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浅谈数学归纳法讲解

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选修4-5《数学归纳法》课件

选修4-5《数学归纳法》课件

05
练习与思考
练习题一
总结词
理解数学归纳法的原理
详细描述
通过解答练习题一，学生可以加深对数学归纳法原理的理解，掌握归纳法的应用步骤，并能够运用归 纳法证明一些简单的数学问题。
练习题二
总结词
应用数学归纳法证明
详细描述
练习题二要求学生运用数学归纳法证 明一个复杂的数学问题。通过解答这 道题，学生可以巩固数学归纳法的应 用技巧，提高数学证明能力。
利用数学归纳法证明不等式时，同样需要验证基础步骤和递推关系，同时需要 注意不等式的性质和变换技巧。
详细描述
在证明不等式时，首先验证n=1时不等式是否成立。然后假设n=k时不等式成 立，再证明n=k+1时不等式也成立。在证明递推关系的过程中，需要注意不等 式的性质和变换技巧，如放缩法、比较法等。
解决数列问题
总结词
数学归纳法在解决数列问题时，主要应用于证明数列的性质和求数列的通项公式。
详细描述
利用数学归纳法可以证明数列的性质，如单调性、有界性等。在求数列的通项公式时，也可以利用数学归纳法来 推导。首先验证n=1时公式是否成立，然后假设n=k时公式成立，再推导n=k+1时公式的形式，最终得到数列的 通项公式。
举例：在证明一个组合数的性质时， 需要验证从第k项到第k+1项的递推关 系是否成立，以确保整个性质的正确 性。
避免循环论证
循环论证是一种常见的逻辑错误，在数学归纳法中要特别注意避免。在证明过程中，不要将待证明的结论或假设作为递推基 础或递推关系的依据，否则会导致逻辑上的循环。
举例：在证明一个不等式时，不能将待证明的不等式作为递推基础或递推关系的依据，而应该从已知的事实或公理出发进行 推导。

