GCT数学复习资料(微积分)

第三章 微分中值定理与导数应用主讲------姜进进第一节 微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。

教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。

教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。

教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ, 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf .证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M=，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f =由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M>，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf .说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立;2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个.例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f .二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理 1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, 那么在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ, 使得等式))(()()('a b f a f b f -=-ξ2. 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理1）可用于证明等式；2）可用于证明不等式. 例4 证明当0>x 时,x x xx<+<+)1ln(1 证明: 设)1ln()(x x f +=, 则)(x f 在],0[x 上满足拉氏定理的条件于是)0(),0)(()0()(x x f f x f <<-'=-ξξ又xx f f +='=11)(,0)0(, 于是 ξ+=+1)1ln(x x而x <<ξ0, 所以x +<+<111ξ, 故11111<+<+ξx 从而 x x x x <+<+ξ11, 即x x x x <+<+)1ln(1 三、柯西中值定理柯西中值定理 如果函数)(x f 及)(x F 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且)('x F 在),(b a 内每一点处均不为零，那末在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式)()()()()()(''ξξF f a F b F a f b f =--成立例5 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,证明:至少存在一点)1,0(∈ξ，使)]0()1([2)(f f f -='ξξ证明与分析: 结论可变形为ξξ2)(01)0()1(f f f '=--ξ=''=x x x f )()(2设2)(x x g =，则)(),(x g x f 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件于是至少存在一点)1,0(∈ξ，使ξξ2)(01)0()1(f f f '=-- 所以至少存在一点)1,0(∈ξ，使ξξ2)(01)0()1(f f f '=-- 即)]0()1([2)(f f f -='ξξ第二节 洛必达法则教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求00型和∞∞型以及∞-∞∞⋅,0型未定式的极限的方法; 了解00,1,0∞∞型极限的求法.教学重点：洛必达法则.教学难点：理解洛必达法则失效的情况, ∞-∞∞⋅,0型的极限的求法. 教学内容：一． 00型和∞∞型未定式的解：法洛必达法则定义：若当a x →（或∞→x ）时，函数)(x f 和)(x F 都趋于零(或无穷大)，则极限)()(lim)(x F x f x a x ∞→→可能存在、也可能不存在，通常称为00型和∞∞型未定式.例如 x x x tan lim 0→, (00型); bx ax x sin ln sin ln lim 0→, (∞∞型).定理：设 (1)当0→x 时, 函数)(x f 和)(x F 都趋于零;(2)在a 点的某去心邻域内,)(x f '和)(x F '都存在且0)(≠'x F ;(3))()(lim)(x F x f x ax ∞→→存在(或无穷大),则)()(lim )()(lim x F x f x F x f ax ax ''=→→定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则 例1 求x x x tan lim→, (0型) 解 原式=)()(tan lim 0''→x x x =11sec lim20=→x x 例2 求123lim 2331+--+-→x x x x x x , (00型) 解 原式= 12333lim 221---→x x x x = =-→266lim 1x x x 23例3 求 xx x 1arctan 2lim -+∞→π, (00型)解 原式=22111limxx x -+-+∞→=221lim x x x ++∞→=1 例4 求 bx ax x sin ln sin ln lim0→, (∞∞型). 解 原式= ax bx b bx ax a x sin cos sin cos lim 0⋅⋅→= ax bxx cos cos lim 0→=1例5 求 xx x 3tan tan lim 2π→, (∞∞型)解 原式=xx x 3sec 3sec lim 222π→= x x x 222cos 3cos lim 31π→= x x x x x sin cos 23sin 3cos 6lim 312--→π= x x x 2sin 6sin lim 2π→= 32cos 26cos 6lim 2=→x xx π注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 求xx x x x tan tan lim20-→解 原式= 30tan lim x xx x -→= 22031sec lim x x x -→=220tan lim 31x x x →=31二．0,1,0,,0∞∞-∞∞⋅∞型未定式的求法关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型00型和∞∞型.1．∞⋅0型未定式的求法 步骤：,10∞⋅∞⇒∞⋅或0100⋅⇒∞⋅ 例7 求.lim 2xx e x -+∞→ )0(∞⋅型解 原式=2lim x e x x +∞→=x e x x 2lim +∞→2lim xx e+∞→=.+∞=型∞-∞.2步骤：0101-⇒∞-∞.0000⋅-⇒ 例8 求 ).1sin 1(lim 0xx x -→ )(∞-∞型 解 原式=xx xx x sin sin lim 0⋅-→x x x x x cos sin cos 1lim 0+-=→.0=型00,1,0.3∞∞步骤： ⎪⎩⎪⎨⎧∞⋅⋅∞⋅−−→−⎪⎭⎪⎬⎫∞∞ln 01ln 0ln 01000取对数.0∞⋅⇒例9 求.lim 0x x x +→ )0(0型解 原式=xx x eln 0lim +→xx x eln lim 0+→=xxx e 1ln lim 0+→=2011limx x x e-+→=0e =.1=例10 求.lim111xx x-→ )1(∞型解 原式=x xx eln 111lim -→xx x e-→=1ln lim111lim 1-→=x x e .1-=e例11 求.)(cot lim ln 10xx x +→ )(0∞型解 由于)ln(cot ln 1ln 1)(cot x xxex ⋅=而)ln(cot ln 1lim 0x xx ⋅+→xxx x 1sin 1cot 1lim 20⋅-=+→x x x x sin cos lim 0⋅-=+→1-=所以 原式=.1-e注意：洛必达法则的使用条件． 例12 求.cos limxxx x +∞→解 原式=1sin 1limx x -∞→).sin 1(lim x x -=∞→极限不存在（洛必达法条件不满足的情况）正确解法为 原式=)cos 11(lim x xx +∞→.1=第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 教学目的：理解函数的单调性和曲线的凹凸性的判定定理，会求函数的单调区间和曲线的凹凸区间。

