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初二数学 第四章第1－4 线段的比与黄金分割 北师大版【本讲教育信息】一．教学内容：线段的比与黄金分割（4.1—4.4）二．教学目标：1．了解线段的比、比例线段，理解并掌握比例线段的基本性质及简单应用． 2．了解黄金分割，体会其中的文化价值．3．认识形状相同的图形，了解相似多边形的含义．探索相似多边形的本质特征．4．发展从数学角度提出问题，分析问题和解决问题的能力，培养数学应用意识，体会数学与自然、数学与社会的密切联系．三．知识要点分析： 1．线段的比（1）如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ：CD=m ：n ，或写成AB CD =mn ．其中，线段AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项．（2）在四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =cd ，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的性质①基本性质：如果a b =cd，那么ad =bc ．如果ad =bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么a b =cd．②合比性质：如果a b =c d ，那么a ±b b =c ±dd．③等比性质：如果a b =c d =…=mn （b ＋d ＋…＋n ≠0），那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n =a b ．2．黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB =BCAC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 3．相似多边形（1）所谓形状相同的图形，实际上就是形状相同、大小可以不同的图形．所谓形状相同，应和位置无关，和摆放角度无关，和摆放方向也无关．（2）各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比．【典型例题】知识点1：线段的比 例1．已知线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2cm ，b =4cm ，c =5cm ，则d =（ ）A ．1cmB ．10cmC ．52cmD ．85cm题意分析：成比例的四条线段a ：b =c ：d ，其中d 是第四比例项．思路分析：把a =2cm ，b =4cm ，c =5cm 代入a ：b =c ：d ，便可求出d ． 解：因为a ：b =c ：d ，a =2cm 、b =4cm 、c =5cm ， 所以2：4=5：d ，即2d =20，解得d =10． 选B解题后的思考：关于线段的比要注意两点：一是所给线段的长度单位要统一；二是四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序列出．例2．已知3a ＋5b b =73，求ab的值．题意分析：本题可以看作是比例式的问题，也可以看作是分数或分式的问题． 思路分析：把3a ＋5b b =73进行变形，变得的等式中含有a b ，或用a 表示b ，再代入ab 求值．解：解法一：因为3a ＋5b b =73，所以3（3a ＋5b ）=7b ，所以9a =－8b ，所以a b =－89．解法二：因为3a ＋5b b =73，所以3a ＋5b 5b =715，所以3a ＋5b －5b 5b =7－1515，所以3a 5b =－815，所以a b =－815×53=－89．解法三：因为3a ＋5b b =73，所以3a b ＋5=73，所以3a b =73－5=－83，所以a b =－83×13=－89．解法四：设ab =k ，则a =bk ，因为3a ＋5b b =73，所以3bk ＋5b b =73，所以3k ＋5=73，所以k =－89，所以a b =－89．解题后的思考：本例从不同角度出发进行解答．解法一运用的是比例的基本性质；解法二主要是运用比例的合比性质；解法三是根据分式的特点，进行“拆分”；解法四是运用方程的思想解决问题．另外，需要注意比例式作为等式，可以运用等式的性质，比例式中的两个比作为分数或分式，可以运用分数或分式的基本性质．例3．如图所示，已知在△ABC 中，AB=12cm ，AE=6cm ，EC=4cm ，且AD BD =AEEC．（1）求AD 的长．（2）说明：BD AB =ECAC成立．BCD E题意分析：在△ABC 中，除已知条件外还可以看出AD ＋BD=AB ，AE ＋EC=AC ． 思路分析：图形中的计算题常用设未知数解方程的方法进行计算，若设AD=x ，则已知的比例式即是关于x 的方程，从而可以求出AD 的长，把线段的长代入BD AB 和EC AC ，来判断BDAB=EC AC 是否成立．对于BD AB =ECAC，也可以用比例的性质验证． 解：（1）设AD=x cm ，则BD=12－x ．因为AD BD =AE EC ，所以x 12－x =64，所以4x =6×（12－x ），所以x =365，即AD=365cm ．（2）因为AD BD =AEEC ，所以AD ＋BD BD =AE ＋EC EC ．所以AB BD =AC EC ，即BD AB =EC AC．解题后的思考：已知比例线段，求其中某条线段的长，通常转化成方程问题来解决． 