【学案】【第2章 函数】§2.7 对数与对数函数

写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间，教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力，才能更好地帮助学生提高学习效果，下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇，感谢您的参阅。

对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。

2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。

3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。

二、识技能目标1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。

2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。

三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的.学习兴趣。

2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

教学重点难点：1对数函数的定义、图象和性质。

2对数函数性质的初步应用。

教学工具：多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。

对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。

它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。

高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。

将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。

其理论依据为建构主义学习理论。

它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。

2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。

§2.7 对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a Na ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0； 当0<x <1时，当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y <0y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log nm b a ＝n m log a b .2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．( × )(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．( √ ) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点 ． 答案 (3,2) 解析 ∵log a 1＝0， 令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝ .答案 4解析 (log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.3．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝ . 答案 12或2解析 当a >1时，log a 4－log a 2＝log a 2＝1， ∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2－log a 4＝－log a 2＝1， ∴a ＝12，综上有a ＝12或2.题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 2a ＝5b ＝m ， ∴log 2m ＝a ，log 5m ＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5 ＝log m 10＝2， ∴m 2＝10，∴m ＝10(舍m ＝－10)． (2)计算：log 535＋122log 2log 5150－log 514＝ .答案 2解析 原式＝log 535－log 5150－log 514＋212log 2＝log 535150×14＋12log 2 ＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2.教师备选计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .答案 1 解析 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1 (1)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＋b ＝ .答案 6解析 设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ， 所以b 2b ＝2b b ，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 所以a ＋b ＝6.(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ . 答案 4解析 原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2 ＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1 D ．0<a －1<b －1<1答案 A解析 由函数图象可知，f (x )为增函数，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.(2)若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为 ． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点， 由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x ＋ln x 2的值为( ) A ．e 2＋ln 2 B ．e ＋ln 2 C ．2D ．4答案 C解析根据题意，已知x1，x2分别是函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，函数f(x)＝e x＋x－2的零点为函数y＝e x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x1，1e x)，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为函数y＝ln x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，又由函数y＝e x与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，1e x)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有1e x＋ln x2＝1e x＋x1＝2.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝log a x＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝a x＋b的图象可能为()答案 D解析 结合已知函数的图象可知， f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意．(2)(2022·广州调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2e x -＝ln(x 2＋1)，3e x -＝lg x 3，则( ) A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 1<x 3<x 2 C ．x 2<x 3<x 1 D ．x 2<x 1<x 3答案 D解析 画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x ，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3.