1一根未被固定的质量为m 的匀质弹簧,在作用其一端的恒力F 作用下沿光滑水平面运动．若将此弹簧一端固定在天花板上悬挂起来,则弹簧此时长度比运动时短．如图所示,为使弹簧长度与恒力F 作用下水平运动时相等,问在弹簧下端应挂质量M 为多少的重物？解：因弹簧有质量,在恒力作用下,虽一端未被固定,仍会有伸长．但由于弹簧各处张力不同,伸长也不均匀．因匀质弹簧质量均匀变化,张力也均匀变化（线性变化）,其总伸长量相当于弹簧受到平均张力2F时的伸长量：2Fk l =∆ （1） 弹簧竖直悬挂时,由于自身有质量,将有伸长．弹簧在自身重力作用下,弹簧中的张力时均匀变化的,各部分伸长也将均匀变化．同样可以利用平均张力12mg ⎛⎫⎪⎝⎭作用下计算伸长量：'12mg k l =∆ 依题意,'l l ∆<∆,再加质量为M 的物体后,如果伸长量变为l ∆,则有关系： 12mg Mg k l +=∆ （2） 式（1）、（2）联立,得()12M F mg g=-2、悬挂在同一高度的两根不可伸长的轻质绳,绳长均为l ,下面挂一质量为M 的光滑匀质薄平板．平板中央有一质量为m 的光滑小木块．开始系统处于静止悬挂状态,两绳互相平行．如图（a ）所示,而后在两绳平面内给平板一个小的水平速度0v ,此板即做小角摆动．求小摆动的周期．（提示,当θ很小时,有近似式21sin ,cos 12θθθθ≈≈-）FM图（b ）图（a ）解：此系统在运动中,除重力做功外,气体外力均不做功,m 和M 间的内力也不做功,所以系统是一个机械能守恒的保守系统．又因为m 和M 间无水平力,所以M 在摆动时,m 只作上、下运动,而且m 的上下运动速度与M 的竖直运动速度分量相等．M 在摆动中,由于绳长相等,M 只作平动,M 的运动可用M 上的一点代表（刚体平动时,刚体上所有质点的运动状态相同）．利用图（b ）写出系统在运动中的动能和势能．系统动能为()22222222111111sin 222222k E Mv m v Mv mv Mv Ml t θθθ∆⎛⎫=+≈+≈= ⎪∆⎝⎭此处由于摆动的角θ为小角度,所以略去2θ项．系统势能为 ()()()211cos 2p E M m gl M m gl θθ=+-≈+ 系统的机械能E 守恒()2221122E Ml M m gl t θθ∆⎛⎫=++ ⎪∆⎝⎭这个表达式与简谐振子的能量表达式相同,因此系统的小角度摆动是一个简谐振动．而且振动角频率ω满足：()22M m gl M m g Ml Mlω++==系统振动周期为2T π=3、如图所示,弹簧振子系统中2kg,100N m,0M k t ===时,0010cm,0x v ==,在1cm h =高处有一质量为0.4kg m =的小物体下落,当M 沿x轴负向通过平衡位置时,小物体刚好落在M 上,且无反弹,试求此后两物体一起运动的规律．解：此题涉及的知识内容主要是动量守恒和简谐运动,而mOx xkmMk从高h 处下落到与M 发生碰撞的过程,在该题中可以忽略不计．因为粘合以后弹簧的组合总是提供给物体系指向平衡位置的力,所以我们可以判断两物体一起运动的规律是简谐运动,简谐运动的频率、初相我们可以较方便地得出,解此问题关键在于粘合后的振幅的确定,这一点则可以借助于动量守恒和能量守恒求解．两物体粘合后仍做简谐运动,从此时开始计时,设其运动方程为 ()=cos x A t ωϕ+ 其中简谐运动的角频率为)rad s ω==设粘合前瞬间,M 至平衡位置速度为m v ,则()22011222m k x Mv = 解得()1m m v ===设两物体粘合后的共同速度为'0v ,则由动量守恒定律有()'0m Mv M m v -=+解得 ()'0251m s 2.46v =⨯= 又因为 ()()2'2011222k A M m v =+解得)'05m 660A === 又由题意可知,初始位移,初相,所以粘合以后两物体一起运动的规律为()m 2x π⎫=+⎪⎪⎝⎭4、如图（a ）所示,U 形槽置于光滑水平面上,其质量为M ,一质量为m 的物块用两根劲图（b ）图（a ）度系数均为k 的轻弹簧与U 形槽相连接,系统初始静止,现作用一水平恒力F 于U 形槽后,试求物块相对于槽的运动规律．解：因为M 和m 为连接体而且涉及到两根弹簧的组合,因为m 的运动是较为复杂的运动．当然,我们可以初步想象到m 的运动可能为简谐运动,因此我们必须为此设想而开拓思路．