数学射影定理公式

射影定理所谓射影，就是正投影。

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)²=AD·DC，（2）(AB)²=AD·AC ，（3）(BC)²=CD·CA。

直角三角形射影定理的证明一、（主要是从三角形的相似比推算来的）在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD²=AD·DC。

其余同理可得可证有射影定理如下：AB²=AD·AC，BC²=CD·CA两式相加得：AB²+BC²=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC² 。

二、用勾股证射影∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD.故AD²=BD×CD.运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。

所谓射影，就是正投影。

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）（BD)²=AD·DC，（2）（AB）²=AD·AC ，（3）（BC）²=CD·CA 。

等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明）直角三角形射影定理的证明射影定理简图(几何画板)证明：（主要是从△ABC中的相似三角形的比值推算过来的）一、在△BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC，又∵∠BDA=∠BDC=90°，∴△BAD∽△CBD，∴ AD/BD＝BD/CD，即BD²=AD·DC。

其余类似可证。

(也可以用勾股定理证明)注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

有射影定理如下：AB²=AD·AC，BC²=CD·CA 。

两式相加得：AB+BC=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC,即AB+BC=AC（勾股定理结论）。

二、已知:三角形中角A=90度,AD是高.用勾股证射影因为AD=AB-BD=AC-CD,所以2AD=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD.故AD=BD×CD.运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。

射影定理所谓射影，就是正投影。

直角三角形射影定理（又叫(Euclid)定理）：中，上的高是两直角边在斜边上射影的。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的和的比例中项。

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有如下：（1）(BD)2=AD·DC，（2）(AB)2=AD·AC ，（3）(BC)2=CD·CA。

射影定理的证明一、（主要是从三角形的相似比推算来的）在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD2=AD·DC。

其余同理可得可证有射影定理如下：AB2=AD·AC，BC2=CD·CA两式相加得：AB2+BC2=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC2 。

二、用勾股证射影∵AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,∴2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD2=(BC+BD)CD-CD2=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD.故AD2=BD×CD.运用此结论可得:AB2=BD2+AD2=BD2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,AC2 =CD2+AD2=CD2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。

同样也可以利用三角形面积知识进行证明。

三、用证明由等积法可知：AB×BC=BD×AC在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB 故AB×BC=BD×AC两边各除以tan∠BAD得：AB^2=AD×AC 同理可得BC2=CD·CA在Rt△A BD和Rt△BCD中tan∠BAD=BD/AD cot∠BCD=CD/BD又∵tan∠BAD=cot∠BCD故BD/AD=CD/BD得BD^2=AD×CD。

射影定理所谓射影，就是正投影。

直角二角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理)：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式：如图，Rt△ ABC中, / ABC=90 , BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：(1) (BD)2=AD- DC, (2) (AB)2=AD- AC , (3) (BC)2=CD- CA一、(主要是从三角形的相似比推算来的)在厶BAD与△ BCD中, vZ ABD y CBD=90，且/ CBD# C=90°,•••/ ABD Z C,又vZ BDA Z BDC=90•••△ BAD^ CBD••• AD/BD=BD/CD即BC2=AD- DC其余同理可得可证有射影定理如下：AB2=AD- AC BC2=CD- CA两式相加得：AB2+BC2= (AD- AC) + (CD- AC) = (AD+CD》AC=AC。

二、用勾股证射影v AC2=ABZ-BD2=AC2-CD2,••• 2AC2=ABZ+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD=(BC+BD)CD-C2=( BC+BD-CD)CD=2BDCD.故AC2=BDX CD.运用此结论可得:AB2=BC2+AC2=BD2+BDX CD=B K (BD+CD) =BD< BC,AC2 =CD2+AD2=CQ+BDX CD=CD(BD+CD)=CECB.综上所述得到射影定理。

同样也可以利用三角形面积知识进行证明。

精选资料，欢迎下载三、用三角函数证明由等积法可知：ABX BC=B K AC 在Rt△ ABD和Rt △ ABC中，tan / BAD=BD/AD=BC/AB 故ABX BC=B K AC两边各除以tan / BAD得：AB A2=A[^ AC 同理可得BC2=CD・ CA在Rt△ ABD和Rt △ BCD中tan / BAD=BD/AD co丄BCD=CD/BD又■/ tan / BAD=cotZ BCD故BD/AD=CD/BD得BDA2=AD( CD精选资料，欢迎下载Welcome !!!精选资料，欢迎下载。

如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项。

(内项要相等时才称为比例中项)比例中项又称"等比中项"或"几何中项"。

所谓射影，就是正投影。

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)²=AD·DC，（2）(AB)²=AD·AC ，（3）(BC)²=CD·CA。

直角三角形射影定理的证明一、（主要是从三角形的相似比推算来的）在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD²=AD·DC。

