初二数学最短路径问题家庭功课

原创不容易，【关注】店铺，不迷路！2019年中考数学大结局分析——最短路径问题4:费马点费马点问题一个等边三角形是在三角形的三条边的每一条边上向外形成的。

三个等边三角形的外接圆相交于一点T，称为托里切利点，而三个等边三角形的外接圆称为托里切利圆。

在一定条件下，托里切利点与等中心和费马点相同。

托里切利点是意大利物理学家托里切利发现的。

这个问题是费马(1601-1665)向意大利物理学家托里切利(1608-1647)提出的，作为一个著名的“寻找一个点使它到三角形三个顶点的距离最小”的极值问题，托里切利解决了这个问题。

当三角形的内角都小于120时，K为期望点，所以K称为托里切利点，也称为费马点。

后来德国的施泰纳(1796-1863)独立提出并推广，所以也叫施泰纳问题。

本篇文章中介绍的问题主要是以大家熟知的费马点为背景。

平时大家一听这名字感觉很神奇，学过之后可能感觉也就那回事。

很多数学问题、数学知识都是经历几代数学家的努力之后的成果。

除了做题，有空的时候可以多了解一些数学文化、数学史，领略数学的魅力。

话不多说，直接上题。

【题1】(武汉，2019)问题背景：如图1所示，绕a点逆时针转动ABC，得到ADE，其中DE和BC在p点相交，可以推导出结论：paPC=PE。

解题：如图2，在MNG中，Mn=6，m=75，mg=42。

如果点o是MNG中的一个点，则从点o到MNG三个顶点的距离之和的最小值为。

回答之前，可以先看一下前面的文章：旋转结构的几何最大值【分析】三角形内确定一点到三个顶点的距离和最小值，就是我们前面说的问题。

上辅助线先。

怎么做，圆内任取一点并连接三个顶点，再将其中一个三角形如MOG绕点M 逆时针旋转60度得MOG，连接OO。

易得四点共线时距离和最小。

点G是定点，所以NG的长度为定值。

NMG为135，所以容易求得NG为229。

（备注：过点G作MN的垂线即可解得。

）下面是菁优网的答案。

29。

下面是陕西省的中考压轴题【题2】(2018陕西)问题提出(1)如图所示，在ABC中，a=120，ab=AC=5，那么ABC的外接圆半径r为。

最短路径问题解题技巧：先把立体图形展开成平面图形，再根据两点之间线段最短来解决问题例1、如图，厨房里有一个圆柱体的糖罐，底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只饥饿的蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C偷糖吃，试求出爬行的最短路程1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm。

A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为_________dm．2、如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.3、如图，A、B两个小城镇在河流CD同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元(1)请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节约？(2)求出总费用是多少？课后作业1、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是（）A.2B.4C.6D.82、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．3、如图所示，一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高为______m4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-6,0）、（0,8）。

以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___________5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°。

（1）求∠BAC的度数。

（2）若AC=2，求AD的长。

6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC=________7、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED。

初二数学最短路径问题家庭作业一、精心选一选1.在平面直角坐标系中有两点，要在轴上找一点，使它到的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是()A. B. C. D.考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想.答案：D.解析：利用轴对称的性质，把y轴同侧的两点转化为y轴异侧的两点，根据“两点之间，线段最短”，找到点C的位置，故选D.2.如图，在等边△ABC中，边BC的高AD=4，点P是高AD 上的一个动点，E是边AC的中点，在点P运动的过程中，存在PE+PC的最小值，则这个最小值是()A.4B.5C.6D.8考查目的：本题主要考查等边三角形的性质及利用轴对称解决最短的线段和问题.答案：A.解析：根据等边三角形的性质可知点B是点C关于AD的对称点，PE+PC的最小值就是BE的长，即等边△ABC的高，故选A.3.如图，正方形ABCD的边长为8，△BCE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为()A.4B.6C.8D.10考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想.答案：C.解析：由题意知，点B是点D关于AC的对称点，因此，PD+PE 的和可以转化为PB+PE的和.因为PB+PE的和的最小值BE，即为8，故选C.二、细心填一填4.两点的所有连线中，最短.考查目的：本题主要考查“两点之间，线段最短”的基本事实. 答案：线段.解析：根据基本事实“两点之间，线段最短”即可得出答案. 5.连接直线外一点与直线上各点所有连线中，最短.考查目的：本题主要考查连接直线外一点与直线上各点所有连线中，垂线段最短的基础知识.答案：垂线段.解析：连接直线外一点与直线上各点所有连线中，垂线段最短.6.如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点F，使△AEF周长最小，此时∠AEF+∠AFE的度数为.考查目的：本题主要考查利用轴对称解决较复杂的路径问题.分别作点A关于CD、BC的对称点，画出基本图形是解题的关键.答案：120°.解析：如下图，分别作点A关于CD、BC的对称点A1，A2，连接A1A2，分别交CD、BC于点F，E，即此时△AEF周长最小.由对称可知∠A1=∠DAF，∠A2=∠BAE，因为∠A1+∠A2=180°-∠BAD=60°，所以∠DAF+∠DAF=∠A1+∠A2=60°，所以∠EAF =60°，所以∠AEF+∠AFE=180°-∠EAF=120°.唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。

初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】 作法图形 原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形 原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．3B ．26C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2B ．32C ．32+D ．4lBAlPABl ABlBPAB'ABCPEDCBAADEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． DEABCD MABMN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ，此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．图①12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。

数学人教版八年级上册最短路径.4最短路径问题.ppt1、最短路径问题13.4济水一中韩延军问题一：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？所以泵站建在点P可使输气管线最短P问题二：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？B′P作法：〔1〕作点B关于直线L的对称点B′；〔2〕连接AB′，与直线L相交于点P．则：点P即为所求．问题：你能用所学的学问证明AC+BC最短吗？·lB′BA·C互动释疑证明：如图，在直线l上任取一点C′〔与点C不重合〕，连接AC′，BC′，B′C′．C′由轴2、对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中AB′＜AC′+B′C′∴AC+BC＜AC′+BC′即AC+BC最短问题2：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最短的问题。

小结：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，与该直线的交点，即为所确定的位置.B·lA·B′C同侧异侧作对称点练习一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜见海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l饮马，3、然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？反馈拓展BAlBAlB′P将军饮马能力提升1、如图：牧马营地在点p处，每天牧马人要赶着马群先到草地a吃草，再到河边b饮水，最终回到营地。

请你设计一条放牧路线，使牧马人所走的总路程最短。

ab草地河●pp1●●p2MN2、如图：为了做好国庆期间的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路上设卡检查，然后到公路上设卡检查，最终再到达B地执行任务。

他们如何走才能使其总路程最短？ABA′B′DC能力提升归纳在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称等改变把已知问题转化为简单解决的问题，从而做出最短路径的选4、择。

初二数学最短路径问题，“将军饮马”四种题型详解，折变直是关键初二数学最短路径问题，“将军饮马”四种题型详解，折变直是关键 -初二数学轴对称这一章节中，课题研究中的最短路径问题，是中考的热门考点，在初二的考试中也是经常会出现。

最短路径问题中，初中阶段主要涉及三方面的内容，“将军饮马”、“造桥选址”和“费马点”，涉及到的知识点主要有“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”等，需要同学们根据题目给定的条件，做出最短路径问题，而这类题目的解题思路就是找对称点实现“折”转“直”，这是最为关键的，从而找到最短路径的点，解决出最短路径的问题，我们先来学习一个比较简单的“将军饮马”类型，最短路径的求解，通过四种题型，详解解释作图方法。

希望同学们能够认真总结，将这类题目掌握。

以“将军饮马”为原型常见的四种类型的题目分别是：（1）、A,B两点位于L的同侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；（2）、A,B两点位于L的两侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；（3）、在两条相交直线L1,L2内一点P，在两条直线上分别求出M,N,使△PMN的周长最小；（4）、在直线L1、L2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小。

例1：作图题.如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂P，向A村B村供水．（1）若要使厂部到A、B两村的距离相等，则厂部P应选在哪里？在图①中画出；（2）若要使厂部到A、B两村的输水管长度之和最小，则厂部P应选在什么地方？在图②中画出．（保留作图痕迹，不写作法，但要写结论）本题关键是掌握在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L 上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．例2：尺规作图：（不要求写作法，只保留作图痕迹）如图，工厂A和工厂B，位于两条公路OC、OD之间的地带，现要建一座货物中转站P．若要求中转站P到两条公路OC、OD的距离相等，且到工厂A和工厂B的距离之和最短，请用尺规作出P的位置．本题不仅考察了最短路径的作图方法，还要求根据题意明确点P还在角COD的角平分线上。

最新人教版数学八年级上册最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB 最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．;如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB 最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，|所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．`点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P 到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．：(2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．【例3】如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短思路导引：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M..则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短图a 图b—解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A ＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B ＜CA－C B.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。

第18讲 最短路径问题【板块一】“垂线段最短”问题方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短．题型一 动点所在直线已知型【例1】已知等腰△ABC 的面积为4，AB =AC ，BC =8，P 为BC 上一动点，求AP 的最小值．题型二 动点所在直线隐藏型【例2】如图，边长为6的等边△ABC ，点E 时对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ，则在点E 的运动过程中，求DF 的最小．B C针对练习11．如图，△ABC 和△ACD 都是等边三角形，AB=2，△ABC ACD 绕点A 旋转得到△AC ’D ’．AC ’，AD ’分别与BC ，CD 交于E ，F ．求△CEF 的周长的最小值．ABD2．如图，OE 是等边△AOB 的中线，OB =4，C 是直线OE 上一动点，以AC 为边在直线AC 下方作等边△ACD ，连接ED ，下列说法正确的是（ ）A ．ED 的最小值是2B ．ED 的最小值是1C ．ED 有最大值 D ．ED 没有最大值也没有最小值O AB D E C【板块二】“将军饮马”问题方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．【例3】如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣2，4），B （4，2），在x 轴上取一点P ，使点P 到点A 和B 的距离之和最小，则点P 的坐标是（ ）A ．（﹣2，0）B ．（4，0）C ．（2，0）D ．（0，0）【例4】如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．∠BAD =120°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，当△AMN 周长最小时，求∠AMN ＋∠ANM 的度数．B NM针对练习21．如图，等腰△ABC 的底边BC 的长为为4cm ，面积是12cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，求△BDM 的周长最小值．ABD2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线．若点P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值．BQ。

八年级上册最短路径难题讲解
八年级上册最短路径问题是一个重要的数学问题，涉及到图论和几何知识。

以下是几个经典的最短路径问题及相应的解题思路：
1. 将军饮马问题：两个将军分别在河的两岸，他们想要到河的对面饮马。

河水流速很快，不能逆流而上。

他们应该选择怎样的路径才能使其中一位将军到河对岸的总时间最短？
解题思路：在这种情况下，两个将军都可以选择直接过河，但是这样会花费较长的时间。

为了使总时间最短，他们可以选择在河岸的某一位置相遇，然后一起走到河对岸。

这样，他们可以节省掉单独过河的时间。

2. 造桥选址问题：有两个人分别在河的两岸，他们想要通过建造一座桥来互相通行。

为了使造桥的成本最低，他们应该选择怎样的桥址？
解题思路：在这种情况下，最短的路径就是直接在两岸之间建造一座桥。

因此，他们应该选择在河的中心建造桥，这样可以使得桥的长度最短，同时也可以节省造桥的成本。

3. 费马点问题：在三角形中，任意选取三个点，要求找到一个点到其他三个点的距离之和最短的位置。

解题思路：首先，我们可以将这个问题转化为求三角形三个顶点的中点。

然后，我们可以利用三角形的性质来证明这个结论。

具体来说，我们可以证明任意一个点到其他三个点的距离之和都大于等于三角形三个顶点的中点到其他三个点的距离之和，当且仅当这个点是三角形三个顶点的中点时取等号。

因此，三角形的费马点就是其三个顶点的中点。

以上是最短路径问题的几个经典例子及相应的解题思路。

通过这些例子，我们可以了解到最短路径问题的基本概念和方法，以及如何利用几何和图论的知识来解决这些问题。