函数的类型

专题讲座

高中数学“函数的概念与性质”教学研究

李梁 北京市西城区教育研修学院

函数是中学数学中的重点内容;它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.

本专题内容由四部分构成：关于函数内容的深层理解；函数概念与性质的教学建议；学生学习中常见的错误分析与解决策略；学生学习目标检测分析.

研究函数问题通常有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究;二是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念;函数的图象与性质;函数的有关应用等.

一、关于函数内容的深层理解

一函数概念的发展史简述

数学史角度：早期函数概念Descartes;1596—1650引入坐标系创立解析几

何;已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系几何角度；Newton;1642—1727;用数流来定义流量fluxion的变化率;用以表示变量间的关系；Leibniz;1646—1716引入常量、变量、参变量等概念；Euler引入函数符号;并称变量的函数是一个解析表达式代数角度；Dirichlet;1805—1859提出是与之间的一种对应的观点对应关系角度 ；Hausdorff在集合论纲要中用“序偶”来定义函数集合论角度.

Dirichlet：认为怎样去建立与之间的关系无关紧要;他拓广了函数概念;指出：“对于在某区间上的每一个确定的值;都有一个确定的值;那么叫做的函数.”这种函数的定义;避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述;简明精确经典函数定义.

Veblen;1880－1960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义;通过集合概念;把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了;且打破了“变量是数”的限制;变量可以是数;也可以是其它对象.

二初高中函数概念的区别与联系

1．初中函数概念： 设在某个变化过程中有两个变量;如果对于在某个范围内的每一个值;都有唯一的值与它对应;我们就说是的函数;叫自变量;叫的函数.

Excel 财务应用 Excel中函数的种类

Excel提供了丰富的函数，其主要包括11类，分别是数据库函数、日期与时间函数、工程函数、财务函数等。本节主要介绍这些函数的功能。

 数据库函数

当需要分析数据是否符合特定条件时，可以使用数据库工作表函数。例如，在一个包含销售信息的数据清单中，可以计算出所有销售数值大于1,000且小于2,500的行或记录的总数。

excel 2007的工作表函数用于对存储在数据清单或数据库中的数据进行分析，这些函数的统一名称为Dfunctions，也称为D函数，每个函数均有三个相同的参数：database、field和criteria。这些参数指向数据库函数所使用的工作表区域。其中，参数database为工作表上包含数据清单的区域。参数field为需要汇总的列的标志。参数criteria为工作表上包含指定条件的区域。

 日期与时间函数

通过日期函数（NOW函数）和时间函数（DATE函数），可以在公式中分析或处理日期值和时间值。

NOW函数是返回当前系统日期和时间所对应的序列号。例如，单击【函数库】组中的【日期和时间】下拉按钮，执行NOW命令，如图1-37所示。然后在弹出【函数参数】对话框中，单击【确定】按钮，即可计算出当前的日期，如图1-38所示。

图1-37 NOW函数 图1-38 计算时间

提 示 如果在输入函数前单元格的格式为“常规”，则使用NOW函数后，该单元格的格式变为日期格式。

DATA(year,month,day)函数的含义是返回在Excel 2007日期时间代码中代表日期的数字。单击【日期和时间】下拉按钮，执行DATE命令，如图1-39所示。然后在弹出的【函数参数】对话框中，输入相应的数据，如图1-40所示，即可计算出日期的值。

选择

执行

执行

执行 设置

单击 图1-39 执行DATE命令 图1-40 设置函数参数

PHP的数据类型、类型转换及相关函数

标准数据类型

1、布尔型

PHP中0表示false，非0表示true。

例如：$result = false;

$result = 0;

$result = 1;

$result = true;2、整型

例如：$result = 42;

$result = -67293;

$result =

0755; //

八进制数

$result = 0xC4E; // 十六进制数3、浮点型

例如：$result = 3.34343;

$result = 2.0;

$result =

9.39e3;

$result = 1.23E+11;4、字符串

PHP允许用单引号和双引号作为字符串的界定符，并且将字符串看成一个数组，允许通过数组偏移量访问指定的字符。

例如：$result = "welcome";

$result = 'welcome to China';

$result = "welcome";

$char = $result[2]; // 把'c'赋给$char复合数据类型

1、数组

PHP支持多维数组，允许通过数字索引访问数组中的元素，也允许通过关联索引（非数字）来访问数组中的元素。

例如：$list[0] =

"apple";

// 数字索引

$list["shandong"] = "apple"; // 关联索引2、对象

例如：class Appliance

{

// 申明对象

private $_power;

function setPower($status) {

$this->power = $status;

}

}

......

$blender = new Appliance; // 创建对象实例类型转换

1、强制类型转换

第1 页23个函数与导函数类型专题

1、函数第1题已知函数ln

()x1

fx

x1x，若

x0，且

x1，ln

()xk

fx

x1x，求

k的

取值范围.

[解析]⑴将不等式化成

()(*)k模式

由ln

()xk

fx

x1x得：lnlnx1xk

x1xx1x，化简得：ln

22xx

k1

x1①

⑵构建含变量的新函数

()gx

构建函数：ln

()

22xx

gx

x1（x0，且x1）

其导函数由'

''

2uuvuv

v

v求得：'()(lnln)

()22

222

gxxxxx1

x1

即：'()[()()ln]

()22

222

gxx1x1x

x1()

ln

()22

2222x1x1

x

x1x1②

⑶确定

()gx的增减性

先求

()gx的极值点，由'()

0gx0

得：ln2

0

0

2

0x1

x0

x1

即：

ln2

0

0

2

0x1

x

x1③

满足③式的

0x1，即：

()gx的极值点

0x1

在

0xx1时，由于2

2x1

1

x1有界，而

lnx0无界

故：ln2

2x1

x0

x1

即：在

0xx1时，

'()gx0，

()gx单调递减；

那么，在

00xx时，

()gx单调递增.

满足③式得

0x恰好是

0x1

第2 页⑷在

(,)x1由增减性化成不等式

在

(,)x1区间，由于

()hx为单调递减函数，

故：

()lim()

x1gxgxln

lim

2

x12xx

x1

应用不等式：lnxx1得：

ln()

limlimlim

22

x1x1x12xx2xx12x

1

x1

x1x1

即：

()()gxg11，即：

()gx的最大值是

()g1

代入①式得：

()k1gx，即：

()k1g1，即：k0④

⑸在

(,)x01由增减性化成不等式

在

(,)x01区间，由于

()gx为单调递增函数，

故：

()lim()

x0gxgxln

lim

2

x02xx

x1

由于极限

x0xx0limln，故：

()gx0，代入①式得：k1⑤

⑹总结结论

综合④和⑤式得：k0. 故：k的取值范围是

(,]k0

本题的要点：求出ln

22xx

1

x1的最小值或最小极限值.

特刊：洛必达法则解析

⑴由①式ln

22xx

k1

x1，设函数ln

()