首先我们可以确定一下m 静平衡的位置；然后以此位置来建立坐标,看其回复力或者加速度的表达式是否与简谐运动的回复力和加速的的表达式相符；最后,确定初始条件A 、ϕ和ω．1） 先求振动体相对平衡的位置．设在力F 作用下,m 与M 无相对运动时,m 离槽中央的距离为0x ,此时对整体,有m M Fa a M m==+ （1）对m 有 02m kx ma = 所以,有 ()02Fmx M m k=+ （2）2） 判断m 相对运动为简谐运动．以相对平衡位置为坐标原点,建立图示x 坐标,m 在任意x 位置时,受力m 、M 如图（b ）所示．对M ()02M F k x x Ma +-= 所以 ()22M F k x F ma M M M M m=+-+ （3） 对于m ,设m 相对滑槽加速度为r a ,则()()02M r k x x m a a --=+ （4） 由（2）、（3）、（4）可得2r M mma k x M+=- 令'2M mk k M+=,故m 相对滑槽的运动为简谐运动． 3） 设运动方程()cos x A t ωϕ=+,下面确定初始条件． 由0t =时,0x x =,即m 相对于槽未动,因而可得()0,02FmA x M m kϕω===+==因此,可得m 相对于槽的运动方程 ()cos 2Fm x M m k ⎫=⎪⎪+⎭5、如图（a ）所示,在水平桌面上的中心有一光滑小孔O ,一条劲度系数为k 的轻而细的弹性绳穿过小孔O ,绳的一段系一质量为m 的质点,弹性绳自然长度等于OA ．现将质点沿桌面拉至B 处（设OB l =）,并将质点沿垂直于OB 的方向以速度0v 沿桌面抛出,试求：1）质点绕O 点转过090至C 点所需的时间． 2）质点到达C 点时的速度及C 点至O 点的距离．解：沿OB 、OC 方向建立直角坐标系,设质点运动至任意位置(),r θ时,加速度及受力如图（b ）所示．由牛顿定律,有cos sin x y ma f kx ma f kyθθ=-=-=-=-可见,质点在x y 、两个方向均做简谐运动,平衡位置均为O ．两者的周期均为2T =1） 质点从B 到C ,质点在x 方向运动的时间为4T ,有4T t ==2） 因质点到达C 点时在y 方向的速度为零,因此C 点的速度就是它在x 方向做简谐运动的最大速度,即图（a ）CB图（b ）max C v v l ω===又因为B C 、两处机械能守恒,设OC y =,因而有 0222211112222C mv ky mv kl +=+ 解得y v =6、如图所示,质量为M 的箱内悬一弹性系数为k 的弹簧,弹簧下端系一质量为m 的小球,弹簧原长为0l ,箱内上下底间距为l ．初始时箱底离地面高度为h ,并静止．小球在弹力和重力作用下达平衡．某时,箱子自由下落,落地时与地作完全非弹性碰撞．设箱着地时,弹簧长度正好与初始未下落时的弹簧长度相等．求1）h 的最小值为多大？2）在1）的条件下,当箱子着地后,小球不会与箱底碰撞的最小l 值．题中设m M =．解：箱子未下落时,弹簧伸长量1l ∆满足1mgl k∆=（1） 当箱子自由下落时,系统质心将作加速度为g 的自由落体运动．由于箱子与小球质量相等,即m M =,可以认为质心始终处于弹簧中点．在质心系中由于质心加速引起的惯性力与重力平衡,因此m 和M 均在质心系中只受弹簧弹力作用．m 和M 均在半根弹簧作用下相对质心做简谐振动,对应得弹性系数均为12k k = （2） 振动周期均为222T πω=== （3） 这里已利用式（1）．箱子着地时,弹簧长度正好与初始未下落时的弹簧长度相等,说明下落过程中,m 和M 均经历了n （自然数）个振动周期,即M,(1,2,)n t nT n == （4） 1） h 的最小值为2222111122mg h gt gT l kππ===∆=2） 一旦箱子着地并处于静止,小球将在整个弹簧的弹力和重力共同作用下作简谐振动,即在弹力与重力作用的静平衡位置附近作简谐振动．由于箱子刚着地时弹簧长度与箱子未下落时相等,因此,箱子刚着地时,小球正好于此平衡位置．但此时小球的速度为2v gT π== 则小球振动的振幅2l ∆满足()2221122k l mv ∆= 得21l l ∆∆ 当小球刚接触箱底而未发生碰撞时,l 应满足()()01201011mgl l l l l l l k=+∆+∆=+∆+=++7、单摆由一根长为2l 的轻质杆和杆段质量为m 的重物组成,若在杆中某点处另加一质量为m 的重物,试求摆的运动周期最多改变百分之几？