五年级数学培优-解决问题的决策(用枚举法解决问题)

五年级思维训练7 枚举法(原卷+解析版)五年级思维训练7 枚举法(原卷+解析版)枚举法作为一种独特的解题思路，在数学中常常被用来解决一些看似复杂的问题。

本文将介绍五年级思维训练7题中的枚举法解题思路，并提供原卷和解析版以供参考。

一、原卷1. 请利用枚举法找出一个小于100的数，既能被2整除，又能被3整除。

解析：我们可以从1开始，逐个判断数字是否满足给定的条件。

通过尝试我们发现6是一个符合题目要求的数，因为6既能被2整除，又能被3整除。

2. 某商场举办一次促销活动，商品的原价分别为10元、20元和30元，现在打8折销售。

请利用枚举法计算出三种商品打折后的价格。

解析：我们可以列举出三种商品的原价并计算打折后的价格。

商品A的原价是10元，打折后的价格是10元 * 0.8 = 8元；商品B的原价是20元，打折后的价格是20元* 0.8 = 16元；商品C的原价是30元，打折后的价格是30元 * 0.8 = 24元。

3. 请利用枚举法找出一个小于50的数，它能被2整除，但不能被3整除。

解析：我们从1开始，依次尝试每个数字，判断其是否满足条件。

通过尝试我们找到了数字2、4、8、10、14、16、20、22、26、28、32、34、38、40、44、46，它们都满足题目要求。

二、解析版1. 第一个问题中，我们需要找到一个小于100的数，既能被2整除，又能被3整除。

通过枚举法，我们逐个尝试数字，最终发现6符合题目要求。

2. 第二个问题中，我们需要计算三种商品打折后的价格。

我们使用枚举法列举出商品的原价，并计算出打折后的价格。

商品A原价10元，打折后的价格是10元 * 0.8 = 8元；商品B原价20元，打折后的价格是20元 * 0.8 = 16元；商品C原价30元，打折后的价格是30元 * 0.8= 24元。

3. 第三个问题中，我们需要找到一个小于50的数，它能被2整除，但不能被3整除。

通过枚举法，我们逐个尝试数字，并发现了一系列满足条件的数字：2、4、8、10、14、16、20、22、26、28、32、34、38、40、44、46。

苏教版五年级上同步奥数培优第十讲解决问题的策略（枚举法）知识概述:枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。

一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。

运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。

运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点:一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。

例1：用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号?练习一：1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圏涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法?2.用数字1，2，3可以组成多少个不同的三位数?分别是哪几个数？3.用2，3，5，7四个数字，可以组成多少个不同的四位数?例2：有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次话?练习二：1.6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场共要进行多少次比赛？2.有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话?3.小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手?例3：一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票(中间至少相隔5个车站)，那么这样的车票共有多少种?练习三：1.上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票?2.一条公路上，共有8个站点。

如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3个车站)，那么共有多少种不同的车票?3.在长江的某一航线上共有6个码头，如果每个起点到终点只许用一种船票(中间至少要相隔2个码头)，那么这样的船票共有多少种?例4：小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。

如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排?练习四：1.一个学生暑假在A，B，C三个城市游览。

他今天在这个城市，明天就到另一个城市。

假设他第一天在A市，第五天又回到A市，问:他有几种不同的游览方案?2.甲、乙两人进行围棋比赛，规定先胜四盘者胜，第一、二盘甲胜，第三盘乙胜，请问:到决出最后胜负为止，可能有几种情形?其中甲胜的情形有几种?3.小马虎给五位朋友写信，由于粗心，在把信装入信封时他给弄错了，结果，五位朋友都没有收到小马虎写给他的信，而是收到他写给别的朋友的信。

第9讲解决问题的策略一简单的枚举我们在课堂上通到的数学同通，一般都可以列出算式，然后求出果、但在数学赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。

但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。

所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遺漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。

【例1】数一数，图中共有几条线段?分析线段有两个端点，如果我们接照一定的顺序从左往右数，就会发现:以A 点为共同左端点的线段有:AB，AC，AD，AE，AF 共5条；以B 点为共同左端点的线段有:BC，BD，BE，BF 共4条;以C 点为共同左端点的线段有:CD，CE，CF 共3条；以D 点为共同左端点的线段有:DE，DF 共2条；以E 点为共同左端点的线段有:EF 共1条。

线段总数为:5+4+3+2+1=15(条)。

解答5+4+3+2+1=15(条)答:图中共有15条线段。

【例2】数一数，图中共有多少个角?分析通过观察，我们可以知道，图中包含的所有角都具有O 点这一共同顶点。

如果我们按照一定的顺序数，就会发现:以射线OA 为角的一边的角有:∠AOB,∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOFA B C D E F共5个;以射线OB为角的一边的角有:∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4个；(不包括已数过的∠AOB，即数过的不算，下同)以射线OC为角的一边的角有:∠COD，∠COE，∠COF共3个；以射线OD为角的一边的角有:∠DOE，∠DOF共2个；以射线OE为角的一边的角有:∠EOF共1个。

角的总数:5+4+3+2+1=15(个)。

数的过程用图示法表示知右图解答5+4+3+2+1=15(个）答:图中一共有15个角。

【例3】数一数，图中共有几个三角形?分析为了便于数、我们先将每个部分编号，如右图。

这样可以明显地看出：由1个部分构成的三角形有3个，即(1)，(4)，(3)；由2个部分构成的三角形有4个，即(1，2)，(1，4)，(2，.3)，(3，4)由3个部分构成的三角形有0个；由4个部分构成的三角形有1个，即(1，2，3，4)。