题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较指数式、对数式大小 例3 (1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b答案 D 解析 c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2， ∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则( )A ．b <c <aB ．a <c <bC ．a <b <cD ．c <b <a答案 C解析 因为a ，b ，c 都是正数， 所以1a ＝log 36＝1＋log 32，1b＝log 612＝1＋log 62， 1c＝log 1224＝1＋log 122， 因为log 32＝lg 2lg 3，log 62＝lg 2lg 6，log 122＝lg 2lg 12，且lg 3<lg 6<lg 12，所以log 32>log 62>log 122， 即1a >1b >1c ， 所以a <b <c .命题点2 解对数方程不等式例4 若log a (a ＋1)<log a (2a )<0(a >0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫14，1解析 依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3 对数性质的应用例5 (2020·全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增 B ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－12，12上单调递减C ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递增 D ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减 答案 D解析 f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠±12. 又f (－x )＝ln|－2x ＋1|－ln|－2x －1| ＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，故排除A ，C. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12时， f (x )＝ln(－2x －1)－ln(1－2x )＝ln －2x －11－2x＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1，∵y ＝1＋22x －1在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减． 教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a答案 B解析 ∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1， c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg 3lg 2×lg 5lg 9＝lg 3lg 2×lg 52lg 3 ＝lg 52lg 2＝lg 5lg 4＝log 45>1， ∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3 (1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．a <c <b答案 C解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0， 可得c <b <a <1.(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x ≥2，－log ax －4，0<x <2存在最大值，则实数a 的取值范围是 ．答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析 当a >1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意， 故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2； 当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4， 则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2， 即1a 2≥2,0<a ≤22， 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，22. (3)(2022·潍坊模拟)已知f (x )＝1＋log 3x (1≤x ≤9)，设函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)，则g (x )max －g (x )min＝ .答案 5解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴g (x )的定义域为[1,3]，g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 3x )2＋1＋log 3x 2＝(log 3x )2＋4log 3x ＋2，设t ＝log 3x ，则0≤t ≤1，则y ＝t 2＋4t ＋2＝(t ＋2)2－2，在[0,1]上单调递增，∴当t ＝0即x ＝1时，g (x )min ＝2，当t ＝1即x ＝3时，g (x )max ＝7，∴g (x )max －g (x )min ＝5.课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b答案 D解析 a ＝12＝log 77>b ＝log 75，c ＝log 87>log 88＝12＝a ，所以c >a >b .2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )等于() A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2答案 A解析 函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .3．(2022·昆明模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1＝10 lg I I 0(单位：分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I 的取值范围是( )A ．(－∞，10－7)B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5)答案 C解析 由题意可得，0≤10·lg I I 0<50， 即0≤lg I －lg(1×10－12)<5，所以－12≤lg I <－7，解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)．4．设函数f (x )＝()212log ,0,log ,0.x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C解析 由题意得2120,log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩ 或()()1220,log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩ 解得a >1或－1<a <0.5. (多选)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1B ．0<c <1C ．0<a <1D ．c >1答案 BC解析 由图象可知函数为减函数，∴0<a <1，令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c ，由图象知0<1－c <1，∴0<c <1.6．(多选)已知函数f (x )＝ln(e 2x ＋1)－x ，则( )A ．f (ln 2)＝ln 52B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在(0，＋∞)上单调递增D ．