解：设想有一个摆长为3l 的辅助摆,摆角也为α,此辅助摆在偏离竖直方向同角度时,与异形摆有同样的角速度,即两者有相同的周期．现在原摆杆上固定一质量为m 的重物,它离摆动轴的距离为1l ,则有()()()()122212cos cos cos cos 1122mgl mgl m l m l βαβαωω-+-=+解得()()1222122cos cos g l l l l ωβα+=-+ 同理对3l 列出能量关系式后可得()32cos cos gl ωβα=- 由此当2212312l l l l l +=+时两摆周期相等．此时的周期为32T = 而原摆周期为22T =两式相比,令32T k T =,则有 ()2223122212l l l k l l l l +==+即 22222121220l l k l l k l --+=要保证1l 有解,须使0∆≥,即 ()()222222410l kk l +-≥ 即 42440k k --≥ 解得 0.91k ≥因此,在杆上加一等质量重物时,它的摆动周期最多改变9%．8、一根劲度系数为k 的轻弹簧水平放置,一端固定,另一端连接一个质量为m 的物块,放在水平桌面上,现将物块沿弹簧长度方向拉离平衡位置O ,使它到O 点的距离为0x 时静止释放,此后物体在平衡位置附近来回运动,由于摩擦,振动不断衰减,当物块第n 次速度为零时,恰好停在平衡位置处,求物体与桌面间的动摩擦因数．解：由于摩擦阻力的存在,物体的振动为阻尼振动,不过它的阻力大小却保持不变,属常量阻力下的振动．因最后物体静止于平衡位置处,若动摩擦因数已知,则第()1n -次速度为零的位置确定,以此从后往前推,可确定出释放的初始位置,从而想到用逆推法解本题．设物块从距平衡位置为0x 处从静止开始运动,以后各次速度为零时到平衡位置的距离分别为1221n n x x x x -- 、、、、（0n x =为已知）,逐次应用动能定理有()()()22010122121222212121111221122112212n n n n n n kx kx mg x x kx kx mg x x kx kx mg x x kx mgx μμμμ-------=+-=+-=+=从以上方程分别可得01122112222n n n mg x x k mgx x kmg x x kmg x kμμμμ---=+=+=+=各项相加得()01221n mg n mgx x n k kμμ-=+-= 即 02kx nmgμ=9、如图所示,两质量同为m 的薄木板,用一条质量可以忽略、劲度系数为k 的弹簧相连,置于靠墙光滑的水平地面上．若先把弹簧压缩0d ,然后释放,1）试论述木块B 离墙后两木块相对于它们的中心C 将作什么运动：2）试求出反映出此运动特征的主要物理量．解：1）木块B 离墙后两木块相对于它们的中心C 将作同频率、同振幅的简谐运动． 2）设弹簧恢复原长时右侧物体的速度为0v ,则22001122kd mv =得0v d = 当两物速度相同（为v 共）时,弹簧形变量'd 最大,满足022'202111222222mv mv mv mv kd ==⨯+⨯⨯共共 解得'0d =故该简谐运动的振幅同为04d ,角频率为ω=若取木块B 离墙的最初瞬间（弹簧处于自由状态）为计时原点,在C 点参照系来看,取A B 、平衡位置A B O O 、分别为A B 、的坐标原点,坐标'x 为正向水平向右的坐标,A B 、两振子作余弦简谐运动的初相位A B ϕϕ、可由参考圆定出,分别为31,22A B ϕπϕπ==10、如图所示,一水平横杆MN 距水平地面高为1米,横杆下用细线悬挂一小球A ,A 通过一根轻弹簧与另一相同的小球B 相连．静止不动时,弹簧伸长3cm,今将悬线球A 的细线烧断,A B 、便与弹簧一起往下运动．假设已经知道,在重力作用下A B 、与弹簧合成的系统的重心作自由落体运动,而且发现当B 触及地面上的橡皮泥时,弹簧的伸长刚好为3cm ．然后B 与橡皮泥发生完全非弹性碰撞,试求弹簧相对其自由长度的最大压缩量．解：设A B 、各自质量为m ,弹簧的倔强系数为k ,细线被烧断前弹簧伸长量为1l ∆,则有1mg k l =∆细线烧断后系统下落,系统的重心自由下落,由于A B 、等质量,故系统重心始终位于弹簧的中点C ．取随C 一起自由下落的非惯性系'S ,在此非惯性系中,等价于A B 、都只受半根弹簧的作用力,对应得倔强系数为'2k k =M在这种情形下,A B 、均作简谐振动．