初中数学-沪科版-初一下-十字相乘法及分组分解法(提高)巩固练习

因式分解方法：:十字相乘法知识点一、对于二次项系数为1的二次三项式方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．知识点二、对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．一、二次项系数为1二次三项式的十字相乘例1.分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

解：652++x x =32)32(2⨯+++x x=)3)(2(++x x例2.分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x=)6)(1(--x x))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x二、二次项系数不为1的二次三项式的十字相乘例1.分解因式：101132+-x x解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y三．多字母的二次多项式例1.分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

因式分解 ——十字相乘、分组分解【知识要点】1.十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 方法总结：将二次三项式2x px q ++分解因式，关键是选择a 和b ，使 q =， p =（1）q 为正数时，a 、b ，且与 同号；（2）q 为负数时，a 、b ，其中绝对值 （填“较大”或“较小”）因数与p 同号；（3）先把 分解成若干组两数之积，选择其中两数之和等于 的一组数。

（2）二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。

2．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b-+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式，即可达到分解因式的目的。

例如： 22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

【典型例题】例1 把下列各式分解因式（1）2914x x ++= （2）212x x --=（3）2812x x ++= （4）2710x x -+=（5）228x x --= （6）2922x x --=（7）2295x x +-= （8）2376x x --=（9）28103x x ++= （10）210275x x ++=二、例1．把下列各式分解因式：（1）232x x ++ （2）276x x -+ （3）2421x x -- （4）2215x x --练习：把下列各式分解因式：（1）298x x ++ （2）2712x x -+ （3）2421a a --+ （4）2328b b --四、例2．把下列各式分解因式：（1）4220x x -- （2）2278a x ax +- （3）22914a ab b -+ （4）32412a a a --+练习：把下列各式分解因式：（1）21118x x ++ （2）22526a a -+ （3）22730a ab b -- （4）2232x xy y -+（5）222256x y x y x -+ （2）278a a +- （3）()()220x y x y +++-你能用十字相乘法分解下列各式吗？（1）223x x -- （2）2257x x +- （3）2321a a -- （4）23145b b +-六、解下列方程（1）220x x --= （2）2560x x +-= （3）23440a a +-= （4）227150b b +-=七、1.用十字相乘法分解因式：(1)2x 2+3x+1； (2)2y 2+y －6； (3)6x 2－13x+6； (4)3a 2－7a －6；(5)6x 2－11xy+3y 2； (6)4m 2+8mn+3n 2； (7)10x 2－21xy+2y 2； (8)8m 2－22mn+15n 2.2．把下列各式分解因式：(1)4n 2+4n －15； (2)6a 2+a －35； (3)5x 2－8x －13； (4)4x 2+15x+9(5)15x 2+x －2； (6)6y 2+19y+10； (7)20－9y －20y 2； (8)7(x －1) 2+4(x －1)(y+2)－20(y+2) 2.例2 把下列各式分解因式（1）bc ac ab a -+-2 （2）bx by ay ax -+-5102 （3）n mn m m 552+--（4）bx ay by ax 3443+++ （5）22144a ab b --- （6）223443ax ay bx cy cx by +-++-例3 把下列各式分解因式（1）22421x xy y --； （2）()()267a b a b +-+-； （3）()()22524x x -+-+（4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+； （5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）222()14()24x x x x +-++【练 习】A 组将下列各式分解因式1．221x x +-= 2．2352x x ++=3．232x x +-= 4．221315x x ++=5．2122512x x -+= 6．2310x x +-=7．ax ＋ay －bx －by = 8．x 2－xy －ax ＋ay =9．x 2＋6y －xy －6x = 10．a 2－b 2－a ＋b =11．4x 2－y 2＋2x ＋y = 12．a 2－2ab ＋b 2－c 2 =13．1－x 2－2xy －y 2= 14．x 2－9a 2＋12a －4=15．x 2y ＋3xy 2－x －3y= 16．na 2－2ba 2＋mn －2bm=17．x 3＋3x 2＋3x ＋9= 18．20ax 2＋5xy －8axy －2y 2=19．bx ＋ax ＋by ＋bz ＋ay ＋az= 20．2ax －3bx ＋x －2a ＋3b －1=B 组一、分解因式1．2249y x -3、2a 4－324、a 2(3a ＋1)－b 2(3a ＋1)5、x 2－8x ＋166、a 2b 2－10ab ＋257、－x 4＋2x 2y 2－y4 8、(2x 2＋1)2＋2(2x 2＋1)＋1二、分解因式1、9222+--a b ab 2．x 3＋3x 2－4x －12 3．x 2－b x －a 2＋a b4．m －m 3－mn 2＋2m 2n 5．9ax 2＋9bx 2－a －b 6．a 2－2a ＋4b －4b 2C 组三、分解因式1、(a 2＋b 2)2－4a 2b 22、a 4(x －y)＋b 4(y －x)3、(a 2＋1)2－4a(a 2＋1)＋4a 24.a 2＋2ab ＋b 2－ac －bc5.m 2＋2mn ＋n 2－p 2－2pq －q2 6.(x 2－3)2－4x 27. (x 2－3)2＋(x 2－3)－28.(x 2－2x)2－4(x 2－2x)－5 9.a 4－2a 2b 2－8b 4 10.x 4－6x 3＋9x 2－16四、分解因式 （1）y y x x 2422+-- （2）222449c bc b a -+- （3）1724+-x x （4）422411y y x x +-（5）90)242)(32(22+-+-+x x x x （6）如果b a ,是整数，且12--x x 是123++bx ax 的因式，求b 的值.（7）设y kx xy x x 42323---+可分解为一次因式与二次因式之积，求k 的值.（8）已知62-+x x 是多项式162234-+++-+b a x ax x x 的因式，求a 、b 的值.。

专题8.31十字相乘法（知识讲解）【学习目标】1.熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2.基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3.对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩，则()()2x bx c x p x q ++=++特别说明：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、十字相乘法分解因式步骤:1、把二次项系数和常数项分别分解因数。

沪科版七年级下册数学第八单元8.4节因式分解—十字相乘法专项练习一．选择题（共20小题）1．下列因式分解结果正确的是（）A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）B．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）2．把多项式x2﹣ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a＝﹣2，b＝﹣3B．a＝2，b＝﹣3C．a＝﹣2，b＝3D．a＝2，b＝3 3．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a＝2，b＝3B．a＝﹣2，b＝﹣3C．a＝﹣2，b＝3D．a＝2，b＝﹣3 4．如果x2﹣px+q＝（x+a）（x+b），那么p等于（）A．ab B．a+b C．﹣ab D．﹣（a+b）5．计算结果为a2﹣5a﹣6的是（）A．（a﹣6）（a+1）B．（a﹣2）（a+3）C．（a+6）（a﹣1）D．（a+2）（a﹣3）6．对下列各整式因式分解正确的是（）A．2x2﹣x+1＝x（2x﹣1）+1B．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2C．y3+4y2+4y＝y（y+2）2D．x2﹣x﹣6＝（x﹣2）（x+3）7．将对x2+mx+n分解成（x﹣7）（x+2），则m，n的值为（）A．5，﹣14B．﹣5，14C．5，14D．﹣5，﹣14 8．下列多项式的因式分解中，正确的是（）A．x2+4x+3＝x（x+4）+3B．a2﹣9＝（a﹣3）2C．x2﹣2xy+y2＝（x+y）2D．3a5b+6a3b＝3 a3b（a2+2）9．下列因式分解，其中正确的是（）A．x2﹣6x﹣9＝（x﹣3）2B．x2﹣a2＝（x﹣a）2C．2x2﹣6x＝2x（x﹣6）D．x2﹣3x+2＝（x﹣2）（x﹣1）10．