高考数学 模拟题汇编 三角函数

2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。

2023-2024学年高考数学三角函数小专题一、单选题1．函数的最小正周期为（ ）()2sin 222sin 4f x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．π2ππ42π2．若，则等于（ ）sin tan 0x x ⋅<1cos2x +A ．B ．C ．D ．2cos x 2cos x -2sin x 2sin x-3．已知，均为锐角，则（ ）251cos ,tan()53ααβ=-=-,αββ=A ．B ．C ．D ．5π12π3π4π64．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 2y x =是（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向右平移个单位π12π6π12D ．向左平移个单位π65．若，则（ ）1cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．42979429-79-6．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 最小正周期大于，则的取值范围为（ ）πωA ．B ．C ．D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭()0,2[)1,2()1,27．已知，且，求（ ）π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3π44<<αcos α=A ．B ．C ．D ．2106222610A ．函数的图像可由()f xB ．函数在区间()f xC ．函数的图像关于直线()f xC ．D ．o o2sin15sin 75o oo otan 30tan151tan 30tan15+-11．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说(21)f x +1x =(1)f x +(1,0)法不正确的是（ ）A ．B ．4为的周期(1)(1)f x f x -=+()f x C ．D ．(1)0f =()32f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）ππ()sin(3)()22f x x ϕϕ=+-<<π4x =A ．函数为奇函数π()12f x +B ．函数在上单调递增()f x ππ[,]126C ．若，则的最小值为12|()()|2f x f x -=12||x x -2π3D ．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象()f x 13sin()y x ϕ=+三、填空题13．计算：＝.tan 73tan1933tan 73tan13︒︒︒︒--14．已知，，则 .1sin cos 5αα+=-()0,πα∈tan α=15．已知函数的最小正周期为，则.π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4πω=16．已知函数，则函数的对称轴的方程为22()2cos 43sin cos 2sin f x x x x x =+-()f x ．答案：1．B【分析】把函数化成的形式，利用公式求函数的最小正周期.()sin y A x ωϕ=+2πT ω=【详解】因为()2sin 222sin 4f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22sin 2cos 221cos 222x x x =---.22sin 2cos 2222x x =+-πsin 224x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以，函数的最小正周期为.2ππ2T ==故选：B 2．B【分析】先由已知条件判断的符号，然后对配凑升幂公式即可.cos x 1cos2x +【详解】由题知：2sin sin tan 00cos 0cos xx x x x ⋅<⇒<⇒<.21cos21cos222cos 2cos 2cos 2xx x x x++=⨯===-故选：B.3．C【分析】由两角差的正切公式求解即可.【详解】因为，，，π02α<<25cos 5α=25sin 1cos 5αα=-=，sin 1tan cos 2ααα==，()()()11tan tan 23tan tan 1111tan tan 123ααββααβααβ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭⎡⎤=--===⎣⎦+-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭所以.π4β=故选：C.4．A【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可.【详解】对于A ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，符合；πππsin 2sin 2cos 21232y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于B ：向右平移个单位可得到，不πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6ππsin 2sin 2cos 263y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦符合；对于C ：向右平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，不符合；πππsin 2sin 2cos 21236y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6，不符合；ππ2πsin 2sin 2cos 2633y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.5．D【分析】利用二倍角公式和诱导公式解题.【详解】因为2217cos(2)=cos22cos 121cos(2)366393ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以.7sin 2sin 2cos 262339ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D 6．C【分析】根据题意，得到，取得对称轴的方程，由的()π2sin()6f x x ω=+ππ,Z 3k x k ωω=+∈k 取值，结合题意，即可求解.【详解】由函数，()π3sin cos 2sin()6f x x x x ωωω=+=+令，可得，πππ,Z 62x k k ω+=+∈ππ,Z3k x k ωω=+∈因为图象的一条对称轴在区间内，可得，可得，ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππππ633k ωω≤+≤131231k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥+⎩又因为的最小正周期大于，可得，解得，()f x π2ππω>2ω<当且仅当时，解得.0k =ω1≤<2综上可得，实数的取值范围为.ω[1,2)故选：C.7．A【分析】利用平方关系和两角差的余弦公式计算.【详解】因为，所以，，π3π44<<απππ24α<+<2ππ3cos()1sin ()445αα+=--+=-，ππππππ3422cos cos ()cos()cos sin()sin ()44444455210αααα⎡⎤=+-=+++=-+⨯=⎢⎥⎣⎦故选：A.8．B【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答．【详解】由图象可知，，2A =由图，因为，所以，，()10=1sin =2f ϕ⇒π02ϕ<<π=6ϕ()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由图，则，5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5ππ122π,=,12655k k k k ωω⨯+=∈⇒-∈Z Z由图可知，所以，所以，1π5π12002125T ωω=>-⇒<<=2ω()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，的图像向左平移个单位得到的sin =2sin2y A x x ω=π6ππ2sin2+=2sin 2+63y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象，选项A 不正确；对于B ，由，可得，πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ,36k x k k -+≤≤+∈Z则函数的单调递增区间为，则在区间上单调递增，()f x πππ,π,36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以在区间上单调递增，选项B 正确；()f x ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于C ，由于，则直线不是函数图象的对称轴，选项π2ππ2sin 12336f ⎛⎫⎛⎫=+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3x =()f x C 不正确；对于D ，由，可得，则函数的图象关于点π2π,6x k k +=∈Zππ,122k x k =-+∈Z ()f x 对称，选项D 不正确．ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 故选：B ．9．ABD【分析】令，求得，可判定A 不正确；令，求得5π12x =5π3()122f =π8x =-可判定B 不正确；由时，可得，可判定C 正π5π()sin()812f -=-π22π,π,0,π6x -=--()0f x =确；由，结合正弦函数的性质，可判定D 不正确.π7ππ2(,)666x -∈--【详解】对于函数，()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A 中，令，可得，5π12x =5π5ππ2π3()sin(2)sin 1212632f =⨯-==所以函数的图象不关于点中心对称，所以A 不正确；()f x 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对于B 中，令，可得不是最值，π8x =-πππ5π()sin(2)sin()88612f -=-⨯-=-所以函数的图象不关于直线对称，所以B 不正确；()f x π8x =-对于C 中，由，可得，()π,πx ∈-π13π11π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭当时，可得，π22π,π,0,π6x -=--()0f x =所以在上有4个零点，所以C 正确；()f x ()π,π-对于D 中，由，可得，π[,0]2x ∈-π7ππ2(,)666x -∈--根据正弦函数的性质，此时先减后增，所以D 不正确.()f x故选：ABD.10．BC【分析】由诱导公式先求出的值，然后用三角恒等公式逐一验证即可.11sin(6-π)【详解】由题意有，11ππ1sin sin 662⎛⎫-== ⎪⎝⎭对于A 选项：因为，故A 选项不符合题意；2o o 312cos 151cos3022-==≠对于B 选项：因为，故B 选项符合()o o o o o o o 1cos18cos 42sin18sin 42cos 1842cos 602-=+==题意；对于C 选项：因为，故()()o o o o o o o o 12sin15sin 75cos 7515cos 7515cos 60cos902=--+=-=C 选项符合题意；对于D 选项：因为，故D 选项不符合题意；()o o o o o o otan 30tan151tan 3015tan 4511tan 30tan152+=+==≠-故选：BC.11．CD【分析】根据题意结合函数的对称性可推出函数的周期以及对称轴，从而判断A ，B ；举特例符合题意，验证C ，D 选项，即得答案.【详解】由函数的图像关于直线对称，可得，(21)f x +1x =(2(1)1)(2(1)1)f x f x ++=-+即，即，(32)(32)f x f x +=-(3)(3)f x f x +=-以代换x ，则；1x +(4)(2)f x f x +=-由函数关于点对称，可得，(1)f x +(1,0)(2)(2)0f x f x ++-=结合可得，(4)(2)f x f x +=-(4)(2)f x f x +=-+即，则，即4为的一个周期，B 正确；(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=()f x 又，结合，(2)(2)f x f x +=--(2)()f x f x +=-可得，故，A 正确；(2)()f x f x -=(1)(1)f x f x -=+由以上分析可知函数关于直线对称，且关于点成中心对称，()f x 1x =(2,0)其周期为4，则满足题意，π()sin2f x x=但是，故C 错误；π(1)sin 12f ==说明函数图象关于直线对称，3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34x =而，即直线不是对称轴，D 错误，33π()sin 148f =≠±34x =π()sin 2f x x =故选：CD 12．AB【分析】利用三角函数的图象与性质结合图象变换一一判定即可.【详解】由题意可知，又，()πππ3πZ π424k k k ϕϕ⨯+=+∈⇒=-+ππ22ϕ-<<故，()ππ,sin 344f x x ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于A 项，，由诱导公式知，即函πππsin 3sin 312124f x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 3sin 3x x -=-数为奇函数，故A 正确；π()12f x +对于B 项，，由正弦函数的图象及性质可知函数在上ππππ[,]30,12644x x ⎡⎤∈⇒-∈⎢⎥⎣⎦()f x ππ[,]126单调递增，故B 正确；对于C 项，易知，若，则与一个取得最大值，一个()max 1f x =12|()()|2f x f x -=()1f x ()2f x 取得最小值，即与相隔最近为半个周期，即的最小值为，故C 错误；1x 2x 12||x x -π23T =对于D 项，由三角函数的伸缩变换可知，函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，()f x 13得到函数的图象，故D 错误.sin(9)y x ϕ=+故选：AB.13．3【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意．()()tan 73tan133tan 73tan13tan 73131tan 73tan133tan 73tan133︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒--=-+-=故．314．/34-0.75-【分析】根据同角平方和关系可得，进而根据齐次式即可求解.12sin cos 25αα-=【详解】由可得，故，1sin cos 5αα+=-112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα-=又，解得或，222sin cos tan 12sin cos sin cos tan 125αααααααα-===++3tan 4α=-4tan 3α=-由于，，故，12sin cos 025αα-=<()0,πα∈sin 0,cos 0αα><又，故，因此，1sin cos 05αα+=-<sin cos αα<tan 1α<故，3tan 4α=-故34-15．/120.5【分析】利用正弦函数的周期公式即可得解.【详解】因为的最小正周期为，π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4π所以，则.2π2π4πT ωω===ω=12故答案为.1216．ππ(Z)62kx k =+∈【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得ππ2π(Z)62x k k +=+∈答案.【详解】22()2cos 43sin cos 2sin 1cos 223sin 2cos 21f x x x x x x x x =+-=+++-，π23sin 22cos 24sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令，解得：．ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈故ππ(Z)62kx k =+∈。

专题05北京高考三角函数选填真题1.【2024年北京卷06】已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =−，()21f x =，12min π||2x x −=，则ω=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 2.【2024年北京卷12】已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．由题意π2π,Z k k βα=++∈，从而()cos cos π2πcos k βαα=++=−，3.【2023年北京卷13】已知命题p:若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ．能说明p 为假命题的一组α,β的值为α= ，β= ． 【答案】 9π4π3单位圆因为f (x )=tanx 在(0,π2)上单调递增，若0<α0<β0<π2，则tanα0<tanβ0， 取α=2k 1π+α0,β=2k 2π+β0,k 1,k 2∈Z ，则tanα=tan (2k 1π+α0)=tanα0,tanβ=tan (2k 2π+β0)=tanβ0，即tanα<tanβ， 令k 1>k 2，则α−β=(2k 1π+α0)−(2k 2π+β0)=2(k 1−k 2)π+(α0−β0)， 因为2(k 1−k 2)π≥2π,−π2<α0−β0<0，则α−β=2(k 1−k 2)π+(α0−β0)>3π2>0，即k 1>k 2，则α>β.不妨取k 1=1,k 2=0,α0=π4,β0=π3，即α=9π4,β=π3满足题意.故答案为：9π4;π3. 4.【2022年北京卷05】已知函数f(x)=cos 2x −sin 2x ，则（ ）A ．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B ．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C ．f(x)在(0,π3)上单调递减D ．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C 5.【2022年北京卷13】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________． 【答案】 1 −√2 【解析】 ∵f(π3)=√32A −√32=0，∴A =1∴f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3) f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sin π4=−√2 【三角函数性质灵活考查】（2022北京卷改编）若()sin f x A x x =关于3x π=对称，则A =________．【答案】3− 【解析】对称性运用 ∵f(2π3)=f(0)，∴A =−36. 【2021年北京07】函数f(x)=cosx −cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98【答案】D由题意，f(−x)=cos(−x)−cos(−2x)=cosx −cos2x =f(x)，所以该函数为偶函数， 又f(x)=cosx −cos2x =−2cos 2x +cosx +1=−2(cosx −14)2+98， 所以当cosx =14时，f(x)取最大值98. 7.【2021年北京13】若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】5π12（满足θ=5π12+kπ,k ∈Z 即可）8. 【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）． A ．3n (sin 30°n +tan 30°n ) B ．6n (sin 30°n +tan 30°n) C ．3n (sin60°n+tan60°n)D ．6n (sin60°n+tan60°n)【答案】A单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12nsin 30°n，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan 30°n，其周长为12ntan 30°n，∴2π=12nsin30°n +12ntan 30°n2=6n (sin 30°n+tan30°n)，则π=3n (sin 30°n+tan30°n).9.【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）. 10. 【2019年北京文科06】设函数f (x )=cosx +bsinx （b 为常数），则“b =0”是“f (x )为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C解：设函数f (x )=cosx +bsinx （b 为常数）， 则“b ＝0”⇒“f (x )=cosx 为偶函数”，“f （x ）为偶函数”⇒()()f x f x =− ，cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−，cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−sin sin b x b x ∴=−，2sin 0b x ∴=对任意x 成立；∴0b =11. 【2019年北京文科08】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A.44cos ββ+B.44sin ββ+C.22cos ββ+D.22sin ββ+【答案】B解：由题意可得22AOB APB β∠=∠=，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO ⊥AB ，即有QO ＝2，Q 到线段AB 的距离为22cos β+，224AB sin sin ββ==，扇形AOB 的面积为12•2β•4=4β，△ABQ 的面积为12(2+2cosβ)•4sinβ=4sinβ+4sinβcosβ=4sinβ+2sin2β，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sin β． 12. 【2019年北京理科09】函数2()2f x sin x =的最小正周期是 ． 【答案】π213. 【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d 为点P(cosθ.sinθ)到直线x −my −2=0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 解：法一：由题意d =|cosθ−msinθ−2|√12+m 2=|√m 2+1sin(θ+α)−2|√m 2+1，tan α=1m =yx ，∴当sin (θ+α)=−1时，d max ＝1+2√m 2+1≤3．∴d 的最大值为3．法二： P 点在单位圆221x y +=上动，圆心到直线距离的最大值（圆心到过定点的距离）+半径 14. 【2018年北京理科11】设函数π()cos()6f x x ω=−(0)ω>．若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________.ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23 15. 【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，AB ̂，CD ̂，EF ̂，GH ̂是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．AB ̂ B ．CD ̂C ．EF ̂D ．GH ̂ 【答案】C解：A ．在AB 段，正弦线小于余弦线，即cos α＜sin α不成立，故A 不满足条件． B ．在CD 段正切线最大，则cos α＜sin α＜tan α，故B 不满足条件． C ．在EF 段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正， 满足tan α＜cos α＜sin α，D ．在GH 段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值， 满足cos α＜sin α＜tan α不满足tan α＜cos α＜sin α． 16. 【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos (α−β)= ．解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，方法二：∵sinα=13，当α在第一象限时，cosα=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=13，cosβ=−cosα=−2√23， ∴cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−7917. 【2016年北京理科07】将函数sin(2)3y x π=−图象上的点(,)4t π向左平移s (0)s >个单位长度得到点'P .若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则A.12t =,s 的最小值为6πB.t =,s 的最小值为6πC.12t =,s 的最小值为3π D.t =,s 的最小值为3π【答案】A将x =π4代入得：t =sin π6=12，将函数y =sin (2x −π3)图象上的点P 向左平移s 个单位， 得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y =sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）=cos2s =12，则2s =±π3+2k π，k ∈Z ， 则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π618. 【2014年北京理科14】设函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数,0,0A ω>>).若()f x 在区间ππ[,]62上具有单调性,且π2ππ()()()236f f f ==−,则()f x 的最小正周期为 . 【答案】π．则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0）， 由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T 4⇒T ＝π．。

