圆周运动的临界问题

1圆周运动的临界问题一 ．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝m rv 2，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。

二 与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。

【典例1】 (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20) 如图1，两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。

若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( )A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω＝lkg2是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝lkg32 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝km g 相同。

它们所需的向心力由F 向＝mω2r知，F a < F b ，所以b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；a 、b 一起2绕转轴缓慢地转动时，F 摩＝mω2r ，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错；b 开始滑动时有kmg ＝mω2·2l ，其临界角速度为ωb ＝l kg 2 ，选项C 正确；当ω ＝lkg32时，a 所受摩擦力大小为F f ＝mω2 r ＝32kmg ，选项D 错误【典例2】 如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O 、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，OA ＝OB ＝AB ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程OB 、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( )A ．OB 绳的拉力范围为 0～33mg B ．OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg C ．AB 绳的拉力范围为33mg ～332mg D ．AB 绳的拉力范围为0～332mg 答案 B解析 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F 1，则2F 1cos 30°＝mg ， F 1＝33mg ，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为F 2，则F 2cos 30°＝mg ，F 2 ＝332mg ，因此OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg ，AB 绳的拉力范围为 0～33mg ，B 项正确。

圆周运动中的“临界问题”总结一、“绳”模型——“最高点处有临界，最低点时无选择”一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球“刚好”“恰好”过最高点的条件是：此时，只有小球的 提供向心力，即 ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度，vmin ＝ . V= 是“绳”模型中小球能否顺利通过最高点继续做圆周运动的临界速度。

类此模型：竖直平面内的内轨道巩固1：游乐园里过山车原理的示意图如图所示。

设过山车的总质量为m =60kg ，由静止从斜轨顶端A 点开始下滑，恰好过半径为r=2.5m 的圆形轨道最高点B 。

求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。

巩固2：杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1)最高点水不流出的最小速率。

(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．巩固3：公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”。

如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时A ．车的加速度为零，受力平衡B ．车对桥的压力比汽车的重力大C ．车处于超重状态D ．车的速度越大，车对桥面的压力越小二、“杆”模型————“最高点处有临界，最低点时无选择” 一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，注意v=0和v=gr 两个速度。

①当v ＝0时，杆对小球的支持力 小球的重力；②当0<v <gr 时，杆对小球产生 力，且该力 于小球的重力；③当v ＝gr 时，杆对小球的支持力 于零；④当v >gr 时，杆对小球产生 力。

V= 是“杆”模型中杆对小球是“推”“拉”的临界。

类此模型：竖直平面内的管轨道.巩固4：如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ）A.小球到达最高点的速度必须大于gLB .小球到达最高点的速度要大于0C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力 三、“拱形桥”模型——“最高点处有临界”小球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点时，若小球与球面间弹力为零，则有 = ，v= 。

圆周运动的临界问题通常涉及到物体在竖直平面内做变速圆周运动的情况，如轻绳模型过最高点或最低点的情况，以及物体通过其他特殊点的情况。

在这些情况下，临界状态通常是由于圆周运动的向心力和离心力的平衡状态被打破所导致的。

以轻绳模型过最高点为例，当物体通过最高点时，轻绳对物体的拉力与物体的重力相等，即T = mg。

当拉力大于或小于重力时，物体将处于超重或失重状态，并可能出现临界情况。

在这种情况下，可以通过牛顿第二定律和向心力公式来求解物体的运动状态。

在求解时，首先根据题意确定物体通过最高点时的受力情况，然后根据牛顿第二定律列式，最后根据向心力公式求解出物体在最高点时的速度。

根据速度的大小，可以判断出物体是否处于临界状态，并求出相应的临界条件。

需要注意的是，在圆周运动的临界问题中，物体的运动状态可能会发生突变，因此需要特别注意物体的加速度和速度的变化情况。

此外，在求解临界条件时，需要将物体的运动状态与受力情况结合起来考虑，并灵活运用向心力和牛顿第二定律进行求解。

1圆周运动的临界问题一 ．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝m rv 2，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。

二 与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。

【典例1】 (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20) 如图1，两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。

若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( )A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω＝lkg2是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝lkg32 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝km g 相同。

它们所需的向心力由F 向＝mω2r知，F a < F b ，所以b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；a 、b 一起2绕转轴缓慢地转动时，F 摩＝mω2r ，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错；b 开始滑动时有kmg ＝mω2·2l ，其临界角速度为ωb ＝l kg 2 ，选项C 正确；当ω ＝lkg32时，a 所受摩擦力大小为F f ＝mω2 r ＝32kmg ，选项D 错误【典例2】 如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O 、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，OA ＝OB ＝AB ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程OB 、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( )A ．OB 绳的拉力范围为 0～33mg B ．OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg C ．AB 绳的拉力范围为33mg ～332mg D ．AB 绳的拉力范围为0～332mg 答案 B解析 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F 1，则2F 1cos 30°＝mg ， F 1＝33mg ，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为F 2，则F 2cos 30°＝mg ，F 2 ＝332mg ，因此OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg ，AB 绳的拉力范围为 0～33mg ，B 项正确。