高考数学总复习考点知识专题讲解6 数学归纳法

高考数学总复习考点知识专题讲解6 数学归纳法

高考数学总复习考点知识专题讲解专题6 数学归纳法数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明数列不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．本高考数学总复习考点知识专题讲解专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.知识点一数学归纳法在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面两个步骤：1．(奠基)验证：n＝n0(n0∈N＋)时，命题成立；2．(递推)假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从n0开始的正整数n，命题成立．这种证明方法叫作数学归纳法．3.利用数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键数学归纳法的实质是递推，分析从n＝k到n＝k＋1的过程中，式子项数的变化，关键是弄清等式两边的构成规律，即从n＝k到n＝k＋1，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．(3)利用假设是核心在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件．在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 【例1】用数学归纳法证明不等式2*2(1)()n n n N >+∈时，初始值0n 应等于．【例2】用数学归纳法证明不等式11113(2,)1224n n N n n n n +++>≥∈+++的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了() A ．12(1)k +B ．112122k k +++C ．11211k k -++D ．112122k k -++【例3】用数学归纳法证明等式(1)(2)(3)()213(21)n n n n n n n ++++=⋅⋅⋅⋅-，其中n N ∈，1n ≥，从n k =到1n k =+时，等式左边需要增乘的代数式为()A ．22k +B ．(21)(22)k k ++C ．211k k ++D ．(21)(22)1k k k +++ 【例4】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111111112()2341242n n n n-+-+⋯+>++⋯+-++时，若已假设(2n k k =≥，且k 为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证() A ．1n k =+时不等式成立B ．2n k =+时不等式成立 C ．22n k =+时不等式成立D ．2(2)n k =+时不等式成立知识点二用数学归纳法证明等式 1.看结构（1）看等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，从k n =到1+=k n ，等式两边会增加多少项； 2.配凑项（1）凑假设：将1+=k n 时的式子转化成与归纳假设的结构相同的式子； （2）凑结构：然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的结构形式. 【例5】用数学归纳法证明：*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n N ++⋯+=⨯⨯⨯⋯⨯-∈．【例6】请用数学归纳法证明：223333(1)12...(1)4n n n n ++++-+=．知识点三归纳—猜想—证明1.“归纳—猜想—证明”的主要题型有： （1）已知数列的递推公式，求通项或前n 项和．（2）由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． （3）给出一些简单的命题(n ＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题．2.“归纳—猜想—证明”的一般环节（1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的基础；（2）归纳与猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般性的结论； （3）证明：利用数学归纳法证明一般性结论. 【例7】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，(1)2n n n a a S +=．（1）计算1a ，2a ，3a ，猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明数列{}n a 的通项公式．知识点四数学归纳法的综合应用用数学归纳法证明不等式的关键是由n k =时成立得1n k =+时成立.要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，主要方法有①放缩法；②基本不等式法；③作差比较法；④综合法与分析法；⑤利用函数的单调性.【例8】（2009•山东理）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对任意的*n N ∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1)b ≠，b ，r 均为常数的图象上． （Ⅰ）求r 的值．（Ⅱ）当2b =时，记22(log 1)(*)n n b a n N =+∈，证明：对任意的*n N ∈，不等式成立1212111n nb b b b b b +++⋅⋅⋯⋅>【例9】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且420S =，510a =． （1）求n S ；（2(1)()2n n n S n N +++>∈．【例10】用两种方法证明：33*278()n n n N +--∈能被49整除．【例11】是否存在实数a ，b ，c ，使得等式2(1)135246(2)(4)()4n n n n n an bn c +⋅⋅+⋅⋅+⋯⋯+++=++对于一切正整数n 都成立？若存在，求出a ，b ，c 的值；若不存在，说明理由．【训练1】用数学归纳法证明等式：1221357(1)(21)(1)(21)(1)(23)(1)(2)n n n n n n n n +++-+-++⋯+--+-++-+=-+．要验证当1n =时等式成立，其左边的式子应为()A ．1-B ．13-+C ．135-+-D ．1357-+-+【训练2】用数学归纳法证明21211n n nn ->++对任意(,)n k n k N >∈的自然数都成立，则k 的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【训练3】用数学归纳法证明“22n n >对于0n n …的正整数n 都成立”时，第一步证明中的初始值0n 应取() A ．2B ．3C ．4D ．5【训练4】用数学归纳法证明不等式“1111(,2)232nn n N n +++⋅⋅⋅+<∈≥”时，由(2)n k k =…时不等式成立，推证1n k =+时，左边增加的项数是() A ．12k -B ．21k -C ．2k D ．21k +【训练5】用数学归纳法证明222(1)1232n n n +++++=时，由n k =到1n k =+，左边需要添加的项数为()A ．1B ．kC ．2kD ．21k +【训练6】用数学归纳法证明不等式“111131214n n n n ++⋯+>+++”的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边() A ．增加了一项“12(1)k +” B ．增加了两项“121k +”和“12(1)k +”C ．增加了一项“12(1)k +”，但又减少了一项“11k +” D ．增加了两项“121k +”和“12(1)k +”，但又减少了一项“11k +”【训练7】已知经过同一点的*(n n N ∈，3)n ≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n 个平面将空间分成()f n 个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由n k =到1n k =+时，应证明增加的空间个数为()A ．2kB ．22k +C ．222k k ++D ．22k k ++【训练8】用数学归纳法证明：2221(11)(22)()(1)(2)(3n n n n n n ++++++=++为正整数）．【训练9】已知正数列{}n a 满足233312na n =+++．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）试猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【训练10】用数学归纳法证明：2221112(1)11...23(1)1n n n +-++++<++．【训练11】2(1)2n +．【训练12】用数学归纳法证明：21243()n n n N ++++∈能被13整除．【训练13】用数学归纳法证明：对任意正整数n ，4151n n +-能被9整除．【训练14】在教材中，我们已研究出如下结论：平面内n 条直线最多可将平面分成211122n n ++个部分．现探究：空间内n 个平面最多可将空间分成多少个部分，*n N ∈． 设空间内n 个平面最多可将空间分成32()1f n an bn cn =+++个部分． （1）求a ，b ，c 的值； （2）用数学归纳法证明此结论．。

