2016三江概率期末练习题

2016年全国各地高三年级期末考试数学精彩试题集锦（概率）戴又发最近各校高三年级期末考试陆续举行．这是高中阶段最后一次期末考试，相信考生、学校及命题人都会高度重视，试题的质量也相对较高．正是因为这次期末考试重要，不少学校采取多校联考，有些地区还组织了统一的质量检测．本人将陆续从众多试卷中，选择具有一定难度的经典试题或有新意精彩试题，做详细解析．希望能作为考生寒假休整期间参考材料．（题号为试卷中的题号）辽宁省沈阳市2016年高三期末检测19. (本小题满分12分)某中学根据2002—2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m、13、n，已知三个社团他都能进入的概率为1 24，至少进入一个社团的概率为34，且m n .(Ⅰ)求m与n的值；(Ⅱ)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.解析： （Ⅰ）依题，11324131(1)(1)(1)34mn m n ⎧=⎪⎪⎨⎪----=⎪⎩，解得1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （Ⅱ）由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X ，则X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6.而1231(0)2344P X ==⨯⨯=； 1231(1)2344P X ==⨯⨯=；1131(2)2348P X ==⨯⨯=； 1211135(3)23423424P X ==⨯⨯+⨯⨯=；1211(4)23412P X ==⨯⨯=； 1111(5)23424P X ==⨯⨯=；1111(6)23424P X ==⨯⨯=. 于是X 的分布列为：于是，111()012345644824122424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2312=．陕西省汉中市2016年高三期末教学质量检测（理科）19. （本小题满分12分）为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为23；现记“该选手在回答完n 个问题后的总得分为n S ”． （1）求620S =且()01,2,3i S i ≥=的概率；（2）记5X S =,求X 的分布列，并计算数学期望()E X .解析： (1)当620S =时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个．若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个．记回答每个问题正确的概率为p ，则23p =，同时回答每个问题错误的概率为13．故所求概率为2222224322121221163333333381P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2)由5X S =可知X 的取值为10，30，50可有()3223325521214010333381P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()4114415521213030333381P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()5550552111503381P X C C ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 故X 的分布列为：所以 ()81E X =．湖北省荆门中学2016年1月高三调研考试理科卷18.（本小题满分12分）某学校男子篮球运动队由12名队员组成，每个运动员身高均在180cm 到210cm 之间，测得身高后得到如下所示的频数分布表：（I ）试估计该运动队身高的平均值；（II ）从中选5人参加比赛，求身高在200cm 以上的人数X 的分布列和数学期望．解析：（Ⅰ）由分布表知，该运动队队员身高得平均值大约为1(182.52187.53192.53197.52202.51207.51)192.512⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）由题意，X 的所有取值为0,1,2，5105127(0)22C P X C ===，4110251235(1)66C C P X C ===，321025125(2)33C C P X C ===．所以X 的分布列为：所以73555()0122266336E X =⨯+⨯+⨯=．山东省青岛市2016高三期末考试理科卷17. （本小题满分12分）某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，.经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为89，第二道工序检查合格的概率为910，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器.（I ）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；（II ）若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为ξ，求ξ的分布列和每月的盈利期望.解析： (Ⅰ) 设恰有两台仪器完全合格的事件为A ,每台仪器经两道工序检验完全合格的概率为p ，894=9105p =⨯所以2222334448()(1)()(1)55125P A C p p C =-=-=(Ⅱ) 每月生产的仪器完全合格的台数可为3,2,1,0四种 所以赢利额ξ的数额可以为15,9,3,3-当15ξ=时,333464(15)()5125P C ξ===；当9ξ=时,2234148(9)()55125P C ξ===；当3ξ=时,1234112(3)()55125P C ξ===；当3ξ=-时,03311(3)()5125P C ξ=-==；每月的盈利期望6448121571593(3)10.141251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+-==． 所以每月的盈利期望值为10.14万元．广东省汕头市2016届高三教学质量统一检测19. （本小题满分12分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79. （Ⅰ）若袋中共有10个球．（i ）求白球的个数；（ii ）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,求随机变量ξ的数学期望E ξ.（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710.并指出袋中哪种颜色的球个数最少．解析：（Ⅰ）（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则2102107()19x C P A C -=-=，1742110865654320998854219998771918171615得到5x =．故白球有5个．（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是ξ123P112512512112所以 ξ的数学期望为155130123121212122E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得25y n =， 所以2y n <，21y n -≤，故112y n -≤． 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ， 则23()551y P B n =+⨯-231755210+⨯=≤．所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于5n ． 故袋中红球个数最少．江西省赣州市2016届高三上学期期末考试 18．（本小题满分12分）为了解某地脐橙种植情况，调研小组在该地某脐橙种植园中随机抽出30棵，每棵挂果情况编成如图所示的茎叶图（单位：个）：若挂果在175个以上（包括175）定义为“高产”，挂果在175个以下（不包括175）定义为“非高产”． （1）如果用分层抽样的方法从“高产”和“非高产”中抽取5棵，再从这5棵中选2棵，那么至少有一棵是“高产”的概率是多少?（2）用样本估计总体，若从该地所有脐橙果树（有较多果树）中选3棵，用ξ表示所选3棵中“高产”的个数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．解析：（1）根据茎叶图，有“高产”12棵，“非高产”18棵，用分层抽样的方法，每棵被抽中的概率是51306=． 所以选中的“高产”有11226⨯=棵，“非高产”有11836⨯=棵，用事件A 表示至少有一棵“高产”被选中，则232537()111010C P A C =-=-=．因此至少有一棵是“高产”的概率是710． （2）依题意，抽取30棵中12棵是“高产”， 所以抽取一棵是“高产”的频率为122305=． 频率当作概率，那么从所有脐橙果树中抽取一棵是“高产”的概率是25， 又因为所取总体数量较多，抽取3棵可看成进行3次独立重复试验，所以ξ服从二项分布2(3,)5B ．ξ的取值为0，1，2，3，033227(0)(1)5125P C ξ==-=，1232254(1)(1)55125P C ξ==-=， 2232236(2)()(1)55125P C ξ==-=，33328(3)()5125P C ξ===．所以ξ的分布列如下：所以2754368601231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或26355E ξ=⨯=）． 北京市西城区2016年1月高三期末考试(理科)卷解析：（Ⅰ）记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， 由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13.（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， 且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，所以X的分布列为：所以3131E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.()13151618158888（Ⅲ）x的可能取值为6,7,8.2016年1月31星期日未完待续。