第四章 三角函数第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式高考试题考点一 三角函数的概念1.(2011年新课标全国卷,理5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则cos 2θ=( ) (A)-45 (B)-35 (C)35 (D)45解析:①取x=1,则y=2,∴∴cos θ, cos 2θ=2cos 2θ-1=-35. ②取x=-1,则y=-2,∴θ. cos 2θ=2cos 2θ-1=-35.故选B. 答案:B2.(2012年山东卷,理16)如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP 的坐标为 .解析:如图所示,由题意知=OB=2,∵圆半径为1,∴∠BAP=2,故∠DAP=2-π2, ∴DA=Apcos(2-π2)=sin 2,DP=APsin (2-π2)=-cos 2. ∴OC=2-sin 2,PC=1-cos 2. ∴OP =(2-sin 2,1-cos 2).答案:(2-sin 2,1-cos 2)考点二 同角三角函数的基本关系式1.(2013年浙江卷,理6)已知α∈R,sin α+2cos α则tan 2α等于( ) (A)43 (B)34 (C)-34 (D)-43解析:因为sin α+2cos α所以sin 2α+4sin α cos α+4cos 2α=52,所以3cos 2α+4sin α cos α=32, 所以2223cos 4sin cos sin cos ααααα++=32, 所以234tan 1tan αα++=32,即3tan 2α-8tan α-3=0,解得tan α=3或tan α=-13,所以tan 2α=22tan 1tan αα-=-34.故选C.答案:C2.(2012年辽宁卷,理7)已知sin α-cos αα∈(0,π),则tan α=()(A)-1(D)1解析:∵sin α-cos α∴(sin α-cos α)2=2,∴1-2sin αcos α=2,2sin αcos α=-1<0,∴α∈(π2,π),∴1+2sin αcos α=0,∴(sin α+cos α)2=0,sin α+cos α=0,由sin cos sin cos 0, αααα⎧-⎪⎨+=⎪⎩得sin α,cos α,tan α=sin cos αα=-1. 故选A.答案:A 3.(2012年江西卷,理4)若tan θ+1tan θ=4,则sin 2θ=( ) (A)15(B)14 (C)13 (D)12解析:∵tan θ+1tan θ=sin cos θθ+cos sin θθ =1sin cos θθ =2sin 2θ=4,∴sin 2θ=12. 故选D.答案:D4.(2011年福建卷,理3)若tan α=3,则2sin 2cos αα的值等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)6解析: 2sin 2cos αα=22sin cos cos ααα=2tan α=6,故选D. 答案:D5.(2013年新课标全国卷Ⅱ,理15)设θ为第二象限角,若tan(θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 解析:因为θ为第二象限角, 所以π2+2k π<θ<π+2k π,k ∈Z, 因此34π+2k π<θ+π4<54π+2k π,k ∈Z, 从而sin(θ+π4)<0. 又∵tan(θ+π4)=12,∴sin(θ+π4∴sin θ+cos θθ+π4答案6.(2011年大纲全国卷,理14)已知α∈(π2,π),sin α,则tan 2α= . 解析:∵sin αα∈(π2,π), ∴cos α, ∴tan α=-12, ∴tan 2α=22tan 1tan αα-=1114--=-43. 答案:-43考点三 诱导公式及其应用(2010年大纲全国卷Ⅰ,理2)记cos (-80°)=k,那么tan 100°等于( )解析:∵cos(-80°)=k,∴cos 80°=k,∴sin 80°,∴tan 100°=tan(180°-80°)=-tan 80° =-sin80cos80. 故选B.答案:B模拟试题考点一 三角函数的概念1.(2011浙江杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a 的取值范围 是( )(A)(-2,3] (B)(-2,3)(C)[-2,3) (D)[-2,3]解析:∵cos α≤0,sin α>0,∴390,20,a a -≤⎧⎨+>⎩ ∴-2<a ≤3,故选A.答案:A2.(2013安徽省大江中学、开成中学高三联考)已知点P(sin 3π4,cos3π4)角θ的终边上,则tan(θ+π3)值为.解析:∵sin 3π4,cos3π4,∴点P的坐标为)∴tan θ=-1.则tan(θ+π3)=πtan tan3π1tan tan3θθ+-⋅=)212答案考点二同角三角函数基本关系式1.(2013山东师大附中高三月考)若α∈(π2,π),tan(α+π4)=17,则sin α等于( )(A)35(B)45(C)-35(D)-45解析:∵tan(α+π4)=tan11tanαα+-=17,∴tan α=-34=sincosαα,∴cos α=-43sin α,又∵sin2α+cos2α=1,∴sin2α=9 25,又∵α∈(π2,π),∴sin α=3 5 .答案:A2.(2012山东潍坊模拟)已知α∈(0,π)且 sin α+cos α,则sin α-cos α= .解析:由sin α+cos α,两边平方得2sin αcos α=-1 2 ,∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=3 2 .又α∈(0,π),sin αcos α<0,∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α.答案考点三诱导公式1.(2013广东省深圳市高三第一次调研)化简sin 2013°的结果是( )(A)sin 33°(B)cos 33°(C)-sin 33°(D)-cos 33°解析:sin 2013°=sin (5×360°+213°)=sin 213°=sin(180°+33°)=-sin 33°.故选C.答案:C2.(2012浙江丽水质检)设tan(π+α)=2,则()()()()sinπcosπsinπcosπ+αααα-+-+-等于( )(A)3 (B)1 3(C)1 (D)-1解析:由tan(π+α)=2,得tan α=2,故()()()() sinπcosπsinπcosπ+αααα-+-+-=()sin cossin cosαααα-----=sin cossin cosαααα+-=tan1tan1αα+-=3.故选A.答案:A3.(2013浙江省建八高中月考)若α∈(0,π2),且cos2α+sin(π2+2α)=12,则tan α= .解析:cos2α+sin(π2+2α)=cos2α+cos 2α=3cos2α-1=12, ∴cos 2α=12. ∵α∈(0,π2),∴cos α,sin α, ∴tan α=1.答案:1综合检测1.(2012江西八所重点高中模拟)在直角坐标平面内,已知函数f(x)=log a (x+2)+3(a>0且a ≠1)的图象恒过定点P,若角θ的终边过点P,则cos 2θ+sin 2θ的值等于( ) (A)-12 (B)12 (C)710 (D)-710 解析:因为函数y=log a x 的图象恒过定点(1,0),所以f(x)的图象恒过定点P(-1,3),由三角函数的定义知sin θ,cos θ则cos 2θ+sin 2θ=cos 2θ+2sin θcos θ=110+2× =110-610=-12. 故选A.答案:A2.(2012安徽合肥一模)已知sin(π3-x)=35,则cos(5π6-x)= . 解析:cos(56π-x)=cos[π2+(π3-x)] =-sin(π3-x) =-35. 答案:-353.(2011江苏泰兴月考)已知sin(π-α)-cos(π+α(π2<α<π).求下列各式的值:(1)sin α-cos α;(2)sin3(π2-α)+cos3(π2+α).解:由sin(π-α)-cos(π+α,得sin α+cos α,(*)将(*)式两边平方,得1+2sin α·cos α=2 9 ,故2sin α·cos α=-7 9 .又π2<α<π,∴sin α>0,cos α<0.(1)(sin α-cos α)2=1-2sin α·cos α=1-(-7 9 )=16 9,∴sin α-cos α=4 3 .(2)sin3(π2-α)+cos3(π2+α)=cos3α-sin3α=(cos α-sin α)(cos2α+cos α·sin α+sin2α)=-43×(1-718)=-22 27.。

高考数学专题复习题：三角函数1．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（ ）A ．cos |2|y x =B ．|sin |y x =C ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．3cos 22y x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭2．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么（ ）A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定 4．函数[]2sin 2,0,6y x x ππ⎛⎫=−∈ ⎪⎝⎭的增区间是（ ）A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5．函数2sin cos ,36y x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=−−+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．6．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是（ ）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 7．下列关系式中正确的是（ ）A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°8．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是（ ） A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2) 9．函数2cos ,,363y x x πππ⎛⎫⎡⎤=−∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为________．10．如果x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，那么函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值为________，最大值为________．11．如果关于x 的不等式23sin 2cos 30x x m +++>在7,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，那么m 的取值范围为________． 12．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．13．如果函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，那么ω＝________．14．函数)sin(cos x y =的定义域是________．15．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________．16．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则φ的值为________．17．已知函数()2sin 26f x x m π⎛⎫=−− ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为________．18．x y 2cos log 21=的增区间为________．19．3cos 2−=x y 的增区间为________．20．已知函数，且． （1）求的解析式．（2）已知，且，求．()),02f x x πϕϕ=+<<(0)1f =()fx ()()44f f ππαα−++=322παπ<<sin cos αα−。

历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编【2023年真题】1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=( ) A.79B.19C. 19-D. 79-2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题） 已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=( )A. 38B. 18-C. 34D. 14-+3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π= .【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=( ) A. 1B.32C.52D. 36.（2022·新高考II 卷 第6题）若sin()cos()4παβαβαβ+++=+，则( )A. tan()1αβ+=-B. tan()1αβ+=C. tan()1αβ-=-D. tan()1αβ-=7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则( ) A. ()f x 在5(0,)12π单调递减 B. ()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点 C. 直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D. 直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷 第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是( )A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.（2021·新高考I 卷 第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+( )A. 65-B. 25-C.25 D.65【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+( )A. sin ()3x π+B. sin (2)3x π- C. cos (2)6x π+D. 5cos (2)6x π- 11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm参考答案1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+= 即2221cos(22)12sin ()12().39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题）解：22111cos 36114sin ()sin 222816424ααα+-----=====⇒=故选：.D3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<…，得2 3.ω<… 故答案为：[2,3).4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）解： 设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时 16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈ 2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-2()sin(4.32f πππ=-=- 5.（2022·新高考I 卷 第6题）解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈ 又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++= 所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin() 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷 第6题）解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos 44ππαβαβ=++，cos )sin 44ππαβαβ+=+ 故sin()cos cos(044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=， 故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=- 7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选） 解：由题意得：24(sin()033f ππϕ=+=， 所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈， 又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+ 选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减; 选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点; 选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(232x π+=-， 解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为(0)2y x -=--，即.2y x =- 8.（2021·新高考I 卷 第4题） 解：由22262k x k πππππ-+-+剟，得222,33k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故选：.A9.（2021·新高考I 卷 第6题）解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+ 22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++， 故选：.C10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选） 解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误; 解得2ω=±， 点5(,1)12π-在函数图象上， 当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈， 解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈ 解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题） 解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=， 又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得2OJ AJ x ==，52OL JK x ==-， 72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==， 5352x-=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。

