高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛高中数学联赛试题及参考答案一、选择题（每小题6分，共30分）1．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=01000)(x x x x x f π，则)]}1([{-f f f 的值为（ ） A ．1+π B ．0 C ．1 D ．π2．在ABC ∆中，120=A ，5=AB ，7=BC ，则CBsin sin 的值为（ ） A ．58B ． 85 C ．35D ．533．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．()sin f x x =B ．()1f x x =-+ C ．2()ln2x f x x -=+D ．()1()2x x f x a a -=+4．某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者．则选出的4名中恰只有两个人是同一省份的歌手的概率为（ ） A ．3316B ．12833C ．3332D ．1145．若五项的数列:}{n a 12345,,,,a a a a a 满足123450a a a a a ≤<<<<，且对任意的,(15)i j i j ≤≤≤，均有i j a a -在该数列中．①10a =； ②524a a =； ③{}n a 为等差数列；④ 集合{|15}i j A a a i j =+≤≤≤含9个元素．则上述论断正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题6分，共30分）6．函数y=f(x)是定义在R 上的周期为3的函数，右图中表示的是该函数在区间[−2, 1]上的图像，则(2014)(5)(15)ff f⨯的值等于．7．在ABC∆中，AB3=，BC1=，cos cosAC B BC A=，则AC AB⋅=8．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_______________．9．给定平面上四点,,,O A B C，满足4,3,2,3OA OB OC OB OC===⋅=，则ABC∆面积的最大值为_________．10．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++-=+++++-=+++3432abcdabcabdacdbcdcdbdbcadacabdcba的一个实数解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====____________________________________dcba三、解答题（第12题15分，第13，14，15每小题25分，共90分）11．设集合}023|{2≤++=xxxA，}0|{2≤++=baxxxB，(1) 若RBACxxBACRR=≤<-=)(},21|{)(，求ba,的值；(2)若1=b，且ABA=，求实数a的取值范围．12．函数xxxxf3cossin)1cos2(2)(2++=，Rx∈．求函数)(xf的最大值．13．直线m的方程为1y kx=+，,A B为直线m上的两点，其横坐标恰为关于x的一元二次方程22(1)220k x kx---=的两个不同的负实数根．直线l过点(2,0)P-和线段AB的中点，CD是y轴上的一条动线段，考虑一切可能的直线l，当l和线段CD无公共点时，CD长的最大值是否存在？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由．14．若存在集合,A B满足：A B=∅，且A B+=N，则称(,)A B为+N的一个二分划．（Ⅰ）设{|3,},{|31,},A x x k k B x x k k ==∈==±∈++N N 判断(,)A B 是否为+N 的一个二分划，说明理由； （Ⅱ）是否能找到+N 的一个二分划(,)A B 满足： ①A 中不存在三个成等比数列的数； ②B 中不存在无穷的等比数列． 说明理由．一、选择题（每小题5分，共30分）1．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=01000)(x x x x x f π，则)]}1([{-f f f 的值为（ ） A ．1+π B ．0 C ．1 D ．π 解：{[(1)]}((0))()1f f f f f f ππ-===+． 答案: A ．2．在ABC ∆中，120=A ，5=AB ，7=BC ，则CBsin sin 的值为（ ） A ．58B ． 85 C ．35D ．53解：由正弦定理，得5sin sin 7c C A a ===，于是cot C =．所以sin sin()sin cos cos sin sin cot cos sin sin sin B A C A C A CA C A C C C++===+1325=-=． 答案: D ．3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．()sin f x x =B ．()1f x x =-+C ．2()ln 2x f x x -=+D ．()1()2x x f x a a -=+ 解：设2()ln 2x f x x-=+，则22()ln ln ()22x xf x f x x x +--==-=--+因此，2()ln 2xf x x-=+是奇函数．