GCT工程硕士（一元函数微积分）数学历年真题试卷汇编2(总分54, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题（25题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.（2008年真题）设f(x)=则有[ ]。

SSS_SINGLE_SELA f(f(x))=(f(x))。

B f(f(x))=f(x)C f(f(x))＞f(x)D f(f(x))＜f(x)该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：本题主要考查函数的概念与函数求值的运算。

解法1 由易知，当x≠0时，f(x)＞0。

又所以f(f(x))=f(x)。

故正确选项为B。

解法2 特殊值代入法。

取x=2，则f(2)=2，f(f(2))=f(2)=2，这时选项A，C，D都不成立。

故正确选项为B。

2.（2005年真题）函数f(x)=在(-∞，+∞)上有[ ]。

SSS_SINGLE_SELA 1条垂直渐近线，1条水平渐近线B 1条垂直渐近线，2条水平渐近线C 2条垂直渐近线，1条水平渐近线D 2条垂直渐近线，2条水平渐近线该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：本题考查求函数的极限和求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。

所以y=1是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。

所以y=-1是曲线y=f(x)的一条水平渐近线，因此，曲线y=f(x)有2条水平渐近线。

所以x=1是曲线y=f(x)的一条垂直渐近线。

所以x=2是曲线y=f(x)的一条垂直渐近线，因此，曲线y=f(x)有2条垂直渐近线。

故正确选项为D。

3.（2009年真题）设函数g(x)在x=0点的某邻域内有定义，若=1成立，则[ ]。

SSS_SINGLE_SELA g(x)在x=0点连续B g(x)在x=0点可导C 存在，但g(x)在x=0点不连续D x→0时，g(x)是x的高阶无穷小量该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：本题考查了重要极限=1，极限运算法则及无穷小量阶的比较。

解法1 故正确选项为D。

/JM/GCT 数学解题必知公式（第四章）第四章 一元函数微积分这部分主要考查极限与连续 ，导数的概念，求导法则及基本求导公式，高阶导数，微分的概念即微分中值定理与导数应用，不定积分和定积分的概念，牛顿-莱布尼兹公式，不定积分和定积分的计算，定积分的简单应用等。

第一节 极限与连续【备考要点】函数是数学研究中一个非常重要的对象， 为了清楚地了解函数，求极限是考察函数性质的一个基本的方法。

因此要求考生学习和掌握一些常见函数的基本定义，极限的求法。

同时掌握函数连续性的定义、熟练掌握极限的运算法则并能够求一些初等函数和数列的极限。

【解题技巧】（一）必知公式1．极限四则运算法则lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x ±=±。

lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x =⋅2．两个基本极限公式第二节0sin lim 1x x x →=， 10lim(1)x x x e →+=一元函数微分学 【备考要点】 这一节要求考生学习和掌握导数的基本概念和定义，求导法则及基本求导公式，高阶导数，微分。