C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－452．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0 2．C [解析] 因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C. 17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cosA ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.C3 三角函数的图象与性质16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．16．解： 由三角形面积公式，得 12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2. ②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝12，所以a ＝2 3.7．[2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 7．D [解析] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图1­25．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质8．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π 8．C [解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z )，则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π.7．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8 D.3π47．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin＝3π8. 13．[2014·重庆卷] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________． 13.22[解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y ＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sin x ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z )，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.16．[2014·北京卷] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图像如图1­4所示．图1­4(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．16．解：(1)f (x )的最小正周期为π.x 0＝7π6，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0. 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.11．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 11．B [解析] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －23π的图像 ，函数单调递增，则－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增． 14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 2．B [解析] T ＝2π2＝π.4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位4．A [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故将函数y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度3．A [解析] 由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 19．、、[2014·湖南卷] 如图1­4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1­419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． 在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin2π3EC＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277. 而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α ＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故 BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25， 所以sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cosA ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cosA ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )， 所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.8．、[2014·四川卷] 如图1­3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )图1­3A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120.∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC∠BAC，于是BC ＝120×222＋64＝240 22＋6＝120(3－1)(m)．故选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.C6 二倍角公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，所以当sin x ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32.16．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16.43[解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥PA ，OA ＝2，OP ＝10，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OPA ＝OA PA ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OPA 1－tan 2∠OPA ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0 D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C. 17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C7 三角函数的求值、化简与证明16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 5．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.15．[2014·江苏卷] 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． 15．解： (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55× ⎝⎛⎭⎪⎫－2 55＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3 310.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25， 所以sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4292＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x 1＋sin x ＋2x π－1.证明：(1)存在唯一x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π. 21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π22－4＞0，所以存在唯一x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2x π－1. 令t ＝π－x 则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.记u (t )＝g (π－t )＝－t cos t 1＋sin t －2πt ＋1，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）. 由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0；当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，u ′(t )＞0.所以在⎝⎛⎭⎪⎫x 0，π2上u (t )为增函数，由u ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0知，当t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫x 0，π2时，u (t )＜0，所以u (t )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫x 0，π2上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0.于是存在唯一t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使u (t 0)＝0.设x 1＝π－t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0.因此存在唯一的x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使g (x 1)＝0. 由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________．12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值． 16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.C8 解三角形18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2. (1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 18．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22， 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．16．解： 由三角形面积公式，得 12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2. ②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝12，所以a ＝2 3.12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．12．2158 [解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c ＝2；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12×2×2＝78，∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.14．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．14．1 [解析] 由BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝2sin 60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.7．、[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件7．A [解析] 设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sinπ6＝3sin B ，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.19．、、[2014·湖南卷] 如图1­4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1­419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． 在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin2π3EC＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277. 而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α ＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故 BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥234a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即ab＝23时等号成立．18．、、、[2014·江苏卷] 如图1­6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43. (1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1­618．解： 方法一：(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)， 直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )， 则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34， 解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎪⎨680 － 3d 5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d 5最大， 即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003， 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r6803－d＝35， 所以r ＝680－3d 5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎪⎨680－3d 5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d 5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大．5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( ) A ．－19 B.13 C ．1 D.725．D [解析] 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4292＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cosA ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．17．解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1­3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图1­316．150 [解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC ，即AM ＝sin 60°sin 45°×100 2＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin 60°×1003＝150 .17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.。

三角函数汇编一、题型一：三角函数1．（2024·上海徐汇·二模）已知函数()y f x =，其中()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，实数0ω>，下列选项中正确的是（）A ．若2ω=，函数()y f x =关于直线5π12x =对称B ．若12ω=，函数()y f x =在[]0,π上是增函数C ．若函数()y f x =在[]π,0-上最大值为1，则43ω≤D ．若1ω=，则函数()y f x =的最小正周期是2π2．（2024·上海奉贤·二模）已知函数()y f x =，其中21y x =+，()y g x =，其中()4sin g x x =，则图象如图所示的函数可能是（）．A ．()()g x y f x =B ．()()f x yg x =C ．()()1y f x g x =+-D ．()()1y f x g x =--3．（2024·上海闵行·二模）已知()sin f x x =，集合[,]22D ππ=-，()()()Γ{,|20,,}x y f x f y x y D =+=∈，()()()Ω{,|20,,}x y f x f y x y D =+≥∈.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：集合Γ表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合Ω表示的平面图形的面积不大于2512π.A ．①真命题；②假命题B ．①假命题；②真命题C ．①真命题；②真命题D ．①假命题；②假命题4．（2024·上海嘉定·二模）已知函数()()y f x x =∈R 的最小正周期是1T ，函数()()y g x x =∈R 的最小正周期是2T ，且()121T kT k =>，对于命题甲：函数()()()y f x g x x =+∈R 可能不是周期函数；命题乙：若函数()()()y f x g x x =+∈R 的最小正周期是3T ，则31T T ≥．下列选项正确的是（）A ．甲和乙均为真命题B ．甲和乙均为假命题C ．甲为真命题且乙为假命题D ．甲为假命题且乙为真命题5．（2024·上海松江·二模）已知点A 的坐标为12⎛ ⎝⎭，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OP ，则点P 的坐标为.6．（2024·上海崇明·二模）已知实数1212,,,x x y y 满足：2222112212121,1,1x y x y x y y x +=+=-=，则112222x y x y +-++-的最大值是．7．（2024·上海奉贤·二模）函数sin()y wx ϕ=+π0,2w ϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图像记为曲线F ，如图所示.A ，B ，C 是曲线F 与坐标轴相交的三个点，直线BC 与曲线F 的图像交于点M ，若直线AM 的斜率为1k ，直线BM 的斜率为2k ，212k k ≠，则直线AB 的斜率为.(用1k ，2k 表示)8．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.9．（2024·上海闵行·二模）始边与x 轴的正半轴重合的角α的终边过点(3,4)-，则sin(π)α+=.10．（2024·上海虹口·二模）已知集合{}2|tan 0,0x A x x B x x ⎧⎫-=<=≤⎨⎬⎩⎭，则A B = .11．（2024·上海黄浦·二模）若(3cos ,sin )a θθ= ，(cos ,3sin )b θθ= ，其中R θ∈，则a b ⋅=.12．（2024·上海青浦·二模）已知向量()1,1a =- ，()3,4b = ，则,a b <>=．13．（2024·上海闵行·二模）已知定义在0+∞（,）上的函数()y f x =的表达式为()sin cos f x x x x =-，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列{}n x （1,N n n ≥∈）.(1)求函数()y f x =在区间()0,π上的值域；(2)求证：函数()y f x =在区间()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上有且仅有一个零点；(3)求证：()11ππn n n x x n++<-<.14．（2024·上海金山·二模）已知函数()y f x =，记()()sin f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，x ∈R .(1)若函数()y f x =的最小正周期为π，当(1π6f =时，求ω和ϕ的值；(2)若1ω=，π6ϕ=，函数2()2()y f x f x a =--有零点，求实数a 的取值范围.15．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．(1)若ππsin 3n n a m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中正整数m 为常数，N,1n n ∈≥），判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(2)若1sin (N,1)n n n a a a n n +=+∈≥，判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(3)设{}n b 是无穷数列，已知1sin (N,1)n n n a b a n n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．二、题型二：三角恒等变换16．（2024·上海虹口·二模）设()sin23cos2f x x x =，将函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()y g x =的图像，则（）A ．函数()y g x =是偶函数B ．函数()y g x =的图像关于直线π2x =对称C ．函数()y g x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数D ．函数()y g x =在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,2⎡⎤-⎣⎦17．（2024·上海静安·二模）函数2sin cos (R)y x x x =-∈的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．3π2D ．π218．（2024·上海长宁·二模）直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为．19．（2024·上海嘉定·二模）已知()22sin cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的最小值为．