下列因式分解正确的是（）A．x2+9＝（x+3）（x﹣3）B．x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3）C．3x﹣6y+3＝3（x﹣2y）D．x2+2x﹣1＝（x﹣1）211．用如图1中的三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（）A．3a2+3ab+b2＝（a+b）（b+3a）B．3a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）（3a+b）C．3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b）D．a2+4ab+3b2＝（a+b）（3a+b）12．下列因式分解正确的是（）A．n2﹣5n+6＝n（n﹣5）+6B．4x2+1＝（2x+1 ）2C．y2+4y﹣4＝（y+2）2D．4t2﹣1＝（2t﹣1）（2t+1）13．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2B．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）C．x3﹣4x＝x（x2﹣4）D．9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n）14．若多项式5x2+17x﹣12可因式分解为（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a﹣c 的值是（）A．1B．7C．11D．1315．把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（）A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）16．把多项式x2+x﹣2分解因式，下列结果正确的是（）A．（x+2）（x﹣1）B．（x﹣2）（x+1）C．（x﹣1）2D．（2x﹣1）（x+2）17．下列因式分解正确的是（）A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1）B．a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b）C．x2﹣7x﹣10＝（x﹣2）（x﹣5）D．10x2y﹣5xy2＝5xy（2x﹣y）18．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）19．下列多项式不能分解的是（）A．（ab+cd）2+（bc﹣ad）2B．x2﹣y2﹣6x+9C．x2﹣2xy﹣3y2+4x+8y﹣5D．x2+2x+420．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为x2﹣49，乙与丙相乘，积为x2﹣9x+14，则甲与丙相加的结果是（）A．2x+5B．2x﹣5C．2x+9D．2x﹣9二．填空题（共10小题）21．分解因式：x2+ax+b＝（x﹣1）（x﹣3），则a+b＝．22．多项式kx2﹣9xy﹣10y2可分解因式得（mx+2y）（3x﹣5y），则k＝，m＝．23．因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝．24．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q＝（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是．25．如果多项式x2﹣mx+6分解因式的结果是（x﹣3）（x+n），那么m，n的值分别是．26．多项式x2﹣4x+m分解因式的结果是（x+3）（x﹣n），则＝．27．分解因式：2x3﹣6x2+4x＝．28．若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m﹣n的值为．29．因式分解：x2﹣9x+18＝．30．因式分解：x2﹣3x+（x﹣3）＝．三．解答题（共10小题）31．分解因式：（1）﹣3ab2+27a；（2）（x2+x）2﹣8（x2+x）+12；（3）9（m﹣2n）2﹣（m+2n）2．32．因式分解：（x2+4x）2﹣2（x2+4x）﹣15．33．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．34．阅读下列材料，并解答相应问题：对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但是对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接应用完全平方式，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加一项a2，使其一部分成为完全平方式，再减去a2项，使整个式子的值不变，于是有下面的因式分解：仔细领会上述的解决问题的思路、方法，认真分析完全平方式的构造，结合自己对完全平方式的理解，解决下列问题：（1）因式分解：①x2﹣4x+3；②（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3．（2）拓展：因式分解：x4+4．35．提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）运用结论：（1）基础运用：把多项式x2﹣5x﹣24进行因式分解．（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：将二次项4x2分解成图2中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x ﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：3x2﹣19x﹣14．36．将下列各式因式分解（1）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）（2）x2+2x﹣1537．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．38．阅读与思考x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．所以x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这样我们也可以得到x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值．39．阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．40．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+a+2a）（x+a﹣2a）＝（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8；x2+12x﹣13．。

十字相乘法和分组分解法5种压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 十字相乘法的简单计算】 (1)【考点二 系数不为1的二次三项式的因式分解】 (2)【考点三 分组分解法的简单计算】 (2)【考点四 添项减项在因式分解中的应用】 (3)【考点五 十字相乘法和分组分解法的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一 十字相乘法的简单计算】【例题1】若多项式212x ax −+可分解为()()3x x b −+，则a b +的值为（ ）【答案】C 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：3123a b b −=−+=−，． 【详解】解：多项式212x ax −+可分解为()()3x x b −+， 3123a b b ∴−=−+=−：，．47b a ∴=−=，．473a b ∴+=−+=．故选：C ．【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键.【变式1】多项式2514x x +−可因式分解成()()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，求2a c +的值为( )A ．12−B ．3C ．3−或12D ．3或12【答案】D【分析】根据题意将多项式因式分解，即可得出,,a b c 的值，进而即可求解．【详解】解：∵()()2514()()27=x x x x x a bx c +−=−+++∴2,,7a b c =−=1=或7,1,2a b c ===−∴221412a c +=−+=或2743a c +=−=，故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【变式2】已知二次三项式215x kx −−能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k 的取值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【分析】把常数项15−分为两个整数相乘，其和即为k −的值，即可确定出整数k 的个数．【详解】解：根据题意得：()()151151153535−=−⨯=⨯−=−⨯=⨯−，可得14k −=，14−，2，2−，解得：14=−k ，14，2−，2，共4个，故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解中的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．A ．8−B ．6−C ．4−D ．2【答案】A【分析】根据甲分解的结果求出b ，根据乙分解的结果求出a ，然后代入b a −求解即可．【详解】解：∵()()226412x x x x =+−−+， ∴12b =−，又∵()()284432x x x x −+=−−，∴4a =−，∴()1248b a −=−−−=−，故选：A ．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定义是正确解答的前提．【考点二 系数不唯一的二次三项式的因式分解】【例题2】 将2352x x −+在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）【答案】D【分析】根据十字相乘法分解因式，即可得到答案．