1-1样本空间、随机事件

随机试验、样本空间和随机事件的关系随机试验、样本空间和随机事件是概率论的三个重要概念。

在深入理解这些概念之前，我们首先需要了解一些基本概率知识。

概率的定义概率是某一事件发生的可能性大小。

一般地，概率的定义可以表示为：$$P(A) = \\frac{n(A)}{n}$$其中，A为某一个事件，n(A)为事件A出现的次数，n为总试验次数。

随机试验随机试验是指在相同条件下可以重复进行并能够产生不同结果的试验。

随机试验有以下特点：•必须能够重复进行；•每次实验前状态未知；•随机性和不确定性；•可能性和非可能性。

例如，掷硬币、抛骰子、抽奖等都是随机试验。

样本空间随机试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间。

用S表示样本空间，则样本空间中的每一个元素都代表了随机试验中的一个可能结果。

例如，抛掷一枚硬币的样本空间为 $S=\\{正, 反\\}$，掷一颗骰子的样本空间为 $S=\\{1,2,3,4,5,6\\}$。

随机事件随机事件是指样本空间S的一个子集，即由样本空间内的若干个元素构成的集合。

记A,B等为随机事件，则可以定义以下概念：•必然事件：包含样本空间所有元素的事件，记为S；•不可能事件：不包含任何样本空间元素的事件，记为$\\emptyset$；•事件的互斥：两个事件没有任何共同元素，即 $A\\cap B = \\emptyset$；•事件的独立：两个事件的结果互不影响，即 $P(A \\capB)=P(A)P(B)$。

例如，抛掷一枚硬币，正面朝上可以作为一个随机事件A，而反面朝上可以作为随机事件B。

随机事件的关系随机事件之间有其特定的关系，主要包括并、交、差、余四种关系。

并事件A和事件B发生至少一个的事件称为事件A和事件B的并，表示为 $A \\cup B$，也称为事件的合事件。

它的概率计算公式为：$$P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$$其中，$P(A \\cap B)$ 表示事件A和事件B同时发生的概率。