20．（2024·上海崇明·二模）已知A 、B 、C 是半径为1的圆上的三个不同的点，且AB = ，则AB AC ⋅的最小值是．21．（2024·上海奉贤·二模）已知[]0,πα∈，且2cos 23cos 5αα-=，则α=．22．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a 满足：①[0,2π)a ∈；②存在实数,(2π)b c a b c <<<，使得a ，b ，c 是等差数列，cos b ，cos a ，cos c 也是等差数列.则实数a 的取值范围是.23．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程(e e )2xx ccc y -+=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x xx -+=，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：22sin cos 1x x +=；②两角和公式：()cos cos cos sin sin x y x y x y +=-，③导数：(sin )cos ,(cos )sin ,x x x x =⎧⎨=-''⎩定义双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=．(1)直接写出()sh x ，()ch x 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；(2)当0x >时，双曲正弦函数()y x =sh 的图像总在直线y kx =的上方，求直线斜率k 的取值范围；(3)无穷数列{}n a 满足1a a =，2121n n a a +=-，是否存在实数a ，使得202454a =？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.24．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0(1)请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；(2)设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x f x x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；25．（2024·上海青浦·二模）对于函数()y f x =，其中()22sin cos f x x x x =+-x ∈R ．(1)求函数()y f x =的单调增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，若()1f A =，2AB AC ⋅=，求ABC 的面积．26．（2024·上海嘉定·二模）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，221cos sin 2B B -=-．(1)求角B ，并计算πsin 6B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)若3b =ABC 是锐角三角形，求2a c +的最大值．27．（2024·上海静安·二模）在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，5b =，7c =．(1)求角C 的大小；(2)求sin()A C +的值．28．（2024·上海闵行·二模）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对边的边长分别为a b c 、、，且2sin 30b A a =.(1)求角B ；(2)求sin sin A C +的取值范围.29．（2024·上海松江·二模）设2()sin3sin(0)222f x x x x ωωωω=>，函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)在ABC 中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c ，若3a =2b =，3()2f A =，求角C ．三、题型三：解三角形30．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻t ，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t 最可能为（）太阳高度角时间太阳高度角时间43.13°08:3068.53°10:3049.53°09:0074.49°11:0055.93°09:3079.60°11:3062.29°10:0082.00°12:00A ．09:00B ．10:00C ．11:00D ．12:0031．（2024·上海嘉定·二模）已知()11,OA x y =，()22,OB x y =，且OA 、OB 不共线，则OAB 的面积为（）A ．121212x x y y -B ．122112x y x y -C ．121212x x y y +D ．122112x y x y +32．（2024·上海虹口·二模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为.33．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知ABC 满足8,3BC AC AB ==，P 为ABC 所在平面内一点.定义点集13,3D P AP AB λλλ⎧⎫-==+∈⎨⎬⎩⎭R .若存在点0P D ∈，使得对任意P D ∈，满足0||||AP AP ≥ 恒成立，则0||AP的最大值为.34．（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道12,l l 相交于点O ，一根长度为8的直杆AB 的两端点,A B 分别在12,l l 上滑动（,A B 两点不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ⊥，则OAP △面积的取值范围是.35．（2024·上海徐汇·二模）在ABC 中，1AC =，2π3C ∠=，π6A ∠=，则ABC 的外接圆半径为.36．（2024·上海闵行·二模）双曲线22:16y x Γ-=的左右焦点分别为12F F 、，过坐标原点的直线与Γ相交于A B 、两点，若112F B F A =，则22F A F B ⋅=.37．（2024·上海虹口·二模）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠= .若12AB AA ==，点M 为棱1CC 的中点，点P 在1A B 上，则线段,PA PM 的长度和的最小值为.38．（2024·上海黄浦·二模）在ABC 中，3cos 5A =-，1AB =，5AC =，则BC =.39．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段BC 、CD 是救生栈道的一部分，其中300BC m =，800CD m =，B 在A 的北偏东30︒方向，C 在A 的正北方向，D 在A 的北偏西80︒方向，且90B Ð=°．若救生艇在A 处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道B C D --，则最短距离为m ．(结果精确到1m)40．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点分别为1F 、2F ，M 为双曲线上一点，若122π3F MF ∠=，213OM =，则双曲线的离心率为.41．（2024·上海普陀·二模）设函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，它的最小正周期为π.(1)若函数π12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数，求ϕ的值；(2)在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2a =，π6A =，324B f c ϕ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，求b 的值.42．（2024·上海杨浦·二模）已知()sin (0)f x x ωω=>.(1)若()y f x =的最小正周期为2π，判断函数)()()π(2F x f x f x =++的奇偶性，并说明理由；(2)已知2ω=，ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若π()03f A +=，2a =，3b =，求c 的值.参考答案一、题型一：三角函数1．（2024·上海徐汇·二模）已知函数()y f x =，其中()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，实数0ω>，下列选项中正确的是（）A ．若2ω=，函数()y f x =关于直线5π12x =对称B ．若12ω=，函数()y f x =在[]0,π上是增函数C ．若函数()y f x =在[]π,0-上最大值为1，则43ω≤D ．若1ω=，则函数()y f x =的最小正周期是2π2．（2024·上海奉贤·二模）已知函数()y f x =，其中21y x =+，()y g x =，其中()4sin g x x =，则图象如图所示的函数可能是（）．A ．()()g x y f x =B ．()()f x yg x =C ．()()1y f x g x =+-D ．()()1y f x g x =--【答案】A【分析】根据函数图象和()(),f x g x 的奇偶性判断.【详解】易知()21f x x =+是偶函数，()4sin g x x =是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数，A.()()()24sin 1g x xy h x f x x ==+=，定义域为R ，又()()()()224si 11n 4sin x xh x h x x x =+--+-=-=-，所以()h x 是奇函数，符合题意，故正确；B.()()24n 1si f x y g x x x+==，π,Z x k k ≠∈，不符合图象，故错误；C.()()()2214sin 14si1n y h x f x g x x x x x ++==+-=-=+，定义域为R ，但()()()(),h x h x h x h x -≠-≠-，故函数是非奇非偶函数，故错误；D.()()()2214sin 14si 1n y h x f x g x x xx x +-==--=-=-，定义域为R ，但()()()(),h x h x h x h x -≠-≠-，故函数是非奇非偶函数，故错误，故选：A3．（2024·上海闵行·二模）已知()sin f x x =，集合[,]22D =-，()()()Γ{,|20,,}x y f x f y x y D =+=∈，()()()Ω{,|20,,}x y f x f y x y D =+≥∈.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：集合Γ表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合Ω表示的平面图形的面积不大于2512π.A ．①真命题；②假命题B ．①假命题；②真命题C ．①真命题；②真命题D ．①假命题；②假命题代入点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭可得2sin sin 2π+面积为正方形面积的一半，即集合故选：A.【点睛】方法点睛：确定不等式表示的区域范围第一步：得到等式对应的曲线；第二步：任选一个不在曲线上的点，若原点不在曲线上，一般选择原点，检验它的坐标是否符合不等式；第三步：如果符合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的区域；若不符合，则另一侧区域为不等式所表示的区域.4．（2024·上海嘉定·二模）已知函数()()y f x x =∈R 的最小正周期是1T ，函数()()y g x x =∈R 的最小正周期是2T ，且()121T kT k =>，对于命题甲：函数()()()y f x g x x =+∈R 可能不是周期函数；命题乙：若函数()()()y f x g x x =+∈R 的最小正周期是3T ，则31T T ≥．下列选项正确的是（）A ．甲和乙均为真命题B ．甲和乙均为假命题C ．甲为真命题且乙为假命题D ．甲为假命题且乙为真命题【答案】C【分析】利用三角函数的周期性，选用特殊函数验证两个命题.【详解】函数()()y f x x =∈R 的最小正周期是1T ，函数()()y g x x =∈R 的最小正周期是2T ，且()121T kT k =>当()sin f x x =时，12πT =，()sin πg x x =时，22T =，满足条件，但函数()()sin sin πy f x g x x x =+=+就不是周期函数，命题甲正确；当()cos 2cos3f x x x =+时，12πT =，()cos 2g x x =-时，2πT =，满足条件，函数()()cos3y f x g x x =+=，32π3T =，有31T T <，命题乙错误.故选：C5．（2024·上海松江·二模）已知点A 的坐标为1322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OP ，则点P 的坐标为.【答案】3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由题意可求π3xOA ∠=，5π326ππxOP ∠=+=，利用任意角的三角函数的定义即可求解．【详解】因为点A 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，可得π3xOA ∠=，6．（2024·上海崇明·二模）已知实数1212,,,x x y y 满足：2222112212121,1,1x y x y x y y x +=+=-=，则112222x y x y +-++-的最大值是．【答案】6【分析】根据已知条件及三角换元，利用三角方程的解法及三角函数的性质即可求解7．（2024·上海奉贤·二模）函数sin()y wx ϕ=+π0,2w ϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图像记为曲线F ，如图所示.A ，B ，C 是曲线F 与坐标轴相交的三个点，直线BC 与曲线F 的图像交于点M ，若直线AM 的斜率为1k ，直线BM 的斜率为2k ，212k k ≠，则直线AB 的斜率为.(用1k ，2k 表示)【答案】12122k k k k -【分析】根据正弦函数的图象与性质写出,,,A B C M 的坐标，求出12,,k k k ，然后确定它们的关系．【详解】由题意2π,Z C wx k k ϕ+=∈，2πC k x w ϕ-=，则2ππ,Z A wx k k ϕ+=+∈，2ππA k x wϕ+-=，(0,sin )B ϕ，由π2ϕ<得π02ϕ<<，则2(2π)(,sin )k M wϕϕ--，1sin 2ππw k k ϕϕ=-+，2sin 2πw k k ϕϕ=-，sin 2ππAB w k k ϕϕ=--，所以21211AB k k k -=，又212k k ≠，所以12122AB k k k k k =-，故答案为：12122k k k k -．8．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.【答案】2π42+【分析】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，借助相似三角形性质用x 表示CE ，结合对称性求出步道长度关于x 的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，显然90AEB ∠= ，由点O 为线段,AB CD 的中点，得两个半圆步道及直道,CE DF 都关于过点O 垂直于AB 的直线对称，则11,22AC x BC x =-=+，又CE AB ⊥，则Rt ACE ∽Rt ECB V ，有2CE AC BC =⋅，即有214DF CE x ==-，因此步道长221()2π14π4f x x x x x =-+=-+，102x <<，求导得24()π14x f x x '=-+-，由()0f x '=，得2π2π4x =+，29．（2024·上海闵行·二模）始边与x 轴的正半轴重合的角α的终边过点(3,4)-，则sin(π)α+=.【答案】45/0.8【分析】结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解．10．（2024·上海虹口·二模）已知集合{}2|tan 0,0x A x x B x x ⎧⎫-=<=≤⎨⎬⎩⎭，则A B = .故答案为：π22x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.11．（2024·上海黄浦·二模）若(3cos ,sin )a θθ=，(cos ,3sin )b θθ=，其中R θ∈，则a b ⋅=.【答案】3【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】223cos 3sin 3a b θθ⋅=+=，故答案为：312．（2024·上海青浦·二模）已知向量()1,1a =-，()3,4b = ，则,a b <>=．【答案】2arccos10【分析】由向量的数量积公式求两个向量的夹角即可.【详解】由向量的夹角公式得342cos ,1025a b a b a b⋅-+<>===⨯ ，又因为[],0,πa b <>∈ ，所以2,arccos 10a b <>= .故答案为：2arccos10.13．（2024·上海闵行·二模）已知定义在0+∞（,）上的函数()y f x =的表达式为()sin cos f x x x x =-，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列{}n x （1,N n n ≥∈）.(1)求函数()y f x =在区间()0,π上的值域；(2)求证：函数()y f x =在区间()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上有且仅有一个零点；(3)求证：()11ππn n n x x n++<-<.【答案】(1)()0,π(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求得()f x 的导数，判断()f x 的单调性，可得所求值域；（2）讨论n 为奇数，或偶数时，()f x 的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明；（3）由（2）可知函数()f x 在()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上且仅有一个零点n x ，再由零点存在定理、以②因为()()112222133ππ3π22tan π1π2πn n n n n n n x x x x x x x n n n +++--+=<<=<+⋅由（1）可知，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan x x<故()()()11ππtan πn n n n x x x x n ++-+<-+<，所以1ππn n x x n+-<+；由①②可知()11ππn n n x x n++<-<.【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助()f x 在()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上且仅有一个零点n x ，利用正切函数的性质和不等式的性质求解.14．（2024·上海金山·二模）已知函数()y f x =，记()()sin f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，x ∈R .(1)若函数()y f x =的最小正周期为π，当(1π6f =时，求ω和ϕ的值；(2)若1ω=，π6ϕ=，函数2()2()y f x f x a =--有零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2ω=，π6ϕ=(2)[1,3]a ∈-【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得ω，再利用三角函数的值域与周期性求得ϕ，从而得解；（2）根据题意，利用换元法将问题转化为220t t a --=在[1,1]x ∈-有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解.【详解】（1）因为函数()y f x =的最小正周期2ππω=，所以2ω=，则当π6x =时，sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π(Z)32k k ϕ+=+∈，得π2π(Z)6k k ϕ=+∈，因为0πϕ<<，所以取0k =得π6ϕ=，（2）解法一：当1ω=，π6ϕ=时，()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，设()πsin [1,1]6t f x x ⎛⎫==+∈- ⎪⎝⎭，由题意得，220t t a --=在[1,1]x ∈-有解，化简得22a t t =-，又()22()211g t t t t =-=--在[1,1]t ∈-上单调递减，15．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．(1)若ππsin 3n n a m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中正整数m 为常数，N,1n n ∈≥），判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(2)若1sin (N,1)n n n a a a n n +=+∈≥，判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(3)设{}n b 是无穷数列，已知1sin (N,1)n n n a b a n n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．所以当()1πZ a k k =∈时，{}n a 是周期为1的周期数列，②当()1πZ a k k ≠∈时，记()sin f x x x =+，则1()n n a f a +=，()1cos 0f x x '=+≥，当且仅当()()1121πZ x k k =+∈时等号成立，即()1cos 0f x x =+>'，所以()f x 在R 上严格增，若12a a <，则12()()f a f a <，即23a a <，进而可得1234a a a a <<<< ，即{}n a 是严格增数列，不是周期数列；同理，若12a a >，可得{}n a 是严格减数列，不是周期数列．综上，当1π()a k k =∈Z 时，{}n a 是周期为1的周期数列；当1π()a k k ≠∈Z 时，{}n a 不是周期数列．（3）必要性：若存在1a ，使得{}n a 是周期数列，设{}n a 的周期为0T ，则00011sin sin n T n T n T n n n b a a a a b +++++=-=-=，所以{}n b 是周期为0T 的周期数列，充分性：若{}n b 是周期数列，设它的周期为T ，记1a x =，则10()a f x x==211()sin a f x b x ==+，是关于x 的连续函数；3221()sin ()a f x b f x ==+，是关于x 的连续函数；…1()T T a f x -=，是关于x 的连续函数；11sin ()T T T a b f x +-=+，令1()sin ()T T g x x b f x -=--，则()g x 是连续函数，且1(2)2sin ()0T T g b f x -+=->，1(2)2sin ()0T T g b f x --=--<，所以()g x 存在零点c ，于是1sin ()0T T c b f c ---=，取1a c =，则111sin ()T T T a b f c c a +-=+==，从而211112sin sin T T T a b a b a a +++=+=+=，322223sin sin T T T a b a b a a +++=+=+=，……一般地，n T n a a +=对任何正整数n 都成立，即{}n a 是周期为T 的周期数列．