【详解】解：2352x x −+∴()()2352132x x x x −+=−−，故选：D ．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，熟记十字相乘法因式分解是解决问题的关键．A ．12−B ．3−C ．3D ．12【答案】A【分析】首先利用十字相乘法将239514x x +−因式分解，继而求得a ，c 的值，代入a+2c 即可得到结果． 【详解】解：利用十字相乘法，把239514x x +−多项式因式分解，可得，239514(32)(137)x x x x +−=+− ∵多项式239514x x +−可因式分解成（3x+a ）（bx+c ） ∴ 2a =，13b =，7c =−∴222(7)12a c +=+⨯−=−故选：A ．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解的知识，利用十字相乘法对2ax bx c ++（a≠0）型的式子因式分解是把二次项系数a 分解成两个因数a1，a2的积a1⋅a2，把常数项c 分解成两个因数c1，c2的积c1⋅c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b ，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)．解答本题的关键是明确题意，会用十字相乘法分解因式．【变式2】多项式22215x xy y −−的一个因式为（ ）A ．25x y −B ．3x y −C ．3x y +D ．5x y − 【答案】B【分析】先利用十字相乘法对原多项式进行因式分解，即可得到多项式的因式，由此进行判断即可．【详解】解：∵()()22215253x xy y x y x y −−=+−，∴多项式22215x xy y −−的一个因式为3x y −，故选B ．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法．【变式3】若多项式251712x x +−可因式分解为()()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，则a c −的值是（ ） A ．1 B ．7 C ．11 D ．1【答案】B【分析】将多项式5x2+17x -12a 、b 、c 的值即可．【详解】解：因为5x2+17x -12=（x+4）（5x -3）=（x+a ）（bx+c ），所以a=4，b=5，c=-3，所以a -c=4-（-3）=7，故选：B ．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a 、b 、c 的值是得出正确答案的关键．【考点三 分组分解法的简单计算】【例题3】将多项式()211a a −−+因式分解，结果正确的是（ ）A ．1a −B ．()()12a a −−C ．()21a − D ．()()11a a +−【答案】B【分析】先运用完全平方公式展开，然后再合并，最后运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：()211a a −−+=2211a a a −+−+ =232a a −+=()()12a a −−．故选B ．【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式计算、十字相乘法因式分解等知识点，掌握运用十字相乘法进行因式分解是解答本题的关键．【变式1】把多项式22243x y x y −−−−因式分解之后，正确的是（ ）A ．(3)(3)x y x y +−−−B ．(1)(3)x y x y +−−+C ．(3)(1)x y x y +−−+D ．(1)(3)x y x y ++−−【答案】D【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定．【详解】解：22243x y x y −−−−()()222144x x y y =+−+−+()()2212x y =−−+()()1212x y x y =−++−−− (1)(3)x y x y =++−−故选：D ．【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．【变式2】用分组分解法将222x xy y x −−+分解因式，下列分组不恰当的是（ ）A ．()()222x x y xy −−+B ．()()222x xy y x −−+C ．()()222x y xy x ++−−D ．()()222x x xy y −−−【答案】C【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案．【详解】解：A ．222x xy y x −−+()()222x x y xy =−−+()()22x x y x =−−− ()()2x x y =−−，故选项A 分组正确，不符合题意；B ．222x xy y x −−+()()222x xy y x =−−+ ()()222x xy x y =−−−()()2x x y x y =−−− ()()2x y x =−−，故选项B 分组正确，不符合题意；C ．222x xy y x −−+()()222x y xy x =++−−无法进行分组分解，故选项C 分组错误，符合题意；D ．222x xy y x −−+()()222x x xy y =−−−()()22x x y x =−−− ()()2x x y =−−，故选项D 分组正确，不符合题意．故选：C ． 【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法．【变式3】 用分组分解2222a b c bc −−+的因式，分组正确的是（ ） A ．()()222a b b bc −−−B ．()2222a b c ab −−+ C ．()()2222a b c bc −−− D ．()2222a b c bc −+− 【答案】D【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】解：2222a b c bc −−+()2222a b c bc =−+−()22a b c =−−()()a b c a b c =+−−+． 故选：D ．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．【考点四 添项减项在因式分解中的应用】【答案】()21(2)x x −+【分析】先把23x 分为22x 与2x ，分组分解，然后提公因式后利用十字相乘法分解．【详解】解：原式32224x x x =++− ()()()2222x x x x =+++−()()222x x x =++−()()()221x x x =++− ()()212x x =−+．故答案为：()21(2)x x −+．【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法等：根据题目特点灵活运用因式分解的方法，解决此题的关键是把23x 分为22x 与2x ，再利用分组分解法分解．【答案】()()222222x x x x +++−【分析】根据添项结合分组分解可进行求解．【详解】解：原式=422444x x x ++−=()22224x x +−=()()222222x x x x +++−；故答案为()()222222x x x x +++−．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【答案】22(1)x x ++【分析】先分组，然后根据提公因式法因式分解即可求解．【详解】4322321x x x x ++++4323221x x x x x x x x =++++++++2222=(1)(1)(1)x x x x x x x x ++++++++22=(1)(1)x x x x ++++22=(1)x x ++．故答案为：22(1)x x ++．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.【考点五 十字相乘法和分组分解法的拓展提高】【答案】()()22x y x y −+−【详解】解：原式()()22224x xy y x y =−−+−+， ()()22(2)x y x y x y =−+−−， ()()22x y x y =−+−． 故答案为：()()22x y x y −+−．【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．【答案】()()()281026x x x x ++++【分析】先进行分组，再计算多项式乘以多项式，然后再利用十字相乘法可进行求解．【详解】解：()()()()135715x x x x +++++()()()()173515x x x x =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()228781515x x x x =+++++()()2228228120x x x x =++++()()22810812x x x x =++++ ()()()281026x x x x =++++；故答案为()()()281026x x x x ++++． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．【变式2】已知210x x +−=，那么432222023x x x x +−−+的值为【答案】2022【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．【详解】∵210x x +−=，∴21x x +=432222023x x x x +−−+43322222023x x x x x x =+++−−+()()()222222023x x x x x x x x =++++−+222023x x =+−+122023=−+2022=故答案为：2022．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．【变式3】分解因式：()()222211224x x x x −−−+． 【答案】()()()()3142x x x x −+−+【分析】先把22x x −看做一个整体对原式利用十字相乘法分解因式得到()()222328x x x x −−−−，据此再利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：()()222211224x x x x −−−+()()222328x x x x ⎡⎤⎡⎤=−−−−⎣⎦⎣⎦()()222328x x x x =−−−−()()()()3142x x x x =−+−+．