f (x )的最小值为ln 2答案 ACD解析 f (ln 2)＝ln(e 2ln 2＋1)－ln 2＝ln 52， 故A 项正确；f (x )＝ln(e 2x ＋1)－x ＝ln(e 2x ＋1)－ln e x＝ln e 2x ＋1e x ＝ln(e x ＋e －x )， 所以f (－x )＝ln(e x ＋e －x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故B 项错误；当x >0时，y ＝e x ＋e －x 在(0，＋∞)上单调递增，因此y ＝ln(e x ＋e －x )在(0，＋∞)上单调递增，故C 项正确；由于f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，所以f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (0)＝ln 2，故D 项正确．7．(2022·海口模拟)log 327＋lg 25＋lg 4＋27log 7＋138的值等于 ． 答案 152 解析 原式＝323log 3＋lg 52＋lg 22＋2＋1332⨯ ＝32＋2lg 5＋2lg 2＋2＋2 ＝32＋2(lg 5＋lg 2)＋2＋2 ＝32＋2＋2＋2 ＝152. 8．函数f (x )＝log 2x ·()2x 的最小值为 ．答案 －14 解析 依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14. 9．设f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212.(1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值．解 (1)因为f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212，所以⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )，令t ＝4x －2x ，则t ＝4x －2x ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， 因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4，所以94≤⎝⎛⎭⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12， 因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增，所以y max ＝log 212＝2＋log 23，即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)f (x )是奇函数，证明如下：因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0，log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x >0，2x (1－x )>0，解得0<x <1，故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0. 12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x ＝3y ＝log 4z ，则( )A ．z >x >yB ．z >y >xC ．x >y ，x >zD ．z >x ，z >y 答案 D解析 设2x ＝3y ＝log 4z ＝k >0，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k ，根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ，4k >log 3k ，即z >x ，z >y .13．(2022·沈阳模拟)函数f (x )＝|log 3x |，若正实数m ，n (m <n )满足f (m )＝f (n )，且f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n －m 等于( ) A.83 B.809 C.154 D.25516答案 A解析 ∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n (m <n )满足f (m )＝f (n )，∴0<m <1<n ，且|log 3m |＝|log 3n |，∴log 3m ＝－log 3n ，∴log 3m ＋log 3n ＝0，解得mn ＝1，又∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，易知f (m 2)＝－log 3m 2＝2，此时⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝3，∴n －m ＝83. 14．(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12有最小值，则实数a 的取值范围是 ． 答案 (1，2)解析 令u ＝x 2－ax ＋12＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋12－a 24， 则u 有最小值12－a 24， 欲使函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12有最小值， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，12－a 24>0，解得1<a <2，即实数a 的取值范围为(1，2)．15．(2022·丽水模拟)已知log a (a ＋1)<log (a ＋1)a (a >0且a ≠1)，则a 的取值范围是 ． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，1 解析 ∵log a (a ＋1)－log (a ＋1)a＝lg (a ＋1)lg a －lg a lg (a ＋1)＝lg 2(a ＋1)－lg 2a lg a lg (a ＋1)＝[lg (a ＋1)－lg a ][lg (a ＋1)＋lg a ]lg a lg (a ＋1)当a >1时，lg(a ＋1)>lg a >0，∴log a (a ＋1)>log (a ＋1)a ，不符合题意；当0<a <1时，lg a <0，lg(a ＋1)>0， lg(a ＋1)－lg a ＝lg a ＋1a>lg 1＝0， lg(a ＋1)＋lg a ＝lg [a (a ＋1)]＝lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122－14， ∴log a (a ＋1)<log (a ＋1)a (0<a <1)即为lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122－14>0， 由于y ＝lg x (x >0)单调递增，∴⎝⎛⎭⎫a ＋122－14>1. 又0<a <1，解得－1＋52<a <1， 综上有a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，1. 16．已知函数f (x )＝log 2(2x ＋k )(k ∈R )．(1)当k ＝－4时，解不等式f (x )>2；(2)若函数f (x )的图象过点P (0,1)，且关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根，求实数m 的取值范围． 解 (1)当k ＝－4时，f (x )＝log 2(2x －4)．由f (x )>2，得log 2(2x －4)>2，得2x －4>4，得2x >8，解得x >3.故不等式f (x )>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f (x )＝log 2(2x ＋k )(k ∈R )的图象过点P (0,1)， 所以f (0)＝1，即log 2(1＋k )＝1，解得k ＝1.所以f (x )＝log 2(2x ＋1)．因为关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根， 即log 2(2x ＋1)＝x －2m 有实根． 所以方程－2m ＝log 2(2x ＋1)－x 有实根． 令g (x )＝log 2(2x ＋1)－x ，则g (x )＝log 2(2x ＋1)－x＝log 2(2x ＋1)－log 22x＝log 22x ＋12x ＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋12x . 因为1＋12x >1，log 2⎝⎛⎭⎫1＋12x >0， 所以g (x )的值域为(0，＋∞)． 所以－2m >0，解得m <0.所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．。