概率期末考复习习题及答案work Information Technology Company.2020YEAR1.仓库中有10箱统一规格的产品，其中2箱有甲厂生产，3箱有乙厂生产，5箱由丙场生产。

三厂的合格率分别为0.85，0.8，0.9(1)求这批产品的合格率；（2）从这10箱中任取一箱，若此产品为合格品，问此件产品由甲厂生产的可能性是多少？2.解设A i ={由i厂生产的产品}，i=甲、乙、丙 B={生产的产品} P(A1)=0.2 , P(A2)=0.3 , P(A3)=0.5, P(B/A1)=0.85, P(B/A2)=0.8 , P(B/A3)=0.9(1)P(B)= P(A1）P(B/A1)+P(A2）P(B/A2)+P(A3）P(B/A3)=0.2*0.85+0.3*0.8+0.5*0.9=0.86(2)P(A1/B)=P(A1B)/ P(B)=P(A1)P(B/A1)/ P(B)=0.2*0.85/ 0.86=0.1982.人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素比如利率的变化。

现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。

根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率解：设A表示利率下调，表示利率不变，B表示股票价格上涨P(A)=60%，P()=40% P(B/A)=80% ，P(B/)=40% 于是P(B)=P(A)P(B/A)+ P()P(B/)=60%x80%+40%x40%=64%3.假设某地区成年男性的身高（单位：厘米）X N( 170.7.692 ),求该地区成年男性的身高超过175厘米的概率。

解：设X表示该地区男性的身高 X N( 170、7.692 )P(X>175)=P(X-170/ 7.69>175-170/ 7.69) =P(X-170>0.65) =1-P(X-170≤0.65） =1- (0.65) =1-0.7422=0.25784.一台自动包装机向袋中装糖果，标准是每袋64克，但因随机性误差，每袋具体重量有波动、据以往资料认为：每袋糖果的重量服从正态分布试问随机抽一袋糖果其重量超过65克的概率是多少？不到62克的概率是多少？解：设∴超过65克概率为25.14%，不足62克概率为9.18%。

概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。

则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分） 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2(()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。

