2013二轮模拟新题分类汇编·专题2 三角函数,平面向量与解三角形

专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。

【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习专题二三角函数与平面向量三角函数与平面向量主要包括三部分内容——三角函数、平面向量、解三角形，复习这三部分内容应牢牢把握三个点：“角”、“关系”与“运算”，这三个点串成了该部分知识复习的主线．线索一“角”，是三角函数复习线索的中心，该部分知识的复习要围绕“角”这个中心，抓住四个基本点：三角函数的定义、同角三角函数的基本关系与诱导公式、三角函数的图像与性质、三角恒等变换．(1)任意角的三角函数的定义揭示了三角函数值与坐标之间的关系，要明确三角函数各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．三角函数定义是推导同角三角函数关系的基础；(2)同角三角函数的基本关系和诱导公式是求解三角函数值、对三角函数式进行化简求值的基础，注意角的范围对三角函数值符号的影响，诱导公式要准确记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，化简时要遵循“负变正，钝变锐”的原则，把角化归到锐角范围内进行研究；(3)三角函数的图像与性质是三角函数的重点，准确把握三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值等是解决图像问题的关键，如处理三角函数图像平移问题可借助对应两个函数图像的关键点确定平移的单位和方向；根据函数图像写解析式时，要遵循“定最值求A，定周期求ω，定最值点求φ”的基本思路；(4)角的变化是三角恒等变换的关键，熟练记忆和角、差角、倍角的三角函数公式，这是三角函数化简求值的基础，三角函数综合问题的求解都需要先利用这些公式把三角函数解析式化成“一角一函数”的形式，进而研究三角函数的图像与性质，这些公式是联系三角函数各个部分的纽带．线索二三角形中的“边角关系”，这是解三角形问题的核心，主要涉及正弦定理、余弦定理及解三角形的实际应用问题．(1)正弦定理、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，应注意定理的灵活变形，如a ＝2Rsin A ，sin A ＝a2R (其中2R 为三角形外接圆的直径)，a2＋b2－c2＝2abcos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角；(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B)＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C2等；利用“大边对大角”可以排除解三角形中的增解问题等；(3)测量问题是解三角形在实际应用中的主要内容，解决问题的关键是把要测量的问题归入到相应的三角形中，然后利用正、余弦定理求解相应的边角．线索三平面向量的“基本运算”，这是平面向量中的重点，主要包括线性运算、数量积运算以及坐标运算．(1)正确理解平面向量的基本概念和基本定理是实施平面向量基本运算的基础，如利用相反向量可把向量的减法转化为向量的加法；(2)平面向量的线性运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础，如“a ∥b ”的必要不充分条件是“存在实数t ，使得b ＝ta ”，因为若a ＝0，b ≠0，虽然有a ∥b ，但实数t 不存在； (3)数量积是平面向量中的一种重要运算，坐标运算是平面向量的核心知识，涉及夹角、距离等的基本运算，是历年高考命题的重点，要准确记忆相关公式；(4)平面向量多作为解决问题的工具或者通过运算作为条件出现，常与三角函数、解三角形以及平面解析几何等问题相结合，在复习中要重视向量在解决此类问题时的应用．第一节三角函数的图像与性质1．巧记六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限．3．识破三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ――――――――→向左 φ>0 或向右 φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――――――――→横坐标变为原来的1 ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)．(2)y ＝sin x ―――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx――――――――→向左 φ>0 或向右 φ<0 平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)．[考情分析] 高考对本部分内容的考查，一般主要是小题，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图像及其性质进行求值、参数、值域、单调区间及图像判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图像、诱导公式及同角三角函数关系的应用等．[例1] 已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4[思路点拨] 由三角函数定义求出tan θ值，再由θ的范围，即可求得θ的值． [解析] tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cos π4sin π4＝－1， 又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.[答案] D[类题通法]1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单；2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件． [冲关集训]1．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1 解析：选A 由sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tan α＝tan 3π4＝－1.2．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝a 1log 3a(a>0，且a ≠1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值为( ) A.1010 B ．－1010C.31010D ．－31010解析：选B 由题意可知tan(3π＋α)＝13，所以tan α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. ∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. [考情分析] 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定A 、ω、φ问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档，主要考查识图、用图能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力．[例2] (2012·陕西高考)函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．[思路点拨] (1)利用最值求出A 的值．再利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离求出周期，从而得出ω＝2，进而得解；(2)结合已知条件得出关于角α的某一个三角函数值，再根据α的范围易求得α的值．[解] (1)∵函数f(x)的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π.∴ω＝2.∴函数f(x)的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3.∴α－π6＝π6，∴α＝π3.[类题通法]1．确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 解析式的方法(1)给出y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像，求解析式，常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图像的升降找准第一个零点的位置． (2)给出y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的图像求解析式，参数A ，B ， A ＝最大值－最小值2，B ＝最大值＋最小值2；2．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像变换的技巧及注意事项(1)函数图像的平移变换规则是“左加右减”．(2)在变换过程中务必分清先相位变换，还是先周期变换．(3)变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． [冲关集训]3．(2012·济南一模)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π2解析：选D y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3―――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3――――――→向左平移π6个单位y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π3，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.