简单统计：统计表、条形统计图、折线统计图等。

主要步骤：数据收集、数据整理、数据呈现、数据分析。

应用题：一般复合应用题往往是两组或两组以上的数量关系交织一起，比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。

解答应用题时，可借助线段图、示意图帮助分析理解题意，可以用分析法、综合法、列表法、假设法和枚举法等来灵活解题。

先填表，再回答问题。

（1）填表中心小学五年级学生出生月份人数统计表（2）回答问题①1月~3月出生的有________人，第四季度出生的有________人。

②五年________班人数最多，五年________班人数最少。

③五年级四个班平均每班有________人。

【分析】知识点：复式统计表。

难度：A 出处：《走近名牌初中》、《小升初全准备》【解答】应先填五年级四个班每班的合计数和每个季度出生人数的总计数，再填四个班的总人数，而且这一数据应与四个季度出生人数的综合相等，都表示五年级的总人数。

据此也可检验统计数据正确与否。

即此处应相等↓（1） 总计（第一横行）：196、47、47、49、53合计（第一竖行）：196、47、48、50、51（2）① 47 ，53 ；② 4 ，1 ；③ 494196=÷（人）。

下面是五年（1）班上学期美术学科成绩计分单。

学号 成绩 学号 成绩 学号 成绩 学号 成绩 1 良 11 优 21 良 31 优 2 优 12 合格 22 良 32 良 3 合格 13 良 23 合格 33 良 4 良 14 需努力 24 良 34 需努力 5 合格 15 良 25 合格 35 合格 6 优 16 合格 26 优 36 良 7 良 17 合格 27 良 37 合格 8 良 18 优 28 合格 38 良 9 合格 19 良 29 良 39 合格 10良20合格30合格40良（成绩 优 良 合格 需努力人数（2）根据统计表内容回答问题。