概率论期末试题及答案在概率论的学习过程中，期末试题是评估学生对该学科知识理解和应用的重要方式。

本文将给出一份概率论的期末试题及答案，以供参考。

试题将按照适当的格式整理，确保排版整洁美观，语句通顺，全文表达流畅，同时符合阅读体验的要求。

试题一：概率基础1. 已知事件A发生的概率为0.4，事件B发生的概率为0.6，求事件A和事件B同时发生的概率。

2. 一桶中装有6个红色球和4个蓝色球，从中随机抽取2个球，求这2个球颜色相同的概率。

3. 掷一颗骰子，点数为1至6的概率各为1/6。

连续投掷两次，求两次投掷结果和为7的概率。

试题二：概率分布1. 某商品的销售量服从正态分布N(150, 25)，计算销售量在120至180之间的概率。

2. 某批产品的质量服从均匀分布U(60, 80)，求产品质量小于75的概率。

3. 甲、乙两个小组分别进行同一项任务，甲组平均完成时间为4小时，标准差为0.5小时；乙组平均完成时间为3.8小时，标准差为0.3小时。

求完成时间小于4.2小时的概率。

试题三：条件概率1. 假设事件A和事件B是相互独立的，已知P(A)=0.3，P(B)=0.4，求P(A|B)和P(B|A)。

2. 某城市的天气预报根据历史数据和气象模型给出，根据预报可以推测出降雨的概率。

已知天气预报准确率为80%，预报为有降雨的概率为30%，求实际发生降雨的概率。

3. 从一批产品中随机抽取一件进行检验，已知该批产品中次品率为5%，已检一件产品为次品，求该件产品来自次品批次的概率。

试题四：随机变量1. 设随机变量X服从指数分布Exp(λ)，已知λ=0.1，求P(X≥2)。

2. 设随机变量X服从均匀分布U(20, 40)，求X的期望值E(X)和方差Var(X)。

3. 设随机变量X服从正态分布N(60, 16)，求P(X>70)和P(50≤X≤80)。

试题五：大数定律和中心极限定理1. 设随机变量X服从参数为p的二项分布B(n,p)，当n=200，p=0.4时，根据大数定律，计算X的期望值E(X)和方差Var(X)。

概率期末试题及答案一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 设A、B、C为三个事件，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(C)=0.5，P(A∩B)=0.2，P(B∩C)=0.3，P(A∩C)=0.1，P(A∩B∩C)=0.08，则P(A∪B∪C)等于：a) 0.3b) 0.4c) 0.5d) 0.58【答案】d) 0.582. 掷骰子，事件A为出现奇数点数，事件B为出现小于等于3的点数，事件C为出现6的点数。

若P(A)=2/3，P(B)=1/2，P(B∩C)=1/6，则P(A'∪B'∩C')等于：a) 1/4b) 2/3c) 5/6d) 3/8【答案】b) 2/33. 设事件A与事件B独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(A∩B)等于：a) 0.12b) 0.2c) 0.3d) 0.7【答案】b) 0.24. 甲、乙交替投掷一枚硬币，甲先投掷，连续投掷两次出现正面的概率为：a) 1/4b) 1/2c) 3/4d) 1/8【答案】d) 1/85. 一批产品共有100个，其中10个有缺陷。

从中随机抽取4个，不放回，抽到2个有缺陷的概率为：a) 0.009b) 0.018c) 0.090【答案】b) 0.0186. 一袋中有5个红球，3个蓝球，2个绿球。

从中任取3个球，其中至少有一个红球的概率为：a) 13/14b) 10/14c) 6/14d) 5/14【答案】a) 13/147. 甲、乙、丙三人轮流掷硬币，直到有两个人出现正面为止。

如果甲先掷，丙第二掷，则甲胜的概率为：a) 4/9b) 5/9c) 1/3d) 2/3【答案】a) 4/98. 一次选择题考试，每道题有4个选项，若考生瞎猜答题，且每题只答一次，则至少答对一半问题的概率为：a) 3/16c) 11/16d) 13/16【答案】d) 13/169. 一批产品中有10%的次品。

从中连续抽取10个，完好品占多于8个的概率为：a) 0.135b) 0.650c) 0.900d) 0.945【答案】d) 0.94510. 某镇犯罪率为0.1%，警察部门外聘一位顾问，他说某人是罪犯的概率为99%。

概率论及数理统计期末试卷习题及标准答案.doc概率论与数理统计期末试卷及答案一、填空题：1、一袋中有50 个球，其中20 个红球， 30 个白球，现两人从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到白球的概率为3/5。

