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4.1(随机变量的数学期望)

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4.1 数学期望

4.1 数学期望

设球的直径X～ 例4.1.2 设球的直径 ～U(a, b), 求球的体积 的数学期望E(X). 的数学期望 体积V=(π/6)X3,可得 解 体积 可得
−2 1 3 2 y 3, fV( y)= b−a 9π 0,

π a3≤ y≤π b3;
6 6 . 其它
则 E(V)= ∫ yf ( y)dy= π (a+b)(a2+b2). 24 −∞ V
i =1
n−1
i −1 n−1
(1− p)
n−1−( i −1)
p
i −1
= np[ p + (1− p)]
n−1

= np.
可利用二项分布的可加性证明，见例 可利用二项分布的可加性证明，见例4.1.12
电子科技大学
数学期望
3. X~N(µ , σ 2 ) , 则 E(X) = µ ;
1 +∞ − E( X ) = ∫−∞ xf ( x)dx = ∫−∞ xe σ 2π x−µ t2 +∞ 1 − t= (µ + σt )e 2 dt σ ∫−∞
数学期望
§4.1 数学期望 一. 随机变量的数学期望 引 例 定义4.1.1 设X 是离散型随机变量,其分布律为 定义 是离散型随机变量,
P{X = xi } = pi , i = 1,2,3....
若 ∑ xi pi < + ∞ 则称
i =1 +∞
+∞
E( X ) = ∑ xi pi 为X的数学期望 均值). (
解 E( XY) = ∑∑xi y j P{X = xi ,Y = y j }
i j
= ∑∑xi y j pi . p. j = ∑ xi pi . ∑ y j p. j

4.1 数学期望的定义

4.1 数学期望的定义
0.3
解：设X:A击中环数；Y:B击中环数，则
A射击平均击中环数为
E ( X ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3
B射击平均击中环数为
E (Y ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1
所以A的射击技术较B的好.
例 2： 某工人工作水平为： 全天不出废品的日子 占 30%，出一个废品的日子占 40%，出二个废品 占 20%，出三个废品占 10%。 ① 设 X 为一天中的废品数，求 X 的分布律； ② 这个工人平均每天出几个废品？ X 0 1 2 解： ① 分布律为：
(k 1)!
二、连续型随机变量的数学期望
定义:设连续型随机变量X的密度函数为f(x),若

则称


xf ( x)dx绝对收敛



xf ( x)dx
为连续型随机变量X的数学期望,记为E(X). 即
E( X )



xf ( x)dx
即连续型随机变量X的数学期望是它的概率密度 f ( x) 与实数 x 的乘积在区间 (,)上的积分.
设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y) (g是连续函数). 这里，二维随机变量的情形只讨论离散型.
设二维随机向量(X,Y)的分布律为
P{X xi , Y y j } pij
则 E(Z ) E[ g ( X , Y )]
i, j 1,2,...
g ( x , y
i j i
即，平均分不是这6个不同成绩的简单平均，而是 这6个不同的分数60、75、85、90、95、100与它 们出现的概率2/10、2/10、3/10、1/10、1/10、1/10 的乘积之和. 这样，我们就引出了随机变量的数学期望的概念.

第四章 随机变量的数学期望

第四章 随机变量的数学期望

1 dxdy y xe 2 x
x
x2 y2 2
dxdy
dy


e
x2 2
dx
ye
y2 2
1 dy 2



e
y2 2
y
xe
x2 2
dx

1

4.1.4
数学期望的性质
（1） EC＝C，(C为常数) （2） E(CX)＝CEX ，(C为常数) （3） E(X+Y)＝EX＋EY E(aX+b)＝aEX＋b， E(
2 2
2 2
2


0
(x ) e


( x )2 2 2
dx
( x )2 2 2
2 x 2 e 0 2 2 2
2 2

(x ) d 2 2
2
3 2 1 ( ) 2 2 2
4.2.3

EZ Eg ( X , Y ) g ( xi , y j ) pij
j 1 i 1
（2）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有
EZ



g ( x , y ) f ( x , y ) dx dy
例1：设 X～B（n，p），求EX(X－1)。 解：因X～B（n，p），则X的分布律为
1 x2 y2 f ( x, y ) exp{ } 2 2 1 x2 y2 E[max{ X , Y }] max{ X , Y }exp{ 2 }dxdy 2
1 2
1 2
x y
解：由题设，(X，Y)的联合密度为
ye