对数函数【学习目标】（1）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（2）知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数（a ＞0，且a ≠1）．（3）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用．【学习重难点】对数的概念与对数函数．【学习过程】 【第1课时】一、自主学习知识点一：对数函数的概念函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．状元随笔形如y ＝2log 2x ，y ＝log 2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数． a ＞1 0＜a ＜1状元随笔底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．知识点三：反函数一般地，指数函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）与对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．教材解难： 1．教材P 130思考根据指数与对数的关系，由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125730x（x ≥0）得到x ＝log y （0＜y ≤1）．如图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤1）作x 轴的平行线，与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125730x（x ≥0）的图象有且只有一个交点（x0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0，1]，通过对应关系x ＝log y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝logy ，y ∈（0，1]刻画了时间x 随碳14含量y 的衰减而变化的规律．2．教材P 132思考利用换底公式，可以得到y ＝log 12x ＝－log 2x ．因为点（x ，y ）与点（x ，－y ）关于x 轴对称，所以y ＝log 2x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P 1（x ，－y ）都在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log 2x 的图象画出y ＝log 12x 的图象．3．教材P 138思考一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞1）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x 的增大，一次函数y ＝kx （k ＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y ＝log a x （a ＞1）的增长速度越来越慢．不论a 的值比k 的值大多少，在一定范围内，log a x 可能会大于kx ，但由于log a x 的增长慢于kx 的增长，因此总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，恒有log a x ＜kx ．4．4．1对数函数的概念 基础自测：1．下列函数中是对数函数的是（ ） A ．y ＝log 14xB ．y ＝log 14（x ＋1）C ．y ＝2log 14xD ．y ＝log 14x ＋1解析：形如y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的函数才是对数函数，只有A 是对数函数． 答案：A2．函数y ＝x ln （1－x ）的定义域为（ ） A ．（0，1） B ．[0，1） C ．（0，1] D ．[0，1]解析：由题意，得⎩⎨⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1；故函数y ＝x ln （1－x ）的定义域为[0，1）．答案：B3．函数y＝log a（x－1）（0＜a＜1）的图象大致是（）解析：∵0＜a＜1，∴y＝log a x在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝log a（x－1）的图象是由y＝log a x的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A4．若f（x）＝log2x，x∈[2，3]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log2x在[2，3]上是单调递增的，所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23．答案：[1，log23]二、素养提升题型一：对数函数的概念例1：下列函数中，哪些是对数函数？（1）y＝log a x（a＞0，且a≠1）；（2）y＝log2x＋2；（3）y＝8log2（x＋1）；（4）y＝log x6（x＞0，且x≠1）；（5）y＝log6x．解析：（1）中真数不是自变量x，不是对数函数．（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．（3）中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．（4）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（5）中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．用对数函数的概念例如y＝log a x（a＞0且a≠1）来判断．方法归纳：判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1：若函数f （x ）＝（a 2－a ＋1）log （a ＋1）x 是对数函数，则实数a ＝________． 解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1． 又底数a ＋1＞0，且a ＋1≠1，所以a ＝1． 答案：1对数函数y ＝log a x 系数为1．题型二：求函数的定义域（教材P 130例1） 例2：求下列函数的定义域： （1）y ＝log 3x 2；（2）y ＝log a （4－x ）（a ＞0，且a ≠1）．解析：（1）因为x 2＞0，即x ≠0，所以函数y ＝log 3x 2的定义域是{x |x ≠0}． （2）因为4－x ＞0，即x ＜4，所以函数y ＝log a （4－x ）的定义域是{x |x ＜4}． 