（说明：关于函数连续性的说明不作要求）【点睛】方法点晴：对于数列的新定义问题，解决问题的关键在于准确理解定义，并结合定义进行判断或转化条件.二、题型二：三角恒等变换16．（2024·上海虹口·二模）设()sin2f x x x =，将函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()y g x =的图像，则（）A ．函数()y g x =是偶函数B ．函数()y g x =的图像关于直线π2x =对称C ．函数()y g x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数D ．函数()y g x =在π2,6π3⎡⎤⎢⎥上的值域为⎡⎤⎣⎦则()3,2g x ⎡⎤∈-⎣⎦，即函数()y g x =在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,2⎡⎤-⎣⎦，故D 正确.故选：D17．（2024·上海静安·二模）函数2sin cos (R)y x x x =-∈的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．3π2D ．π2【答案】A【分析】利用辅助角公式将函数化成()sin y A ωx φ=+的形式，代入周期公式可得结论.【详解】易知()2sin cos 5sin y x x x ϕ=-=+，其中1tan 2ϕ=-，由周期公式可得其最小正周期为2π2πT ω==.故选：A18．（2024·上海长宁·二模）直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为．【答案】4π/45︒【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果.【详解】设直线230x y --=与直线350x y --=的倾斜角分别为,αβ，则1tan 2,tan 3αβ==，且[),0,παβ∈，所以αβ>，因为()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ---===++，所以π4αβ-=，即两条直线的夹角为π4，故答案为：π4.19．（2024·上海嘉定·二模）已知()sin cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪，则函数()y f x =的最小值为．【答案】42【分析】令πsin cos 2sin()4t x x x =+=+，可求t 的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，222(sin cos )()sin cos sin cos x x f x x x x x+=+=，20．（2024·上海崇明·二模）已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且AB=，则AB AC⋅的最小值是．所以πcos 32sin cos 3AB AC bc A A A⎛⎫⋅==⨯-⨯ ⎪⎝⎭3123cos sin cos 22A A A ⎛⎫=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭23cos 3sin cos A A A=-()31cos 23sin 222A A+=-π33sin 232A ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ2,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则AB AC ⋅无最值；综上所述，AB AC ⋅ 的最小值是332-故答案为：332-21．（2024·上海奉贤·二模）已知[]0,πα∈，且2cos 23cos 5αα-=，则α=．【答案】π【分析】由倍角公式化简方程，解出cos α，得α的值.【详解】已知2cos 23cos 5αα-=，由倍角公式得()()24cos 3cos 74cos 7cos 10αααα--=-+=，由[]0,πα∈，[]cos 1,1α∈-，解得cos 1α=-，则πα=.故答案为：π.22．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a 满足：①[0,2π)a ∈；②存在实数,(2π)b c a b c <<<，使得a ，b ，c 是等差数列，cos b ，cos a ，cos c 也是等差数列.则实数a 的取值范围是.【答案】1(arccos ,π)8【分析】设等差数列,,a b c 的公差为m ，根据给定条件，结合三角恒等变换化简得tan 3tan 2mb =，由正切函数性质可得m 随b 增大而增大，再由c 的临界值点得π2ab =+，代入利用二倍角的余弦求解即得.【详解】设等差数列,,a b c 的公差为m ，,a b m c b m =-=+，依题意，cos cos cos cos a b c a -=-，于是cos()cos cos()cos()b m b b m b m --=+--，整理得22sin sin 2sin sin 22b m mb m ---=-，即sin()sin sin sin 2sin sin cos 2222m m m m b b m b -==，因此sin cos cos sin 2sin cos 222m m mb b b -=，即有tan3tan 2mb =，则m 随b 增大而增大，而0m >当(0,π)a ∈，3(π,π)2b ∈时，c 到达2π时是临界值点，此时π2ab =+，23．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程(e e )2xx ccc y -+=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x xx -+=，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：22sin cos 1x x +=；②两角和公式：()cos cos cos sin sin x y x y x y +=-，③导数：(sin )cos ,(cos )sin ,x x x x =⎧⎨=-''⎩定义双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=．(1)直接写出()sh x ，()ch x 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；(2)当0x >时，双曲正弦函数()y x =sh 的图像总在直线y kx =的上方，求直线斜率k 的取值范围；(3)无穷数列{}n a 满足1a a =，2121n n a a +=-，是否存在实数a ，使得202454a =？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.【详解】（1）平方关系：()()22chsh 1x x -=；和角公式：()()()()()ch ch ch sh sh x y x y x y +=+；导数：()()sh()ch()ch()sh()x x x x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩．理由如下：平方关系，()()2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e e e 12244x x x x --++=--=+；和角公式：()e e ch 2x y x yx y +--++=，()()()()e e e e e e e e ch ch sh sh 2222x x y y x yy x x y x y ----++--+=⋅+⋅e e e e e e e e 44x y x y x y x y x y x y x y x y+--+--+--+--+++--+=+e e 2x y x y+--+=故()()()()()ch ch ch sh sh x y x y x y +=+；导数：()()e e ee sh()ch 22x xxx x x ----+'===，()e e ch()sh 2x x x x --'==；（2）构造函数()()sh F x x kx =-，[)0,x ∈+∞，由（1）可知()()ch F x x k '=-，①当1k ≤时，由e e ch()e e 12x xx x x --+=≥⋅=，又因为0x >，故e e x x -≠，等号不成立，所以()()ch 0F x x k '=->，故()F x 为严格增函数，此时()(0)0F x F >=，故对任意0x >，()x kx >sh 恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()(),0,G x F x x '=∈+∞，则()()sh 0G x x =>'，可知()G x 是严格增函数，由(0)10G k =-<与1(ln 2)04G k k=>可知，存在唯一0(0,ln 2)x k ∈，使得0()0G x =，故当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为严格减函数，故对任意0(0,)x x ∈，()()00F F x <=，即()x kx >sh ，矛盾；（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.24．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0(1)请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；(2)设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x f x x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；【答案】(1)补充表格见解析，()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)210,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由表得ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解方程组即可得,ωϕ，进一步可据此完成表格；（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简()g x 的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.【详解】（1）由题意ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解得π2,6ωϕ==，所以函数()y f x =的解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π206x +=时，解得π12x =-，当5π12x =时，ππ2π,sin 2066x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，将表中Δ处的数据补充完整如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ12-π65π122π311π12()sin x ωϕ+011-025．（2024·上海青浦·二模）对于函数()y f x =，其中()22sin cos f x x x x =+-x ∈R ．(1)求函数()y f x =的单调增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，若()1f A =，AB AC ⋅=，求ABC 的面积．所以函数()f x 的单调增区间是()5πππ,π+,Z 1212k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．（2）（2）由已知π()2sin 213f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 232A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π02A <<，所以ππ4π2333A <+<，即π5π236A +=，所以π4A =，又cos 2AB AC AB AC A ⋅=⋅=，所以2AB AC ⋅=，所以ABC 的面积1122sin 22222S AB AC A =⋅=⨯⨯=．26．（2024·上海嘉定·二模）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，221cos sin 2B B -=-．(1)求角B ，并计算πsin 6B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)若3b =ABC 是锐角三角形，求2a c +的最大值．【答案】(1)π3或2π3；当π3B =时，πsin 16B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当2π3B =时，π1sin 62B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2)27【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得cos 21B =±，求出B ，进而求出πsin()6B +即可；（2）由题意可得π3B =，求出C 的范围，根据正弦定理可得2sin ,2sin a A c C ==，利用三角恒等变换化简计算得227sin()a c C ϕ+=+（3tan 5ϕ=），结合ϕ的范围和正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）由2222cos sin 11cos sin 2B B B B ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得21cos 4B =，则cos 21B =±，又0πB <<，所以π3B =或2π3.当π3B =时，ππsin()sin 162B +==；当2π3B =时，π5π1sin()sin 662B +==.（2）若ABC 为锐角三角形，则π3B =，有π022ππ032C A C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得ππ62C <<.由正弦定理，得32sin sin sin 32a c bA C B====，则2sin ,2sin a A c C ==，27．（2024·上海静安·二模）在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，5b =，7c =．(1)求角C 的大小；(2)求sin()A C +的值．28．（2024·上海闵行·二模）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对边的边长分别为a b c 、、，且2sin 0b A =.(1)求角B ；(2)求sin sin A C +的取值范围.【答案】(1)π3(2)3(,3]2.【分析】（1）由已知结合正弦定理可得结果；（2）根据ABC 为锐角三角形求出ππ(,)62A ∈，利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简2πsin sin sin sin()3A C A A +=+-，根据正弦函数性质可得结果.【详解】（1）2sin 30b A a -= ，2sin sin 3sin 0A B A ∴-=，又 π0,,sin 02A A ⎛⎫∈∴≠ ⎪⎝⎭，3πsin ,0,22B B ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，∴π3B =.（2）由（1）可知，π3B =，且ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032A C A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，A ∴ππ(,)62∈，则2πsin sin sin sin()3A C A A +=+-33sin cos 22A A =+π3sin()6A =+，因为ππ2π363A <+<，sin sin A C ∴+3(,3]2∈.29．（2024·上海松江·二模）设2()sin 3sin (0)222f x x x x ωωωω=>，函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)在ABC 中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c ，若3a =2b =，3()2f A =，求角C ．【答案】(1)π1()sin()62f x x =-+(2)π12【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简()f x ，再根据()y f x =图象的两条相邻对称轴三、题型三：解三角形30．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻t，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t最可能为（）太阳高度角时间太阳高度角时间43.13°08:3068.53°10:3049.53°09:0074.49°11:0055.93°09:3079.60°11:3062.29°10:0082.00°12:00A ．09:00B ．10:00C ．11:00D ．12:00【答案】B【分析】作出示意图形，在四边形ABCD 中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形ABCD 的外接圆直径大小，然后在Rt BDE △中利用锐角三角函数定义，算出DBE ∠的大小，即可得到本题的答案.【详解】如图所示，设两竖直墙面的交线为DE ，点E 被太阳光照射在地面上的影子为点B ，点,A C 分别是点B 在两条墙脚线上的射影，连接AC ，BD ，BE ，由题意可知DBE ∠就是太阳高度角.∵四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=o ，120ADC ∠= ，∴()36060ABC BAD BCD ADC ∠=-∠+∠+∠= ，∴ABC 中，2222212cos60 1.5121.51 1.752AC AB BC AB BC =+-⋅=+-⨯⨯⨯= ，可得 1.75 1.32AC =≈，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，BD 是其外接圆直径，31．（2024·上海嘉定·二模）已知()11,OA x y =，()22,OB x y =，且OA 、OB 不共线，则OAB 的面积为（）A ．121212x x y y -B ．122112x y x y -C ．121212x x y y +D ．122112x y x y +32．（2024·上海虹口·二模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为.即这个三角形外接圆的直径为161515.故答案为：16151533．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知ABC 满足8,3BC AC AB ==，P 为ABC 所在平面内一点.定义点集13,3D P AP AB λλλ⎧⎫-==+∈⎨⎬⎩⎭R .若存在点0P D ∈，使得对任意P D ∈，满足0||||AP AP ≥ 恒成立，则0||AP 的最大值为.【答案】3【分析】延长AB 到M 满足3AM AB = ，取AC 的靠近A 的三等分点N ，连接MN ，由向量共线定理得,,P M N 三点共线，从而0AP 表示AMN 的边MN 上的高，利用正弦定理求得AMN 的面积的最大值，从而可得结论．【详解】延长AB 到M 满足3AM AB = ，取AC 的靠近A 的三等分点N ，连接MN ，如图，3(1)133(1)3AC AP AB AC AB AM AN λλλλλλ=⋅+-++--== ，所以,,P M N 三点共线，又存在点0P D ∈，使得对任意P D ∈，满足0||||AP AP ≥ 恒成立，则0AP 的长表示A 到直线MN 的距离，即AMN 的边MN 上的高，设0AP h =，由3AC AB =得AC AM =，AB AN =，A ∠公用，因此ABC ANM ≅ ，所以8MN BC ==，AMN 中，设ANM θ∠=，由正弦定理得sin sin sin AM AN MN M Aθ==，MAN ∠记为角A ，所以sin 3sin M θ=，8sin sin AM A θ=，8sin sin M AN A =，所以2132sin sin 96sin sin 2sin sin()ABC AMN M M S S AM AN A A M θθ====+ 2296sin 96sin sin cos cos sin sin cos 3cos sin M M M M M M M θθθ==++96sin cos 3cos M Mθ=+，若θ不是钝角，则222296sin 96sin 1sin 31sin 19sin 99sin ABC MMS M M M θ==-+--+-!，【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查三角形的面积，解题方法其一是根据向量共线定理得出P点在一条直线，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值，解题方法其二是利用正弦定理求三角形的面积，本题中注意在用平方关系转化时，34．（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道12,l l相交于点O，一根长度为8的直杆AB的两端点,A B 分别在12,l l 上滑动（,A B 两点不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ⊥，则OAP △面积的取值范围是.【答案】(0,63]【分析】令π(0)2OAB x x ∠=<<，利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求出OAP △的面积函数，再利用导数求出值域即得.【详解】依题意，设π(0)2OAB x x ∠=<<，则2cos 8cos ,cos 8cos OA AB x x AP OA x x ====，因此OAP △的面积31()sin 32sin cos 2f x OA AP x x x =⋅=，π02x <<，求导得42242()32(cos 3sin cos )32cos (13tan )f x x x x x x '=-=-，当π06x <<时，()0f x '>，当ππ62x <<时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,)6π上递增，在ππ(,)62上递减，因此3max π31()()32()63622f x f ==⨯⨯=，而π(0)()02f f ==，则0()63f x <≤，所以OAP △面积的取值范围是(0,63].故答案为：(0,63]35．（2024·上海徐汇·二模）在ABC 中，1AC =，2π3C ∠=，π6A ∠=，则ABC 的外接圆半径为.【答案】1【分析】由正弦定理求解．【详解】由已知π6B ∠=，设三角形外接圆半径为R ，则122πsin sin 6AC R B ===，所以1R =．故答案为：1.36．（2024·上海闵行·二模）双曲线2:16x Γ-=的左右焦点分别为12F F 、，过坐标原点的直线与Γ相交于A B 、两点，若112F B F A =，则22F A F B ⋅= .【答案】4。