高考数学一轮单元复习第66讲 数学归纳法精品PPT课件

高考数学一轮单元复习第66讲 数学归纳法精品PPT课件
第66讲│数学归纳法
第66讲│知识梳理
知识梳理
1．数学归纳法的适用对象 数学归纳法是用来证明关于与 正整数n 有关命题的一种 方法，若 n0 是起始值，则 n0 是 使命题成立的最小正整数 . 2．数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下： (1)当 n＝ n0(n0∈N*) 时，验证命题成立； (2)假设 n＝k(k≥n0,k∈N*) 时命题成立，推证 n＝ k＋1 时 命题也成立，从而推出命题对所有的 从n0开始的正整数n 都 成立，其中第一步是归纳“奠基”，第二步是归纳递推，二者缺 一不可．
第66讲│要点探究
＝16(k＋1)(2k2＋k＋6k＋6) ＝16(k＋1)(2k2＋7k＋6) ＝16(k＋1)(2k＋3)(k＋2) ＝16(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]． ∴n＝k＋1 时，等式成立． 由(1)(2)知，结论对 n∈N*恒成立．
第66讲│要点探究
【点评】用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式 命题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边 各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加 多少项，增加怎样的项；难点在于寻求等式当n＝k和n ＝k＋1时的联系．

第66讲│要点探究
► 探究点2 用数学归纳法证明整除问题
例 2 试证当 n 为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9 能被 64 整除．
【思路】首先在f(k＋1)中分析出含有f(k)的表达式作 为第一项，为了使两边恒等，用多减少加的方法把f(k＋1) 中的其余项拆为第二项，而第二项也具有命题的性质．
第66讲│要点探究
即 12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)． 证明：(1)n＝1 时，左边＝1， 右边＝16×1×(1＋1)(2＋1)＝1， ∴等式成立． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即 12＋22＋32＋…＋k2＝16k(k＋1)(2k＋1)． 则当 n＝k＋1 时， 12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2 ＝16k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2

课件4： 数学归纳法

课件4： 数学归纳法

则当 n＝k＋1 时， 1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＋2k＋112k＋3 ＝2k＋k 1＋2k＋112k＋3＝2kk＋2k1＋32k＋＋13 ＝22kk＋2＋132kk＋＋13＝2kk＋＋13＝2k＋k＋11＋1， 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
❖ 【方法与技巧】
❖ [思维升华]
1．数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可 有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无 一，第二步就失去了递推的基础． 2．归纳假设的作用 在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两 点：
❖ (1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上 归纳假设．
活学活用 1 用数学归纳法证明：
对任意的
n
∈
N*
，
1 1×3
＋
1 3×5
＋
…
＋
1 2n－12n＋1
＝
2nn＋1. [证明]
(1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3＝13，
右边＝2×11＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当 n＝k 时等式成立，即
1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＝2k＋k 1，
第七章 不等式、推理与证明
7.6 数学归纳法
考纲要求
❖ 1．了解数学归纳法的原理． ❖ 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
❖ [要点梳理]
❖ 数学归纳法 ❖ 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进
行： ❖ (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立； ❖ (2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，推出

课件2 ：2.3 数学归纳法

课件2 ：2.3 数学归纳法
1 +
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +

【新教材】高中数学课件之数学归纳法

【新教材】高中数学课件之数学归纳法

【新教材】高中数学课件之数学归纳法一、教学内容本节课选自新教材高中数学选修22第16章《数学归纳法》。

具体内容包括数学归纳法的概念、原理和应用，重点探讨如何利用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其证明步骤和注意事项。

2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学命题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的方法。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中，如何正确地应用原理和推导。