振动的角频率为ω==振动周期为22T πω== 由于B 触地时,弹簧的伸长刚好为初态,即伸长3cm,这表明系统下落的时间为弹簧振动周期的整数倍,即(1,2,3)n t n T n == 重心下落距离为222211122n n h gt n gT n h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭其中2110.3m 2h gT ==．很容易发现,2n ≥时,n h 超过1米,不合题意．所以B 触地时,弹簧的弹性势能为2112k l ∆,A B 、相对地面的动能值各为1mghB 球与橡皮泥接触后,其动能为零．而后弹簧被压缩的过程中,A 的动能、重力势能与弹簧弹性势能之和为一恒量．设弹簧相对自由长度的最大压缩量为l ∆,则有()221111122mgh k l mg l l k l +∆+∆+∆=∆ 将111, 3.0cm,30cm mgk l h l =∆==∆代入上式,得 18cm l ∆=11、如图所示,一手电筒和屏幕组成的系统,质量均为m ,被倔强系数均为k 的弹簧悬挂在同一水平面上,当平衡时手电筒的光恰好照在屏幕的中心．已知屏幕和手电筒相对于地面的上下振动表达式分别为()()1122cos cos x A t x A t ωϕωϕ=+=+问：1）在屏幕上的光点相对于屏静止不动； 2）在屏上的光点相对于屏幕作振幅12A A =的振动．初相位12ϕϕ、应满足什么条件？用何种方式让它们启动,才能得到上述结果． 解：光点相对于光屏的运动实际上就是手电筒和屏幕的振动的合成． ()()1212cos cos x x x A t A t ωϕωϕ=-=+-+, 即得12122sinsin 22x A t ϕϕϕϕω-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （1）1）光点相对于屏静止不动,即0x = 由（1）式得 12sin 02ϕϕ-=即12ϕϕ=2）当光点相对于屏幕振幅为2A 时,由（1）式得 12sin12ϕϕ-=故12ϕϕπ-=±由以上讨论可知,若想使光点相对于屏不动,要求12ϕϕ=,即初位相相同,可以把它们同时往下拉（或往上托）A 位移后再同时放手即可办到．同理,若要求光点对屏有2A 的振幅,12ϕϕ、必须满足初位相相反,这可以让手电筒在相对平衡点()A -处,屏在相对平衡点()A +处,而后放手即可办到．12、 如图（a ）所示,质量为m 的圆盘,悬于劲度系数为k 的弹簧下端,在盘上方高h mg k =处有一质量也为m 的圆环,由静止开始自由下落,并与盘发生完全非弹性碰撞,碰撞时间很短,求圆环开始下落到圆盘向下运动至最低点共经历多少时间？解：圆环下落后,与圆盘作完全非弹性碰撞,共同以一定的初速向最低点运动．值得注意的是,振子的质量为2m ,所以未碰前圆盘静止位置并非为振动系统的平衡位置．环自由下落至盘面时的速度为1v ==图（a ）环与盘碰撞,动量守恒,有 122mv mv = 环与盘共同初速为211122m v v v m === 环与盘一起作简谐振动的周期为2T π=未碰之前,弹簧的形变1x 为 1mgx k=碰后振动系统的平衡位置形变为 22mgx k =可见初始位置离平衡位置的距离为 21mgx x k-=图（b ）是简谐振动过程的参考图,环与盘的运动可以看作从图中M 到N 的过程,N 对于最低点,OM mg k =,它对应的圆运动时质点从P 沿PAN 弧运动到N ,对应半径转过()πϕ-．由机械能守恒得2222111222222mg mg mg mv mg A k k A k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求得振幅A = 由图中几何关系有cos 2OM OP ϕ===所以初相ϕ为 4πϕ=则 34πϕπ-= 于是从振动开始到最低点的时间为1328t T T πϕπ-===自由落体时间为2t ==总运动时间为图（b ）12314t t t π⎛=+=+ ⎝13、如图（a ）所示,劲度系数为k 的轻弹簧竖直悬挂,下端与一质量为M 的圆柱体（不能转动）相连,不可伸长的细绳跨过圆柱体,两端分别系有质量为1m 和2m 的重物．细绳与圆柱体之间的摩擦力可忽略不计．试求当两重物同时运动时,圆柱体的振动周期．