同时还需要掌握微分中值定理与导数初等应用。

【解题技巧】（一）必知公式1．初等函数求导公式c y =0'=y x y a = x a y a 1'-=a y x = a a y x ln '=x y a log =a x x e y a ln 1log '== x y sin = x y cos '=x y cos =x y sin '-=tgx y = x x y cos 1sec '22==ctgx y =x x y sin 1csc '22-=-=x y sec =tgx x x y ⋅==sec )'cos 1('x y csc =ctgx x y ⋅-=csc ' x y arcsin = x y 211'-=x y arccos = x y 211'--= arctgx y =x y 211'+=arcctgx y = x y 211'+-=2．导数四则运算法则（1）(“数乘”)对任意常数C ，()y Cx Cx C '''===。

第一章 函数 极限 连续第一节 极限 一、数列极限 1.数列极限的定义 设数列{}n a ，当项数n 无限增大时，如果n a 无限趋近于某个常数A ，则称A 为数列{}n a 的极限，记作lim nn aA →∞=2.数列极限的四则运算法则若n →∞时，,n n x a y b →→，则 （1）n n x y a b ±→±；(2) n n x y ab →; (3) n n x ay b→(0)b ≠ 3.数列极限存在准则（1）单调递增有上界的数列必有极限 （2）单调递减有下界的数列必有极限（3）夹逼法则：若n y a →，n z a →，且n n n y x z ≤≤，则n x a →例.求22212(...)lim n nn n n →∞+++ 二、函数极限 1.函数极限的定义 （1）()lim x f x A →∞=，指的是x →∞时，()f x 的函数值无限趋于常数A ；()lim x f x A →∞=的充分必要条件是()()lim lim x x f x f x A →+∞→-∞==比如，arctan limx x →∞，lim xx e -→∞不存在。

（2）()0lim n x f x A →=，是指当x 无限趋于0x0()x x ≠时，()f x 的函数值无限趋于常数A ；比如，函数()24,220,2x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩，当2x →时，极限是4，与2x =处的函数值无关。

（3）左极限()0lim x x f x -→，右极限()0lim x x f x +→()0lim n x f x A →=的充分必要条件是()()00lim lim x x x x f x f x A -+→→==极限不存在的三种情形：limx② 左、右极限有一个不存在；比如，111lim x x e-→③ 左、右极限都不存在；比如，01sinlim x x→ 2.函数极限的性质 （1）唯一性 （2）局部有界性：若()0lim x x f x A →=，则()f x 在0x附近有界 （3）局部保号性：若()00(0)lim x x f x A →=><，则在0x附近()0(0)f x ><3.运算法则 （1）四则运算法则 （2）夹逼法则（3）复合函数的极限法则 设()()y f x ϕ=，若()0lim x x x a ϕ→=，()lim u af u b →=，则()()0lim x x f x b ϕ→=；比如 ，1cos 2limx x →+=4.两个重要极限 （1）sin 1lim x xx →= （2）()1111lim lim yx y x x e y →∞→⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭5. 洛比达法则 例1.（1） 求2203223lim x x x x x →-++-（2） 求453limx x x →+--例2.求0tan lim x xx → 例3例4.xx x ππsin )1(1lim -→＝（ ）A 、-πB 、-1C 、0D 、1 例5. 例6.∞∞型，有理、无理分式求极限例7. 1∞，（利用()1111lim lim yx y x x e y →∞→⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭）（1）()113lim xx x →-（2）11lim xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭三、无穷小量与无穷大量 1.无穷小量的定义 若()00lim x x f x →=，则称当0x x→时()f x 是无穷小量；若()0lim x f x →∞=，则称当x →∞时()f x 是无穷小量。

GCT 一元函数微积分专题第一节 映射与函数一. 基本概念二. 映射 三. 函数概念 四. 函数的特性 五. 反函数六. 复合函数，初等函数七. 小结 一. 基本概念(1)【区间】:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点。