概率论与数理统计4.1离散型随机变量的数学期望

概率论与数理统计4.1离散型随机变量的数学期望
P(X=12)=0.6 , P(X=-5)=0.4 商场外搞促销活动的平均经济效益为
12×0.6-5×0.4=5.2万元 平均效益的计算方法就是离散型随机变量数学期望的计算方法.
河北农业大学理学院
一维离散型随机变量数学期望的概念
定义 设离散型随机变量X的概率分布为P(X=xk)=pk,k=1,2,...,
④若(X,Y)是二维随机向量,且X与Y独立,则E(XY)=EXEY 证明：
E(X Y)
(xi y j ) pij
X0
1
2
3
P 0.750 0.204 0.041 0.005
则有:
E( X ) 0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.005 0.301.
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一维离散型随机变量数学期望例题小结
经计算可得： (1) 若X服从参数为p的0-1分布,则EX=p; (2) 若X~B(n,p),则EX=np; (3) 若X服从参数为λ的泊松分布,则EX= λ.
若Y=g(X),且E(g(X))存在,则：E(g( X )) g(xn ) pn
n
同理
若g(X,Y)为随机变量X,Y的函数,E[g(X,Y)]存在,则
E[g(X ,Y)]
g(xi , y j ) pij
ij
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例题分析
例1 设随机变量X 的分布律为
X
-1
0
1
2
P
0.1
0.3
0.4 0.2
k
注意 数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均.
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一维离散型随机变量数学期望例题分析
例1 泊松分布 设 X ~ P(), 且分布律为

4.1-数学期望

4.1-数学期望

若x , y独立，则 E（XY）=EXEY
例 6 对N个人进行验血，有两种方案： （1）对每人的血液逐个化验，共需N次化验； （2）将采集的每个人的血分成两份，然后取其中 的一份，按k个人一组混合后进行化验（设N是k的 倍数），若呈阴性反应，则认为k个人的血都是阴 性反应，这时k个人的血只要化验一次；如果混合 血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份血液逐一 进行化验，这时k个人的血要化验k+1次；
EX = ∑k ⋅ C p q
k =0 n k n k
n −k
n! = ∑k ⋅ pk qn−k k!(n − k)! k =0
,nk = 0,1,L, n 。
(n −1)! = np pk −1qn−1−(k −1) (k −1)!(n −1 − (k −1))! k =1
∑
方法2： 方法 ： Xi 服从（0-1）分布， P{Xi = 0} = q, P{Xi = 1 = p, i = 1,2,L, n } 且 X1,L, Xn 独立，令 X = X1 +L+ Xn ，则 X 的可能 取值为 0,1,…n， k P{X = k} = Cn pk qn−k , k = 0,L, n n
3y, z = g(x) = 3x − (2000 ≤ y ≤ 4000
下面求 EZ，并求使 EZ 达到最大的 y 值， y ∞ 4000 3x − ( y − x) 3y EZ = g(x) f (x)dx = dx + dx 2000 2000
2000 y 1 =− [ y 2 − 7000 y + 4*10 6 ] 1000 1 =− [( y − 3500 ) 2 − 3500 2 − 4*10 4 ] 1000 1 =− ( y − 3500 ) 2 + 8250 1000 −∞

01-4.1数学期望

01-4.1数学期望

第四章 随机变量的数字特征4.1 数学期望一、知识点1、一维离散型随机变量的数学期望：P {X =x k }=p k ，k =1,2,⋯，若级数∑x k p k n k=1绝对收敛，则数学期望E (X )=∑x k p k n k=1.2、一维连续型随机变量的数学期望：随机变量X 的概率密度为f(x)，若积分∫xf(x)+∞−∞dx 绝对收敛，则数学期望E (X )=∫xf(x)+∞−∞dx . 3、一维随机变量函数的数学期望：不用计算Y 的分布律或概率密度，只要利用X 的分布律或概率密度即可计算E (Y ).设Y 是随机变量X 的函数，Y =g (X ),且g(X)是连续函数.（1）X 为离散型随机变量：P {X =x k }=p k ，k =1,2,⋯，若级数∑g(x k )p k n k=1绝对收敛，则数学期望E (Y )=∑g(x k )p k n k=1.（2）X 为连续型随机变量：概率密度函数为f(x)，若积分∫g(x)f(x)+∞−∞dx 绝对收敛，则数学期望E (Y )=∫g(x)f(x)+∞−∞dx . 4、数学期望的性质：（1）E (C )=C (C 为任意常数)；（2）E (CX )=CE(X)(C 为任意常数)；（3）E (X ±Y )=E (X )±E(Y)；（4）若X 与Y 相互独立，则有E (XY )=E (X )E(Y).(充分非必要).5、二维随机变量的数学期望：随机变量X ，Y 的函数Z =g(x,y),且 g(x,y)是连续函数.（1）Z 为离散型随机变量：E (Z )=E (g(XY))=∑∑g(x i ,y j )p ij ∞i=1∞j=1； （2）Z 为连续型随机变量：E (Z )=E (g(XY))=∫∫g(x,y)f(x,y)+∞−∞dxdy +∞−∞. 特别类型：若Z =f (x,y )=X ，则 E (Z )=∫∫xf(x,y)+∞−∞dxdy +∞−∞（法一）； 利用边缘分布⇒ E (Z )=E (X )=∫xf X (x)+∞−∞dx （法二）. 二、重点:1、求离散型和连续型随机变量的数学期望；2、求随机变量函数的数学期望；3、利用性质求数学期望；4、数学期望的应用.三、难点：数学期望的求法和数学期望的应用.。