随机事件和样本空间知识点(一)随机事件和样本空间1. 随机事件的定义•随机事件是在某个随机试验中可能发生的一个结果或一组结果。

•随机事件通常用大写字母表示，如A、B、C等。

2. 样本空间的定义•样本空间是一个随机试验中所有可能结果的集合。

•样本空间通常用大写字母Ω表示。

3. 样本点和样本空间的关系•样本点是样本空间中的一个个体元素。

•样本点表示一个具体的试验结果。

•样本空间由所有可能的样本点构成。

4. 事件的分类•必然事件：必然事件是指在任何一次试验中一定发生的事件，它包含样本空间Ω中的所有样本点。

•不可能事件：不可能事件是指在任何一次试验中不可能发生的事件，它不包含样本空间Ω中的任何样本点。

•基本事件：基本事件是指样本空间Ω中的单个样本点。

•复合事件：复合事件是指样本空间Ω中的多个样本点组成的事件。

5. 事件的运算•事件的运算有三种基本操作：并、交和补。

•事件A和事件B的并集，记作A∪B，表示事件A和事件B中至少出现一个的情况。

•事件A和事件B的交集，记作A∩B，表示事件A和事件B同时出现的情况。

•事件A的补集，记作A’或¬A，表示事件A不出现的情况。

6. 事件的性质•事件的互斥性：如果事件A和事件B不可能同时发生，即A∩B=∅，则称事件A和事件B为互斥事件。

•事件的对立性：如果事件A和事件B互斥，并且样本空间Ω中除了事件A和事件B之外的所有事件的概率和为1，则称事件B为事件A的对立事件。

7. 条件概率与独立性•条件概率是指在另一个事件已经发生的前提下，某个事件发生的概率。

•条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

•事件A和事件B相互独立的充分必要条件是P(A|B) = P(A)，即事件B的发生不影响事件A的概率。

总结：•随机事件是在随机试验中可能发生的一个结果或一组结果。

•样本空间是随机试验中所有可能结果的集合。

•事件的运算有并、交和补三种基本操作。

•条件概率是在另一个事件已经发生的前提下，某个事件发生的概率。

§随机事件和样本空间目标要求1、理解并掌握随机试验，样本空间，随机事件、必然事件、不可能事件．2、理解并掌握事件的判断．3、理解并掌握样本空间及随机事件的结果．4、理解并掌握事件的关系及运算学科素养目标通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．重点难点重点：样本空间及随机事件的结果；难点：事件的关系及运算．教学过程根底知识点1随机试验对某随机现象进行的实验、观察,称为随机试验,简称__试验___2样本空间定义:①样本点:随机试验的每一个可能的结果②样本空间:所有样本点组成的集合记作:Ω3随机事件、必然事件、不可能事件1随机事件:样本空间的子集称为随机事件,也简称事件表示:一般用大写英文字母A,B,C表示2根本领件:当一个事件仅包含单一样本点时,称该事件为根本领件3必然事件:Ω全集是必然事件4不可能事件:空集是不可能事件【思考】判断一个事件A是必然事件、不可能事件还是随机事件的关键是什么提示:关键是看每次试验中事件A中某个样本点是否出现,假设试验中总有一个样本点发生,那么事件A为必然事件;假设试验中不包含任何样本点,那么事件A为不可能事件;假设试验中某个样本点可能发生也可能不发生,那么事件A为随机事件【课前根底演练】题1〔多项选择．．．．．．．．．．〕以下命题正确的选项是A随机试验的结果是不确定的B一次随机试验所有可能出现的结果只有一个C样本空间中的样本点是有限的D异性电荷相互吸引是必然事件【答案】选CD提示:A×随机试验的结果可能确定,也可能不确定B×一次随机试验所有可能出现的结果可能有多个C√只讨论样本点为有限的情况D√异性电荷相互吸引一定会发生，所以它是必然事件题2下面的事件:①掷一枚硬币,出现反面;②异性电荷相互吸引;③35>10必然事件是A②B③C①D②③【解析】选A①是随机事件;②是必然事件;③是不可能事件题3“抛掷一枚骰子,结果向上的点数为奇数〞记为事件A,“抛掷一枚骰子,结果向上的点数大于4〞B=________,AB=________【解析】记“抛掷一枚骰子,结果向上的点数为〞为,那么,那么答案:关键能力·合作学习类型一事件的判断数学抽象【题组训练】题4以下事件:①明天下雨;②3>2;③某国发射航天飞机成功;④;⑤某商船航行中遭遇海盗;⑥任给∈R,2=0其中随机事件的个数为【解析】选D①明天下雨这一事件可能发生也可能不发生,是随机事件;②3>2,是必然事件;③某国发射航天飞机成功可能发生也可能不发生,是随机事件;④是不可能事件;⑤这一事件可能发生也可能不发生,是随机事件;⑥任给∈R,2=0可能发生也可能不发生,是随机事件即①③⑤⑥是随机事件题5以下事件中,不可能事件为A三角形内角和为180°B三角形中大边对大角,大角对大边C锐角三角形中两个内角和小于90°D三角形中任意两边的和大于第三边【解析】选C假设两内角的和小于90°,那么第三个内角必大于90°,故不是锐角三角形,所以C为不可能事件,而A,B,D均为必然事件题6从6个篮球、2个排球中任选3个球,那么以下事件中,是必然事件的是个都是篮球B至少有1个是排球个都是排球D至少有1个是篮球【解析】选D从6个篮球、2个排球中任选3个球,A,B是随机事件,C是不可能事件,D是必然事件【解题策略】判断事件类型的方法1看条件:在事件阐述过程中,一定要看试验是在什么条件下,因为三种事件都是相对于一定条件而言的,随着条件的变化,试验的结果