① 获得________（成绩）的学生最多。

【内容概述】各种通过枚举或列表分析法解的逻辑推理问题．枚举即为逐个探讨各种假设的正确性，进而得出确切的信息；列表即将同一对象的两种不同表达方式分别用行与列标出，通过横向与纵向的不断比较得出结论．【例题】1．在三只盒子里，一只装有两个黑球，一只装有两个白球，还有一只装有黑球和白球各一个．现在三只盒子上的标签全贴错了．你能否仅从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三只盒子里各装的是什么球?[分析与解]我们可以枚举，一一尝试．当从贴有“一黑一白”的盒子中取出一个球，如果是白球，那么这只盒子一定装有两个白球，那么贴有“两个黑球”的盒子一定是装有一个白球和一个黑球，最后贴有“两个白球”的盒子一定是装有两个黑球．对应的，如果从贴有“一黑一白”的盒子中取出一个球，如果是黑球，那么这只盒子一定装有两个黑球，剩下的两只盒子可以同上分析出．所以，只要从标有“一黑一白”盒子中取球即可．2．甲、乙、丙、丁4位同学的运动衫上印上了不同的号码．赵说：“甲是2号，乙是3号．”钱说：“丙是4号，乙是2号．”孙说：“丁是2号，丙是3号．”李说：“丁是1号，乙是3号．”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半．那么丙的号码是几号?[分析与解]第一种情况．如果赵说的前半话是正确的，那么甲是2号，乙不是3号，而李说：“丁是1号，乙是3号．”所以李的后半句话错误，那么前半句话就正确，所以丁是1号，而孙说：“丁是2号，丙是3号．”所以孙的前半句话错误，那么后半句话正确，所以丙是3号，而钱说：“丙是4号，乙是2号．”所以钱的前半句话错误，那么后半句话正确，所以乙是2号．由甲和乙均是2号，所以开始的假设不正确，即赵的前半句话错误．第二种情况．所以，赵的前半句话错误，那么后半句话正确，所以甲是不是2号，乙是3号，而钱说：“丙是4号，乙是2号．”所以钱的后半句话错误，那么前半句话正确，所以丙是4号，孙说：“丁是2号，丙是3号．”所以孙的后半句话错误，那么前半句话正确，所以丁是2号，而李说：“丁是1号，乙是3号．”所以李的前半句话错误，那么后半句话正确，所以乙是3号．即甲是1号，乙是3号，丙是4号，丁是2号．3．某校数学竞赛，A，B，C，D，E，F，G，H这8位同学获得前8名．老师让他们猜一下谁是第一名．A说：“或者F是第二名，或者H是第一名．”B说：“我是第一名．”C说：“G是第一名．”D说：“B不是第二名．”E说：“A说得不对．”F说：“我不是第一名，H也不是第一名．”G说：“C不是第一名．”H说：“我同意A的意见．”老师指出：8个人中有3人猜对了．那么第一名是谁?[分析与解]我们抓住谁是第一名这点，一一尝试，如果A是第一名，那么D、E、F、G这4人都猜对了，不满足；如果B是第一名，那么B、E、F、G这4人都猜对了，不满足；如果C是第一名，那么D、E、F这3人都猜对了，满足；如果D是第一名，那么D、E、F、G这4人都猜对了，不满足；如果E是第一名，那么D、E、F、G这4人都猜对了，不满足；如果F是第一名，那么A、D、G、H这4人都猜对了，不满足；如果G是第一名，那么C、D、E、F、G这5人都猜对了，不满足；如果H是第一名，那么A、D、G、H这4人都猜对了，不满足．所以，第一名是C．4．某参观团根据下列条件从A，B，C，D，E这5个地方中选定参观地点：①若去A地，则也必须去B地；②B，C两地中至多去一地；③D，E两地中至少去一地；④C，D两地都去或者都不去；⑤若去E地，一定要去A，D两地．那么参观团所去的地点是哪些?[分析与解]假设参观团去了A地，由①知一定去了B地，由②知没去C地，由④知没去D 地，由③知去了E地，由⑤知去了A、D两地，矛盾．所以开始的假设不正确，那么参观图没有去A地，由由①知也没去了B地，由②知去了C地，由④知去了D地，因为A、D两地没有都去，所以由⑤知去了没去E地．即参观团去了C、D两地．5．人的血型通常分为A型、B型、O型、AB型．子女的血型与其父母间的关系如图10-1所示．现有3个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为O，A，B．每个孩子的父母都戴着同颜色的帽子，颜色也分红、黄、蓝3种，依次表示所具有的血型为AB，A，O．问：穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子?[分析与解]孩子是O型血的父母只能均是O型或A型血，孩子是A型血的父母只能均是A 型或AB型血，孩子是B型血的父母只能均是B型或AB型血．因为现在这些孩子的父母中没有人是B型血，所以孩子是B型血的父母均是AB 型血，孩子是A型血的父母只能均是A型血，孩子是O型血的父母只能均是O 型血．即穿红、黄、蓝上衣的孩子父母对应的均是O、A、AB型血，对应戴蓝、黄、红颜色帽子．6．如图10-2，有一座4层楼房，每个窗户的4块玻璃分别涂上黑色和白色，每个窗户代表一个数字．每层楼有3个窗户，由左向右表示一个三位数．4个楼层表示的三位数为：791，275，362，612．问：第二层楼表示哪个三位数?7．房间里有12个人，其中有些人总说假话，其余的人总说真话．其中一个人说：“这里没有一个老实人．”第二个人说：“这里至多有一个老实人．”第三个人说：“这里至多有两个老实人．”如此往下，至第十二个人说：“这里至多有11个老实人．”问房间里究竟有多少个老实人?[分析与解]假设这房间里没有老实人，那么第1个人的话正确，说正确话的人应该是老实人，矛盾；假设这房间里只有1个老实人，那么第2～12个人的话都正确，那么应该有11个老实人，矛盾；假设这房间里只有2个老实人，那么第3～12个人的话都正确，那么应该有10个老实人，矛盾；假设这房间里只有3个老实人，那么第4～12个人的话都正确，那么应该有9个老实人，矛盾；假设这房间里只有4个老实人，那么第5～12个人的话都正确，那么应该有8个老实人，矛盾；假设这房间里只有5个老实人，那么第6～12个人的话都正确，那么应该有7个老实人，矛盾；假设这房间里只有6个老实人，那么第7～12个人的话都正确，那么应该有6个老实人，满足；…………以下假设有7～12个老实人，均矛盾，所以这个房间里只有6个老实人．解法二：如果一共有n个老实人，则说“至多0个老实人”、“至多1个老实人”……“至多n—1老实人”的都是骗子；说“至多n个老实人”、“至多n+1个老实人”……“至多11个老实人”的都是老实人，共有n个老实人、n骗子，而一共12个人，所以n＝6．综上所述，一共6个老实人．8．甲、乙、丙、丁约定上午10时在公园门口集合．见面后，甲说：“我提前了6分钟，乙是正点到的．”乙说：“我提前了4分钟，丙比我晚到2分钟．”丙说：“我提前了3分钟，丁提前了2分钟．”丁说：“我还以为我迟到了1分钟呢，其实我到后1分钟才听到收音机报北京时间10时整．”请根据以上谈话分析，这4个人中，谁的表最快，快多少分钟?[分析与解]注意到丁有标准时间依据，从丁开始推算，有各自到达公园的时间为：甲说：提前了6分钟，实际上甲提前了10分钟，所以甲表快了4分钟，验证为甲的表的最快．解法二：丁表快2分钟，丁实际上提前了1分钟到达；再依据丙的话，丙表慢1分钟，丙实际提前2分钟到达；再依据乙的话，乙表准时，乙实际提前4分钟到达；再依据甲的话，甲表快4分钟，甲提前了10分钟．于是，甲的表最快，快4分钟．9．桌子上放了8张扑克牌，都背面向上，牌放置的位置如图l0-3所示．现在知道：①每张牌都是A，K，Q，J中的某一张；②这8张牌中至少有一张是Q；③其中只有一张A；④所有的Q都夹在两张K之间；⑤至少有一张K夹在两张J之间；⑥至少有两张K相邻；⑦J与Q互不相邻，A与K也互不相邻．试确定这8张牌各是什么?[分析与解]为了方便说明我们将8张牌标上数字，如下图所示，由于至少有一个Q，其两边为K，则这样的KQK在图中的位置只能为下图的a、b、c、d的4种，另一方面，条件⑤告诉我们还有JKJ的存在，因此可以将KQK与JKJ的位置结合起来考虑；对于上图a，JKJ只能在146，或567，若JKJ在146，则无法有两个K相连与条件⑥矛盾若JKJ在567，则在5的J与Q相连，与条件⑦矛盾．