2、设 P(A)=1/2, P(B|A)=1/3, P(A|B)=1/2，那么P( A U B )2/3。

3、若随机变量X 的概率密度为 f ( x ) Ax 2 , 1 x 1, 那么A=3/2。

4、若二维随机变量（X,Y ）在以原点为圆心的单位圆内的概率密度函数是1/，其它区域都是 0，那么P( X2Y 21 )1/2。

25、掷 n 枚骰子，记所得点数之和为X，则 EX = 。

6、若 X， Y， Z 两两不相关，且DX=DY=DZ=2，则 D(X+Y+Z) = 6 。

7、若随机变量X1 , X 2 ,L , X n相互独立且同分布于标准正态分布N(0,1) ，那么它们的平方和 X 12 X 22 L X n2 服从的分布是2 ( n) 。

8、设n A是 n 次相互独立的试验中事件A 发生的次数，p是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对任意的n Ap | } =0 。

0 ,lim {|n n9 、设总体X : N ( , 2 )，其中 2 已知，样本为X 1 , X 2 ,L , X n，设 H 0 :0 ，H 1 :X 0z 。

0 ，则拒绝域为n10、设总体 X 服从区间 [1, a] 上的均匀分布，其中 a 是未知参数。

若有一个来自这个总体的样本 2, , , , , 那么参数 a 的极大似然估计值$2.7 。

a = max{ x1 , x2 ,L , x n }二、选择题1、设10 张奖券只有一张中奖，现有10 个人排队依次抽奖，则下列结论正确的是（ A ）（A）每个人中奖的概率相同；（ B）第一个人比第十个人中奖的概率大；（C）第一个人没有中奖，而第二个人中奖的概率是1/9 ；（D）每个人是否中奖是相互独立的2、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且X : N (1, 2 ) ，Y : N ( 2 ,2)，则X Y 服从的分布是（ B ）（A）N ( 1 2 , 2 ) ；（B）N ( 1 2 ,2 2 ) ；（C）N ( 1 2 , 2 ) ；（D）N ( 1 2 , 2 2 ) 3、设事件A、 B 互斥，且P ( A) 0 ， P( B ) 0 ，则下列式子成立的是（ D ）（ A）P( A | B )P( A) ；（B）P( B | A)0 ；（ C）P( A | B ) P( B) ；（ D）P( B | A) 0 ；4、设随机变量 X 与 Y 独立同分布， P(X= -1) = P(Y= -1) =1/2 ，P(X= 1) = P(Y= 1) =1/2 ，则下列成立的是（ A ）（ A）P( X Y ) 1 / 2 ；（ B）P( X Y ) 1 ；（ C）P( X Y 0) 1/ 4 ；（ D）P( XY 1) 1/ 4 ；5、有 10 张奖券，其中8 张 2 元， 2 张 5 元。