解：取圆柱体为研究对象,它的受力如图所示,其中kx 为弹簧对它作用的向上的弹力,Mg 为其自身重力,两边的T 是两条绳对它的拉力,圆柱体就是在这几个力的作用下而运动,两边的重物1m 、2m 和圆柱体三者的运动是想关联的,由其运动学关系和牛顿第二定律可列出方程,找出圆柱体运动中的受力特征或者是其运动学特征,如其满足简谐运动的判据,便可根据简谐运动的规律求出圆柱体的振动周期．取弹簧为原长时圆柱体的中心位置为坐标原点,竖直向下为x 轴,当圆柱体中心位于任意位置x 时,受向上的弹簧力kx -,向下的重力Mg 及两绳的拉力2T ,由牛顿第二定律,对于圆柱体有2T Mg kx Ma +-= （1） 上式中a 为此刻圆柱体的加速度,又设此刻物块1m 相对于圆柱体的加速度为'a （设其方向为向下）,则此刻物块2m 相对于圆柱体的加速度则为'a -,故此刻1m 和2m 两物块的加速度1a 和2a 分别为'1a a a =+ （2）1m 2M图（a ）Mg图（b ）'2a a a =- （3） 同样根据牛顿第二定律对物块1m 和2m 可分别列出方程为111m a m g T =- （4） 222m a m g T=- （5） 由（2）-（5）式解得()12122m m T g a m m =-+ （6）（6）式代入（1）式中有1212121244m m m m g a Mg kx Ma m m m m -+-=++ （7）整理上式得1212121244m m m m M g kx M a m m m m ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故得圆柱体的加速度为1212121244m m m m ka x g m m k M m m ⎛⎫ ⎪+ ⎪=-- ⎪+ ⎪+⎝⎭引入一个新的变量'x ,令12'124m m m m x x g k+=- 则前式变为'12124ka x m m Mm m =-++由上式可见,对于新变量'x 来说,圆柱体将作简谐运动,其振动的角频率为ω=因x 与'x 只差一个常量,故对于x 来说,圆柱体也是作简谐运动,其振动的角频率也就是上面的ω,故得圆柱体作简谐运动的周期为22T πω==讨论：以上结果与一个劲度系数为k ,质量为12124m m M m m ⎛⎫+⎪+⎝⎭的弹簧振子的振动周期相同,故对于图（b ）中M 、1m 、2m 三者组成的系统,它们可等效为一个总质量为12124m m Mm m ++的物体,由此有时也将12124m m M m m ++称为这一系统的等效质量（也有称之为折合质量的）．14、沿x +方向传播的简谐波在0t =时刻的波形如图所示,已知该波的振幅为A ,波速为u ,波长为λ．试写出该波的波动表达式．解：原点O 的振动表达式为：()0(0,)cos y t A t ωϕ=+原点O 处质点振动的初始条件为：0t =时,002,0y A v =<．故有 00cos 2y A A ϕ== 即 03ϕπ=于是,原点O 的振动表达式为()(0,)cos 3y t A t ωπ=+ 在x 轴上任取一点P ,其坐标为x ,则P 点的振动表达式为()()(,)cos 22cos 3y x t A t x A ut x ωππλππλ=+-⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦其中用到22uωπγπλ==15、同一媒质中有两个平面简谐波,波源作同频率、同方向、同振幅的振动．两波相对传播,波长为8m ,波传播方向上A B 、两点相距20m ,一波在A 处为波峰时,另一波在B 处位相为2π-,求连线上因干涉而静止的各点的位置．解：由已知条件知,此两平面简谐波为相干波,在两波平面的连线上形成驻波．如果以A 为原点建立Ox 坐标轴,如图所示,以甲波在A 点的位相为零的时刻作为计时起点．在A B 、间,甲波的方程为2cos y A t x πωλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭甲 乙波的方程为2cos y A t x πωϕλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭乙 当甲波使A 质元位移最大正值时,乙波在B 点的相位为2π-,因0t =时,B 处20m x =．2,211.2t x ππωϕλϕπ++=-=-当AB 间的点因干涉为静止时,甲、乙两波在该点的位相差满足()()21,2221,A B n t x t x n ϕϕπππωϕωπλλ-=+⎛⎫++--=+ ⎪⎝⎭得 413x n =+当3,2,1,0,1n =---时,1,5,9,13,17m x =． 