教学重点：数学归纳法的概念、证明步骤和注意事项。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。

2. 学具：笔记本、草稿纸、笔。

五、教学过程1. 引入：通过一个实践情景，如“楼梯问题”，引导学生思考如何求解与自然数有关的数学问题。

2. 新课导入：介绍数学归纳法的概念，解释其基本原理。

3. 例题讲解：讲解数学归纳法证明的步骤，通过具体例题演示如何应用数学归纳法。

4. 随堂练习：让学生尝试利用数学归纳法证明简单的数学命题，如“1+3+5++(2n1)=n^2”。

6. 知识巩固：布置一道综合性较强的例题，让学生独立完成，巩固所学知识。

七、作业设计1. 作业题目：（1）利用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2。

（2）利用数学归纳法证明：对于任意正整数n，有2^n > n。

2. 答案：（1）证明：当n=1时，等式成立。

假设当n=k时等式成立，即1+2+3++k = k(k+1)/2。

当n=k+1时，等式左边为1+2+3++k+(k+1)，根据归纳假设，等式左边=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。

所以，等式成立。

（2）证明：当n=1时，2^n > n成立。

假设当n=k时不等式成立，即2^k > k。

当n=k+1时，2^(k+1) = 2×2^k > 2k。

由于k为正整数，2k >k+1。

所以，2^(k+1) > k+1，即当n=k+1时不等式成立。

数学归纳法概念教学

数学归纳法概念教学

浅谈数学归纳法的概念教学数学归纳法是中学数学的重要数学方法之一。

学习了数学归纳法之后，有学生曾说：“反正老师说完成两个步骤就正确。

我也不知道为什么正确，也勿需去考虑它为什么正确”。

所以这些学生在解决问题时往往忽视了数学归纳法的应用而束手无策，或者在完成第二步骤时，由于缺乏自信心而半途而废。

这与是否注重概念的过程教学密切相关。

数学归纳法概念的教学，首先要通过实例使学生体会到归纳法的基本思想，如从对学生熟知的等差数列通项公式的归纳过程着手，拉开序幕。

并指出：象这种“由特殊到一般”的推理方法叫归纳法。

这样的归纳推理是认识上的一个“飞跃”。

再讲一个“王二上学的故事”：第一天教师教“一”，并划了一横杠，王二记住了；第二天老师教“二”，并划了两横杠，王二又记住了；于是王二就预料，第三天老师要教“三”，并要划三横杠，第三天果然如此。

到了第四天，王二对父亲说：“从今天起我不再上学了，我都会了。

”父亲说：“为什么这么快呢?”王二说：“就是划横杠嘛”。

父亲说：“我的孩子真聪明。

”碰巧父亲的一位朋友来了，父亲说：“我这位朋友叫万百千，你能把他的名字写出来吗？”王二惊呆了，并说：“这个名字要花费多少时间才能写完哪!”王二这个归纳推理是错误的可笑的。

上述两个实例告诉我们，同样用的“归纳法”，一个结论正确，一个结论错误。

这就是说，仅仅考察部分特例而得出一般结论的推理方法，所得结论不一定正确，通常称为不完全归纳法。

那么归纳推理在什么条件下才是可靠正确的呢?让我们来做一个游戏，这个游戏曾在中央电视台演播过，不妨称为“摆砖游戏”。

我们把很多很多砖块按照“前砖碰倒后砖”的规格来摆放，从教室摆到操场，再摆到公路上，再摆到香港，再摆到外国……，甚至可以没完没了的摆下去。

那么，我们只要推倒第一块砖，就能把所有的砖块全部推倒。

这个游戏有两个条件：第一，要推倒第一块砖；第二，砖块必须按照“前砖碰倒后砖”的规格来摆放。

显然，这两个条件缺一不可。

浅谈数学归纳法

浅谈数学归纳法

农家参谋基层教育-232-NONG JIA CAN MOU浅谈数学归纳法郭苗苗 李超峰（黄淮学院数学与统计学院，河南驻马店，463000）【摘 要】数学归纳法是数学学习中的一个最为基本的工具，它是数学上一种特殊方法用来证明与自然数N 有关的命题，它主要用来探讨与正整数有关的问题，在高中数学学习中常用它来证明数列通项公式成立和等式成立。