..,,b a R b a <∈∀且 开区间{}b x a x b a <<=),(闭区间{}b x a x b a ≤≤=],[X半开区间{} ),[b x a x b a <≤=, {}],(b x a x b a ≤<= 有限区间无限区间{}x a x a ≤=∞+),[{}b x x b ≤=-∞],({} R ),(∈=∞+-∞x x 无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. ⑵【邻域】点a 的δ 邻域：{}{}δδδδ<-=+<<-=a x x a x a x a ),(去心δ 邻域：{}0 ),(U δδ<-<=a x x a，其中,a 称为邻域中心,δ 称为邻域半径 . 左δ 邻域 : ,),(a a δ-右δ 邻域 : .),(δ+a a 0 a x a x ≠-<意味着注意， 二. 映射1. 【映射的概念】 【引例1】某校学生的集合 按一定规则查号 学号的集合某班学生的集合 按一定规则入座 某教室座位的集合【引例2】R ∈∀x x x y sin += R ∈y【引例3】{}1|),(22=+=y x y x C 点集{}11),0(≤≤-=y y YC P ∈∀点 向y 轴投影 Y Q ∈投影点(1)【定义】设X ,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则f ,使得, X x ∈∀有唯一确定的Y y ∈与之相对应,则称f 为从X 到Y 的映射，记作Y X f → : 元素y 称为元素x 在映射f 下的像,记作).(x f y = 元素x 称为元素y 在映射 f 下的原像 . 集合X 称为映射 f 的定义域，记作D f =XY 的子集X}|)({)(∈==x x f X f R f 称为f 的值域 【注意的问题】 ①映射具备三要素X D a f = .定义域 Y R X f b f ⊂=)( .值域 .f c 对应法则②映射的特点①中都有像在任一Y X x ∈必须唯一的像 ②y x 不一定唯一的原像 ③x y)( ④Y R Y R f f =⊂不一定值域(2)【定义】对映射Y X f →: ①满射若Y X f =)(,则称 f 为满射; 引例2, 3 ②单射若,,,2121x x X x x ≠∈∀有)()(21x f x f ≠,则称f 为单射; 引例2③双射若f 既是满射又是单射,则称f 为双射或一一映射. 引例2【例1】R D x x x f R R f f =∈∀=→，，，R )(:2{}R y y R f ⊆≥=0)( 非满射外原像都不唯一除0=y 非单射【例2】Y X f →:,其中{}1),(22=+=y x y x X ,{}1)0,(≤=x x YY X f X D f ==)(, 满射但非单射 ,【例3】[]x x f f sin )(,1,12,2:=-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ，[]1,1,2,2-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=f f R D ππ一一映射单射、满射⇔【注意】①定义域到值域的映射必为满射.Y X f →:即是映射但不一定是满射.必是满射但 )(Rf X f X =→②对单射 f 而言，元素 y 的原像 x 一定唯一. ③单射、满射前提条件首先是映射.【说明】映射 f (算子)在不同数学分支中的惯用名称: ①泛函：X (≠ ∅ ) f Y (数集) 例如： «实变函数与泛函分析»②变换：X (≠ ∅ ) f X例如：« 线性代数»中的线性变换、矩阵变换、变换群等. ③函数:X (数集或点集 ) f R 例如： « 高等数学»中的函数。

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

十月联考GCT数学考查知识点总结5篇第1篇示例：十月联考GCT数学考查知识点总结十月联考GCT数学考试是许多学生备战的重要考试之一，对于备考的同学来说，掌握考试重点知识点是至关重要的。

下面我们就来总结一下十月联考GCT数学考查的知识点，希望对大家备考有所帮助。

1. 解方程与不等式解方程与不等式是数学中的基础知识点，在十月联考GCT数学考试中也是必考的内容。

同学们需要掌握一元一次方程和一元一次不等式的解法，包括用消元法、代入法、加减法等方法进行求解。

2. 几何在十月联考GCT数学考试中，几何也是一个重要的考察点。

同学们需要掌握平面几何和空间几何的知识，包括角的性质、直线和圆的性质、三角形的性质、四边形的性质等内容。

掌握这些几何知识点可以帮助同学们更好地解决几何问题。

3. 概率与统计概率与统计也是十月联考GCT数学考试的考查内容之一。

同学们需要了解概率的基本概念和计算方法，包括排列组合、事件的概率计算等内容。

统计学也是一个重要的知识点，同学们需要了解统计描述、频数分布、均值、中位数、众数等统计概念。

4. 函数在十月联考GCT数学考试中，函数也是一个重要的知识点。

同学们需要掌握函数的基本概念、性质、定义域、值域、判别法等内容。

同学们还需要了解一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见函数的性质和图像。

十月联考GCT数学考试涵盖了多个知识点，同学们在备考时需要系统地复习各个知识点，掌握解题技巧。

在备考过程中，同学们可以多做一些练习题，巩固知识点，提高解题能力。

希望以上总结的知识点对同学们备考有所帮助，祝同学们取得优异的成绩！第2篇示例：十月联考GCT数学考查知识点总结GCT（Graduate Certificate Test）是为了评估考生在数学领域的能力和水平而设计的考试。