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键．【过关检测】一．选择题1.若多项式235x mx +−分解因式为(7)(5)x x −+，则m 的值是（ ）A ．2B ．2−C ．12D ．12−【答案】B【分析】利用十字相乘法很容易确定m 的值． 【详解】解：多项式235x mx +−分解因式为(7)(5)x x −+，即235(7)(5)x mx x x +−=−+，2235235x mx x x ∴+−=−−，系数对应相等，2m ∴=−，故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，解题的关键是掌握十字相乘法．2．多项式26x x +−可因式分解成()()x a x b ++，其中a ，b 均为整数，则()2023a b +的值为（） A ．1− B ．1 C ．2023− D ．2023【答案】B【分析】先分解因式，求出a 、b 的值，再结合有理数的乘方进行计算，即可得到答案．【详解】解：()()2632x x x x +−=+−， 又多项式26x x +−可因式分解成()()x a x b ++，3a ∴=，2b =−或2a =−，3b =，()()2023202320233211a b =−=+∴=，故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解、有理数的乘方，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键． 3．因式分解2x ax b ++，甲看错了a 的值，分解的结果是()()62x x +−，乙看错了b 的值，分解的结果为()()84x x −+，那么2x ax b ++分解因式正确的结果为（ ） A ．()()34x x +−B ．()()43x x +−C ．()()62x x +−D ．()()26+−x x 【答案】C【分析】根据甲看错了a 的值可以知道，甲的分解结果中b 的值是正确的，根据乙看错了b 的值可以知道，乙的分解结果中a 的值是正确的，据此即可得到a 、b 的值，进而得到答案．【详解】解：∵甲看错了a 的值，∴()()2262412x ax b x x x x ++=−+=−−，∴12b =−；∵乙看错了b 的值，∴()()2284432x ax b x x x x ++=+−=+−，∴4a =，∴2x ax b ++分解因式正确的结果为：()()241262x x x x +−=+−，故选：C ． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义．4．不论x 为何值，等式()()213x px q x x +−++＝都成立，则代数式3p q −的值为（ ）A ．-9B ．-3C ．3D ．9【答案】D【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p 与q 的值，即可求出答案．【详解】解：由题意可得()()13x x －＋，=223x x +−， ∴p=2，q=-3，则3p q −=9．故选D ．【点睛】本题考查了因式分解法-十字相乘法，解决本题的关键是熟练的掌握十字相乘法．5．把2212a b ab −−−分解因式，正确的分组为（ ） A ．()2212a b ab −++ B ．()()2212a b ab −−− C ．()()2212ab a b −+−− D ．()2212a b ab −−− 【答案】A【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可．【详解】解：2212a b ab −−−()2212a b ab=−++()21a b =−+()()11a b a b =++−−． 故选：A ．【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组．6．已知a +b ＝3，ab ＝1，则多项式a 2b +ab 2﹣a ﹣b 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．【详解】解：a2b+ab2-a -b=（a2b -a ）+（ab2-b ）=a （ab -1）+b （ab -1）=（ab -1）（a+b ）将a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．二. 填空题【答案】()()36x y x y −−+【分析】利用十字相乘因式分解即可．【详解】解：原式()22318x xy y =−+− ()()36x y x y =−−+．故答案为：()()36x y x y −−+．【点睛】本题考查因式分解，熟练运用十字相乘法是解题的关键．【答案】22(1)(1)(3)(39)x x x x x x −++−++【详解】解：原式()2332827x x =−+， ()()33127x x =−−，()()()()2211339x x x x x x =−++−++．故答案为：()()()()2211339x x x x x x −++−++．【点睛】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握十字相乘与立方差公式．【答案】()()231a a −+【分析】先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：2246a a −−()2223a a =−−()()231a a =−+；故答案为：()()231a a −+； 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如2x px q ++的二次三项式，若能找到两数a 、b ，使a b q⋅=且a b p +=，那么()()()22x px q x a b x a b x a x b ++=+++⋅=++．【答案】()()241x x −+【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【详解】解：原式()2234x x =−−()()241x x =−+， 故答案为：()()241x x −+． 【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．【答案】()()352x y x y +−【分析】利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：22675x xy y +−()()352x y x y =+−． 故答案为：()()352x y x y +−【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握十字相乘法分解因式．【答案】1【分析】首先利用十字相乘法将2376x x +−因式分解，即可得到a b c 、、的值，从而得到答案．【详解】解：利用十字相乘法将2376x x +−因式分解，得()()2376323x x x x +−=−+，332a b c ∴===−，，，()321a c ∴+=+−=，故答案为：1．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a b c 、、的值是得出正确答案的关键．【答案】()()a b a b x +−+【分析】先分组得到()()22a b ax bx −++，再把每组分解，然后提公因式即可． 【详解】原式()()()()()()()22a b ax bx a b a b x a b a b a b x =−++=+−++=+−+ 故答案为()()a b a b x +−+【点睛】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式二是分组后能应用公式．【答案】()()212212m n m n −+−−【分析】将多项式第一、二、四项结合，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：224441m m n −−+()224414m m n =−+−()()22212m n =−−()()212212m n m n =−+−−． 故答案为：()()212212m n m n −+−−．【点睛】本题考查因式分解—分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．正确分组和公式的灵活运用是解题的关键．【答案】2022【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．【详解】∵210x x +−=，∴432222023x x x x+−−+43322222023x x x x x x=+++−−+()()()222222023x x x x x x x x=++++−+222023x x=+−+122023=−+2022=故答案为：2022．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．三、解答题【答案】(1)()4 x−(2)另一个因式为()317x+，k的值为85【分析】（1）设另一个因式为()x n+，由题意得()()()22511x x p x x n x n x n−−=−+=+−−，从而得到n p ⎨=⎩，进行计算即可得到答案；（2）设另一个因式为()3x m +，由题意得：()()()2232533155x x k x x m x m x m +−=−+=+−− ，从而得到1525m m k −=⎧⎨=⎩，进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：设另一个因式为()x n +， 由题意得：()()251x x p x x n −−=−+， 则()()()222511x x p x x n x nx x n x n x n−−=−+=+−−=+−−， 15n n p −=−⎧∴⎨=⎩，解得：44n p =−⎧⎨=−⎩，∴另一个因式为()4x −，故答案为：()4x −；（2）解：设另一个因式为()3x m +， 由题意得：()()23253x x k x x m +−=−+， 则()()()222325331553155x x k x x m mx x m x m x m+−=−+=−−=+−−， 1525m m k −=⎧∴⎨=⎩，解得：1785m k =⎧⎨=⎩，∴另一个因式为()317x +，k 的值为85．