对于上图b，JKJ只能为567，再考虑A，由条件⑦，A不能在8，只能在2或3，为使两个K相连，则8为K，由条件④知，2与3中不能有Q，再由条件⑦，知2是J，3是A，此为正确答案．对于上图c，JKJ只能为234则在4的J与Q相连，与条件⑦矛盾．对于上图d，无法填入JKJ，与条件⑤矛盾．综上所述，本题有唯一的答案，如下图．10．甲、乙、丙、丁4个同学同在一间教室里，他们当中一个人在做数学题，一个人在念英语，一个人在看小说，一个人在写信．已知：①甲不在念英语，也不在看小说；②如果甲不在做数学题，那么丁不在念英语；③有人说乙在做数学题，或在念英语，但事实并非如此；④丁如果不在做数学题，那么一定在看小说，这种说法是不对的；⑤丙既不是在看小说，也不在念英语．那么在写信的是谁?11．在国际饭店的宴会桌旁，甲、乙、丙、丁4位朋友进行有趣的交谈，他们分别用了汉语、英语、法语、日语4种语言．并且还知道：①甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言；②有一种语言4人中有3人都会；③甲会日语，丁不会日语，乙不会英语；④甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈；⑤没有人既会日语，又会法语．请根据上面的情况，判断他们各会什么语言?12．甲、乙、丙3个学生分别戴着3种不同颜色的帽子，穿着3种不同颜色的衣服去参加一次争办奥运的活动．已知：①帽子和衣服的颜色都只有红、黄、蓝3种：②甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子；③戴红帽子的学生没有穿蓝衣服；④戴黄帽子的学生穿着红衣服；⑤乙没有穿黄色衣服．试问：甲、乙、丙3人各戴什么颜色的帽子，穿什么颜色的衣服?[分析与解]我们将题中条件利用下图体现出来，其中实线表示两端需同时成立．虚线表示两端不能同时成立．因为戴黄帽子的穿红衣服，而戴红帽子的又不穿蓝衣服，所以对戴红帽子的人而言只能穿黄衣服，所以戴蓝帽子的之只能穿蓝衣服．乙不穿黄衣服，又不带黄帽子→穿红衣服，所以乙只能穿蓝衣服，即乙—蓝帽子—蓝衣服，甲不戴红帽子，而乙戴蓝帽子，所以甲戴黄帽子，即甲—黄帽子—红衣服，所以丙—红帽子－黄衣服．即甲戴黄帽子，穿红衣服；乙戴蓝帽子，穿蓝衣服；丙戴红帽子，穿黄衣服．13．甲、乙、丙、丁、戊5人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，这5本书的厚度以及他们5人的阅读速度都差不多，因此总是5人同时交换书．经过数次交换后，他们5人每人都读完了这5本书．现已知：①甲最后读的书是乙读的第二本；②丙最后读的书是乙读的第四本；③丙读的第二本书甲在一开始就读了；④丁最后读的书是丙读的第三本；⑤乙读的第四本是戊读的第三本；⑥丁第三次读的书是丙一开始读的那本．设甲、乙、丙、丁、戊5个人最后读的书分别为A，B，C，D，E，根据以上情况确定他们5人读的第四本书各是什么书?[分析与解]由①知乙读的第二本书是A，由②知乙读的四本书是C，由④知丙读的第三本书是D，由⑤知戊读的第二本书是C．如下左图．14．如图10-4，这是一个挖地雷的游戏，在64个方格中一共有10个地雷，每个方格中至多有一个地雷．对于写有数字的方格，其格中无地雷．但与其相邻(由公共边或公共顶点)的格中有可能有地雷，地雷的个数与该数字相等．请你指出哪些方格中有地雷．[分析与解]如下图，我们利用数组将未知区域编号，如第三行第二列称为(3，2)①．我们通过第六行的4个“0”，第6列的2个“0”，所以这6个方格的附近区域都没有地雷．如下左图：②．因为(2，5)，(1，6)，(6，6)这3个位置的附近均只有一个地雷，而这3个位置又各只用一个附近位置可能存在雷，所以这3各位置的附近未知的位置一定有地雷，如上右图．③．而(1，5)，(1，6)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，8)这些位置的附近只有一个地雷，并且这个地雷已经确定，所以它们的附近位置不再有地雷，如下左图所示．④．(1，7)这个方格的附近有2个地雷，其中一个地雷已知，所以还有1个地雷在其附近，但是其附近只有(1，8)这个位置有可能，所以(1，8)格有地雷，如上右图所示．⑤．注意到(4，1)格附近只有1格地雷，而只用(3，2)，(4，2)两个位置中的其中之一有可能，如果是(4，2)格有地雷，那么(3，2)格就没有地雷．而(3，1)格附近必须有2个地雷，现在只有(4，2)格有地雷，所以剩下的唯一有可能存在地雷的(2，2)格一定有地雷，这样就满足了(2，1)格附近只用一个地雷，所以(2，1)格附近的其他格内就没有地雷，即(1，1)，(1，2)格没有地雷，如下左图所示．如果开始假设是(3，2)格有地雷，可推至矛盾．⑥．再看(7，1)格，其附近只有1个地雷，而(8，1)，(8，2)两个位置有可能，假设(8，1)格有地雷，那么(8，2)格无地雷，再根据(7，2)格附近有2个地雷的条件知(8，3)，(8，4)格均有地雷，这样(7，4)格的附近有2个地雷，矛盾，所以开始的假设错误．即(8，2)格有地雷，(8，1)格无地雷，(8，3)格有地雷，(8，4)格无地雷，如上右图所示．⑦．接着看(8，7)格，其附近只有1个地雷，而(8，8)，(7，8)两个位置有可能，假设(8，8)格有地雷，那么(7，8)格无地雷．又因为(7，7)格附近只有一个地雷，所以(6，8)格没有地雷，又因为(6，7)格附近有3个地雷，现在只有(5，6)格有地雷，那么其附近剩下的两个位置(5，8)，(6，8)格均有地雷，但是这样(5，7)格附近就有3个地雷，与条件矛盾，所以开始的假设错误．那么只能是(7，8)格有地雷，(8，8)格无地雷，因为(7，7)格附近不再有地雷，所以(6，8)格也无地雷，又(5，7)格附近要求有2个地雷，现在只有1个地雷，所以剩下的唯一附近位置(5，8)格有地雷，这样也满足(6，7)格附近有3格地雷，如下左图所示．⑧．这样10个地雷均找到，所以剩下的位置均不再有地雷，最终地雷分步情况如上右图．15．5位学生A，B，C，D，E参加一场比赛．某人预测比赛结果的顺序是ABCDE，结果没有猜对任何一个名次，也没有猜中任何一对相邻的名次(意即某两个人实际上名次相邻，而在此人的猜测中名次也相邻，且先后顺序相同)；另一个人预测比赛结果为DAECB，结果猜对了两个名次，同时还猜中了两对相邻的名次．求这次比赛的结果．[分析与解]猜中两对相邻的名次，可以有两种情况：一种是3个相连字母的相对位置正确；另一种是两对4个母字各自的位置的对位置正确．第一种情况：3个相连字相字母相对位置正确．这时，如果这3个字母中有一个字母本身的位置，则这3个字母的位置就一下都正确，但这与DAECB中只有两上字母位置正确矛盾，所以5个字母中，位置正确的只能为3个字母之外的两个字母，由于这3个字母相连，则位置正确的字母只能为D、A或D、B，但无论哪一种情况，剩下三个字母相连的位置确定不变，得到的结果均仍为DAECB，这显然是不符合条件．第二种情况：两对4个字母是相邻正确的，这时，因5字母中一共有2个字母为位置是正确的，所以在这4个字母中一定有一个字母位置正确，那么和它相邻位置正确的字母本身位置也正确，并且一共就这样相邻一对字母的位置与实际位置相同，则这对字母有4种可能：①正确顺序为DA□□□：此时，符合DAECB所满足条件的顺序有2组，分别是DACBE、DABEC为正确答案，则C为第3个，不符合ABCDE所满足的条件；若DABEC为正确答案，则AB相邻，也不符合ABCDE，所满足条件，这样，DA□□□不可能为正确名次．②正确顺序为□AE□□：这时，因另有两个字母的位置是相邻正确的，则只能为CB，可这样推出的实际顺序只能还是DAECB，显然不符合题目条件，这样□AE□□不可能为正确名次．③正确顺序为□□EC□：此时的情况和□AE□□类似，也不可能为正确名次．④正确顺序为□□□CB：此时，符合DAECB所满足条件的顺序有两组，分别是AEDCB、EDACB若AEDCB为正确答案，ABDCE中A的位置正确，不符合条件，经验证，EDACB为正确答案．这样，我们就得到了正确答案：EDACB．。