在十月联考中，数学是考试的一个重要科目之一。

在这篇文章中，我们将汇总十月联考GCT数学考查的知识点，帮助考生更好地备战考试。

一、基础知识1. 整数、有理数和无理数的性质和运算规律2. 代数式的展开、因式分解和合并3. 质因数分解4. 一次函数和二次函数的性质和图像，以及解一元一次方程和一元二次方程二、几何知识1. 点、线、面、几何体的性质和关系2. 直线、射线和线段的性质3. 角的概念和相关性质4. 三角形和四边形的性质和分类5. 圆的性质和相关定理6. 相似三角形和全等三角形的判定三、概率与统计1. 随机事件的概念和性质2. 概率的计算方法和规律3. 统计图的绘制和分析4. 样本调查和数据分析四、函数与图像1. 函数的基本概念和分类2. 函数的性质和图像3. 反比例函数、指数函数和对数函数的性质4. 函数的复合和反函数的求解五、导数与微积分1. 导数的概念和计算方法2. 函数的极值、拐点和曲线的凹凸性判定3. 定积分的概念和计算方法4. 微分方程和简单的微分方程求解六、解题技巧1. 熟练掌握解题步骤和思路2. 理清题意，理解题目要求3. 善于总结规律，灵活应用知识点4. 多练习，多做题，加深对知识点的理解和记忆七、考前复习1. 制定合理的复习计划，合理安排时间2. 复习重点知识点，加强薄弱环节3. 完整做一些模拟试题，检验复习效果4. 注意健康，保持良好的精神状态和体能状态通过以上总结，我们可以看到十月联考GCT数学考查的知识点涵盖了基础知识、几何知识、概率与统计、函数与图像、导数与微积分等多个方面。

第四部分 一元函数微积分⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧模拟练习典型例题内容综述基本内容样题考试要求一元函数微积分[考试要求]函数及其图形：集合，映射，函数，函数的应用（理解函数的概念，掌握函数的表示方法；了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形；会建立简单应用问题中的函数关系。

）极限与连续：数列的极限，函数的极限，极限的运算法则，极限存在的两个准则与两个重要极限，连续函数，无穷小与无穷大。

（理解极限的概念，理解函数的左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。

理解函数连续性概念，会判断函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。

）导数与微分：导数的概念，求导法则及导数基本公式，高阶导数，微分。

（理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面的曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则，会求函数的微分；了解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数，会求复合函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

）微分中值定理与导数应用：中值定理，导数的应用。

（理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理；理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，掌握函数最大最小值的求法及简单应用；会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平和铅直渐近线；掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