因为当x ＝π2时，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2－π4＝1，所以对称轴可以是x ＝π2. 4．(2012·天津高考)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2 解析：选D 将函数f(x)＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f(x)＝sin ω(x －π4)＝sin(ωx －ωπ4)．又因为函数图像过点(3π4，0)，所以sin(3ωπ4－ωπ4)＝sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π，即ω＝2k(k ∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为2. 5．(2012·衡水模拟)若函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点与最低点，且OM ·ON＝0，则A ·ω＝( ) A.π6 B.7π12 C.7π6 D.7π3解析：选C 由题中图像知T 4＝π3－π12，所以T ＝π，所以ω＝2.则M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A ， 由OM ·ON＝0，得7π2122＝A2，所以A ＝7π12，所以A ·ω＝7π6. [考情分析] 三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法． [例3] (2012·北京高考)已知函数f(x)＝ sin x －cos x sin 2xsin x .(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间．[思路点拨] 先化简函数解析式，再求函数的性质． [解] (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z)， 故f(x)的定义域为{x ∈R|x ≠k π，k ∈Z}． 因为f(x)＝ sin x －cos x sin 2xsin x＝2cos x(sin x －cos x) ＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z)，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z)．[类题通法]函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题． [冲关集训]6．(2012·石家庄模拟)下列函数中，周期为π且在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4C ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x解析：选D 因为y ＝cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，而2x ∈[0，π]，所以y ＝cos 2x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为减函数．7．(2012·山东高考)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.8．(2012·广州调研)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R)，给出下面四个命题：①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图像关于直线x ＝π4对称；④函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由f(x)＝－cos 2x 的图像可知，函数f(x)的图像关于直线x＝π4不对称，③错误；由f(x)的图像易知函数f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故④正确． 9．设函数f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R. (1)若ω＝12，求f(x)的最大值及相应的x 的集合；(2)若x ＝π8是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求f(x)的单调递增区间．解：(1)f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2＝sin ωx －cos ωx ，当ω＝12时，f(x)＝sin x 2－cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4， 又－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4≤1，所以f(x)的最大值为2，此时，x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，相应的x 的集合为{x|x ＝3π2＋4k π，k ∈Z}．(2)法一：因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4， 所以，x ＝π8是f(x)的一个零点⇔f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，k ∈Z ， 又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k<1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z.法二：x ＝π8是f(x)的一个零点⇔f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ωπ8－cos ωπ8＝0， 即tan ωπ8＝1.所以ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k<1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 以下同法一．“观看”数学思想在三角函数中的精彩应用许多三角函数问题，如能灵活运用相应的数学思想(数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想、整体思想)，往往能使一些抽象的、复杂的三角问题迅速、准确地找到解题思路，从而得到便捷的解法．[典例] 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x<π，且方程f(x)＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．[思路点拨] 利用转化思想把方程问题化为函数问题，再利用数形结合法求解．[解] (1)由图像知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2，又图像过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2.即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m(m ∈R)的图像，如图所示，由图可知，当－2<m<1或1<m<2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m<1或1<m<2. 当－2<m<1时，两根之和为4π3； 当1<m<2时，两根之和为π3.[名师支招]本题将方程的根的问题转化成两个函数图像交点的个数问题，把代数问题转化成几何问题求解，从函数图像上可以清楚地看出当－2<m<1或1<m<2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图像的对称性便可求出两根之和． [高考预测]函数f(x)＝sin πx ＋cos πx ＋|sin πx －cos πx|对任意的x ∈R 都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为________． 解析：依题意得，当sin πx －cos πx ≥0，即sin πx ≥cos πx 时，f(x)＝2sin πx ；当sin πx －cos πx<0，即sin πx<cos πx 时，f(x)＝2cos πx.令f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y ＝f(x)的图像可知，|x2－x1|的最小值是34.答案：34[配套课时作业]1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析：选A 记α＝∠POQ ，由三角函数的定义可知，Q 点的坐标(x ，y)满足x ＝cos α＝cos23π＝－12，y ＝sin α＝sin 23π＝32.2．(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12解析：选D 法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan2 θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan2 θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin2 θ＋cos2 θ＝2tan θ1＋tan2θ＝2tan θ4tan θ＝12.法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝12.3．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32C ．2D ．