也可能会发生相应的改变2看结果:事件是按照事件发生与否标准分类的,结果一定发生的是必然事件;不一定发生的是随机事件;一定不发生的是不可能事件类型二样本空间及随机事件的结果数学抽象【典例】题7袋子中有5个大小和质地相同的小球,其中三个红球,标号为1,2,3,另外两个为黑球,标号为4,5,从中依次随机摸出两个球,写出试验的样本空间【解题策略】试验结果书写的考前须知1准确理解随机试验的条件、结果等有关定义,并能使用它们判断一些事件,指出试验结果,这是求概率的根底2在写试验结果时,一般采用列举法,必须要明确事件发生的条件,根据日常生活经验,按一定次序列举,才能保证所列结果不重不漏【跟踪训练】题8集合,从集合A中选取不相同的两个数,构成平面直角坐标系上的点,观察点的位置,那么事件“点落在轴上〞包含的样本点共有个个个个【解析】选C“点落在轴上〞这一事件记为M,那么,包含9个样本点类型三事件的关系及运算数学抽象、数学运算角度1 事件的关系【典例】题9在掷骰子的试验中,可以定义许多事件例如,事件{出现1点},事件{出现3点},事件{出现4点},{出现5点},事件{出现的点数大于3},事件{出现的点数小于5}与是什么关系【思路导引】判断事件发生时事件是否发生【解析】因为事件发生,那么事件必发生,所以,同理包含于【变式探究】题10 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件例如,事件{出现1点},事件{出现3点},事件{出现4点},{出现5点},事件{出现的点数大于3},事件{出现的点数小于5}写出事件的和事件及事件的交事件【解析】设G={出现的点数为奇数}={出现1点,出现3点,出现5点},所以{出现的点数大于3}={出现4点,出现5点,出现6点},{出现的点数小于5}={出现1点,出现2点,出现3点,出现4点},所以角度2 事件的运算【典例】题11盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有一个红球,两个白球},事件B={3个球中有两个红球,一个白球},事件C={3个球中至少有一个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}那么:1事件D与事件A,B是什么样的运算关系2事件C与事件A的交事件是什么事件【思路导引】列举出事件中可能的样本点,然后进行各事件的运算【解析】1对于事件D,可能的样本点为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B2对于事件C,可能的样本点为1个红球2个白球,2个红球1个白球或3个红球,故C∩A=A【解题策略】事件间运算的方法1利用事件间运算的定义列举出同一条件下的试验所有可能出现的样本点,分析并利用这些样本点进行事件间的运算2利用Venn图借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的样本点,把这些样本点在图中列出,进行运算【题组训练】题12打靶3次,事件表示“击中i发〞,其中i=0,1,2,3那么表示A全部击中B至少击中1发C至少击中2发D以上均不正确【解析】选B所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发题13抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2〞为事件A,“向上的点数是2或3〞为事件B,那么⊆B=BB表示向上的点数是1或2或3 表示向上的点数是1或2或3【解析】={1,2},B={2,3},A∩B={2},A∪B={1,2,3},AB表示向上的点数是1或2或3课堂检测·素养达标题14以下现象:①连续两次抛掷同一骰子,两次都出现2点;②走到十字路口,遇到红灯;③明天早晨有雨;④抛一石块,下落其中是随机现象的个数是【解析】选C由随机现象的概念可知①②③是随机现象,④是确定性现象题15为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组,小明要选报其中的2个,那么包含的样本点共有个个个个【解析】选C由题意可得,包含的样本点有“数学与计算机〞“数学与航空模型〞“计算机与航空模型〞,共3个题16一个家庭有两个小孩,把第一个孩子的性别写在前边,第二个孩子的性别写在后边,那么所有的样本点有A男,女,男,男,女,女B男,女,女,男C男,男,男,女,女,男,女,女D男,男,女,女【解析】选C由题知所有的样本点是男,男,男,女,女,男,女,女题17在10个学生中,男生有人现从10个学生中任选6人去参加某项活动,有以下事件:①至少有1个女生;②5个男生,1个女生;③3个男生,3个女生假设要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,那么为______【解析】由题意知,10个学生中,男生人数少于5,但不少于3,所以=3或=4答案:3或4题18袋中有8个大小和质地相同的小球,标号为1,2,3,4,5,6,7,8,从中随机摸出一个球,用集合表示以下事件:1A=“摸到球的号码小于5〞;2B=“摸到球的号码为奇数〞【解析】从中摸出一个球,样本空间:Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}1事件“摸到球的号码小于5〞表示为A={1,2,3,4}2事件“摸到球的号码为奇数〞表示为B={1,3,5,7}。