数学归纳法不仅在高中数学中是很重要的，而且在以后的高等教育有关数学学习中也是重要的数学证明方法，所以,对数学归纳法逻辑原理要加强理解,便于更好的学习和运用数学归纳法。

数学归纳法并不是太容易理解,为易于掌握理解这种方法,要先了解其概念方法,再加强分析其逻辑原理,最后通过实际应用理解掌握数学归纳法。

【关键词】数学归纳法；归纳分类；归纳原理；应用FrancescoMaurolico 的Arithmeticorumlibriduo（1575年）是已知最早使用数学归纳法的证明。

由“前n 个奇数的总和是”而揭开了数学归纳法之谜，它是Maurolico 利用递推关系证明出的。

数学归纳法无论在理论问题中还是在实际应用问题中,应用数学归纳法来解决会使问题凸显的异常地方便简单，对于许多关于自然数集的问题也是如此，甚至还有一些问题除了用数学归纳法来证明，其他方法还不能证明。

由此看出，数学归纳法确实很重要。

1 数学归纳法的概念数学归纳法是在自然数范围内用于证明某个命题的一种数学证明方法。

数学归纳法与其他数学方法相比较,数学归纳法是一种特殊的方法用来证明与自然数N 有关的命题，它主要用来说明与正整数有关的数学问题，数学归纳法的逻辑十分严谨,因此它的应用范围也非常广泛。

2 数学归纳法的分类数学归纳法大致分为第一数学归纳法，第二数学归纳法，倒推归纳法（反向归纳法），螺旋式归纳法。

2.1 第一数学归纳法：设有一个与自然数n 有关的命题1）归纳的奠基:当n 取第一个值时命题成立；2）归纳的假设:假设当n=k （k 大于等于n，k 为自然数）时命题成立；3）归纳的递推:由归纳假设证明当n=k+1时命题也成立。

数学归纳法说课课件PPT

数学归纳法说课课件PPT
数学归纳法说课课件
目录
• 引言 • 数学归纳法基本概念 • 数学归纳法证明方法 • 数学归纳法解题技巧与实例分析 • 数学归纳法在数学竞赛中应用与拓展 • 数学归纳法教学设计与实施建议
01
引言
说课背景与目的
背景
介绍数学归纳法的起源、发展以 及在数学领域中的重要地位。
目的
阐述本次说课的目标，包括知识 传授、方法指导和能力培养等方 面。
当n=1时，左边=1，右边 =1(1+1)/2=1，命题成立。
数学归纳法应用举例
01
02
例2
基础步骤
证明n^3-n能被6整除，对于一切自 然数n都成立。
当n=1时，左边=1^3-1=0，能被6 整除，命题成立。
03
归纳步骤
假设当n=k时命题成立，即k^3-k能 被6整除，则当n=k+1时，左边 =(k+1)^3(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k1=k^3-k+3k(k+1)，由于k^3-k能被 6整除，且3k(k+1)能被6整除（因为k 和k+1中至少有一个是偶数），因此 当n=k+1时命题也成立。
思维能力和数学素养。
重点
数学归纳法的基本思想和步骤，如 何运用数学归纳法证明数学命题。
难点
归纳假设的提出和运用，如何从归 纳假设推导出结论。
教学方法选择和手段运用
教学方法
采用启发式教学法、讨论式教学法和案例式教学法相结合，引导学生主动思考、 积极参与。
教学手段
运用多媒体教学课件、黑板演示和实物展示等手段，帮助学生理解和掌握数学归 纳法的知识要点。
说课内容与结构
内容