3解析：选B 由于函数f(x)＝sin ωx 的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像，可知π3为这个函数的四分之一周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32. 4．(2012·福州质检)将函数f(x)＝sin 2x(x ∈R)的图像向右平移π4个单位后，所得到的图像对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0 B .⎝⎛⎭⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 解析：选 B 将函数f(x)＝sin 2x(x ∈R)的图像向右平移π4个单位后得到函数g(x)＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos 2x 的图像，则函数g(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.5．(2012·山西考前适应性训练)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<5,0≤φ≤π2)的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫0，32，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝－1，则ω＝( ) A.113 B ．4 C.133 D.143解析：选D 依题意得，f(0)＝sin φ＝32，又0≤φ≤π2，因此φ＝π3.由f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫ω×π4＋π3＝－1得ω×π4＋π3＝2k π－π2，ω＝8k －103，k ∈Z ；又0<ω<5，于是有0<8k －103<5，512<k<2524，k ∈Z ，因此k ＝1，ω＝143.6．已知函数f(x)＝sin x ＋3cos x ．设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a解析：选B 法一：f(x)＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因为函数f(x)在[0，π6]上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π7<f ⎝⎛⎭⎫π6，而c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f ⎝⎛⎭⎫π7，所以c<a<b.法二：f(x)＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，显然f(x)的最小正周期T ＝2π，一个对称轴为x ＝π6.因为⎪⎪⎪⎪π6－π6<⎪⎪⎪⎪π7－π6<⎪⎪⎪⎪π3－π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π7<f ⎝⎛⎭⎫π6，即c<a<b.7．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：r ＝x2＋y2＝16＋y2， 且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.答案：－88．函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．解析：∵f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，且f(x)的最大值是3<2，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，即sin π4ω＝32， ∴π4ω＝π3，∴ω＝43. 答案：439．函数f(x)＝2cos2x ＋sin 2x －1，给出下列四个命题：①函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上是减函数； ②直线x ＝π8是函数图像的一条对称轴；③函数f(x)的图像可由函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π4个单位长度而得到；④若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f(x)的值域是[]－1，2.其中所有正确命题的序号是________．解析：∵f(x)＝2cos2x ＋sin 2x －1＝cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得：k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，即f(x)的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．∴命题①正确．又∵x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴x ＝π8是函数图像的一条对称轴，∴命题②正确．又∵f(x)可由y ＝2sin 2x 的图像向左平移π8个单位长度而得到，∴命题③错误．又∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[－1， 2 ]， 即f(x)∈[－1， 2 ]，∴命题④正确． 答案：①②④10．(2012·天津高考)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2cos2x －1，x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)法一：因为f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上是增函数，在区间[π8，π4]上是减函数，又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，故函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.法二：由(1)知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，因为－π4≤x ≤π4，则－π2≤2x ≤π2，则－π4≤2x ＋π4≤3π4.所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，即－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤ 2. 所以f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.11．已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，3π2上的函数y ＝f(x)图像关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f(x)＝－sin x.(1)作出y ＝f(x)的图像； (2)求y ＝f(x)的解析式．解：(1)y ＝f(x)的图像如图所示．(2)任取x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4， 则π2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2，因函数y ＝f(x)图像关于直线x ＝π4对称，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，又当x ≥π4时，f(x)＝－sin x ，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ， 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4，－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2.12.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图像的一部分如右图所示． (1)求函数f(x)的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f(x)＋f(x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解：(1)由图像知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图像经过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0.又∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f(x)＋f(x ＋2) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23， ∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最小值为－2 2.第二节三角变换与解三角形1．“死记”两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α.②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.③tan 2α＝2tan α1－tan2α.2．“熟记”两个定理 (1)正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C.(2)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A ，b2＝a2＋c2－2accos B ， c2＝a2＋b2－2abcos C.