枚举法解题枚举法是一种演绎的数学方法，也是一种解决问题的方式。

它通过列举所有可能的情况，逐一检验，并找出符合特定条件的解。

枚举法常常用于解决组合优化问题，如找出满足条件的最优解。

枚举法的基本思路是将问题空间分割为若干个子空间，逐一检查每个子空间，找出满足条件的解。

具体操作上，我们需要确定问题的解空间和解空间的约束条件，然后通过穷举的方式检查每一个可能的解。

在编程中，枚举法通常通过循环嵌套来实现。

最外层的循环用于枚举解空间中的一个维度，内层循环用于枚举另一个维度。

通过这种方式，我们可以逐一检查每一个可能的解，并判断是否满足条件。

举个简单的例子来说明枚举法的应用。

假设有一个集合{1, 2, 3, 4, 5}，我们需要找出其中任意两个数的和为7的组合。

这个问题可以通过枚举法来解决。

首先，我们需要确定解空间和约束条件。

解空间就是所有可能的组合，在这个例子中，解空间包括所有两个数的组合。

约束条件是两个数的和等于7。

然后，我们可以编写一个双重循环，来逐一检查解空间中的所有组合。

首先，外层循环枚举第一个数，内层循环枚举第二个数。

如果两个数的和等于7，则输出这个组合。

以下是一个使用枚举法解决这个问题的示例代码：```list = [1, 2, 3, 4, 5]for i in range(len(list)-1):for j in range(i+1, len(list)):if list[i] + list[j] == 7:print(list[i], list[j])```运行这段代码，我们得到的输出结果是：```2 53 4```这就是满足条件的解。

枚举法的优点是简单易懂，容易实现。

但是当问题规模较大时，枚举所有可能的解将非常耗时。

在这种情况下，我们可以尝试使用更高效的算法来解决问题，例如贪心算法、动态规划等。

总而言之，枚举法是一种常用的解决问题的方法，适用于寻找满足特定条件的解的情况。

尽管在大规模问题上效率较低，但它在一些问题中仍然发挥着重要的作用。

小学五年级数学枚举法练习题枚举法是一种解决数学问题的方法，通过列举可能的情况，排除不符合条件的答案，找到满足条件的答案。

在小学五年级数学学习中，枚举法被广泛用于解决各种问题。

本文将为大家提供一些小学五年级数学枚举法练习题，帮助同学们熟悉和掌握这一解题方法。

1. 鸡兔同笼问题一只笼子里有鸡和兔子，共有26只脚，共有10个头，请问鸡和兔子各有多少只？解：我们设鸡的数量为x，兔子的数量为y。

根据题意，我们可以列出以下方程：x + y = 10 （1）2x + 4y = 26 （2）通过枚举法，我们可以列举出可能的解：当x = 1时，方程（1）变为：1 + y = 10，解得y = 9。

