辽宁省凌源市联合校2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
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辽宁省凌源市联合校2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 直线x+y-6=0的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 直线l：2x+3y-6=0与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. 6 B. 1 C. D. 3
3. 已知直线mx-y-2=0与直线x+ny+3=0垂直，则m，n的关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线l1：ax+2y+8=0与l2：x+（a-1）y+a2-1=0平行，则实数a的取值是（ ）
A. 或2 B. C. 0或1 D. 2
5. 已知直线l：2mx+y-m-1=0与圆C：x2+（y-2）2=4交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 抛物线y2=4x的一条焦点弦为AB，若|AB|=8，则AB的中点到直线x=-2的距离是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 方程mx2+y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 双曲线（a＞0，b＞0）经过点（，2），且离心率为3，则它的虚轴长是（ ）
A. B. C. 2 D. 4
10. 已知直线，则之间的距离为（ ）
A. B. C. 7 D.
11. 抛物线x2=8y的焦点F的坐标是（ ）
A. B. C. D.
12. △ABC的两个顶点为A（-4，0），B（4，0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知集合M={y|y=x2，x∈R}，，则M∩N=______
14. 如果双曲线的焦点在y轴上，焦距为8，则实数m=______．
15. 若实数x、y满足（x-2）2+y2=3，则的最大值为______．
16. 设双曲线的离心率为e，其渐近线与圆M：（x-2）2+y2=e2相切，则m=______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知直线l方程为（m+2）x﹣（m+1）y﹣3m﹣7＝0，m∈R．
（Ⅰ）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
（Ⅱ）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．
2
18. 已知直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线1与圆C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，求实数a的值．
19. 已知圆C：
求圆C关于直线对称的圆D的标准方程；
过点的直线l被圆C截得的弦长为8,求直线l的方程；
当k取何值时,直线与圆C相交的弦长最短,并求出最短弦长．
20. 求满足下列条件的曲线的标准方程：
（1），焦点在x轴上的椭圆；
（2）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x-y+2=0上抛物线的方程．
21. 已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为2，离心率e=，过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程．
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积．
22. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，B在x轴的上方，且点B的横坐标为4．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设点P为抛物线C上异于A，B的点，直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线的交点为H，求证：HG•HE为定值，并求出定值．
4
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：直线x+y-6=0的斜率k=-，
设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tan，
∴．
即直线x+y-6=0的倾斜角为．
故选：C．
由直线方程求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解直线的倾斜角．
本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：直线l：2x+3y-6=0与x，y轴的交点为（3，0），（0，2），
则围成的三角形的面积为×3×2=3．
故选：D．
求得直线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式可得所求．
本题考查直线方程的运用，考查三角形的面积求法，化简运算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，直线mx-y-2=0与直线x+ny+3=0垂直，
则有m×1+（-1）×n=0，即m-n=0；
故选：C．
根据题意，由直线的一般式方程判定直线垂直的方法可得m×1+（-1）×n=0，变形即可得答案．
本题考查直线的一般式方程以及直线与直线垂直的判定，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵直线l1：ax+2y+8=0与l2：x+（a-1）y+a2-1=0平行，
∴，
解得a=2或a=-1，
∴实数a的取值是-1或2．
故选：A．
利用直线与直线平行的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，圆C的圆心C为（0，2），半径r=2；
已知直线l：2mx+y-m-1=0恒过点P（）；
∴当CP与AB垂直时，即P为AB的中点时，弦长|AB|最短，
此时，则；
此时-2m=⇒m=；
此时直线AB的方程为-，变形可得2x-4y+3=0．
故选：A．
根据题意，分析圆C的圆心坐标与半径，分析可得当CP与AB垂直时，弦长|AB|最短，求出直线CP的斜率，通过垂直关系可得直线AB的斜率，即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长问题，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1，
A，B在准线上的射影为M，N，可得|AF|=|AM|，|BF|=|BN|，
即有|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|，
设AB的中点为P，P到准线的距离为（|AM|+|BN|）=|AB|=4，
则AB的中点到直线x=-2的距离是4+1=5，
故选：B．
求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，以及梯形的中位线定理，即可得到所求距离．
本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查梯形的中位线定理，考查运算能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，
设直线方程为y=x+a，圆心（0，0）到直线的距离等于半径，
∴，
∴a的值为±2，
故选：B．
先求出过点（0，a），其斜率为1的直线方程，利用相切（圆心到直线的距离等于半径）求出a即可．
本题考查圆的切线方程，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，方程mx2+y2=1即+y2=1，若其表示焦点在y轴上的椭圆，
必有1＞＞0，
解可得：m＞1，即m的取值范围为（1，+∞）；
故选：A．
根据题意，将方程mx2+y2=1变形可得+y2=1，由椭圆标准方程的形式分析可得1＞＞0，解可得m的取值范围，即可得答案．
本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆的标准方程的形式，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，双曲线（a＞0，b＞0）经过点（，2），则有-=1，①；
又由双曲线的离心率的e=3，则有e2==1+=9，变形可得b2=8a2，②；
解可得：b2=20，即b=2；
则它的虚轴长2b=4；
故选：B．
根据题意，将点（，2）代入双曲线方程可得-=1，结合双曲线的性质可得e2==1+=9，变形可得b2=8a2，联立两式分析解可得b的值，据此分析可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平行线间的距离计算，属于基础题． 6 根据题意，将l1的方程变形可得6x+8y-24=0，由平行线间距离公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，直线l1：3x+4y-12=0，即6x+8y-24=0，
又由l2：6x+8y+11=0，
则l1与l2之间的距离d===；
故选D．
11.【答案】A
【解析】解：由抛物线x2=8y，得2p=8，∴p=4，
∴抛物线x2=8y的焦点F的坐标是（0，）=（0，2）．
故选：A．
直接由抛物线方程求得p值，则焦点坐标可求．
本题考查抛物线的标准方程，考查了由抛物线方程求焦点坐标，是基础题．
12.【答案】A
【解析】解：∵△ABC的两顶点A（-4，0），B（4，0），周长为18，
∴AB=8，BC+AC=10，
∵10＞8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，
∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
∴2a=10，2c=8，∴b=3，
∴椭圆的标准方程是=1（y≠0）．
故选：A．
根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
本题考查轨迹方程的求法，注意椭圆的定义的应用是关键．
13.【答案】[0，+∞）
【解析】解：∵M={y|y≥0}，N=R，
∴M∩N=[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．
可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】-4
【解析】解：由题意，双曲线的焦点在y轴上，焦距为8，则-m-3m=16，
∴m=-4．
故答案为：-4．
将双曲线的标准方程，焦点在y轴上，焦距为8，列出方程，即可得到结论．
本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：=，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，
因此的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．
设=k，则kx-y=0．由=，得k=±，
故（）max=，（）min=-．