推论：cos A ＝b2＋c2－a22bc ，cos B ＝a2＋c2－b22ac ，cos C ＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A ，a2＋c2－b2＝2accos B ， a2＋b2－c2＝2abcos C.[考情分析] 三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，特别是和与差的三角函数公式与三角恒等变换的灵活运用．高考对该内容的考查，一般多以选择题、填空题的形式考查三角变换在求值、化简等方面的简单应用，解答题往往与向量交汇命题．[例1] (2011·广东高考)已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R. (1)求f(0)的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．[思路点拨] (1)可以直接代入求值．(2)首先要化简条件得sin α，cos β，然后用和角公式sin(α＋β)计算．[解] (1)f(0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1. (2)由f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，即2sin α＝1013，所以sin α＝513.由f(3β＋2π)＝65，得2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65， 即2cos β＝65，所以cos β＝35.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－sin2α＝1213，sin β＝1－cos2β＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝513×35＋1213×45＝6365. [类题通法]三角函数恒等变换的基本策略(1)常值代换．特别是“1”的代换，如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑．如分拆项：sin2x ＋2cos2x ＝(sin2x ＋cos2x)＋cos2x ＝1＋cos2x ；配凑角：α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2等．(3)降次与升次，即半角公式降次与倍角公式升次．(4)化弦(切)法．将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦(切)．(5)引入辅助角．asin θ＋bcos θ＝a2＋b2sin(θ＋φ)，这里辅助角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝ba确定．[冲关集训]1．(2012·深圳调研)已知直线l ：xtan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( ) A ．－73B.73C.57D ．1 解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.2．(2012·哈师大附中模拟)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525 B.255C.2525或255D.55或525解析：选A 依题意得sin α＝1－cos2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2 α＋β ＝±45；又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.3．(2012·德州模拟)已知函数f(x)＝2cos2x2－3sin x.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值．解：(1)∵f(x)＝2cos2x2－3sin x＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴周期T ＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵α为第二象限角，∴sin α＝223.∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos2α－sin2α2cos2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.[考情分析] 正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形是高考的一个热点问题．高考对该内容的考查可以是选择题或填空题，直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题，多属于中档题；也可以是解答题，多是交汇性问题，常常是与三角函数或平面向量结合．[例2] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为 3，求b ，c.[思路点拨] (1)由题设以及正弦定理得到关于A 的三角函数值，进而求得A 的值．(2)由面积公式以及余弦定理得到b 与c 的方程组，进而求得b 与c 的值． [解] (1)由acos C ＋3asin C －b －c ＝0得 sin Acos C ＋3sin Asin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin Asin C －cos Asin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bcsin A ＝3，故bc ＝4.而a2＝b2＋c2－2bccos A ，故b2＋c2＝8. 解得b ＝c ＝2. [类题通法] 解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C. [冲关集训]4．(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725D.2425解析：选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin Bcos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C2sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos2 B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725. 5．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．解析：由正弦定理可知sin ∠B ＝bsin ∠A a ＝3sinπ33＝12，所以∠B ＝π6或5π6(舍去)，所以∠C ＝π－∠A －∠B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π26．(2012·江西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3cos(B －C)－1＝6cos Bcos C. (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c. 解：(1)由3cos(B －C)－1＝6cos Bcos C ， 得3(cos Bcos C －sin Bsin C)＝－1， 即cos(B ＋C)＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C)＝13.(2)由于0<A<π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bcsin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A ，得b2＋c2＝13.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6，b2＋c2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.[考情分析] 由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题．[例3] 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由．[思路点拨] 第(1)步设相遇时小艇航行的距离为S ，利用余弦定理把S 表示为关于t 的函数，利用二次函数求解S 的最小值，并求解此时的速度；第(2)步利用余弦定理表示出v ，t 的关系式，并利用函数知识求解；第(3)步把问题转化为二次函数根的分布问题． [解] (1)设相遇时小艇航行距离为S 海里，则 S ＝900t2＋400－2·30t ·20·cos 90°－30° ＝900t2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300， 故当t ＝13时，Smin ＝103，v ＝303，即小艇以每小时303海里的速度航行，相遇时距离最小．(2)若轮船与小艇在B 处相遇，由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·(30t)·cos(90°－30°)， 化简得v2＝400t2－600t＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675， 由于0<t ≤12，即1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．(3)由(2)知v2＝400t2－600t ＋900，令1t＝μ(μ>0)，于是有400μ2－600μ＋900－v2＝0，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧600 2－1 600 900－v2 >0，900－v2>0，解得：153<v<30，所以v 的取值范围为(153，30)． [类题通法]应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[冲关集训]7.