《概率论与数理统计》期末复习试卷4套+答案第⼀套⼀、判断题（2分?5）1、设A ，B 是两事件，则()A B B A -=U 。

（）2、若随机变量X 的取值个数为⽆限个，则X ⼀定是连续型随机变量。

（）3、 X 与Y 独⽴，则max{,}()()()X Y X Y F z F z F z =。

（）4、若X 与Y 不独⽴，则EY EX XY E ?≠)(。

（）5、若(,)X Y 服从⼆维正态分布，X 与Y 不相关与X 与Y 相互独⽴等价。

（）⼆、选择题（3分?5）1、对于任意两个事件A 和B （）.A 若AB φ=，则,A B ⼀定独⽴ .B 若AB φ≠，则,A B ⼀定独⽴ .C 若AB φ=，则,A B ⼀定不独⽴ .D 若AB φ≠，则,A B 有可能独⽴2、设,X Y 相互独⽴，且(1,2)X N -:，(1,3)Y N :，则2X Y +服从的分布为（）.A (1,8)N .B (1,14)N .C (1,22)N .D (1,40)N3、如果随机变量X 与Y 满⾜()()D X Y D X Y +=-，则下列说法正确的是（）.A X 与Y 相互独⽴ .B X 与Y 不相关.C ()0D Y = .D ()()0D X D Y =《概率与数理统计》⾼教第四版（浙江⼤学、盛骤）期末试卷复习题4、样本12,,,n X X X L 取⾃正态总体(0,1)N ，X ，S 分别为样本均值与样本标准差，则（）.A (0,1)X N : .B 221(1)ni i X n χ=-∑:.C(0,1)N : .D (1)X S t n -:5、在假设检验中，设0H 为原假设，犯第⼀类错误的情况为（）.A 0H 真，拒绝0H .B 0H 不真，接受0H .C 0H 真，接受0H .D 0H 不真，拒绝0H三、填空题（3分?5）1、设,A B 为两个随机事件，已知()13P A B =U ，()19P AB =，则()P B =2、若袋中有5只⽩球和6只⿊球，现从中任取三球，则它们为同⾊的概率是 3、设⼆维随机变量(,)X Y 的概率密度为：601(,)0x x y f x y ≤≤≤?=?，则(1)P X Y +≤=4、设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望()E X =5、在总体X 的数学期望µ的两个⽆偏估计123141214X X X ++和12312131X X X ++中，最有效的是精品⽂档四、计算题 1、（10分）甲箱中有a 个红球，b 个⿊球，⼄箱中有a 个⿊球，b 个红球，先从甲箱中随机地取出⼀球放⼊⼄箱。

概率论与数理统计期末练习题（2011.12） 姓名 参考答案 1．袋中有4个白球，6个黑球；从袋中任取3个球，并记=A {取到2个白球和1个黑球}，求概率)(A P ．题型：古典概率。