三角函数与解三角形高考试题精选一．解答题（共31小题）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC 的面积为，求cosA与a的值．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．三角函数与解三角形高考试题精选参考答案与试题解析一．解答题（共31小题）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，则S=acsinB=×××=．△ABC5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC 的面积为，求cosA与a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B=A﹣B，∴A=2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，∴bcsinA=，∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B，∴sinC=cosB，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，∵S=ac•sinB=2，△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1．21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．==1．∴S△ABC24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．【解答】解：（1）因为，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．【解答】解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；得cosA=；（2）∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③又已知 cosB+cosC=代入③cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得 sinC=已知 a=1正弦定理：c===29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A，利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．（Ⅱ）由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即 9=+c2﹣2×2×c×，即 c2﹣8c+15=0．解方程求得 c=5，或 c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．当c=5时，求得cosB==，cosA==，∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()A.-3mB.-m3C.m3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求cosα-β的值.【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，而tanαtanβ=2，所以=12×2b×kb×sin A2+12×kb×b×sin A2，故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y=sin x的的最小正周期为T=2π，函数y=2sin3x-π6的最小正周期为T=2π3，所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=()A.-1B.12C.1D.2【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A：当x∈-π8 ,π3时，2x-π3∈-7π12,π3，由函数y=sin x在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8 ,π3上不为单调递增，故A错误；对B：当x=5π6时，2x-π3=4π3，由x=4π3不是函数y=sin x的对称轴，故x=5π6不是f x 图象的对称轴，故B错误；对C：当x∈-π6 ,π4时，2x-π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,1 2，故C错误；对D：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y=sin2x+2×5π12-π3=sin2x+π2=cos2x，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D.8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由fπ4=1，得sinπ4ω+φ=22，又点π4,1及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2kπ,k∈Z，由f5π8=0，点5π8,0及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2kπ,k∈Z，联立解得ω=2，φ=-π4+2kπ,k∈Z，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f(x)=2sin2x-π4，若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y=sin2x-2θ-π4，则-2θ-π4=π2-kπ,k∈Z，而θ>0，因此θ=-3π8+kπ2,k∈N，所以当k=1时，θ取得最小值为π8 .故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

高考数学模拟试卷复习试题三角函数和解三角形正弦定理和余弦定理的应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为()A.1762海里/小时B ．346海里/小时C.1722海里/小时 D ．342海里/小时2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里3．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为()A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米4．如图所示，要测量河对岸A ，B 两点间的距离，今沿河对岸选取相距40米的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则AB 的距离是() A ．402米B ．202米C ．203米D ．206米5．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为()A ．a kmB ．3a km C.2a km D ．2a km6．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的()A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°7．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为 ()A ．502mB ．503mC ．252m D.2522m8．已知A 、B 两地间的距离为10km ，B 、C 两地间的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地间的距离为()A ．10km B.3km C ．105kmD ．107km9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时()A ．5n mileB ．53n mileC ．10n mileD ．103n mile10．为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼顶D 处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是()A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33m B ．20⎝⎛⎭⎫1＋32mC ．20(1＋3)m D ．30m11．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40°，A B 两船距离为3km ，则B 到C 的距离为()A.19km B ．(6－1)km C ．(6＋1)kmD.7km12．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为()A.1762n mile/hB ．346n mile/h C.1722n mile/hD ．342n mile/h二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：三角函数一．选择题（共10小题）1．已知tan()1αβ+=-，1tan()2αβ-=，则sin 2sin 2αβ的值为( )A ．13B ．13-C ．3D ．3-2．已知tan 2θ=，则sin()cos()2(cos sin()πθπθθπθ+--=-- ) A ．2B ．2-C ．0D ．233．若tan 24tan()04πθθ++=，则sin 2θ的值为( )A ．35B ．45 C ．35-D ．45-4．计算：sin11002sin100(cos160︒-︒=︒)A ．1BC ．2 D．5．cos30cos105sin30sin75(︒︒-︒︒= )A．B． CD6．已知1sin()sin()25ππαα++-=，且(0,)απ∈，则tan()(4πα+= )A ．17-B ．17C ．7D ．7-7．已知1tan()62πα+=，则2sin(2)(3πα-= )A ．45B ．45-C ．34 D ．34-8．已知4tan 3α=-，则sin 2(α= )A ．45-B ．45C ．2425D ．2425-9．已知tan 121tan αα-=+，则sin(2)6πα+的值为( )A． B． CD．10．已知函数()sin(2)6f x x π=+，若将()f x 的图象向右平移6π个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则( )A ．()sin(4)6g x x π=-B ．()sin 4g x x =C ．()sin g x x =D ．()sin()6g x x π=-二．多选题（共1小题）11．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||)ϕπ<的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于点(,0)12π-对称B ．函数()f x 的图象关于2x π=直线对称C ．函数()f x 在区间[,]36ππ-上单调递增D ．1y =与图象23()()1212y f x xππ=-的所有交点的横坐标之和为83π 三．填空题（共7小题）12．若5sin()6πα-=，则2cos(2)3πα+= ．13．已知2παπ<<，若tan 2sin2αα=，则tan α= ．14．若4sin()65πα-=-，则cos()3πα+= ．15．若tan 1α=，则sin cos αα= ．16．已知sin cos 3cos 3sin αβαβ-=-，且sin()1αβ+≠，则sin()αβ-= ． 17．已知α为第四象限角，且5cos α=222)4cos sin πααα-=- ． 18．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，若()f x 的图像在[0，2]3π上与x 轴恰有两个交点，则ω的取值范围是 ． 四．解答题（共4小题）19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且223sin sin 312A BC +=+．（1）求角C 的大小；（2）若a =2c =，求b ．20．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a B =．（1）若ABC ∆，2c =，求a 的值； （2）若21()()2b a b ac -+=，求tan C 的值．21．某同学用“五点法”作函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）根据上表数据，直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求()f x 在区间2[3π-，0]上的最大值和最小值． 22．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． （Ⅰ）确定()f x 的解析式；（Ⅱ）若()()2cos(2)6g x f x x π=++，求函数()g x 的单调减区间．条件①：()f x 的最小值为2-； 条件②：()f x 图像的一个对称中心为5(,0)12π； 条件③：()f x 的图像经过点5(,1)6π-．2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：三角函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知tan()1αβ+=-，1tan()2αβ-=，则sin 2sin 2αβ的值为( )A ．13B ．13-C ．3D ．3-【考点】两角和与差的三角函数 【分析】sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()ααβαβαβαβαβαβαβαββαβαβαβαβαβαβαβαβ++-+-+-+++-===+--+---++--，代入即可求解．【解答】解：因为tan()1αβ+=-，1tan()2αβ-=， 则11sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()121sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()312ααβαβαβαβαβαβαβαββαβαβαβαβαβαβαβαβ-+++-+-+-+++-=====+--+---++----．故选：A ．【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在求解三角函数值中的应用，属于基础题．2．已知tan 2θ=，则sin()cos()2(cos sin()πθπθθπθ+--=-- ) A ．2B ．2-C ．0D ．23【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的恒等变换及化简求值【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解． 【解答】解：因为tan 2θ=，所以sin()cos()cos cos 2222cos sin()cos sin 1tan 12πθπθθθθπθθθθ+--+====------．故选：B ．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3．若tan 24tan()04πθθ++=，则sin 2θ的值为( )A ．35B ．45 C ．35-D ．45-【考点】二倍角的三角函数【分析】由题意利用二倍角公式、两角和的正切公式，先求出tan θ的值，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，计算求得sin 2θ的值．【解答】解：tan 24tan()04πθθ++=，∴22tan 1tan 41tan 1tan θθθθ+=-⨯--， ∴tan 2(1tan )1tan θθθ=-⨯++，22tan 5tan 20θθ∴++=，求得tan 2θ=- 或1tan 2θ=-，当tan 2θ=-时，2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===-++； 当1tan 2θ=-时，22tan 4sin 2tan 15θθθ==-+， 故选：D ．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系式，属于中档题． 4．计算：sin11002sin100(cos160︒-︒=︒)A ．1B C ．2 D ．【考点】二倍角的三角函数；运用诱导公式化简求值【分析】由已知结合诱导公式，两角差的余弦公式进行化简，由此即可求解． 【解答】解：sin11002sin100sin(108020)2sin(9010)2cos10sin 202cos(3020)sin 20cos160cos(18020)cos 20cos 20︒-︒︒+︒-︒+︒︒-︒︒-︒-︒===︒︒-︒︒︒．故选：B ．【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．cos30cos105sin30sin75(︒︒-︒︒= )A ．B ．2C ．2D【考点】两角和与差的三角函数【分析】利用公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，结合诱导公式，可得答案． 【解答】解：cos30cos105sin30sin75︒︒-︒︒ cos30sin15sin30cos15=-︒︒-︒︒sin(1530)sin 45=-︒+︒=-︒2=， 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，属于基础题．6．已知1sin()sin()25ππαα++-=，且(0,)απ∈，则tan()(4πα+= )A ．17-B ．17C ．7D ．7-【考点】两角和与差的三角函数【分析】先利用诱导公式化简条件，再结合同角三角函数基本关系，推出3tan 4α=，然后由两角和的正切公式，得解．【解答】解：因为1sin()sin()25ππαα++-=，所以1sin cos 5αα-+=， 又22sin cos 1αα+=，且(0,)απ∈，所以3sin 5α=，4cos 5α=， 所以sin 3tan cos 4ααα==， 所以31tan 14tan()7341tan 14πααα+++===--． 故选：C ．【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和的正切公式，同角三角函数基本关系，诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7．已知1tan()62πα+=，则2sin(2)(3πα-= )A ．45B ．45-C ．34 D ．34-【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数 【分析】直接利用诱导公式的应用求出三角函数的值．【解答】解：由于1tan()62πα+=，所以22tan()2146sin(2)cos(2)sin(2)sin(2)13626351tan ()164παπππππααααπα+-=-=+-=+===+++． 故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．已知4tan 3α=-，则sin 2(α= )A ．45-B ．45C ．2425D ．2425-【考点】二倍角的三角函数【分析】结合二倍角公式与“同除余弦可化切”的思想，即可得解．【解答】解：222242()2sin cos 2tan 243sin 22sin cos 4125()13sin cos tan ααααααααα⨯-=====-++-+． 故选：D ．【点评】本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，理解同除余弦可化切的思想是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 9．已知tan 121tan αα-=+，则sin(2)6πα+的值为( )A． B． CD．【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果． 【解答】解：由于tan 121tan αα-=+，整理得tan 3α=-，所以22tan 63sin 21tan 105ααα==-=-+；221tan 84cos21tan 105ααα-==-=-+；所以341sin(2)()()6552πα+=-+-⨯=． 故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10．已知函数()sin(2)6f x x π=+，若将()f x 的图象向右平移6π个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则( ) A ．()sin(4)6g x x π=-B ．()sin 4g x x =C ．()sin g x x =D ．()sin()6g x x π=-【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律解决即可． 【解答】解：()sin(2)6f x x π=+，∴将()f x 的图象向右平移6π个单位后， 得()sin[2()]sin(2)6666f x x x ππππ-=-+=-，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象， 则()sin()6g x x π=-，故选：D ．【点评】本题考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，熟练掌握其图象变化规律是解决问题的关键，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题． 二．多选题（共1小题）11．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||)ϕπ<的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于点(,0)12π-对称B ．函数()f x 的图象关于2x π=直线对称C ．函数()f x 在区间[,]36ππ-上单调递增D ．1y =与图象23()()1212y f x xππ=-的所有交点的横坐标之和为83π【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式【分析】由顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点作图求出ϕ，正弦函数的图象和性质，可得函数的解析式．再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：根据函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||)ϕπ<的部分图象， 可得2A =，12254312πππω⨯=-，2ω∴=． 结合五点法作图，可得5212πϕπ⨯+=，6πϕ∴=，故()2sin(2)6f x x π=+．令12x π=-，求得()0f x =，可得函数()f x 的图象关于点(,0)12π-对称，故A 正确；令2x π=，求得()1f x =-，不是最值，故函数()f x 的图象关不于2x π=直线对称，故B 错误；在区间[,]36ππ-上，2[62x ππ+∈-，]2π，函数()f x 单调递增，故C 正确；当[12x π∈-，23]12π，2[06x π+∈，4]π， 直线1y =与图象23()()1212y f x xππ=-的4个交点关于直线3262x ππ+=对称． 设这4个交点的横坐标分别为a 、b 、c 、d ，a b c d <<<，则3(2)(2)2662a d πππ+++=⨯，3(2)(2)2662b c πππ+++=⨯，故所有交点的横坐标之和为83a b c d π+++=，故D 正确， 故选：ACD ．【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点作图求出ϕ，正弦函数的图象和性质，属于中档题． 三．填空题（共7小题）12．若sin()6πα-=，则2cos(2)3πα+= 35- ．【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数【分析】直接利用三角函数的诱导公式的应用求出三角函数的值．【解答】解：由于sin()cos()cos()6263ππππααα-=-+=+=所以2213cos(2)2cos ()1213355ππαα+=+-=⨯-=-．