2.3数学归纳法

2．3 数学归纳法一.学习目标1.了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．二.重点、难点：重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题三.使用说明：高二数学理科组编写，普高理科学生使用。

四.学法指导：1.课前：预习课本，处理课前预习案2.课中：导入新课，预习检测，问题小组讨论，问题展示点评，拓展提升，当堂训练，及时评价，反馈总结。

3.课后：巩固练习作业，即基础性作业、个性化作业和考试化【课前预习案】1.问题导思在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．①．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？【提示】(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．②．利用这种思想方法能解决哪类数学问题？【提示】一些与正整数n有关的问题．2.数学归纳法的概念一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值_____________时命题成立；(2)(归纳递推)假设_____________时命题成立，证明当_____________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有_____________都成立．上述证明方法叫做_____________．2．用框图表示数学归纳法的步骤【课堂探究案】1.用数学归纳法证明：6)12)(1(21222++=+++n n n n当堂训练2.用数学归纳法证明：当n 为正整数时，2)12(531n n =-++++3、已知数列 ,)13)(23(1,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n ，计算4321,,,S S S S ,根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明。

【课后巩固案】1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．02.用数学归纳法证明：2)1(321+=++++n n n3.用数学归纳法证明：12222112-=+++-n n4．已知数列 ,)1(1,431,321,211+⨯⨯⨯n n ，计算321,,S S S ,根据计算结果，猜想n S 的表达式，并给出证明。