小结：比例的基本性质有三个，但在实际运用时却是灵活多样的，注意结合分式的性质选择合适的解法．知识点2：黄金分割例4．人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近0.618越给人以美感，遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美．某女士身高1.68m ，下半身长1.02m ，她应选择多高的高跟鞋使其看起来更漂亮？题意分析：穿上高跟鞋增加下半身的长度，使下半身与身高的比接近0.618． 思路分析：把她应选择的高跟鞋的高度设为x m ，下半身长变为1.02＋x ，身高变为1.68＋x ，二者之比约为0.618，依此可以求出x ．解：设她应选择的高跟鞋的高为x ，由题意，得1.02＋x1.68＋x ≈0.618，所以1.02＋x ≈0.618（1.68＋x ），解得x ≈0.048， 0.048m =4.8cm ．她应选择大约4.8cm 高的高跟鞋使其看起来更漂亮．解题后的思考：本题是黄金分割的实际应用问题，解题关键是找出比值0.618所对应的比例的前项和后项．例5．如图所示，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=55－5，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，试说明点D 是线段AC 的黄金分割点．BCD12题意分析：已知AB 、AC 、BC 三条线段的长度，根据其他已知条件，图中各角的度数都能求出来，问题就是判断CD AD =AD AC 是否成立？或AD AC =5－12是否成立？思路分析：本题应判断AD AC =5－12是否成立，因为AC 已知，只要求出AD 就可以了，步骤较少．解：因为AB=AC ，所以∠ABC=∠C ． 又因为∠ABC ＋∠C ＋∠A=180°，∠A=36°， 所以∠ABC=∠C=72°．因为∠1=∠2=12∠ABC ，所以∠1=∠2=36°．所以∠1=∠A ，所以AD=BD ． 因为∠2＋∠C ＋∠BDC=180°， 所以36°＋72°＋∠BDC=180°，所以∠BDC=72°， 所以∠BDC=∠C ，所以BD=BC ，所以BC=BD=AD ． 因为BC=55－5，所以AD=55－5．又因为AC=10，所以AD AC =5（5－1）10=5－12，所以点D 是线段AC 的黄金分割点．解题后的思考：只要确定出AD AC =5－12，即可说明点D 是AC 的黄金分割点，为此，需要求出AD 的长度．本例分析中的第一种方法学习了相似三角形之后比第二种方法更简单．小结：黄金分割是比例线段的特例，在实际生活中应用广泛．知识点3：相似多边形例6．①两个正方体；②两个半径不等的圆；③同一张底片冲洗出来的2寸照片和5寸照片；④圆柱与圆锥；⑤长与宽相同，但高不同的两个长方体；⑥横坐标相同，纵坐标成三倍关系的两个几何图形．形状相同的图形有哪些？请指出来．题意分析：所谓的形状相同是指形状一样，大小可以不同，不考虑其他的因素． 思路分析：通过想像或画草图进行判断． 解：形状相同的图形有①②③解题后的思考：所有的正方形、圆、等边三角形是形状相同的图形，其他的图形则形状不一定相同．例7．如图所示，矩形ABCD 的长、宽分别为10，8，矩形A’B’C’D’的长、宽分别为5、4，这两个矩形相似吗？为什么？两个矩形满足什么条件一定相似？A B C DA'B'C'D'题意分析：相似矩形是指两个矩形的对应角都相等，对应边成比例． 思路分析：任何一个矩形的四个角都是90°，所以两个矩形的对应角可以做到相等．再判断各边是否对应成比例就可以了．解：因为AD A ’D’=BC B ’C’=105=21，AB A ’B’=DC D ’C’=84=21，所以AD A ’D’=BC B ’C’=AB A ’B’=DC D ’C’．因为矩形四个角都是直角，所以∠A=∠B=∠C=∠D=∠A ’=∠B’=∠C’=∠D’=90°， 所以矩形ABCD ∽矩形A’B’C’D’．由上述说明过程知，两个矩形只要满足长与宽成比例就相似．解题后的思考：判断多边形相似容易失误，同学们一定要严格按定义来判断，不可投机取巧．如用一根宽为1cm 的木条钉成一个矩形镜框，外边缘长为10、宽为8，那么这个镜框的内外边缘两个矩形是否相似？例8．如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥BC ，EF 将梯形ABCD 分成两个相似梯形AEFD 和EBCF ，若AD=3，BC=4，求AE ：EB 的值．A BCD E F题意分析：所求的AE ：EB 是两个相似梯形AEFD 和EBCF 的相似比．思路分析：与已知条件有关的相似比还有AD ：EF 、EF ：BC ，设法求出它们的比值本题便可解决，这个问题的关键是求出EF 的长．解：因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ，所以AD EF =EFBC ，所以EF 2=AD·BC ．因为AD=3，BC=4，所以EF 2=3×4=12，所以EF=23． 因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ，所以AE ：EB=AD ：EF=3：23=3：2．解题后的思考：利用相似多边形的对应边成比例，可以求出EF 的长，进而求得相似比AE ：EB=AD ：EF ．小结：对相似多边形的理解一定要注意只有各角对应相等，各边对应成比例的多边形才是相似多边形，特别是各边对应成比例解题时一定要全部验证．