第十章 数值积分

数值微分与数值积分

数值微分与数值积分是现代计算机科学中非常重要的数学工具。它们可以用来处理各种研究。在本文中，我们将讨论这两种方法的基础原理，以及它们在不同领域中的应用。

什么是数值微分？

数值微分是指对给定函数进行求导的一种数值方法。在实际应用中，函数的导数通常很难求得解析解，这时需要使用数值微分的方法来进行近似计算。数值微分通常是通过在函数的某个点进行差分计算来完成的。考虑一个函数$f(x)$在某个点$x_0$进行微分的情况。我们可以计算$f(x_0+h)$和$f(x_0-h)$，其中$h$是一个小的正数。然后，我们可以计算$[f(x_0+h) - f(x_0-h)]/2h$来得到$f'(x_0)$的近似值。

数值微分的应用非常广泛。在科学和工程领域中，它通常用于计算物理量相关的导数。例如，流体力学中的速度梯度、量子力学中的波函数导数，都可以使用数值微分进行近似计算。此外，在金融领域中，数值微分也可用于计算期权价格等任意变量导数的近似解。

什么是数值积分？

数值积分是指对给定函数进行积分的一种数值方法。与数值微分类似，函数的积分通常很难求得解析解，而不得不使用数值积分的方法来近似计算。在数值积分中，我们通常使用数值积分公式来计算定义在一个区间$[a,b]$上的函数（如果积分问题是无限积分，我们需要进行变形，将其转化为有限积分问题）。数值积分公式通常基于插值方法，即将函数转化为一个多项式，并对多项式进行积分。

数值积分也应用广泛。在科学和工程领域中，它通常用于计算面积、物质质量，以及探测信号的峰值等。在金融领域中，数值积分也可用于计算期权定价公式的近似解。

数值微分和数值积分的误差分析

在应用数值微分和数值积分时，误差是一个重要的考虑因素。误差源可以来自于采样、采样噪声、近似方法等。通常，我们使用误差分析来评估误差大小。

数值微分的误差通常归因于选取的$h$值。当$h$太大时，我们会失去一些重要的信息，如函数的局部斜率。当$h$太小时，噪音和舍入误差将会显得更加明显。因此，在使用数值微分时，我们需要找到一个适当的$h$值来最小化误差。误差通常使用全局误差和局部误差来计算，局部误差通常是二阶或者更高阶的。我们可以通过减小$h$值来增加计算精度；然而，这样也会增加计算时间和资源的消耗。

1 教案头

授课班级 参考课时 2

学习情境/单元模块/项目名称：二重积分的概念与性质

子情景名称：二重积分的概念与性质

本次课完成子情境内容：

二重积分的概念与性质

学习目标 能力目标 理解二重积分的概念

知识目标 二重积分的概念与性质

学习重点 二重积分的概念与性质

学习难点 二重积分的概念与性质

教学方法 教师讲解结合学生练习

参考资料 侯风波《高等数学》李心灿《高等数学》

教学详案

一、回顾（10分钟）

二、导入（10 分钟）

三、主要教学过程（60分钟，其中学生练习20分钟）

1、曲顶柱体与曲顶柱体体积的计算方法

（1）分割 将区域D任意分割为n个小区域1，2，，n，简单起见，把这样的小区域的面积也记作i(1,2,,)in，相应的，整个曲顶柱体也被分为n个小曲顶柱体．

（2）近似求和

在每个i上任取一点(,)iiip，以这点处的函数值(,)iif近似代替小区域i上每点处的函数值，即把以i为底的曲顶柱体近似的看成以(,)iif为高的平顶柱体，则

(,) (1,2,,)iiiiVfin 2 把n个小平顶柱体的体积加起来便是整个曲顶柱体体积的近似值，即

1(,)niiiiVf

（3）取极限

当上述分割的份数n越来越多且每个小区域的面积越来越小时，上述体积的近似值就会越来越精确，当分割的份数n趋于无穷且每个小平面区域i越来越小收缩于一点时，上述和式的极限就是曲顶柱体体积的精确值，若用表示n个小区域的最大直径，则