课件6：2.3 数学归纳法

课件6：2.3 数学归纳法

变式探究 1：用数学归纳法证明： 1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n.
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12， 右边＝12，命题成立．
(2)假设当 n＝k 时命题成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k－ 1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k， 那么当 n＝k＋1 时， 1－12＋13－14＋…＋2k－ 1 1－21k＋2k＋ 1 1－2k＋ 1 2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋ 1 1－2k＋ 1 2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋ 1 1＋2k＋ 1 2. 上式表明当 n＝k＋1 时命题也成立． 由(1)(2)知，等式对任意正整数 n 都成立.
这就是说，当 n＝k＋1 时，f(n)也能被 36 整除．
根据(1)和(2)，可知对一切正整数 n， 都有 f(n)＝(2n＋7)×3n＋9 能被 36 整除.
考点四：用数学归纳法证明几何问题 例 4：证明凸 n 边形的对角线的条数 f(n)＝12n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
解：(1)当 n＝4 时，f(4)＝12×4×(4－3)＝2， 凸四边形有两条对角线，命题成立．
2.3 数学归纳法
学习目标： 1．了解数学归纳法的原理及一般步骤； 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题； 3．能通过“归纳→猜想→证明”解决一些数学问题．
预习探究 知识点一 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立； (2)归纳递推：假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k
＋1 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数
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浅谈数学归纳法 陈国良 井冈山大学数理学院 江西 吉安 邮编：343009 指导老师：曹艳华 [摘要] 用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，两个步骤各司其职，互相配合.数学归纳法经历无数数学的潜心研究与科学家们的利用，是数学归纳法得以发展和它为数学问题与科学问题的发现做出了极大的贡献。学好归纳法是科学问题研究的最基础的知识. [关键词]理论依据；数学归纳法；表现形式 1 数学归纳法的萌芽和发展过程

数学归纳法思想萌芽可以说长生于古希腊时代。欧几里德在证明素数有无穷多多个时，使用了反证法，通过反设“假设有有限多个”，使问题变成“有限”的命题，其中证明里隐含着：若有n个素数，就必然存在第n+1个素数，因而自然推出素数有无限多个，这是一种是图用有限处理无限的做法，是人们通过过有限和无限的最初尝试。 欧几里德之后直到16世纪，在意大利数学家莫洛克斯的《算术》一书中明确提出一个“递归推理”原则，并用它证明了1+2+3+…+（2n-1）=2n,对任何自然数n都成立。不过他并没有对这原则做出清晰的表述。 对数学归纳法首次作出明确而清晰阐述的是法国数学家和物理学家帕斯卡，他发现了一种被后来成为“帕斯卡三角形”的数表。他在研究证明有关这个“算术三角形”的一些命题时，最先准确而清晰的指出了证明过程且只需的两个步骤，称之为第一条引理和第二条引理： 第一条引理 该命题对于第一底（即(n=1)成立，这是显然的。 第二条引理 如果该命题对任意底（对任意n）成立，它必对其下一底（对n+1）也成立。 由此可得，该命题对所有n值成立。 因此，在数学史上，认为帕斯卡是数学归纳法的创建人，因其所提出的两个引理从本质上讲就是数学归纳法的两个步骤，在他的著作《论算术三角形》中对此作了详尽的论述。 帕斯卡的思想论述十一例子来陈述归纳法的，而在他的时代还未建立表示一般自然数的符号。直至十七世纪，瑞士数学家J。伯努利提出表示任意自然熟的符号之后，在他的《猜度术》一书中，才给出并使用了现代形式的数学归纳法。由此， 数学归纳法开始得到世人的承认并得到数学界日益广泛的应用。十九世纪，意大利数学家皮亚若建立自然数的公理体系时，提出归纳公理，为数学归纳法奠定了理论基础。即：对于正整数N的子集M，如果满足：①1∈M;②若a∈M，则a+1