其余同理可得可证有射影定理如下：AB²=AD·AC，BC²=CD·CA两式相加得：AB²+BC²=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC² 。

二、用勾股证射影∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD.故AD²=BD×CD.运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。

射影定理前⾔在初中和⾼中阶段，我们接触和使⽤的射影定理有以下两种形式。

射影定理1直⾓三⾓形射影定理，⼜叫欧⼏⾥德(Euclid)定理，其内容：直⾓三⾓形中，斜边上的⾼是两直⾓边在斜边上射影的⽐例中项。

每⼀条直⾓边是这条直⾓边在斜边上的射影和斜边的⽐例中项。

符号语⾔：如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC上的⾼，则有射影定理如下：➊AD^2=BD\cdot DC➋AB^2=BD\cdot BC➌AC^2=CD\cdot BC证明：这主要是由相似三⾓形来推出的，例如，证明AD^2=BD\cdot DC ，在\triangle BAD 与\triangle ACD 中，∠B=∠DAC ，∠BDA=∠ADC=90°，故\triangle BAD\sim\triangle ACD ，所以 \cfrac{AD}{BD}＝\cfrac{CD}{AD}，所以得到，AD^2=BD\cdot DC . 其余仿此证明；注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

⽐如由公式➋+➌得到，AB^2+AC^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=BC^2，即AB^2+AC^2=BC^2，这就是勾股定理的结论。

射影定理2任意三⾓形，⼜称“第⼀余弦定理”，其内容为：三⾓形的任意⼀边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。

符号语⾔：设\triangle ABC 的三边是a 、b 、c ，它们所对的⾓分别是A 、B 、C ，则有：➊a ＝b\cdot\cos C ＋c\cdot\cos B➋b ＝c\cdot\cos A ＋a\cdot\cos C➌c ＝a\cdot\cos B ＋b\cdot\cos A[证法1]：设点C 在直线AB 上的射影为点D ，则AC 、BC 在直线AB 上的射影分别为AD 、BD ，且AD=b\cdot\cos A ，BD=a\cdot\cos B ，故c=AD+BD=b\cdot\cos a ＋a\cdot\cos B . 同理可证其余。

射影定理的三个公式1.黄斑中心距镜头中心距离：黄斑中心距镜头中心距离（f）等于对象距镜头中心距离（u）与像距（v）的比值：f=u/v。

2.反投影距离：反投影距离（z）是指光源（位于黄斑中心）发射到镜头上，经过镜头聚焦后反射到胶片（或光感器）上的距离：z=fv。

3.透照比：透照比（h）是指光通过镜头聚焦时，对象距离与像距的比：h=u/z。

高尔基s) 投影定理（又叫投射定律）是光学成像术语，它指出一束光线透过镜头聚焦时，形成的图像与光线在原来发射点和接收点之间的变换有关。

该定律可以用三个数学表达式来表示，分别是黄斑中心距镜头中心距离（f）、反投影距离（z）和透照比（h）。

黄斑中心距镜头中心距离（f）表示聚焦前，对象与镜头中心的距离，其表达式为：f=u/v，其中u为对象距离镜头中心的距离，v为像距。

黄斑中心处发射出的光线，经过镜头准直聚焦时，发生反射或折射，反向照射到接收点上，表示投影距离（z），其表达式为：z=fv。

反向投影到接收点上时，距离与光线发射点是成比例变化的，通过光线发射点和接收点之间的比值就是透照比（h），其表达式为：h=u/z，其中u是对象距离镜头中心的距离，z是反投影距离。

投射定律的三个数学表达式：（1）黄斑中心距镜头中心距离（f）：f=u/v：（2）反投影距离（z）：z=fv：（3）透照比（h）：h=u/z。

投射定律是利用光在物体和视觉器件之间传输时的变换来获得不同设备（如显微镜，照相机等）之间的成像关系的基础，它的应用非常广泛，在光学成像领域非常重要。

可以使用投射定律来确定、测量镜头的参数，如镜头的焦距、像距等，是实现良好的成像的基础。

另外，它也可以被用来研究复杂的光学系统，例如望远镜、激光调制等，使系统实现最佳成像效果。

射影定理的公式
射影定理是数学中的一个基本定理，它描述了向量空间中一个向量在另一个向量的投影。

射影定理的公式可以通过向量的内积和向量的长度来表示。

设有向量空间V和其中的两个向量u和v。

射影定理表明，向量u在向量v上的投影可以通过以下公式计算：
proj_v(u) = (u · v) / (||v||^2) * v
其中proj_v(u)是向量u在向量v上的投影，·表示向量的内积，||v||表示向量v的长度。