又24122x t x x-==-+++为区间[]1,1-上的单调递减函数，ln y t =为区间(0,)+∞上的单调递增函数，而2()ln 2x f x x-=+为ln y t =与22x t x -=+的复合函数，因此函数2()ln 2xf x x-=+在区间[]1,1-上单调递减． 答案: C ．4．某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者．则选出的4名中恰只有两个人是同一省份的歌手的概率为（ ）A ．3316B ．12833C ．3332D ．114 解：选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率1265412221633C C P C ⨯⨯==． 答案: A ．5．若五项的数列:}{n a 12345,,,,a a a a a 满足123450a a a a a ≤<<<<，且对任意的,(15)i j i j ≤≤≤，均有i j a a -在该数列中．①10a =； ②524a a =； ③{}n a 为等差数列；④ 集合{|15}i j A a a i j =+≤≤≤含9个元素． 则上述论断正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 解：论断正确的有①②③④．因为∈=-011a a {}n a ，所以10a =； 因为132425250a a a a a a a a =<-<-<-< 且324252,,a a a a a a ---}{n a ∈所以 322423524,,a a a a a a a a a -=-=-= 于是 21324354a a a a a a a a -=-=-=-所以{}n a 为等差数列，且{}:0,,2,3,4n a d d d d ， 因此524a a =；集合{|15}i j A a a i j =+≤≤≤含9个元素．答案: D ．二、填空题（每小题5分，共30分）6．函数y=f(x)是定义在R 上的周期为3的函数，右图中表示的是该函数在区间[−2, 1]上的图像，则(2014)(5)(15)f f f ⨯的值等于．解：(2014)(1)22(5)(15)(1)(0)(1)1f f f f f f ===-⨯-⨯-⨯．7．在ABC ∆中，AB 3=，BC 1=，cos cos AC B BC A =，则AC AB ⋅=解：由已知得3,1,cos cos c a b B a A ===，于是sin cos sin cos B B A A =，即sin2sin2B A =．所以B A =或90B A +=︒．情形１：B A =，此时1,3,30b a c A ====︒，所以33cos 13;2AC AB bc A ⋅==⨯⨯= 情形２：90B A +=︒，此时22,3,cos 3b c A ===， 所以2cos 2323AC AB bc A ⋅==⨯⨯=．8．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_______________．解：由三视图判断该几何体为三棱锥P ABC -（如图）,由俯视图知平面PAB 丄平面ABC ，,2,1AC BC OC OA OB ====;再根据左视图得出OP AB ⊥，进而OP 丄平面ABC ，且OC AB ⊥，又从主视图中得出2OP OC ==．所以346131=⋅⋅=⋅=∆-OP OC AB OP S V ABC ABC P ． 9．给定平面上四点,,,O A B C ，满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为_________．解：由题可知，2227BC OB OC OB OC =+-⋅=，且OB 与OC 的夹角为60︒.O A B P C考虑以原点O 为圆心，半径分别为2,3,4的三个圆123,,O O O ，则可以将,C B 固定在圆12,O O 上，将A 在圆3O 上运动.作OD BC ⊥于D ，则当且仅当,,D O A 三点共线且DO 与DA 方向相同时，ABC ∆面积取得最大值最大．此时由sin BC OD OC OB BOC ⋅=⋅⋅∠，得OD =max (OA OD)BC 1(42272ABC S ∆+⋅==+=.10．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++-=+++++-=+++ 3432abcd abc abd acd bcd cd bd bc ad ac ab d c b a 的一个实数解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====____________________________________d c b a解：d c b a ,,,恰为方程03432234=+--+x x x x 的四个实根． 方程03432234=+--+x x x x 可变形为08)1(6)1(222=+++-++x x x x ．于是212=++x x 或412=++x x所以方程组的四个实数解为：251+-，251--，2131+-，2131--的排列． （答出四个数的任意一个排列即可）．三、解答题（第12题15分，第13，14，15每小题25分，共90分） 11．