故答案为：35-．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13．已知2παπ<<，若tan 2sin 2αα=，则tan α【考点】二倍角的三角函数【分析】根据同角三角函数基本关系式以及二倍角公式，即可得到结论． 【解答】解：2παπ<<，∴22παπ<<，又tan 2sin 2αα=⇒sin 2sin sin 2sin cos cos 22αααααα=⇒=⋅， 即2sin cos2sincos 222αααα⋅=⋅， 2coscos 2cos 122ααα∴==-，解得：1cos 22α=-，(cos 12α=舍）sin2α∴=，∴tan 2sin2αα=．【点评】本题主要考查函数值的计算，熟练掌握同角三角函数基本关系式以及二倍角公式是解决本题的关键．14．若4sin()65πα-=-，则cos()3πα+= 45．【考点】两角和与差的三角函数 【分析】把所求式子中的角度变为()362πππαα+=-+，利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将已知的等式值代入即可求出值． 【解答】解：4sin()65πα-=-，∴4cos()cos[()]sin()36265ππππααα+=-+=--=． 故答案为：45． 【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，灵活变换所求式子的角度，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．15．若tan 1α=，则sin cos αα=12． 【考点】同角三角函数间的基本关系【分析】根据已知条件，结合弦化切公式，即可求解． 【解答】解：tan 1α=， 222sin cos tan 11sin cos 1112sin cos tan αααααααα∴====+++． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查弦化切公式，属于基础题．16．已知sin cos 3cos 3sin αβαβ-=-，且sin()1αβ+≠，则sin()αβ-= 45- ．【考点】两角和与差的三角函数 【分析】令cosθ=，sin θ=，根据两角和差的正余弦公式化简已知等式可得sin()cos()αθβθ-=+，再利用诱导公式化成同名函数，推出22k παθβθπ-=+++或()()22k παθβθππ-+++=+，k Z ∈，然后分类讨论，即可得解．【解答】解：因为sin cos 3cos 3sin αβαβ-=-， 所以sin 3cos 3sin cos ααββ-=-+，即))ααββ，ααββ=，cosθ=sin θ=，则sin cos cos sin cos cos sin sin αθαθβθβθ-=-，即sin()cos()sin()2παθβθβθ-=+=++，所以22k παθβθπ-=+++或()()22k παθβθππ-+++=+，k Z ∈， 所以222k παβθπ-=++或22k παβπ+=+，k Z ∈，若222k παβθπ-=++，k Z ∈，则224sin()sin(22)cos22cos 12125k παβθπθθ-=++==-=⨯-=-，若22k παβπ+=+，k Z ∈，则sin()sin(2)12k παβπ+=+=，与sin()1αβ+≠相矛盾，不满足条件，综上，4sin()5αβ-=-．故答案为：45-．【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和差的正余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17．已知α为第四象限角，且cos α=22)4cos sin πααα--【考点】二倍角的三角函数【分析】利用同角三角函数关系式及三角恒等变换公式直接计算即可． 【解答】解：因为α为第四象限角，且cos α= 所以sin α==， 又22cos sin (cos sin )(cos sin )αααααα-=-+， )sin cos 4πααα-=-，所以22)14cos sin sin cos πααααα-=-=-+．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，若()f x 的图像在[0，2]3π上与x 轴恰有两个交点，则ω的取值范围是 5[2，4) ．【考点】正弦函数的图象【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【解答】解：若函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的图像在[0，2]3π上与x 轴恰有两个交点，[33x ππω+∈，2]3πωπ+， 2233πωπππ+∴<，求得542ω<， 可得ω的取值范围为5[2，4)，故答案为：5[2，4)．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题． 四．解答题（共4小题）19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且2sin 12A BC +=+．（1）求角C 的大小；（2）若a =2c =，求b ． 【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由已知式子和三角函数公式化简可得1cos()62C π+=，结合C 的范围可得答案；（2）由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，代入数据即可解得．【解答】解：（1）223sin (sin 1)02A B C +-=，2(sin 1)02CC ∴-=．即1cos (sin 1)02C C +-=sin 1C C -=，1cos()62C π+=． C 为ABC ∆的内角，0C π∴<<，∴7666C πππ<+<．从而63C ππ+=，6C π∴=．（2）23a =2c =，∴由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 代入数据化简可得2680b b -+=，解得2b =或4b =．【点评】本题考查解三角形，设计正余弦定理得应用即三角函数公式，属中档题．20．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a B =．（1）若ABC ∆，2c =，求a 的值； （2）若21()()2b a b ac -+=，求tan C 的值．【考点】正弦定理；余弦定理【分析】由2sin a B =可得60A =︒或120︒，（1）由面积可求b ，再由余弦定理可求得a ；（2）由21()()2b a b a c -+=，可得32b c =，进而可求tan C 的值．【解答】解：2sin a B ，∴2sin sin sin A B B A ⇒，60A =︒或120︒，（1）12sin 2ABC S b A ∆=⨯，3b ⇒=，22223223cos60a =+-⨯⨯︒，a ⇒=， （2）21()()2b a b a c -+=，22222132cos 2cos 22a b c b c bc A b A c ⇒=-=+-⇒=，3cos 04c A b ⇒=>，60A ∴=︒，∴32b c =，3sin sin(120)sin 2B C C =︒-=，sin C C ⇒=，tan C =【点评】本题考查解三角形，以及正余弦定理的应用和三角恒等变换，属中档题． 21．某同学用“五点法”作函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）根据上表数据，直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求()f x 在区间2[3π-，0]上的最大值和最小值． 【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式；五点法作函数sin()y A x ωϕ=+的图象【分析】（Ⅰ）直接利用五点法的应用求出函数的关系式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据五点法的表格，所以()2sin(2)3f x x π=+．（Ⅱ）由于203x π-，所以233x πππ-+，当512x π=-时，函数()f x 的最小值为2-；当0x =【点评】本题考查的知识要点：五点法，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．22．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． （Ⅰ）确定()f x 的解析式；（Ⅱ）若()()2cos(2)6g x f x x π=++，求函数()g x 的单调减区间．条件①：()f x 的最小值为2-； 条件②：()f x 图像的一个对称中心为5(,0)12π； 条件③：()f x 的图像经过点5(,1)6π-． 【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式【分析】（Ⅰ）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ，根据函数()f x 的图象过点5(6π，1)-，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5(6π，1)-，可求A 的值，即可得解函数解析式．（Ⅱ）先求()g x 的最简式，再根据正弦型函数的减区间的求法求解． 【解答】解：（Ⅰ）由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为2π， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ=⨯=，所以22Tπω==， 此时()sin(2)f x A x ϕ=+； 选条件①②，因为()f x 的最小值为A -， 所以2A =，因为函数()f x 的一个对称中心为5(,0)12π， 所以52()12k k Z πϕπ⨯+=∈， 解得5?,()6k k Z πϕπ=∈， 因为||2πϕ<，所以6πϕ=，6选条件①③，因为()f x 的最小值为A -， 所以2A =，因为函数()f x 的图像过5(,?1)6π， 则5()?16f π=， 即52sin()?13πϕ+=，51sin()?32πϕ+=， 因为||2πϕ<，所以7513636πππϕ<+<， 所以511,366πππϕϕ+==， 所以()2sin(2)6f x x π=+；选择条件②③，因为函数()f x 的一个对称中心为5(,0)12π， 所以52()12k k Z πϕπ⨯+=∈， 解得5?,()6k k Z πϕπ=∈， 因为||2πϕ<，所以6πϕ=，此时()sin(2)6f x A x π=+，因为函数()f x 的图像过5(,?1)6π， 则5()?16f π=， 即5sin()?13A πϕ+=， 所以11sin16A π=-， 所以2A =，6综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2sin(2)6f x x π=+，所以5()()2cos(2)2sin(2)2cos(2))66612g x f x x x x x ππππ=++=+++=+，由532222122k x k πππππ+++，k Z ∈， 得132424k xk ππππ++，k Z ∈， 所以()g x 的单调递减区间为[24k ππ+，13]24k ππ+，k Z ∈． 【点评】本题考查了三角函数的图像与性质，属于基础题．。

2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设函数f(x)=Acos(ωx+φ)（其中A＞0，|ω|<;4,0<;φ<;π)的大致图象如图所示，则f（x）的最小正周期为（）A. π2B. πC. 2πD. 4π2.（5分）数学必修二介绍了海伦−秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.若把以上这段文字写成公式，即S=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2]，其中a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边.若√3cosB√3sinB =1tanC，b=2，则△ABC面积S的最大值为()A. √3B. √5C. 3D. √23.（5分）某干燥塔的底面是半径为1的圆面O，圆面有一个内接正方形ABCD框架，在圆O的劣弧BC上有一点P，现在从点P出发，安装PA，PB，PC三根热管，则三根热管的长度和的最大值为()A、4B、2√3C、3√3D、2√6A. 4B. 2√3C. 3√3D. 2√64.（5分）现只有一把长为2m的尺子，为了求得某小区草坪坛边缘A，B两点的距离AB(AB大于2m)，在草坪坛边缘找到点C与D，已知∠ACD=90∘，且tan∠ADB=−2√2，测得AC=1.2m，CD=0.9m，BD=1m，则AB=()A. √373m B. √5m C. √172m D. 3√22m5.（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>;0,ω>;0,|φ|<;π2)在一个周期内的图象如图所示.若方程f（x）=m在区间[0，π]上有两个不同的实数解x1,x2，则x1+x2的值为（)A. π3B. 23π或43π C. 43π D. π3或43π6.（5分）设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0⩽t⩽24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：经长期观观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()A、y=12+3sinπ6t,t∈[0,24]B、y=12+3sin(π6t+π),t∈[0,24]C、y=12+3sinπ12t,t∈[0,24]D、y=12+3sin(π12t+π2),t∈[0,24]A. y=12+3sinπ6t,t∈[0,24]B. y=12+3sin(π6t+π),t∈[0,24]C. y=12+3sinπ12t,t∈[0,24]D. y=12+3sin(π12t+π2),t∈[0,24]7.（5分）泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古塔.某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60∘，在塔底C处测得A处的俯角为45∘.已知山岭高CD为256米，则塔高BC为()A. 256(√2−1)米B. 256(√3−1)米C. 256(√6−1)米D. 256(2√3−1)米8.（5分）为迎接校运动会的到来，学校决定在半径为20√2m，圆心角为π的扇形空地4OPQ内部修建一平行四边形观赛场地ABCD，如图所示，则观赛场地面积的最大值为( )A. 200m2B. 400(2−√2)m2C. 400(√3−1)m2D. 400(√2−1)m29.（5分）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（cm）和时)，那么单摆摆动一个周期所需的时间为间t（s）的函数关系式为s=6sin(2πt+π6（）A. 2πsB. πsC. 0.5sD. 1s10.（5分）小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为()A. 11+sin α米 B. 11−cos α米 C. 11−sin α米D. 11+cos α米11.（5分）瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为32，沿山道继续走20m ，抵达B 点位置测得瀑布顶端的仰角为π3.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为π3，则该瀑布的高度约为()A. 60mB. 90mC. 108mD. 120m12.（5分）设y =f(t)是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中0⩽t ⩽24，表格中是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y =f(t)的图象可以近似地看成函数y =k +Asin(ωt +φ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A. y =12+3sin π6t,t ∈[0，24] B. y =12+3sin(π6t +π2)，t ∈[0，24] C. y =12+3sin π12t,t ∈[0,24] D. y =12+3sin(π12t +π2)，t ∈[0,24] 二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）振动量函数y =√2sin(ωx +φ)(ω>;0)的初相和频率分别为-π和32，则它的运动周期为_______________，相位是_______________.14.（5分）如图，在平面直角坐标系中，点P 以每秒π2的角速度从点A 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B ，再以每秒π3的角速度从点B 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为__________.15.（5分）函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>;0,|φ|<;π2)的图象如图所示，则函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为_______________；为了得到g(x)=sinωx的图象，只需把y=f(x)的图象上所有的点向右平移_______________个单位长度.16.（5分）已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0⩽t⩽24，单位：小时)的函数，记作y=f(t).某日各时刻记录的浪高数据如下表：经长期观测，y=f(t)可近似地看成是函数y=Acosωt+b.根据以上数据，可得函数y=Acosωt+b的表达式为__________.17.（5分）一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是____．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用y=Asin(ωt+φ)+b近似地拟合出月平均气温y(单位：℃)与时间t(单位：月)的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间.(答案不唯一)19.（12分）某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：ℎ)的变化近似满足函数关系：f(t)=12−3sin(π12t+π3)，t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？20.（12分）如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m.(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少?(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远?21.（12分）健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)=25sin160πt+115，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期;(2)求此人每分钟心跳的次数;(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.22.（12分）如果α为小于360°的正角，且这个角的7倍角的终边与这个角的终边重合，则这样的角α是否存在?23.（12分）某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：（A＞0，ω＞0）.（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，则船舶在一天中有几个小时可以安全进出该港？答案和解析1.【答案】C;【解析】略2.【答案】A;【解析】此题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，两角和与差公式，考查二次函数求最值问题，考查转化思想，属于较难题．先利用两角和的正弦公式、三角形的内角和、诱导公式化简已知条件可得sinC=√3sinA，由正弦定理可得c=√3a代入面积公式结合二次函数的性质即可求解.解：因为√3cosB√3sinB =1tanC=cosCsinC，所以sinC=√3sinCcosB+√3cosCsinB=√3sin(B+C)=√3sinA，由正弦定理可得：c=√3a，代入面积公式可得：S=√14[a2⋅3a2−(a2+3a2−222)2]=√14[3a4−(2a2−2)2]=√14(−a4+8a2−4)=√14[−(a2−4)2+12]=√−14(a2−4)2+3，所以当a=2时，−14(a2−4)2+3取得最大值3，所以△ABC面积S的最大值为√3，故选：A.3.【答案】null;【解析】此题主要考查三角函数的实际应用，属于基础题.求出|PA|+|PB|+|PC|=2√3sin(θ+φ)，利用三角函数的性质即可求解.解：如图，设∠PAC=θ，θ∈[0,π4]，可得|PA|+|PB|+|PC|=2[cosθ+sin(π4−θ)+sinθ]=(2+√2)cosθ+(2−√2)sinθ=2√3sin(θ+φ)，其中tanφ=3+2√2，φ∈(π4,π2 )，所以(|PA|+|PB|+|PC|)max=2√3，由的范围可以取到最大值.故选B.4.【答案】C;【解析】此题主要考查解三角形的实际应用，考查数学运算的核心素养与应用意识，属于中档题.由题意可得AD=1.5m，利用tan∠ADB，求出cos∠ADB，进一步进行求解即可.解：因为∠ACD=90∘，AC=1.2m，CD=0.9m，所以AD=√AC2+CD2=1.5m.因为tan∠ADB=−2√2，所以cos∠ADB=−13，所以AB=√1.52+12−2×1.5×1×(−13)=√172m.5.【答案】D;【解析】略6.【答案】null;【解析】此题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及应用，通过对实际问题的分析，转化为解决三角函数问题，属基础题.通过排除法进行求解，由y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象，故可以把已知数据代入y=k+Asin(ωx+φ)中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案．解：排除法：∵y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象，∴由T=12可排除C、D，将(3,15)代入，排除B.故选A.7.【答案】B;此题主要考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了数形结合思想和运算求解能力，属于基础题．根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高BC 的值．解：如图所示，在Rt △ACD 中，∠CAD =45°，CD =256， 所以AD =256，在Rt △ABD 中，∠BAD =60°， 所以BD =ADtan∠BAD =256√3， 所以BC =BD −CD =256√3−256， 即塔高BC 为256(√3−1)米． 故选：B.8.【答案】D;【解析】如图所示，连接OC ，设∠COA =θ，作DF ⊥OP ，CE ⊥OP ，垂足分别为F ，E ．根据平面几何知识可知，AB =CD =EF ，DF =OF =CE ，∴CE =20√2sinθ，EF =OE −OF =20√2cosθ−20√2sinθ．