【点睛】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，解二元一次方程组，正确设出另一个因式是解题的关键．得到()()2812 62x x x x −+=−−，这就是十字相乘法．利用上述方法解决下列问题：(1)分解因式：2412x x +−；(2)先分解因式，再求值：()()2222223a a a a +−+−，其中2a =． 【答案】(1)()()62x x +− (2)()2(311)()a a a +−+，45【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；（2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解．【详解】（1）解：()()241226x x x x =+−+−； （2）()()2222223a a a a +−+− ()()222321a a a a =+−++ ()()()2131a a a =−++ 当2a =时，原式()()()221232145=−⨯+⨯+=．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．【答案】()()()24311x x x +−+【分析】直接利用十字相乘法和完全平方公式进行因式分解即可得到答案．【详解】解：()()2222442412x x x x +−+−()()22246242x x x x =+−++()()22223221x x x x =+−⨯++ ()()()24311x x x =+−+．【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法和完全平方公式分解因式，熟练掌握十字相乘法和完全平方公式是解题的关键．19．把下列各式因式分解：(1)()()22221414x x x x +−++； (2)22616x xy y −−；(3)()()2280x y y x −−−−；(4)22244x xy y z −+−．【答案】(1)4(1)x − (2)(8)(2)−+x y x y(3)(10)(8)x y x y −+−−(4)(2)(2)x y z x y z −−−+【分析】（1）将21x +看出整体，利用完全平方公式分解因式即可，注意分解要彻底；（2）利用十字相乘法分解因式即可；（3）将x y −看成整体，利用十字相乘法分解因式即可；（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：()()22221414x x x x +−++22(12)x x =+−4(1)x =−；（2）解：22616x xy y −−(8)(2)x y x y =−+；（3）解：()()2280x y y x −−−− ()()2+280x y x y =−−− (10)(8)x y x y =−+−−；（4）解：22244x xy y z −+−22(2)x y z =−−(2)(2)x y z x y z =−−−+．【点睛】本题考查因式分解，解答的关键是利用不同的方法进行因式分解以及整体思想的运用．39．分解因式：2222ac bd ad bc +−−．【答案】()()()c d c d a b −+−【分析】进行分组，对各组进行提取公因式，再用公式法进行分解，最后检查分解是否彻底，即可求解．【详解】解：原式()()2222ac ad bd bc =−+−，2222()()a c d b d c =−+−，22()()c d a b =−−，()()()c d c d a b =−+−．【点睛】本题考查了分组分解方法，以及平方差公式的运用，掌握方法是解题的关键．20．分解因式：222332154810ac cx ax c +−−．【答案】22(23)(165)c x a c −−【分析】先将原式进行分组，再提公因式分解因式即可.【详解】222332154810ac cx ax c +−−2223(3248)(1510)ac ax cx c =−+−222216(23)5(23)a c x c c x =−−−22(23)(165)c x a c =−−．【点睛】本题主要考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.21．分解因式：()()2221ab x x a b +++．【答案】()()ax b bx a ++【分析】先利用整式乘法法则展开计算，重新分组可得()()222abx a x ab b x +++，然后利用提公因式法可得()()ax bx a b a bx +++，再利用提公因式法可得()()ax b bx a =++．【详解】原式222abx ab a x b x =+++()()222abx a x ab b x =+++()()ax bx a b a bx =+++()()ax b bx a =++．【点睛】本题考查提公因式法及分组法因式分解，正确找出公因式是解题关键． 22．我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法： 例如：()()()222222225225()555x xy y x xy y x y x y x y −+−=−+−=−−=−−−+． ②拆项法：例如：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x +−=++−=+−=+−++=−+．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①用分组分解法：22961x x y +−+；②用拆项法：268x x −+；(2)已知：a ，b ，c 为ABC 的三条边，22254610340a b c ab b c −−++−=+，求ABC 的周长．【答案】(1)①()()3131x y x y +++−，见解析；②()()24x x −−，见解析 (2)14【分析】（1）①仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式；②仿照例题的方法，根据拆项法分解因式；（2）仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式，根据非负数的性质，求得,,a b c 的值，即可求解．【详解】（1）①()()()222222961961313131x x y x x y x y x y x y +−+=++−=+−=+++−； ②()()()()()2226869131313124x x x x x x x x x −+=−+−=−−=−+−−=−−（2）a ，b ，c 为ABC 的三条边，22254610340a b c ab b c −−++−=+，∴2222446910250a b ab b b c c +−+−++−+=，∴()()()2222350a b b c −++−=−，∴20a b −=，30b −=，50c −=，∴6a =，3b =，5c =，∴ABC 的周长为63514++=．【点睛】本题考查了因式分解以及因式分解的应用，仿照例题的方法因式分解是解题的关键．。

板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求因式分解 了解因式分解，熟悉因式分解掌握因式分解的基本方法，并且能熟练运用因式分解解决题目更深层次的掌握因式分解的其他方法基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.重、难点知识点睛中考要求第五讲拆、添项法和 十字相乘法板块一、拆项与添项Ⅰ：利用配方思想拆项与添项【例1】 分解因式：43221x x x x ++++【解析】43221x x x x ++++423(21)()x x x x =++++222(1)(1)x x x =+++22(1)(1)x x x =+++ 如果分组分得不恰当，因式分解无法进行下去，那么就应当回到分组前的状况，从零开始，考虑新的分组．【巩固】 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【解析】 ∵2246130a b a b +--+=，∴2244690a a b b -++-+=∴()()22230a b -+-=，∴2030a b -=⎧⎨-=⎩，∴23a b =⎧⎨=⎩，∴5a b +=【巩固】 (第十五届“希望杯”第二试第12题)分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______.【解析】 4322342222222222232()2()()a a b a b ab b a b ab a b a b a b ab ++++=++++=++【例2】 分解因式：⑴4231x x -+；⑵42231x x -+；⑶4224a a b b ++【解析】 ⑴42422222223121(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x -+=-+-=--=---+⑵42422222222312125(1)(5)(15)(15)x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++- ⑶42244224222a a b b a a b b a b ++=++-2222()()a b ab =+-2222()()a ab b a ab b =++-+【巩固】 分解因式： 12631x x -+【解析】12631x x -+1266636321(1)(1)x x x x x x x =-+-=-+--【巩固】 分解因式： 841x x ++【解析】848444242121(1)(1)x x x x x x x x x ++=++-=+++- 422422242(12)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x =++-+-=+++-+-【巩固】 分解因式： 4224781x x y y -+重点：理解和掌握因式分解的概念，能说出因式分解的意义，并了解因式分解与整式乘法的区别和联系，了解因式分解的一般步骤，掌握提公因式法（字母的指数是数字）、运用公式法（直接用公式不超过两次）、分组分解法（分组后能直接提公因式或运用公式，无需拆项或添项）这三种分解因式的基本方法，会用这些方法分解不超过四项的多项式．