真数大于0． 教材反思：求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练2：求下列函数的定义域： （1）y ＝lg （x ＋1）＋3x 21－x ；（2）y ＝log （x －2）（5－x ）． 解析：（1）要使函数有意义， 需⎩⎨⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，即⎩⎨⎧x ＞－1，x ＜1.∴－1＜x ＜1，∴函数的定义域为（－1，1）．（2）要使函数有意义，需⎩⎨⎧5－x ＞0，x －2＞0，x －2≠1，∴⎩⎨⎧x ＜5，x ＞2，x ≠3.∴定义域为（2，3）∪（3，5）．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三：对数函数的图象问题例3：（1）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的（ ）（2）已知函数y ＝log a （x ＋3）－1（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f （x ）＝3x ＋b 的图象上，则f （log 32）＝________．（3）如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为________．解析：（1）A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞1，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜1，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜1，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．（2）依题意可知定点A （－2，－1），f （－2）＝3－2＋b ＝－1，b ＝－109，故f （x ）＝3x －109，f （log 32）＝33log 2－109＝2－109＝89．（3）由题干图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a ＞1，b ＞1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0＜c ＜1，0＜d ＜1．过点（0，1）作平行于x 轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c ，d ，a ，b ，显然b ＞a ＞1＞d ＞c ．答案：（1）C（2）89（3）b ＞a ＞1＞d ＞c状元随笔（1）由函数y ＝x ＋a 的图象判断出a 的范围． （2）依据log a 1＝0，a 0＝1，求定点坐标．（3）沿直线y ＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大． 方法归纳：解决对数函数图象的问题时要注意：（1）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x 趋近于0时，函数图象会越来越靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交．（2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a 的取值范围是a ＞1，还是0＜a ＜1．（3）牢记特殊点．对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象经过点：（1，0），（a ，1）和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1． 跟踪训练3：（1）如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为（ ）A ．3，43，35，110B ．3，43，110，35C ．43，3，35，110D ．43，3，110，35（2）函数y ＝log a |x |＋1（0＜a ＜1）的图象大致为（ ）解析：（1）方法一：作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a （即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C 1，C 2，C 3，C 4对应的a 值分别为3，43，35，110，故选A ．方法二：由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a 由大到小依次为C 1，C 2，C 3，C 4，即3，43，35，110．故选A ．增函数底数a ＞1， 减函数底数0＜a ＜1．（2）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（－∞，0）上为增函数，故可排除选项B ，C ，又x ＝±1时y ＝1，故选A ．先去绝对值，再利用单调性判断． 答案：（1）A （2）A 三、学业达标（一）选择题1．下列函数是对数函数的是（ ） A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a （2a ）（a ＞0，且a ≠1）C ．y ＝log a x 2（a ＞0，且a ≠1）D ．y ＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y ＝log a x ”的形式，A ，B ，C 全错，D 正确．答案：D2．若某对数函数的图象过点（4，2），则该对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1，x ＞0），则2＝log a 4即a 2＝4得a ＝2．故所求解析式为y ＝log 2x ．答案：A3．设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln （1－x ）的定义域为B ，则A ∩B ＝（ ） A ．（1，2） B ．（1，2] C ．（－2，1） D ．[－2，1）解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x ＜1}． 答案：D4．已知a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a （－x ）的图象只能是下图中的（ ）解析：由函数y ＝log a （－x ）有意义，知x ＜0，所以对数函数的图象应在y 轴左侧，可排除A ，C ．又当a ＞1时，y ＝a x 为增函数，所以图象B 适合．答案：B （二）填空题5．若f （x ）＝log a x ＋（a 2－4a －5）是对数函数，则a ＝________． 解析：由对数函数的定义可知 ⎩⎨⎧a 2－4a －5＝0a ＞0a ≠1，∴a ＝5．答案：56．