由方程（2）可知此时总脚数为2 + 4 × 9 = 38，与题意不符。

当x = 2时，方程（1）变为：2 + y = 10，解得y = 8。

由方程（2）可知此时总脚数为2 × 2 + 4 × 8 = 36，与题意不符。

当x = 3时，方程（1）变为：3 + y = 10，解得y = 7。

此时总脚数为2 × 3 + 4 × 7 = 34，与题意不符。

当x = 4时，方程（1）变为：4 + y = 10，解得y = 6。

此时总脚数为2 × 4 + 4 × 6 = 32，与题意不符。

当x = 5时，方程（1）变为：5 + y = 10，解得y = 5。

此时总脚数为2 × 5 + 4 × 5 = 30，与题意符合。

因此，鸡的数量为5只，兔子的数量为5只。

2. 铅笔盒问题一个铅笔盒里有红、黄、蓝三种颜色的铅笔，共有12支铅笔。

其中红色铅笔的数量是黄色铅笔数量的两倍，而蓝色铅笔的数量又是红色和黄色铅笔数量之和的两倍。

请问各种颜色的铅笔分别有多少支？解：我们设红色铅笔的数量为x，黄色铅笔的数量为y，蓝色铅笔的数量为z。

根据题意，我们可以列出以下方程：x + y + z = 12 （1）x = 2y （2）z = 2(x + y) （3）通过枚举法，我们可以列举出可能的解：当x = 2时，方程（2）变为：2 = 2y，解得y = 1。

第三讲枚举法解决问题【例题】例1、如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状？哪种形状的长方形面积最大？（注意:正方形可以说成是长与宽相等的长方形）解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的一条长与一条宽之和为（）cm。

下面列举出符合这个条件的各种长方形。

其中面积最大的是（）cm2例2、如下图所示，ABCD是一个正方形，边长为1厘米，沿着图中线段从A到D的最短长度为4厘米。

问这样的最短路线共有（）条。

请一一画出来。

例3、强强的爸爸是做售后服务工作的，最近业务繁忙，经常要根据客户的需求在在杭州、金华、宁波这三个城市来回跑。

他今天在这个城市，明天就到另一个城市。

10月22日（周一）在杭州市，10月26日（周五）又回到了杭州市，这几天中，强强爸爸在这三个城市之间可能有几种不同的行程，请你一一写下来。

例4、哥哥和弟弟两人玩一种跳棋游戏，两人商定游戏规则：谁先连胜头两盘谁赢；如果两人都不能连胜头两盘，谁先累计胜三盘谁赢，请问两兄弟玩，共有多少种可能？（备注：不产生和棋）长（cm）宽（cm）面积（cm2）例5、1995各个数位上的数之和为1+9+9+5=24，那么在小于2000的四位数中有多少个数的数字之和为24？例6、一条直线把一个圆分成两部分，两条直线最多把这个圆分为4部分，10条直线最多把这个圆分为几部分？【池中戏水】1．两个自然数的积是96，它们的和是20，这两个自然数分别是（）和（）；两个自然数之积为144，差为10，这两个数是（）和（）。

2．有红、黄、蓝色的小旗各一面，从中选用1面、2面或3面升上旗杆，都可以代表不同的信号，那么，用这三面小旗共可以作出（）种不同的信号。

3．如图，一只小甲虫从A点出发沿着线段爬到B点。

要求任何点和线段都不重复经过，问这只小甲虫有多少种不同的走法？4．100条直线最多可以把一个平面分成几个部分？5．已知三位数的各位数字之和等于8，那么这样的三位数共有多少个？请写下来。

在数学学习或日常生活中,经常会遇到一些非常规的问题,由于找不到计算公式,似乎是一筹莫展,但如果采用枚举法往往会柳暗花明。

枚举法又叫穷举法,顾名思义,就是把所有符合题目条件的对象,按一定的顺序不重复、不遗漏地一一列举出来,就可以解决问题。

那么怎样在枚举的过程中既不重复又不遗漏呢？在解题时需要注意以下几点：◆要有条理地列举；◆依据题意,按范围和各种情况分类考虑；◆排除不符合条件的情况,不断缩小枚举的范围；◆通常可用“枚举树”、“列表格”等形式,也可以用文字分类逐一表述。

小明和小红玩掷骰子的游戏,共有两枚骰子,一起掷出。

若两枚骰子的点数和为7,则小明胜；若点数和为8,则小红胜。

试判断他们两人谁获胜的可能性大？从1~8这8个自然数中,每次同时取2个不同的数相加,要使它们的和大于10,共有多少种不同的取法？（不考虑顺序）小明的寒假作业有语文、数学、外语三门,他准备每天做一门,且相邻两天不做相同一门。

如果小明第一天做语文,第五天也做语文,那么这五天作业他共有多少种不同的安排？甲、乙、丙、丁4名同学排成一行。

从左到右数,如果甲不排在第一个位置上,乙不排在第二个位置上,丙不排在第三个位置上,丁不排在第四个位置上。

那么共有多少种不同的排法？A、B、C三个自然数的和是100,A除以B,或C除以A,结果都是“商5余1”。

A是多少？甲数是乙数的3倍多1,乙数是丙数的3倍多1,甲、乙、丙三个数的和是57。

丙数是多少？7条直线最多能把一个长方形分成多少块？n条直线呢？在一张圆形纸片上画10条直线,最多能把它分成多少小块？从1到400的自然数中,数字“2”出现了多少次？在1到100的自然数中,数字“1”出现了多少次？有一个无盖的正方体纸盒,将它沿棱剪开成平面展开图。

共有多少种不同的展开图？用7张长2分米、宽1分米的长方形纸贴在一个长7分米、宽2分米的木板上,将其盖住。

请问：（1）共有多少种不同的拼贴方式？（2）请你任意画出几种。

第29讲最大最小问题学会在题目中判断出限制条件；学会分数知识的综合运用；从题目限制条件中分析最大最小问题。

在日常生活中,人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题,这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题,最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题,我们称这些问题为“最大最小问题”。