难点：掌握因式分解的其他方法，主要是拆添项法、十字相乘法、换元法等较高层次的方法例题精讲【解析】 42244224222222781188125(95)(95)x x y y x x y y x y x y xy x y xy -+=++-=+-++【例3】 (希望杯试题)已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n =_______. 【解析】 原式422222222010036(10)(6)(610)(610)n n n n n n n n n =++-=+-=-+++.又因为4216100n n -+是质数，且n 是正整数，且26101n n ++≠，故26101n n -+=，3n =.【例4】 分解因式：()()()222241211y x y x y +-++-【解析】 ()()()222241211y x y x y +-++-()()()222242212114y x y x y x y =+--+--()()22211(2)(1)(1)(1)(1)y x y xy x x x xy y x xy y ⎡⎤=+---=+-------⎣⎦【巩固】 分解因式：42222222()()x a b x a b -++-【解析】 42222224222222222()()2()()4x a b x a b x a b x a b b x -++-=--+-- 222222222222()4(2)(2)x b a b x x b a bx x b a bx =+--=+--+-+()()()()x a b x a b x a b x a b =++--+--+【巩固】 分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++【解析】 33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++33(1)()[(1)(1)](1)x a xy x y a b y b =+--+-+++322322(1)()(1)()a x x y xy b y x y xy =+-++++-2222(1)()(1)()x a x xy y b x xy y =+-+++-+22()()x xy y ax by x y =-++++【例5】 (杭州学军中学)把444x y +分解因式．【解析】 4422224()(2)x y x y +=+使用平方差公式显然是不行的．44422422422422x y x x y y x y +=+⋅⋅+-⋅⋅2222(2)(2)x y xy =+-2222(22)(22)x xy y x xy y =++-+【巩固】 分解因式：464x +【解析】464x +42222222166416(8)(4)(48)(48)x x x x x x x x x =++-=+-=++-+ 【巩固】 证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数．【解析】444m n +422422444m m n n m n =++-2222(2)(2)m n mn =+-2222(22)(22).m n mn m n mn =+++- 由于在m n 、都大于1时，两个因数中较小的那一个2222222()1m n mn m n n n +-=-+≥>即两个因数都是444m n +的真因数，所以444m n +是合数．Ⅱ：拆项与添项【例6】 分解因式：343a a -+ 【解析】 原式32()(33)(1)(1)3(1)(1)(3)a a a a a a a a a a =---=+---=-+-或原式32222()()(33)(1)(1)3(1)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a =-+---=-+---=-+-.【巩固】 分解因式：32265x x x +-- 【解析】 解法(一)32322265266(21)6(1)x x x x x x x x x x x +--=++--=++-+(1)(2)(3)x x x =+-+解法(二)拆二次项222242x x x =-解法(三)拆常数项651-=--及2222x x x =+ 解法(四)22223x x x =-及523x x x -=--【巩固】 分解因式：3234x x +- 【解析】 ⑴把4-拆成13--；⑵添四次项4x ，再减去4x ；⑶添一次项4x ，再减去4x⑷拆22234x x x =-；⑸拆三次项33343x x x =-；2(1)(2)x x -+【巩固】 分解因式：267x x +- 【解析】 2267()(77)(7)(1)x x x x x x x +-=-+-=+-【巩固】 分解因式：267x x +- 【解析】 2267()(77)(7)(1)x x x x x x x +-=-+-=+-【巩固】 分解因式：243x x -+ 【解析】 2243()(33)(3)(1)x x x x x x x -+=---=--【巩固】 分解因式：398x x -+ 【解析】 332298199(1)(1)9(1)(1)(8)x x x x x x x x x x x -+=--+=-++--=-+-【巩固】(第十四届“希望杯”第1试第2题)若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( ) A.0 B.1- C.1 D.3【解析】 43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++4322342233224642x x y x y xy y x y xy xy x y x y =+++++++++42()()()1x y xy x y xy x y =+++++=【巩固】分解因式：323233332a a a b b b ++++++【解析】 前三项比完全立方公式少l ，四、五、六项的和也比立方公式少l ．如果把2拆为两个l ，那么就可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜．于是323233332a a a b b b ++++++3232(331)(331)a a a b b b =++-++++33(1)(1)a b =+++22(2)[(1)(1)(1)(1)]a b a a b b =+++-++++22(2)(1)a b a ab b a b =++-++++【巩固】分解因式：51x x ++ 【解析】 法1：此题既无公因式可提，又无法分组分解，更无法使用什么公式，于是我们想到要添项.不妨试试4x ，55444411(1)(1)x x x x x x x x x ++=+++-=++-无法进行下去. 那么试试4x -，554411x x x x x x ++=-+++显然也无法进行下去. 开始尝试3x ，如下：55333343311(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x ++=-+++=+-+++=+-++，无法分解下去.这样尝试下去，可分解如下：552211x x x x x x ++=-+++222(1)(1)1x x x x x x =-+++++232(1)(1)x x x x =++-+.法2：也可以这样解：5543243211x x x x x x x x x x ++=+++++---32(1)(1)x x x =+++-22(x x + 3221)(1)(1)x x x x x +=-+++.只要我们能够用心地思考，大胆地尝试，我们会发现很多非常巧妙的想法！【巩固】 分解因式：541a a ++ 【解析】 原式5433322321(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a a a a a a =++-+=++--++=-+++【巩固】 分解因式：3333a b c abc ++-.【解析】3333a b c abc ++- 332232233333a b a b ab c a b ab abc =++++--- 33()3()a b c ab a b c =++-++222()(2)3()a b c a b ab c ac bc ab a b c =+++++---++222()()a b c a b c ab bc ca =++++---.也可添加23b c ，23bc 或者23c a ，23ca .板块二、十字相乘法十字相乘法： 一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解【例7】 分解因式： ⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++ 【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +- 【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例8】 分解因式：2376a a -- 【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x -- 【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +- 【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】2273320(94)(35)x x x x --=+-【例9】 分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+- 【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例10】 分解因式：2214425x y xy +- 【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+ 【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y -- 【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例11】 分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+- 【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+ 【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【巩固】 分解因式：633619216x x y y --【解析】 6336333319216(27)(8)x x y y x y x y --=-+2222(2)(3)(24)(39)x y x y x xy y x xy y =+--+++【巩固】 分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++ 【解析】 22(64)(2)x x x +++【巩固】 分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++ 【解析】 229(1)(41)x x x +++【巩固】 分解因式：222()14()24x x x x +-++【解析】(2)(1)(3)(4)x x x x +--+板块三：双十字相乘双十字相乘法： 对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++，可以看作先将关于x 的二次三项式22()ax by d x cy ey f +++++的“常数项”2cy ey f ++用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。