4.1随机变量的期望

E ( X 1 ) 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8(分） E ( X 2 ) 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5(分）
例2 设X ~ ( ), 求E ( X ).
解 X的分布率为 P{ X k }
X的数学期望为 E( X ) k
E ( X ) = np
i 1 i
可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X 的数学期望是 n p.
例9 把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数字k恰 好出现在第 k 个位置上，则称为一个巧合，求巧合 个数的数学期望. 解: 设巧合个数为X, 引入
1, 数字k恰好出现在第k个位置上 k=1,2, …,n Xk 否则 0， n 则 X Xk
1 3 6 6
1 2 6 6
1 3 P{ X 70} P ( AB ) P ( A) P ( B ) 6 6 其中A为事件"第一班车8 : 10到站" , B为事件"第二班车
9 : 30到站".候车时间X的数学期望为
3 2 1 3 2 E ( X ) 10 30 50 70 90 27.22分 6 6 36 36 36
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .
在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
一、离散型随机变量的数学期望
1.概念的引 入 例如：某7人的高数成绩为90，85，85，
80，80，75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60 7 1 2 2 1 1 79.3 90 85 80 75 60 7 7 7 7 7

概率统计课件4.1


求X的数学期望. 解 由已知可得
E( X )



xf ( x)dx
1500

1500
0
3000 x 3000 - x x dx x dx 2 2 1500 1500 1500
3000
x3 3 15002
0
1500 x 2 x 3 / 3 15002
1500
500 2000 1000 1500
解 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为
第4章
§4.1 数学期望
第10页
例6 设随机变量X 服从柯西分布,其密度函数为
1 f ( x) , - x 2 (1 x )
试证X的数学期望不存在． 证 因为
第4章
§4.1 数学期望
击中环数 X甲 概 率 击中环数 X 乙 概 率 8 0.3 8 0.2 9 0.1 9 0.5 10 0.6 10 0.3
第3页
分析：若甲射击N次,设击中8环,9环和10环的次数分别为 N1、 N2和N3 次,则甲在N次射击中,平均每次击中的环数为
N3 N1 N2 8 N1 9 N 2 10 N3 8 f1 9 f2 10 f3 8 9 10 N N N N

设连续随机变量X的密度函数为
X 的数学期望，记为 E ( X )
xf ( x)dx绝对收敛，则称该积分为
xf ( x)dx
第4章
§4.1 数学期望
X P －1 0.4 3 0.6
第5页
例1 设随机变量X的分布列为
求 E( X )
解 易知 E ( X ) 1 0.4 3 0.6 1.4 若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为 0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一 次扣1分，则 E(X) = 1.4 是指甲队平均每次可得分．

4-1(数学期望)

但
E ( XY ) 0;
1 P{ X 1, Y 1} 8
3 P{ X 1}P{Y 1} 8
2
反例 2 ( X , Y ) ~ U ( D), D {( x, y ) x y 1} 1 , x 2 y 2 1, f ( x, y ) 0, 其它
数学期望的性质
E ( XY ) ( xy) f ( x, y )dxdy
1 1 1 0 x xdx0 y (1 3 y 2 )dy 2 2 2

4 5 5 3 8 6
E ( X ) E (Y )
数学期望的性质
注意：X ,Y 相互独立
y2 ye 2 dy
D1 D2

X 0 1 2 3 例2.设随机变量X分布律为 P 0.3 0.3 0.2 0.2
求X的数学期望.
解：由定义，E X = 0 0.3 +1 0.3 + 2 0.2 + 3 0.2.
例3 X ~ P(), 求 E ( X ) . 解 E( X )
k 0
x k pk k
E (Y )


g( x ) f ( x )dx
3、 设(X ,Y )为二维离散型随机变量，分布律为
P{ X x i , Y y j } pij , i , j 1,2,
Z = g(X ,Y ), 若级数
g( xi , y j ) pij
i 1 j 1
解. EX =
+ -
xf x dx =
+

