机械能守恒定律

机械能守恒定律（系统的机械能守恒）

系统的机械能守恒

由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，就看除了重力、弹力之外，系统内的各个 物体所受到的各个力做功之和是否为零，为零，则系统的机械能守恒；做正功，系统的机械能就增加， 做做多少正功，系统的机械能就增加多少；做负功，系统的机械能就减少，做多少负功，系统的机械能 就减少多少。

系统间的相互作用力分为三类：

1） 冈I」体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等

2） 弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能 参与机械能的转换。

3） 其它力做功：比如炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。

在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作 用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。虽然弹簧的弹力也做功，但 包括弹性势能在内的机械能也守恒。但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械 能的转换，系统的机械能就不再守恒了。

归纳起来，系统的机械能守恒问题有以下四个题型： （1）轻绳连体类（2）轻杆连体类

（3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。（4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动

类。

（1）轻绳连体类

这一类题目系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用力是轻绳的 拉力，而拉力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并

没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。 例：如图，倾角为二的光滑斜面上有一质量为 M的物体，

通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为 m的物体相连，开始 时两物体均处于静止状态，且m离地面的高度为h，求它们 开始运动后m着地时的速度?

分析：对M、m和细绳所构成的系统，受到外界四个力的作用。它们分别是： M所受的 重力Mg, m所受的重力mg,斜面对M的支持力N，滑轮对细绳的作用力F。

M、m的重力做功不会改变系统的机械能，支持力N垂直于M的运动方向对系统不做功， 滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的 外部条件，系统内部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能在系统内部进 行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。

在能量转化中，m的重力势能减小，动能增加，M的重力势能和动能都增加，用机械能 的减少量等于增加量是解决为一类题的关键

mgh 二 Mgh sin「Sv2〔mv2 可得一側⑴一二阮）

2 2 . M m

需要提醒的是，这一类的题目往往需要利用绳连物体的速度关系来确定两个物体的速 度关系

例：如图，光滑斜面的倾角为，，竖直的光滑细杆到定滑轮

的距离为a,斜面上的物体M和穿过细杆的m通过跨过定 即

滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接 m的轻绳处 叭 J

于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，求 m下降b

时两物体的速度大小？

（2）轻杆连体类

这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，物体的重力做功不会改变系统

的机械能，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，而弹力只是使系统内部的机械能在相 互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以 系统的机械能守恒。

例：如图，质量均为m的两个小球固定在轻杆的端，轻杆可绕水平转轴在竖直平面内自 由转动，两小球到轴的距离分别为 L、2L，开始杆处于水平静止状态，放手后两球开始 运动，求杆转动到竖直状态时，两球的速度大小 分析：由轻杆和两个小球所构成的系统受到外界三个力的作用，即 A球受到的重力、B

球受到的重力、轴对杆的作用力。

两球受到的重力做功不会改变系统的机械能，轴对杆的作用力由于作用点没有位移而对 系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是轻杆的弹 力，弹力对A球做负功，对B球做正功，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量 的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。

在整个机械能当中，只有 A的重力势能减小，A球的动能以及B球的动能和重力势能都 增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有：

mg2L 二 mgL jmv： 1mvB

根据同轴转动，角速度相等可知

VA =2VB 所以：」VA =2 JfgLvB = JfgL

需要强调的是，这一类的题目要根据同轴转动，角速度相等来确定两球之间的速度关系

（3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。

光滑的圆弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物体在光滑的圆弧上滑动,

这一类的题目，也符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说

明

例：四分之一圆弧轨道的半径为 R，质量为M，放在光滑的 水平地面上，一质量为 m的球（不计体积）从光滑圆弧轨道 的顶端从静止滑下，求小球滑离轨道时两者的速度？ 分析：由圆弧和小球构成的系统受到三个力作用，分别是 M、m受到的重力和地面的支

持力

m的重力做正功，但不改变系统的机械能，支持力的作用点在竖直方向上没有位移，也 对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是圆弧和 球之间的弹力，弹力对 m做负功，对M做正功，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换，不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。

在整个机械能当中，只有 m的重力势能减小，m的动能以及M球的动能都增加，我们让

减少的机械能等于增加的机械能。有:

1 2 1 2 mgR MVM 小 mvm 2 2

根据动量守恒定律知 0 = mvm - MVM

Vm=m] 2gR VM=M ______________ M (M m) . M (M m)

（4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。

悬挂小球的细绳系在一个不受任何水平外力的物体上，当小球摆动时，物体能在水平面 内自由移动，这一类的题目和在水平面内自由移动的光滑圆弧类形异而质同，同样符合 系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说明 例：质量为M的小车放在光滑的天轨上，长为 L的轻绳一端