设集合}023|{2≤++=x x x A ，}0|{2≤++=b ax x x B ， (1) 若R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(，求b a ,的值； (2)若1=b ，且A B A = ，求实数a 的取值范围．解：]1,2[--=A ，),1()2,(+∞---∞= A C R ，设b ax x x f ++=2)(． （1） 由R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(可得]2,2[-=B ，∴0,4.a b =⎧⎨=-⎩（2）∵A B A = ，A B ⊂∴．∴当Φ=B 时，由0<∆得22<<-a ．当Φ≠B 时，若0=∆，则2±=a ，当2a =-时，{1}B =，不合题意；当2a =时，{1}B =-，符合题意．若0>∆，则0,(1)0,.(2)0,12 1.f a f a ∆>⎧⎪-≥⎪⎪⇒∈Φ-≥⎨⎪⎪-≤-≤-⎪⎩综上，22≤<-a ．12．函数x x x x f 3cos sin )1cos 2(2)(2++=，R x ∈．求函数)(x f 的最大值． 解：x x x x f 3cos sin )1cos 2(2)(2++=)2cos(sin 2sin 2sin 22x x x x x +++=x x x x x x x sin 2sin cos 2cos sin 2sin 2sin 22-++= x x x x x 2sin 2cos 2cos sin 2sin ++=x x x 2sin 2)2cos(+-=x x cos sin 22+=2cos cos 22++-=x x817)41(cos 22+--=x 817≤．当41cos =x 时，函数)(x f 取最大值817． 13．直线m 的方程为1y kx =+，,A B 为直线m 上的两点，其横坐标恰为关于x 的一元二次方程22(1)220k x kx ---=的两个不同的负实数根．直线l 过点(2,0)P -和线段AB 的中点，CD 是y 轴上的一条动线段，考虑一切可能的直线l ，当l 和线段CD 无公共点时，CD 长的最大值是否存在？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由．解：设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221kx x k +=- 记线段AB 的中点为M ，则12221,1211M M Mx x k x y kx k k +===+=--． 设直线l 交y 轴于(0,)Q b ，根据(2,0)P -、(0,)Q b 、221(,)11k M k k --三点共线得： 2210010(2)(2)1b k k k---=-----，于是2112b k k =-++． 又12,x x 为关于x 的一元二次方程22(1)220k x kx ---=的两个不同的负实数根，知1221222220, 120, 148(1)0.k x x k x x k k k ⎧+=<⎪-⎪-⎪=>⎨-⎪∆=+->⎪⎪⎩解得1k <<．于是21(,(2(2,)12b k k =∈-∞-+∞-++．所以线段CD 长的最大值存在，且24||max +=CD ． 14．若存在集合,A B 满足：A B =∅，且AB +=N ，则称(,)A B 为+N 的一个二分划．（Ⅰ）设{|3,},{|31,},A x x k k B x x k k ==∈==±∈++N N 判断(,)A B 是否为+N 的一个二分划，说明理由； （Ⅱ）是否能找到+N 的一个二分划(,)A B 满足： ①A 中不存在三个成等比数列的数； ②B 中不存在无穷的等比数列． 说明理由．（Ⅰ）1,1A B ∉∉， A B +∴≠N ，故(,)A B 不是+N 的一个二分划．（Ⅱ）能找到．+N 中形成的等比数列可以唯一地用一个正整数数对(,)a q 来表示，其中a 为数列的首项，q 为数列的公比，反之每一对(,)a q 也唯一地表示一个无穷的等比数列．正整数数对(,)a q 可以排序如下(1,2),(1,3),(2,2),(1,4),(2,3),(3,2),.将这些数对所对应的无穷等比数列依次记为12,,,,.k s s s先在1s 中任取一个数1a ，在2s 中取数2a ，使得21a a >；在3s 中取数3a ，使得2231a a a >；在4s 中取数4a ，使得2341a a a >；；一般的，在k s 中取数k a ，使得211kk a a a ->；．如此得到正整数12,,,,k a a a ，由这些数组成集合A ，并令B A =+N ，可以证明上述构造的A 和B 满足题设①和②．首先+N 中每一个无穷等比数列中至少有一项在A 中，所以B 中不存在无穷等比数列．再证A 中不存在三数成等比数列．任取,,m n r a a a A ∈，不妨设m n r <<，则m n r a a a <<，但由A 的取法知222111n n r r ma a a a a a a ->≥≥，故2,r m na a a >即,,m n r a a a 不成等比数列，所以A 中不存在三个成等比数列的数．高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（2） 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12(k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图， 若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