+
-
令
x-
= 2

ch4_example

3 2
2
故 D(2 X 3 5) 4[ E ( X 6 ) ( E ( X 3 ))2 ]
2954 . 9
说明: 1.仅知 r.v.的期望与方差并不能确 定其分布 -1 0 1 X 例如 P
与
0.1
0.8
0.1
E ( X ) 0, D( X ) 0.2
Y
-2
0
2
有相同的 期望方差 但是分布 却不相同
kx k 1 p k 1 x1 p 1 1 p 2 (1 x) x1 p p

常见r.v.的数学期望 分布
参数为p 的 0-1分布 B(n,p) P()
概率分布
P( X 1) p P( X 0) 1 p
P( X k ) C p (1 p)
dxdy


1 r e 0 2
rdr d
2
例5 求二项分布的数学期望 若 X~B(n, p)， 则 X 表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. 现在我们来求 X 的数学期望 . 解 若设
1 如第i次试验成功 Xi 0 如第i次试验失败
i=1,2, „, n
1 1 1 5 15 E (Y ) 2 0 dx 0 y (1 3 y )dy 8 32 E ( X ) 2 2 2
§4.2 方
例1 设X ~ P (), 求D ( X ).
k
差
k 1
e 解 E( X ) k e k! k 1 ( k 1)! k 0
2)
N(,
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2

注意 不是所有的 r.v.都有数学期望
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因而E(X)不存在．
4.1.1
数学期望的概念
【例 4.5】某种化合物的 pH 值 X 是一个随机变量， 它的概率密度是
25( x 3.8 )， 3.8 x 4， f ( x ) 25( x 4.2)， 4 x 4.2， 0， 其 它.
求pH值X的数学期望E(X). 解：

一个样品的价值（以元计）为Y = 5–0.5X，求E(Y). 解： E (Y ) E (5 0.5 X ) (5 0.5 x ) f ( x )dx
3 ( 5 0.5 x )( x 2 x )dx 0 2
1 b a , a x b f ( x) 0, 其它
x b2 a 2 a b E ( X ) xf ( x )dx dx a ba 2(b a ) 2

b
补充知识: Γ -函数
定义Leabharlann ( ) t 1 e t dt 0
若积分 xf ( x ) dx 不收敛,则称X的数学期望不存在.

4.1.1
数学期望的概念
著名的柯西分布是数学期望不存在的经典例子： 设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为
1 f ( x) (1 x 2 )
由于积分



| x | dx xdx 发散， xf ( x ) dx 2 2 2 (1 x ) 0 (1 x )
1 E( X ) xf ( x)dx 2
标准正 态概率 密度性 质


2
t
x
xe
( x )2 2 2

dx

1 2


( t )e


t 2
dt

奇函数在对称区间 上的积分为零
t2 2
1 2
e
t2 2
X pi 10000 1/105 5000 2/105 1000 10/105 100 100/105 10 0 1000/105 p0
其中 p0 = 1 – (1/105 + 2/105 + 10/105 + 100/105 + 1000/105)
0.98887
4.1.1
数学期望的概念
每张彩票平均能得到的奖金为:
4.1 随机变量的数学期望
4.1.1 数学期望的概念
1. 离散型随机变量的数学期望 【引例】某年级有 100名学生，17岁的有20人，18 岁的有 30 人， 19 岁的有 50 人，则该年级学生的平 均年龄为
17 20 18 30 19 50 20 30 50 17 18 19 18.3 100 100 100 100
1 2 E ( X ) 10000 5 5000 5 0 p0 0.5( 元) 10 10
每张彩票平均可赚：2 – 0.5 – 0.3 = 1.2(元)， 彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为: 100000 1.2 = 120000(元)．
4.1.1
数学期望的概念