总结：本讲要求了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．认识图形的相似、探索相似图形的性质等．各类考试中经常考查比例线段和黄金分割．【预习导学案】（相似三角形（4.5—4.6））一．预习前知1．什么是形状相同的图形，什么是相似多边形？2．判定两个三角形全等的条件有：__________；__________；__________；__________；__________．二．预习导学1．__________的三角形叫做相似三角形，两个相似三角形的相似比是1，这两个三角形的关系是__________． 2．如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成__________，并且__________相等，那么这两个三角形相似．简单地说：__________的两个三角形相似；三条边对应__________的两个三角形相似；两个角对应__________的两个三角形相似． 3．两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形呢？ 反思：（1）你知道相似三角形与全等三角形的区别与联系吗？（2）如何判定两个三角形相似？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一．选择题1．如下图所示，有两个形状相同的星星图案，则x 的值为（ ） A ．15 B ．12 C ．10 D ．822．下列图形中不是形状相同的图形的是（ ） A ．用一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片B ．用放大镜将一个细小物体的图案放大，原图形与放大后的图形C ．某人的侧身照与正面照D ．一棵树与它倒映在水中的像 3．下列图形相似的是（ ） A ．所有的三角形 B ．所有的矩形 C ．所有的菱形 D ．所有的正方形 4．下列说法中正确的是（ ） A ．两条线段的比总是整数 B ．两条线段的比总是正数 C ．两条线段的比可能是0 D ．两条线段的比与所采用的长度单位有关 5．点P 是线段MN 的黄金分割点，且MP ＞NP ，则NP=（ ）MP ．A ．5－12B ．5＋12C ．3－52D ．5－32*6．若x －2y 3y －x =23，则y x 的值为（ ）A ．512B ．125C ．712D ．－1257．在比例尺为1：8000的某地图上，如果矩形运动场的图上尺寸是1cm ×2cm ，那么矩形运动场的实际尺寸应为（ ）A ．80m ×160mB ．8m ×16mC ．800m ×160mD ．80m ×800m**8．若a b =c d =e f =12，则f 9d 6b 3e3c 2a +-+-的值为（ ）A ．12B ．13C ．15D ．16二．填空题1．如图所示，下列各组图形中，是相似图形的是__________．(1)(2)(3)(4)2．正方形的边长与对角线的比值为__________．3．如果一个三角形三边的比为3：4：5，那么这个三角形一定是__________三角形． 4．C 是线段AB 上一点，AB=2AC ，则BC ：AB=__________．5．已知一个多边形的最长边为27，最短边为9，另一个和它相似的多边形的最长边为9，则这个多边形的最短边为__________．6．已知1，2，2三个数，请你再添一个数，可写出一个比例式：__________．*7．x 2=y 3=z4，则x ＋y －z x ＋y ＋z =__________．*8．如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割．已知AB=10cm ，则AC 的长约为__________cm ．（结果精确到0.1cm ）三．解答题1．如图所示的三角形各顶点的纵坐标保持不变，横坐标均乘以－1，则所得三角形与原三角形形状相同吗？若让纵坐标不变，横坐标均增加2，则所得三角形与原三角形形状相同吗？2．如图所示，图①是一条鱼，它是由12个全等的等腰直角三角形拼成的；图②是正方形；图③是等腰直角三角形．请同学们认真观察图形再回答： （1）图①中与图②中形状相同的图形有多少个？ （2）图①中与图③中形状相同的图形有多少个？①②③*3．线段AB 是连接A 、B 两城市的高速公路，全长120km ，在A 、B 上建有两个收费站C 、D ．已知AC ：CB=1：5，AD ：BD=11：1，一辆汽车从C 到D 行驶了34h ，求这辆车的速度．**4．已知：a ，b ，c 为三角形三边长，（a －c ）：（c ＋b ）：（c －b ）=2：7：（－1），三角形周长为24．求三边长各为多少．【试题答案】一．选择题1．D 2．C 3．D 4．B5．A 【由题意得MP MN =NP MP =5－12，所以NP=5－12MP ．】6．A 【因为x －2y 3y －x =23，所以3（x －2y ）=2（3y －x ），即5x =12y ，所以y x =512】7．A 【比例尺是指图上距离和实际距离之比】8．D 【由a b =c d =e f =12可得a 3b =－2c －6d =3e 9f =16】二．填空题 1．（2）（4） 2．1： 23．直角【可设三边长分别为3k 、4k 、5k ，有（3k ）2＋（4k ）2=（5k ）2】 4．1：25．3【设这个多边形的最短边为x ，由题意得279=9x ，∴27x =81，∴x =3，∴最短边为3】6．1：2=2：2 27．19【设x 2=y 3=z4=k ，则x =2k 、y =3k 、z =4k ，x ＋y －z x ＋y ＋z =2k ＋3k －4k 2k ＋3k ＋4k =19】 8．