§2.3 数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点 数学归纳法 (1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示思考 数学归纳法的第一步n 0的初始值是否一定为1?答案 不一定，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，第一个值n 0＝3.1．与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( × )2．在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设．( × ) 3．用数学归纳法证明等式时，由n ＝k 到n ＝k ＋1，等式的项数不一定增加了一项．( √ ) 4．用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )一、用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ≥1，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边， 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)知，对一切n ≥1，n ∈N *，等式均成立． 反思感悟 数学归纳法证明等式需要注意： (1)搞清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；(2)弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项； (3)证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n ＝k ＋1时证明目标的表达式进行变形． 跟踪训练1 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1). 证明 (1)当n ＝1时，左边＝121×3，右边＝1×22×3，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)， 则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可得，对于任意的n ∈N *等式都成立． 二、用数学归纳法证明不等式例2 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12成立．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52，左边>右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时不等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 反思感悟 用数学归纳法证明不等式需要注意(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．(2)在推证“n ＝k ＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，便于应用归纳假设，变换出要证明的结论． 跟踪训练2 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1n>2(n ＋1－1)(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，不等式显然成立， (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，1＋12＋ (1)>2(k ＋1－1)，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1>2(k＋1－1)＋1k＋1，∵2(k＋2－1)－2(k＋1－1)－1k＋1＝2k＋2－2k＋1－1k＋1＝2(k＋1)(k＋2)－2(k＋1)－1k＋1＝2(k＋1)(k＋2)－2k－3k＋1＝4k2＋12k＋8－4k2＋12k＋9k＋1<0，∴2(k＋1－1)＋1k＋1>2(k＋2－1)，∴1＋12＋…＋1k＋1k＋1>2(k＋2－1)，∴当n＝k＋1时，不等式也成立，综上，对任意n∈N*，原不等式都成立．归纳—猜想—证明典例已知数列{a n}满足关系式a1＝a(a>0)，a n＝2a n－11＋a n－1(n≥2，n∈N*)，(1)用a表示a2，a3，a4；(2)猜想a n的表达式(用a和n表示)，并用数学归纳法证明．解(1)a2＝2a1＋a，a3＝2a21＋a2＝2×2a1＋a1＋2a1＋a＝4a1＋3a，a 4＝2a 31＋a 3＝2×4a 1＋3a 1＋4a 1＋3a ＝8a1＋7a.(2)因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ，a 2＝21a1＋(21－1)a ，…，猜想a n ＝2n －1a1＋(2n －1－1)a .下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ， 所以当n ＝1时猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立， 即a k ＝2k －1a 1＋(2k －1－1)a，所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2a k1＋a k ＝2k a1＋(2k －1－1)a1＋2k －1a1＋(2k －1－1)a＝2k a1＋(2k －1－1)a ＋2k －1a ＝2k a1＋2×2k －1a －a ＝2(k ＋1)－1a1＋[2(k ＋1)－1－1]a，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据①与②可知，猜想对一切n ∈N *都成立． [素养提升] (1)“归纳—猜想—证明”的一般步骤(2)归纳—猜想—证明，就是先得出数学结论，再进行严格证明，让学生学会有逻辑地思考问题，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养．1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<4答案 B解析 ∵n ∈N *，n >1，∴n 所取的第一个正整数为2，故第一步应验证1＋12＋13<2.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3 D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析 将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3，故选C. 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N *)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 答案 D解析 当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2.4．用数学归纳法证明n 3＋5n 能被6整除的过程中，当n ＝k ＋1时，式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为____________． 答案 (k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋1＋3k 2＋3k ＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k 2＋3k ＋6＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.∵k (k ＋1)为偶数，∴3k (k ＋1)能被6整除， ∴(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由此可知对于任意n ∈N *，等式都成立． 上述证明，错误是________． 答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立的基础上证明n ＝k ＋1成立时， 应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．1．知识清单：数学归纳法的定义，证题步骤．2．方法归纳：归纳猜想证明，数学归纳法． 3．常见误区：(1)证题时搞错n ＝n 0时的情况． (2)归纳假设没有使用．1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)，第一步验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3D ．n ＝42．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立 C ．当n ＝4时命题不成立 D ．当n ＝4时命题成立 答案 B3．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时成立，则有n ＝k ＋1时命题也成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 答案 C解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立．在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.4．用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n ，在验证n ＝2正确后，归纳假设应写成( ) A ．假设n ＝k (k ∈N *)时命题成立 B ．假设n ≥k (k ∈N *)时命题成立 C ．假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立 D ．假设n ＝2(k ＋1)(k ∈N *)时命题成立 答案 C解析 因为题目要求n 为正偶数，所以应假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立．5．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋1时正确D ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋2时正确解析 ∵n 为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：假设当n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推出当n ＝2k ＋1时正确，故选B.6．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步应验证n ＝________.答案 3解析 由凸多边形的性质，应先验证三角形．7．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________________________________________________________________________. 答案12n＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1左端需要增乘的代数式为________． 答案 2(2k ＋1)解析 当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9．用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ，则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式恒成立．10．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为14<12，所以不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．11．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( )A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1答案 C 解析 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，① 得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1).② 由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－12(k ＋1). 故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1). 12．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( )A.24n －3B.26n －5C.24n ＋3D.22n －1答案 B解析 结合题意，得a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B. 13．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2(n ∈N *)．假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________．答案 122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3 解析 当n ＝k ＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. 14．数学归纳法证明34n ＋2＋52n ＋1(n ∈N *)能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1应变形为______________________．答案 25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2解析 当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝81·34k ＋2＋25·52k ＋1＝25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2.15．设平面内有n 条直线(n ≥3，n ∈N *)，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )－f (n －1)＝________(用含n 的数学表达式表示)．答案 5 n －1解析 最初的三条直线产生2个交点，即f (3)＝2.每增加1条直线，与前面的每条直线都产生1个交点，故f (4)＝f (3)＋3＝5，故新增加的第n 条直线与前面的(n －1)条直线产生(n －1)个交点，即f (n )－f (n －1)＝n －1.16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＝S n n (2n －1)，且a 1＝13. (1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．解 (1)a 2＝S 22×(2×2－1)＝a 1＋a 26， 又a 1＝13，则a 2＝115， 类似地，求得a 3＝135. (2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，……， 猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1). 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由(1)可知猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1). 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，∵S k＝k(2k－1)a k＝k(2k－1)1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1，S k＋1＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1，∴a k＋1＝S k＋1－S k＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1－k2k＋1，∴k(2k＋3)a k＋1＝k2k＋1，∴a k＋1＝1(2k＋1)(2k＋3)＝1[2(k＋1)－1][2(k＋1)＋1].∴当n＝k＋1时猜想也成立．由①②可知，猜想对任意n∈N*都成立．∴{a n}的通项公式为a n＝1(2n－1)(2n＋1).。