0

xde x /
0
xe
x /
e
0

x /
dx e
x / 0

三、正态分布 设X服从参数为 μ ,σ 2的正态分布 N(μ ,σ 2), 则 其概率密度为 ( x )2 1 2 2 f ( x) e ( x ) 2 换元 其中 R, 0. 数学期望为：

k 1 k 1


E (Y ) E[ g ( X )] g ( x ) f ( x )dx


可见，求Ｅ[g(X)]时，不必知道Y = g(X)的概率分布， 只需知道X的概率分布就可以了．
2013数学一
设随机变量 X服从标准正态分布 N (0,1),则E( Xe2 X )
k 1 k 1 ( n 1) ( k 1) np Cn p (1 p ) 1 k 1
k k ( n1 ) k np Cn p ( 1 p ) 1 k 0 n1
k 0
n
k 0
n
np( p 1 p)n1 np
4.1.1
数学期望的概念
【例4.4】设随机变量X服从参数为（ > 0）的泊 松分布，求它的数学期望．
事实上,平均年龄是以频率为权重的加权平均值．
4.1.1
数学期望的概念
【例4.1】（掷骰子游戏）规定掷出1点得1分；掷 出2点或3点得2分；掷出4点、或5点、或6点得4分, 共掷n次.投掷一次所得的分数X是一个随机变量.
则X的分布律为
X pi 1 1/6 2 2/6 4 3/6
试问：预期平均投掷一次能得多少分？
随机变量X的 以概率为权重 的加权平均值
解：若在n次投掷中，得1分的共n1次，得2分的 共n2次，得4分的共n3次,则平均投掷一次得分为：
3 3 ni 1 2 3 17 n1 x1 n2 x 2 n3 x 3 x x p 2 4 i i i 1 n i 1 6 6 6 6 i 1 n
E ( X ) xf ( x )dx

4

x 25( x 3.8)dx
3.8
4.2
4
x (25)( x 4.2)dx
4
4.1.1
数学期望的概念
几个常用连续型随机变量的数学期望都是存在 的，下面来计算它们的数学期望．
【例4.6】设随机变量X服从(a，b)上的均匀分布， 求E(X)． 解：由于均匀分布的概率密度为
解：由于 P{ X k } 因而

k
k!
e ，k = 0，1，2，…，

E ( X ) kP{ X k } k
k 0
k
k!
e
k 0

k 1

k
(k 1)!

e
e
k 1
k 1
( k 1)!
e e
(1)
n 1

n 1
1 1 1 1 1 1 1 n 2 3 4 5 6
A (1)
上式两端同乘以1/2
1 1 1 1 2 4 6 8
将（1）+（2）
1 1 1 1 1 1 3 2 5 7 4
A 2
(2)
3A 2
4.1.1
2e
2
4.1.2
随机变量函数的数学期望
【例4.8】设随机变量X的分布律为
X pi –1 0.1 0 0.2 1 0.4 2 0.3
求E(2X – 1)，E(X 2)． 解：
E(2X – 1) = [2(–1) –1] 0.1 + [2 0 – 1] 0.2
+ [21 – 1] 0.4 + [2 2 – 1] 0.3
1 dt 2

te
dt
4.1.2
随机变量函数的数学期望
在实际中,我们常需求随机变量函数的数学期望.
如果我们知道X的概率分布，如何计算X的某个函 数Y=g(X)的数学期望？
当然,可以通过X的概率分布求出Y=g(X)的概率分布, 然后再用数学期望的定义计算E(Y)即Ｅ[g(X)]. 是否可以不通过求Y=g(X)的概率分布，而根据X的 概率分布直接求得Y=g(X)的数学期望呢？ 答案是肯定的，我们不加证明地给出以下定理：
若级数 E ( X ) xi pi 发散，则称随机变量X的数学期 i 1 望不存在．
4.1.1
数学期望的概念
说明：
(1) 随机变量 X 的数学期望 E(X) 是一个常量， 它是从概率的角度来计算随机变量X所有可能取值 的平均值，具有重要的统计意义．
（2）绝对收敛是为了保证级数改变项的 位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相 同的和.
由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.
随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写
本 章 内 容
r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数
4.1.1
数学期望的概念
对于一般的离散型随机变量，有如下定义： 定义4.1 设离散型随机变量X的分布律为 P{X = xi} = pi，i = 1，2，…． 若级数
x p
i i 1

i
绝对收敛，则其称为随机变量X的

数学期望或均值．
记为E(X)或EX，即

E ( X ) xi pi
i 1
4.1.1
数学期望的概念
【例4.7】设随机变量X服从参数为（ > 0）的指 数分布，求E(X)．
解：由于指数分布的概率密度为
1 x / , x0 e f ( x) 0, 其它
因而 E ( X ) xf ( x )dx x 1 e x / dx 0
( 0)
( 0);
1 (n 1) n!; (2) (1) 1; ( ) 2 重要积分

性质
( 1) ( )
1 1 e t dt 2 2 0
t 2 t 2
( 1);
1 1 e dt . 2 2 2 0