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CDsin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BCtan 60°＝10 6.答案：10 68．(2012·郑州模拟)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D.(1)求AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少？(2＝1.414，3＝1.732) 解：(1)在△ABC 中，由余弦定理得 cos C ＝AC2＋BC2－AB22AC ·BC ＝82＋52－AB22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD2＋BD2－AB22AD ·BD ＝72＋72－AB22×7×7，②由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D ，③解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米． (2)小李的设计使建造费用最低． 理由如下：易知S △ABD ＝12AD ·BDsin D ，S △ABC ＝12AC ·BCsin C ，因为AD ·BD>AC ·BC ，且∠C ＝∠D ，所以S △ABD>S △ABC.故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低．因为AD ＝BD ＝AB ＝7，所以△ABD 是等边三角形，∠D ＝∠C ＝60°. 故S △ABC ＝12AC ·BCsin C ＝103，所以所求的最低造价为5 000×103＝50 0003≈86 600元．透视三角函数的求值、求角问题许多考生对三角函数恒等变换中的求值、求角问题一筹莫展，其原因在于：①未能牢记三角公式；②不知如何根据三角函数的形式选择合适的求值、求角的方法．三角函数的求值、求角问题包括：(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值； (2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值； (3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角．[典例] (2011·天津高考)已知函数f(x)＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α，求α的大小． [思路点拨] (1)根据正切函数的有关概念和性质求解；(2)根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值．[解] (1)由三角函数的定义得2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，即x ≠π8＋k π2，k ∈Z.∴f(x)的定义域为{x|x ≠π8＋k π2，k ∈Z}，f(x)的最小正周期为π2.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos 2α，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos2α－sin2α)， 整理得：sin α＋cos αsin α－cos α＝2(sin α＋cos α)(sin α－cos α)．∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴sin α＋cos α≠0.∴(sin α－cos α)2＝12.∴sin 2α＝12.由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α＝π6，α＝π12.[名师支招]利用三角恒等变换求值与求角，其实质是对两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用．求解此类问题，不仅对公式的正用、逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉，同时要善于拆角、拼角，注意角的范围．总之，“变”是三角恒等变换的主题，在三角恒等变换中，角的变换、名称的变换、次数的变换、表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化“变”的意识是关键，但要注意其中的不变，即公式不变、方法不变，最好能够将习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律，这样才能以不变应万变． [高考预测]已知向量OA ＝(cos α，sin α)(α∈[－π，0])，向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA－n)．(1)求向量OA ；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)． 解：(1)∵OA＝(cos α，sin α)， ∴OA－n ＝(cos α，sin α＋5)，∵m ⊥(OA －n)，∴m ·(OA－n)＝0，即2cos α＋(sin α＋5)＝0，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②联立方程解得cos α＝－255，sin α＝－55，∴OA＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55.(2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210， 又∵0<β<π，∴sin β＝7210，且π2<β<π.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝45， cos 2α＝2cos2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋45×7210＝25250＝22.[配套课时作业]1．(2012·威海模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－55，则tan 2α＝( )A.43 B ．－43 C ．－2D ．2解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－55，所以sin α＝－1－cos2α＝－255.所以tan α＝2.则tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－43.2．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3解析：选D 由二倍角公式可得sin2α＋1－2sin2α＝14，sin2α＝34，又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝32.即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3. 3．设sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝( )A ．－247B ．－724C.247D.724解析：选D ∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.又∵tan(π－β)＝12，∴tan β＝－12，∴tan 2β＝2tan β1－tan2β＝－43，∴tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β＝－34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－431＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43 ＝724. 4．(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：选C 原式＝sin 30°＋17° －sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝12.5．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选D 由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－435.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 6．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C ，3b ＝20acos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( ) A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4解析：选D 由题意可得a>b>c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n>1，且n ∈N*)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)· n ＋1 2＋n2－ n ＋2 22n n ＋1 ，化简得7n2－13n－60＝0，n ∈N*，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶si n C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4. 7．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：代入余弦定理公式得：b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. 答案：48．(2012·烟台模拟)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12，则tan α＝________. 解析：因为cos2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12，即cos2α＋cos 2α＝12，所以cos2α＋2cos2α－1＝12.整理得3cos2α＝32，所以cos α＝22(因α为锐角，所以取正)．。

