理论力学：4-13动量矩定理

动量矩定理

蜻蜓、飞机和直升机

儿时的我很爱雨后捉蜻蜓。夏天一场大雨过后，街道上和低洼处到处是水坑。许多蜻蜓在水面上下飞舞，并不时用尾巴尖端表演“蜻蜓点水”的特技。我们就用长竿端部的网兜捕捉蜻蜓，捉到后用细线拴住它的腰部，看它在我的掌握之中乱飞，快乐异常。长大后对蜻蜓的兴趣转为对飞机的热爱，考大学选了飞机设计专业。

飞机（为了与直升机区别，可称其为“平飞飞机”，这里是按它们的飞行状态来区分的）的机翼与蜻蜓的翅膀极为相似，可是它在天空只能不停地往前飞行，不能停止。蜻蜓就有这个本事。直升机克服了平飞飞机（下文中仍简称为飞机）不能在空中悬停的缺点，它依靠旋转的翅膀（正确术语为旋翼）能在空中悬停，并可将重物吊起或降下，所以它在反潜、救灾、反恐、反海盗任务中有独特的优势。

直升机的先祖，至少可追朔到中国明代就出现的竹蜻蜓，直到如今仍是许多孩童的好玩具。现代人又把它叫做“飞螺旋”和“中国陀螺”。它用旋转叶片产生升力，使竹蜻蜓飞起来。

直升机和飞机的主要区别在于它们产生升力的机理不同。飞机靠机身两侧的形似蜻蜓翅膀（见图1）的平直机翼提供升力，前进的动力是由机头的螺旋桨或尾部喷管（即尾喷管）的喷气来提供；而直升机则是借助旋转的机翼（旋翼）产生升力。直升机的旋翼和飞机的螺旋桨都是用旋转的叶片推动空气产生作用力的。飞机的螺旋桨基本不提供升力，只起克服空气阻力使飞机前进的作用；而直升机的旋翼，主要提供升力；在需要前进时，倾斜旋转轴，从而造成水平分力，使直升机前进。一般而言，直升机旋翼叶片的尺寸（长宽和面积）要比飞机螺旋桨叶片大得多。

直升机旋翼的种类

为了讨论直升机的动力学问题，先对直升机的类别进行简介。按照旋翼的数目与配置以及叶片数目来区分，直升机有如下几种：

01

单旋翼直升机

顾名思义，单旋翼直升机就是它只有一个旋翼。一般它必须带一个尾桨负责抵消旋翼产生的反转矩。例如，欧洲直升机公司制造的EC-135直升机。图2就是一个带尾桨的单旋翼直升机图片。

1 y'x'yOCxCxmvCymvzk第十一章 动量矩定理 习题解

[习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：23txC，24tyC，321t，其中长度以m计，角度以rad计，时间以s计。设刚体质量为kg10，对于通过质心C且垂直于图平面的惯性半径m5.0，求st2时刚体对坐标原点的动量矩。

解：

)(1223|22mxtC

)(1624|22mytC

ttdtddtdxvCCx6)3(2

)/(1226|2smvtCx

ttdtddtdyvCCy8)4(2

)/(1628|2smvtCy

2323)21(ttdtddtd

)/(6223|22sradt

kvmMJLCZCzO)]([

kymvxmvmLCCxCCyO][2

kLtO]1612121665.0[10|22

kLtO15|2 )/(2smkg，k是z轴正向的单位向量。

[习题11-2] 半径为R，重为W的均质圆盘固结在长l，重为P的均质水平直杆AB的B端，绕铅垂轴Oz以角速度旋转，求系统对转轴的动量矩。

解：

gPllgPJABz33122, 2 zOABWPxy11vm22vm1OC平动 )(a1OC转动绕定轴C )(b1OC转动绕定轴1 )(Oc1OC在圆弧上作纯滚动 )(dCvglRWlgWgJlz4)4(RW412222,圆盘

圆盘,,zABzzJJL

]4)4(3[222glRWgPlLz

)4443(222gWRgWlgPlLz

)4333(222gWRgWlgPlLz

)433(22RgWlgWPLz

[习题11-3] 已知均质圆盘质量为m，半径为R，当它作图示四种运动时，对固定点1O的动量矩分别为多大？图中lCO1。

习 题

11-1 质量为m的质点在平面Oxy内运动，其运动方程为：tbytax2sin,cos。其中a、b和w均为常量。试求质点对坐标原点O的动量矩。

taxvxsin tbyvy2cos2

xmvymvLyxO

)cos2cos22sinsin(tatbtbtam

)cos2cos22sin(sinttttmab

)cos2cos2cossin2(sintttttmab

)2cos(sincos22tttmab

tmab3cos2

11-2 C、D两球质量均为m，用长为2 l的杆连接，并将其中点固定在轴AB上，杆CD与轴AB的交角为，如图11-25所示。如轴AB以角速度w转动，试求下列两种情况下，系统对AB轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m。

图11-25

(1)

222sin2)sin(2mllmJz 22sin2lmLz

(2)

2202sin32d)sin(2mlxxlmJlz杆 22sin38mlJz

22sin38lmLz

11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m。

图11-26

(a) 231mlLO

(b) 22291)6(121mllmmlJO 291mlLO (c) 2222452312121mllmlmJO 2245mlLO

(d) 2222321mRmRmRJO 223mRLO

11-4 如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m，高为h，试求对底边的转动惯量Jx。

图11-27

面密度为 bhmA2

vABC解：II为AB杆的瞬心234ATMvsinlv222111223IlImlmml22221126sin3ABIABmvTImv219412TMmv总例2 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。vIAAABTTT总例6 一长为l，质量密度为ρ的链条放置在光滑的水平桌面上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初始链条静止，在自重的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。bbl解得lblgv)(222解:链条在初始及终了两状态的动能分别为01T22221lvT在运动过程中所有的力所作的功为)(21)(21)()(2212blgblblgblgbW由1212WTT例7 已知：m，R, f，。求纯滚动时盘心的加速度。CFNmgvCF解：取系统为研究对象，假设圆盘中心向下产生位移s时速度达到vc。s10T力的功：sin12mgsW由动能定理得：sin0432mgsmvC2243CmvTsin32ga解得：例17 均质细杆长为l，质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。杆运动到任一位置(与水平方向夹角为)时的角速度为2cosCCvvCPl此时杆的动能为2222)cos311(212121CCCvmJmvT初动能为零，此过程只有重力作功，由)sin1(2)cos311(2122lmgvmC当＝0°时解出glvC321lg32112TTWPACvCvA杆刚刚达到地面时受力及加速度如图所示，由刚体平面运动微分方程，得(1)ACmgFma21(2)212AClFJml杆作平面运动，以A为基点，则C点的加速度为tnCACACAaaaa沿铅垂方向投影，得t(3)2CCAlaa联立求解方程(1)~(3)，得14AFmgACaCmgFAACaCanCAaAatCA