∈M；则M=N. 2 数学归纳法的表现形式 2.1 第一数学归纳法 原理1：设()Pn是一个与正整数有关的命题，如果

（1）当00()nnnN时，()Pn成立； （2）假设0(,)nkknkN时命题成立,由此推得n=k+1时，()Pn也成立； 那么，对一切正整数n 0n,()Pn成立。 证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S，于是由最小数原理，S中有最小数a,因为命题对于1n时成立，所以a1，1a，从而1a是个正整数，又由于条件（3）当na也成立.因此aS，导致矛盾，因此该命题对于一切正整数都成立，定理证毕. 在应用数学归纳法时，有些命题不一定从c开始的，这时在叙述上只要将1n换成nc即可，第一数学归纳法主要可概括为以下三步： ①归纳基础：证明c时命题成立； ②归纳假设：假设nk时命题成立； ③归纳递推;由归纳假设推出1nk时命题也成立. 2．2第二数学归纳法 原理2：设()Pn是一个与正整数有关的命题，如果

（1）当00()nnnN时，()Pn成立； （2）假设0(,)nkknkN时命题成立,由此推得n=k+1时，()Pn也成立； 那么，对一切正整数n 0n,()Pn成立。 则这个命题对于一切正整数n都成立其证明方法与上述证明方法类似 由此我们可以看出第二数学归纳法与第一数学归纳法是等价的，在有些情况下，由归纳法 “假设nk时命题成立”还不够，而需要更强的假定.也就是说，对于命题()Pn，在证明(1)Pk成立，不仅依赖()Pk成立，而且依赖于前面各步成立.这

时一般要选用第二数学归纳法. 第二数学归纳法可概括为一下三步： ①归纳基础：证明1n时命题成立; ②归纳假设：假设nk时命题成立; ③归纳递推：由归纳假设推出1nk时命题也成立. 第二数学归纳法与第一数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设. 2.3.跳板数学归纳法原理 原理3：设()Pn是一个与正整数有关的命题.如果：

（1）当n=1，2，3，…，L时，()Pn都成立； （2）假设nk时，()Pn成立，由此能推得n=k+L时，()Pn也成立； 那么，对一切正整数n≥1,()Pn成立. 2.4.反向归纳法 反向归纳法是数学家柯西最先使用的，原理：设()Pn是一个与正整数n有关

的命题.如果： （1）()Pn对于无限多个正整数n成立-

（2）假设对正整数k>1, ()Pk成立，则(1)Pk也成立； 那么，对一切正整数1n，()Pn成立. 3 归纳法的两种分类 归纳法有完全归纳法和不完全归纳法（经验归纳法）之分 3.1完全归纳法也叫完全推理。这是根据某类事物中的每一事物都具有某种性质P，推出该类中全部事物都具有该性质P的归纳推理。运用完全归纳法，前提必须包括某类事物中的一切对象，无一遗漏，而且作为前提的判断也必须是真实的。故完全归纳法得出的结论是真实的可靠的。 3.2不完全归纳法是通过对一类事物的部分对象的考察，从中作出有关这一类事物的一般性的结论的猜想的方法。它的可靠性较弱些，但同时是一种创造性较强的方法。在数学发现和数学创造的活动中有十分的重要作用。具体可表示如下： 从具体问题或具体素材出发实验归纳推广形成普遍命题证明 3.2.1 用经验归纳法发现问题的结论 常见的有两种形式:一是由特殊事物直接猜测问题的结论；二是根据规律先猜测一个递推规律，然后凭借递推关系去发现结论。

例1 设正项数列｛na｝的前n项和为ns且ns= 11()2nnaa，求该数列的通项公

式。 分析：在ns= 11()2nnaa中，依此令n=1,2,…可得：

n=1时，11111()2aaa,从而得1a1； n=2时, 122211()2aaaa,即222210aa. 解之，得2221,21aa（负值舍去）. 类似的，可得332a … 于是可猜想：na=1nn。