这个公式的含义是，首先计算向量u与向量v的内积，然后除以向量v的长度的平方，最后再乘以向量v。

这样得到的结果就是向量u在向量v上的投影。

射影定理的公式可以用来解决多种问题，例如计算一个向量在另一个向量上的投影，或者判断两个向量是否正交（即它们的投影为零向量）等。

除了射影定理的公式，还有其他与射影相关的公式，例如向量的正交
补空间的性质等。

射影定理在线性代数和几何学中有广泛的应用，是学习这些领域的基础知识之一。

总结起来，射影定理的公式是一个简单而重要的公式，它描述了向量的投影，可以通过向量的内积和向量的长度来计算。

了解并掌握这个公式可以帮助我们更好地理解向量空间和向量投影的概念，为解决相关问题提供了有力的工具。

高中射影定理公式推导过程高中数学中，射影定理是一个重要的几何定理，也是解决几何问题的一种常用方法。

射影定理主要用于求解平面上的几何关系，通过利用相似三角形的性质，可以快速地得到几何问题的答案。

射影定理的公式推导过程如下：假设有一个三角形ABC，其中AB为底边，C为顶点，并且顶点C到底边AB的垂线段为CD。

我们可以利用相似三角形的性质得到以下关系式：∠ACD = ∠BCA （三角形ABC与三角形ACD的一个对应角相等）∠CAD = ∠CBA （三角形ABC与三角形ACD的一个对应角相等）根据正弦定理，我们可以得到以下关系式：AC / sin∠ACD = AD / sin∠CAD （三角形ACD的正弦定理）AB / sin∠BCA = AC / sin∠CBA （三角形ABC的正弦定理）将上述两个等式联立，可以得到以下关系式：AB / sin∠BCA = AD / sin∠CAD将等式两边乘以sin∠CAD，可以得到：AB / sin∠BCA * sin∠CAD = AD将等式中的sin∠BCA * sin∠CAD替换为sin∠C，可以得到：AB / sin∠C = AD其中，∠C为顶点C的内角。

这就是射影定理的公式推导过程。

根据这个公式，我们可以求解各种几何问题。

例如，如果我们已知一个三角形的底边长、顶点到底边的垂线段长和底边上的一个内角，我们可以利用射影定理求解另外两个内角的大小。

另外一个常见的应用是求解平行线之间的长度比。

假设有两条平行线l1和l2，线l1上有一个点A，线l2上有一个点B，并且从点A 向线l2引垂线段AD，那么根据射影定理，可以得到以下关系式：AB / AD = AC / AE其中，AC为线l1上的一个长度，AE为线l2上的一个长度。

通过射影定理，我们可以利用已知信息求解未知信息，从而解决各种几何问题。

这个定理在解题过程中非常实用，可以简化计算，提高解题效率。

射影定理是高中数学中重要的几何定理之一，通过利用相似三角形的性质，可以快速求解平面上的几何问题。

几何证明射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。

一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。

直角三角形射影定理直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。

证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠D AC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（A D）^2=BD·DC。

其余类似可证。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2即（AB）2+（AC）2=（BC）2。

任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。

注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。

射影定理所谓射影，就是正投影。

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)²=AD·DC，（2）(AB)²=AD·AC ，（3）(BC)²=CD·CA。

直角三角形射影定理的证明一、（主要是从三角形的相似比推算来的）在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD²=AD·DC。

其余同理可得可证有射影定理如下：AB²=AD·AC，BC²=CD·CA两式相加得：AB²+BC²=（AD·AC）+（CD·AC）=（AD+CD)·AC=AC²。

二、用勾股证射影∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+B D)CD-CD²=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.故AD²=BD×CD.运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。