解答最大最小问题通常要用下面的方法：1、枚举比较法。

当题中给定的范围较小时,我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2、着眼于极端情形,即充分运动已有知识和生活常识,一下子从“极端”情形入手,缩短解题过程。

人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题,最终都表现为数学上的极值问题,即小学阶段的最大最小问题。

最大最小问题设计到的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各种知识。

考点一：简单最大最小问题例1、把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里,使每边上7个小三角形内数的和相等。

问这个和最大值是多少？例2、有8个西瓜,它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。

把它们分成三堆,要使最重的一堆西瓜尽可能轻些,那么,最重的一堆应是多少千克？典例分析知识梳理学习目标例3、一次数学考试满分100分,6位同学平均分为91分,且6人分数互不相同,其中得分最少的同学仅得65分,那么排第三名的同学至少得多少分？(分数取整数)例4、一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米,每一种庄稼需要先收割好、捆好,然后往回运输。

现由两个小组分别承包这两项工作,工时如下表(一种庄稼不割好、捆好,不准运输),这两组从开工到完工最少经过多少小时？例5、A、B、C是三个风景点,从A出发经过B到达C要走18千米,从A经过C到B要走16千米,从B经过A到C要走24千米。

相距最近的是哪两个风景点？它们之间相距多少千米？考点二：数论中的极端思想例1、1～8这八个数字各用一次,分别写成两个四位数,使这两个数相乘的乘积最大。

五年级奥数—简单枚举引言本文档旨在介绍五年级学生在奥数竞赛中遇到的简单枚举问题。

通过研究和练简单枚举方法，学生可以提高数学思维能力，并在奥数竞赛中取得更好的成绩。

什么是简单枚举？简单枚举是一种通过列举所有可能的情况来解决问题的数学方法。

它适用于问题的解空间相对较小的情况。

解决问题的步骤使用简单枚举方法解决问题可以遵循以下步骤：1. 确定问题的范围和条件。

2. 理解问题的要求和目标。

3. 列举所有可能的情况。

4. 对每种情况进行分析和计算。

5. 找出满足问题要求的解决方案。

示例问题以下是几个适合五年级学生练的简单枚举问题：1. 某个班级有15名男生和10名女生，请问从班级中选择3名同学组成一个小组，有多少种不同的选择方案？2. 有一组5个相邻的整数，求其中的奇数有多少个？3. 某个班级举行一次足球比赛，共有3支球队参赛，请问一共有多少种不同的对阵情况？解答示例1. 解决问题1的步骤如下：- 确定问题的范围和条件：15名男生和10名女生，选择3人组成一个小组。

- 理解问题的要求和目标：求不同的选择方案。

- 列举所有可能的情况：根据组合计算公式，从25人中选择3人的组合数是C(25, 3) = 2300。

- 对每种情况进行分析和计算：根据组合计算公式，计算C(15, 3) = 455。

- 找出满足问题要求的解决方案：不同的选择方案数为2300-455 = 1845种。

2. 解决问题2的步骤如下：- 确定问题的范围和条件：一组5个相邻的整数。

- 理解问题的要求和目标：求奇数的个数。

- 列举所有可能的情况：5个相邻的整数可以是{1，2，3，4，5}或者{2，3，4，5，6}等。

- 对每种情况进行分析和计算：在{1，2，3，4，5}中有3个奇数，在{2，3，4，5，6}中也有3个奇数。

- 找出满足问题要求的解决方案：奇数的个数为3个。

3. 解决问题3的步骤如下：- 确定问题的范围和条件：一共有3支球队参赛。

第28讲简单列举教学目标用列举解决简单实际问题，能不重复、不遗漏的找到符合要求的答案。

发展学生思维的条理性和严密性。

知识梳理养鸡场的工人，小心翼翼地把鸡蛋从筐里一个一个往外拿,边拿边数筐里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数清了，这种计数的方法就是枚举法。

一般地，根据问题要求，一一列举问题，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。

这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。

运用枚举法解决应用题时，必须注意无重复、无遗漏。

为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。

典例分析例1、从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。

从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？【解析】为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。

我们把小华的不同走法一一列举如下：根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法。

例2、用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？【解析】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。

可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号；绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号；黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有3个2种不同排列方法，即2×3=6种。

例3、一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？【解析】由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。

下面列举出符合这个条件的各种长方形：这个长方形的面积共有5种可能。

例4、有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？【解析】把4个小朋友分别编号：A、B、C、D，A与其他小朋友打电话，应该打3次，同样B小朋友也应打3次电话，同样C、D应该各打3次电话。

4个小朋友，共打了3×4=12次。

但题目要求两个小朋友之间只要通一次电话，那么A打电话给B时，A、B两人已经通过话了，所以B没有必要再打电话给A，照这样计算，12次电话中，有一半是重复计算的，所以实际打电话的次数是3×4÷2=6次。

第9讲解决问题的策略一简单的枚举我们在课堂上通到的数学同通，一般都可以列出算式，然后求出果、但在数学赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。

但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。

所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遺漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。

【例1】数一数，图中共有几条线段?分析线段有两个端点，如果我们接照一定的顺序从左往右数，就会发现:以A 点为共同左端点的线段有:AB，AC，AD，AE，AF 共5条；以B 点为共同左端点的线段有:BC，BD，BE，BF 共4条;以C 点为共同左端点的线段有:CD，CE，CF 共3条；以D 点为共同左端点的线段有:DE，DF 共2条；以E 点为共同左端点的线段有:EF 共1条。