01lim(,)niiiiVf

2、二重积分及其基本概念定义；设(,)zfxy为定义在有界闭区域D上的有界函数,将区域D任意分成n个小区域i(1,2,,)in，它们的面积也用i表示，在每个小区域上任取一点(,)ii,作乘积(,)(1,2,,)iiifin,并求和1(,)niiiif,令各个小区域的最大直径为，如果0时，上述和式的极限存在，则称此极限值为函数(,)fxy在区域D上的二重积分，记作

89 第十章 定积分的应用 （ 8 时 ）

§1 平面图形的面积 （ 2 时 ）

一． 直角坐标系下平面图形的面积 ：

1 简单图形：X型和Y型平面图形 .

2简单图形的面积: 给出X型和Y型平面图形的面积公式. 对由曲线0),(yxF和0),(yxG围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.

例1 求由抛物线 xy2与直线 032yx所围平面图形的面积.

3参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间],[ba上的曲边梯形的曲边由方程battyytx)( , )( , , )( , )(给出.又设0)(t,就有)(t↗↗, 于是存在反函数 )(1xt. 由此得曲边的显式方程

],[ , )]([)(1baxxyty.

badtttydxxyS)(| )( || )]([ |1,

亦即 )(| )( || |tdtydxyS.

具体计算时常利用图形的几何特征 .

例2 求由摆线)0)(cos1(),sin(atayttax的一拱与x轴所围平面图形的面积.

例3 求椭圆12222byax所围平面图形的面积.

二 极坐标下平面图形的面积: 推导由曲线 )(rr和射线 , 

) (所围“曲边扇形”的面积公式 . (简介微元法，并用微元法推导公式.半径为r,

顶角为的扇形面积为 221r . )

drA)(212 . 90 例4求由双纽线 2cos22ar 所围平面图形的面积 .

解 4 , 4 , 02cos或45 , 43. ( 可见图形夹在过极点, 倾角为4的两条直线之间 ) . 以代 方程不变图形关于X轴对称;以代, 方程不变,

数值求积公式

数值求积公式（Numerical Integration Formula），是数值分析中的重要概念，是指通过数学方法把一个连续函数在一个给定区间内的积分值近似计算出来的方法。由于很多实际问题中的积分式是难以求解的，在计算机计算中，采取数值求积公式可以减少工作量，提高计算精度。

数值求积公式还有一个别名——数值积分。相对于解析积分，数值积分的特点是可以对任何函数进行积分。只要你能够用程序对函数进行求值，就可以计算相应的数值积分。

本文将在介绍数值求积公式的基本概念、计算方法、误差分析等方面进行详细的阐述。

一、基础概念

1. 定义

数值求积公式就是在求解一个确定积分的同时，用近似值代替积分值。如果一个函数是在一个已知积分区间内可积的，那么我们就可以用数值积分的方法对该函数进行计算，并得到其数值积分值。

2. 积分区间

能够进行数值积分的函数，必须在一个已知的积分区间内是可积的。所谓积分区间，就是指一个确定的区间，该区间内的函数在数学上是成立的，可以进行积分。 3. 数值积分的目的

数值积分的主要目的是求出积分函数在某个区间内的近似值，而这个近似值是通过一系列的数值计算所得的。虽然这种方法无法完全解决所有的积分问题，但是它能够有效地求解一些特殊积分或者是一些无法用解析方法求解的积分。

4. 数值积分的特点

数值积分的计算方法是基于一定的近似方法进行的，所以它其实是属于一种“近似计算”的方式。和解析积分不同的是，数值积分从本质上来讲并不是“精确的”，因为不管采用何种数值积分方法，都需要一定的近似误差。

另外，数值积分通常需要输入整个积分区间的求积函数，这需要求积函数满足一定的数学条件，例如必须是一个连续函数，而且必须在整个积分区间上是有限的。

二、计算方法

数值求积公式的计算方法主要有以下几种。

1. 复合梯形公式

所谓复合梯形公式，就是对积分区间进行分割，对每一小段积分采用梯形法则进行微积分近似，然后对所有子积分区间的积分近似值求和。具体地，设置整个积分区间的分割点数为n，则在每一小段区间中拟合出一个梯形，从而可得下面的计算公式： $$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx