决战2020年中考数学压轴题综合提升训练《二次函数》(含解析)

2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》1．已知抛物线的顶点A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x轴分别交于C，D两点．（1）求直线OB和该抛物线的解析式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，AE∥x轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G，当点P运动时，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx，∵B（﹣2，3），∴﹣2k＝3，∴k＝﹣，∴直线OB的解析式为y＝﹣x，∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，解得：a＝﹣1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．（2）设M（t，﹣t2﹣2t+3），MN＝s，则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为﹣（t﹣s），∵，∴x1＝﹣2，x2＝，∵点M是直线OB的上方抛物线上的点，∴﹣2＜t＜，∵MN∥x轴，∴﹣t2﹣2t+3＝﹣（t﹣s），∴s＝﹣t+2＝﹣，∵﹣2＜t＜，∴当t＝﹣时，MN的最大值为；（3）解：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，∴tan∠PCD+tan∠PDC＝，＝，＝，＝1﹣t+t+3，＝4．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作PM⊥x轴交BC于M．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCM是直角三角形时，求P点坐标；（3）如图2，作P点关于直线BC的对称点P′，作直线P′M与抛物线交于EF，设抛物线对称轴与x轴交点为Q，当直线P′M经过点Q时，请你直接写出EF的长．解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，∴B（4，0），C（0，2），∴把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣+2；（2）∵PM⊥x轴交BC于M．BC不平行x轴，∴∠PMC≠90°，当∠CPM＝90°时，PC∥x轴，则P点的纵坐标为2，∵y＝﹣+2的对称轴为x＝1，∴P点的横坐标为：2，此时P（2，2）；当∠PCM＝90°时，设P（m，），则M（m，﹣m+2），由PC2+CM2＝PM2得，＝，解得，m＝0（与C的横坐标相同，舍去），或m＝﹣6，此时P（﹣6，﹣10）；综上，P点的坐标为（2，2）或（﹣6，﹣10）；（3）作Q点关于直线BC的对称点K，QK与BC相交于点N，再过K作KL⊥x轴于点L，如图所示，则根据题意可知，KL与BC的交点为M，P点在KM上，P'在QM上，∵y＝﹣+2，∴抛物线的对称轴为x＝1，∴Q（1，0），∴BQ＝4﹣1＝3，∵∠QBN＝∠CBO，∠QNB＝∠COB＝90°，∴△BQN∽△BCO，∴，即，∴QN＝，∴QK＝2QN＝，∠BQN＝∠KQL，∠BNQ＝∠KLQ＝90°，∴△BQN∽△KQL，∴，即，∴QL＝，∴OL＝1+，∴M（，），设QM的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线QM的解析式为：y＝，联立方程组，解得，，或，∴E（，），F（，），∴EF＝．3．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且直线BC的解析式为y＝x﹣2，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）若△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PM⊥BC交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似，求P点的坐标．解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣2，∴C（0，﹣2），B（4，0），将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得，解得，，∴y＝x﹣2；（2）∵∴，＝，，若以C为顶点，则CE2＝CF2，∴，解得：m1＝2，m2＝4（舍去），若以E为顶点，则EC2＝EF2，∴＝，解得：m3＝4﹣，m4＝4+（舍去），综合以上得m＝2或m＝4﹣．（3）①∵AC＝，BC＝2，∴AC2+BC2＝25＝AB2，∴当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（﹣1，0），②如图，当△BPM∽△ABC时，过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR于点R，∵∠PMB＝∠PHM＝∠BRM＝90°，∴∠BMR＝∠MPH，∴△PHM∽△MRB，∴又∵AB∥HR，∴∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，令BR＝a，MR＝2a，又∵∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，∴，∴PH＝4a，HM＝2a，PQ＝3a，∴HR＝4a，∴P（4﹣4a，3a），又∵点P在抛物线上，将P（4﹣4a，3a）代入y＝x﹣2得：（4﹣4a）﹣2＝3a，∴a（8a﹣13）＝0，a 1＝0（舍），a2＝．∴．∴符合条件的点P为P1（﹣1，0）或．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值：（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得：，∴b＝2，c＝3；（2）∵抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），①如图1，过点C作CM⊥PH于点M，则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵CM∥OB，∴∠MCH＝∠OBC＝45°，∴∠PCH＝90°，∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），即x＝（﹣x2+3x），解得：x1＝0（舍去），x2＝1，∴P（1，4）；②如图2，当PC＝PH时，∵PH∥OC，∴∠PHC＝∠OCB＝45°，∴∠CPH＝90°，∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+2x+3＝3，解得：x＝2或x＝0（舍去），∴P（2，3）；③当CH＝PH时，如图3，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝＝3．∵HF∥OC，∴，∴，解得：x＝3﹣，∴P（3﹣，4﹣2）．综合以上可得，点P的坐标为（1，4）或（2，3）或（3﹣，4﹣2）．（3）∵函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴点E （1，4）；设点M 、N 的坐标为（x 1，y 1），（x 2，y 2），∴MN 2＝（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2，ME 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2，NE 2＝（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）2，∵ME 2+NE 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2+（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）2＝x 12+x 22﹣2（x 1+x 2）+2+y 12+y 22﹣8（y 1+y 2）+32＝x 12+x 22﹣2x 1x 2+2﹣4+y 12+y 22﹣2y 1•y 2+18﹣48+32 ═（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2， ∴MN 2＝ME 2+NE 2， ∴∠MEN ＝90°， 故EM ⊥EN ，即：△EMN 恒为直角三角形．5．如图1所示，已知直线y ＝kx +m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 分别交于x 轴和y 轴上同一点，交点分别是点B （6，0）和点C （0，6），且抛物线的对称轴为直线x ＝4； （1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在请直接写出P 点坐标，不存在请说明理由；（3）如图2，点Q 是线段BC 上一点，且CQ ＝，点M 是y 轴上一个动点，求△AQM的最小周长．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x＝4，∴点A的坐标为（2，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），∴，解得a＝，b＝﹣4，c＝6．∴抛物线的解析式为：y＝；（2）设P（4，y），∵B（6，0），C（0，6），∴BC2＝62+62＝72，PB2＝22+y2，PC2＝42+（y﹣6）2，当∠PBC＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴72+22+y2＝42+（y﹣6）2，解得：y＝﹣2，∴P（4，﹣2）；当∠PCB＝90°时，PC2+BC2＝PB2，∴42+（y﹣6）2+72＝22+y2，解得：y＝10，∴P（4，10）；当∠BPC＝90°时，PC2+PB2＝BC2．∴42+（y﹣6）2+22+y2＝72，解得：y＝3．∴P（4，3+）或P（4，3﹣）．综合以上可得点P的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或P（4，3﹣）．（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，∵B（6，0），C（0，6），∴OB＝6，OC＝6，∴∠OCB＝45°，∴∠CQH＝∠HCQ＝45°，∵CQ＝，∴CH＝QH＝，∴OH＝6﹣，∴点Q的坐标为（，），在x轴上取点G（﹣2，0），连接QG交y轴于点M，则此时△AQM的周长最小，∴AQ＝＝，QG＝＝，∴AQ+QG＝，∴△AQM的最小周长为4．6．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P沿线段AD从A到D，同时动点Q沿线段CA从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动过程中能否存在PQ⊥AC？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y＝﹣x+3，令x＝0，得y＝3，所以点A（0，3）；令y＝0，得x＝4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c，∴，解得：，故该二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣3．（2）∵OA＝3，OB＝4，∴AC＝5．①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠AOC＝90°，∠PAQ＝∠ACO，∴△APQ∽△CAO，∴，即，解得：t＝．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ +S△APQ＝S△ACD，且S△ACD＝×8×3＝12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO可得：，解得：h＝（5﹣t），∴S△APQ＝t×（5﹣t）＝（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△APQ 达到最大值，此时S四边形PDCQ＝12﹣＝，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点x轴上的A（﹣1，0）和B点，交y轴于点C，点P是该抛物线上第一象限内的一动点，且CO＝3AO．（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3 ；（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）若sin∠BCP＝，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点Q，使∠QBC＝∠PBC？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，又∵CO＝3AO，∴OC＝3，∴C（0，3），把A，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3．（2）由﹣x2+2x+3＝0，得B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），C（0，3）代入得，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），∴PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝．∴当时，PD有最大值．（3）存在．∵，点P在第一象限，∴∠BCP＝45°，∵B（3，0），C（0，3），∴OC＝OB，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BCP＝∠OCB＝45°，∴CP∥OB，∴P（2，3），设BQ与y轴交于点G，在△CPB和△CGB中：2，∴△CPB≌△CGB（ASA），∴CG＝CP＝2，∴OG＝1，∴点G（0，1），设直线BQ：y＝kx+1，将点B（3，0）代入y＝kx+1，∴，∴直线BQ：，联立直线BQ和二次函数解析式，解得：或（舍去），∴Q（，）．8．如图，以D为顶点的抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于点A，B（6，0），交y轴于点C（0，6）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将B（6，0），C（0，6）代入y＝ax2+2x+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴点A的坐标为（﹣2，0）．∵点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（6，6）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+PA的最小值＝PO′+PA＝AO′═＝10．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣2，0），Q′（6，6）代入y＝kx+m，得：，解得：，∴直线AO′的解析式为y＝x+．联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，得：，解得：，∴点P的坐标为（，）．（3）∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴点D的坐标为（2，8）．又∵点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（6，0），∴CD＝2，BC═＝6，BD═＝4，∴CD2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°．∵点A的坐标（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），∴OA＝2，OC＝6，∴＝＝2，．又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，∴△AOC∽△DCB，∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图2，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽DCB，∴，即，∴AQ＝20，∴点Q的坐标为（18，0）．综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD 相似．9．如图，抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k为常数且a＞0）经过点C（﹣1，0），顶点为M，经过点P（0，a+4）的直线m与x轴平行，且m与L交于点A，B（B在A的右侧），与L的对称轴交于点F，直线n：y＝ax+c经过点C．（1）用a表示k及点M的坐标；（2）BP﹣AP的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）当直线n经过点B时，求a的值及点A，B的坐标；（4）当a＝1时，设△ABC的外心为点N，则：①求点N的坐标；②若点Q在L的对称轴上，其纵坐标为b，且满足∠AQB＜∠ACB，直接写出b的取值范围．解：（1）把点C（﹣1，0）代入L，得0＝a×（1﹣）2﹣2a×（﹣1）+a+k，∴k＝﹣4a．又L：y＝ax2﹣2ax+a+k＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点M（1，﹣4a）．（2）是定值．根据图象，由抛物线的轴对称性，可知BF＝AF，又QL的对称轴为x＝1，故PF＝1，∴由图象可得，BP﹣AP＝（BF+PF）﹣（AF﹣PF），＝BF+PF﹣AF+PF＝2PF＝2．（3）当直线n经过点B时，有ax+a＝a（x﹣1）2﹣4a，化简得，ax2﹣3ax﹣4a＝0，∵a＞0，∴x2﹣3x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∵B在A的右侧，对称轴为x＝1，∴B（4，a+4），A（﹣2，a+4），把点B代入直线n，得a+4＝4a+a，解得a＝1，∴A（﹣2，5），B（4，5）．（4）①根据抛物线的轴对称性可知，L的对称轴x＝1就是AB的垂直平分线，故△ABC的外心N就在直线x＝1上，则有AN＝CN．∴设N（1，c），由（3）可知A（﹣2，5），及C（﹣1，0），∴（﹣2﹣1）2+（5﹣c）2＝（﹣1﹣1）2+（0﹣c）2，即32+（5﹣c）2＝22+c2，解得c＝3．∴N（1，3）．②或b．如图，对于点Q（1，b），若∠AQB＝∠ACB，根据同弧所对的圆周角相等，可得点Q为x＝1与⊙N的交点，由（4）①得，⊙N的半径为r＝NC＝（﹣1﹣1）2+（0﹣3）2＝，则b＝﹣（r﹣c）＝﹣（﹣3）＝3﹣；设点Q关于直线AB的对称点为Q'（1，d），若∠AQ'B＝∠ACB，则d＝FQ'+5＝FQ+5＝（5+|3﹣|）+5＝+7．综上，若点Q满足∠AQB＜∠ACB，则有b或b．10．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a ＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．解：（1）将点B、A的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣．设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；（2）∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，∴E（m，），C（m，﹣m+4）．∴EC＝＝．∵点C是DE的中点，∴．解得：m＝2，m＝4（舍去）．∴ED＝OB＝4，∴四边形ODEB为矩形．（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y轴上取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．∵OD′＝2，OM′•OB＝1×4＝4，∴OD′2＝OM′•OB，∴，∵∠BOD′＝∠M′OD′，∴△M′OD′∽△D′OB，∴．∴．∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此时D′A+D′B最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝OC ＝6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，若点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标：（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请求出点Q的坐标．解：（1）∵OA＝2，OB＝OC＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），∴可设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），把C点的坐标代入可得6＝﹣12a，解得a＝．∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；∴D（2，8）；（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，﹣x2+2x+6），则FG＝|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，∴△FBG∽△BDE，∴．∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE＝4，DE＝8，OB＝6，∴BG＝6﹣x，∴，当点F在x轴上方时，有，解得x＝﹣1或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，），当点F在x轴下方时，有，解得x＝﹣3或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，），综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，）；（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，QO′＝MO′＝PO′＝NO′，PQ⊥MN，设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+6的图象上．∴n＝﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n＝﹣1+或n＝﹣1﹣，∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．12．如图，直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，抛物线经过B，C，与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点E从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位的速度向B点运动，同时点F从B 点出发，在线段BC上以每秒1个单位的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点将停止运动．设△EBF的面积为S，点E运动的时间为t．①求S与t的函数关系式，并求出S有最大值时点F的坐标；②点E，F在运动过程中，若△EBF为直角三角形，求t的值．解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，﹣4）．∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴A点坐标为（﹣2，0），∴，解得：．∴抛物线的解析式为．（2）由题意得，BF＝t，BE＝6﹣3t，①作FH⊥x轴，如图，∵B（4，0），C（0，﹣4）．∴OB＝OC＝4，∴，∵FH∥BC，∴△BHF∽△BOC，∴，∴．解得：HF＝．∴＝．当S有最大值时，t＝1，此时点F的坐标为（）．②∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，若∠BEF＝90°，则cos∠EBF＝，解得：t＝．若∠EFB＝90°，则cos∠EFB＝．解得：t＝．综合以上可得，若△EBF 为直角三角形，t 的值为或．13．如图，在直角坐标系中，y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左），与y 轴交于C 点．（1）若△ABC 的面积为，求抛物线的解析式；（2）已知点P 为B 点右侧抛物线上一点，连PC ，PB 交y 轴于D 点，若∠BCP ＝2∠ABC ，求的值；（3）若P 为对称轴右侧抛物线上的动点，PA 交y 轴于E 点，判断的值是否为定值，说明理由．解：（1）∵y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点，∴ax 2+4 ax +3a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A （1，0），B （3，0），当x ＝0，y ＝3a ，∴OC ＝﹣3a ，∵S △ABC ＝， ∴， 解得a ＝﹣，∴抛物线的解析式为y ＝﹣；（2）如图，过B 点作BM ⊥x 轴交CP 于M ，过点C 作CF ⊥BM 于点F ，∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∵∠BCP＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠BCF＝∠FCM，∵CF＝CF，∴△CBF≌△CMF（ASA），∴BF＝FM，∴M（3，6a），又∵C（0，3a），设CP解析式y＝mx﹣3m，∴8a＝m×2，∴m＝4a，∴y＝4ax﹣12a，∴，解得：x1＝3，x2＝5，∴P（5，8a），∴直线BP的解析式为y＝4ax﹣12a，∴D（0，﹣12a），∵OC＝|3a|，OD＝|﹣12a|，∴；（3）∵A（1，0），∴设PA的解析式y＝k1x﹣k1，∴∴ax2﹣（4a+k1）x+3a+k1＝0，∴（ax﹣3a﹣k1）（x﹣1）＝0，解得，x＝1或x＝，∴x p＝3+，∵B（3，0），∴设PB的解析式y＝k2x﹣3k2，∴，∴ax2﹣（4a+k2）x+3a+3k2＝0，∴（ax﹣a﹣k2）（x﹣3）＝0，∴x p＝1+．又∵EC＝﹣k1﹣3 a，DE＝﹣3k2﹣3 a，∴＝＝．14．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点点A（0，1）、点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A （0，1），B （9，10）代入函数解析式，得， 解得，∴抛物线的解析式y ＝x 2﹣2x +1；（2）∵AC ∥x 轴，A （0，1）， ∴x 2﹣2x +1＝1，解得x 1＝6，x 2＝0（舍），即C 点坐标为（6，1），∵点A （0，1），点B （9，10），∴直线AB 的解析式为y ＝x +1，设P （m ，m 2﹣2m +1），∴E （m ，m +1），∴PE ＝m +1﹣（m 2﹣2m +1）＝﹣m 2+3m ．∵AC ⊥PE ，AC ＝6，∴S 四边形AECP ＝S △AEC +S △APC ＝AC •EF +AC •PF ＝AC •（EF +PF ）＝AC •EP ＝×6×（﹣m 2+3m ）＝﹣m 2+9m ＝﹣（m ﹣）2+，∵0＜m ＜6，∴当m ＝时，四边形AECP 的面积最大，此时P （，﹣）；（3）∵y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣3）2﹣2，∴P （3，﹣2）．∴PF＝y F﹣y p＝3，CF＝x F﹣x C＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45°，同理可得∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1）且AB＝9，AC＝6，CP＝3，∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，，即，解得t＝4，∴Q（4，1）；②当△CQP∽△ABC时，，即，解得t＝﹣3，∴Q（﹣3，1）．综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为（4，1）或（﹣3，1）．15．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线的对称轴上一点，连接BP，CP，当四边形BOCP的周长最小时，求点P的坐标；（3）如图2，点D为抛物线的顶点，在线段CD上是否存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，∴令x＝0，y＝3，∴C（0，3）．∴OC+OB＝3+1＝4，∴当四边形BOCP的周长最小时，则CP+BP最小，如图1，连接AC，与对称轴的交点即为所求的点P，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：．∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∵抛物线的对称轴为x＝＝2，∴x＝2时，y＝﹣2+3＝1，∴P（2，1）．（3）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣1），又∵C（0，3），∴直线CD为y＝﹣2x+3，OC＝3，∵A（3，0），∴AB＝2，∠BAC＝∠OCA＝45°，∴AC＝3，∴．∵∠ABC＝90°+∠OCB，∴∠ABC为钝角，若△AMO与△ABC相似，显然∠ABC＝∠OMA，则在线段CD上存在点M使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，①若点M在x轴上方时，如图2，当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，设M（a，﹣2a+3），∴a＝﹣2a+3，解得a＝1，∴M（1，1）．此时OM＝，OA＝3，∴，∴．则△ABC∽△OMA．②若点M在x轴下方，如图3，∵M在线段CD上，∴∠AOM≠45°，∴∠OAM＝∠BAC＝45°，∴M（2，﹣1），此时点M与点D重合，AM＝，OA＝3，∴．则△ABC∽△AMO．综合以上可得，在线段CD上存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似，此时点M的坐标为（1，1）或（2，﹣1）．16．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，点C的坐标为（﹣1，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，已知点D（1，n）在抛物线上，作射线BD，点Q为线段AB上一点，过点Q 作QM⊥y轴于点M，作QN⊥BD于点M，过Q作QP∥y轴交抛物线于点P，当QM与QN的积最大时，求线段PG的长；（3）在（2）的条件下，连接AP，若点E为抛物线上一点，且满足∠APE＝∠ABO，求S．△OBE解：（1）一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（4，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝2，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）点D（1，3），点B（4，0），则BD所在的函数表达式为：y＝﹣x+4；即直线BD的倾斜角为45°，则∠QGN＝45°，QN＝QG，设点Q（m，﹣m+2），则点G（m，﹣m+4），QM•QN＝m×（﹣m+4+m﹣2）＝（﹣m2+2m），当m＝2时，QM与QN的积最大，则点P（2，3）；（3）设：∠APE＝∠ABO＝∠α，则tan；①当PE在AP下方时，如图1，由点A（0，2）、P（2，3）知，AP＝，设AP与y轴的夹角为β，则tanβ＝2，过点H作MH⊥PA交PA的延长线于点M，设：MA＝x，则MH＝2x，tan∠APH＝＝＝tanα＝，解得：x＝，则AH＝x＝，则点H（0，），设直线PH的表达式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线PH的解析式为y＝x+，联立抛物线的解析式和直线的解析式：，解得：x＝2（舍去）或﹣，∴点E（﹣，﹣），∴＝＝．②当PE在AP上方时，如图2，过点P作PM⊥y轴交于点M，交抛物线于点E，∵tan∠APM＝．tan∠ABO＝，∴∠APM＝∠ABO，∵PE∥x轴，∴E点的纵坐标为3，将y＝3代入抛物线解析式求得x＝1，∴E（1，3），∴＝6．综上可得△OBE的面积为或6．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM与△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）．代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得b＝2，c＝3．∴抛物线对应二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．∴PE⊥CD，PE＝PA．由y＝﹣x2+2x+3，得对称轴为直线x＝1，C（0，3）、D（1，4）．∴DF＝4﹣3＝1，CF＝1，∴DF＝CF，∴△DCF为等腰直角三角形．∴∠CDF＝45°，∴∠EDP＝∠EPD＝45°，∴DE＝EP，∴△DEP为等腰三角形．设P（1，m），∴EP2＝（4﹣m）2．在△APQ中，∠PQA＝90°，∴AP2＝AQ2+PQ2＝[1﹣（﹣1）]2+m2∴（4﹣m）2＝[1﹣（﹣1）]2+m2．整理，得m2+8m﹣8＝0解得，m＝﹣4±2．∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．如图2，连结CQ、CB、CM，∵C（0，3），OB＝3，∠COB＝90°，∴△COB为等腰直角三角形，∴∠CBQ＝45°，BC＝3．由（2）可知，∠CDM＝45°，CD＝，∴∠CBQ＝∠CDM．∴△DCM与△BQC相似有两种情况．当时，∴，解得DM＝．∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣＝．∴M（1，）．1当时，∴，解得DM＝3，∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣3＝1．∴M（1，1）．2综上，点M的坐标为或（1，1）．18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，过点D作DE∥y轴，交直线BC 于点E，点P在抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q，连结PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）当0＜m＜4时，求d关于m的函数关系式；（4）当△PQB是等腰三角形时，直接写出m的值．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），∴解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交于点C，∴点C（0，﹣3）设直线BC解析式为：y＝kx﹣3，∴0＝3k﹣3∴k＝1，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3；（3）∵设点P的横坐标为m，PQ∥y轴，∴点P（m，﹣m2+4m﹣3），点Q（m，m﹣3），当0＜m＜3时，PQ＝d＝﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m，当3≤m＜4时，PQ＝d＝（m﹣3）﹣（﹣m2+4m﹣3）＝m2﹣3m；（4）B（3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PQ∥OC，∴∠PQB＝45°，若BP＝PQ，∴∠PQB＝∠PBQ＝45°，∴∠BPQ＝90°，即点P与点A重合，∴m＝1，若BP＝QB，∴∠BQP＝∠BPQ＝45°，∴∠QBP＝90°，∴BP解析式为：y＝﹣x+3，∴解得：，∴点P（2，1）∴m＝2；若PQ＝QB，∴（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（﹣m2+3m）2，或（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（m2﹣3m）2，∴m＝±，综上所述：m＝1或2或±．19．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y 轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S＝3，请求出点P的坐标．△PBD（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD ＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝×PQ×（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△ABD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．20．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，此时EC+ED为最小，则△EDC的周长最小，抛物线的顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：∴直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x＝，故点E（，0），（3）①当点P在x轴上方时，如图2，∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝a，则PB＝PA＝a，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，16＝a2+（a﹣a）2，解得：a2＝8+4，则PB2＝2a2＝16+8．②当点P在x轴下方时，同理可得．综合以上可得，PB2的值为16+8．。

《二次函数综合》压轴题专题训练1．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合：．（2）求抛物线y＝﹣x2+x+1的“同轴对称抛物线”．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′，设四边形BB′C′C的面积为S（S＞0）．①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．2．已知抛物线C：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛1物线C：y＝x2．2（1）直接写出抛物线C的解析式；1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）（2）如图1，已知抛物线C1在抛物线C上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标；1上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛（3）已知点E，M在抛物线C2物线C只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段2NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为．3．如图1，抛物线y＝x2+bx+c过点A（4，﹣1），B（0，﹣），点C为直线AB下方抛物线上一动点，M为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB交于点N．（1）求抛物线的表达式与顶点M的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出D点坐标；（3）在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0）且与y轴交于点C，OA＝OC．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由；（3）已知点P时直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y 轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；＝3，请求出点P的坐标．（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．7．已知抛物线交x轴于A，B两点（A在B右边），A（3，0），B（1，0）交y轴于C点，C（0，3），连接AC；（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的一点，作PE⊥CA于E点，且CE＝3PE，求P点坐标；（3）将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，过H作直线MH，NH，当MH⊥NH时，求MN恒过的定点坐标．：y＝（x﹣1）2+k（k＞0）经过y轴上的点A，顶点为B．抛物线8．如图，已知抛物线l1l：y＝（x﹣h）2+2﹣h（h≥2）的顶点为D，直线y＝﹣x+b经过A，B，D三点，两抛物2线交于点C．（1）求b的值和点B的坐标；（2）设点C的横坐标为m，探究m与h之间的数量关系；（3）当△ABC是直角三角形时，求h的值．9．综合与探究．如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．（1）求A，B，C三点的坐标及直线BE的解析式．（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连接PA，PD，求OAPD面积的最大值．（3）若（2）中的点P为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．11．如图1，抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是抛物线顶点，求△ACD的面积；（3）如图2，射线AE交抛物线于点E，交y轴的负半轴于点F（点F在线段AE上），点P是直线AE下方抛物线上的一点，S＝，求△APE面积的最大值和此动点P的坐标．△ABE12．图①，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．13．已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0．（1）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB＝90°．求证：CO＝；（2）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．14．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连结AC，已知B（1﹣，0），且抛物线经过点D（2，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE ＝S△ABC，求E的坐标；（3）若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣+bx+c与x轴的另一个交点为A．（1）求出抛物线表达式，并求出点A坐标．（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵“同轴对称抛物线”的顶点重合，∴顶点关于x轴对称且重合，∴顶点在x轴上，故答案为：顶点在x轴上；（2）∵y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣1）2+，∴“同轴对称抛物线”的顶点坐标为（1，﹣），∴y＝（x﹣1）2﹣；（3）①由题可知，B（1，1﹣3a），∴C（1，3a﹣1），∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为x＝2，∴B'（3，1﹣3a），C'（3，3a﹣1），∴BB'＝CC'＝2，∴BC＝2﹣6a或BC＝6a﹣2，∴2﹣6a＝2或6a﹣2＝2，∴a＝0（舍去）或a＝；②函数的对称轴为x＝2，函数L的顶点坐标为（2，1﹣4a），∵L与“同轴对称抛物线”是关于x轴对称的，所以整数点也是对称的出现，∵抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内，在x轴上的整数点可以是3个或5个，∴L与x轴围城的区域的整数点为4个或3个；当a＞0时，当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，∴＜a≤1，当x＝2时，1﹣4a＜﹣2，∴a＞，∴＜a≤1；当a＜0时，当x＝2时，1﹣4a≤2，∴a≥﹣，当x＝﹣1时，5a+1＜0，∴a＜﹣，∴﹣≤a＜﹣；综上所述：＜a≤1或﹣≤a＜﹣．2．解：（1）由已知可知，抛物线C：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位2：y＝ax2+bx+c，长度得到抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线C1故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，令y＝0，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），上，∵点P（，t）在抛物线C1∴t＝（﹣1）2﹣4，解得t＝﹣，∴P（，﹣），设Q（t，t2﹣2t﹣3），过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，∵BQ⊥BP，∴∠QBN+∠MBP＝∠QBN+∠MQN＝90°，∴∠BQN＝∠PBM，∴△BNQ∽△QMP，∴＝，∴＝，∴t＝﹣或t＝3，∵Q点在第二象限，∴t＝﹣，∴Q（﹣，）；（3）∵点M与N在y＝x2上，∴M（m，m2），N（n，n2）∵EM∥x轴，∴E（﹣m，m2），设MD的解析式为y＝kx+b，∴m2＝km+b，∴b＝m2﹣km，∴y＝kx+m2﹣km，∵直线MD与抛物线y＝x2只有一个交点，∴kx+m2﹣km＝x2，∴△＝k2﹣4（m2+km）＝0，∴k＝2m，∴直线MD的解析式为y＝2mx﹣m2，∵NE＝DE，∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），∴2m2﹣n2＝2m（﹣2m﹣n）﹣m2，整理得，n2﹣2mn﹣7m2＝0，∴n＝（1±2）m，故答案为n＝（1±2）m．3．解：（1）将点A（4，﹣1），B（0，﹣）代入抛物线y＝x2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣，∴M点的坐标为（1，﹣4）；（2）设直线AB的表达式为y＝mx+n，∴，解得，∴y＝x﹣；当x＝1时，y＝﹣3，∴N（1，﹣3），∴MN＝1；①若MN为平行四边形的一边时，则有CD∥MN，且CD＝MN，设C（t，t2﹣t﹣），则D（t，t﹣），∴CD＝t﹣﹣（t2﹣t﹣）＝1，∴t＝3或t＝1（舍去），∴D（3，﹣）；②若MN为平行四边形的对角线，设D（t，t﹣），则C（2﹣t，﹣t﹣），将点C代入抛物线解析式得，（2﹣t）2﹣（2﹣t）﹣＝﹣t﹣，∴t＝﹣1或t＝1（舍去），∴D（﹣1，﹣）；综上所述：符合条件的D点坐标为（3，﹣）或（﹣1，﹣）；（3）在对称轴上取点P（1，﹣1），∴PA＝PM＝3，∠APM＝90°，以P为圆心，PA为半径作圆交y轴于点Q，∴∠AQM＝∠APM＝45°，作PE⊥y轴交于点E，∴PE＝1，∵PQ＝3，∴EQ＝＝2，∴Q点坐标为（0，﹣1+2）或（0，﹣1﹣2）．4．解：（1）∵点A （﹣1，0）∴OA ＝1，∵OA ＝OC ＝1，且点C 在y 轴负半轴，∴点C （0，﹣1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的交点为A （﹣1，0），B （2，0）且与y 轴交于点C ， ∴ 解得：∴抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣x ﹣1；（2）∵点C 关于x 轴的对称点为C 1，∴C 1（0，1），∵点B （2，0），点C 1（0，1），∴直线BC 1的解析式为：y ＝﹣x +1，∴设点M 坐标为（m ，﹣m +1）∴MF ＝m ，ME ＝﹣m +1，∴矩形MFOE 的面积＝MF ×ME ＝m ×（﹣m +1）＝﹣m 2+m ＝﹣（m ﹣1）2+， ∴当m ＝1时，矩形MFOE 的最大面积为，此时点M 的坐标为（1，），即点M 为线段C 1B 中点时，S 矩形MFOE 最大；（3）由题意，C （0，﹣1），C 1（0，1），以C 、C 1、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：①C 1C 为边，则C 1C ∥PQ ，C 1C ＝PQ ，设P （m ，m +1），Q （m ，m 2﹣m ﹣1），∴|（m 2﹣m ﹣1）﹣（m +1）|＝2，解得：m 1＝4，m 2＝﹣2，m 3＝2，m 4＝0（舍），P 1（4，3），Q 1（4，5）；P 2（﹣2，0），Q 2（﹣2，2）；P 3（2，2），Q 3（2，0） ②C 1C 为对角线，∵C 1C 与PQ 互相平分，C 1C 的中点为（0，0），∴PQ 的中点为（0，0），设P （m ，m 2﹣m +1），则Q （﹣m ，m 2+m ﹣1） ∴（m +1）+（m 2+m ﹣1）＝0，解得：m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，∴P 4（﹣2，0），Q 4（2，0）；综上所述，点P 和点Q 的坐标为：P 1（4，3），Q 1（4，5）或P 2（﹣2，0），Q 2（﹣2，2）或P 3（2，2），Q 3（2，0）或P 4（﹣2，0），Q 4（2，0）．5．解：（1）∵直线x ＝1是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为（0，3），∴c ＝3，﹣＝1，∴b ＝2，∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）①∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴点M （1，4），∵抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧）， ∴0＝﹣x 2+2x +3∴x 1＝3，x 2＝﹣1，∴点A （﹣1，0），点B （3，0），∵点M （1，4），点B （3，0）∴直线BM 解析式为y ＝﹣2x +6，∵点P 在直线BM 上，且PD ⊥x 轴于点D ，PD ＝m ，∴点P （3﹣，m ），∴S △PCD ＝×PD ×OD ＝m ×（3﹣）＝﹣m 2+m ，∵点P 在线段BM 上，且点M （1，4），点B （3，0），∴0＜m ≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．6．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD ＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△AMD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．7．解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣1）（a≠0），把c（0，3）代入，得3a＝3，∴a＝1，∴抛物线的解析式是y＝（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3，即y＝x2﹣4x+3；（2）过点P作PD⊥x轴于点D，过E作EF⊥y轴于F，延长FE与PD交于点G，如图1，∵A（3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴∠OAC＝45°，∵FG∥OA，∴∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝CE，∵PE⊥CA，∴∠PEG＝45°，∴PG＝EG＝PE，∵CE＝3PE，∴EF＝3FG，设EF＝3m，则PG＝EG＝m，FG＝4m，∴DG＝OF＝OC﹣CF＝3﹣3m，PD＝PG+DG＝3﹣2m，∴P（4m，3﹣2m），把P（4m，3﹣2m）代入y＝x2﹣4x+3中得，3﹣2m＝16m2﹣16m+3，∴m＝，或m＝0（舍去），∴P（，）；（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为（2，﹣1），∵将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，∴H（2，0），由题意知，点H是新抛物线的顶点，∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2，设M（m，（m﹣2）2），N（n，（n﹣2）2），过M作MK⊥x轴于点K，过点N作NL⊥x轴于点L，则MK＝（m﹣2）2，KH＝2﹣m，HL＝n﹣2，NL＝（n﹣2）2，∵MH⊥NH，∴∠MHK+∠HMK＝∠MHK+∠NHL＝90°，∴∠HMK＝∠NHL，∵∠MKH＝∠HLN＝90°，∴△KHM∽△LNH，∴，，∴，∴，设直线MN的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线MN的解析式为：，当x＝2时，y＝﹣（m2﹣4m+3）＝m2﹣4m+4﹣m2+4m﹣3＝1，∴MN恒过的定点（2，1）．8．解：（1）∵y＝（x﹣1）2+k（k＞0）经过y轴上的点A，顶点为B，∴A（0，1+k），B（1，k），∵y＝（x﹣h）2+2﹣h（h≥2）的顶点为D，∴D（h，2﹣h），∵直线y＝﹣x+b经过A，D，∴，∴，∴b的值为2，点B的坐标为（1，1）；：y＝（x﹣1）2+1，（2）由（1）知，抛物线l1∵点C的横坐标为m，两抛物线交于点C．∴（m﹣1）2+1＝（m﹣h）2﹣h+2，整理得2mh﹣2m＝h2﹣h∵h≥2∴m＝＝；（3）当AC⊥AB时，则直线AC解析式为：y＝x+2，∴∴（舍去），，∴点C坐标为（3，5），∴3＝∴h＝6；当BC⊥AB时，则直线BC解析式为：y＝x，∴∴（舍去），∴点C坐标为（2，2），∴2＝∴h＝4；9．解：（1）令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），设直线BE的解析式为y＝kx+b，将B（4，0）、E（0，2）代入得，，解得：，∴y＝﹣x+2；（2）由题意可设AD的解析式为y＝﹣x+m，将A（﹣1，0）代入，得到m＝﹣，∴y＝﹣x﹣，联立，解得：，，∴D（3，﹣2），过点P作PF⊥x轴于点F，交AD于点N，过点D作DG⊥x轴于点G．∴S△APD ＝S△APN+S△DPN＝PN•AF+PN•FG＝PN（AF+FG）＝PN•AG＝×4PN＝2PN，设P（a，﹣a2﹣a﹣2），则N（a，﹣a﹣），∴PN＝﹣a2+a+，∴S△APD＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4，∵﹣1＜0，﹣1＜a＜3，∴当a＝1时，△APD的面积最大，最大值为4；（3）存在；①当PD与AQ为平行四边形的对边时，∵AQ∥PD，AQ在x轴上，∴P（0，﹣2），∴PD＝3，∴AQ＝3，∵A（﹣1，0），∴Q（2，0）或Q（﹣4，0）；②当PD与AQ为平行四边形的对角线时，PD与AQ的中点在x轴上，∴P点的纵坐标为2，∴P（，2）或P（，2），∴PD的中点为（，0）或（，0），∵Q点与A点关于PD的中点对称，∴Q（，0）或Q（，0）；综上所述：点Q的坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（，0）或（，0）．10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，又∵抛物线对称轴为直线x ＝﹣＝2，∴x ＝2时，y ＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M 的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB ＝OC ＝3，OB ⊥OC ，∴△BOC 是等腰直角三角形，∵EF ∥y 轴，直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3，∴△DEF 只要是直角三角形即可与△BOC 相似，∵D （2，1），A （1，0），B （3，0），∴点D 垂直平分AB 且到点AB 的距离等于AB ，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴∠ADB ＝90°，如图，①点F 是直角顶点时，点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，是1，∴x 2﹣4x +3＝1，整理得x 2﹣4x +2＝0，解得x ＝2±， 当x ＝2﹣时，y ＝﹣（2﹣）+3＝1+， 当x ＝2+时，y ＝﹣（2+）+3＝1﹣， ∴点E 1（2﹣，1+）E 2（2+，1﹣）， ②点D 是直角顶点时，联立， 解得，，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，当x ＝4时，y ＝﹣4+3＝﹣1，∴点E 3（1，2），E 4（4，﹣1），综上所述，存在点E 1（2﹣，1+）或E 2（2+，1﹣）或E 3（1，2）或E 4（4，﹣1），使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．11．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+2ax +c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC ，∴a +2a +c ＝0，点C 的坐标为（0，c ），∴点A 的坐标为（c ，0），∴ac 2+2ac +c ＝0， ∴， 解得，或，∵函数图象开口向上，∴a ＞0，∴a ＝1，c ＝﹣3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4，抛物线与与y 轴交于点C ，顶点为D ，OA ＝OC ，抛物线y ＝ax 2+2ax +c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B （1，0）两点，∴点D 的坐标为（﹣1，﹣4），点C 的坐标为（0，﹣3），点A 的坐标为（﹣3，0）， 连接OD ，如右图1所示，由图可知：S △ACD ＝S △OAD +S △OCD ﹣S △OAC＝＝3；（3）∵A（﹣3，0），点B（1，0），∴AB＝4，设点E的纵坐标为t，t＜0，∵S△ABE＝，∴＝，得t＝，把y＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得﹣＝x2+2x﹣3，解得，x1＝，x2＝，∵点E在y轴的右侧，∴点E（，﹣），设直线AE的解析式为y＝mx+n（m≠0），∴，得，∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣1，过点P作y轴的平行线交AC于点G，如图2所示，设点P的横坐标为x，则P（x，x2+2x﹣3），点G（x，﹣x﹣1），∴PG＝（﹣x﹣1）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣x+2，又∵A（﹣3，0），E（，﹣），∴S△APE ＝S△APG+S△PEG＝（﹣x2﹣x+2）（x+3）+（﹣x2﹣x+2）（﹣x）＝（﹣x2﹣x+2）（3+）＝（x+）2+，∴当x＝﹣时，S取得最大值，最大值是，△APE把x＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得y＝（﹣）2+2×（﹣）﹣3＝﹣，∴此时点P的坐标为（﹣，﹣）．12．解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，得，∴y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即该抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6，对称轴是直线x＝1；（2）分两种情况：设点D的坐标为（1，y）第一种情况是：∠BCD＝90°时，则CD2+BC2＝BD2，∵点B的坐标为（3，0），抛物线y＝﹣2x2+4x+6交y轴于点C，∴点C的坐标为（0，6），∴[12+（y﹣6）2]+（32+62）＝（3﹣1）2+y2，解得，y＝6.5，∴点D的坐标为（1，6.5）；第二种情况：当∠DBC＝90°时，BD2+BC2＝CD2，即[（3﹣1）2+y2]+（32+62）＝12+（6﹣y）2，解得，y＝﹣1，∴点D的坐标为（1，﹣1），综上所述，符合条件的点D的坐标为（1，6.5），（1，﹣1）；（3）因为点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+6，则3k+6＝0，得k＝﹣2，即直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，如右图所示，作点E关于直线BC的对称点E′交BC于点F，过点F作FN⊥y轴于点N，设E（0，m），E′（x，y），则EE′⊥BC，∴∠CFE＝∠COB＝90°，∴BC＝＝3，∵∠ECF＝∠BCO，∴△ECF∽△BCO，∴，即，解得，CF＝，又∵∠CNF＝∠COB，∠NCF＝∠OCB，∴△NCF∽△OCB，∴，即，解得，FN＝，∴点F的横坐标为，把x＝代入直线BC的解析式，得y＝，∴点F的坐标为（，），∵EE′关于直线BC对称，∴点F为EE′的中点，∴，解得，∴E′（，），∵点E′在抛物线y＝﹣2x2+4x+6上，∴＝﹣2×[]2+4×+6，解得，m1＝6，m2＝，∴点E的坐标为（0，6）或（0，）．13．证明：（1）设A（b，ab2），B（c，ac2），∵∠AOB＝90°，∴AB2＝AO2+BO2，∴（b﹣c）2+（ab2﹣ac2）2＝b2+a2b4+c2+a2c4，﹣2bc﹣2a2b2c2＝0，1+a2bc＝0，∴bc＝﹣，设直线AB的解析式为：y＝mx+n，则，解得，∴直线AB的解析式为：y＝a（b+c）x﹣abc，当x＝0时，y＝OC＝﹣abc＝﹣a•（﹣）＝；（2）如图2，过A作AD⊥y轴于D，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，当y＝0时，kx+b＝0，∴x＝﹣，∴OC＝﹣，∵过点A的直线AB恰好与此抛物线仅有一个交点，∴ax2＝kx+b，∴ax2﹣kx﹣b＝0，△＝k2+4ab＝0，∴b ＝﹣，OC ＝﹣＝，∴x ＝，∵a ＞0，k ＞0，∴AD ＝，∵AD ∥OC ， ∴＝＝，∴AB ＝2BC ，∴AC ＝BC ．14．解：（1）把B （﹣1，0），D （2，﹣2）代入y ＝ax 2﹣x +c 得， 解得：．故抛物线的解析式为y ＝x 2﹣x ﹣2；（2）当y ＝0时，x 2﹣x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （3，0），∴AB ＝4，当x ＝0时，y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），∴OC ＝2，∴S △ABC ＝×4×2＝4，设AC 的解析式为y ＝kx +b ，把A （3，0），C （0，﹣2）代入y ＝kx +b 得， 解得．∴y ＝x ﹣2，如图1，过点E 作x 轴的垂线交直线AC 于点F ，设点F （a ，a ﹣2），点E （a ，a 2﹣a ﹣2），其中﹣1＜a ＜3，∴S △ACE ＝EF |x A ﹣x C |＝|a 2﹣a |＝，∵S △ACE ＝S △ABC ，∴a 2﹣3a ＝2或﹣a 2+3a ＝2，解得a 1＝（舍去），a 2＝，a 3＝1，a 4＝2， ∴E 1（，），E 2（1，﹣），E 3（2，﹣2）；（3）在y ＝ax 2+bx ﹣2中，当x ＝0时，y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），∴OC ＝2，如图2，设P （0，m ），则PC ＝m +2，OA ＝3，AC ＝＝，①当PA ＝CA 时，则OP 1＝OC ＝2，∴P 1（0，2）；②当PC ＝CA ＝时，即m +2＝，∴m ＝﹣2， ∴P 2（0，﹣2）； ③当PC ＝PA 时，点P 在AC 的垂直平分线上，则△AOC ∽△P 3EC ， ∴＝，∴P 3C ＝，∴m ＝，∴P 3（0，），④当PC ＝CA ＝时，m ＝﹣2﹣，∴P 4（0，﹣2﹣）．综上所述，P点的坐标（0，2）或（0，﹣2）或（0，）或（0，﹣2﹣）．15．解：（1）由已知可求B（6，0），C（0，4），将点B（6，0），C（0，4）代入y＝﹣+bx+c，则有，解得，∴y＝﹣x2+x+4，令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，解得x＝﹣1或x＝6，∴A（﹣1，0）；（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为3，∴D（3，8），过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F；∴E（0，8），F（6，8），∴S△BCD ＝S梯形ECBF﹣S△CDE﹣S△BFD＝（EC+BF）×OB﹣×EC×ED﹣×DF×BF＝×（4+8）×6﹣×4×3﹣×3×8＝36﹣6﹣12＝18；（3）设P（m，﹣m2+m+4），∵PQ垂直于x轴，∴Q（m，0），且∠PQO＝90°，∵∠COB＝90°，∴点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：①△PAQ∽△CBO时，＝＝，∴＝，解得m＝5或m＝﹣1，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝5，∴P（5，4）；②△PAQ∽△BCO时，＝＝，∴＝，解得m＝﹣1或m＝，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝，∴P（，）；综上所述：P（5，4）或P（，）时，点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似．。

2020中考数学压轴训练：二次函数综合题（含答案）1. 已知抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B(A在B的左侧)两点，与y轴交于点D(0，3)，且顶点为E(1，4).(Ⅰ)求抛物线C的解析式；(Ⅰ)将抛物线C经过某种平移后得到抛物线C′，顶点变为E′(1，k)(k＜4)，设平移后D的对应点为D′，且OD′＝2.Ⅰ求抛物线C′的解析式；Ⅰ点Q在抛物线C′的对称轴上，若AD′＝AQ，求点Q的坐标.解：(Ⅰ)设抛物线C的解析式为y＝a(x－1)2＋4，代入D(0，3)，得a＋4＝3，解得a＝－1，Ⅰ抛物线C的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3；(Ⅰ)ⅠⅠE(1，4)，E′(1，k)(k＜4)，Ⅰ抛物线向下平移了(4－k)个单位长度，ⅠD′(0，3－4＋k)，即D′(0, k－1)，ⅠOD′＝2，k－1＝2，解得k＝3或k=－1，Ⅰ||Ⅰ抛物线C′的解析式为y＝－(x－1)2＋3或y＝－(x－1)2－1，即y＝－x2＋2x＋2或y＝－x2＋2x－2；ⅠⅠOD′＝2，ⅠD ′(0，2)或D ′(0，－2)．令y ＝0，则有－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，Ⅰ点A 的坐标为(－1，0)．设点Q 坐标为(1，m )．ⅠAD ′2＝(0+1)2＋(±2－0)2＝5，AQ 2＝(－1－1)2＋(0－m )2＝m 2＋4，Ⅰm 2＋4＝5，解得m ＝±1.ⅠQ 点坐标为(1，1)或(1，－1)．2. 已知二次函数y ＝ x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点．(Ⅰ)若A (－2，0)，B (3，0)，求二次函数的解析式；(Ⅰ)若b ＝－(3m －1)，c ＝2m 2－2m (其中m ＞－1)．Ⅰ二次函数与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)(x 1＜x 2)两点，且－1≤12x 1－13x 2≤1，试求m 的取值范围；Ⅰ当1≤x ≤3时，二次函数的最小值是－1，求m 的值．解：(Ⅰ)把A (－2，0)，B (3，0)代入y ＝ x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧4－2b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1c ＝－6， Ⅰ二次函数的解析式为y ＝x 2－x －6；(Ⅰ)Ⅰ令y ＝0，则x 2－(3m －1)x ＋2m 2－2m ＝0，b 2－4ac ＝(3m －1)2－4×(2m 2－2m )＝(m +1)2，Ⅰx 1＝3m －1－（m ＋1）22＝m －1， x 2＝3m －1＋（m ＋1）22＝2m ， Ⅰ－1≤12x 1－13x 2≤1，Ⅰ－1≤m －12－2m 3≤1，整理得－9≤m ≤3，Ⅰm ＞－1，Ⅰ－1＜m ≤3；Ⅰ若对称轴x ＝3m －12≤1，当x ＝1时，二次函数有最小值－1，此时－1＜m ≤1，代入(1，－1)得：1－(3m －1)＋2m 2－2m ＝－1，化简得2m 2－5m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝32(舍去)；若对称轴x ＝3m －12≥3，当x ＝3时，二次函数有最小值－1，此时m ≥73，代入(3，－1)得：9－3(3m －1)＋2m 2－2m ＝－1，化简得2m 2－11m ＋13＝0，解得m ＝11＋174或m ＝11－174(舍去)； 若对称轴1＜3m －12＜3，当x ＝3m －12时，二次函数有最小值－1，此时1＜m ＜73，代入(3m －12，－1)，得（3m －1）24－（3m －1）22＋2m 2－2m ＝－1， 化简得m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1或m ＝－3，(均舍去)综上所述，m 的值为11＋174或1. 3. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，该抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和B ，与y 轴的交点为C (0，－3)，其中A (－1，0)．(Ⅰ)求点B 的坐标；(Ⅰ)若抛物线上存在一点P ，使得ⅠPOC 的面积是ⅠBOC 的面积的2倍，求点P 的坐标；(Ⅰ)点M 是线段BC 上一点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点D ，求线段MD 长度的最大值． 解：(Ⅰ)Ⅰ抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，A (－1，0)，Ⅰ点B 的坐标为(3，0)；(Ⅰ)将点A （-1，0）、B （3，0）、C （0，-3）代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2c ＝－3，Ⅰ抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3， ⅠS ⅠBOC ＝12×3×3＝92.ⅠS ⅠPOC ＝2S ⅠBOC ＝9.设点P 的横坐标为xP ，则12×3×|x p |＝9，解得x P ＝±6.Ⅰ点P 的坐标为(6，21)或(－6，45)；(Ⅰ)Ⅰ点B (3，0)，C (0，－3)，Ⅰ直线BC 的解析式为y ＝x －3.设点M (a ，a －3)，则点D (a ，a 2－2a －3)．ⅠMD ＝a －3－(a 2－2a －3)＝－a 2＋3a ＝－(a －32)2＋94，Ⅰ当a ＝32时，线段MD 长的最大值为94.4. 抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c (b ，c 为常数)与y 轴相交于点C ，经过点C 作直线CD Ⅰx 轴，交抛物线于点D ，将直线CD 向上平移t 个单位长度，交抛物线于点A 、B (A 在B 的左侧)，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E .(Ⅰ)当b ＝－2，c ＝1时，求抛物线顶点P 的坐标；(Ⅰ)若ⅠACB ＝90°，求t 的值；(Ⅰ)在(Ⅰ)的条件下，当以点A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时，求b 的值．解：(Ⅰ)当b ＝－2，c ＝1时，y ＝12x 2－2x ＋1＝12(x －2)2－1，Ⅰ抛物线的顶点P 的坐标为(2，－1)；(Ⅰ)如解图，连接AC ，BC ，CE ，ⅠⅠACB ＝90°，AE ＝EB ，ⅠCE ＝12AB ，由12＋bx＋c＝c＋t，解得x＝－b±b2＋2t，2xⅠA(－b－b2＋2t，c＋t)，B(－b＋b2＋2t，c＋t)，ⅠAB＝2b2＋2t.ⅠE(－b，c＋t)，C(0，c)，ⅠCE＝b2＋t2.Ⅰb2＋t2＝b2＋2t.解得t＝2或t＝0(舍去)，Ⅰt＝2；第4题解图(Ⅰ)由题意得CD＝AE，ⅠA(－b－b2＋2t，c＋t)，E(－b，c＋t)，且点A在点E的左侧，ⅠAE＝b2＋2t.ⅠC(0，c)，D(－2b，c)，ⅠCD＝|－2b|，Ⅰb2＋2t＝|－2b|，Ⅰ3b2＝2t，Ⅰt ＝2，Ⅰb ＝±233.5. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 经过点(1，－4a )，(4，5a )．(Ⅰ)证明：抛物线与x 轴有两个不同的交点；(Ⅰ)设抛物线与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若ⅠACB ＝90°，求a 的值；(Ⅰ)若点D 和点E 的坐标分别为(0，4)，(4，4)．抛物线与线段DE 恰有一个公共点，求a 的取值范围．(Ⅰ)证明：把点(1，－4a )，(4，5a )代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－4a 16a ＋4b ＋c ＝5a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a c ＝－3a， Ⅰ抛物线的解析式为y ＝ax 2－2ax －3a ，Ⅰb 2-4ac ＝(－2a )2－4a ·(－3a )＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0，Ⅰ抛物线与x 轴有两个不同的交点；(Ⅰ)解：令ax 2－2ax －3a ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，Ⅰ设A ，B 两点的坐标分别为(－1，0)，B (3，0)，令x ＝0，则y ＝－3a ，Ⅰ点C 的坐标为(0，－3a )，ⅠⅠACB ＝90°，ⅠAC 2＋BC 2＝AB 2，ⅠAC 2＝(－1)2＋(－3a )2＝1＋9a 2，BC 2＝32＋(－3a )2＝9＋9a 2，AB 2＝[3－(－1)]2＝16，Ⅰ1＋9a 2＋9＋9a 2＝16，解得a ＝±33.Ⅰa的值为±3 3；(Ⅰ)解：Ⅰ由(Ⅰ)知，抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)，Ⅰ抛物线关于直线x＝1对称，Ⅰa的正负不确定，需分类讨论；当a＞0时，如解图Ⅰ，将x＝0代入抛物线解析式得y＝－3a，Ⅰ抛物线与线段DE恰有一个公共点，Ⅰ－3a＜4，解得a＞－4 3，将x＝4代入抛物线解析式得y＝5a，Ⅰ5a≥4，解得a≥4 5，Ⅰa≥4 5，当a＜0时，如解图Ⅰ，将x＝0代入抛物线解析式得y＝－3a，Ⅰ抛物线与线段DE恰有一个公共点，Ⅰ－3a＞4，解得a＜－4 3，将x＝4代入抛物线解析式得y＝5a，Ⅰ5a≤4，解得a≤4 5，Ⅰa <－43；当抛物线的顶点在线段DE 上时，则顶点为(1，4)，如解图Ⅰ，将点(1，4)代入抛物线得4＝a －2a －3a ，解得a ＝－1.综上所述，a ≥45或a ＜－43或a ＝－1.第5题解图6. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (0，2)，B (2，－2)两点．(Ⅰ)求a ，b 满足的关系式；(Ⅰ)当a ＝－12时，y 值为正整数，求满足条件的x 值；(Ⅰ)若a ＞0，线段AB 下方的抛物线上有一点D ，求ⅠDAB 的面积最大时，D 点的横坐标． 解：(Ⅰ)将A (0，2)，B (2，－2)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝24a ＋2b ＋c ＝－2， Ⅰ4a ＋2b ＋2＝－2，整理得2a ＋b ＝－2，即a ，b 满足的关系式为2a ＋b ＝－2； (Ⅰ)由(Ⅰ)知，c ＝2，b ＝－2a －2，Ⅰa ＝－12 ，Ⅰb ＝－1，Ⅰ抛物线解析式为y ＝－12x 2－x ＋2＝－12(x ＋1)2＋52，Ⅰy 值为正数，Ⅰ－12(x ＋1)2＋52＞0，Ⅰ(x ＋1)2－5＜0，Ⅰ－5－1＜x ＜5－1，Ⅰy 值为整数，即－12(x ＋1)2＋52为整数，Ⅰ(x ＋1)2是奇数，综上所述，满足条件的x 值为－2或0； (Ⅰ)由(Ⅰ)知，c ＝2，b ＝－2a －2， Ⅰ抛物线的解析式为y ＝ax 2－(2a ＋2)x ＋2， ⅠA (0，2)，B (2，－2)，Ⅰ直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋2， Ⅰ点D 在线段AB 下方的抛物线上， 设点D （m ，am 2－(2a ＋2)m ＋2），如解图，过点D作y轴的平行线DE交AB于点E，ⅠE(m，－2m＋2)，ⅠDE＝－2m＋2－[am2－(2a＋2)m＋2]＝－a(m－1)2＋a，ⅠSⅠDAB＝12DE·(xB－xA)＝－a(m－1)2＋a，Ⅰa＞0，Ⅰ－a＜0，Ⅰ当m＝1时，ⅠDAB的面积最大，此时D点的横坐标为1.第6题解图7. 一次函数y＝34x的图象与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧)，与这个二次函数图象的对称轴交于点C.(Ⅰ)求点C的坐标；(II)设二次函数图象的顶点为D.Ⅰ若点D与点C关于x轴对称，且ⅠACD的面积等于3，求此二次函数的解析式；Ⅰ若CD＝AC，且ⅠACD的面积等于10，求此二次函数的解析式．解：(Ⅰ)Ⅰy＝ax2－4ax＋c＝a(x－2)2－4a＋c，Ⅰ二次函数图象的对称轴为直线x＝2.当x ＝2时，y ＝34x ＝32，ⅠC (2，32)；(Ⅰ)ⅠⅠ点D 与点C 关于x 轴对称，ⅠD (2，－32)，ⅠCD ＝3.设A (m ，34m ) (m <2)，由S ⅠACD ＝3，得12×3×(2－m )＝3，解得m ＝0，ⅠA (0，0).将A (0，0)、 D (2，－32)代入y ＝ax 2－4ax ＋c 中，得⎩⎨⎧c ＝0－4a ＋c ＝－32， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==083c a . Ⅰ此二次函数的解析式为y ＝38x 2－32x ；Ⅰ设A (m ，34m )(m <2)，如解图，过点A 作AE ⅠCD 于E ，第7题解图则AE ＝2－m ，CE ＝32－34m ，∴ AC ＝AE 2＋CE 2＝(2－m )2＋(32－34m )2＝54(2－m )，ⅠCD ＝AC ，ⅠCD ＝54(2－m ).由S ⅠACD ＝10得12×54(2－m )2＝10，解得m ＝－2或m ＝6(舍去)，Ⅰm ＝－2.ⅠA (－2，－32)，CD ＝5.若a ＞0，则点D 在点C 下方，ⅠD (2，－72)，由A (－2，－32)、D (2，－72)得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋c ＝－32－4a ＋c ＝－72， 解得⎩⎨⎧a ＝18c ＝－3， Ⅰy ＝18x 2－12x －3.若a ＜0，则点D 在点C 上方，ⅠD (2，132)，由A (－2，－32)、D (2，132)得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋c ＝－32－4a ＋c ＝132 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12c ＝92， Ⅰy ＝－12x 2＋2x ＋92. 综上，二次函数的解析式为y ＝18x 2－12x －3或y ＝－12x 2＋2x ＋92.8. 已知二次函数y＝x2＋(2m－2)x＋m2－2m－3(m是常数)的图象与x轴交于A，B两点(点A 在点B的左侧)．(Ⅰ)如果二次函数的图象经过原点．Ⅰ求m的值；Ⅰ若m＜0，点C是一次函数y＝－x＋b(b＞0)图象上的一点，且ⅠACB＝90°，求b的取值范围；(Ⅰ)当－3≤x≤2时，函数的最大值为5，求m的值．解：(Ⅰ)ⅠⅠ二次函数的图象经过原点，Ⅰm2－2m－3＝0，解得m1＝－1，m2＝3.ⅠⅠm＜0，Ⅰm＝－1.把m＝－1代入y＝x2＋(2m－2)x＋m2－2m－3中，得：y＝x2－4x，当y＝x2－4x＝0时，解得x1＝0，x2＝4，ⅠAB＝4.以AB为直径作ⅠP，根据直径所对的圆周角为直角，可知：当一次函数y＝－x＋b(b＞0)的图象与圆相交时，可得ⅠACB＝90°.如解图，一次函数y＝－x＋b(b＞0)的图象与ⅠP相切于点C，与y轴交于点E，与x轴交于点F，连接PC，易得ⅠPCF＝90°.第8题解图当x＝0时，y＝－x＋b＝b，Ⅰ点E(0，b).Ⅰ当y＝－x＋b＝0时，x＝b，Ⅰ点F(b，0)，ⅠAE＝AF＝b，又ⅠⅠPCF＝90°，ⅠⅠPCF为等腰直角三角形，ⅠPF＝2PC＝22，Ⅰb＝AF＝2＋22，Ⅰb的取值范围为0＜b≤2＋22；(Ⅰ)Ⅰy＝x2＋(2m－2)x＋m2－2m－3＝(x＋m－1)2－4，Ⅰ抛物线的对称轴为直线x＝1－m，Ⅰ当1－m≤-3+22，即m≥1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝2时，函数最大值为5，Ⅰ(2＋m－1)2－4＝5，解得：m＝2或m＝－4(舍去)；Ⅰ当1－m＞-3+22，即m＜1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝－3时，函数最大值为5，Ⅰ(－3＋m－1)2－4＝5，解得：m＝1或m＝7(舍去)．综上所述，m＝2或m＝1.9. 已知抛物线y＝a(x－h)2－2(a，h是常数，a≠0)，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点M为抛物线的顶点．(Ⅰ)若点A(－1，0)，B(5，0)，求抛物线的解析式；(Ⅰ)若点A(－1，0)，且ⅠABM是直角三角形，求抛物线的解析式；(Ⅰ)若抛物线与直线y＝x－6相交于M、D两点，当CDⅠx轴时，求抛物线的解析式．解：(Ⅰ)Ⅰ抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(5，0)，Ⅰ5－h＝h－(－1)，Ⅰh＝2.把A(－1，0)代入y＝a(x－2)2－2，有a(－1－2)2－2＝0，解得a＝29，Ⅰ抛物线的解析式为y＝29(x－2)2－2；(Ⅰ)Ⅰ抛物线与x轴交于A、B两点，顶点M在直线y＝－2上，如解图Ⅰ.Ⅰa＞0.由a(x－h)2－2＝0，得x＝h±2a.Ⅰ|AB|＝(h＋2a)－(h－2a)＝22a.设对称轴x＝h交x轴于点H，则MH＝2.ⅠⅠABM是等腰直角三角形，ⅠAB＝2MH，Ⅰ22a＝4，解得a＝12，把A(－1，0)代入y＝12(x－h)2－2，得12(－1－h)2－2＝0，解得h1＝1，h2＝－3，Ⅰ抛物线的解析式为y＝12(x－1)2－2或y＝12(x＋3)2－2；第9题解图Ⅰ(Ⅰ)如解图Ⅰ，Ⅰ点M(h，－2)在直线y＝x－6上，Ⅰ－2＝h－6，解得h＝4.Ⅰy＝a(x－4)2－2＝ax2－8ax＋16a－2，ⅠC (0，16a －2)，由x －6＝ax 2－8ax ＋16a －2，即ax 2－(8a ＋1)x ＋16a ＋4＝0.解得x 1＝8a ＋1＋12a ＝4＋1a ，x 2＝8a 2a ＝4，把x ＝4＋1a 代入y ＝x －6，得y ＝1a －2，ⅠD (4＋1a ，1a－2)． ⅠCD Ⅰx 轴，Ⅰ点C 与点D 关于直线x ＝h ＝4对称，Ⅰ16a －2＝1a －2，Ⅰa ＝±14，Ⅰ当a ＝－14时，点C 与点D 重合，不合题意，故舍去，Ⅰa ＝14，Ⅰ抛物线的解析式为y ＝14(x －4)2－2.第9题解图Ⅰ10. 已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线y ＝kx ＋m 交于A (1，3)，B (4，0)两点，点P 是抛物线上A 、B 之间(不与点A 、B 重合)的一个动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线AB 交于点C 、D .(Ⅰ)求抛物线与直线AB 的解析式；(Ⅰ)当点C 为线段AB 的中点时，求PC 的长；(Ⅰ)设点E 的坐标为(s ，t )，以点P ，C ，D ，E 为顶点的四边形为矩形时，用含有t 的式子表示s ，并求出s 的取值范围．解：(Ⅰ)Ⅰ点A (1，3)，B (4，0)在抛物线上，Ⅰ⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b ＋c ＝3－16＋4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝0， Ⅰ抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x .Ⅰ点A (1，3)，B (4，0)在直线y ＝kx ＋m 上，Ⅰ⎩⎪⎨⎪⎧k ＋m ＝34k ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1m ＝4， Ⅰ直线AB 的解析式为y ＝－x ＋4；(Ⅰ)根据题意，点C 的坐标为(52，32)，且PC Ⅰx 轴，Ⅰ－x 2＋4x ＝32，解得x ＝2－102(舍去)或x ＝2＋102，即点P 的横坐标为x ＝2＋102，第10题解图ⅠPC＝2＋102－52＝10－12；(Ⅰ)设点P的坐标为(x0，y0)，则y0＝－x02＋4x0.根据题意，以点P，C，D，E为顶点的四边形为矩形．如解图，又ⅠE(s，t)，ⅠC(s，y0)，D(x0，t)，Ⅰ点C、D在直线y＝－x＋4上，Ⅰy0＝－s＋4，t＝－x0＋4，即x0＝4－t，Ⅰ点P(x0，y0)在抛物线y＝－x2＋4x上，Ⅰ－s＋4＝－(4－t)2＋4(4－t)，Ⅰs＝t2－4t＋4.又ⅠP是抛物线上A、B之间的一个动点，Ⅰ1<x0<4，即1<4－t<4，Ⅰ0<t<3，Ⅰs＝t2－4t＋4的对称轴为直线t＝2.当0<t<2时，s随t的增大而减小，当2<t<3时，s随t的增大而增大．又Ⅰ当t＝2时，s＝0；当t＝0时，s＝4，Ⅰs的取值范围是0≤s<4.。

2020年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．4.（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，解得：t=．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，解得：h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．等腰三角形类10. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。

专题2-3二次函数综合题填空题决胜2020年中考数学最难压轴题大挑战点睛导航1、二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．2、二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．3、二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．挑战突破1．（2020•西湖区校级模拟）已知直线y ＝2x ﹣5与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 的顶点M 在线AB 上，且抛物线与直线AB 的另一个交点为N ．（1）如图，当点M 与点A 重合时，则抛物线的解析式为 y ＝﹣x 2+5x −254 ；（2）当抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 的顶点M 在直线AB 上平移时，若△OMN 与△AOB 相似，则点M 的坐标为 （2，﹣1）、（4，3） ．【点睛】（1）抛物线的顶点为：（52，0），则抛物线的表达式为：y ＝﹣（x −52）2，即可求解；（2）当∠OMN ＝90°时，则直线OM 表达式中的k 值为−12，即2m−5m =−12，即可求解；当∠ONM ＝90°时，同理可得：点M （4，3）；当∠MON ＝90°时，证明tan ∠GMO ＝tan ∠HON ，即：2m−5m =m−29−2m ，即可求解．【解析】解：（1）直线y ＝2x ﹣5与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，则点A 、B 的坐标分别为：（52，0）、（0，﹣5）， 则抛物线的顶点为（52，0），则抛物线的表达式为：y ＝﹣（x −52）2， 则抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+5x −254， 故答案为：y ＝﹣x 2+5x −254； （2）设点M （m ，2m ﹣5），点N （x ，y ），将抛物线表达式与直线表达式联立并整理得：﹣（x ﹣m ）2+2m ﹣5＝2x ﹣5，x 2+（2﹣2m ）x +m 2﹣2m ＝0，（x ﹣m ）（x ﹣m +2）＝0，则x ＝m 或m ﹣2，故点N （m ﹣2，2m ﹣9），则MN ＝2√5，则AB =5√52，①当∠OMN ＝90°时，则直线OM 表达式中的k 值为−12，即2m−5m =−12，解得：m ＝2， 故点M 、N 的坐标分别为：（2，﹣1）、（0，﹣5），则OM =√5，ON ＝5，经验证：AB ON =OM OA =MN OB ，满足△OMN 与△AOB 相似，故点M （2，﹣1）；②当∠ONM ＝90°时，同理可得：点M （4，3）；③当∠MON ＝90°时，过点M 、N 分别作y 轴的垂线交于点G 、H ，∵∠GMO +∠GOM ＝90°，∠GOM +∠HON ＝90°，∴∠GMO ＝∠HON ＝α，则tan ∠GMO ＝tan ∠HON ，即：2m−5m =m−29−2m ，解得：m ＝3，故点M （3，1）（△OMN 为等腰直角三角形，故舍去）；综上，点M 的坐标为：（2，﹣1）、（4，3），故答案为：（2，﹣1）、（4，3）．2．（2020•余杭区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，将n 个边长为1的正方形并排组成矩形OABC ，相邻两边OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上．现将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转，使得点B 落到x 轴的正半轴上（如图2），设抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0），如果抛物线同时经过点O 、B 、C ：①当n ＝3时a ＝ −√103 ；②a 关于n 的关系式是 a =−√n 2+1n ．【点睛】①当n ＝3时，OC ＝1，BC ＝3，设所求抛物线解析式为y ＝ax 2+bx ，过C 作CD ⊥OB 于点D ，则Rt △OCD ∽Rt △CBD ，得出OD ：CD ＝OC ：BC ＝1：3，设OD ＝t ，则CD ＝3t ，根据勾股定理OD 2+CD 2＝OC 2，求出t ，得出C 的坐标，把B 、C 坐标代入抛物线解析式即可得到方程组，求出a 即可；②根据a ＝2、4和①总结规律，可以得到答案．【解析】解：①如图当n ＝3时，OC ＝1，BC ＝3，设所求抛物线解析式为y ＝ax 2+bx ，过C 作CD ⊥OB 于点D ，则Rt △OCD ∽Rt △OBC ，∴OD CD =OC BC =13， 设OD ＝t ，则CD ＝3t ，∵OD 2+CD 2＝OC 2，∴（3t ）2+t 2＝12，∴t =√110=√1010∴C （√1010，310√10），又B （√10，0）， ∴把B 、C 坐标代入抛物线解析式，得{0=10a +√10b 310√10=110a +√1010b 解得：a =−√103，故答案为：−√103．②当n ＝2时，OC ＝1，BC ＝2，∴OB =√5，∴1×2=√5CD ，B （√5，0）∴CD =2√55， ∴OD =√55，∴C （√55，2√55） 设所求抛物线解析式为y ＝ax 2+bx ，∴{0=5a +√5b 2√55=15a +√55b ， 解得：a =−√52；同理当n ＝4时，a =−√174；∴可以得出a 关于n 的关系式是：a =−√n 2+1n ．故答案为：−√103，a=−√n2+1n．3．（2020•衢州模拟）在直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）交y轴于点A，点B是点A 关于对称轴的对称点，点C是抛物线的顶点，则：（1）抛物线的对称轴为直线x＝2；（2）若△ABC的外接圆经过原点O，则a的值为√5+14．【点睛】（1）根据对称轴方程x=−b2a解答；（2）先求得顶点坐标，然后利用待定系数法确定函数关系式，即求得a的值．【解析】解：（1）抛物线y＝ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x=−−4a2a=2，即x＝2．（2）连接OB交对称轴于点O′．∵抛物线的对称轴x＝2，A（0，2），A，B关于对称轴对称，∴B（4，2），∵△ABC的外接圆经过原点O，∴外接圆的圆心是线段OB的中点O′，∴O′（2，1），∴OB=√22+42=2√5，∴O′C=√5，∴点C坐标为（2，1−√5），∴1−√5=4a﹣8a+2，∴a=√5+1 4．故答案是：2；√5+14．4．（2020•和平区模拟）已知抛物线y ＝ax 2﹣4ax +4a ﹣1．（Ⅰ）该抛物线的对称轴是x ＝ 2 ；（Ⅱ）该抛物线与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（1，0），若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB ＜∠ACB ，则点P 的纵坐标n 的取值范围是 n ＞2+√5或n ＜﹣2−√5 ．【点睛】（Ⅰ）抛物线的对称轴为：x =−b 2a =2；（Ⅱ）当点P 在圆上时，∠APB ＝∠ACB ，点P 在圆外时，∠APB ＜∠ACB ，即可求解．【解析】解：（Ⅰ）抛物线的对称轴为：x =−b 2a =2， 故答案为：2；（Ⅱ）将点A 的坐标代入抛物线表达式并解得：a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣4x +3，则点A 、B 、C 的坐标分别为：（1，0）、（3，0）、（0，3），过点A 、B 、C 作△ABC 的外接圆M （2，m ），当点P 在圆上时，∠APB ＝∠ACB ，点P 在圆外时，∠APB ＜∠ACB ，则MA ＝MC ，即4+（m ﹣3）2＝1+m 2，解得：m ＝2，则圆的半径为：√5，则点P 的坐标为：（2，2+√5），则点P 关于x 轴的对称点P ′（2，﹣2−√5），故答案为：n ＞2+√5或n ＜﹣2−√5．5．（2020•张店区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象过点A（3，m）．（1）当a＝﹣1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标（1，4）；（2）如图，直线l：y＝kx+c（k＜0）交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD⊥x轴交直线l于点D，作QE⊥y轴于点E，连接DE．设∠QED＝β，当2≤x≤4时，β恰好满足30°≤β≤60°，a＝−√33．【点睛】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，可以直接得到答案；（2）将点Q（x，y）代入抛物线解析式得到：y＝ax2﹣2ax+c．结合一次函数解析式推知：D（x，kx+c）．则由两点间的距离公式知QD＝ax2﹣2ax+c﹣（kx+c）＝ax2﹣（2a+k）x．在Rt△QED中，由锐角三角函数的定义推知tanβ=QDQE=ax2−(2a+k)xx=ax﹣2a﹣k．所以tanβ随着x的增大而减小．结合已知条件列出方程组{2a−2aa−k=√34a−2a−k=√33，解该方程组即可求得a的值．【解析】解：（1）当a＝﹣1，m＝0时，y＝﹣x2+2x+c，A点的坐标为（3，0），∴﹣9+6+c＝0．解得c＝3．∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．即y＝﹣（x﹣1）2+4．∴抛物线的顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．（2）∵点Q（x，y）在抛物线上，∴y＝ax2﹣2ax+c．又∵QD⊥x轴交直线l：y＝kx+c（k＜0）于点D，∴D点的坐标为（x，kx+c）．又∵点Q是抛物线上点B，C之间的一个动点，∴QD ＝ax 2﹣2ax +c ﹣（kx +c ）＝ax 2﹣（2a +k ）x ．∵QE ＝x ，∴在Rt △QED 中，tan β=QD QE =ax 2−(2a+k)x x=ax ﹣2a ﹣k ． ∴tan β是关于x 的一次函数，∵a ＜0，∴tan β随着x 的增大而减小．又∵当2≤x ≤4时，β恰好满足30°≤β≤60°，且tan β随着β的增大而增大，∴当x ＝2时，β＝60°；当x ＝4时，β＝30°．∴{2a −2a −k =√34a −2a −k =√33， 解得 {k =−√3a =−√33， 故答案为：−√33．6．（2020•柯桥区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =38x 2−34x −3与x 轴交于点A 、B （A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，经过点A 的射线AF 与y 轴正半轴相交于点E ，与抛物线的另一个交点为F ，AE EF =13，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点P 是y 轴上一点，且∠AFP ＝∠DAB ，则点P 的坐标是 （0，6）或P （0，−1027） ．【点睛】过点F 作FM ⊥x 轴，垂足为M ．设E （0，t ），则OE ＝t ，则F （6，4t ），将点F 的坐标代入抛物线的解析式可求得t 的值，最后，依据cot ∠F AB =OA OE 的值；然后求得cot ∠DAB =43，则∠F AB ＝∠DAB ．当点P 在AF 的上方时可证明PF ∥AB ，从而可求得点P 的坐标；当点P 在AF 的下方时，设FP 与x 轴交点为G （m ，0），则∠PF A ＝∠F AB ，可得到FG ＝AG ，从而可求得m 的值，然后再求得PF 的解析式，从而可得到点P 的坐标．【解析】解：过点F作FM⊥x轴，垂足为M．设E（0，t），则OE＝t．∵AEEF=13，∴AOAM=OEFM=14．∴F（6，4t）．将点F（6，4t）代入y=38x2−34x﹣3得：38×62−343×6﹣3＝0，解得t=32．∴cot∠F AB=OAOE=43．∵y=38x2−34x−3=38（x+2）（x﹣4）．∴A（﹣2，0），B（4，0）．易得抛物线的对称轴为x＝1，C（0，﹣3）．∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，∴D（2，﹣3）．∴cot∠DAB=4 3，∴∠F AB＝∠DAB．如下图所示：当点P 在AF 的上方时，∠PF A ＝∠DAB ＝∠F AB ，∴PF ∥AB ，∴y P ＝y F ＝6．由（1）可知：F （6，4t ），t =32．∴F （6，6）．∴点P 的坐标为（0，6）．当点P 在AF 的下方时，如下图所示：设FP 与x 轴交点为G （m ，0），则∠PF A ＝∠F AB ，可得到FG ＝AG ，∴（6﹣m ）2+62＝（m +2）2，解得：m =174， ∴G （174，0）．设PF 的解析式为y ＝kx +b ，将点F 和点G 的坐标代入得：{6k +b =6174k +b =0， 解得：k =247，b =−1027．∴P （0，−1027）．综上所述，点P 的坐标为（0，6）或P （0，−1027）．故答案是：（0，6）或P （0，−1027）． 7．（2020•金堂模拟）如图，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y ＝a （x ﹣m ）2+n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为﹣3，则点D 的横坐标最大值为 8 ．【点睛】当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．【解析】解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x＝1，此时D点横坐标为5，则CD＝8；当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x＝4，故C（0，0），D（8，0）；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8；故答案为：8．8．（2020•常州模拟）二次函数y=23x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2013在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2013在二次函数y=23x2位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2012B2013A2013都为等边三角形，则△A2012B2013A2013的边长＝2013．【点睛】分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1＝a，A1A2＝b，A2A3＝c，则AB1=√32a，BB2=√32b，CB3=√32，再根据所求正三角形的边长，分别表示B1，B2，B3的纵坐标，逐步代入抛物线y=23x2中，求a、b、c的值，得出规律．【解析】解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A 0A 1＝a ，A 1A 2＝b ，A 2A 3＝c ，则AB 1=√32a ，BB 2=√32b ，CB 3=√32c ，在正△A 0B 1A 1中，B 1（√32a ，a 2）， 代入y =23x 2中，得a 2=23×34a 2，解得a ＝1，即A 0A 1＝1，在正△A 1B 2A 2中，B 2（√32b ，1+b 2）， 代入y =23x 2中，得1+b 2=23×34b 2，解得b ＝2，即A 1A 2＝2， 在正△A 2B 3A 3中，B 3（√32c ，3+c 2）， 代入y =23x 2中，得3+c 2=23×34c ）2，解得c ＝3，即A 2A 3＝3， … 依此类推由此可得△A 2012B 2013A 2013的边长＝2013，故答案为：2013．9．（2020•成都模拟）如图，已知抛物线和x 轴交于两点A 、B ，和y 轴交于点C ，已知A 、B 两点的横坐标分别为﹣1，4，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，则此抛物线顶点的坐标为 （32，258） ．【点睛】根据点A 、B 的横坐标求出OA 、OB 的长，再根据△AOC 和△COB 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出OC 的长度，然后写出点C 的坐标，然后设抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4），把点C 的坐标代入求出a 的值，再整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．【解析】解：∵A 、B 两点的横坐标分别为﹣1，4，∴OA ＝1，OB ＝4，∵∠ACB ＝90°，∴∠CAB +∠ABC ＝90°，∵CO ⊥AB ，∴∠ABC +∠BCO ＝90°，∴∠CAB ＝∠BCO ，又∵∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∴△AOC ∽△COB ，∴AO OC =OC OB ， 即1OC =OC 4，解得OC ＝2，∴点C 的坐标为（0，2），∵A 、B 两点的横坐标分别为﹣1，4，∴设抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4），把点C 的坐标代入得，a （0+1）（0﹣4）＝2，解得a =−12，∴y =−12（x +1）（x ﹣4）=−12（x 2﹣3x ﹣4）=−12（x −32）2+258，∴此抛物线顶点的坐标为（32，258）．故答案为：（32，258）．10．如图，二次函数y =√33x 2−4√33x +√3的图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．（1）若在抛物线对称轴上存在一点P ，使△ACP 周长最小，则P 点坐标为 （2，√33） ； （2）现有一长为2的线段DE 在直线y =√32上移动，且在移动过程中，线段DE 上始终存在点P ，使得三条线段P A ，PB ，PC 能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE 左端点D 的横坐标为t，则t的取值范围是−12≤t≤2．【点睛】（1）先求出点A，点B，点C坐标，当点C，点P，点B三点共线时，△ACP周长最小，由待定系数法可求BC解析式，即可求点P坐标；（2）分三种情况讨论，由两点距离公式和三角形三边关系可求解．【解析】解：（1）如图1，连接BP，∵y=√33x2−4√33x+√3的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C．∴点A（1，0），点B（3，0），点C（0，√3），对称轴为x＝2，∵点A，点B关于对称轴直线x＝2对称，∴AP＝PB，∵AP+CP+AC＝PB+CP+AC，且AC是定值，∴当点C，点P，点B三点共线时，△ACP周长最小，设直线BC解析式为：y＝kx+b，{b=√30=3k+b解得：{k=−√33b=√3∴直线BC解析式为：y=−√33x+√3，当x＝2时，y=√3 3∴点P 坐标（2，√33）， 故答案为：（2，√33）； （2）如图2，∵线段DE 上始终存在点P ，使得三条线段P A ，PB ，PC 能与某个等腰三角形的三条边对应相等， ∴P A ＝PB ，或PB ＝PC ，或PC ＝P A ，∵DE 在直线y =√32上移动，∴点P 的纵坐标为√32， 设点P （x ，√32）， 若P A ＝PC ，∴（x ）2+（√3−√32）2＝（x ﹣1）2+（√32）2， ∴x =12，∴点P （12，√32）， ∴P A ＝PC ＝1，PC =√7，∵P A +PB ＜√7∴不合题意舍去；若PB ＝PC ，∴（x ）2+（√3−√32）2＝（x ﹣3）2+（√32）2， ∴x =32∴∴点P （32，√32）， ∴PB ＝PC =√3，P A ＝1，∵P A +PB ＞PC∴P A ，PB ，PC 能组成三角形；若P A ＝PB ，∴（x ﹣1）2+（√32）2＝（x ﹣3）2+（√32）2， ∴x ＝2，∴点P （2，√32）， ∴P A ＝PB =√72，PC =√194，∵P A +PB ＞PC ，∴P A ，PB ，PC 能组成三角形；∵点P 在长为2的线段DE 上，∴线段DE 左端点D 的横坐标为t 的取值范围为：32−2≤t ≤2， ∴线段DE 左端点D 的横坐标为t 的取值范围为：−12≤t ≤2，故答案为：−12≤t ≤2．11．抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左边），点P 在抛物线上．（1）点C 是x 轴上一个动点，四边形ACPQ 是正方形，则满足条件的点Q 的坐标是 （﹣1，﹣3）或（﹣1，5）或（2，3）或（4，﹣5） ；（2）连结AP ，以AP 为一条对角线作平行四边形AMPN ，使点M 在以点（1，0），（0，1）为端点的线段上，则当点N 的纵坐标取最小值时，N 的坐标为 （0，﹣5） ．【点睛】（1）先求出点A ，点B 坐标，设点C （x ，0），由正方形的性质CA ＝CP ＝AQ ＝QP ，可得|x +1|＝x 2﹣2x ﹣3，可求点C 坐标，即可求点Q 坐标；（2）设点M （m ，﹣m +1），由平行四边形的性质可得AN ＝PM ，AN ∥MP ，当AN ⊥AB 时，且在x 轴下方上，点N 的纵坐标有最小值，由二次函数的性质可求解．【解析】解：（1）令y ＝0，则0＝x 2﹣2x ﹣3，∴x 1＝3，x 2＝﹣1，∴点A （﹣1，0），点B （3，0），如图1，若AC 为边，设点C （x ，0），∴CA ＝|x +1|∵四边形ACPQ 是正方形，∴CA ＝CP ＝AQ ＝QP ，∠QAC ＝90°，∴|x +1|＝|x 2﹣2x ﹣3|，∴x +1＝x 2﹣2x ﹣3或﹣x ﹣1＝x 2﹣2x ﹣3∴x 1＝﹣1（不合题意舍去），x 2＝2，x 3＝4，∴点C （2，0）或（4，0）∴AC ＝AQ ＝3或5，∴点Q （﹣1，﹣3）或（﹣1，5）；若AC 为对角线，则AC 的中点坐标为（x+12，0） ∴CA ＝|x +1|∵正方形的对角线互相垂直平分且相等，∴|x+1|2=|（x+12）2﹣2×x+12−3|， ∴x+12=（x+12）2﹣2×x+12−3或−x+12=（x+12）2﹣2×x+12−3 ∴x 1＝﹣1（不合题意舍去），x 2＝5，x 3＝9，∴AC 的中点坐标为（2，0），（4，0），∴点Q 坐标为（2，3）或（4，﹣5）故答案为（﹣1，﹣3）或（﹣1，5）或（2，3）或（4，﹣5）；（2）∵四边形ANPM 是平行四边形，∴对角线互相平分，∴y A +y P ＝y M +y N ，∴y N ＝0+x 2﹣2x ﹣3﹣y M ，∴当x 2﹣2x ﹣3取最小值，y M 取最大值时，y N 有最小值，∵x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴当x＝1时，x2﹣2x﹣3最小值＝﹣4，点P（1，﹣4）∵0≤y M≤1，∴y M最大值＝1∴y N最小值＝﹣4﹣1＝﹣5．∴故答案为：（0，﹣5）．12．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a﹣1的顶点为点A（1）写出抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）若抛物线的顶点A在第一象限，直线y＝﹣1与此抛物线交于B、C两点，当△ABC为等腰直角三角形，求出此抛物线的解析式；（3）设直线y＝﹣1关于x轴对称的直线为直线m当抛物线与直线m交于两点，两点间距离不小于6时，求a的取值范围．【点睛】（1）由抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；（2）利用配方法可找出顶点A的坐标，代入y＝﹣1可求出点B，C的横坐标，由等腰直角三角形的性质可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值，再将其代入抛物线解析式中即可得出结论；（3）由（2）可得出BC＝3，进而可得出a＜0不符合题意，当a＞0时，由抛物线与直线m两交点的距离不小于6，可得出点（4，1）在抛物线内或抛物线上，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解析】解：（1）抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a=1．故答案为：x＝1．（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a﹣1＝a（x﹣1）2﹣4a﹣1，∴顶点A的坐标为（1，﹣4a﹣1）．当y＝﹣1时，有a（x﹣1）2﹣4a﹣1＝﹣1，即（x﹣1）2＝4，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点B的坐标为（﹣1，﹣1），点C的坐标为（3，﹣1）．∵△ABC为等腰直角三角形，∴﹣4a﹣1﹣（﹣1）=12[3﹣（﹣1）]，∴a=−1 2，∴当△ABC为等腰直角三角形，此抛物线的解析式为y=−12x2+x+12．（3）由（2）可知BC＝3，∴当a＜0时，不符合题意．当a＞0时，如图2所示．∵抛物线与直线m交于两点，两点间距离不小于6，∴a×42﹣2a×4﹣3a﹣1≤1，解得：a≤2 5，∴0＜a≤2 5，∴当抛物线与直线m交于两点，两点间距离不小于6时，a的取值范围为0＜a≤2 5．13．已知抛物线C1：y＝﹣x2+2mx+1（m为常数，且m≠0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B．若点P是抛物线C1上的点，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则m的值为±√3．【点睛】抛物线C1、C2关于y轴对称，那么它们的顶点A、B也关于y轴对称，所以AB∥x轴；若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，那么CP也必须与x轴平行，即点C、P的纵坐标相同，代入抛物线C1的解析式中，就能确定点P的坐标，此时能发现AB＝CP，即四边形APCB中，AB、CP平行且相等，即该四边形APCB是平行四边形，只要再满足AP＝CP（即一组邻边相等），就能判定该四边形是菱形，因此先用m表达出AP、CP的长，再列等式求出m的值．【解析】解：由抛物线C1：y＝﹣x2+2mx+1知，点A（m，m2+1）、C（0，1）；∵抛物线C1、C2关于y轴对称，∴点A、B关于y轴对称，则AB∥x轴，且B（﹣m，m2+1），AB＝|﹣2m|；若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则AB∥CP；在抛物线C1：y＝﹣x2+2mx+1中，当y＝1时，﹣x2+2mx+1＝1，解得x1＝0、x2＝2m，∴点P（2m，m2+1）；∴AB＝CP＝|2m|，又AB∥CP，则四边形APCB是平行四边形；若四边形APCB是菱形，那么必须满足AP＝CP，即：（2m）2＝（m﹣0）2+（m2+1﹣1）2，即：m2＝3，解得m＝±√3．故答案为：±√3．14．（2020•碑林区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为√2+√58．【点睛】根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），从而得四边形EDFG的周长＝DE+DF+FG+GE ＝DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．【解析】解：如图，在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为x＝1，顶点D（1，4），则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），作点D 关于y 轴的对称点D ′（﹣1，4），作点E 关于x 轴的对称点E ′（2，﹣3），连接D ′、E ′，D ′E ′与x 轴的交点G 、与y 轴的交点F 即为使四边形EDFG 的周长最小的点， 四边形EDFG 的周长＝DE +DF +FG +GE ＝DE +D ′F +FG +GE ′ ＝DE +D ′E ′=√(1−2)2+(4−3)2+√(−1−2)2+(4+3)2=√2+√58， ∴四边形EDFG 的周长的最小值为：√2+√58． 故答案是：√2+√58．15．（2020•江阴市模拟）如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1＝x 2（x ≥0）与y 2=x 23（x ≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DE BC= √3 ．【点睛】设A 点坐标为（0，a ），利用两个函数解析式求出点B 、C 的坐标，然后求出BC 的长度，再根据CD ∥y 轴，利用y 1的解析式求出D 点的坐标，然后利用y 2求出点E 的坐标，从而得到DE 的长度，然后求出比值即可得解．【解析】解：设A 点坐标为（0，a ），（a ＞0）， 则x 2＝a ，解得x =√a ， ∴点B （√a ，a ），x 23=a ，则x =√3a ， ∴点C （√3a ，a ）， ∴BC =√3a −√a ． ∵CD ∥y 轴，∴点D 的横坐标与点C 的横坐标相同，为√3a ， ∴y 1＝（√3a ）2＝3a ，∴点D 的坐标为（√3a ，3a ）． ∵DE ∥AC ，∴点E 的纵坐标为3a ，∴x23=3a，∴x＝3√a，∴点E的坐标为（3√a，3a），∴DE＝3√a−√3a，∴DEBC=√a−√3a√3a−√a=√3．故答案是：√3．16．（2020•广南县校级模拟）如图（1），在平面直角坐标系中，梯形OABC如图放置，点B的坐标为（3，m），动点P从原点O出发，以1.2cm/s的速度沿OA运动到点A停止，同时动点Q从原点A出发，以1cm/s的速度沿AB→BC→CO运动到点O停止．设点P、Q出发t秒时，△OPQ 的面积为Scm2．已知S与t的函数关系的图象如图（2）（曲线OD为抛物线的一部分）．则下列结论：①OA＝AB＝5cm；②梯形OABC的面积为18；③当0≤t≤5时，S=1225t2；④线段EF的解析式为S＝﹣3t+36（8≤t≤12）．其中，正确的结论有②③④．（把你认为正确的结论的序号都填上）【点睛】根据图（2）判断出5秒时点P到达点A，点Q到达点B，然后求出OA、AB即可判断出①错误；过点B作BF⊥OA于F，可得四边形OFBC是矩形，根据矩形的对边相等可得OF＝BC＝3，然后求出AP＝3，利用勾股定理列式求出BF，从而得到点B的坐标，再利用梯形的面积公式列式计算即可判断出②正确；利用∠OAB的正弦表示出点Q到OA的距离，再根据三角形的面积公式列式整理即可得到S与t的关系式，从而判断出③正确；根据AB、BC、OC的长度写出点E、F的坐标，设线段EF的解析式为S＝kt+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可判断出④正确．【解析】解：由图（2）可知，5秒时，点P 到达点A ，点Q 到达点B ， ∵点P 的速度是1.2cm /s ，点Q 的速度是1cm /s ， ∴OA ＝1.2×5＝6cm ，AB ＝1×5＝5cm ， ∴OA ≠AB ，故①错误；过点B 作BF ⊥OA 于F ，则四边形OFBC 是矩形， 所以，OF ＝BC ＝cm 3，所以，AF ＝OA ﹣OF ＝6﹣3＝3cm ，由勾股定理得，BF =√AB 2−AF 2=√52−32=4cm ， 所以，点B 的坐标为（3，4）， 梯形OABC 的面积=12（BC +OA ）•BF =12×（3+6）×4＝18，故②正确； 0≤t ≤5时，点P 在OA 上，OP ＝1.2t ，点Q 在AB 上，点Q 到OA 的距离＝AQ •sin ∠OAB =45t ， 所以，△OPQ 的面积=12•1.2t •45t =1225t 2，故③正确； ∵AB ＝5，BC ＝3，OC ＝4，∴点E 的坐标为（8，12），点F 的坐标为（12，0）， 设线段EF 的解析式为S ＝kt +b （k ≠0）， 把点E 、F 代入得，{8k +b =1212k +b =0，解得{k =−3b =36，所以，线段EF 的解析式为S ＝﹣3t +36（8≤t ≤12）； 综上所述，正确的结论是②③④． 故答案为：②③④．17．（2020•成都模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx （k 为常数）与抛物线y =13x 2﹣2交于A ，B 两点，且A 点在y 轴左侧，P 点的坐标为（0，﹣4），连接P A ，PB ．有以下说法： ①PO 2＝P A •PB ；②当k ＞0时，（P A +AO ）（PB ﹣BO ）的值随k 的增大而增大； ③当k =−√33时，BP 2＝BO •BA ；④△P AB 面积的最小值为4√6．其中正确的是 ③④ ．（写出所有正确说法的序号） 【点睛】首先得到两个基本结论：（Ⅰ）设A （m ，km ），B （n ，kn ），联立两个解析式，由根与系数关系得到：m +n ＝3k ，mn ＝﹣6；（Ⅱ）直线P A 、PB 关于y 轴对称． 利用以上结论，解决本题：（1）说法①错误．如答图1，设点A 关于y 轴的对称点为A ′，若结论①成立，则可以证明△POA ′∽△PBO ，得到∠AOP ＝∠PBO ．而∠AOP 是△PBO 的外角，∠AOP ＞∠PBO ，由此产生矛盾，故说法①错误；（2）说法②错误．如答图2，可求得（P A +AO ）（PB ﹣BO ）＝16为定值，故错误；（3）说法③正确．联立方程组，求得点A 、B 坐标，进而求得BP 、BO 、BA ，验证等式BP 2＝BO •BA 成立，故正确；（4）说法④正确．由根与系数关系得到：S △P AB ＝2√9k 2+24，当k ＝0时，取得最小值为4√6，故正确．【解析】解：设A （m ，km ），B （n ，kn ），其中m ＜0，n ＞0． 联立y =13x 2﹣2与y ＝kx 得：13x 2﹣2＝kx ，即x 2﹣3kx ﹣6＝0，∴m +n ＝3k ，mn ＝﹣6．设直线P A 的解析式为y ＝ax +b ，将P （0，﹣4），A （m ，km ）代入得：{b =−4ma +b =km，解得a =km+4m ，b ＝﹣4， ∴y ＝（km+4m）x ﹣4．令y ＝0，得x =4mkm+4， ∴直线P A 与x 轴的交点坐标为（4m km+4，0）．同理可得，直线PB 的解析式为y ＝（kn+4n）x ﹣4，直线PB 与x 轴交点坐标为（4nkn+4，0）．∵4m km+4+4n kn+4=8kmn+16(m+n)(km+4)(kn+4)=8k×(−6)+16×3k (km+4)(kn+4)=0，∴直线P A 、PB 与x 轴的交点关于y 轴对称，即直线P A 、PB 关于y 轴对称．（1）说法①错误．理由如下：如答图1所示，∵P A 、PB 关于y 轴对称， ∴点A 关于y 轴的对称点A ′落在PB 上． 连接OA ′，则OA ＝OA ′，∠POA ＝∠POA ′．假设结论：PO 2＝P A •PB 成立，即PO 2＝P A ′•PB ， ∴PO PA′=PB PO，又∵∠BPO ＝∠BPO ， ∴△POA ′∽△PBO ， ∴∠POA ′＝∠PBO ， ∴∠AOP ＝∠PBO ． 而∠AOP 是△PBO 的外角， ∴∠AOP ＞∠PBO ，矛盾， ∴说法①错误．（2）说法②错误．理由如下： 易知：OB OA=−n m，∴OB =−nm OA ．由对称可知，PO 为△APB 的角平分线， ∴PB PA=OB OA ，∴PB =−nm P A ．∴（P A +AO ）（PB ﹣BO ）＝（P A +AO ）[−nm P A ﹣（−nm OA ）]=−nm （P A +AO ）（P A ﹣OA ）=−nm （P A 2﹣AO 2）．如答图2所示，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，则OD ＝﹣km ，PD ＝4+km ．∴P A 2﹣AO 2＝（PD 2+AD 2）﹣（OD 2+AD 2）＝PD 2﹣OD 2＝（4+km ）2﹣（﹣km ）2＝8km +16， ∵m +n ＝3k ，∴k =13（m +n ），∴P A 2﹣AO 2＝8•13（m +n ）•m +16=83m 2+83mn +16=83m 2+83×（﹣6）+16=83m 2．∴（P A +AO ）（PB ﹣BO ）=−nm （P A 2﹣AO 2）=−n m •83m 2=−83mn =−83×（﹣6）＝16． 即：（P A +AO ）（PB ﹣BO ）为定值，所以说法②错误． （3）说法③正确．理由如下：当k =−√33时，联立方程组：{y =−√33xy =13x 2−2，得A （−2√3，2），B （√3，﹣1），∴BP 2＝12，BO •BA ＝2×6＝12， ∴BP 2＝BO •BA ，故说法③正确． （4）说法④正确．理由如下：S △P AB ＝S △P AO +S △PBO =12OP •（﹣m ）+12OP •n =12OP •（n ﹣m ）＝2（n ﹣m ）＝2√(m +n)2−4mn =2√9k 2+24，∴当k ＝0时，△P AB 面积有最小值，最小值为2√24=4√6． 故说法④正确．综上所述，正确的说法是：③④． 故答案为：③④．18．（2020绵阳模拟）连接抛物线y ＝ax 2（a ≠0）上任意四点所组成的四边形可能是 ②③ （填写所有正确选项的序号）．①菱形；②有三条边相等的四边形；③梯形；④平行四边形．【点睛】注意观察选项，①和④基本要求满足平行四边形，②和③一组非平行四边形，平行四边形性质两边平行且相等，画出图形就知道了．【解析】解：抛物线y＝ax2（a≠0）上任意四点组成四边形，由抛物线性质知道若两边平行则不会相等，构成梯形，若两边相等则不可能平行，此图可以看出可以作三边相等的四边形，满足不了为平行四边形的条件．19．（2020•义乌市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A和点B．（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，则点D的坐标是D（1，2）；（2）在（1）的条件下，连接BD，P为抛物线上一点，且∠DBP＝135°，则点P的坐标是（﹣4，﹣18）．【点睛】（1）根据函数解析式和点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，可以求得m的值，从而可以得到点D的坐标；（2）根据题意，画出图形，然后作出合适的辅助线，然后根据题目中的条件，可以表示出点P的坐标，再根据点P在抛物线上，即可求得点P的坐标，本题得以解决．【解析】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+x+2，点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，∴{m+1=−m2+m+2m＞0，得m＝1，∴点D的坐标为（1，2），故答案为：（1，2）；（2）过点P作PE⊥DB交DB的延长线于点E，作EF⊥x轴于点F，作PG⊥EF交EF的延长线于点G，∵∠DBP＝135°，∴∠PBE＝45°，∵∠BEP＝90°，∴∠BPE＝∠PBE＝45°，∴BE＝PE，∵∠BEP＝90°，∠EFB＝90°，∴∠PEG+∠BEF＝90°，∠EBF+∠BEF＝90°，∴∠PEG＝∠EBF，又∵∠PGE＝∠EFB＝90°，PE＝EB，∴△PGE≌△EFB（AAS），∴EG＝BF，PG＝EF，∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣2）（x+1），∴当y＝0时，x＝2或x＝﹣1，∴点B的坐标为（2，0）∵点D（1，2），点B（2，0），∴tan∠DBA＝2，∴tan∠EBF＝2，设BF＝a，则EF＝2a，EG＝a，PG＝2a，∴点P的坐标为（2﹣a，﹣3a），∴﹣3a＝﹣（2﹣a）2+（2﹣a）+2解得，a1＝6，a2＝0（舍去），∴点P的坐标为（﹣4，﹣18），故答案为：（﹣4，﹣18）．20．（2020•岳麓区校级模拟）如图，抛物线y =12x 2−x −32的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ，顶点为E ，以AB 为直径画半圆交y 正半轴交于点C ，圆心为M ，P 是半圆上的一动点，连接EP ． ①点E 在⊙M 的内部； ②CD 的长为32+√3；③若P 与C 重合，则∠DPE ＝15°；④在P 的运动过程中，若AP =√6，则PE =√5+√3⑤N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是2π． 以上5个结论正确的是 ②③④ ；（填写序号）【点睛】①ME ＝2＝AM ，∴E 应该在⊙M 上，即可求解； ②CD ＝2×32=3，故CD 的长为32+√3，即可求解；③过点D 作DH ⊥ME ，由DH ＝1，MD ＝R ＝2，故∠DME ＝30°，则∠DPE ＝15°，即可求解； ④AK ＝AE sin α＝2√2×√64=√3，同理EK =√5，则PK =√3，即可求解；⑤点N 的运动轨迹为以R 为圆心的半圆，则N 运动的路径长=12×2πr ＝π，即可求解； 【解析】解：抛物线y =12x 2−x −32的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ，则点A、B、D的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，−32），则点M（1，0），顶点E的坐标为：（1，﹣2），AB＝4，CO=√3，OD=32，故点D不在⊙M上；①ME＝2＝AM，∴E应该在⊙M上，故不符合题；②C是圆M与y轴交点，圆M半径为2，M（1，0）由勾股定理得OC=√3，CD＝2×32=3，故CD的长为32+√3，符合题意；③如图1，连接PM、PE，点E（﹣1，2），故点E在圆上，CO=√3，OM＝1，PM＝2，故∠OPM＝30°，EM∥y轴，则∠MEP＝∠EPC，而∠MEP＝∠MPE，∴∠DPE=12DOM＝15°，符合题意；④如图2，连接PB、P A、AE，∵点B、E均在圆上，则∠ABP＝∠AEP＝α，sin∠AEP＝sin∠ABP=APAB=√64=sinα，则cosα=√104，过点A作AK垂直于PE于K，则AK＝AE sinα＝2√2×√64=√3，EK＝AE cosα═√5，则PK＝AK=√3，故则PE=√5+√3，符合题意；⑤如图3，图中实点G 、N 、M 、F 是点N 运动中所处的位置，则GF 是等腰直角三角形的中位线，GF =12AB ＝2，ME 交AB 于点R ，则四边形GEFM 为正方形， 当点P 在半圆任意位置时，中点为N ，连接MN ，则MN ⊥PE ，连接NR ，则NR =12ME ＝MR ＝RE ＝RG ＝RF =12GF ＝1，则点N 的运动轨迹为以R 为圆心的半圆， 则N 运动的路径长=12×2πr ＝π，故不符合题意；故答案为：②③④．21．（2020•义乌市模拟）已知：直线y ＝ax +b 与抛物线y ＝ax 2﹣bx +c 的一个交点为（0，2），同时这条直线与x 轴相交于点A ，且相交所成的角为45°．（1）点A 的坐标为 （﹣2，0）或（2，0） ；（2）若抛物线y ＝ax 2﹣bx +c 与x 轴交于点M 、N （点M 在点N 左边），将此抛物线作关于y 轴对称，M 的对应点为E ，两抛物线相交于点F ，连接NF ，EF 得△NEF ，P 是轴对称后的抛物线上的点，使得△NEP 的面积与△NEF 的面积相等，则P 点坐标为 （﹣2，2）或（﹣1+√5，﹣2）或（﹣1−√5，﹣2） ．【点睛】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求得；（2）利用待定系数法即可求得抛物线解析式；利用b 2﹣4ac 确定抛物线有没有交点，因为轴反射后的像与原像相交于点F ，则F 点即为A 点，则OF ＝2，由于△NEP 的面积与△NEF 的面积相等且同底，所以P 点的纵坐标为2或﹣2，代入y ＝﹣x 2﹣2x +2即可求得．【解析】解：（1）设直线y ＝ax +b 与抛物线y ＝ax 2﹣bx +c 的一个交点为B （0，2），∵直线y ＝ax +b 过点（0，2），同时这条直线与x 轴相交于点A ，且相交所成的角为45°， ∴OA ＝OB ，∴当a ＞0时，A （﹣2，0），当a ＜0时，A （2，0）；故答案是：（﹣2，0）或（2，0）；（2）把B （0，2），A （﹣2，0）代入直线y ＝ax +b 得，{b =20=−2a +b ，解得：{a =1b =2， 把B （0，2），A （2，0）代入直线y ＝ax +b 得{b =20=2a +b， 解得：{a =−1b =2， ∵抛物线y ＝ax 2﹣bx +c 过B （0，2），∴c ＝2，故抛物线的解析式为：y ＝x 2﹣2x +2或y ＝﹣x 2﹣2x +2．存在．如图，抛物线为y ＝x 2﹣2x +2时，b 2﹣4ac ＝4﹣4×1×2＜0，抛物线与x 轴没有交点，抛物线为y ＝﹣x 2﹣2x +2时，b 2﹣4ac ＝4﹣4×（﹣1）×2＞0，抛物线与x 轴有两个交点；∵y 轴反射后的像与原像相交于点F ，则F 点即为B 点，∴F （0，2）∵△NEP 的面积与△NEF 的面积相等且同底，∴P 点的纵坐标为2或﹣2，当y ＝2时，﹣x 2﹣2x +2＝2，解得：x ＝﹣2或x ＝0（与点F 重合，舍去）；当y ＝﹣2时，﹣x 2﹣2x +2＝﹣2，解得：x ＝﹣1+√5，x ＝﹣1−√5，故存在满足条件的点P ，点P 坐标为：（﹣2，2），（﹣1+√5，﹣2），（﹣1−√5，﹣2）． 故答案是：（﹣2，2）或（﹣1+√5，﹣2）或（﹣1−√5，﹣2）．22．（2020•诸城市校级模拟）如图，已知抛物线P ：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在x 轴的正半轴上），与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x… ﹣3 ﹣2 1 2 … y … −52 ﹣4 −52 0 …（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）若点D 的坐标为（m ，0），矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围．【点睛】（1）首先从表格中取抛物线P 上的任意三点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后再求抛物线与坐标轴的交点坐标．（2）欲求矩形DEFG 的面积，需求出两条邻边的长，在相似三角形△ADG 和△AOC 中，OA 、OC 长已知，AD 、OD 可由m 表达出来，利用对应边成比例即可求出DG 的长；同理，在相似三角形△BEF 和△BOC 中可求出BE 的长，那么由AB ﹣BE ﹣AD 即可求出DE 的长，长×宽即可得到关于S 、m 的函数关系式，而m 的取值范围可由G 点的位置（G 在线段AC 上，即D 在线段OA 上，但不与O 、A 重合）得出．【解析】解：（1）抛物线P ：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），任取x ，y 的三组值代入，得：{ 9a −3b +c =−524a −2b +c =−4a +b +c =−52， 解得{a =12b =1c =−4故抛物线P ：y =12x 2+x ﹣4；令y ＝0，得：x 1＝﹣4，x 2＝2；令x ＝0，得：y ＝﹣4；则A 、B 、C 三点的坐标分别是A （2，0），B （﹣4，0），C （0，﹣4）．（2）∵DG ∥OC ，∴△ADG ∽△AOC ，∴AD AO =DG OC其中，AO ＝2，OC ＝4，AD ＝2﹣m ，故DG ＝4﹣2m ；又∵BE BO =EF OC ，EF ＝DG ，得BE ＝4﹣2m ，。

决战2020中考数学压轴题综合提升训练：二次函数1．如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．（1）求a、b的值；（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ 最大时，请直接写出四边形BQMN的周长最小时点Q、M、N的坐标．0），与y轴交于点C（0，2），连接BC，位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E，连接AC，BC，PA，PB，PC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P点的横坐标；（3）如图1，当直线1运动时，求△PCB面积的最大值；（4）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H、K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH、HK，当△PCB的面积最大时，请直接写出PH+HK+KG的最小值．0），与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作PQ∥y轴，交直线AC于点Q，设点P的横坐标是m．①求线段PQ的长度n关于m的函数关系式；②连接AP，CP，求当△ACP面积为时点P的坐标；（3）若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN的长度；若不存在，请说明理由．4．已知：在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是某函数图象上任意两点（x1＜x2），将函数图象中x＜x1的部分沿直线y＝y1作轴对称，x＞x2的部分沿直线y＝y2作轴对称，与原函数图象中x1≤x≤x2的部分组成了一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于点A、B的“双对称函数”．例如：如图①，点A（﹣2，﹣1）、B（1，2）是一次函数y＝x+1图象上的两个点，则函数y＝x+1关于点A、B的“双对称函数”的图象如图②所示．（1）点A（t，y1）、B（t+3，y2）是函数y＝图象上的两点，y＝关于点A、B的“双对称函数”的图象记作G，若G是中心对称图形，直接写出t的值．（2）点P（，y1），Q（+t，y2）是二次函数y＝（x﹣t）2+2t图象上的两点，该二次函数关于点P、Q的“双对称函数”记作f．①求P、Q两点的坐标（用含t的代数式表示）．②当t＝﹣2时，求出函数f的解析式；③若﹣1≤x≤1时，函数f的最小值为y min，求﹣2≤y min≤﹣1时，t的取值范围．5．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点E（﹣1，4），对称轴交x轴于点F．（1）请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式；（2）连接AC、AE、CE，判断△A CE的形状，并说明理由；（3）如图2，点D是抛物线上一动点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴于点K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．在点D的运动过程中，①DG、GH、HK这三条线段能否相等？若相等，请求出点D的坐标；若不相等，请说明理由；②在①的条件下，判断CG与AE的数量关系，并直接写出结论．7．定义：如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A．B两点不重合），如果△ABP中，PA与PB两条边满足其中一边是另一边的倍，则称点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的“好”点．（1）命题：P（0，3）是抛物线y＝﹣x2+2x+3的“好”点．该命题是（真或假）命题．（2）如图2，已知抛物线C：y＝ax2+bx（a＜0）与x轴交于A，B两点，点P（1，2）是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．8．在平面直角坐标系中，顶点为（2，）的抛物线交x轴于A，B两点（A点在B点左侧），交y轴于点C，已知A点坐标为（﹣2，0）．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）动点M，N同时从O点出发，同时到达C点运动停止．点M沿线段OC运动，速度为每秒1个单位长度，点N沿线段OB→线段BC运动．设点M的运动时间为t秒，△OMN的面积为S，求出S与t之间的函数表达式；（3）在抛物线位于第四象限的部分图象上，是否存在一点P，使△BCP的面积最大？若存在，求出△BCP面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图①抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．11．如图，抛物线y＝x2+bx+c与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，作直线BC，点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，﹣6）．（1）求抛物线的解析式并写出其对称轴；（2）D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线BC上的一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q．使以C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出Q点的横坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．13．我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“共点抛物线”，这个交点为“共点”．（1）判断抛物线y＝x2与y＝﹣x2是“共点抛物线”吗？如果是，直接写出“共点”坐标；如果不是，说明理由；（2）抛物线y＝x2﹣2x与y＝x2﹣2mx﹣3是“共点抛物线”，且“共点”在x轴上，求抛物线y＝x2﹣2mx﹣3的函数关系式；（3）抛物线L1：y＝﹣x2+2x+1的图象如图所示，L1与L2：y＝﹣2x2+mx是“共点抛物线”；①求m的值；②点P是x轴负半轴上一点，设抛物线L1、L2的“共点”为Q，作点P关于点Q的对称点P′，以PP′为对角线作正方形PMP′N，当点M或点N落在抛物线L1上时，直接写出点P的坐标．14．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y ＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x＝2．点G是抛物线y＝ax2+bx+c位于直线y＝﹣x+3下方的任意一点，连接PB、GB、GC、AC．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△GBC面积的最大值；（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣+2经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线在第一象限内的图象上，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AC于点E，连接PC，设点P的横坐标为m．①当△PCE是等腰三角形时，求m的值；②过点C作直线PD的垂线，垂足为F．点F关于直线PC的对称点为F′，当点F′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．参考答案1．解：（1）∵过点的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，∴解之，得；（2）设点C的坐标是（0，m）．由（1）可得抛物线，∴抛物线的顶点D的坐标是（2，﹣3），点B的坐标是（4，0）．当∠CBD＝90°时，有BC2+BD2＝CD2．∴，解之，得，∴；当∠CDB＝90°时，有CD2+BD2＝BC2．∴，解之，得，∴；当∠BCD＝90°时，有CD2+BC2＝BD2．∴，此方程无解．综上所述，当△BDC为直角三角形时，△OBC的面积是或；（3）设直线y＝kx过点，可得直线．由（1）可得抛物线，∴，∴当时，PQ最大，此时Q点坐标是．∴PQ最大时，线段BQ为定长．∵MN＝2，∴要使四边形BQMN的周长最小，只需QM+BN最小．将点Q向下平移2个单位长度，得点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，直线BQ2与对称轴的交点就是符合条件的点N，此时四边形BQMN的周长最小．设直线y＝cx+d过点和点B（4，0），则解之，得∴直线过点Q2和点B．解方程组得∴点N的坐标为，∴点M的坐标为，所以点Q、M、N的坐标分别为，，．2．解：（1）∵点A（﹣2，0），点B（4，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），把点C（0，2）代入得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）设P（x，﹣x2+x+2），∵动直线l在y轴的右侧，P为抛物线与l的交点，∴0＜x＜4，∵点A（﹣2，0）、C（0，2），∴OA＝2，OC＝2，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠PAE≠∠CAO，∴只有当∠PAE＝∠ACO时，△PEA∽△AOC，此时，即＝，3x2﹣2x﹣16＝0，（x+2）（3x﹣8）＝0，x＝﹣2（舍）或，则点P的横坐标为；（3）如图1，△PCB的面积＝，∵OB＝4是定值，∴当PD的值最大时，△PCB的面积最大，∵B（4，0），C（0，2），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，设P（x，﹣x2+x+2），D（x，﹣x+2），∴PD＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣+2）＝﹣+x＝﹣（x﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当x＝2时，PD有最大值是，此时△PCB的面积＝＝×4＝2；（4）如图2中，△AOC中，OA＝2，OC＝2，∴AC＝4，∴∠ACO＝30°，∵BG∥AC，∴∠BGO＝∠ACO＝30°，Rt△BOG中，OB＝4，∴OG＝4，由（3）知：△PCB的面积最大时，P（2，2），则OP＝＝4，如图2，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线a，作PM⊥直线a于M，KM′⊥直线a于M′，则PH+HK+KG＝PH+HK+KM′≥PM，∵P（2，2），∴∠POB＝60°，∵∠MOG＝30°，∴∠MOG+∠BOC+∠POB＝180°，∴P，O，M共线，Rt△OMG中，OG＝4，MG＝2，∴OM＝6，可得PM＝10，∴PH+HK+KG的最小值为10．3．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），①将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣3，则点Q（m，﹣3m﹣3），n＝PQ＝m2﹣2m﹣3+3m+3＝m2+m；②连接AP交y轴于点H，同理可得：直线AP的表达式为：y＝（m﹣3）x+m﹣3，则OH＝3﹣m，则CH＝m，△ACP面积＝×CH×（xP﹣xA）＝m（m+1）＝，解得：m＝（不合题意的值已舍去），故点P（，﹣）；（3）点C（0，﹣3），点B（3，0），设点M（m，n），n＝m2﹣2m﹣3，点N（1，s），①当BC是边时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到B，同样点M（N）向右平移3个单位向上平移3个单位得到N（M），即m±3＝1，n±3＝s，解得：m＝﹣2或4，s＝8或2，故点N（1，2）或（1，8），则BN＝2或2；②当BC是对角线时，由中点公式得：3＝m+1，﹣3＝s+n，解得：s＝0，故点N（1，0），则BN＝2，综上，BN＝2或2或2．4．解：（1）如图1，设点A（t，），A′（t+3，），∵G是中心对称图形，由反比例函数图象的中心对称性质可知：A与A′关于原点成中心对称，∴t+t+3＝0，解得：t＝；（2）①y1＝+2t＝t2+t+，y2＝+2t＝2t+∴P（，t2+t+），Q（+t，2t+），②当t＝﹣2时，y＝（x+2）2﹣4，P（，），Q（，），根据“双对称函数”定义可知：新图象f由x＜时抛物线y＝（x+2）2﹣4沿直线y＝翻折所得图象、x＞时抛物线y＝（x+2）2﹣4沿直线y＝翻折所得图象及≤x≤时抛物线y＝（x+2）2﹣4三个部分组成，∴当t＝﹣2时，函数f的解析式为：y＝③∵当﹣1≤x≤1时，函数f的最小值为y min，且﹣2≤y min≤﹣1，若t＜0，该二次函数关于点P、Q的“双对称函数”为：y＝，当t≤﹣1时，点Q始终是“双对称函数”在﹣1≤x≤1的最低点，由﹣2≤2t+≤﹣1，∴≤t≤，故≤t≤﹣1当﹣1＜t＜0时，将x＝﹣1代入得y＝﹣（﹣1﹣t）2+2t+＝﹣t2，由﹣2≤﹣t2≤﹣1，解得：≤t≤，∴﹣1≤t≤﹣当t≥0时，由﹣2≤﹣（﹣1﹣t）2+2t2+≤﹣1，可解得：≤t≤，综上所述，t的取值范围为：﹣≤t≤或≤t≤，5．解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）由题，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CF sin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝AB cos∠ABE＝AB cos∠ACO＝4×＝，|y|＝OB tan∠ABE＝OB tan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．6．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4＝a（x2+2x+1）+4，故a+4＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AE的表达式为：y＝2x+6；同理可得：直线AC的表达式为：y＝x+3；（2）点A、C、E的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，3）、（﹣1，4），则AC2＝18，CE2＝2，AE2＝20，故AC2+CE2＝AE2，则△ACE为直角三角形；（3）①设点D、G、H的坐标分别为：（x，﹣x2﹣2x+3）、（x，2x+6）、（x，x+3），DG＝﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣3；HK＝x+3；GH＝2x+6﹣x﹣3＝x+3；当DG＝HK时，﹣x2﹣4x﹣3＝x+3，解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），故x＝﹣2，当x＝﹣2时，DG＝HK＝GH＝1，故DG、GH、HK这三条线段相等时，点D的坐标为：（﹣2，3）；②CG＝＝；AE＝＝2，故AE＝2CG．7．解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），则PA＝＝，PB＝3，则PA与PB两条边满足其中一边是另一边的倍，则该命题是假命题，故答案为：假；（2）将点P的坐标代入抛物线表达式得：a+b＝2，点A（0，0），则点B（，0），点P（1，2），则PA2＝5，PB2＝4+（﹣1）2＝4+（）2，①当PA＝2PB时，即5＝8[4+（）2]，解得：方程无解；②当PB＝2PA时，4+（）2＝5×8＝40，解得：a＝﹣，则b＝，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；（3）S△ABQ＝S△ABP，则|y Q|＝y P＝2，则±2＝﹣x2+x，解得：x＝1（舍去）或6或，则点Q的坐标为：（6，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．8．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣，将点A的坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣＝x2﹣x﹣8；（2）点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（6，0）、C（0，﹣8），则OA＝2，OB＝6，OC＝8，则BC＝10，OB+BC＝16，OC＝8，动点M，N同时从O点出发，同时到达C点运动停止，M沿线段OC运动，速度为每秒1个单位长度，则点N速度为每秒2个单位长度，①当点N在OB上运动时，即0≤t≤3，S＝×OM×ON＝t×2t＝t2；②当点N在BC上运动时，即3＜t≤8，如图1，过点N作NH⊥y轴于点H，则得：，解得：NH＝，S＝×OC×MH＝＝，故S＝；（3）存在，理由：过点P作x轴的垂线交BC于点G，设BC的表达式为：y＝kx+b，过点B（6，0）、C（0，﹣8），则直线BC的表达式为：y＝x﹣8，设点P（x，x2﹣x﹣8）、则点G（x，x﹣8），则△BCP的面积S＝×PG×OB＝（x﹣8﹣x2+x+8）＝﹣2x2+12x，∵﹣2＜0，故△BCP的面积有最大值，此时，x＝3，其最大值为：18，点P（3，﹣10），答：△BCP面积的最大值为18，此时P点的坐标为（3，﹣10）．9．解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．∴解得∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．∵点D（2，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝3，∴D（2，3），∵C（0，3）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝2，再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）∴∠DBC＝∠GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（3，0）代入，得k＝﹣，b＝1，∴BP解析式为y BP＝﹣x+1．y BP＝﹣x+1，y＝﹣x2+2x+3当y＝y BP时，﹣x+1＝﹣x2+2x+3，解得x1＝﹣，x2＝3（舍去），∴y＝，∴P（﹣，）．（3）M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）．10．解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝x2+mx+n，得，解得，m＝﹣，n＝5，则抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+5，点A坐标为（0，5）；（2）AC＝＝5，BC＝＝，AB＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，当∠PAB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y轴于点Q，∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠PAB＝135°，∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，∵∠QAP+∠QPA＝90°，∴∠QPA＝∠CAB，又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线，由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1），将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5，∴k＝﹣，∴y AB'＝﹣x+5，联立，解得，x1＝，x2＝0（舍去），则F'（，﹣），将B（6，1），B'（4，﹣1）代入直线y＝mx+n，得，，解得，k＝1，b＝﹣5，∴y BB'＝x﹣5，由题意知，k FF'＝K BB'，∴设y FF'＝x+b，将点F'（，﹣）代入，得，b＝﹣，∴y FF'＝x﹣，联立，解得，x＝，y＝，∴F（，），则FF'＝＝．11．解：（1）将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，令y＝0，则x＝﹣2或6，则点A（﹣2，0），则函数的对称性x＝2；（2）①当∠BCD＝90°时，将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：直线BC的表达式为：y＝x﹣6，则直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣6，当x＝2时，y＝﹣8，故点D（2，﹣8）；②当∠DBC＝90°时，同理可得点D（2，4），故点D（2，﹣8）或（2，4）；（3）①当CE为菱形的一条边时，则PQ∥CE，设点P（m，m﹣6），则点Q（m，n），则n＝m2﹣2m﹣6…①，由题意得：CP＝PQ，即m＝m﹣6﹣n…②，联立①②并解得：m＝6﹣2，n＝4﹣8，则点Q（6﹣2，4﹣8）；②当CE为菱形的对角线时，则PQ⊥CE，即PQ∥x轴，设点P（m，m﹣6），则点Q（s，m﹣6），其中m﹣6＝s2﹣2s﹣6…③，则PC＝﹣m，CQ2＝s2+m2，由题意得：CQ＝CP，即：（﹣m）2＝s2+m2…④，联立③④并解得：m＝6或﹣2（舍去6），故点（2，﹣8）；综上，点Q（6﹣2，4﹣8）或（2，﹣8）．12．解：（1）函数表达式为：y＝a（x＝4）2+3，将点B坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣5；（2）A（4，3）、B（0，﹣5），则点M（2，﹣1），设直线AB的表达式为：y＝kx﹣5，将点A坐标代入上式得：3＝4k﹣5，解得：k＝2，故直线AB的表达式为：y＝2x﹣5；（3）设点Q（4，s）、点P（m，﹣m2+4m﹣5），①当AM是平行四边形的一条边时，当点Q在A的下方时，点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，同样点P（m，﹣m2+4m﹣5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q（4，s），即：m﹣2＝4，﹣m2+4m﹣5﹣4＝s，解得：m＝6，s＝﹣3，故点当点Q在点A上方时，AQ＝MP＝2，同理可得点Q的坐标为（4，5），②当AM是平行四边形的对角线时，由中点定理得：4+2＝m+4，3﹣1＝﹣m2+4m﹣5+s，解得：m＝2，s＝1，故点P、Q的坐标分别为（2，1）、（4，1）；综上，P、Q的坐标分别为（6，1）、（4，﹣3）或（2，1）、（4，5）或（2，1）、（4，1）．13．解：（1）是，（0，0）x2＝﹣x2∴x＝0（2）令y＝x2﹣2x＝0解得x1＝0，x2＝2当x＝0时，﹣3≠0∴（0，0）不是共点当x＝2时，4﹣4m﹣3＝0解得m＝∴y＝x（3）①若两个抛物线是“共点抛物线”则方程﹣x2+2x+1＝﹣2x2+mx有两个相等的实数根即x2+（2﹣m）x+1＝0有两个相等的实数根∴△＝（2﹣m）2﹣4＝0解得m＝0或m＝4∴m的值为0或4．②P（﹣3，0）或P（﹣5，0）或P（﹣13，0）设点P（a，0）当m＝0时，Q（﹣1，﹣2）∴P'（﹣2﹣a，﹣4）∵PM＝MP'，∠A＝∠B，∠AMP＝∠BP'M ∴△APM≌△BMP'（AAS）设M（x，y），N（a，b）解得解得∴可得M（1，﹣3﹣a），N（﹣3，a﹣1）分别代入L1解析式可得a1＝﹣5，a2＝﹣13当m＝4时，Q（1，2）∴P'（2﹣a，4）∵PM＝MP'，∠A＝∠B，∠AMP＝∠BP'M ∴△APM≌△BMP'（AAS）设M（p，q），N（x，y）解得解得∴可得M（﹣2，4﹣a），N（3，1+a）分别代入L1解析式可得a1＝﹣3，a2＝11（舍）∴P（﹣3，0）或P（﹣5，0）或P（﹣13，0）14．解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴相交于点B、点C，∴当y＝0时，x＝3；当x＝0时，y＝3．∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x＝2，∴点A的坐标为（1，0），又∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图1，过G作GH∥y轴交BC于点H，设点G（m，m2﹣4m+3 ），则点H（m，﹣m+3）（0＜m＜3），∴GH＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝m2+3m，∴＝，∵0＜m＜3，∴根据二次函数的图象及性质知，当时，△GBC的面积取最大值；（3）如图2，由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得顶点P（2，﹣1），设抛物线的对称轴交x轴于点M，∵在Rt△PBM中，PM＝MB＝1，∴∠PBM＝45°，PB＝，由点B（3，0），C（0，3）知，OB＝OC＝3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC＝45°，由勾股定理，得BC＝，假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当，∠PBQ＝∠ABC＝45°时，△PBQ∽△ABC．即，解得：BQ＝3，又∵BO＝3，∴点Q与点O重合，∴Q1的坐标是（0，0）；②当，∠QBP＝∠ABC＝45°时，△QBP∽△ABC．即，解得：QB＝，∵OB＝3，∴OQ＝OB﹣QB＝3﹣，∴Q2的坐标是（，0）；③当Q在B点右侧，则∠PBQ＝180°﹣45°＝135°，∠BAC＜135°，故∠PBQ≠∠BAC，则点Q不可能在B点右侧的x轴上，综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．15．解：（1）∵直线y＝﹣x+2经过A，C，∴A（4，0），C（0，2），∵抛物线y＝ax2+x+c交x轴于点B，交y轴于点C，∴，∴a＝﹣，c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵点P在抛物线在第一象限内的图象上，点P的横坐标为m，∴0＜m＜4，P（m，﹣m2+m+2），①∵PD⊥x轴，交直线y＝﹣x+2于点E，∴E（m，﹣m+2），∴PE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，∵PD∥CO，∴＝，∴CE＝＝m，当PE＝CE时，﹣m2+2m＝m，解得，m1＝4﹣，m2＝0（舍去）；当PC＝CE时，PD+ED＝2CO，即（﹣m2+m+2）+（﹣m+2）＝2×2，∴﹣m2+m＝0，解得，m1＝2，m2＝0（舍去）；当PC＝PE时，取CE中点G，则G（m，﹣m+2），PG⊥AC，∴∠GEP＝∠OCA，∴Rt△PGE∽Rt△AOC，∴＝＝2，∴（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝2（m﹣m），﹣m2+m＝0，解得，m1＝，m2＝0（舍去），综上，当△PCE是等腰三角形时，m的值为m＝4﹣，2，；②P（1，3），P（，），理由如下，当点F'落在坐标轴上时，存在两种情形：如图2﹣1，当点F'落在y轴上时，点P（m，﹣m2+m+2）在直线y＝x +2上，∴﹣m2+m+2＝m+2，解得，m1＝1，m2＝0（舍去），∴P（1，3）；如图2﹣2，当点F'落在x轴上时，△COF'∽△F'DP，∴＝＝，∴＝，∵PF＝2﹣（﹣m2+m+2）＝m（m﹣3），∴F'D＝＝m﹣3，∴OF'＝OD﹣FD＝m﹣（m﹣3）＝3，在△CBF'中，CF'＝＝，∴m＝，P（，），综上所述，当点F′落在坐标轴上时，点P的坐标为（1，3）或（，）．。

2020中考数学压轴专题图：二次函数综合题（含答案）1.如图,直线y=−34x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+34x+c经过B、C两点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,当△BEC面积最大时,请求出点E 的坐标和△BEC面积的最大值；(3)在(2)的结论下,过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点P的坐标；如果不存在,请说明理由.第1题图备用图解:（1）∵直线y=−34x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,∴点B的坐标是（0,3）,点C的坐标是（4,0）,∵抛物线y=ax2+34x+c经过B、C两点,∴3164043a cc+⨯+==⎧⎪⎨⎪⎩,解得383ac=-=⎧⎪⎨⎪⎩,∴y=−38x2+34x+3；（2）如解图①,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,交x轴于点F,第1题解图①∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点,∴设点E的坐标是（x,−38x2+34x+3）,则点M的坐标是（x,−34x+3）,∴EM=−38x2+34x+3−(−34x+3)=−38x2+32x,∴S△EBC=S△BEM+S△MEC =12EM·OC=1 2×（−38x2+32x）×4=−34x2+3x=−34（x−2）2+3,∴当x=2时,即点E的坐标是（2,3）时,△BEC的面积最大,最大面积是3.（3）在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.（I）如解图②,由（2）可得点M的横坐标是2,∵点M在直线y=−34x+3上,∴点M的坐标是（2,32）,∵y=−38x2+34x+3的对称轴是直线x=1,∴设点Q的坐标是（1,m),点P的坐标是（x,−38x2+34x+3）,∵x<0,点A（−2,0）,∴根据平行四边形的性质可得x M−x A=x Q−x P,2−（−2)=1−x,解得x=−3,∴点P的坐标为（−3,−218）; （II ）如解图③,点M 的坐标是（2,32）,设点Q 的坐标是（1,m ）,点P 的坐标是（x ,−38x 2+34x +3）,∵x >0,由平行四边形的性质可得x M −x A =x P −x Q ,则2−（−2）=x −1,解得x =5,∴点P 的坐标是（5,−218）. （III ）如解图④,点M 的坐标是（2,32）,∴设点Q 的坐标是（1,m ）,点P 的坐标是（x ,−38x 2+34x +3）（x <0）,由平行四边形的性质可得x M −x P =x Q −x A ,则2−x =1−（−2）,解得x =−1,∴点P 的坐标是（−1,158）,综上,可得在抛物线上存在点P ,使得以P 、Q 、A 、t 为顶点的四边形是平行四边形,点P 的坐标是（−3,−218）,（5,−218）,（−1,158）.图② 图③ 图④第1题解图2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形 OABC 的边 OA 在x 轴上,点B （4,2）在抛物线 bx ax y +=2上,且抛物线交 x 轴于另一点D （6,0）． （1）求抛物线的表达式；（2）已知E 为BC 边上一个动点（不与B 、C 重合）,连接 AE 交OB 于点 P ,过点 E 作 y 轴的平行线分别交抛物线、直线 OB 于 F 、G ． ①求线段 FG 的最大值,此时△ PFG 的面积为多少？②若以点O 为圆心,OP 为半径作⊙O ,试判断直线 AE 与⊙O 能否相切？若能,请求出 E 点的坐标;若不能,请说明理由．第2题图解：（1）把 点B （4,2）和点 D （6,0）分别代入bx ax y +=2得：⎩⎨⎧=+=+06362416b a b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2341b a , ∴抛物线的表达式为x x y 23412+-=； （2）①如解图①,连接 PF , 设直线 OB 解析式为 y = kx , 把 B （4,2）代入得21=k , 即直线OB 的解析式为x y 21=,设E （e ,2）,则有F (e , )23412e e +-,G (e ,)21e , ∴()124141212341222+--=+-=-+-=e e e e e e FG , 当 e = 2时, FG 取得最大值,最大值为1； 此时E （2,2）,设直线AE 的解析式为y = mx +n , 把A （4,0）, E （2,2）代入得:⎩⎨⎧=+=+2204n m n m ,解得⎩⎨⎧=-=41n m , ∴直线AE 的解析式为y = −x +4,与xy21=联立得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=xyxy214,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3438yx,即P（38,34）,则31)238(121PFG=-⨯⨯=△S；第2题解图①②当AE⊥OB,垂足为点P时,以点O为圆心,OP为半径作⊙O,直线AE与⊙O相切,如解图②,∵直线OB解析式为xy21=, AE⊥OB,且A（4,0）,∴直线AE解析式为y = −2（x − 4）= − 2x+8,把y = 2代入得x = 3,则此时点E坐标为（3,2）．第2题解图②3.如图,已知抛物线y=−21x2+bx+c与x轴分别交于点B、E,与y轴交于点A,OB=8,tan∠ABD =1,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度的速度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度的速度移动,动点C、D 同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.（1）求抛物线的解析式;（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大,最大面积是多少？（3）当△CED 的面积最大时,在抛物线上是否存在点P （点E 除外）,使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.第3题图解：（1）∵OB =8,tan ∠ABD =1, ∴OA =OB =8, ∴A （0,8）, B （8,0）.把点A （0,8）,B （8,0）代入y =−21x 2+bx +c 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯-=0882182c b c ,解得⎩⎨⎧==83c b , ∴抛物线解析式为y =21-x 2+3x +8; （2）令y =0,有−21x 2+3x +8=0, 解得x 1=−2, x 2=8, ∴E （−2,0）, ∴BE =10,∵S △CED =21DE ×OC , ∴S =21t ×（10−t ）=−21t 2+5t ,∴S 与t 的函数关系式为S =−21t 2+5t =−21（t −5）2+225（0≤t ≤8）,∵021<-=a ,∴当t =5时,△CED 的面积最大,最大面积为225; （3）存在.当△CED 的面积最大时,t =5,即BD =DE =5,此时要使S △PCD = S △CED ,CD 为公共边,只需求出过点B 、或过点E 且平行于CD 的直线即可,如解图：第3题解图设直线CD 的解析式为y =kx +b , 由（2）可知OC =5,OD =3, ∴C （0,5）,D （3,0）,把C （0,5）、D （3,0）代入得⎩⎨⎧=+=035b k b ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=535b k , ∴直线CD 的解析式为y =−35x +5, ∵DE =DB=5,∴过点B 且平行于CD 的直线为y =−35（x −5）+5, 过点E 且平行于CD 的直线为y =−35（x +5）+5, 分别与抛物线解析式联立得： 方程①：−21x 2+3x +8=−35（x −5）+5, 解得x 1=8, x 2=34,方程②：−21x 2+3x +8=−35（x +5）+5, 解得x 3=334, x 4=−2, 分别将x 的值代入抛物线的解析式,得y 1=0 , y 2=9100 , y 3=−9200, y 4=0 , 又∵P 点不与E 点重合,∴满足题意的P 点坐标有3个,分别是P 1（8,0）, P 2（34,9100）, P 3（334,−9200）. 4. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与 x 轴交于A , B 两点,与y 轴交于点C ,且OA ＝2,OB ＝8,OC ＝6. (1)求抛物线的解析式；(2)点M 从A 点出发,在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动,同时点N 从B 点出发,在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△MBN 存在时,求运动多少秒使△MBN 的面积最大,最大面积是多少？(3) 在(2)的条件下,△MBN 面积最大时,在BC 上方的抛物线上是否存在点P ,使△BPC 的面积是△MBN 的面积的9倍,若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由．第4题图解：(1)∵OA ＝2,OB ＝8,OC ＝6,∴根据函数图象得A (－2,0),B (8,0),C (0,6),将A 、B 、C 三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中得：⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-6,0864024c c b a c b a解得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=6,4983c b a∴抛物线的解析式为649832++-=x x y ；(2)设运动时间为 t 秒,则 AM ＝3t ,BN ＝t ,MB ＝10－3t , 在 Rt △BOC 中,BC =2268+=10, 如解图①,过点 N 作 NH ⊥AB 于点 H ,第 4 题解图①∴NH ∥CO , ∴△BHN ∽△BOC , ∴BC BNOC HN =, 即106tHN =, ∴t HN 53=, ∴()t t HN MB S MBN533102121⋅-=⋅=△=+-=t t 31092235109⎪⎭⎫ ⎝⎛--t 25+, ∵当△MBN 存在时,0＜ t ＜310,∴当 t =35时,S △MBN 最大,最大面积是25,即运动35秒使△MBN 的面积最大,最大面积是25； (3)存在．设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋c (k ≠0), 把 B (8,0),C (0,6)代入,得,608⎩⎨⎧==+c c k 解得,643⎪⎩⎪⎨⎧=-=c k∴直线 BC 的解析式为643+-=x y , ∵点 P 在抛物线上,∴设P ⎪⎭⎫⎝⎛++64983-2m m m ，, 如解图②,过点 P 作 PE ∥y 轴,交 BC 于点 E ,第4题解图②则 E 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+-643,m m ,∴m m m m m EP 3836436498322+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-=,当△MBN 的面积最大时,S △BPC ＝9S △MBN ＝245, ∵BEP CEP BPC S S S △△△+=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⨯⨯=-⋅+⋅=m m EPm EP m EP 3834821821212 m m 12232+-=,∴24512232=+-m m ,解得 m 1＝3,m 2＝5,当m 1＝3时,875649832=++-m m ,当m 2＝5时,863649832=++-m m ,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛8635875,3，或P . 类型三 相似三角形存在性问题5.如图,已知直线y 1=21x +b 和抛物线y 2=−45x 2+ax +b 都经过点B （0,1）和点C ,过点C 作CM ⊥x 轴于点M ,且CM =25. (1)求出抛物线的解析式;(2)动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长度的速度,沿OM 向点M 运动,过点P 作PE ⊥x 轴分别交抛物线和直线于点E ,F .当点P 运动多少秒时,四边形EFMC 为菱形?(3) 在(2)的条件下,在直线AC 上是否存在一点Q ,使得以点E 、F 、Q 为顶点的三角形与△AMC 相似？若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.第5题图解：（1）把B (0,1)代入y 1=21x +b ,得b =1, ∴y 1=21x +1,把y =25代入y 1=21x +1得x =3, ∴C （3,25）,把B (0,1),C （3,25）代入y 2=−45x 2+ax +b 得,⎪⎩⎪⎨⎧=++-=2534451b a b ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==4171a b ,∴y 2=−45x 2+417x +1. （2）∵四边形EFMC 为菱形, 则EF =FM =CM =25, 设P (t ,0),则EP =−45t 2+417t +1, FP =21t +1, MP =3−t , 则EF =EP −FP =−45t 2+417t +1−21t −1=−45t 2+415t , FM =10545222+-=+t t PM PF ,∴−45t 2+415t=25①,105452+-t t =25②, 解①得t =1或t =2,解②得t =1或t =3,要使①,②同时成立,则t =1, 即当点P 运动1秒时,四边形EFMC 为菱形; （3）存在.由（2）可知t =1,∴点F 的横坐标为1, 将x =1代入y 1=21x +1中,得y 1=23, 将x =1代入y 2=−45x 2+417x +1中,得y 2=4. ∴点E （1,4）,F （1,23）,将y =0代入y 1=21x +1中,得x =−2,∴点A 的坐标为（−2,0）, ①如解图,过点E 作EQ 1⊥CF 于点Q 1,第5题解图∵四边形EFMC 为菱形, ∴∠ECF =∠ACM ,FE =EC , ∴∠EFC =∠ECF =∠ACM , 又∵∠EQ 1F =∠AMC =90°, ∴△EQ 1F ∽△AMC , ∵EF =EC ,EQ 1⊥CF , ∴Q 1为CF 的中点, ∵F （1,23）,C （3,25）,∴点Q1的坐标为（2,2）;②如解图,过点E作EQ2//x轴,交直线BC于点Q2,∵EQ2//x轴,∴∠EQ2F=∠CAM,∠Q2EF=∠FP A=90°,∴∠Q2EF=∠AMC=90°,∴△EQ2F∽△MAC,又∵E（1,4）,∴设Q2（x,4）,1x+1,得x=6,将y=4代入y1=2∴点Q2的坐标为（6,4）;综上所述,点Q的坐标为（2,2）或（6,4）.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A (0,－6)和点C(6,0)．第6题图(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B,试判断△ABC的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)抛物线上是否存在点P,使得△P AC是以AC为底的等腰三角形？若存在,请求出所有点P的坐标；若不存在,请说明理由．解：(1)将A (0,－6)和C (6,0)代入y ＝x 2＋bx ＋c 中,得⎩⎨⎧=++-=06366c b c ,解得⎩⎨⎧-=-=65c b , ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－5x －6； (2)由x 2－5x －6＝0,解得x 1＝－1,x 2＝6, ∴点B 的坐标为B (－1,0), 即点B 在(－6,0)与原点之间, 又∵OA ＝OC ＝6, ∴∠BAC 为锐角, ∴△ABC 为锐角三角形； (3)存在．如解图,设M 为线段AC 的中点,则OM 为AC 的垂直平分线, 直线OM 与抛物线必有两个交点都是满足条件的点P , ∵A (0,－6),C (6,0), ∴点M 的坐标为(3,－3), 设直线OM 的解析式为y ＝kx , 将点M (3,－3)代入得,k ＝－1, 即直线OM 的解析式为y ＝－x ,联立⎩⎨⎧--=-=652x x y x y ,得x 2－4x －6＝0, ∴x 1＝2－10, x 2＝2＋10,∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=210102y x ,或⎪⎩⎪⎨⎧--=+=210102y x , ∴点P 的坐标为(2－10,10－2)或(2＋10,－2－10)．第6题解图7. 如图,抛物线c bx x y ++=2与直线y ＝x －1交于A 、B 两点,点A 的纵坐标为－4,点B 在y 轴上,直线AB 与x 轴交于点F ,点P 是线段AB 下方的抛物线上一动点,横坐标为m ,过点P 作 PC ⊥x 轴于点C ,交直线AB 于点D . (1)求抛物线的解析式；(2)当m 为何值时,线段PD 的长度取得最大值,其最大值是多少？(3)是否存在点P ,使△P AD 是直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．第7题图解：(1)∵在 y ＝x －1 中,当 x ＝0 时,y ＝－1, 当 y ＝－4 时,x ＝－3,∴点 B 的坐标为(0,－1),点 A 的坐标为(－3,－4),∵抛物线 c bx x y ++=2与直线 y ＝x －1 交于 A 、B 两点,∴⎩⎨⎧-=+--=4391c b c ,解得⎩⎨⎧-==14c b , ∴抛物线的解析式为 y ＝x 2＋4x －1；(2)∵点 P 的横坐标是 m ,且点P 在抛物线y ＝x 2＋4x －1上, PC ⊥x 轴, ∴P (m ,m 2＋4m －1), D (m ,m －1)． ∵点 P 在线段 AB 的下方, ∴－3<m <0,∴49)23(3)14(1222++-=--=-+--=m m m m m m PD , ∴当23-=m 时,线段 PD 取得最大值,最大值是49； (3)存在．当∠APD ＝90°时,如解图①, ∵PC ⊥x 轴, ∴∠PCF ＝90°, ∴∠PCF ＝∠APD , ∴CF ∥AP ,即 x 轴∥AP ,∴点 P 与点 A 的纵坐标相同,即 m 2＋4m －1＝－4, 解得 m 1＝－1,m 2＝－3(与 A 重合,舍去), ∴P (－1,－4)；第7题解图① 第7题解图②当∠P AD ＝90°时,如解图②,过点 A 作 AE ⊥x 轴于点 E , PD ＝－3m －m 2,CE ＝3＋m , 在 y ＝x －1 中,当 y ＝0 时,x ＝1,∴F (1,0),即 OF ＝1, ∴EF ＝4,AF ＝24, ∵PC ⊥x 轴,∴AE ∥CD , ∴ADAF EC EF =,∴AD m 2434=+, ∴()m AD +=32, ∵AE ∥CD , ∴∠ADP ＝∠EAF ,∵∠P AD ＝∠AEF ＝∠DCF ＝90°, ∴△P AD ∽△FEA ,∴AE AD FA PD =,∴()4322432m m m +=--, ∴m 3＝－2,m 4＝－3(与 A 重合,舍去), ∴P (－2,－5),综上所述,P 点的坐标为(－1,－4)或(－2,－5).类型五 特殊四边形存在性问题8.如图,一次函数y ＝12x ＋1的图象与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝12x ＋1的图象交于B 、C 两点,与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1,0)． (1)求二次函数的解析式；(2)若抛物线上存在点P ,使S △BDC ＝S △PBC ,求出P 点坐标(不与已知点重合)； (3)点N 为x 轴上一点,平面内是否存在点M ,使得B 、N 、C 、M 为顶点构成矩形？如果存在,请求出M 点的坐标；如果不存在,请说明理由．第8题图解：(1)将x ＝0代入y ＝12x ＋1中,得：y ＝1, ∴B (0,1),将B (0,1),D (1,0)的坐标代入y ＝12x 2＋bx ＋c 得：⎩⎨⎧c ＝1b ＋c ＋12＝0,解得⎩⎨⎧b ＝－32c ＝1, ∴二次函数的解析式为y ＝12x 2－32x ＋1；(2)如解图①,过点D 作DF ∥y 轴交AC 于点F ,过点P 作PG ∥y 轴交AC 于点G ,第8题解图①将x ＝1代入直线BC 的解析式得：y ＝32,即F (1,32), 设点P (x ,12x 2－32x ＋1), 则G (x ,12x ＋1),∴GP ＝|12x ＋1－(12x 2－32x ＋1)|＝|－12x 2＋2x |. ∵△PBC 的面积＝△DBC 的面积, ∴DF ＝GP ,即|12x 2－2x |＝32,当12x 2－2x ＝32时,解得x ＝2＋7或x ＝2－7, ∴点P 的坐标为(2＋7,7＋72)或(2－7,7－72), 当12x 2－2x ＝－32时,解得x ＝3或x ＝1(舍去), ∴点P 的坐标为(3,1),综上所述,点P 的坐标为(3,1)或(2＋7,7＋72)或(2－7, 7－72)；(3)如解图②所示,当∠CBN ＝90°时,则BN 的解析式为y ＝－2x ＋1,将直线BC 的解析式与抛物线的解析式联立得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋1y ＝12x 2－32x ＋1,第8题解图②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1（舍去）,或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3,∴点C 的坐标为(4,3),将y ＝0代入直线BN 的解析式得：－2x ＋1＝0,解得x ＝12,∴点N 的坐标为(12,0),设点M 的坐标为(x ,y ),∵四边形BNMC 为矩形,∴12＋42＝0＋x 2,0＋32＝1＋y 2,解得x ＝92,y ＝2,∴点M 的坐标为(92,2)；如解图③所示,当∠CNM ＝90°时,第8题解图③设CN 的解析式为y ＝－2x ＋n ,将点C 的坐标代入得：－8＋n ＝3,解得n ＝11,∴CN 的解析式为y ＝－2x ＋11,将y ＝0代入得－2x ＋11＝0,解得x ＝112,∴点N 的坐标为(112,0),设点M 的坐标为(x ,y ),∵四边形BMNC 为矩形,∴0＋1122＝4＋x 2,1＋02＝3＋y 2,解得x ＝32,y ＝－2,∴点M 的坐标为(32,－2)；如解图④所示,当∠BNC ＝90°时,过点C 作CF ⊥x 轴,垂足为F ,第8题解图④设ON ＝a ,则NF ＝4－a ,∵∠BNO ＋∠OBN ＝90°,∠BNO ＋∠CNF ＝90°,∴∠OBN ＝∠CNF ,又∵∠BON ＝∠CFN ,∴△BON ∽△NFC ,∴ON CF ＝OB NF ,即a 3＝14－a,解得：a ＝1或a ＝3, 当a ＝1时,点N 的坐标为(1,0),设点M 的坐标为(x , y ), ∵四边形BNCM 为矩形,∴0＋42＝1＋x 2,1＋32＝0＋y 2,解得x ＝3,y ＝4,∴点M 的坐标为(3,4)；当a ＝3时,点N 的坐标为(3,0 ),设点M 的坐标为(x , y ), ∵四边形BNCM 为矩形,∴0＋42＝3＋x 2,1＋32＝0＋y 2,解得x ＝1,y ＝4,∴点M 的坐标为(1,4),综上所述,点M 的坐标为(3,4),(1,4),(32,－2)或(92,2)．。

2020年九年级中考数学压轴题专项训练：二次函数的综合卷（含答案）1．如图，顶点为P（2，﹣4）的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，点A（m，n）在该函数图象上，连接AP、OP．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；（2）若∠APO＝90°，求点A的坐标；（3）若点A关于抛物线的对称轴的对称点为C，点A关于y轴的对称点为D，设抛物线与x轴的另一交点为B，请解答下列问题：①当m≠4时，试判断四边形OBCD的形状并说明理由；②当n＜0时，若四边形OBCD的面积为12，求点A的坐标．解：（1）∵图象经过原点，∴c＝0，∵顶点为P（2，﹣4）∴抛物线与x轴另一个交点（4，0），将（2，﹣4）和（4，0）代入y＝ax2+bx，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵∠APO＝90°，∴AP⊥PO，∵A（m，m2﹣4m），∴m﹣2＝，∴m＝，∴A（，﹣）；（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），∴CD∥OB，∵CD＝4，OB＝4，∴四边形OBCD是平行四边形；②∵四边形OBCD是平行四边形，n＜0，∴12＝4×（﹣n），∴n＝﹣3，∴A（1，﹣3）或A（3，3）．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+kx+c的图象经过点C（0，1），当x＝2时，函数有最小值．（1）求抛物线的解析式；（2）直线l⊥y轴，垂足坐标为（0，﹣1），抛物线的对称轴与直线l交于点A．在x轴上有一点B，且AB＝，试在直线l上求异于点A的一点Q，使点Q在△ABC的外接圆上；（3）点P（a，b）为抛物线上一动点，点M为坐标系中一定点，若点P到直线l的距离始终等于线段PM的长，求定点M的坐标．解：（1）∵图象经过点C（0，1），∴c＝1，∵对称轴x＝2，∴k＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+1；（2）由题意可知A（2，﹣1），设B（t，0），∵AB＝，∴（t﹣2）2+1＝2，∴t＝1或t＝3，∴B（1，0）或B（3，0），∵B（1，0）时，A、B、C三点共线，舍去，∴B（3，0），∴AC＝2，BC＝，∴∠BAC＝90°，∴△ABC为直角三角形，BC为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC的中点（，），半径为，设Q（x，﹣1），则有（x﹣）2+（+1）2＝（）2，∴x＝1或x＝2（舍去），∴Q（1，﹣1）；（3）设顶点M（m，n），∵P（a，b）为抛物线上一动点，∴b＝a2﹣a+1，∵P到直线l的距离等于PM，∴（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2，∴+（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0，∵a为任意值上述等式均成立，∴，∴，此时m2+n2﹣2n﹣3＝0，∴定点M（2，1）．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知BC＝2，tan∠OBC＝．（1）求拋物线的解析式；（2）如图2，若点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，作PE⊥BC于点E，当点P的横坐标为2时，求△PDE的面积；（3）若点M为抛物线上的一个动点，以点M为圆心，为半径作⊙M，当⊙M在运动过程中与直线BC相切时，求点M的坐标（请直接写出答案）．解：（1）∵BC＝2，tan∠OBC＝，∴OB＝4，OC＝2，∴点B为（4，0），点C为（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c中，∴c＝2，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）当x＝2时，y＝3，∴P（2，3），∵B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∵PD平行于y轴，∴D（2，1），∴PD＝2，∵PD平行于y轴，∴∠PDE＝∠OCB，∵PE⊥BC，∴∠PED＝∠COB＝90°，∴△PDE∽△BCO，∴△PDE与△BCO的面积之比是对应边PD与BC的平方，∵△BCO的面积为4，∴△PED的面积是4×＝；（3）过点M作MG⊥BC于点G，过点M作MH∥AB于点H，∴△MGH∽△COB，∴＝，∵⊙M与直线BC相切，∴MG＝，∴MH＝5，设点M（x，﹣x2+x+2），如图1，设H（x+5，﹣x2+x+2）代入y＝﹣x+2，∴x＝﹣1或x＝5，∴M（﹣1，0）或M（5，﹣3）；如图2，点H（x﹣5， x2+x+2）代入y＝﹣x+2，∴方程无解，综上所述：M（﹣1，0）或M（5，﹣3）．4．如图，抛物线y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB，点D为线段OB上一动点（不与点B重合），过点D作矩形DEFH，点H、F在抛物线上，点E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当矩形DEFH的周长最大时，求矩形DEFH的面积；（3）在（2）的条件下，矩形DEFH不动，将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N．若MN恰好平分矩形DEFH的面积，求m的值．解：（1）在抛物线y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OC＝2OB，∴OB＝2，∴B（2，0），将B（2，0）代入y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4，得，a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）设点D坐标为（x，0），∵四边形DEFH为矩形，∴H（x， x2+x﹣4），∵y＝x2+x﹣4＝（x+1）2﹣，∴抛物线对称轴为x＝﹣1，∴点H到对称轴的距离为x+1，由对称性可知DE＝FH＝2x+2，∴矩形DEFH的周长C＝2（2x+2）+2（﹣x2﹣x+4）＝﹣x2+2x+12＝﹣（x﹣1）2+13，∴当x＝1时，矩形DEFH周长取最大值13，∴此时H（1，﹣），∴HF＝2x+2＝4，DH＝，∴S＝HF•DH＝4×＝10；矩形DEFH（3）如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，由（2）知，抛物线对称轴为x＝﹣1，H（1，﹣），∴G（﹣1，﹣），设直线BH的解析式为y＝kx+b，将点B（2，0），H（1，﹣）代入，得，，解得，，∴直线BH 的解析式为y ＝x ﹣5，∴可设直线MN 的解析式为y ＝x +n ，将点（﹣1，﹣）代入，得n ＝，∴直线MN 的解析式为y ＝x +，当y ＝0时，x ＝﹣，∴M （﹣，0），∵B （2，0），∴将抛物线沿着x 轴向左平移个单位，抛物线与矩形DEFH 的边交于点M 、N ，连接M 、N ，则MN 恰好平分矩形DEFH 的面积，∴m 的值为．5．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l 1：y ＝﹣x +6与直线l 2相交于点A ，与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点C ，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过点O 、点A 和点B ，已知点A 到x 轴的距离等于2．（1）求抛物线的解析式；（2）点H 为直线l 2上方抛物线上一动点，当点H 到l 2的距离最大时，求点H 的坐标；（3）如图2，P 为射线OA 的一个动点，点P 从点O 出发，沿着OA 方向以每秒个单位长度的速度移动，以OP 为边在OA 的上方作正方形OPMN ，设正方形POMN 与△OAC 重叠的面积为S ，设移动时间为t 秒，直接写出S 与t 之间的函数关系式．解：（1）∵点A到x轴的距离等于2，∴点A的纵坐标为2，∴2＝﹣x+6，∴x＝4，∴A（4，2），当y＝0时，﹣x+6＝0，∴x＝6，∴B（6，0），把A（4，2），B（6，0），O（0，0）代入y＝ax2+bx+c得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；的解析式为y＝kx，（2）设直线l2∴2＝4k，∴k＝，的解析式为y＝x，∴直线l2设点H的坐标为（m，﹣m2+m），于G，如图1，过H作HG∥y轴交直线l2∴G（m， m），∴HG＝﹣m2+m﹣m＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）+1，当m＝2时，HG有最大值，∴点H的坐标为（2，2）；（3）当0＜t时，如图2，过A作AE⊥OB于E，∴OA＝＝2，tan∠AOE＝，∵∠NOP＝∠BOC＝90°，∴∠HON＝∠AOE，∴tan∠NOH＝tan∠AOE＝＝，∵OP＝ON＝NM＝PM＝t，∴NH＝NM＝t，S＝×（t+t）t＝t2；当＜t≤2时，过点P作PH⊥x轴，∵∠POH＝∠QON，OP＝t，∴OP＝ON＝NM＝PM＝t，∴NQ＝t，可求P（2t，t），直线MP的解析式为y＝﹣2x+5t∴G（5t﹣6，﹣5t+12），∴GP＝3（2﹣t），AP＝2﹣t，∴MG＝6﹣3t，∵∠MGK＝∠AGP，∴△GPA∽△GKM，∴MK＝t﹣2，∴S＝﹣×t×t﹣×（t﹣2）×（6﹣3t）＝﹣t2+40t﹣30；当2＜t≤时，可求N（﹣t，2t），则直线MN的解析式为y＝x+t，∴K（4﹣t， t+2），∵NQ＝t，∴Q（0， t），∴MK＝t﹣2，∴S＝﹣﹣×t×t﹣×（t﹣2+t﹣2）×t＝﹣t2+10t；当t＞时，S＝S＝×4×6＝12；△OAC6．如图1，小明用一张边长为6cm的正方形硬纸板设计一个无盖的长方体纸盒，从四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为ycm．（1）y关于x的函数表达式是y＝4x3﹣24x2+36x，自变量x的取值范围是0＜x＜3 ；（2）为探究y随x的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：①列表：请你补充表格中的数据：x0 0.5 1 1.5 2 2.5 3y0 12.5 16 13.5 8 2.5 0②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中（如图3）描出相应的点；③连线：用光滑的曲线顺次连结各点．（3）利用函数图象解决：若该纸盒的容积超过12cm3，估计正方形边长x的取值范围．（保留一位小数）解：（1）y＝x（6﹣2x）2＝4x3﹣24x2+36x（0＜x＜3），故答案为：y＝4x3﹣24x2+36x，0＜x＜3；（2）①在y＝4x3﹣24x2+36x中，当x＝1时，y＝16；当x＝2时，y＝8，故答案为：16，8；②如图1所示，③如图2所示，（3）由函数图象可以看出，若该纸盒的容积超过12cm3，正方形边长x的取值范围大概为0.4≤x≤1.7．7．定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为x A，x B，与y轴交点的纵坐标为y C，若x A，x B中至少存在一个值，满足x A＝y C（或x B＝y C），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足x A＝y C，称y＝x2+2x﹣3为友好函数．（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．解：（1）y＝x2﹣4x+3是友好函数，理由如下：当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1或3，∴y＝x2﹣4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，∴y＝x2﹣4x+3是友好函数；（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，∵y＝x2+bx+c是友好函数，∴x＝c时，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，代入得：0＝c2+bc+c，∴0＝c（c+b+1），而c≠0，∴b+c＝﹣1；（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，显然当x＝1时，y＝0，即与x轴的一个交点为（1，0），则∠ACO＝45°，∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO∴c＜﹣1；②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，∴显然都满足∠ACB为锐角，∴c＞0，且c≠1；③当C与原点重合时，不符合题意，综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．8．已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A 作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．（1）证明：△＝b 2﹣4ab ＝[﹣3（a ﹣1）]2﹣4a （2a ﹣6）＝a 2+6a +9＝（a +3）2， ∵a ＞0，∴（a +3）2＞0，∴抛物线与x 轴有两个交点；（2）解：令y ＝0，则ax 2﹣3（a ﹣1）x +2a ﹣6＝0， ∴或，∵a ＞0， ∴且x 1＞x 2， ∴x 1＝2，， ∴， ∴t ＝a ﹣5；（3）解：当a ＝1时，则y ＝x 2﹣4，向上平移一个单位得y ＝x 2﹣3，令y ＝0，则x 2﹣3＝0， 得， ∴，， ∵OP ＝1， ∴直线， 联立：， 解得，，， 即，，∴AO ＝，在Rt △AOP 中，AP ＝＝2，过C 作CN ⊥y 轴，过M 作MG ⊥CN 于G ，过C 作CH ⊥x 轴于H ，∵CN ∥x 轴，∴∠GCM ＝∠PAO ，又∵∠AOP ＝∠CGM ＝90°，∴△AOP ∽△CGM ， ∴＝＝， ∴，∵B 到CN 最小距离为CH ，∴MB +GM 的最小值为CH 的长度，∴2MB +MC 的最小值为．9．如图，抛物线y 1＝ax 2+c 的顶点为M ，且抛物线与直线y 2＝kx +1相交于A 、B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的坐标为（2，3），连结AM 、BM ．（1）a ＝ 1 ，c ＝ ﹣1 ，k ＝ 1 （直接写出结果）；（2）当y 1＜y 2时，则x 的取值范围为 ﹣1＜x ＜2 （直接写出结果）；（3）在直线AB 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得△ABP 的面积最大？若存在，求出△ABP 的最大面积及点P 坐标．解：（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1得：3＝2k+1解得：k＝1∴y2＝x+1令y2＝0得：0＝x+1解得：x＝﹣1∴A（﹣1，0）将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c得：解得：a＝1，c＝﹣1故答案为：1，﹣1，1；（2）∵A（﹣1，0）、B（2，3）∴结合图象可得：当y1＜y2时，则x的取值范围为﹣1＜x＜2故答案为：﹣1＜x＜2；（3）在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积最大．如图，设平行于直线y2＝x+1的直线解析式为：y3＝x+b由得：x2﹣1＝x+b∴x2﹣x﹣1﹣b＝0令△＝0得：1﹣4（﹣1﹣b）＝0 解得：b＝﹣∴y3＝x﹣，∴x2﹣x﹣1+＝0解得：x1＝x2＝∴P（，﹣）∴当点P坐标为（，﹣）时，△ABP的面积最大设y3＝x﹣与x轴交于点C，则点C坐标为：（，0），过点C作CD⊥AB 由平行线间的距离处处相等，可知线段CD的长度即为△ABP的高的长度∵y2＝x+1与x轴所成锐角为45°∴△ACD为等腰直角三角形∵AC＝﹣（﹣1）＝∴CD＝＝＝∵A（﹣1，0）、B（2，3）∴AB＝＝∴△ABP的面积为：××＝∴在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积最大；△ABP的最大面积为；点P坐标为（，﹣）．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C 为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵PM∥y轴，∴∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠BCP，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，设P（x，x2﹣x﹣2），则C（x， x﹣2），∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠PBN＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BNP＝90°，∴△AOB∽△BNP，∴，即＝，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣5）；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，x 1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣2）；综上，点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠BOA≠45°，∴∠BQP≠2∠BOA，∴分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，∴OE＝AE，∴∠OAB＝∠AOE，∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，∵OB∥PG，∴∠OBE＝∠PHB，∴△BOE∽△HPB，∴，由勾股定理得：AB＝＝2，∴BE＝，∵GH∥OB，∴，即，∴BH＝x，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x， x﹣2），∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，∴，解得：x1＝0，x2＝3，∴点P的横坐标是3；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t， t﹣2），∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，∵OB＝4，OC＝2，∴BC＝2，∴OE＝BE＝CE＝，OF＝＝＝，∴EF＝＝＝，S△ABP＝＝，∴2PQ＝4（﹣t2+4t），PQ＝，∵∠OFE＝∠PQB＝90°，∴△PBQ∽△EOF，∴，即，∴BQ＝，∵BQ2+PQ2＝PB2，∴＝，44t2﹣388t+803＝0，（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，解得：t1＝5.5（舍），t2＝；综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．11．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣，0）和点B（，2），连结AB交y轴于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P在线段AB下方的抛物线上运动，连结AP，BP．设点P的横坐标为m，△ABP 的面积为s．①求s与m的函数关系式；②当s取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝s．若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）将点A（﹣，0）和点B（，2）代入y＝ax2+bx﹣，得，，解得，，∴抛物线的函数解析式为y＝x2+x﹣；（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣，0），B（，2）代入，得，，解得，k＝，b＝1，∴直线AB的解析式为y＝x+1，如图1，过点P作x轴的垂线，交AB于点M，设P（m， m2+m﹣），则M（m， m+1），∴PM＝m+1﹣（m2+m﹣）＝﹣m2+，∴s＝PM（x B﹣x A）＝×（﹣m2+）×（+）＝﹣m2+，∴s与m的函数关系式为s＝﹣m2+；②在s＝﹣m2+中，当m＝0时，s取最大值，∴P（0，﹣），∴CP＝，∵S△ACQ ＝S△ABP，∴S△AQB ＝2S△ABP，∴可使直线AB向上平移3个单位长度，得直线y＝x+4，联立，解得，x1＝3，x2＝﹣3，∴Q点坐标为（3，4+），（﹣3，4﹣）．12．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m＝0 ．x……﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ……y…… 3 m﹣1 0 ﹣1 0 3 ……（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，已画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；（3）观察函数图象，写出一条函数的性质：图象关于y轴对称（答案不唯一）；（4）观察函数图象发现：若关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根，则a的取值范围是﹣1＜a＜0 ．解：（1）当x＝﹣2时，y＝4﹣2×2＝0；故答案为：0．（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示．（3）观察函数图象，可得出：①函数图象关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大，③函数有最小值﹣1．故答案为：图象关于y轴对称（答案不唯一）；（4）由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根，∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，故答案为：﹣1＜a＜0．13．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，直接写出点P的坐标和周长最小值；（3）为抛物线上一点，若S＝8，求出此时点Q的坐标．△QAB解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BC交抛物线的对称轴与点P．∵y＝x2﹣2x﹣3，∴C（0，﹣3），∵点A与点B关于x＝＝1对称，∴PA＝PB．∴AP+PC＝CP+PB．∴当点P、C、B在一条直线上时，AP+PC有最小值．又∵BC为定值，∴当点P、C、B在一条直线上时，△APC的周长最小．∵BC＝＝3，AC＝＝，∴△PAC的周长最小值为：AC+BC＝+3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：k＝1，b＝﹣3．∴直线AD的解析式为y＝x﹣3．将x＝1代入y＝x﹣3得：y＝﹣2，∴点P的坐标为（1，﹣2），即当点P的坐标为（1，﹣2）时，△PAC的周长最小．最小值为+3；（3）设Q （x ，y ），则S △QAB ＝AB •|y |＝2|y |＝8， ∴|y |＝4， ∴y ＝±4．①当y ＝4时，x 2﹣2x ﹣3＝4，解得：x 1＝1﹣2，x 2＝1+2，此时Q 点坐标为（1﹣2，4）或（1+2，4）；②当y ＝﹣4时，x 2﹣2x ﹣3＝﹣4，解得x 3＝x 4＝1； 此时Q 点的坐标为（1，﹣4）； 综上所述，Q 点坐标为（1﹣2，4）或（1+2，4）或（1，﹣4）．14．如图，直线y ＝﹣x +5与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与直线y ＝﹣x +5交于B ，D 两点，点C 是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）点M 是直线BD 上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线，交直线BD 于点P ，当线段PM 的长度最大时，求m 的值及PM 的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于B 、D 的点Q ，使△BDQ 中BD 边上的高为3，若存在求出点Q 的坐标；若不存在请说明理由．解：（1）y ＝﹣x +5，令x ＝0，则y ＝5，令y ＝0，则x ＝5， 故点B 、D 的坐标分别为（5，0）、（0，5），则二次函数表达式为：y ＝﹣x 2+bx +5，将点B 坐标代入上式并解得：b ＝4，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+4x +5；（2）设M 点横坐标为m （m ＞0），则P （m ，﹣m +5），M （m ，﹣m 2+4m +5），∴PM ＝﹣m 2+4m +5﹣（﹣m +5）＝﹣m 2+5m ＝﹣（m ﹣）2+，∴当m ＝时，PM 有最大值；（3）如图，过Q 作QG ∥y 轴交BD 于点G ，交x 轴于点E ，作QH ⊥BD 于H ，设Q （x ，﹣x 2+4x +5），则G （x ，﹣x +5），∴QG ＝|﹣x 2+4x +5﹣（﹣x +5）|＝|﹣x 2+5x |，∵△BOD 是等腰直角三角形，∴∠DBO ＝45°，∴∠HGQ ＝∠BGE ＝45°，当△BDQ 中BD 边上的高为3时，即QH ＝HG ＝3，∴QG ＝×3＝6， ∴|﹣x 2+5x |＝6，当﹣x 2+5x ＝6时，解得x ＝2或x ＝3，∴Q （2，9）或（3，8），当﹣x 2+5x ＝﹣6时，解得x ＝﹣1或x ＝6，∴Q （﹣1，0）或（6，﹣7），综上可知存在满足条件的点Q ，其坐标为Q 1（2，9），Q 2（3，8），Q 3（﹣1，0），Q 4（4，﹣5）．15．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+的图象与x轴交于B（﹣1，0）、C（3，0）两点，点A为抛物线的顶点，F为线段AC中点．（1）求a，b的值；（2）求证：BF⊥AC．（3）以抛物线的顶点A为圆心，AF为半径作⊙A点E是圆上一动点，点P为EC的中点（如图2）①当△ACE面积最大时，求PB的长度；②若点M为BP的中点，求点M运动的路径长．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝，解得：a＝﹣，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+，故b＝；（2）点A的坐标为：（1，2），则AB＝AB＝BC＝4，点F是AC的中点，AF＝AC＝2，∴BF⊥AC；（3）点C（3，0），点B（﹣1，0），设点E（m，n），由AE＝2，根据两点间距离公式得：（m﹣1）2+（n﹣2）2＝4…①，则点P（，），点M（，），设：x＝，y＝，则m＝4x﹣1，n＝4y，即点M（x，y），将m、n的值代入①式得：（4x﹣1）2+（4y﹣2）2＝4，整理得：（x﹣）2+（y﹣）2＝，即点M到定点（，）的距离等于定值，故点M运动的轨迹为半径为的圆，则点M运动的路径长为（）2π＝．。

2020-2021中考数学二次函数提高练习题压轴题训练附答案解析一、二次函数1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-∴线段QD 长度的最大值为94.2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．3．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB ，tan ∠ABC=2，点B 的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE=12DE ． ①求点P 的坐标；②在直线PD 上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x 2﹣3x+4；（2）①P （﹣1，6），②存在，M （﹣1，11）或（﹣1，311）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）． 【解析】【分析】（1）先根据已知求点A 的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①先得AB 的解析式为：y=-2x+2，根据PD ⊥x 轴，设P （x ，-x 2-3x+4），则E （x ，-2x+2），根据PE=12DE ，列方程可得P 的坐标； ②先设点M 的坐标，根据两点距离公式可得AB ，AM ，BM 的长，分三种情况：△ABM 为直角三角形时，分别以A 、B 、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M 的坐标．【详解】解：（1）∵B （1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C （﹣2，0），Rt △ABC 中，tan ∠ABC=2，∴AC 2BC =， ∴AC 23=， ∴AC=6， ∴A （﹣2，6）， 把A （﹣2，6）和B （1，0）代入y=﹣x 2+bx+c 得：42610b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：34bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），∴AB的解析式为：y=﹣2x+2，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），∵PE=12DE，∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2），∴x=-1或1（舍），∴P（﹣1，6）；②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），设M（﹣1，y），∵B（1，0），A（﹣2，6）∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=311，∴M（﹣1，11）或（﹣1，311ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=132，∴M（﹣1，132）；综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3﹣11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．4．如图，直线y＝-12x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；(3)连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．【答案】(1)y＝14x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣34(m+3)2+274；△ADC的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).【解析】【分析】（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐标为：(m，14m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣12m﹣3)，根据S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标.【详解】解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得： 366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F. ∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC ＝12DF•AE+12•DF•O E ＝12DF•OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m)×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m+3)2+274， ∵a ＝﹣34＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274， 又∵当m ＝﹣3时，14m 2+m ﹣3＝﹣154， ∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9， 由2392134y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩， 此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.5．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△CDP 为等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是线段EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，若∠MNC ＝90°，请求出m 的取值范围．【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣3）554m -≤≤ 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC 的解析式，再设P （t ，3﹣t ），即可得D （t ，﹣t 2+2t +3），即可求得PD 的长，然后分三种情况讨论，求点P 的坐标；（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m ＝（n ﹣32）2﹣54，然后根据n 的取值得到最小值．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，A （﹣1，0），C （0，3）， ∴103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得b ＝2，c ＝3． 故该抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3．（2）令﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，即B （3，0），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ′，则330b k b ''=⎧⎨+=⎩， 解得：k=-1,b’=3故直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3；∴设P （t ，3﹣t ），∴D （t ，﹣t 2+2t +3），∴PD ＝（﹣t 2+2t +3）﹣（3﹣t ）＝﹣t 2+3t ，∵OB ＝OC ＝3，∴△BOC 是等腰直角三角形，∴∠OCB ＝45°，当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ，∵PD ∥y 轴，∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°，∴∠CDP ＝45°，∴∠PCD ＝90°，∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，解2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩得03x y =⎧⎨=⎩或14x y =⎧⎨=⎩∴D （1，4），此时P （1，2）；当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°，∴∠CDP ＝90°，∴CD ∥x 轴，∴D 点的纵坐标为3，代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝0或x ＝2，此时P （2，1）；当PC ＝PD 时，∵PC t ， ∴＝﹣t 2+3t ，解得t ＝0或t ＝3，此时P （3）；综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3） （3）如图2，由（1）y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴E （1，4），设N （1，n ），则0≤n ≤4，取CM 的中点Q （2m ，32）， ∵∠MNC ＝90°， ∴NQ ＝12CM ， ∴4NQ 2＝CM 2， ∵NQ 2＝（1﹣2m ）2+（n ﹣32）2， ∴4[（1﹣2m ）2+（n ﹣32）2]＝m 2+9， 整理得，m ＝（n ﹣32）2﹣54， ∵0≤n ≤4，当n ＝32时，m 最小值＝﹣54，n ＝4时，m ＝5， 综上，m 的取值范围为：﹣54≤m ≤5．【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN 沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．【答案】（1）（1，4）（2）①点M坐标（﹣12，74）或（﹣32，﹣94）；②m的值317±或1172±【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①根据tan∠MBA=2233m mMGBG m-++=-，tan∠BDE=BEDE=12，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可解决问题；②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.【详解】（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得到930{3b cc-++==，解得2{3bc==，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D坐标（1，4）；（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，∴tan∠MBA=2233m mMGBG m-++=-，∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，∵B（3，0），∴BE=2，∴tan∠BDE=BEDE =12，∵∠MBA=∠BDE，∴2233m mm-++-=12，当点M在x轴上方时，2233m mm-++-=12，解得m=﹣12或3（舍弃），∴M （﹣12，74）， 当点M 在x 轴下方时，2233m m m--- =12， 解得m=﹣32或m=3（舍弃）， ∴点M （﹣32，﹣94）， 综上所述，满足条件的点M 坐标（﹣12，74）或（﹣32，﹣94）； ②如图中，∵MN ∥x 轴，∴点M 、N 关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ 是正方形，∴点P 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，即OP=1，易证GM=GP ，即|﹣m 2+2m+3|=|1﹣m|，当﹣m 2+2m+3=1﹣m 时，解得317±， 当﹣m 2+2m+3=m ﹣1时，解得m=1172±， ∴满足条件的m 317±或1172±. 【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．7．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x 元． （1）写出销售量y （件）和获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】（1）y ＝﹣10x+1000；w=﹣10x 2+1300x ﹣30000（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【解析】【分析】（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y•（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题.【详解】解：（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大∴当x＝46时，w最大值＝8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.8．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）42【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y﹣3）2=1+y2；当CD 为斜边时得到4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标；（3）先证明∠CEF=90°得到△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，则PE=22PG，PF=2PH，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=﹣2t2+42t，然后利用二次函数的性质解决问题．试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：9303b cc++=⎧⎨=⎩，解得：43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=﹣42-=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此时D点坐标为（2，5）；当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得：y=﹣1，此时D点坐标为（2，﹣1）；（3）易得BC的解析式为y=﹣x+3．∵直线y=x+m与直线y=x平行，∴直线y=﹣x+3与直线y=x+m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，PE=22PG，PF=2PH，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），∴PF=2PH=2t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=2PG=﹣2t2+32t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣2t2+32t+2t=﹣2t2+42t=﹣2（t﹣2）2+42，当t=2时，PE+EF的最大值为42．点睛：本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．9．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y 轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）-3；（3）当2﹣1时，点P的坐标为（02）和（0，223）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）利用待定系数法进行求解可即得；（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=12BG•x N﹣12BG•x M=1得出x N﹣x M=1，联立直线和抛物线解析式求得228k k-±-，根据x N﹣x M=1列出关于k的方程，解之可得；（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．【详解】（1）由题意知()1211bc⎧-=⎪⨯-⎨⎪=⎩，解得：21bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；（2）如图1，设M点的横坐标为x M，N点的横坐标为x N，∵y=kx ﹣k+4=k （x ﹣1）+4，∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G 坐标为（1，4），∵y=﹣x 2+2x+1=﹣（x ﹣1）2+2，∴点B （1，2），则BG=2，∵S △BMN =1，即S △BNG ﹣S △BMG =12BG•（x N ﹣1）-12BG•（x M -1）=1， ∴x N ﹣x M =1，由2421y kx k y x x =-+⎧⎨=--+⎩得：x 2+（k ﹣2）x ﹣k+3=0， 解得：x=()()22243k k k -±---=228k k -±-， 则x N =228k k -+-、x M =228k k ---， 由x N ﹣x M =1得28k -=1，∴k=±3，∵k ＜0，∴k=﹣3；（3）如图2，设抛物线L 1的解析式为y=﹣x 2+2x+1+m ，∴C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，0），设P （0，t ），（a ）当△PCD ∽△FOP 时，PC FO CD OP =， ∴112m t t+-=， ∴t 2﹣（1+m ）t+2=0①； (b)当△PCD ∽△POF 时，PC PO CD OF =， ∴121m t t +-=， ∴t=13（m+1）②； （Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，△=（1+m ）2﹣8=0，解得：1（负值舍去），此时方程①有两个相等实数根t 1=t 2，方程②有一个实数根t=3， ∴﹣1，此时点P 的坐标为（0）和（0，3）； （Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：19（m+1）2﹣13（m+1）+2=0， 解得：m=2（负值舍去），此时，方程①有两个不相等的实数根t 1=1、t 2=2，方程②有一个实数根t=1，∴m=2，此时点P 的坐标为（0，1）和（0，2）；综上，当﹣1时，点P 的坐标为（0）和（0）； 当m=2时，点P 的坐标为（0，1）和（0，2）．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等，（2）小题中根据三角形BMN 的面积求得点N 与点M 的横坐标之差是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键．10．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B点的坐标为(1,0)-．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10 （3）故点P 坐标为：315(,)24或332362+--或332362--+． 【解析】【分析】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解； （3）2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯94PH HG ==，即可求解．【详解】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-，故函数表达式为：223y x x =-++…①；（2）设点M 的坐标为()2,23x x x -++，则点()22,23N x x x --++，则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++， ∵20-<，故当22b x a=-=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合；（3）PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916， 则99272316168PNC S MN GM ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ，过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =， 过点P 作PK CD ⊥于点K ，将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：3y x =-+，OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=︒=∠，32CD = 设点()2,23P x x x -++，则点(),3H x x -+， 2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯ 解得：94PH HG ==， 则292334PH x x x =-+++-=， 解得：32x =， 故点315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线n 的表达式为：93344y x x =-+-=-+…②， 联立①②并解得：3322x ±=， 即点'P 、''P 的坐标分别为332362+--⎝⎭、332362--+⎝⎭； 故点P 坐标为：315,24⎛⎫⎪⎝⎭或332362+--⎝⎭或332362--+⎝⎭． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．11．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+c 与x 轴交于A ，B （A ，B 分别在y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，已知A （﹣1，0）．（1）求点B ，C 的坐标；（2）判断△CDB 的形状并说明理由；（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形；(Ⅲ)22333(0)221933(3)222t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩. 【解析】【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标．（2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段：①当0＜t≤32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()21y x c =--+上， ∴()2011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()214y x =--+，令0x =，得3y =，∴()0,3C ；令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=；在Rt CND ∆中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=；在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.∵222BC CD BD +=，∴CDB ∆为直角三角形.(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，∵()()3,0,0,3B C ，∴303k b b +=⎧⎨=⎩，解得1,3k b =-=，∴3y x =-+，直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++；设直线BD 的解析式为y mx n =+，∵()()3,0,1,4B D ，∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2,6m n =-=，∴26y x =-+.连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中：(1)当302t <≤时，如答图2所示：设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-.设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t=-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x t y t =-⎧⎨=⎩， ∴()3,2F t t -.111222QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332t <<时，如答图3所示：设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J .∵CQ t =，∴KQ t =，3PK PB t ==-.直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-，∴(),62J t t -. 1122PBJ PBK S S S PB PJPB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322t t t =---- 219322t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.12．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形?请直接写出相应的t 值.【答案】(1)点A 的坐标为（4，8）将A (4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx得8=16a+4b0=64a+8b解得a=,b=4∴抛物线的解析式为：y=-x 2+4x（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48∴PE=AP=t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.∴EG=-t2+8-(8-t)=-t2+t.∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.②共有三个时刻：t1=163， t2=4013，t3=8525．【解析】（1）根据题意即可得到点A的坐标，再由A、C两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，由tan∠PAE，即可表示出点E的坐标，从而得到点G 的坐标，EG的长等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，得到一个函数关系式，根据函数关系式的特征即可求得结果；②考虑腰和底，分情况讨论．13．复习课中，教师给出关于x的函数（k是实数）.教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.【答案】①真，②假，③假，④真，理由和所用的数学方法见解析.【解析】试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断.试题解析：①真，②假，③假，④真.理由如下：①将（1,0）代入，得，解得.∴存在函数，其图像经过（1,0）点.∴结论①为真.②举反例如，当时，函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.③∵当时，二次函数（k是实数）的对称轴为，∴可举反例如，当时，二次函数为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.∴结论③为假.④∵当时，二次函数的最值为，∴当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.∴结论④为真.解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.14．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或【解析】试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴对称轴为y=2；∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；∴a=或；考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+32x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．（1）求直线l的解析式；（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=122x--；（2）DE=3225；（3）存在点P（139，9881），使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标，从而可以求得直线l的函数解析式；（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB，然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题．【详解】（1）∵抛物线y=12x2+32x-2，∴当y=0时，得x1=1，x2=-4，当x=0时，y=-2，∵抛物线y=12x2+32x-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，∴点A的坐标为（-4，0），点B（1，0），点C（0，-2），∵直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y=kx+b，402k bb-+⎧⎨-⎩＝＝，得122kb⎧-⎪⎨⎪-⎩＝＝，即直线l的函数解析式为y=−12x−2；（2）直线ED与x轴交于点F，如图1所示，由（1）可得，AO=4，OC=2，∠AOC=90°，∴AC=25， ∴OD=45525=， ∵OD ⊥AC ，OA ⊥OC ，∠OAD=∠CAO ，∴△AOD ∽△ACO ，∴AD AO AO AC ＝， 即425AD ＝，得AD=85， ∵EF ⊥x 轴，∠ADC=90°，∴EF ∥OC ，∴△ADF ∽△ACO ，∴AF DF AD AO OC AC＝＝， 解得，AF=165，DF=85， ∴OF=4-165=45， ∴m=-45， 当m=-45时，y=12×（−45）2+32×（-45）-2=-7225， ∴EF=7225， ∴DE=EF-FD=7225−85＝3225； （3）存在点P ，使∠BAP=∠BCO-∠BAG ，理由：作GM ⊥AC 于点M ，作PN ⊥x 轴于点N ，如图2所示，∵点A （-4，0），点B （1，0），点C （0，-2），∴OA=4，OB=1，OC=2，∴tan ∠OAC=2142OC OA ＝＝，tan ∠OCB=12OB OC ＝，， ∴∠OAC=∠OCB ，∵∠BAP=∠BCO-∠BAG ，∠GAM=∠OAC-∠BAG ，∴∠BAP=∠GAM ， ∵点G （0，-1），OA=4，∴OG=1，GC=1，∴，••22AC GM CG OA ＝，即1422GM ⨯＝， 解得，， ∴=， ∴tan ∠GAM=29GM AM =， ∴tan ∠PAN=29， 设点P 的坐标为（n ，12n 2+32n-2）， ∴AN=4+n ，PN=12n 2+32n-2， ∴2132222 49n n n +-+＝， 解得，n 1=139，n 2=-4（舍去）， 当n=139时，12n 2+32n-2=9881， ∴点P 的坐标为（139，9881）， 即存在点P （139，9881），使∠BAP=∠BCO-∠BAG ． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答．。