高考数学（理）二轮复习：三角函数与平面向量（含答案）4 三角函数与平面向量1．准确记忆六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a . 3．三种三角函数的性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，⎦⎥⎤π2＋2k π(k ∈Z ) 上单调递增；在⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π(k ∈Z ) 上单调递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0(k ∈对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 5．正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .6．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .7．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .8．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 9．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 11．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 12．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号． 2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．3．求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．4．三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ.5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解． 6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．7．a·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2 D.12答案 B解析 tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 A解析 化简函数的解析式，A 中，y ＝cos 2x 是最小正周期为π的偶函数． 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.则b 的值为( ) A ．1 B. 2 C.32D.62答案 A解析 根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，则22＝b 2＋(2)2－2b ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，所以b 2＋b －2＝0，解得b ＝1，故选A.4．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度答案 B解析 因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝sin 4x 向右平移π12个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3.故选B. 5．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值是( )A ．－1B ．－ 3C ．－12D ．－32答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6，则由题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋θ＋π6＝0，又因为0<θ<π，所以7π6<π＋θ＋π6<13π6，所以π＋θ＋π6＝2π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x .又因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B. 6．(2016·全国Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010答案 C解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，AD ＝BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010，故选C.7．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4 答案 A解析 ∵sin 2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，即α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos 2α＝－255，又sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，∴sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos( β－α)sin 2α ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55 ＝－22， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55 ＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A.8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23答案 A 解析 如图， CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →， 所以λ＝23.故选A.9．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π8个单位长度后关于y 轴对称，则满足此条件的φ的值为( ) A.π4B.3π8C.3π4D.5π8 答案 C解析 平移后有f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π4，f (x )关于y 轴对称，则φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋3π4，k ∈Z ，由于0＜φ＜π，所以φ＝3π4.10．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π8，其图象与直线y ＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f (x )＞0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π4恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－π8，－π24C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π12，π8D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12答案 B解析 由已知得函数f (x )的最小正周期为4π3，则ω＝32，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π4时，32x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16＋φ，3π8＋φ， 因为f (x )＞0，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋φ＞12，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3π16＋φ≥－π3＋2k π，3π8＋φ≤π3＋2k π(k ∈Z )，解得－7π48＋2k π≤φ≤－π24＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π8，所以－π8＜φ≤－π24，故选B.11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________．答案 1解析 根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，又0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.12．