已知函数f （x ）＝log 3x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋f （15）＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋f （15）＝log 395＋log 315＝log 327＝3．答案：37．函数f（x）＝log a（2x－3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令2x－3＝1，解得x＝2，且f（2）＝log a1＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（2，0）．答案：（2，0）（三）解答题8．求下列函数的定义域：（1）y＝log3（1－x）；（2）y＝1log2x；（3）y＝log711－3x．解析：（1）由1－x＞0，得x＜1，∴函数y＝log3（1－x）的定义域为（－∞，1）．（2）由log2x≠0，得x＞0且x≠1．∴函数y＝1log2x的定义域为{x|x＞0且x≠1}．（3）由11－3x＞0，得x＜1 3．∴函数y＝log711－3x的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13．9．已知f（x）＝log3x．（1）作出这个函数的图象；（2）若f（a）＜f（2），利用图象求a的取值范围．解析：（1）作出函数y＝log3x的图象如图所示（2）令f（x）＝f（2），即log3x＝log32，解得x＝2．由图象知，当0＜a＜2时，恒有f（a）＜f（2）．∴所求a的取值范围为0＜a＜2．尖子生题库：10．已知函数y＝log2x的图象，如何得到y＝log2（x＋1）的图象？y＝log2（x＋1）的定义域与值域是多少？与x 轴的交点是什么？解析：y ＝log 2x ――――――→左移1个单位y ＝log 2（x ＋1），如图．定义域为（－1，＋∞），值域为R ，与x 轴的交点是（0，0）．【第二学时】一、素养提升题型一：比较大小（教材P 133例3） 例1：比较下列各题中两个值的大小： （1）log 23.4，log 28.5； （2）log 0．31.8，log 0．32.7；（3）log a 5.1，log a 5.9（a ＞0，且a ≠1）．解析：（1）log 23.4和log 28.5可看作函数y ＝log 2x 的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y ＝log 2x 是增函数，且3.4＜8.5，所以log 23.4＜log 28.5．（2）log 0．31.8和log 0．32.7可看作函数y ＝log 0．3x 的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y ＝log 0．3x 是减函数，且1.8＜2.7，所以log 0．31.8＞log 0．32.7．（3）log a 5.1和log a 5.9可看作函数y ＝log a x 的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a 是大于1还是小于1，因此需要对底数a 进行讨论．当a ＞1时，因为函数y ＝log a x 是增函数，且5.1＜5.9，所以log a 5.1＜log a 5.9； 当0＜a ＜1时，因为函数y ＝log a x 是减函数，且5.1＜5.9，所以log a 5.1＞log a 5.9． 构造对数函数，利用函数单调性比较大小． 教材反思比较对数值大小时常用的三种方法跟踪训练1：（1）设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则（ ）A ．a ＞b ＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a（2）比较下列各组值的大小：①log230.5，log230.6．②log1.51.6，log1.51.4．③log0.57，log0.67．④log3π，log20.8．解析：（1）a＝log2π＞1，b＝log12π＜0，c＝π－2∈（0，1），所以a＞c＞b．（2）①因为函数y＝log23x是减函数，且0.5＜0.6，所以log230.5＞log230.6．②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4．③因为0＞log70.6＞log70.5，所以1log70.6＜1log70.5，即log0.67＜log0.57．④因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8．答案：（1）C（2）①log230.5＞log230.6．②log1.51.6＞log1.51.4．③log0.67＜log0.57．④log3π＞log20.8．状元随笔（1）选择中间量0和1，比较大小．（2）①②③利用对数函数的单调性比较大小．④用中间量0比较大小．题型二：解对数不等式例2：（1）已知log0.72x＜log0．7（x－1），则x的取值范围为________；（2）已知log a（x－1）≥log a（3－x）（a＞0，且a≠1），求x的取值范围．解析：（1）∵函数y＝log0.7x在（0，＋∞）上为减函数，∴由log 0.72x ＜log 0.7（x －1）得⎩⎨⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1，即x 的取值范围是（1，＋∞）． （2）log a （x －1）≥log a （3－x ），当a ＞1时，有⎩⎨⎧x －1＞0，3－x ＞0，x －1≥3－x ，解得2≤x ＜3．当0＜a ＜1时，有⎩⎨⎧x －1＞0，3－x ＞0，x －1≤3－x ，解得1＜x ≤2．综上可得，当a ＞1时，不等式log a （x －1）≥log a （3－x ）中x 的取值范围为[2，3）；当0＜a ＜1时，不等式log a （x －1）≥log a （3－x ）（a ＞0且a ≠1）中x 的取值范围是（1，2]．答案：（1）（1，＋∞） （2）答案见解析状元随笔（1）利用函数y ＝log 0．7x 的单调性求解． （2）分a ＞1和0＜a ＜1两种情况讨论，解不等式． 方法归纳：两类对数不等式的解法：（1）形如log a f （x ）＜log a g （x ）的不等式． ①当0＜a ＜1时，可转化为f （x ）＞g （x ）＞0； ②当a ＞1时，可转化为0＜f （x ）＜g （x ）．（2）形如log a f （x ）＜b 的不等式可变形为log a f （x ）＜b ＝log a a b ． ①当0＜a ＜1时，可转化为f （x ）＞a b ； ②当a ＞1时，可转化为0＜f （x ）＜a b ．跟踪训练2：（1）满足不等式log 3x ＜1的x 的取值集合为________； （2）根据下列各式，确定实数a 的取值范围： ①log 1．5（2a ）＞log 1．5（a －1）； ②log 0．5（a ＋1）＞log 0．5（3－a ）．