浙江省高中数学竞赛（a卷）参考答案
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浙江省高中数学竞赛（a卷）参考答案
2007年浙江省高中数学竞赛（Ａ卷）参考答案
一、 选择题
1.如果23()1log 2log 9log 64x x x f x =-+-，则使()0f x
3
x <<+∞ 解：显然0x >，且1x ≠。
23()1log 2log 9log 64x x x f x =-+-1log 2log 3log 4x x x =-+-3
log 8
x x =。 要使()0f x <。当1x >时，318x <，即813x <<；当01x
<
18
x >，此时无解。
由此可得， 使()0f x
13
x <<。
2.
已
知
集
合
{
}
c o s 22)s i n A x x x x
R =
++-+>∈
，{}sin cos ,B x x x x R =≥∈，则A B ?＝ （ C ）
A. 4x
x ππ??
<<
B. Ｒ
C. ?
D. 2(21),4x
k x k k πππ??
+<<+∈
Z
解：cos 22(11)0x x ++->2
sin (10x x ?-+
(sin 1)0x x ?-<
没有实数x 可以使上述不等式成立。故A =?。从而有A B ?=?。
3.以 （ B ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
解：以这些边为三角形仅有四种：(1,1,1)，，，。
固定四面体的一面作为底面：
当底面的三边为(1,1,1)
时，另外三边的取法只有一种情况，即；
当底面的三边
为时，另外三边的取法有两种情形，
即
，。
其余情形得到的四面体均在上述情形中。由此可知，四面体个数有３个。
4.从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有
（ C ）种。
A. 89
B. 90
C.91
D. 92
解：若取出的３个数构成递增等比数列2 ,, a aq aq，则有2
1169
a aq aq
≤<<≤。由此有213
q
≤≤。当q固定时，使三个数2
,,
a aq aq为整数的a的个数记作()
N q。由2169
aq≤，知()
N q应是
2
169
q
的整数部分。
2
169
(2)42
2
N
==
，
2
169
(3)18
3
N
==
，
(4)10
N=，(5)6
N=,(6)4
N=，
(7)3
N=,(8)2
N=,(9)2
N=,(10)(11)(12)(13)1
N N N N
====.
因此，取法共有(1)(2)(13)91
N N N
+++=。
5.若在复平面上三个点
00
(0),(),()
A B z z C z z
-+构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，
其中
1
3
z=-+，则△ABC的面积为（A）
A. 1 3
B.
2
3
C.1
D.
4
3
解：依题意，0
z z
i
z z
+
=
-00
1
1
i
z z iz
i
-+
==
+
，2
1
3
z=。
△ABC 的面积为2
0001111(1)(1)2223
AB AC z z z z i i z =-+=-+=。 6. 2007 2007
2007
（ C ）
A. 01
B. 07
C. 43
D. 49
解：记2007
20072007
k N = 2007N 的末二位数。
20062006200620072007(20007)20007N N N N M ==+=?+
其中M 为正整数。由此可得2007N 的末二位数与2006
7N 的末二位数字相同。首先来观
察7n
的末二位数字的变化规律。
7n 的末二位数字的变化是以４为周期的规律循环出现。
200520052006(2007)(50241)N N N ==?- （2005N 为奇整数）
141M =- （1M 为正整数）
14(1)3M =-+
因此，2006
14(1)377N M -+=与37的末二位数字相同，为43。
二、 填空题
7. 设{}n a 为14a =的单调递增数列，且满足22
111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++，则 n a =24n 。
解：22
111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++ 2
111()8()164n n n n n n a a a a a a +++?+-++=
211(4)4n n n n a a a a ++?+-=
14n n a a +?+-=（由题意可知取正号。）
24?
=2?=
因此，
2n =。从而可得24n a n =。
8.
设
,,a b c 为方程
3120
x k x k --=的根（
121
k k +≠），则
111111a b c a b c +++++=
---12
12
331k k k k ++--。 解：由题意，3 12()()()x k x k x a x b x c --=---。由此可得
0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及 121(1)(1)(1)k
k a b c --=---。
1113()()3111(1)(1)(1)
a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------12
12331k k k k ++=--。
9. 设,(1,2,3)k k x y k =均为非负实数，则
2007 。
解：在直角坐标系中，作点(0,0)O ，(0,2007)A ，11231(,)P x x x
y ++，22312(,)P x x y y ++，33123(,)P x y y y ++。则
I
＝3AP ＋32P P ＋21P P ＋1
PO （应用三角不等式） 2AP ≥＋21P P ＋1PO 1AP ≥＋1
PO AO ≥＝2007。 如果取123A P P P ===，即1231230,2007,0x x x y y y ======，那么I 取到最小值2007。
10. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-；又当01x ≤≤时， 1()2f x x = ，则1()2x f x ??
=-
＝()41k k -∈Z 。 解：依题意，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()f x
是以４为周期的周期函数。
因为当01x ≤≤时，1
()2
f x x =
，且()f x 为奇函数，所以当10x -≤
f x x =
。 此时有 1
112
()1113
2
x x f x x x ?-≤≤??=??-+≤≤??。可得1(1)(3)2f f -==-。又因为()f
x 是
以４为周期的周期函数，所以也有1
(41)2
f k -=-，（k ∈Z ）。 11. 设4012
2
N =
，则不超过
1
N
n =的最大整数为2007
2
2-。 解：
<<
∴
<
<, ∴
1
1
2
212N
N
N
n n n ===<<+∑∑,
∴11)1)11)N
n =<<<+,
∴2006