十字相乘法及分组分解法（提高）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】【 十字相乘法及分组分解法 知识要点】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x b x c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、分解因式： 22(1)(6136)x a x a a ++--+【答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a ++--- ()()()()23322332x a x a x a x a =--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-【总结升华】将a 视作常数，就以x 为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：23345xy y x y ++--【答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a -看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】解： 因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][ －12]＝22(2)(12)a a a a ----＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握. 举一反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【答案】解：原式()()223432x x x x =---+()()()()4112x x x x =-+--3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++- (2)22(33)(34)8x x x x +-++-【答案与解析】解：（1）令21x x t ++=，则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=，原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+-222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事.类型二、分组分解法4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成2()x y -，第4、5项→3()x y -.【答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法. 举一反三：【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法 例4】【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc -++（2）225533a b a b --+（3）23345xy y x y ++--【答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-； （3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-.【变式2】（2014春•苏州期末）因式分解：a 2﹣b 2﹣2a+1．【答案】解：a 2﹣b 2﹣2a+1=a 2﹣2a+1﹣b 2=（a ﹣1）2﹣b 2=（a ﹣1+b ）（a ﹣1﹣b ）．类型三、拆项或添项分解因式5、（2015春•吉州区期末）阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax+a 2可以直接用公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2，使其成为完全平方式，再减去a 2这项，使整个式子的值不变，于是又：x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x+a ）2﹣9a 2=[（x+a）+3a][（x+a）﹣3]=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x2+2ax﹣3a2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣）•（x﹣）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y与x的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故答案为：y；3y（3）原式===﹣，若x=y，原式=﹣2；若x=3y，原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．。

中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列因式分解结果正确的是（ ） A ．32(1)x x x x -=-B ．229(9)(9)x y x y x y -=+-C ．232(3)2x x x x -+=-+D ．()()22331x x x x --=-+2．分式 212x x x ---有意义， 则（ ） A ．2x ≠ B ．1x ≠- C ．2x ≠或1x ≠- D ．2x ≠且1x ≠- 3．下列多项式中是多项式243x x -+的因式的是（ ）A ．1x -B ．xC ．2x +D ．3x +4．已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x -，乙与丙相乘的积为26x x +-，则甲与丙相减的结果是( )A ．5-B ．5C ．1D ．1-5．将下列各式分解因式，结果不含因式()2x +的是（ ）A ．22x x +B ．24x -C ．()()21211x x ++++D ．3234x x x -+ 6．甲、乙两位同学在对多项式2x bx c ++分解因式时甲看错了b 的值，分解的结果是()()45x x -+，乙看错了c 的值，分解的结果是()()34x x +-，那么2x bx c ++分解因式正确的结果为（ ）A ．()()54x x --B ．()()45x x +-C ．()()45x x -+D ．()()45x x ++ 7．如果多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，那么:a b 的值是（ ）A ． 2-B ． 3-C ．3D ．6 8．若分解因式()()2153x mx x x n +-=--则m 的值为（ ）A ．5-B ．5C ．2-D ．2二、填空题9．因式分解26a a +-的结果是 ．三、解答题21424x x -+ 解：24(2)(12)=-⨯- (2)(12)14-+-=-21424(2)(12)x x x x ∴-+=-- 解：原式222277724x x =-⋅⋅+-+2(7)4924x =--+2(7)25x =-- (75)(75)x x =-+--(2)(12)x x =-- (1)按照材料一提供的方法分解因式：22075x x -+；(2)按照材料二提供的方法分解因式：21228x x +-．20．利用整式的乘法运算法则推导得出：()()()2ax b cx d acx ad bc x bd ++=+++．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得()()()2acx ad bc x bd ax b cx d +++=++．通过观察可把()2acx ad bc x bd +++看作以x 为未知数，a 、b 、c 、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式221112x x ++的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则()()221112423x x x x ++=++．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：2627x x +-；(2)用十字相乘法分解因式：2673x x --；(3)结合本题知识，分解因式：220()7()6x y x y +++-．参考答案： 1．D【分析】本题考查了因式分解；根据因式分解－十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，进行分解逐一判断即可． 【详解】解：A 、()()32(1)11x x x x x x x -=-=+-故本选项不符合题意；B 、229(3)(3)x y x y x y -=+-故本选项不符合题意；C 、()()23221x x x x -+=--故本选项不符合题意；D 、223(3)1)x x x x --=-+（故本选项符合题意； 故选：D ．2．D【分析】本题考查的是分式有意义的条件，利用十字乘法分解因式，根据分式有意义的条件：分母不为零可得 ²20x x --≠，再解即可． 【详解】解：由题意得： ²20x x --≠ 210x x解得： 2x ≠且1x ≠-故选： D ．3．A【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握十字乘法是解本题的关键．