解析：（1）因为log 3x ＜1＝log 33， 所以x 满足的条件为⎩⎨⎧x ＞0，log 3x ＜log 33，即0＜x ＜3．所以x 的取值集合为{x |0＜x ＜3}． （2）①函数y ＝log 1．5x 在（0，＋∞）上是增函数．因为log 1．5（2a ）＞log 1.5（a －1），所以⎩⎨⎧2a ＞a －1，a －1＞0，解得a ＞1，即实数a 的取值范围是a ＞1．②函数y ＝log 0.5x 在（0，＋∞）上是减函数，因为log .0.5（a ＋1）＞log 0.5（3－a ），所以⎩⎨⎧a ＋1＞0，3－a ＞0，a ＋1＜3－a ，解得－1＜a ＜1．即实数a 的取值范围是－1＜a ＜1．答案：（1）{x |0＜x ＜3}（2）①（1，＋∞）；②（－1，1） 状元随笔（1）log 33＝1． （2）由对数函数的单调性求解． 题型三：对数函数性质的综合应用例3：已知函数f （x ）＝log a （1＋x ）＋log a （3－x ）（a ＞0且a ≠1）． （1）求函数f （x ）的定义域；（2）若函数f （x ）的最小值为－2，求实数a 的值． 解析：（1）由题意得⎩⎨⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，解得－1＜x ＜3，所以函数f （x ）的定义域为（－1，3）． （2）因为f （x ）＝log a [（1＋x ）（3－x ）] ＝log a （－x 2＋2x ＋3） ＝log a [－（x －1）2＋4]，若0＜a ＜1，则当x ＝1时，f （x ）有最小值log a 4， 所以log a 4＝－2，a －2＝4，又0＜a ＜1，所以a ＝12．若a ＞1，则当x ＝1时，f （x ）有最大值log a 4，f （x ）无最小值．综上可知，a ＝12．真数大于0．分0＜a＜1，a＞1两类讨论．方法归纳：1．解答y＝log a f（x）型或y＝f（log a x）型函数需注意的问题①要注意变量的取值范围．例如，f（x）＝log2x，g（x）＝x2＋x，则f（g（x））＝log2（x2＋x）中需要g（x）＞0；g（f（x））＝（log2x）2＋log2x中需要x＞0．②判断y＝log a f（x）型或y＝f（log a x）型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．2．形如y＝log a f（x）的函数的单调性判断首先要确保f（x）＞0，当a＞1时，y＝log a f（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性一致．当0＜a＜1时，y＝log a f（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性相反．跟踪训练3已知函数f（x）＝log2（1＋x2）．求证：（1）函数f（x）是偶函数；（2）函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数．证明：（1）函数f（x）的定义域是R，f（－x）＝log2[1＋（－x）2]＝log2（1＋x2）＝f（x），所以函数f（x）是偶函数．（2）设0＜x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝log2（1＋x21）－log2（1＋x22）＝log21＋x21 1＋x22，由于0＜x1＜x2，则0＜x21＜x22，则0＜1＋x21＜1＋x22，所以0＜1＋x211＋x22＜1．又函数y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，所以log21＋x211＋x22＜0．所以f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数．（1）函数是偶函数，f（－x）＝f（x）．（2）用定义法证明函数是增函数．题型四：几类函数模型的增长差异例4：（1）下列函数中，增长速度最快的是（）A．y＝2018xB．y＝x2018C．y＝log2018xD．y＝2018x则关于x呈指数型函数变化的变量是________．解析：（1）比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．（2）以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y2关于x呈指数型函数变化．答案：（1）A（2）y2状元随笔（1）由题意，指数函数增长速度最快．（2）观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练4：分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞）上的增长情况．解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1．5850．由此可知，在区间[1，＋∞）上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．状元随笔在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝2x 和y ＝log 2x 的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：二、学业达标（一）选择题1．设a ＝log 0.50.9，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜a D ．a ＜c ＜b解析：因为0＝log 0.51＜a ＝log 0.50.9＜log 0.50.5＝1， b ＝log 1.10.9＜log 1.11＝0，c ＝1.10.9＞1.10＝1， 所以b ＜a ＜c ，故选B ． 答案：B2．y 1＝2x ，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2＜x ＜4时，有（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 3＞y 2 D ．y 2＞y 3＞y 1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2，4）内，从上到下图象依次对应的函数为y 2＝x 2，y 1＝2x ，y 3＝log 2x ，故y 2＞y 1＞y 3．答案：B3．若log a 34＜1（a ＞0，且a ≠1），则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪（1，＋∞）C ．（1，＋∞）D ．（0，1）解析：当a ＞1时，log a 34＜0＜1，成立． 当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数．由log a 34＜1＝log a a ，得0＜a ＜34．综上所述，0＜a ＜34或a ＞1． 答案：B4．函数y ＝log 0．4（－x 2＋3x ＋4）的值域是（ ） A ．