GCT 辅导,数学基础复习资料第一部分 代数 [内容综述]一、数和代数式 1．实数的运算（1）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简）xy y x x x x y x y xyx yxa ab a ab a aa aa a ====-+)(,)(,, （2a a ab a b a a a a a a ≤≤-+≤+⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=,,0,0,00,2．复数的运算及其几何意义 （虚数单位、实部、虚部、共轭复数、模、幅角），bi a z += (共轭复数 bi a z -=)22b a +=，ab =αtani b b a a z z i b a z i b a z )()(,,212121222111+++=++=+=；bi a z +=，bi a z λλλ+=；()1111sin cos ααi z z +=，()2222sin cos ααi z z += ())sin()cos(21212121αααα+++=i z z z z ；())sin()cos(21212121αααα-+-=i z z z z 10=-z z3．几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等）2222)(b ab a b a +±=±；3223333)(b ab b a a b a +++=+；3223333)(b ab b a a b a -+-=-； ))((22b a b a b a -+=-； ))((2233b ab a b a b a +-+=+；))((2233b ab a b a b a ++-=-．12-=i4. 幂函数、指数函数、对数函数（含义、性质、常用公式）x y x y x y a y x y a x a ln ,lg ,log ,,=====ax x x y x y x y xy x xy b b a y log log log ,ln ln ,ln ln ln,ln ln ln ==-=+= 二、代数方程：1．二元一次方程组解的存在性 2．一元二次方程（1）求根公式（判别式）；（2）根与系数的关系02=++c bx ax ，ac b 42-=∆；acx x a b x x a ac b b x =-=+-±-=±21212,,24 三、不等式1．不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式） 性质：;0,;0,kb ka k b a kb ka k b a <⇒<>>⇒>>c bd a d b c a d c b a ->-+>+⇒>>,,基本不等式：ab b a ≥+)(21(a 和b 均大于0)，b a b a +≤+四、数列1．数列的概念（数列、通项、前n 项的和、各项的和、数列与数集的区别）,,,,21n a a a ，∑==+++=nk k n n a a a a S 1212．等差数列（1）概念（定义、通项、前n 项的和）；（2）简单性质：中项公式、平均值)(21,2,)1(21,)1(,},{121111n n n kn k n n n n n n a a n a a a a a a d n n na S d n a a d a a a +=+++=+-+=-+==-+-+3．等比数列（1）概念（定义、通项、前n 项的和）；（2）简单性质：中项公式21111,11,,,0},{n k n k n n n n n n n n n a a a qq a S q a a q a a a a =--===≠+--+六、排列、组合、二项式定理1．分类求和原理与分步求积原理 2．排列与排列数（1）定义；（2）公式)1()2)(1(+---=m n n n n P m n 注 阶乘（全排列）!m P mm =3．组合与组合数（1）定义；（2）公式；m mmn mnmm m n mnP P C P C P ==,（3）基本性质：n nk k n m nm n m n m n n m n C C C C C C 2,,011=+==∑=-+-4．二项式定理：∑=-=+nk kn k k nnb a C b a 0)( 七、古典概率问题1．基本概念：必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件 2．概率的概念与性质（1）定义（非负性、规范性、可加性）； （2）性质：1)(0≤≤A P ，0)(=ΦP ，)()()()(B A P B P A P B A P -+= 3．几种特殊事件发生的概率 （1）等可能事件（古典概型）nmA P =)( （2）互不相容事件 )()()(B P A P B A P += ；对立事件 1)()(=+B P A P （3）相互独立事件 )()()(B P A P B A P = （4）独立重复试验如果在一次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 此独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为 kn kkn n p p C k P --=)1()(．第二部分 几何（与三角） [内容综述]一、平面几何图形 1．三角形（1）三角形的各元素（边、角、高、中线、周长、面积）c b a p c p b p a p p C ab ah s ++=---===2,))()((sin 2121（2）几种特殊三角形（直角、等腰、等边）222b ac += 2．四边形（1）矩形（正方形）；（2）平行四边形（菱形）；（3）梯形h b a s )(21+=3．圆圆(周长、面积)22R s Rl ππ==二、三角函数1．定义（符号，特殊角的三角函数值）ααααααααααααsin 1csc ,cos 1sec ,sin cos cot ,cos sin tan ,cos ,sin ======x y2．三角函数的图像和性质（微积分）3．常用的三角函数恒等式同角恒等式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin两角和公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==-=++=+1cos 2sin 21sin cos 2cos cos sin 22sin sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(2222βββββββββαβαβαβαβαβα诱导公式：ββπββπββπsin )sin(,sin )2cos(,cos )2sin(-=+-=+=+注：解斜三角形（正弦定理、余弦定理）． 4.反三角函数),0(,cot arc );2,2(,arctan ],0[,arccos ];2,2[,arcsin ππππππx y x y x y x y =-==-=。