圆周运动的临界问题临界问题是高考考查的热点，特别是圆周运动中的临界问题，知识覆盖面广，题型多样，并且与生活实际息息相关，是同学们必须重点掌握的知识．1.圆周运动中的临界问题的分析方法首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．2.竖直平面内作圆周运动的临界问题（1）绳模型如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点。

①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=m v2/R→v临界=Rg（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）②能过最高点的条件：v≥Rg，当v＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力（2）杆模型如图，球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：①当v＝0时，N＝mg（N为支持力）②当0＜v＜Rg时，N随v增大而减小，且mg＞N＞0，N为支持力．③当v=Rg时，N＝0④当v＞Rg时，N为拉力，N随v的增大而增大（此时N为拉力，方向指向圆心）注意：管壁支撑情况与杆一样。

杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．（3）拱桥模型如图所示，此模型与杆模型类似，但因可以离开支持面，在最高点当物体速度达v=rg 时，F N=0，物体将飞离最高点做平抛运动。

若是从半圆顶点飞出，则水平位移为s= 2R。

例1长度为L＝0.5 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是 2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到（）A.6.0N的拉力B.6.0N的压力C.24N的拉力D.24N的压力解析小球在A点的速度大于gL时，杆受到拉力，小于gL时，杆受压力。

v0=gL=10×0.5 m/s＝ 5 m/s由于v＝2.0 m/s＜ 5 m/s，我们知道过最高点时，球对细杆产生压力。

圆周运动中的临界问题圆周运动中的临界问题⼀、⽔平⾯内圆周运动的临界问题关于⽔平⾯内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界⼒的问题，具体来说，主要是与绳的拉⼒、弹簧的弹⼒、接触⾯的弹⼒和摩擦⼒有关。

1、与绳的拉⼒有关的临界问题例1 如图1⽰，两绳系⼀质量为kg m 1.0=的⼩球，上⾯绳长m l 2=，两端都拉直时与轴的夹⾓分别为o30与o45，问球的⾓速度在什么范围内，两绳始终张紧，当⾓速度为s rad /3时，上、下两绳拉⼒分别为多⼤？2、因静摩擦⼒存在最值⽽产⽣的临界问题例2 如图2所⽰，细绳⼀端系着质量为kg M 6.0= 的物体，静⽌在⽔平⾯上，另⼀端通过光滑⼩孔吊着质量为kg m 3.0=的物体，M 的中⼼与圆孔距离为m 2.0并知M 与⽔平⾯间的最⼤静摩擦⼒为N 2，现让此平⾯绕中⼼轴匀速转动，问转动的⾓速度ω满⾜什么条件可让m 处于静⽌状态。

（2/10s m g =）3、因接触⾯弹⼒的有⽆⽽产⽣的临界问题⼆、竖直平⾯内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平⾯内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最⾼点C图1图2和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。

1、轻绳模型过最⾼点如图所⽰，⽤轻绳系⼀⼩球在竖直平⾯内做圆周运动过最⾼点的情况，与⼩球在竖直平⾯内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于⽆⽀撑的类型。

临界条件：假设⼩球到达最⾼点时速度为0v ，此时绳⼦的拉⼒（轨道的弹⼒）刚好等于零，⼩球的重⼒单独提供其做圆周运动的向⼼⼒，即rvm mg 20=，gr v =0，式中的0v 是⼩球过最⾼点的最⼩速度，即过最⾼点的临界速度。

（1）0v v = （刚好到最⾼点，轻绳⽆拉⼒）（2）0v v > （能过最⾼点，且轻绳产⽣拉⼒的作⽤）（3）0v v < （实际上⼩球还没有到最⾼点就已经脱离了轨道）例4、如图4所⽰，⼀根轻绳末端系⼀个质量为kg m 1=的⼩球，绳的长度m l 4.0=，轻绳能够承受的最⼤拉⼒为N F 100max =，现在最低点给⼩球⼀个⽔平初速度，让⼩球以轻绳的⼀端O 为圆⼼在竖直平⾯内做圆周运动，要让⼩球在竖直平⾯内做完整的圆周运动且轻绳不断，⼩球的初速度应满⾜什么条件？（2/10s m g =）2、轻杆模型过最⾼点如图所⽰，轻杆末端固定⼀⼩球在竖直平⾯内做圆周运动过最⾼点的情况，与⼩球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有⽀撑的类型。