求的周期及单调增区间；（2）若时，求的最大值与最小值.【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求周期与增区间，（2）根据正弦函数性质求最值.【详解】（1），所以的周期单调增区间：（2）【点睛】本题考查正弦函数性质、二倍角公式以及辅助角公式，考查分析求解能力，属中档题.16.在等差数列中，为其前和，若.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）若数列中，求数列的前和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列求和公式与通项公式列方程组，解得公差与首项，再代入得结果，（2）根据裂项相消法求和，即得结果.【详解】（1）由题意可知，又得：（2），【点睛】本题考查等差数列求和公式与通项公式以及裂项相消法求和，考查分析求解能力，属中档题.17.在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了100人，将调查情况进行整理后制成下表：（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的.（1）若该区共2000名高中学生，估计学校参与“创城”活动的人数；（2）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（3）在上表中从两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？【答案】（1）800；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据总数、频数与频率关系求结果，（2）根据总数、频数与频率关系求概率，（3）利用枚举法确定总事件数以及所求事件包含事件数，最后根据古典概型概率公式求解.【详解】（1）学校高中生的总人数为人学校参与“创城”活动的人数为人（2）设恰好该生没有参与“创城”活动这一事件为，则（3）校这5人分别记为，校这1人记为，任取2人共15种情况，如下：设事件为抽取2人中两校各有1人参与”创城”活动，则【点睛】本题考查总数、频数与频率关系以及古典概型概率，考查分析求解能力，属基础题.18.在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，且，，是棱上的一动点，为的中点.（1）求此三棱锥的体积；（2）求证：平面（3）若，侧面内是否存在过点的一条直线，使得直线上任一点都有平面，若存在，给出证明，若不存在，请明理由.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）先确定高，再根据锥体体积公式求解，（2）先根据线线垂直得线面垂直，再根据线面垂直得面面垂直，（3）假设存在则得是的中点，再利用面面平行证结果.【详解】（1）由题意可知，，（2）由题意可知，，则，又底面是菱形，所以，为内两相交直线，所以，，为平面一直线，从而平面（3）设是的中点，连结，则所以直线上任一点都满足平面.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直以及面面平行的性质与判断，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.19.如图，已知椭圆，分别为其左、右焦点，过的直线与此椭圆相交于两点，且的周长为8，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，已知点与点，过的动直线（不与轴平行）与椭圆相交于两点，点是点关于轴的对称点．求证：（i）三点共线．（ii）．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】Ⅰ由三角形的周长可得，根据离心率可得，即可求出，则椭圆方程可求；Ⅱ当直线l 的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线当直线l的斜率存在时，设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用向量证明．由可知Q，A，三点共线，即，问题得以证明.【详解】解：Ⅰ的周长为8，，即，，，，故椭圆C的方程为Ⅱ证明：当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线．当直线l的斜率存在时，设直线方程为，联立，得．设，，则，，，，，．与共线，则Q，A，三点共线．由可知Q，A，三点共线，【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题．20.已知在点处的切线与直线平行．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）设．（i）若函数在上恒成立，求的最大值；（ii）当时，判断函数有几个零点，并给出证明．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）1；详见解析.【解析】【分析】Ⅰ求函数的导数，计算时的导数即可求出a的值；Ⅱ求的导数，讨论当和时的单调性，由单调性判断最值即可得到b的最大值；化简知0是的一个零点，利用构造函数法讨论和时，函数是否有零点，从而确定函数的零点情况．【详解】解：Ⅰ函数，则，由题意知时，，即a的值为1；Ⅱ，所以，当时，若，则，，单调递增，所以；当时，若，令，解得舍去，，所以在内单调递减，，所以不恒成立，所以b的最大值为1；，显然有一个零点为0，设，则；当时，无零点，所以只有一个零点0；当时，，所以在R上单调递增，又，，由零点存在性定理可知，在上有唯一一个零点，所以有2个零点；综上所述，时，只有一个零点，时，有2个零点．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性问题，也考查利用导数研究函数在某一点处的切线问题，以及判断函数零点的应用问题，是中档题。