故四边形ABCD 的面积S 等于四边形DFEC 的面积，即有S =20√2sinθ×20√2(cosθ−sinθ)=400(sin2θ+cos2θ−1)=400√2sin(2θ+π4)−400，其中θ∈(0,π4)．所以当sin(2θ+π4)=1，即θ=π8时，S max =400(√2−1)，即观赛场地面积的最大值为400(√2−1)m 2．故选D ．9.【答案】D;10.【答案】C; 【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用. 由题设可得PA −1=PAsinα，即可得结果. 解：由题设，PC =PB′sinα=PAsinα，而PC =PA −1，所以PA −1=PAsinα，可得PA =11−sinα米.故选：C11.【答案】A; 【解析】此题主要考查解三角形的应用，根据题意作出示意图是解答该题的关键，考查空间立体感、学科素养和运算能力，属于中档题．作出示意图，过点B 作BC ⊥OA 于C ，结合三角函数和勾股定理，转化为平面几何中的简单计算，即可得解．解：根据题意作出如下示意图，其中tanα=32，β=θ=π3，AB =20m ，过点B 作BC ⊥OA 于C ， 设OH =3x ，则OA =OH tanα=2x ，OB =OH tanβ=√3x ，在Rt △ABC 中，因为AB =20，θ=π3，所以AC =AB ×cos π3=10，BC =AB ×sin π3=10√3，所以OC =OA −AC =2x −10，在Rt △OBC 中，由勾股定理知，(2x −10)2+(10√3)2=(√3x)2， 化简得x 2−40x +400=0，解得x =20， 所以瀑布的高度OH =3x =60m.故答案选：A.12.【答案】A;【解析】略13.【答案】23;3πx−π; 【解析】略14.【答案】f(t)={2sinπt2,0<t⩽2sin[π3(t−2)+π],2<t⩽5;【解析】此题主要考查利用三角函数的定义解决实际问题，在做题过程中点的坐标与角度之间的关系，属于综合题.解：由三角函数的定义可得：当动点P在半径为2的上半圆上运动时，t∈(0,2],终边OP对应的角度为π2t，所以P点坐标为(2cosπ2t,2sinπ2t)，当动点P在半径为1的下半圆上运动时，t∈(2,5],终边OP对应的角度为π3(t−2)+π，所以P点坐标为(cos[π3(t−2)+π],sin[π3(t−2)+π])，综上：动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为y={2sinπ2t,t∈(0,2]sin[π3(t−2)+π],t∈(2,5]15.【答案】π;π6+kπ,k∈Z;【解析】略16.【答案】y=12cosπ6t+1;【解析】此题主要考查了三角函数模型的应用的相关知识，试题难度一般. 解题时先计算出周期和振幅，然后求解解析式即可.解：由表中数据，知周期T=12，∴ω=2πT =2π12=π6，由t=0，y=1.5，得A+b=1.5；由t=3，y=1.0，得b=1.0，∴A=0.5，b=1，∴y=12cosπ6t+1.17.【答案】14;【解析】解：设P 与地面高度与时间t 的关系，f （t ）=Asin （ωt+φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意可知：A=8，B=10，T=12，所以ω=，又因为f （0）=2，故ϕ=-πt所以f （16）=8sin(π- ． 故答案为：14．18.【答案】解：根据图象可知，当t =1时，y 有最小值15;当t =8时，y 有最大值27. ∴{−A +b =15ω+φ=−π28ω+φ=π2A +b =27解得{A =6b =21ω=π7φ=−9π14， ∴y =6sin(π7t −9π14)+21，周期T =2πω=2ππ7=14，振幅A =6.气温在1月份时达到最低， 在8月份时达到最高.;【解析】此题主要考查由y =Asin(ωt +φ)的部分图象确定其解析式，属于中档题． 当t =8月份时平均气温达到最大值25℃，当t =1月份时，平均气温达到最小值15℃，列出方程组，结合周期与振幅，从而可得函数解析式．19.【答案】解：(1)由题意，函数f(t)=12−3sin(π12t +π3)，t ∈[0,24), 根据正弦型函数的性质可得−1⩽sin(π12t +π3)⩽1，所以f(t)max=15,f(t)min=9，可得f(t)max−f(t)min=6，则实验室这一天的最大温差为6℃.(2)由题意，令f(t)>10.5，即12−3sin(π12t+π3)>10.5，即sin(π12t+π3)<12，因为t∈[0,24),可得π12t+π3∈[π3,7π3),所以5π6<π12t+π3<13π6，解得6<t<22，即在6时至22时这段时间内大棚需要降温.;【解析】此题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，三角函数模型的应用，属于中档题.(1)根据正弦型函数的性质可得−1⩽sin(π12t+π3)⩽1，求得f(t)max=15,f(t)min=9，进而求得这一天的最大温差；(2)根据题意，令f(t)>10.5，得到sin(π12t+π3)<12，利用正弦型函数的性质，求得t的范围即可求解.20.【答案】解(1)连接OB，如图所示，设∠AOB=θ，则AB=OBsinθ=20sinθ，OA=OBcosθ=20cosθ，且θ∈(0,π2).因为A，D关于点O对称，所以AD=2OA=40cosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S=AD·AB=40cosθ·20sinθ=400sin2θ.因为θ∈(0,π2)，所以2θ∈(0,π)，所以当sin2θ=1，即θ=π4时，S max=400(m2).此时AO=DO=10√2(m).故当A，D距离圆心O为10√2m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400m2.(2)由(1)知AB=20sinθ，AD=40cosθ，所以AB+BC+CD=40sinθ+40cosθ=40√2sin(θ+π4)，又θ∈(0,π2)，所以θ+π4∈(π4,3π4)，当θ+π4=π2，即θ=π4时，(AB+BC+CD)max=40√2(m)，此时AO=DO=10√2(m)，即当A，D距离圆心O为10√2m时，步行小路的距离最远.;【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查正弦函数的最值，是中档题21.【答案】解(1)T =2π|ω|=2π160π =180(min).(2)f =1T=80. 即此人每分钟心跳的次数为80.(3)p(t)max =115+25=140(mmHg)，p(t)min =115−25=90(mmHg)， 即收缩压为140mmHg ，舒张压为90mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90mmHg ，在正常值范围内.;【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查正弦函数的周期与频率之间的关系以及求正弦函数的的值域相关问题，属于一般题.22.【答案】解：由题意，有7α=k·360°＋α(k ∈Z)，即α=k·60°． 又由于0°＜α＜360°，即0°＜k·60°＜360°(k ∈Z)，则k 取1，2，3，4，5，所以α的值可取60°，120°，180°240°，300°．; 【解析】略.23.【答案】【解析】（1）由题表中数据可得：水深的最大值为13，最小值为7，所以{A +B =13,−A +B =7B =13+72=10,A =13−72=3,且相隔12小时达到一次最大值，说明周期为12，因此T=2πω=12,ω=π6,故f(t)=3sin π6t +10(0≤t ≤24)（2）要想船舶安全，必须f （t ）≥11.5，即3sin π6t +10≥11.5， 所以sin π6t ≥12，所以2kπ+π6≤π6t ≤5π6+2kπ,k ∈Z ，解得12k+1≤t≤5+12k ，k ∈Z ，当k=0时，1≤t≤5；当k=1时，13≤t≤17.故船舶能安全进出该港的时间段为1：00至5：00，13：00至17：00，共8个小时.; 【解析】略。

（3）三角函数与解三角形——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编一、选择题1．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]已知cos()m αβ+=，tan tan 2αβ=，则cos()αβ-=()A.3m- B.3m -C.3m D.3m2．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点.则a =()A.-1B.12C.1D.23．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]当[0,2π]x ∈时，曲线sin y x =与π2sin(36y x =-的交点个数为()A.3B.4C.6D.84．[2024届·黑龙江齐齐哈尔·一模]已知π1cos 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A.78B.78-C.38D.38-5．[2024届·山西长治·一模校考]已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，π||)2ϕ<的部分图象如图所示，若方程()f x m =在π[,0]2-上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是()A.[2,--B.(2,-C.(2,1]--D.[2,1]--6．[2024届·江西·模拟考试]在ABC △中，若sin 2cos cos A B C =，则22cos cos B C +的取值范围为()A.61,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.11,2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C.6,25⎛⎫⎪⎝⎭D.1,22⎫+⎪⎪⎣⎭7．[2024届·湖北·模拟考试联考]在ABC △中，若2225AC BC AB +=，则tan tan tan tan C CA B+=()A.23B.12C.2D.28．[2024届·湖南师大附中·模拟考试]若锐角α，β满足3cos()cos cos αβαβ+=，则tan()αβ+的最小值为()A. B. C. D.二、多项选择题9．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]对于函数()sin 2f x x =和π()sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法中正确的有()A.()f x 与()g x 有相同的零点B.()f x 与()g x 有相同的最大值C.()f x 与()g x 有相同的最小正周期D.()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10．[2024届·河北衡水·二模联考]如图，点A ，B ，C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线2y =相邻的三个交点，且π3BC AB -=，π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()A.4ω=B.9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π24三、填空题11．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=+，则sin()αβ+=__________.12．[2024届·山东威海·二模]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =4b c +=，cos 66C =-.则sin A =________.13．[2024届·长沙市第一中学·模拟考试]已知函数()ππsin (01)33f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象的一条对称轴为直线π4x =，则ω=__________．四、解答题14．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=.（1）求B ；（2）若ABC △的面积为3+，求c .15．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =.（1）求A ；（2）若2a =sin sin 2C c B =，求ABC △的周长.参考答案1．答案：A解析：由cos()m αβ+=得cos cos sin sin m αβαβ-=①.由tan tan 2αβ=得sin sin 2cos cos αβαβ=②，由①②得cos cos sin sin 2mm αβαβ=-⎧⎨=-⎩，所以cos()cos cos sin sin 3m αβαβαβ-=+=-，故选A.2．答案：D解析：由题意知()()f x g x =，则2(1)1cos 2a x x ax +-=+，即()2cos 11x a x =+-.令()2()cos 11h x x a x =-++.易知()h x 为偶函数，由题意知()h x 在(1,1)-上有唯一零点，所以(0)0h =，即cos 0(01)10a -++=，得2a =，故选D.3．答案：C解析：因为函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2π3T =，所以函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与sin y x =在[0,2π]上的图象如图所示，由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.4．答案：A 解析：设π6t α+=，则π6t α=-，1cos 4t =，ππππsin 2sin 2sin 26662t t α⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()2217cos22cos 12148t t ⎡⎤⎛⎫=-=--=-⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选：A.5．答案：B解析：观察图象知，2A =，函数()f x 的周期4π2π[()]π3123T =--=，2π2Tω==，由π(212f =，得ππ22π122k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，而π||2ϕ<，则π3ϕ=，于是π()2sin(23f x x =+，当π[,0]2x ∈-时，π2ππ2[,]333x +∈-，当π2ππ2[,332x +∈--，即π5π[,]212x ∈--，函数()f x单调递减，函数值从减小到2-，当πππ2[,]323x +∈-，即5π[,0]12x ∈-时，函数()f x 单调递增，函数值从2-，显然函数()f x 的ππ[,]23--上的图象关于直线5π12x =-对称，方程()f x m =在π[,0]2-上有两个不相等的实数根，即直线y m =与函数()y f x =在π[,0]2-上的图象有两个公共点，所以实数m的取值范围是(2,-.故选：B.6．答案：B解析：由sin 2cos cos A B C =得sin cos cos sin 2cos cos B C B C B C +=，所以tan tan 2B C +=，又2cos cos 0B C >，所以B ，C 均为锐角，即tan 0B >，tan 0C >.22222cos cos cos sin cos BB C B B+=++()()222222222222222cos 112tan tan tan tan 2sin cos 1tan 1tan tan tan tan tan 11tan 1tan C B C B C C C B C B C B C B C ++++=+==++++++++.因为()222tan tan tan tan 2tan tan 42tan tan B C B C B C B C +=+-=-，所以22cos cos B C +=2262tan tan tan tan 2tan tan 5B CB C B C --+，设3tan tan B C m -=，则()()2222cos cos 3235m B C m m +=---+2228484m m m m m==-++-，因为2tan tan tan tan 12B C B C +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当π4A B ==时等号成立，所以[)2,3m ∈，8m m ⎡⎤+∈⎣⎦，221cos cos 1,2B C ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.故选B .7．答案：B解析：设AC b =，BC a =，AB c =，由2225AC BC AB +=，则2225b a c +=，tan tan cos cos tan tan tan sin sin C C A B C A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭sin sin()cos sin sin C A B C A B +=⋅2sin sin sin cos C A B C=22222c a b cab ab=+-⨯12=，故选：B.8．答案：D解析：23cos()cos cos 3cos cos 3sin sin cos cos tan tan 3αβαβαβαβαβαβ+=⇒-=⇒=.于是tan tan tan()3(tan tan )621tan tan αβαβαβαβ++==+≥-.选D.9．答案：BC解析：对于A ，令()0f x =，则π2k x =，k ∈Z ，又π02k g ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 与()g x 的最大值都为1，故B 正确；对于C ，()f x 与()g x 的最小正周期都为π，故C 正确；对于D ，()f x 图象的对称轴方程为π2π2x k =+，k ∈Z ，即ππ42k x =+，k ∈Z ，()g x 图象的对称轴方程为ππ2π42x k -=+，k ∈Z ，即3ππ82k x =+，k ∈Z ，故()f x 与()g x 的图象的对称轴不相同，故D 错误.故选BC.10．答案：ACD解析：令()()3sin 2f x x ωϕ=+=得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，k ∈Z ，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且π12x =-处在减区间，得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，k ∈Z ，所以4π2π3k ϕ=+，k ∈Z ，所以()44sin 42sin 4sin 4333f x x k x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++π=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，991sin 8232f πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5ππ4,2π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，k ∈Z ，所以ππ244k θ=+，k ∈Z ，则θ的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD.11．答案：223-解析：由题知tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++==--⋅，即sin())αβαβ+=-+，又22sin ()cos ()1αβαβ+++=，可得22sin()3αβ+=±.由π2π2π2k k α<<+，k ∈Z ，3π2ππ2π2m m β+<<+，m ∈Z ，得2()ππ2()π2πk m k m αβ++<+<++，k m +∈Z .又tan()0αβ+<，所以αβ+是第四象限角，故22sin()3αβ+=-.12．答案：3解析：在ABC △中，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以226(6c b -=-⨯-，所以()()62c b c b b -+=+，因为4c b +=，所以4()62c b b -=+，所以466c b -=解得1b =，3c =，由cos 66C =-，可得30sin 6C =，在ABC △中，由正弦定理可得sin sin c aC A=，所以30sin 6sin 33a CA c===.故答案为：53.13．答案：23解析：ππππ()sin coscos sin cos sin 3333f x x x x x x ωωωωω=+++π2sin 4sin 3x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于()f x 的图象的一条对称轴为直线π4x =，所以ππππ()432k k ω+=+∈Z ，解得24()3k k ω=+∈Z ．又因为0||1ω<<，所以23ω=．故答案为：23.14．答案：（1）π3B =（2）c =解析：（1）由余弦定理得2222cos 22a b c C ab +-==，又0πC <<，π4C ∴=.2sin 2B C ==，1cos 2B ∴=，又0πB <<，π3B ∴=.（2）由（1）得5ππ12A B C =--=，由正弦定理sin sin a cA C =22=，132a c +∴=.ABC ∴△的面积211sin 3242S ac B c +==⨯=+，得c =15．答案：（1）π6A =（2）2+解析：（1）解法一：由sin 2A A =，得13sin cos 122A A +=，所以πsin 13A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为0πA <<，所以ππ4π333A <+<，所以ππ32A +=，故π6A =.解法二：由sin 2A A =2sin A A =-，两边同时平方，得223cos 44sin sin A A A =-+，则()2231sin 44sin sin A A A -=-+，整理，得214sin 4sin 0A A -+=，所以2(12sin )0A -=，则1sin 2A =.因为0πA <<，所以π6A =或5π6A =.当π6A =时，sin 2A A +=成立，符合条件；当5π6A =时，sin 2A A +=不成立，不符合条件.故π6A =.解法三：由sin 2A A =，得sin 2A A =，两边同时平方，得22sin 43cos A A A =-+，则221cos 43cos A A A -=-+，整理，得234cos 0A A -+=，所以22cos )0A -=，则3cos 2A =.因为0πA <<，所以π6A =.（2sin sin 2C c B =sin 2sin cos C c B B =，2cos cb B =，所以cos 2B =，因为0πB <<，所以π4B =.7ππ()12C A B =-+=，所以7πππππππsin sinsin sin cos cos sin 12343434C ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭32126222224+=⨯+⨯=.解法一：由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得π2sinsin 4πsin sin 6a Bb A ===7π2sin sin 12πsin sin 6a C c A ===所以ABC △的周长为2a b c ++=+解法二：由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得24πsin sin sin sin sin 6a abc A A B C ++===++，所以14(sin sin sin )42224a b c A B C ⎛⎫++=++=⨯++=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以ABC △的周长为2++。