随机事件与样本空间“随机事件”和“概率”是概率论中最基本的两个概念，“独立性”和“条件概率”是概率论中特有的概念。

一、随机事件的关系与运算[1]样本空间：由一个特定的随机试验所有可能发生的基本结果构成的一个集合，成为该实验的“样本空间”，以大写字母Ω表示；试验的每一个可能发生的基本结果称为“样本点”，用小写字母ω表示。

由Ω的一个样本点组成的单点集合称为“基本事件”；Ω的一个子集称为一个“随机事件”。

样本空间Ω和空集∅为两个特殊的子集，分别称为“必然事件”和“不可能事件”。

[2]事件的关系运算：[3] 事件的运算法则：❶A ∅⊂⊂Ω❷A B A A B ⋃⊃⊃- A A B ⊃ ❸A A ⋃∅= A ⋂∅=∅ ❹A A ⋃=Ω A A ⋂=∅ ❺A A == -Ω=∅-∅=Ω❻A A A ⋃= A A A = ()A B A A B A -⋃=⋃≠ ❼如果A B ⊃,则A B A ⋃=,A B B ⋂= ❽满足交换律：A B B A ⋃=⋃,AB BA =❾满足结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C= ❶⓿满足分配率：()A B C AB AC ⋃=⋃ ()()()A BC A B B C ⋃=⋃⋃ ❶❶= =二、随机事件的概率：[1]古典概型：设随机事件的样本空间Ω包含有有限个样本点（此模型称为古典概型），则事件A 发生的概率为： #()#A P A E n==Ω有利于事件A 的样本点数m实验的样本空间所含的样本点数 [2]几何定义： 设Ω是n R （n=1、2、3）中任何一个可度量的区域，从Ω中随机的选择一点，即Ω中任何一点都有相同的机会被选到，则相应的随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A 是Ω中任何一个可度量的子集，则：()()()A P A μμ=Ω 此式定义的概率称为几何概率，符合上述假定模型的称为几何概型。

[3]统计定义：对一特定的实验，进行多次重复试验，实验的某一结果A ，即随机试验A ，在大量的重复试验中出现的频率的稳定值p 称为A 的概率。

§1.1随机事件与样本空间§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。

⼀、基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。

例如掷⼀枚硬币，我们关⼼的是出现正⾯还是出现反⾯这两个可能结果。

若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。

1、基本事件通常，据我们研究的⽬的，将随机试验的每⼀个可能的结果，称为基本事件。

因为随机事件的所有可能结果是明确的，从⽽所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反⾯”，“出现正⾯”是两个基本事件，⼜如在掷骰⼦试验中“出现⼀点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。

2、样本空间基本事件的全体，称为样本空间。

也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常⽤⼤写的希腊字母Ω表⽰，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常⽤ω表⽰，有时也⽤A,B,C 等表⽰。

在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第⼀步。

例1、⼀盒中有⼗个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取⼀球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,101ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英⽂字母使⽤状况时，通常选⽤这样的样本空间：Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是⽐较简单的样本空间。

例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果⼀定是⾮负整数⽽且很难制定⼀个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有⽆穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。

随机事件与样本空间的关系在概率论中，随机事件与样本空间是密不可分的概念。

理解二者之间的关系对于概率计算和推理至关重要。

本文将介绍随机事件和样本空间的定义、关系以及在概率计算中的应用。

一、随机事件的概念随机事件是指在一次特定的试验中可能发生或不发生的现象。

它是样本空间中的一个子集。

例如，掷一枚硬币，其试验结果可以是正面朝上（事件A）或反面朝上（事件B）。

在这个例子中，事件A和事件B分别是试验的两个随机事件。

二、样本空间的定义样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。

它包含了实验中的每一个可能结果。

以掷一枚硬币为例，样本空间为{正面，反面}。

样本空间可以有有限个元素，也可以是一个无穷集合。

三、随机事件与样本空间的关系随机事件是样本空间的子集。

它们之间的关系可以用包含关系来描述。

具体而言，一个事件A发生意味着试验的结果属于A所对应的样本点集合。

相反，如果试验结果属于事件A，那么事件A就发生了。

四、概率计算中的应用概率计算是研究随机事件发生可能性的重要方法。

随机事件和样本空间的关系在概率计算中起着关键作用。

1. 计算概率概率可以通过事件发生的样本点数量与样本空间中样本点总数的比值来计算。

例如，假设在掷一枚硬币的试验中，事件A表示正面朝上，那么事件A发生的概率为P(A) = |A| / |样本空间|，其中|A|表示事件A中的样本点数量，|样本空间|表示样本空间中的样本点数量。

2. 事件间的运算根据随机事件和样本空间的关系，可以进行并、交、差等运算。

例如，事件A和事件B的并集为A∪B，表示A和B中至少有一个发生的样本点的集合。

交集为A∩B，表示A和B同时发生的样本点的集合。

差集为A-B，表示A发生而B不发生的样本点的集合。

3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率计算中，样本空间会根据已知事件的发生而被限制在一个子集中，从而影响概率的计算。

例如，已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率可以表示为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。