直角三角形射影定理公式数学是一门纯粹而优美的学问，而在数学中有一条定理——直角三角形射影定理公式，更是演绎了数学的优美。

一、介绍定理公式直角三角形射影定理公式是数学中的一条重要定理，它表明在任意一个直角三角形中，直角边上的高的平方，等于另外两条边上的射影的乘积之和。

即a²=h²+b²或b²=h²+a²。

定理公式是在研究直角三角形的性质时得出的，它适用于所有的直角三角形，因此具有很高的适用性和普遍性。

二、定理公式的用处直角三角形射影定理公式在数学中有着广泛的应用，它不仅能够用于计算直角三角形的各项性质，还能用于解决实际问题。

例如，在建筑施工中，如果要决定某栋建筑物的高度，可以使用直角三角形射影定理公式计算出楼房斜角的长度，从而进一步确定楼房的高度。

在地图制作中，也可以使用直角三角形射影定理公式来计算出两点之间的航程和方向。

此外，在航天、航海、导弹攻击等领域，也可以用到直角三角形射影定理公式，用来计算出太空船、船只、导弹等在航行过程中的位置和方向。

三、推导定理公式关于直角三角形射影定理公式的推导方法有多种，其中最常用的一种是勾股定理的应用。

勾股定理表明：在任意一个直角三角形中，两个直角边的平方之和等于斜边的平方。

即a²+b²=c²。

根据勾股定理，我们可以将斜边c分解成直角边a和直角边b的射影之和。

并且，直角边a和直角边b与斜边c之间的夹角为90度，则可得出：c = h + mc = n + k将以上两式代入勾股定理公式a²+b²=c²中，得到：a² + b² = (h + m)² + n²a² + b² = (n + k)² + m²进行简单的变换和化简，可得：b² = h² + a²因此，我们利用勾股定理和几何图形的推导，得出了直角三角形射影定理公式。

和角公式证明射影公式
射影定理,又称“欧几里德定理”：在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

射影定理是数学图形计算的重要定理。

概述图中,在Rt△ABC中,∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下：
BD²=AD•CD
AB²=AC•AD
BC²=CD•AC
由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。

射影定理的公式:
BD²=AD•DC AB²=AC•AD BC²=CD•AC
欧几里得提出的面积射影定理projective theorem规定“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。

(即COS0=S射影/S原 )。

”
cosθ =Saltitude/Soringnal (平面多边形及其射影的面积分别
是Saltitude和Soringnal，它们所在平面所成的二面角为0) 射影定理的证明方法：
因为射影就是将原图形的长度(三角形中称高)缩放,所以宽度是不变的,又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。

所以就是图形的长度(三角形中称高)的比。

那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。

在两平面中作一直角三角形,并使斜边和一直角边垂直于棱(即原多边形图的平面和射影平面的交线)，则三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比,即为平面多边形的面积比。

将此比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。

三角形的射影公式三角形的射影公式1. 什么是三角形的射影公式？在三角形中，射影是指从一个顶点到对边的垂直距离。

三角形的射影公式是用来计算三角形顶点到对边的射影长度的数学公式。

2. 三角形的射影公式定义设三角形的三边分别为a、b、c，三个角分别为A、B、C。

假设顶点A的射影长度为h，那么根据射影公式，我们有以下三个公式可以使用：•射影公式1：h_a = b * sin(C)•射影公式2：h_b = c * sin(A)•射影公式3：h_c = a * sin(B)其中，h_a表示顶点A到边a的射影长度，h_b表示顶点B到边b 的射影长度，h_c表示顶点C到边c的射影长度。

公式解释三角形的射影公式是利用正弦函数来计算三角形顶点到对边的射影长度。

根据正弦函数的定义，对于一个任意角A，其对边长度与射影长度的比值等于斜边长度与斜边的正弦值的乘积。

三角形的射影公式利用这一原理，将三角形的边长和角度代入公式中，计算出对应顶点到对边的射影长度。

3. 示例说明为了更好地理解三角形的射影公式的应用，我们来看一个具体的示例。

假设有一个三角形，其三个边长分别为5 cm、6 cm和8 cm。

要求计算顶点A到边a的射影长度。

根据射影公式1，我们可以计算得到： h_a = b * sin(C) = 6 cm * sin(60°) = 6 cm * √3/2 = 9√3/2 cm因此，顶点A到边a的射影长度为9√3/2 cm。

同样的方法，我们可以利用射影公式2和3计算出顶点B和顶点C到对应边的射影长度。

总结三角形的射影公式是一组用来计算三角形顶点到对边的射影长度的公式。

它利用正弦函数将三角形的边长和角度关联起来，可以帮助希望读者对三角形的射影公式有了更清晰的理解。

4. 举例说明接下来，我们将进一步举例说明三角形的射影公式的应用。

例1：考虑一个等边三角形，边长为10 cm。

我们要计算顶点A 到边a的射影长度。

根据射影公式1，我们可以计算得到： h_a = b * sin(C) = 10 cm * sin(60°) = 10 cm * √3/2 = 5√3 cm因此，顶点A到边a的射影长度为5√3 cm。

三角形射影定理.doc
直角三角形射影定理
直角三角形射影定理):直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下:
(1)(AD)²=BD·DC.
(2)(AB)²=BD·BC，
(3)(AC)²=CD·BC
证明:在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴ΔBAD∽ΔACD相似，
∴AD/BD=CD/AD，即(AD)^2=BD·DC，其余类似可证。

注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。

由公式(2)+(3)得: (AB)²+(AC)²=BD·BC+CD·BC=(BD+CD)·BC=(BC)2
即(AB)²+(AC)²=(BC)²。

任意三角形射影定理
任意三角形射影定理又称"第一余弦定理"
设ΔABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a=b·cosC+c·cosB
b=c·cosA+a·cosC，
c=a·cosB+b·cOsA。