线段总数为:5+4+3+2+1=15(条)。

解答5+4+3+2+1=15(条)答:图中共有15条线段。

【例2】数一数，图中共有多少个角?分析通过观察，我们可以知道，图中包含的所有角都具有O 点这一共同顶点。

如果我们按照一定的顺序数，就会发现:以射线OA 为角的一边的角有:∠AOB,∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOFA B C D E F共5个;以射线OB为角的一边的角有:∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4个；(不包括已数过的∠AOB，即数过的不算，下同)以射线OC为角的一边的角有:∠COD，∠COE，∠COF共3个；以射线OD为角的一边的角有:∠DOE，∠DOF共2个；以射线OE为角的一边的角有:∠EOF共1个。

角的总数:5+4+3+2+1=15(个)。

数的过程用图示法表示知右图解答5+4+3+2+1=15(个）答:图中一共有15个角。

【例3】数一数，图中共有几个三角形?分析为了便于数、我们先将每个部分编号，如右图。

这样可以明显地看出：由1个部分构成的三角形有3个，即(1)，(4)，(3)；由2个部分构成的三角形有4个，即(1，2)，(1，4)，(2，.3)，(3，4)由3个部分构成的三角形有0个；由4个部分构成的三角形有1个，即(1，2，3，4)。

用枚举法解决问题
枚举法是一种解决问题的基本方法，其基本思想是列举出所有可能的情况，再根据问题要求进行筛选和判断。

以下是使用枚举法解决问题的一般步骤：
1. 确定待解决问题的范围和限制条件，明确问题的具体要求。

2. 对问题进行抽象和分析，找出问题的关键参数和变量。

3. 列举所有可能的取值范围和组合，并使用嵌套循环进行遍历。

4. 对每一组可能的取值进行判断和筛选，根据问题要求进行条件判断。

5. 根据问题的要求，输出所满足条件的解答或者统计满足条件的数量。

需要注意的是，枚举法一般适用于问题规模较小的情况，因为列举所有可能的情况会带来指数级的时间复杂度。

如果问题规模较大，枚举法可能不太适用，需要考虑其他更高效的解决方法。

学科培优数学“枚举法”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位在数学问题中,有一些需要计算总数或种类的趣题,因其数量关系比较隐蔽,很难找到“正统”的方式解答,让人感到无从下手。

对此,我们可以先初步估计其数目的大小。

若数目不是太大,就按照一定的顺序,一一列举问题的可能情况；若数目过大,并且问题繁杂,我们就抓住对象的特征,选择恰当的标准,把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形,通过一一列举或计数,最终达到解决目的。

这就是枚举法,也叫做列举法或穷举法。

知识梳理枚举法的特点是有条理,不易重复或遗漏,使人一目了然。

适用于所求的对象为有限个。

重点难点解析1.做到不重补漏,把复杂的问题简单化。

2.按照一定的规律,特点去枚举。

3.从思想上认识到枚举的重要性。

例题精讲【试题来源】【题目】25本书,分成6份。

如果每份至少一本,且每份的本数都不相同,有多少种分法？【试题来源】【题目】从1到100的自然数中,每次取出两个数,要使它们的和大于100,共有多少种取法？【试题来源】【题目】商店有围巾4种,每种价钱依次是12元、10元、8元和6元。

帽子有3种,每种价钱依次是9元、7元和5元。

如果一顶帽子和一条围巾配成一套,每套可以有多少种不同价钱?【试题来源】【题目】一个学生假期往A、B、C三个城市游览．他今天在这个城市,明天就到另一个城市．假如他第一天在A市,第五天又回到A市．问他的游览路线共有几种不同的方案?【试题来源】【题目】如图9-1,有8张卡片,上面分别写着自然数1至8。

从中取出3张,要使这3张卡片上的数字之和为9。

问有多少种不同的取法？【试题来源】【题目】从1至8这8个自然数中,每次取出两个不同的数相加,要使它们的和大于10,共有多少种不同的取法？【试题来源】【题目】现在1分、2分和5分的硬币各4枚,用其中的一些硬币支付2角3分钱,一共有多少种不同的支付方法？【试题来源】【题目】3件运动衣上的号码分别是1,2,3,甲、乙、丙3人各穿一件。

五年级思维拓展之枚举法1.用数字1、4、6可以组成多少个不同的三位数？2.从1~20中取两个不同的整数相加，和等于20，有多少种取法？3.（1）悠悠有10块糖，想分成三堆（不考虑顺序），每堆至少2块，有几种分法？（2）悠悠有10块糖，如果每天至少吃3块，那么共有多少种不同的吃法吃完这10块糖？4.从1至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法？5.妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？6.有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份。

问一共有多少种不同的订法？7.有25本书，分成6份。

如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法？8.有三张卡片，每一张上写有一个数字1、2、3，从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。

请将其中的质数都写出来。

9.小明有10个1分硬币，5个2分硬币，2个5分硬币。

要拿出1角钱买1支铅笔，问可以有几种拿法？用算式表达出来。

10.有红黄蓝绿黑五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多可以配成多少组不重复的？参考答案1.【解答】①“1”开头：146，164，共2个；②“4”开头：416，461，共2个；③“6”开头：614，641，共2个；用1，4，6这三个数字可以组成2+2+2=6个不同的三位数．2.【解答】两个整数的和等于20，为了保证不重不漏，从最小的数1开始考虑加起。

20=1+19，20=2+18，20=3+17，20=4+16，20=5+15，20=6+14，20=7+13，20=8+12，20=9+11。

所以一共有9种取法。

3.【解答】（1）10块糖分成3堆，即把10分成三个数相加（每个数都大于等于2）。

从每堆最少的2块开始考虑，依次递增：10=2+2+6，10=2+3+5，10=2+4+4，10=3+3+4。