2020-2021备战中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题附答案解析一、二次函数1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P13+515-），P2（35-1+5P35+51+5P455-15-.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：m=5+5或55-， ∴P 的坐标为（5+5，1+5）或（55-，15-）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN=FM ，则-m 2+4m-3=m-2，解得：P 2）；综上所述，点P 的坐标是：（2，2）或（52-，12）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．2．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D .（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标；（2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或332t ≤<或72t =. 【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式x=2a 12a--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．【详解】解：（1）∵2a x 12a-=-=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=.∵2y ax ax 3=-+人最大值为4，∴抛物线过点()1,4.得a 2a 34-+=，解得a 1=-.∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.C 点坐标为()0,3，顶点D 的坐标为()1,4.（2）①∵PC PD CD -≤，∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===∴PC PD -.易得直线CD 的方程为y x 3=+.把()P t,0代入，得t 3=-.∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.②2y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩ 设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-. ∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=. 当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点. 所以当3t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （3）将y 2x 2t =-+带入()2y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=. ()Δ1642t 3288t =--=-.令288t 0-=，解得7t 2=. ∴当7t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. 综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2=. 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．3．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），顶点为G ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式；（2）如图，设E （m ，0）为x 轴上一动点，若△CGE 和△CGO 的面积满足S △CGE ＝S △CGO ，求点E 的坐标；（3）如图，设点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右运动，运动时间为ts ，点M 为射线AC 上一动点，过点M 作MN ∥x 轴交抛物线对称轴右侧部分于点N ．试探究点P 在运动过程中，是否存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3；直线AC 解析式为：y ＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．4．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【解析】【分析】（1）根据售量与售价x （元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x ）×10+100＝3×100，解得：x ＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w ，根据题意得，w ＝（x ﹣30）[（60﹣x ）×10+100]＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．5．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为212y x x =-;抛物线的对称轴为直线x =;（Ⅱ）P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q 点坐标为或(-，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解.【详解】（Ⅰ）∵2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，∴232a -=⨯-12a =， ∴抛物线的解析式为212y x x =，∵21222b x a =-=-=⨯ ∴抛物线的对称轴为直线2x =. （Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x =， ∴点O 关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B 关于轴的对称点1B，得1(B -，设直线AB 1的解析式为y kx b =+，把点3)A -，点1(B -代入得30b b⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得494k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴944y x =--. ∴直线94y x =-与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4=-，∵P 点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A -，//AC x 轴，∴AC =3OC =，∴11322AOC S OC AC ∆=⋅=⋅=又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，∴9332AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q 点坐标为2133(,)2m m m -， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ， ∵932AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴()2113311333332222m m m m ⎛⎫⋅+-+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎭-⎝21339332m m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-.如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ，∵932AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴2211331133(3m)3()2222m m m ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)2m m --+=，化简整理得23180m m -=，解得133m =223m =-∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-，∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.6．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a （x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：①求PDDD的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y＝212x﹣2x；（2）①1；②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨+-+++<<⎪⎩…； （3）h ＝±23．【解析】【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值．【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中，得：0＝a （0﹣2）2﹣2，解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭， 222232222,PG m 22m FH PH ===+-=+ ∵DD ′∥EG EG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG221224222m m m m ⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42=-++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)2L ⎧<⎪∴=⎨-++<<⎪⎩…； （3）如图3，∵OADD′为菱形∴AD＝AO＝DD′＝4，∴PD＝2，PA=23∴=±h23【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；（1）求二次函数的解析式；（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由．（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．（4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使△CPQ∽△BCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的坐标为（-1，0）或（1±5，0）或（-32，0）；（4）点P的坐标为：（-1，2）或（-73，-109）．【解析】【分析】（1）利用交点式求二次函数的解析式；（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；（4）存在两种情况：①如图4，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件；②如图5，图3中的M（-32，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，则△CP2Q∽△BCO，P2为直线CM的抛物线的交点．【详解】（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），a=-1，∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A（-2，0）、C（0，2）代入得：202k bb-+⎧⎨⎩＝＝，解得：12 kb⎧⎨⎩＝＝，∴直线AC的解析式为：y=x+2，∴D（n，n+2），∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，∴S△ANC=12×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1，∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2），（3）存在，分三种情况：①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；②如图2，由勾股定理得：BC=22251=，以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=5，此时，M2（1-5，0），M3（1+5，0）；③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，解得：x=32，∵M4在x轴的负半轴上，∴M4（-32，0），综上所述，当B 、C 、M 为顶点的三角形是等腰三角形时，M 的坐标为（-1，0）或（1±5，0）或（-32，0）； （4）存在两种情况： ①如图4，过C 作x 轴的平行线交抛物线于P 1，过P 1作P 1Q ⊥BC ，此时，△CP 1Q ∽△BCO ，∴点P 1与点C 关于抛物线的对称轴对称，∴P 1（-1，2），②如图5，由（3）知：当M （-32，0）时，MB=MC ，设CM 与抛物线交于点P 2， 过P 2作P 2Q ⊥BC ，此时，△CP 2Q ∽△BCO ，易得直线CM 的解析式为：y=43x+2， 则24232y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=--+⎩， 解得：P 2（-73，-109），综上所述，点P 的坐标为：（-1，2）或（-73，-109）． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解．8．如图，在平面直角坐标系中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，抛物线24y ax ax c =-+经过点A 和点B ，与x 轴的另一个交点为C ，动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向O 点运动，同时动点E 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向A 点运动，设运动的时间为t 秒，0﹤t ﹤5.（1）求抛物线的解析式； （2）当t 为何值时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△AOB 相似；（3）当△ADE 为等腰三角形时，求t 的值；（4）抛物线上是否存在一点F ，使得以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F 点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线的解析式为228833y x x =-++； （2）t 的值为3011或5013； （3）t 的值为103或6017或258； （4）符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(227F +，-8）.【解析】（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE ∽△AOB 和△AED ∽△AOB 即可求出t 的值；（3）过E 作EH ⊥x 轴于点H ，过D 作DM ⊥AB 于点M 即可求出t 的值；（4）分当AD 为边时，当AD 为对角线时符合条件的点F 的坐标.解：(1)A （6,0），B （0,8），依题意知36240{8a a c c -+==，解得2{38a c =-=， ∴228833y x x =-++. (2)∵ A （6,0），B （0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t ，AE=10-2t ， ①当△ADE ∽△AOB 时，AD AE AO AB =，∴102610t t -=，∴3011t =； ②当△AED ∽△AOB 时，AE AD AO AB =，∴102610t t -=，∴5013t =； 综上所述，t 的值为3011或5013. (3) ①当AD=AE 时，t=10-2t ，∴103t =； ②当AE=DE 时，过E 作EH ⊥x 轴于点H ，则AD=2AH ，由△AEH ∽△ABO 得，AH=()31025t -，∴()61025t t -=，∴6017t =； ③当AD=DE 时，过D 作DM ⊥AB 于点M ，则AE=2AM ，由△AMD ∽△AOB 得，AM=35t ，∴61025t t -=，∴258t =； 综上所述，t 的值为103或6017或258. (4) ①当AD 为边时，则BF ∥x 轴，∴8F B y y ==，求得x=4，∴F （4，8）； ②当AD 为对角线时，则8F B y y =-=-，∴2288833x x -++=-，解得2x =±∵x ﹥0，∴2x =+∴()28+-.综上所述，符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(2F +，-8）.“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．9．如图1，二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点()0,3C-.（1）求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;（2）若点D 在二次函数图像上，且45DBC ABC S S =△△，求点D 的横坐标;（3）将直线BC 向下平移，与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧)，如图2，过M 作ME y ∥轴，与直线BC 交于点E ，过N 作NF y ∥轴，与直线BC 交于点F ，当MN ME +的值最大时，求点M 的坐标.【答案】（1）y ＝239344x x --，A （﹣1，0），B （4，0）；（2）D 点的横坐标为22﹣2，2；（3）M （13，﹣113） 【解析】 【分析】（1）求出a ，即可求解；（2）求出直线BC 的解析式，过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ，根据三角形面积的关系求解；（3）过点M 作MG ∥x 轴，交FN 的延长线于点G ，设M （m ，34m 2﹣94m ﹣3），N（n ，34n 2﹣94n ﹣3），判断四边形MNFE 是平行四边形，根据ME ＝NF ，求出m +n ＝4，再确定ME +MN ＝﹣34m 2+3m +5﹣52m ＝﹣34（m ﹣13）2+6112，即可求M ；【详解】（1）y ＝ax 2﹣3ax ﹣4a 与y 轴交于点C （0，﹣3）， ∴a ＝34， ∴y ＝34x 2﹣94x ﹣3，与x 轴交点A （﹣1，0），B （4，0）； （2）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∴403k bb+=⎧⎨=-⎩，∴343 kb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴y＝34x﹣3；过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，设H（x，34x﹣3），D（x，34x2﹣94x﹣3），∴DH＝|34x2﹣3x|，∵S△ABC＝1155323⨯⨯=，∴S△DBC＝41552⨯＝6，∴S△DBC＝2×|34x2﹣3x|＝6，∴x＝2+22，x＝2﹣22，x＝2；∴D点的横坐标为2+22，2﹣22，2；（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，设M（m，34m2﹣94m﹣3），N（n，34n2﹣94n﹣3），则E（m，34m﹣3），F（n，34n﹣3），∴ME＝﹣34m2+3m，NF＝﹣34n2+3n，∵EF∥MN，ME∥NF，∴四边形MNFE是平行四边形，∴ME＝NF，∴﹣34m2+3m＝﹣34n2+3n，∴m +n ＝4，∴MG ＝n ﹣m ＝4﹣2m ， ∴∠NMG ＝∠OBC ，∴cos ∠NMG ＝cos ∠OBC ＝MG OBMN BC=, ∵B （4，0），C （0，﹣3）， ∴OB ＝4，OC ＝3，在Rt △BOC 中，BC ＝5，∴MN ＝54（n ﹣m ）＝54（4﹣2m ）＝5﹣52m ， ∴ME +MN ＝﹣34m 2+3m +5﹣52m ＝﹣34（m ﹣13）2+6112，∵﹣34＜0， ∴当m ＝13时，ME +MN 有最大值，∴M （13，﹣113）【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.10．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+． ①求抛物线的解析式．②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】①265y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③点N 的横坐标为：4541+541-． 【解析】 【分析】①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线上，所以250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：265y x x =-+-；②先求出点P 到BC 的高h 为2sin 45)BP t ︒=-，于是21122)22)2222PBE S BE h t t t ∆=⋅=-⨯=-+2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC 的距离22d =N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证△PQN 为等腰直角三角形，即22NQ PQ ==4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()25654m m m ---+-=解得15412m =，25412m =（舍去），Ⅲ．4NH HP -=，()265[(5)]4m m m --+----=，解得15412m =（舍去），25412m =． 【详解】解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上，∴B （﹣n ，0）、C （0，n ）， ∵点A （1，0）在抛物线上，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩， ∴1a =-，6b =，∴抛物线解析式：265y x x =-+-； ②由题意，得，4PB t =-，2BE t =，由①知，45OBC ︒∠=， ∴点P 到BC 的高h为sin 45(4)2BP t ︒=-，∴211)22)22PBE S BE h t t t ∆=⋅=-⨯=-+ 当2t =时，△PBE的面积最大，最大值为 ③由①知，BC 所在直线为：5y x =-， ∴点A 到直线BC的距离d =过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ． 设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -， 易证△PQN为等腰直角三角形，即NQ PQ == ∴4PN =， Ⅰ．4NH HP +=， ∴265(5)4m m m -+---= 解得11m =，24m =，∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴4m =；Ⅱ．4NH HP +=， ∴()25654m m m ---+-=解得1m =，2m =∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，5m >，∴m =， Ⅲ．4NH HP -=，∴()265[(5)]4m m m --+----=， 解得1541m +=，2541m -=，∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，0m <，∴541m -=， 综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或5412+或5412-． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．11．复习课中，教师给出关于x 的函数（k 是实数）.教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图像经过（1,0）点； ②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点； ③当时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数； 教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.【答案】①真，②假，③假，④真，理由和所用的数学方法见解析. 【解析】试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断. 试题解析：①真，②假，③假，④真.理由如下： ①将（1,0）代入，得，解得.∴存在函数，其图像经过（1,0）点.∴结论①为真. ②举反例如，当时，函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假. ③∵当时，二次函数（k 是实数）的对称轴为，∴可举反例如，当时，二次函数为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.∴结论③为假.④∵当时，二次函数的最值为，∴当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.∴结论④为真.解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.12．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．【解析】试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以，解得；（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝＝，∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P1（1，）；②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，），m ＝，则P（1，8a），∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P2（1，－4）．综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．考点：二次函数综合题．13．已知抛物线21322y x x =--的图象如图所示： （1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则平移后的解析式为 ．（2）判断△ABC 的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =--+；（2）△ABC 是直角三角形；（3）存在，302，⎛⎫- ⎪⎝⎭、31122⎛-+ ⎝⎭，、31122⎛-- ⎝⎭，． 【解析】【分析】（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A ，B ，C 的坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，分三种情况，可得关于n 的方程，根据解方程，可得答案．【详解】（1）将该抛物线向上平移2个单位，得：y 12=-x 232-x +2． 故答案为y 12=-x 232-x +2； （2）当y =0时，12-x 232-x +2=0，解得：x 1=﹣4，x 2=1，即B （﹣4，0），A （1，0）． 当x =0时，y =2，即C （0，2）． AB =1﹣（﹣4）=5，AB 2=25，AC 2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC 2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20．∵AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）y 12=-x 232-x +2的对称轴是x 32=-，设P （32-，n ），AP 2=（132+）2+n 2254=+n 2，CP 294=+（2﹣n ）2，AC 2=12+22=5.分三种情况讨论： ①当AP =AC 时，AP 2=AC 2，254+n 2=5，方程无解； ②当AP =CP 时，AP 2=CP 2，254+n 294=+（2﹣n ）2，解得：n =0，即P 1（32-，0）；③当AC =CP 时，AC 2=CP 2，94+（2﹣n ）2=5，解得：n 1=2，n 2=2，P 2（32-，22+），P 3（32-，22-）． 综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，点P 的坐标（32-，0），（32-，2），（32-，2）． 【点睛】本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n 的方程，要分类讨论，以防遗漏．14．已知抛物线27y x 3x 4=--的顶点为点D ，并与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）取点E（34，0）和点F（0，），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点．①点G是否在直线l上，请说明理由；②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1） D（32，﹣4）（2） P（0，74）或（0，17）（3）详见解析【解析】【分析】（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标．（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解．（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可．②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点．再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M．。