一般复习过程：了解考试要求、复习考试内容、熟悉试题类型、掌握应试技巧。

第一部分算术 ［内容综述］1. 数的概念：整数、分数、小数、百分数等等.2. 数的运算(1)整数的四则运算；(2)小数的四则运算；(3)分数的四则运算*n I 3. 数的整除:整除(一 = £ + —)、倍数、约数、奇数、偶数、质(素)数*、合数、质因数、公倍数、最小公倍数mn(一=——nm x =加斤］)、 ma c4. 比和比例：比例.一=—rh d［典型例题］一、 算术平均数(平均值)问题例:某书店二月份出售图书3654册，比一月份多出售216册,比三月份少出售714册,第二季度的出售量是第一季度出售量的1.5倍，求书店上半年平均每月出售图书多少册？ 分析：3(3654-2⑹+ 3654 + (3654 + 7 ⑷ + 严54-216) + 3654 + (3654 + 714)］6-(3x3654-216 + 714)=2 ------------------------------- = 4775 ・6(又如前io 个偶数、奇数、素数、合数等的平均值问题) 二、 植树问题*(1) 全兴大街全长1380米，计划在大街两旁每隔12米栽一棵梧桐树，两端都栽.求共栽梧桐多少棵？1 QQA分析：2(-— + 1) = 232 ・12(2) 将一边长为2米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上，为了安全，钉子的间距不能超过30厘米，且四角必须固定，求需要的最少钉子数.分析：根据要求，每边至少需要7个空，所以至少需要4x7 = 28个钉子. 三、 运动问题1•相遇与追及问题(S = W, V = V ］ + v 2^ v = V| - v 2» S = S ］+S2)例：某部队以每分钟100米的速度夜行军，在队尾的首长让通信员以3倍于行军的速度将一命令传到部队的排头，并立即返回队 尾.己知通信员从出发到返回队尾，共用了 9分钟，求行军部队队列的长度？ 分析：设队伍长度为/,则I I ° 300-100 300+100 ~ ' 解得I = 1200・2. 顺流而下与逆流而上问题例：两个码头相距352千米，一艘客轮顺流而下行完全程需要11小时，逆流而上行完全程需要16小时.求此客轮的航速与这条 河的水流速度.m公约数、最大公约数、互质数、最简分数.正比例关系、- = k,反比例关系等ah = k. h解得v = 27, v 水=5・3. 列车过桥与通过隧道问题例：一列火车全长270米，每秒行驶18米，全车通过一条隧道需要50秒.求这条隧道的长. 分析：设隧道长为/,则270 + 2 = 18x50,所以/=630・ 四、分数与百分数应用问题**例：某工厂二月份产值比一月份的增加10%,三月份比二月份的减少10%,那么A.三月份与一月份产值相等.B. 一月份比三月份产值多丄.*99C. 一月份比三月份产值少丄.D. 一月份比三月份产值多丄.99 100分析：设一月份的产值为a,则三月份的产值为0.99— 所以一月份比三月份产值多 a -0.99a _ I 0.99a ~ 99 '五、简单方程应用问题1. 比和比例应用题例1・有东西两个粮库，如果从东库取出丄放入西库，东库存粮的吨数是西库存粮吨数的丄.已知东库原来存粮5000吨，求西5 2库原来的存粮数.分析：设西库原来的存粮数为兀，则所以无= 70()().例2•—件工程，甲独做30天可以完成，乙独做20天可以完成，甲先做了若干天后，由乙接着做，这样甲.乙二人合起来共做了22天•问甲.乙两人各做了多少天？分析：设甲、乙两人分别做了 X 天和y 天.根据题意得x + y = 22, < 1 1—x H ----- y bo 2(r解得 A* = 6,)•‘ = 16 ・2. 求单位量与求总量的问题例：搬运一堆渣土，原计划用8辆相同型号的卡车15天可以完成，实际搬运6天后，有两辆卡车被调走.求余下的渣土还需要 几天才能运完？分析：设要运完余下的渣土还需要兀天，则8xl5 = 8x6 + (8-2)x,所以x = 12・3. 和倍、差倍与和差问题分析：因为352 352=16,所以5000-50005例：把324分为A,B,C,D 四个数，如果A 数加上2, B 数减去2, C 数乘以2, D 数除以2之后得到的四个数相等，求这四个数各 是多少？ 分析：根据题意得4 + B + C + D = 324, A + 2 = B-2 = 2C = -D,2解得 人=70, B = 74, C = 36, D = 144. ［样题与真题］ 一、数的运算1. 设直线方程y = ax + b, ab^O,且兀的截距是y 的截距的(一2)倍，则Q 与+谁大？ (0⑷a⑻丄(C) 一样大 (D)无法确定2分析：因为一- = -2/?,所以a = ~.a21 2 22. 方程〒一+ ----------------- = 0的根的个数为(A)f _1 X +1 x-l (A )o⑻ 1(0 2 (D)3 I 22—3|22分析：因为 一+ ------------------,所以 一+-------------------------- =0的根的个数为0。