103)(3101624==C C C A P2．已知 3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，6.0)(=⋃B A P ，求条件概率)(B A P ． 题型：条件概率，加法公式；41)()()()()()()(=⋃-+==B P B A P B P A P B P AB P B A P3．设随机变量X 的概率分布为ka k X P 3}{==，a 为常数，3,2,1=k ，求a 的值．（因1333)(3231=++==∑=a a a k X P k ，得1327=a ）4．若事件A 和B 满足(|)(|)P A B P A B =，则A 和B 独立． 证： 因)(1)()()()()()()()(B P AB P A P B P B A P B A P B P AB P B A P --====化简得：)()()(B P A P AB P =， 故A 和B 独立.5．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误作B 的概率为04.0，而B 被误作A 的概率为03.0，信息A 与信息B 传递的频繁程度为1:2，求（1）接收站收到的信息是A 的概率；（2）若接收站收到的信息是A ，求原发信息是A 的概率．题型：全概率公式与贝叶斯公式 （1） 接收站收到的信息是A 的概率65.0201303.031)04.01(321==⋅+-=p（2） 若接收站收到的信息是A ，则原发信息是A 的概率9846.06564]03.031)04.01(32/[)04.01(322≈=⋅+--=p ．6．设随机变量X)4,5(~N ，已知1.0}{=>a XP ，841.0)0.1(=Φ，9.0)30.1(=Φ，求a 的值．题型：正态分布化为标准正态分布；若),(~2σμN X ，则)1,0(~N X Z σμ-=解：因1.0)25(1}{1}{=-Φ-=≤-=>a a X P a X P得6.7,3.125==-a a7．设随机变量X 服从)6,0(U 的均匀分布，Y 服从参数为3=λ的泊松分布，Z 服从)4,0(N 分布，且X ，Y ，Z 相互独立，求方差)2(Z Y XD +- ．题型：用重要分布的期望或方差，性质，求方差（或期望） 解：由题意 （方差的性质），)()()(4)2(Z D Y D X D Z Y X D ++=+-194312)06(42=++-⋅=（用到均匀分布的方差为12)(2a b -；泊松分布的方差为λ，正态分布的方差2σ）8．设随机变量X 服从9=λ指数分布，即其概率密度为⎩⎨⎧>=-其他,00,9)(9x e x f x ，Y 服从)8.0,100(B 的的二项分布，X 与Y 的相关系数为6.0=XYρ，求)152(+-Y XD .解：因),(22)(4)()2()152(Y X Cov Y D X D Y X D Y X D ⨯-+=-=+- （性质）95.6240538462)()(4)8.01(8.01004912≈=--⨯⨯⨯+=Y D X D XY ρ（用到指数分布的方差=21λ，二项分布的方差=)1(p np -；)()(,(Y D X D YX Cov XY =ρ）9．设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=else x x a x f ,020,sin )(π，求(1)常数a ；（2）X 的分布函数)(x F ；（3）概率}33{ππ≤<-X P ．题型：一维连续型随机变量的题型 解：（1）因⎰+∞∞-=1)(dx x f ，得⎰=-=20201)cos (sin ππx a xdx a ，1=a（2）X的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤==⎰∞-1,110,cos 10,0)()(x x x x dx x f x F x（3）概率21s i)(}33{3033===≤<-⎰⎰-πππππxddx x f X P思考：求期望)(X E ⎰+∞∞-=dxx xf )(，)(2XE ⎰+∞∞-=dxx f x )(2方差22)]([)()(X E XE X D -=10．随机变量X 的分布律为（1） 试确定常数a ； （2）X 的分布函数)(x F ； （3）求概率)221(≤<X P .解：（1）常数65.01.025.01=--=a（2）X的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=≤=2,121,35.010,25.00,0}{)(x x x x x X P x F （3）概率75.0}2{}1{)221(==+==≤<X P X P X P11.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它,010,),(2x y Cxyy x f（1）求常数C ；（2）求关于X 和关于Y 的边缘概率密度； 并问X 与Y 是否相互独立？（3）求概率}1{<+Y X P .解： (1) ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dy y x f dx;即⎰⎰=xdy Cxy dx 02101，得15=C（2）关于X 的边缘概率密度⎰∞∞-=dy y x f x f X ),()( =⎪⎩⎪⎨⎧<<⎰其它,010,1502x dy xy x=⎩⎨⎧<<其它,010,54x x 关于Y 的边缘概率密度:⎰∞∞-=dx y x f y f Y ),()(=⎪⎩⎪⎨⎧<<⎰其它,010,1512y dx xy y =⎪⎩⎪⎨⎧<<-其它,010,)1(21522y y y显然当10<<<x y 时)()(),(y f x f y x f Y X ≠; 所以X与Y 不相互独立. (3)}1{<+Y X P =⎰⎰<+1),(y x dxdyy x f =⎰⎰-=211264515y ydx xy dy（或=⎰⎰210215x dyxy dx+⎰⎰-12110215x dyxy dx）=64512.设随机变量),(Y X 的概率分布律为：求：（1）关于X和Y 的边缘分布律；（2）关于XYZ =的分布律；（3）)(X E ，)(X D ，协方差),(Y X Cov .解：（1）关于X 的边缘分布律:关于Y 的边缘分布律：（2）因),(Y X 的取值为)1,2(),1,2(),1,1(),1,1(),1,0(),1,0(--- 故Y X Z ⋅=的取值为: 0 0 -1 1 -22所以Y X Z⋅=的分布律为（3）8.02.024.014.00)(=⨯+⨯+⨯=X E2.12.024.014.00)(2222=⨯+⨯+⨯=XE故56.0)]([)()(22=-=X E XE X D2.03.014.001.0)1(2.02)(-=⨯+⨯+⨯-+⨯-=XY E2.04.016.01)(-=⨯+⨯-=Y E故04.0)()()(),(-=-=Y E X E XY E Y X Cov13．设随机变量10021,,,X X X 相互独立，且都服从相同的指数分布，概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(21x x e x f x，试用中心极限定理求概率)240(1001∑=<i iXP 的近似值. （结果用标准正态分布函数)(x Φ表示）题型：中心极限定理，近似公式：)()(}{1σμσμn n a n n b b X a P ni i -Φ--Φ≈<<∑=)(i X E =μ期望，)(i X D =σ为均方差解：由题意，21,21,1002=====λσλμn ， 由中心极限定理概率)2()21002100240()240(1001Φ=⨯⨯-Φ≈<∑=i iXP14. 设),,(321X X X是来自总体X 的样本，（1）证明：3211213161X XX ++=μ；3212525251X X X ++=μ；3213313131X XX ++=μ是总体均值μ的无偏估计量；（2）说明哪一个估计较有效？（需说明理由） 证（1）因)(1μE =++=)213161(321X XX Eμ==++)()(21)(31)(61321X E X E X E X E同理μμ=)(2E ，μμ=)(3E ，故321,,μμμ是总体均值μ的无偏估计量 解：（2）)(1μD =++=)213161(321X XX D )(187)(41)(91)(361321X D X D X D X D =++同理)(259)(254)(254)(251)(3212X D X X D X D D =++=μ)(31)(91)(91)(91)(3213X D X X D X D D =++=μ比较大小，得3μ较有效15.设总体X 具有概率密度⎩⎨⎧<<=-其它,010,);(1x x x f θθθ,其中0>θ是未知参数.又nXX X,,,21为来自该总体的一个样本，nx x x,,,21为样本值.试求未知参数θ的矩估 计量与最大似然估计量.题型：参数估计（点估计）解：（1）求矩估计 因11)()(10101+=+=⋅==⎰⎰-∞+∞-θθθθθθxdx xx dx x xf X E令X X E =)(，得XX -=∧1θ，故参数θ的矩估计量为XX -=∧1θ. （2）似然函数);();();();(),,(2111θθθθn i ni n x f x f x f x f x x L =∏==∏=-=ni i n x 11)(θθ （注：nni i x x x x 211=∏=，连乘）取对数∑=-+=ni in x n x x L 11ln )1(ln ),,(ln θθ（注：∑∏===+++==ni in n ni i x x x x x x x x 121211lnln ln ln )ln(ln）令lnln 1=-=∑=ni i x nd Ld θθ，得∑=-=ni i x n1ln θ故θ的最大似然估计量为∑=∧-=ni iXn1lnθ.（注：iX 为大写）16.设某种清漆的干燥时间服从正态分布),(~2σμN X，现随机地抽取9个样品，测得干燥时间的均值6=x （小时），样本均方差6.0=s ，2σ为未知，求μ的置信水平为95%的置信区间．(3060.2)8(025.0=t ,2622.2)9(025.0=t,精确到第二位小数).题型：关于总体均值的置信区间（2σ为未知）解：这里9,05.0==n α，故μ 的置信水平为95%的置信区间为：))1(,)1((2/2/ns n t x ns n t x -+--αα)36.0306.26,36.0306.26(⋅+⋅-= 即置信区间为)46.6,54.5(17．某产品的一项质量指标)05.0,(~2μN X ，现从一批产品中随机地抽取5件，测得样本方差0078.02=s，问根据这一数据能否推断该批产品的方差较以往的有显著的变化？(取显著性水平05.0=α)（即检验假设：20212202:,05.0:σσσσ≠==H H）（833.12)5(2025.0=χ，484.0)4(2975.0=χ，711.0)4(295.0=χ，831.0)5(2975.0=χ143.11)4(2025.0=χ） 解：由题意，需检验假设：2021222:,05.0:σσσσ≠==H H ； 5=n拒绝域为：)1()1()1(22/120222/202-<->--n sn ，sn ααχσχσ或；计算：143.11)4(48.1205.00078.04)1(22/2202=>=⨯=-αχσsn ，在拒绝域内，即可以认为方差是不正常。