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，角B 为锐角，且sin 2B ＝8sin A ·sinC ，则ba ＋c的取值范围为____________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫63，255解析 因为sin 2B ＝8sin A ·sinC ，由正弦定理可知，b 2＝8ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝(a ＋c )2－2ac －b22ac ＝(a ＋c )2－54b 214b 2＝4(a ＋c )2b2－5∈(0,1)， 令t ＝ba ＋c，t >0，则0＜4t2－5＜1，解得23＜t 2＜45，即t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫63，255.14．已知O 是锐角△ABC 外接圆的圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2mAO →，则m 的值为______． 答案32解析 如图所示，取AB 的中点D ，则OA →＝OD →＋DA →，OD ⊥AB ，所以OD →·AB →＝0，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由cos B sin C ·AB→＋cos C sin B ·AC →＝2mAO →，得cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝－2m (OD →＋DA →)，两边同乘以AB →，得cos B sin C ·AB →2＋cos C sin B ·AC →·AB →＝－2m (OD →＋DA →)·AB →，即cos B sin C ·c 2＋cos C sin B ·bc ·cos A ＝m ·c 2，所以cos B sin C ·c ＋cos C sin B ·b ·cos A ＝m ·c ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，所以b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入上式整理，得cos B ＋cos C cos A ＝m ·sin C ， 所以m ＝cos B ＋cos C cos Asin C＝－cos (A ＋C )＋cos C cos A sin C＝sin A ，又∠A ＝60°，所以m ＝sin 60°＝32. 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝2，b ＝7，求△ABC 的面积．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即sin A sin B －3sin A cos B ＝0, 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0＜B ＜π，所以B ＝π3. (2)因为sin B ＝32，cos B ＝12， 所以a sin A ＝b sin B ＝732＝2213，又a ＝2， 所以sin A ＝321＝217， 因为a ＜b ，所以cos A ＝277. 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32114， 所以S ＝12ab sin C ＝332. 16．已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x ＋12(x ∈R )． (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12时，求函数f (x )的最小值和最大值； (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，a )与向量n ＝(2，b )共线，求a ，b 的值．解 (1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x ＋12(x ∈R )， ∴f (x )＝32sin 2x ＋1－cos 2x 2＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. ∵－π12≤x ≤5π12，∴－π3≤2x －π6≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴1－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1≤2， ∴f (x )的最小值是1－32，最大值是2. (2)∵f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1， ∵0＜C ＜π，∴－π6＜2C －π6＜11π6， ∴2C －π6＝π2，解得C ＝π3. ∵向量m ＝(1，a )与向量n ＝(2，b )共线，∴b －2a ＝0，即b ＝2a .①由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3， 即a 2＋b 2－ab ＝3.②由①②得a ＝1，b ＝2. 亲爱的读者：春去燕归来，新桃换旧符。

三角函数,平面向量与解三角形1.【答案】C2.若tan α=3，则αα2cos 2sin 的值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】D 3.若2a =，则10[cos()]______3a π-=．【答案】81-4.已知θ是三角形中的最小角，则)3sin(πθ+的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛1,23B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,23 C ．⎥⎦⎤⎝⎛1,21D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21【答案】B5.已知奇函数f （x ）在[-1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是 A ．f （cos α）> f （cos β） B ．f （sin α）> f （sin β）C ．f （sin α）> f （cos β）D ．f （sin α）<f （cos β）【答案】D6.【答案】 A7.已知sin cos θθ+=，则7cos(2)2πθ-的值为（ ） A.49 B.29 C.29- D.49-【答案】A8.已知53sin =α，且α为第二象限角，则αtan 的值为 .【答案】34-9．设全集U ＝R ，A ＝{y ｜y ＝tan x ，x ∈B }，B ＝{x ｜｜x ｜≤4π}，则图中阴影部分表示的集合是 A ．［－1，1］ B ．［－4π，4π］ C ．［－1，－4π）∪（4π，1］ D ．［－1，－4π］∪［4π，1］【答案】C10.函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，如下结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）．①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 的所有对称中心都可以表示为(0)()6k k Z ππ+∈，；③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3cos 2y x =-的图象向左平移12π个单位长度可以得到图象C ． ⑤函数()f x 在[0,]2π上的最小值是3-.【答案】①③④11.(2013·江西省南昌市调研）右图是函数y=sin （ωx+ϕ）（x ∈R ）在区间[-π6，5π6]上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将y=sinx （x ∈R ）的图像上所有点A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变。

专题三 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tanα＝y x .(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 23． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x 值、y值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4. 3． (·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且 f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一 三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)． 审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．答案 －34解析 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝⎛⎭⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3； 当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和．变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －3π4 答案 B解析 由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.又f ⎝⎛⎭⎫－π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4，选B. 