结论的正确性可以通过数学归纳法进行证明。 3.2.2 用经验归纳发现解决问题的途径。 例2 证明正方形比可划分为n(n∈N且n 5)个小正方形。 证明：当n=5,6,7,8.时，命题显然成立。假定当n=3k,n=3k+1(k∈N且k 2)时，命题也成立，己也可以划分，那么，当n=3(3k+1)+3,n=3(k+1)+1,n=3(k+1)+2时，亦即n=3k+3,n=(3k+2)+3时，只要将n=3k,n=3k+1,n=3k+2时各情形中的一个小正方形分成四个更小的正方形，即可使所划分出的正方形数目增加3个，所以n=3k+3,n=(3k+2)+3时，命题也成立。这样，命题便得到了证明。 4 数学归纳法的形式步骤

例3 对n∈N,证明: 1111....2123nn 分析：这是一个典型的可用数学归纳法证明的命题，证明过程如下： （1）当n=1时，左=1211，命题成立。 （2）假设n=k时，1111....2123kk成立，则当n=k+1时， 1111....)(21121kkk

1212111kkk

2212(1)1kkkk

22(21)1kkkk

222444411(221)kkkkkkkk



211(221)kkkk

0

即1111....21121kkk，命题也能成立。 （3）综上所述，由数学归纳法原理知，对n∈N,111....212nn成立。 在证明第二步“n=k+1时等式成立”时，除了形式上的变形外，其实质是运用了先前的假设“n=k时等式成立“。因此，第二步一开始的假设不是可有可无，它不是摆设，而是在以后的证明中起着已知条件的作用，不可或缺，也只有这样，才表明由n=k时命题成立到处n=k+1时命题成立的递推关系的真实存在，在用数学归纳法证明时，第一步很简单，第二步很关键，也是综合性较强的一步，其归纳过渡作用。 数学归纳法是一种非常有效的证明与自然数序列有关的命题的数学方法。他绕开了证明过程中的很多障碍显得简洁有力。这种证明方法的本质特征用庞加莱的话来说：“把无穷的第二轮纳入唯一的公式中。”具体运用归纳法原理证明数学命题是分三步： ①验证n去第一个值0n时命题也正确性（奠基）； ②证明“由n=k”时命题正确可推得n=k+1时命题也正确”（递推依据）； ③由以上两个步骤确认结论（断言）。 5 数学归纳法应用举例以及一些技巧

数学归纳法形式上是三步，看似简单，其使用起来也有很多技巧，尤其是第二部归纳过度推证，有时会用许多数学变形技巧， 例4：设012,,....aaa是一个正数列，对一切n=0,1,2,….,都有21nnnaaa，

证明，对一切n=1,2,…,都有11nan. 分析：由不等式2001aaa得知210000(1)aaaaa，由于010,0,aa知

01a 0,再结合平均不等式，即得10011(1)42aaa.知当n=1时，所证不

等式成立.假设当n=k时，不等式成立，即有11kak，要证n=k+1时不等式也成立.分两种情况讨论： （1）若1121kakk，则1111(1)(1)122kkkaaakkk；

（2）若12kak，显然有0 1- ka 1，所以11(1)2kkkkaaaak； 无论任何情况，所证不等式都对n=k+1成立。故根据数学归纳法原理，对一切正整数n，不等式均成立。 在上述证明过程中，实施归纳过度是分成两种情况考虑，用意十分明显，因为我们要想从1(1)kkkaaa得出关于1ka的上界估计，不仅需要关于“ka小于

多少”的信息，而且需要关于“ka大于多少”的信息。然而这类信息既不能从归纳假设中得到，有无法从数列本身性质中得到，迫不得已只好先对ka假定有1121kakk。而对另一种情形采用另一种估计的办法。

6 数学归纳法的重要性 如果所得的判断得到的证明或者检验，就变成了科学规律性的认识，因此归纳与猜想是科学发现过程中的重要步骤和思想方法。例如，牛顿，爱因斯坦的科学成果，在相当大的程度上是从特殊事实出发，经过归纳，得到大胆的猜想，提出更一般，广泛的全新的科学方法或者结论，推动了科学的发展。在数学解题中，往往需要从特殊，个体，简单，局部的事实出发，探究，概括一般的规律。因此，在观察基础上，掌握归纳方法，会概括数学猜想的思维方法，对学好数学非常重