____________________ _________________________________

系在小车上另一端拴一质量为 m的金属球，将小球拉开至轻绳

t

处于水平状态由静止释放。求（1）小球摆动到最低点时两者

I

的速度？（ 2）此时小球受细绳的拉力是多少？

分析：由小车和小球构成的系统受到三个力作用，分别是小车、小球所受到的重力和天 轨的支持力。

小球的重力做正功，但重力做功不会改变系统的机械能，天轨的支持力，由于作用点在

竖直方向上没有位移，也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内 部的相互作用力是小车和小球之间轻绳的拉力，该拉力对小球做负功，使小球的机械能

减少，对小车做正功，使小车的机械能增加，但这种做功只是使 机械能在系统内部进行等量的转换，不会改变系统的机械能，故 满足系统机械能守恒的外部条件。

在整个机械能当中，只有小球的重力势能减小，小球的动能以及 小车的动能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。 有: 所以：

2gR

V mg AT mgL 二 1MvM 1mv 2 2

根据动量守恒定律知0二mVm - MVM

2gL

' M (M m) 习题

图 5-3- 15

如图5-3-15所示，质量相等的甲、乙两小球从一光滑直角斜面的顶端同时由静止释 放，甲小球沿斜面下滑经过 a点，乙小球竖直下落经过b点，a、b两点在同一水平面 上，不计空气阻力，下列说法中正确的是（ ）

A .甲小球在a点的速率等于乙小球在b点的速率

B. 甲小球到达a点的时间等于乙小球到达b点的时间

C. 甲小球在a点的机械能等于乙小球在b点的机械能（相对同一个零势能参考面）

D. 甲小球在a点时重力的功率等于乙小球在 b点时重力的功率

解析：由机械能守恒得两小球到达a、b两处的速度大小相等，A、C正确；设斜面的 倾角为a甲小球在斜面上运动的加速度为 a=gsin a,乙小球下落的加速度为a= g, 由t= V可知t甲＞七乙，B错误；甲小球在a点时重力的功率P甲=mgvsin a,乙小球在 a

b点时重力的功率P乙=mgv, D错误. 答案：AC

2.

一根质量为M的链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，如图5-3—16(a) 所示.将链条由静止释放，链条刚离开桌面时的速度为 Vi.若在链条两端各系一个质量

均为m的小球，把链条一半和一个小球放在光滑的水平桌面上，另一半和另一个小球 挂在所以:

当小球运动到最低点时，受到竖直向上的拉力 T和重力作用，根据向心力的公式

2 mv

T「mg 二 --- 但要注意，公式中的V是m相对于悬点的速度，这一点是非常重要的

T -mg = m(Vm VM )2

L 解得: =mg 3M 2m

M 一2gL一VM M (M m)

图 5-3-16 桌边，如图5— 3 — 16(b)所示.再次将链条由静止释放，链条刚离开桌面时的速度 为V2,下列判断中正确的是()

A .若 M = 2m,贝卩 v1 = v2 B .若 M > 2m,贝U v1 v v2

C.若M v2m,则Vi >V2 D .不论M和m大小关系如何，均有Vi>v?

答案：D

3.

图 5— 3 — 17

在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项.质量为 m的跳水运动员进入水中 后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为 F，那么在他减速下降高度 为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)( )

A .他的动能减少了 Fh B .他的重力势能增加了 mgh

C.他的机械能减少了 (F — mg)h D.他的机械能减少了 Fh

解析：由动能定理，AEk= mgh— Fh,动能减少了 Fh — mgh, A选项不正确；他的重力

势能减少了 mgh, B选项错误；他的机械能减少了 AE= Fh, C选项错误，D选项正 确. 答案：D

4.

0.5 - 0.8 m

图 5— 3 — 18

如图5— 3—18所示，静止放在水平桌面上的纸带，其上有一质量为m = 0.1 kg的铁块,

它与纸带右端的距离为L = 0.5 m,铁块与纸带间、纸带与桌面间动摩擦因数均为 尸

0.1.现用力F水平向左将纸带从铁块下抽出，当纸带全部抽出时铁块恰好到达桌面边 缘，铁块抛出后落地点离抛出点的水平距离为 s= 0.8 m.已知g= 10 m/s2，桌面高度

为H = 0.8 m,不计纸带质量，不计铁块大小，铁块不滚动.求：

(1)铁块抛出时速度大小；(2)纸带从铁块下抽出所用时间t1; (3)纸带抽出过程产生的内 能E.

1

解析：(1)水平方向：s= vt① 竖直方向：H = ② 由①②联立解得：v = 2 m/s.