垂径定理 (2)

疑难解析1.如图，直角扇形MON中，∠MON=90°，过线段MN中点A作AB∥ON交 MN于点B，则∠BON=2.如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，则线段DE的长为，1cm，1.如图，过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=57°，那么∠θ的度数为2．⊙O内有一定点M，OM=5cm，⊙O的半径为13cm，则过M点的所有弦中长度为整数的弦共有（）条．A．2 B．3 C．4 D．无数3.如图，A、B、C是⊙O上的三个点，且BC=2AB=2，圆心角∠AOC=120°，则⊙O的半径是1.如图，半径为1的半圆O上有两个动点A，B，若AB=1，则四边形ABCD的面积的最大值是3.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是2.如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧 AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=3.已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为1.如图，两圆同心，半径分别为6与8，又矩形ABCD 的边AB 和CD 分别为小大两圆的弦．则当矩形ABCD 面积最大时，求此矩形的周长2.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y=kx-3k+4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为3.如图，在平面直角坐标系中A （6，0），B （5，3），C （0，3），D （1，3），点P 为线段OA 上一点且∠BPD=45°，则点P 坐标为。

9下-§3.3垂径定理（2）（垂径定理逆定理及推论）课题组一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）1.垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.2. 垂径定理逆定理解读：（1）条件：“弦”不可以是直径；因为任意两直径都被圆心平分,不一定有垂直关系.（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧.3. 垂径定理逆定理的三种语言：文字语言 图形语言 几何语言是直径（AB 过圆心）二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）1.回顾（补充）学习：轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.2. 垂径定理逆定理证明方法:构造等腰三角形,由平分弦得出垂直于弦;由圆心角相等得出弧相等.3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构造直角三角形，利用勾股定理解答.4.定理推论：以下五个条件：“过圆心、垂直于弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧”知二推三.三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）;CD AB ⊥∴AB DM CM ,= ;AD AC =;BD BC =【典例】如图 ，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD ，点O 是弧CD 所在圆的圆心），其中m CD 600=，E 为弧CD 上一点，且OE 平分弦CD ，交CD 于F ，m EF 90=． 求这段弯路的半径．一读：关键词：点O 是圆心，OE 平分弦CD .二联：重要结论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦.重要方法：垂径定理逆定理应用，构造直角三角形.进而用勾股解决问题.三解：解：连接.OC设,R OE OC ==则有.)90(m R OF -=OE 是半径（点O 是圆心），OE 平分弦CDCD OE CD CF ⊥==∴，30021 在OCF RT ∆中，由勾股定理得222OF CF OC +=22290300）（-+=∴R R ∴解得：545=R所以这条弯路的半径为m 545四悟：渗透用代数方法（列方程法）解决几何问题的思想.四、金题核思点拨（学习抓重点，思维抓核心，学必须学的.）1. 下列命题中，假命题是（ ）（A ）平分弧的直径必平分这条弧所对的弦.（B ）圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心.（C ）平分弦的直径垂直于弦.（D ）垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧.核思点拨: 理解“①过圆心、②垂直于弦、③平分弦、④平分劣弧、⑤平分优弧”知二推三.并能灵活应用.答案：选（C ）选项（A ）是由①④(⑤)推③,正确; 选项（B ）是②③推①,正确; 选项（C ）被平分的弦没有说明不是直径,不正确; 选项（D ）②③推④⑤,正确2. 如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ， , ，的中点分别是Q P N M ，，，.若14=+NQ MP ，18=+BC AC ，则直径AB 的长.核思点拨: 垂径定理与逆定理及有关推论的综合运用,求直径AB 长，即求半径长，与条件有关的半径为OQ OP ,,所以连接OQ OP ,,由垂径定理及有关知识说明OQN OPM ,三点共线，再由条件中的两个与线段有关的等式求出OQ OP ,长.答案：连接OP 交AC 于H ，连接OQ 交BC 于KOP 为半径，点P 是 的中点. 点Q 是 的中点.OP AC OP ,⊥∴平分AC ，OQ BC OQ ,⊥∴平分BC在正方形ACDE 中，DE AC DE AC =，//在正方形BCFG 中，FG BC FG BC =，//OP DE OP ,⊥∴平分DE ，OQ FG OQ ,⊥∴平分FGN M ， 是DE ，FG 的中点，OQN OPM ,∴三点共线.18=+BC AC ，92121=+∴BC AC ，18=+NK MH 9=+∴OH OK27918=+=+++OK OH NK MH14=+NQ MP131427=-=+∴OQ OP∴直径13=+=OQ OP ABAC BC AC BC H K。

垂 径 定 理内容提要：圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。

垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。

）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。

）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543 符号语言：⎩⎨⎧⊥ AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BDAD BC AC BEAE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。

推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。

相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）。

概念辨析题：1．下面四个命题中正确的一个是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧典型例题分析：例题1、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.说明：本题主要考查垂径定理．易错点是忘记油面宽度AB 是DB 的2倍．例题2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.说明：①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②作辅助线的能力．例题3、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半CDA BO E径.说明：作出弦)(AB 的弦心距)(OE ，构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键.例题4、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.例题5、如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.说明：此题是利用垂径定理的计算问题，要充分利用条件∠BED=30°，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，通过解直角三角形求解。