这就是AB 连线上因干涉而静止的各点的位置坐标．16、一个人站在广场中央,对着甲、乙、丙三个伙伴吹哨子（频率1200Hz ν=）．甲、O乙、丙距广场中央都是100m 远,且分别在广场中央的南东北面．第四个伙伴丁则从西面乘车以40m 的速度赶来,忽然又一阵稳定的风由南向北吹过来,速度为10m ,如图所示,求甲、乙、丙、丁四个人听到哨声的频率各是多少？已知当时声速为320m ．解：由于风吹动引起介质相对声源和观察者以速度Fv 运动,即F u u v ==观源,应用多普勒效应公式',1200H z v uv uννν+==- 对甲： ,,F F v v u v =-= 则 '1200Hz FFv v v v νν-==-甲 对乙：由于F v 在东西方向无速度分量,故0v u ==,所以 '1200Hz 0v v νν+==-乙 对丙：,,F F v v u v ==- '1200Hz FFv v v v νν+==+丙 对丁：0,40m s,u v == '3204012001350H z0320v u v νν++==⨯=-丁 17、一质点同时参与两个互相垂直的简谐振动,其表达式分别为()2cos 22sin x t y tωψω=+=设2πψ=,试求质点的轨道方程,并在x y -平面上给出其曲线；若ψπ=,轨道曲线怎么变化？解：1）2πψ=时,Fv 丙 北乙 东南 甲西丁图（a ）()()222cos 22cos 212sin 42x t t t x y ωπωω=+=-=--=-这里,x 和y 的变化范围为 22,11x y -≤≤-≤≤由轨道方程242x y =-给出曲线如图（a ）所示． 2）ψπ=时,()()222cos 222cos 212sin 24x t t t x yωπωω=+==-=-x 和y 的变化范围同前,轨道曲线如图（b ）所示．18、沿X -方向传播的简谐波在0t =时刻的波形如图（a ）所示,该波的振幅为A ,波速u 和波长λ均已知．1）试写出该波的波动表达式． 2）试画出2Tt =时刻的波形图,其中T 是周期． 解：1）设坐标原点O 点的振动为()()0,cos y t A t ωψ=+ 初始条件0t =时,y A =-,()cos A t A ωψ+=- 则 ψπ=于是O 点的振动为 ()()0,c o s y t A t ωπ=+ 在X +轴上任取一点P ,其坐标为x ,因波沿X -方向传播,因而P 点的相位比O 点超前2x πλ,于是P 点的振动为()()2,cos 2cos y x t A t x A ut x πωπλππλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦此即波动表达式．2）如图（b ）所示,与0t =时刻的波形（图中虚线）图（b ）图（a ）图（b ）相比,2T t =时刻的波形应向X -方向传播了2λ的距离,如图中实线所示．19、一个质点同时参与两个方向的振动．振动方程分别为 11223c o s 10,c o s 1044y x A t x A t ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．设12A A = 试求：1）当1y =时合振动的振幅和初位相；2）当y 为何值时,合振动的振幅最大？y 为何值时振幅为最小？解：1）当1y =时,1231,44ϕπϕπ==,如图所示,用合成法可求出合振动振幅的大小和初相位值,即1212,24A AOA ϕϕπ-=∠==；合振动的相位相222AOA πϕϕ=+∠= 2）由合成振幅公式可知,当()21cos 1ϕϕ-=时,12A A =达到最大． 即 ()2120,2,3K K ϕϕπ-==±±3244yK πππ-= 所以 ()380,1,2y K K =-=±±()21cos 1ϕϕ-=-时,0A =,达到最小,即 ()()21210,1,2K K ϕϕπ-=+=±±()32144yK πππ-=+ 所以 ()180,1,2y K K =--=±±20、在图中O 处为波源,向左右两边发射振幅为A 、频率为ν的简谐波,波长为λ．当波遇到波密介质界面时将发生全反射,反射面与波源O 之间的距离为54d λ=,试求波源O 两边合成波的波函数．