第五章数值积分

数值分析复习资料

一、重点公式

第一章 非线性方程和方程组的数值解法

1）二分法的基本原理，误差：~12kbax

2）迭代法收敛阶：1lim0ipiic，若1p则要求01c

3）单点迭代收敛定理：

定理一：若当,xab时，(),xab且'()1xl，,xab，则迭代格式收敛于唯一的根；

定理二：设()x满足：①,xab时，(),xab，

②121212,,, ()(),01xxabxxlxxl有

则对任意初值0,xab迭代收敛，且：

110111iiiiixxxllxxxl

定理三：设()x在的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1，则迭代格式具有局部收敛性；

定理四：假设()x在根的邻域内充分可导，则迭代格式1()iixx是P阶收敛的()()()0,1,,1,()0jPjP（Taylor展开证明）

4）Newton迭代法：1'()()iiiifxxxfx，平方收敛

5）Newton迭代法收敛定理：

设()fx在有根区间,ab上有二阶导数，且满足：

①：()()0fafb；

②：'()0,,fxxab；

③：'',,fxab不变号 ④：初值0,xab使得''()()0fxfx；

则Newton迭代法收敛于根。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiifxfxfxxxxxfxfxfxfxfxfxxx

收敛阶：152P

7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改

①：已知根的重数r，1'()()iiiifxxxrfx（平方收敛）

②：未知根的重数：1''()(),()()()iiiiuxfxxxuxuxfx，为()fx的重根，则为()ux的单根。

章节 第五章 定积分

§1 定积分的概念与性质 课时 2

教

学

目

的 掌握定积分的概念，性质及中值定理

教学

重点

及

突出

方法 定积分的概念，性质及中值定理

教学

难点

及

突破

方法 定积分的概念，性质及中值定理

相关

参考

资料 《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社

《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社

教

学

过

程 教学思路、主要环节、主要内容

我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。

设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？

我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。 显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。为此我们产生了定积分的概念。

定积分的概念： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

a=x0

定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。

（2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。

第五章 定积分

一、教材分析

定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。古希腊阿基米德用“穷竭法”，我国古代刘徽用“割圆术”，都曾解决过一些面积和体积问题，这些都是定积分的雏形。直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹先后提出了定积分的概念，并发现了积分与微分之间的内在联系，给出了计算定积分的N—L公式，从而才使定积分成为解决有关实际问题的有力工具。

定积分是积分学的一个基本概念，后续的重积分、曲线积分和曲面积分都是在定积分基础上的推广。因此，本章在积分学中占有重要的基础地位。定积分概念的形成反映了微积分的重要思想，定积分的计算则依赖于N—L公式。

二、教学要求

1、理解定积分的概念及性质

2、熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。

3、理解积分上限函数及其求导定理。熟悉牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。

4、了解反常积分的概念

5、知道定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）

三、教学重点与难点

重点：定积分的概念及性质、N—L公式、定积分的换元法和分部积分法

难点：积分上限函数及其求导定理、反常积分。

四、教学内容及课时划分

§5—1 定积分的概念与性质 3课时

§5—2 微积分基本公式 2课时

§5—3 定积分的换元法和分部积分法 3课时

§5—4 反常积分 2课时

习题课 2课时

合计 12课时

五、本章知识结构图

插值型求积公式的求积系数

插值型求积公式是一种常用的数值积分方法，其核心在于通过已知的函数值构造出一个插值多项式，再将积分转化为该多项式的积分。而求积系数，则是决定插值多项式精度和计算效率的关键因素。

下面是插值型求积公式中常用的三种求积系数：

1. 牛顿—柯茨公式的求积系数

牛顿—柯茨公式通过插值多项式的递推方式来求解积分。其求积系数可用牛顿插值多项式的差商来表示。具体公式如下：

$$

\int_{x_{0}}^{x_{n}} f(x) d x \approx w_{0} f\left(x_{0}\right)+w_{1}

f\left(x_{1}\right)+\cdots+w_{n} f\left(x_{n}\right)$$

其中，

$$

w_{0}=h,\ \ w_{i}=\frac{h}{i !} \prod_{j=0}^{i-1}\left(n-j\right)

$$

2. 拉格朗日公式的求积系数

拉格朗日公式的求积系数是通过对插值多项式的积分来求解的。具体公式如下：

$$

\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \sum_{i=0}^{n} f\left(x_{i}\right) \int_{a}^{b}

L_{i}(x) d x$$

其中，

$$

\int_{a}^{b} L_{i}(x) d x=\frac{b-a}{n+1} \prod_{j=0, j \neq i}^{n}

\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}

$$

3. 均值型求积公式的求积系数

均值型求积公式的求积系数是通过对插值多项式在插值点上的值进行平均来求解的。具体公式如下：

$$

\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1}

f\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2 n} i\right)$$