【详解】解：()()24313x x x x -+=--；∴1x -是多项式243x x -+的因式；故选A4．D【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．【详解】解：∴甲与乙相乘的积为29(3)(3)x x x -=+-，乙与丙相乘的积为()262(3)x x x x +-=-+，甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数 ∴甲为3x -，乙为3x +，丙为2x则甲与丙相减的差为：()(3)21x x ---=-；故选：D5．D【分析】本题主要考查了分解因式，正确把每个选项中的式子分解因式即可得到答案．【详解】解：A 、()222x x x x +=+故此选项不符合题意；B 、()()2422x x x -=+-故此选项不符合题意；C 、()()()()2221211112x x x x ++++=++=+故此选项不符合题意；D 、()()323441x x x x x x =+-+-故此选项符合题意； 故选：D ．6．B【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及因式分解，根据甲分解的结果求出c ，根据乙分解的结果求出b ，然后代入利用十字相乘法分解即可．【详解】解：∴()()24520x x x x -+=+-∴20c =-∴()()23412x x x x +-=--∴1b∴2x bx c ++220x x =--()()45x x =+-故选：B ．7．A【分析】由于()()2221+-=+-x x x x ，而多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除．运用待定系数法，可设商是A ，则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-，则2x =-和1x =时4322370x x ax x b -+++=，分别代入，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解此方程组，求出a 、b 的值，进而得到:a b 的值.【详解】解：∴()()2221+-=+-x x x x∴432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除设商是A ．则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-则2x =-和1x =时右边都等于0，所以左边也等于0．当2x =-时43223732244144420x x ax x b a b a b -+++=++-+=++= ∴当1x =时43223723760x x ax x b a b a b -+++=-+++=++= ∴-①②，得3360a +=∴12a =-∴66b a =--=．∴:12:62a b =-=-故选：A ．【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出2x =-和1x =时原多项式的值均为0，从而求出a 、b 的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．8．D【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m 的值即可．【详解】解：已知等式整理得：()()()2215333x mx x x n x n x n +-=--=+--+可得3m n =-- 315n =-解得：2m = 5n =-故答案为：D ．【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．(3)(2)a a +-【分析】解：本题考查了公式法进行因式分解，掌握2()()()x p q x pq x p x q +++=++进行因式分解是解题的关键．【详解】26(3)(2)a a a a +-=+-故答案为：(3)(2)a a +-．10．(2)(3)y y y --【分析】本题考查提公因式法，十字相乘法，掌握提公因式法以及2()()()x p q x pq x p x q +++=++是正确解答的关键．先提公因式y ，再利用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：原式2(56)y y y =-+(2)(3)y y y =--．故答案为：(2)(3)y y y --．11．()()21a a a --/()()12a a a --【分析】先去括号合并后，直接提取公因式a ，再利用十字相乘法分解因式即可．本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止【详解】解：2(3)2a a a -+3232a a a -+=()232a a a =-+(2)(1)a a a =--．故答案为：(2)(1)a a a --．12．1±或5±【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解()()()2x a b x ab x a x b +++=++．把6-分成3和2-，3-和2，6和1-，6-和1，进而得到答案．【详解】解：当()()2632x mx x x +-=+-时()321m =+-=当()()2632x mx x x +-=-+时321m =-+=-当()()2661x mx x x +-=-+时615m =-+=-当()()2661x mx x x +-=+-时615m =-=综上所述：m 的取值是1±或5±故答案为：1±或5±．13．6±【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，根据5可以分成15⨯或()()15-⨯-即可求解．【详解】解：155⨯= ()()155-⨯-=()()21565x x x x ++=++ ()()26515x x x x =---+∴如果关于x 的二次三项式25x kx ++可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数k 等于6±． 故答案为：6±．14．()()21x x +-【分析】本题主要考查了根与系数的关系、十字相乘法因式分解的知识点，先根据根与系数的关系确定b 、c 的值，然后再运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2- 根据根与系数的关系可得：()12b -=+- ()12c =⨯-∴1b = 2c =-∴()()22221x bx c x x x x ++=+-=+-故答案为：()()21x x +-．15．()()211x x --【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将1x =代入原方程，求出m 的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程2210x mx ++=有一个根是1∴把1x =代入，得210m ++=解得：3m =-．则()()2221231211x mx x x x x ++=-+=--故答案为：()()211x x --．16．()()23x x +-【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出p q ，，再进行因式分解即可．【详解】解：∴方程20x px q ++=的两个根分别是2和3-∴23p -=- ()23q ⨯-=∴1,6p q ==-∴()()2623x x x x --=+-；故答案为()()23x x +-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．(1)()()322x x x +-(2)()23y x y --(3)()()26x x +-【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法和十字相乘法，即可．（1）先提公因式3x ，然后根据()()22a b a b a b -=+-，即可； （2）先提公因式y -，再根据()2222a b a ab b ±=±+，即可；（3）根据十字相乘法，进行因式分解，即可．【详解】（1）3312x x -()234x x =- ()()322x x x =+-；（2）22369xy x y y --()2269y xy x y =--++()2296y x xy y =--+ ()23y x y =--； （3）2412x x --()()26x x =+-．18．3a b += 2ab =.【详解】解：因为()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，且232x x ++因式分解的结果是()()x a x b ++所以3a b += 2ab =.19．(1)(5)(15)x x --(2)(14)(2)x x +-【分析】本题考查了因式分解，解答本题的关键是理解题意，明确题目中的分解方法． （1）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案；（2）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案．【详解】（1）解：75(5)(15)=-⨯- (5)(15)20-+-=-22075(5)(15)x x x x ∴-+=--；（2）解：原式222266628x x =+⋅⋅+--2(6)3628x =+--2(6)64x =+-(68)(68)x x =+++-(14)(2)x x =+-．20．(1)()()39x x -+(2)()()2331x x -+(3)()()443552x y x y +++-【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．（1）利用十字相乘法进行求解即可；（2）利用十字相乘法进行求解即可；（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．【详解】（1）解：2627x x +-第 11 页 共 11 页 ()()39x x =-+；（2）解：2673x x -- ()()2331x x =-+；（3）解：220()7()6x y x y +++- ()()4352x y x y ⎡⎤⎡⎤=+++-⎣⎦⎣⎦ ()()443552x y x y =+++-．。