概率期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和事件B是互斥事件，如果P(A) = 0.3，那么P(B|A)等于：A. 0B. 1C. 0.7D. 不能确定2. 如果随机变量X服从二项分布B(n, p)，那么E(X)等于：A. npB. nC. pD. 13. 抛一枚均匀硬币两次，出现正面向上的概率是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 14. 随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)为负，这表明：A. X和Y不相关B. X和Y负相关C. X和Y正相关D. 无法确定5. 一个随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，那么P(X ≤ μ)等于：A. 0.5C. 0.7D. 16. 一个事件的概率为0.05，这个事件是：A. 必然事件B. 不可能事件C. 随机事件D. 确定事件7. 一个骰子连续投掷两次，出现两次6点的概率是：A. 1/6B. 1/36C. 1/216D. 1/128. 随机变量X服从泊松分布，参数为λ，那么P(X=k)等于：A. λ^k * e^(-λ) / k!B. k * λ^(k-1) * e^(-λ)C. λ^k / (k! * e^(λ))D. e^(-λ) * λ^k9. 两个独立事件A和B同时发生的概率是：A. P(A) + P(B)B. P(A) * P(B)C. P(A) / P(B)D. 1 - P(A) * P(B)10. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，那么E(X)等于：A. (a + b) / 2B. aD. (b - a) / 2二、填空题（每空2分，共20分）11. 如果一个随机变量X服从指数分布，其概率密度函数为f(x) =________，其中λ > 0。

12. 两个事件A和B的互斥关系可以用概率公式表示为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，当A和B是__________时。

13. 假设随机变量X服从正态分布N(0, 1)，则P(-1.96 < X < 1.96) ≈ ________。

数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。

3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。

5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。

6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。

7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。

8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。

2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。

3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。

4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。