（0，2] B ．[－2，＋∞） C ．（－∞，－2] D ．[2，＋∞）解析：－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254≤254，又－x 2＋3x ＋4＞0，则0＜－x 2＋3x ＋4≤254，函数y ＝log 0．4x 为（0，＋∞）上的减函数，则y ＝log 0．4（－x 2＋3x ＋4）≥log 0．4254＝－2，函数的值域为[－2，＋∞）．答案：B （二）填空题5．函数f （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）在[2，3]上的最大值为1，则a ＝________． 解析：当a ＞1时，f （x ）的最大值是f （3）＝1， 则log a 3＝1，∴a ＝3＞1．∴a ＝3符合题意． 当0＜a ＜1时，f （x ）的最大值是f （2）＝1．则log a 2＝1，∴a ＝2＞1．∴a ＝2不合题意，综上知a ＝3． 答案：36．已知函数f （x ）＝log 2a －x1＋x 为奇函数，则实数a 的值为________．解析：由奇函数得f （x ）＝－f （－x ）， log 2a －x 1＋x ＝－log 2a ＋x 1－x，a －x 1＋x ＝1－x a ＋x ，a 2＝1， 因为a ≠－1， 所以a ＝1． 答案：17．如果函数f （x ）＝（3－a ）x 与g （x ）＝log a x 的增减性相同，则实数a 的取值范围是________．解析：若f （x ），g （x ）均为增函数，则⎩⎨⎧3－a ＞1，a ＞1，则1＜a ＜2；若f （x ），g （x ）均为减函数，则⎩⎨⎧0＜3－a ＜1，0＜a ＜1，无解．答案：（1，2） （三）解答题8．比较下列各组对数值的大小： （1）log 151.6与log 152.9；（2）log 21.7与log 23.5； （3）log 123与log 153；（4）log 130.3与log 20.8．解析：（1）∵y ＝log 15x 在（0，＋∞）上单调递减，1.6＜2.9，∴log 151.6＞log 152.9．（2）∵y ＝log 2x 在（0，＋∞）上单调递增，而1.7＜3.5， ∴log 21.7＜log 23.5．（3）借助y ＝log 12x 及y ＝log 15x 的图象，如图所示．在（1，＋∞）上，前者在后者的下方， ∴log 123＜log 153．（4）由对数函数性质知，log 130.3＞0，log 20.8＜0，∴log 130.3＞log 20.8．9．已知log a （2a ＋3）＜log a 3a ，求a 的取值范围．解析：（1）当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ a ＞1，2a ＋3＜3a ，2a ＋3＞0，解得a ＞3．（2）当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎨⎧0＜a ＜1，2a ＋3＞3a ，3a ＞0，解得0＜a ＜1．综上所述，a 的范围是（0，1）∪（3，＋∞）． 尖子生题库：10．已知a ＞0且a ≠1，f （log a x ）＝a a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ．（1）求f （x ）；（2）判断f （x ）的单调性和奇偶性；（3）对于f （x ），当x ∈（－1，1）时，有f （1－m ）＋f （1－2m ）＜0，求m 的取值范围． 解析：（1）令t ＝log a x （t ∈R ），则x ＝a t ，且f （t ）＝a a 2－1⎝⎛⎭⎪⎫a t －1a t ，所以f （x ）＝aa 2－1（a x －a －x ）（x ∈R ）；（2）因为f （－x ）＝a a 2－1（a －x －a x ） ＝－f （x ）， 且x ∈R ，所以f （x ）为奇函数．当a ＞1时，a x －a －x 为增函数，并且注意到a a 2－1＞0， 所以这时f （x ）为增函数；当0＜a ＜1时，类似可证f （x ）为增函数．所以f （x ）在R 上为增函数；（3）因为f （1－m ）＋f （1－2m ）＜0，且f （x ）为奇函数，所以f （1－m ）＜f （2m －1）．因为f （x ）在（－1，1）上为增函数，所以⎩⎨⎧ －1＜1－m ＜1，－1＜2m －1＜1，1－m ＜2m －1.解之，得23＜m ＜1． 即m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1．小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

对数函数及其性质的教学设计【2篇】篇一：高中数学对数函数教案篇一教学目标1、在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题。

2、通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想。

3、通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学习的积极性。

教学重点，难点重点是理解对数函数的定义，掌握图像和性质。

难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质。

教学方法启发研讨式教学用具投影仪教学过程一。

引入新课今天我们一起再来研究一种常见函数。

前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数。

反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数。

这个熟悉的函数就是指数函数。

提问：什么是指数函数？指数函数存在反函数吗？由学生说出是指数函数，它是存在反函数的。

并由一个学生口答求反函数的过程：由得。

又的值域为，所求反函数为。

那么我们今天就是研究指数函数的反函数__对数函数。

2.8对数函数（板书）一。

对数函数的概念1、定义：函数的反函数叫做对数函数。

由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发。

如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗？最初步的认识是什么？教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着相同的限制条件。

在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质。

二。

对数函数的图像与性质（板书）1、作图方法提问学生打算用什么方法来画函数图像？学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图。

同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图。