6.2【因为点C 是线段AB 的黄金分割点，所以ACAB≈0.618，所以AC≈6.2】三．解答题1．纵坐标不变，横坐标均乘以－1，所得三角形与原三角形形状相同；纵坐标不变，横坐标均增加2，所得三角形与原三角形形状相同． 2．（1）图①中与图②中形状相同的图形有6个．（2）图①中与图③中形状相同的图形有17个．3．因为AB=120km ，由AC CB =15可得AC AB =16，AC=20km ；由AD BD =111可得BD AB =112，BD=10km ．所以CD=AB －AC －BD=90km ，所以这辆车的速度为90÷34=120（km /h ）．4．由（a －c ）：（c ＋b ）：（c －b ）=2：7：（－1），设a －c =2k ，c ＋b =7k ，c －b =－k ．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝2kc ＋b ＝7kc －b ＝－k a ＋b ＋c ＝24．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10b ＝8c ＝6 ．。
北师大版8年级下册第1章第3节线段的垂直平分线（1）教案一、教学目标：1.能够运用公理和所学过的定理证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.2.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线.3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．二、教学过程：<一>创设情境，引入新课师：（课件演示）如图，A、B表示两个仓库，要在一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？生：作线段AB的垂直平分线，码头应建在线段AB的垂直平分线与河岸边的交点上.师：语言非常准确.这节课我们就来研究线段的垂直平分线.（板书课题——线段的垂直平分线)师：刚才这位同学说码头应建在线段AB的垂直平分线与河岸边的交点上,谁能说出这样做的道理吗？生：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.师：非常好，这是我们七年级时学过的一句话。
还记得当时我们是怎样得到的吗？生：不记得了.师：那我来帮大家回忆一下。
（教师通过演示折纸过程，验证线段垂直平分线的性质）师：七年级时我们用折纸的方法得到了“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”.同学们知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理、推论证明它．这节课我们一起用所学的公理、定理来证明线段的垂直平分线的性质定理.教师板书：定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．<二>、自主探究，感受新知1.线段垂直平分线性质定理的证明师：现在就请同学们自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程.（学生画图，写出已知、求证. 证明方法和过程对于学生来说不是很困难的,可以找程度比较差的同学回答）生：口答已知、求证、证明.师：课件演示.已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足是C ，且AC ＝BC ，P 是MN 上的点．求证：PA ＝PB ．N A PB CM证明：∵MN ⊥AB ， ∴∠PCA ＝∠PCB ＝90°.∵AC ＝BC ，PC ＝PC ， ∴△PCA ≌PCB(SAS)．∴PA ＝PB (全等三角形的对应边相等)．师：若直线MN 上还有一点Q ，根据线段垂直平分线性质定理，能得出什么结论？生：QA ＝QB.（教师在图形中找出几个不同位置的点P ，学生分别说出结论，就是为了让学生熟悉图形，能熟练应用垂直平分线性质定理找出相等的线段）师：从图形中，你还能找出哪些相等的线段、相等的角呢？生：∠ A ＝∠B ，∠CPA ＝∠CPB .（挖掘基本图形中其它的等量关系，使学生认识到学习知识不要局限于定理，为以后应用线段垂直平分线的性质定理进行证明、计算打下基础.）2.线段垂直平分线判定定理的证明师：你能写出上面这个定理的逆命题吗?生: 思考.师：这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，可以先将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．谁来分析一下原命题的条件和结论?生：原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”． 师：有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．生：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．师：谁能把它描述得更简捷?生：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．师：当我们写出逆命题时，就应想到判断它的真假.如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明，这个命题是真还是假呢？生：真命题.师：要证明这一定理，先要写出已知、求证。