解：设波源的振动方程为()0cos 2y A t πν= 波源在0x >区域产生波函数为1A 波密cos 2x y A t u πν⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦入波源在0d x -<<区域产生波函数为cos 2x y A t u πν⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦入 在x d =-处,入射波所引起的振动为(),cos 2cos 22A d y d t A t u A t πνππν⎡-⎤⎛⎫-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭入由于反射波存在有半波损失,即有π相应的突变,所以反射波在x d =-处引起的振动为 cos 22A y A t ππν⎛⎫=+ ⎪⎝⎭反 反射波的波函数为0cos 2254cos 22cos 2x x y A t u x A t u x A t u ππνλππνπν⎡-⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪=-+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦反 在504x λ-<<区域合成波为()cos 2cos 222cos cos 2y y y x x A t A t u u xA t πνπνππνλ=+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=入反即在此区域内合成波为驻波． 在0x >的区域合成波为 ()2cos 2y y y A t πν=+=入反21、试以弦上传播的脉冲波为例,导出弦上的波速表达式．解：当弦上脉冲以速度u 向右传播时,在以u 向右运动的参考系上看来,波形不动,但弦上的每个质元均以u 沿弦向左运动,如图所示．取脉冲顶部长为l ∆的一小段弦（质元）作研究对象,在该时,此质元近似做匀速率圆周运动．设圆心为O 、曲率半径为R 、l ∆所对应圆中心角为θ、弦上l ∆两边拉力为T ,则对应长度为l ∆的质元的质量为l η∆（η为单位弦长所对应质量即弦线密度）上所受的向心力2sin 2f T θ=当θ很小时sin22θθ≈,故 f T θ≈根据牛顿运动定理得 2u T l Rθη=∆但l R θ∆=,由上式得u =22、两个扬声器X Y 、相距3.0m ,如图所示,令它们同相位地发出频率为660Hz 的相同音调,取声速为330m ,计算能产生多少个干涉极大：1）沿XY 连线；2）沿''X Y 连线,''X Y 平行于XY ,XY 与相距4.0m ．（计算时应包括线段两端可能有的极大值．） 解：依题意设波长为λ,则有 0.5m cfλ== 1） 沿XY 连线时,设由X 发出的声波运动到离X 为m x 处．则波程差为 ()332s x x x ∆=--=- 当波程差为波长的整数倍时有干涉极大,即 32x n λ-=X'X Y解得 32n x =-显然n 最大只能取6n =,因此在连线上包含端点在内共有13个干涉极大．2） 设'P 为''X Y 连线上的某一点,它距'X 为x ,则'Y 距为()3x -,因而有''XP YP ==由题设数据可知,波程差的范围为22λλ- 之间,即在''X Y 连线上包括端点在内共有5个干涉极大．23、飞机在上空以速度200m v =做水平飞行,发出频率为02000Hz f =的声波．静止在地面上的观察者测定,当飞机越过观察者上空时,观察者4s 内测出的频率从12400Hz f =降为21600Hz f =．已知声波在空气中传播的速度为330m v =声,试求飞机的飞行高度．解：观察者在时间4s 内从A 点飞行到B 点,航线高度为h ,地面观察者在M 点接收到从A 点发出的声波频率设为1f ,从B 点发出的声波频率设为2f ．声源沿声线AM 向M 接近的速度cos A u v α= ．沿声线BM 远离M 的速度co s B u v β= ,则由多普勒效应公式有1011,cos .cos 40v f f v v αα==-2033,cos .cos 80v f f v v ββ==+又由几何关系易得 ()cot cot h vt αβ+= 则 cot cot vth αβ=+将200m s,4s,cot v t αβ====1096m h ≈．Au。