题型三 三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 审题破题 利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3 ＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3 ＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2， 当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sin t ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤π3，5π6D.⎣⎡⎦⎤5π6，π答案 C解析 因为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数 答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称， ∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x .∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数． 题型四 三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图， 由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳 确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y ＝－k在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究 在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调区间． 解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π3，π2.变式训练4 (·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析 当x ＝11π12时，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×11π12－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x ≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12. (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值． 规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分] 又∵f (x )过点⎝⎛⎭⎫π6，12，∴12＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3. [5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.[7分] 将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14. [12分]评分细则 (1)将点⎝⎛⎭⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分．阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3． 若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－43答案 D解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4． 设函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x ) ( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析 当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤2π3，7π6上是增函数，选B. 5． 已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4B.π3C.π2D.3π4答案 A解析 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π， ∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1，∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6． 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1． 已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析 根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2． 设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析 由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A.3． 函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4时的值域为( )A ．[－1,0] B.⎣⎡⎦⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析 由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4． 设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于 ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析 由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5． 将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为 ( )A.π8B.38πC.34πD.π2答案 B解析 依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝⎛⎭⎫π4＝±4， 得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析 由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8． 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9． 函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析 由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ) 得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同， ∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)． 答案 ①③解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin 0＝0，故③对；y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 故④错．故填①③. 三、解答题13．(·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个交点， 由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1. 第二讲 三角变换与解三角形1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3． 三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧． “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”． (2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 4． 正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .6． 面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7． 三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：A ＋B ＋C ＝π. (2)A >B >C ⇔a >b >c ⇔sin A >sin B >sin C . (3)a ＝b cos C ＋c cos B .1． (·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( )A.43B.34C ．－34D ．－43答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2． (·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B 的大小为 ( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.3． (·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4． (·广东)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于 ( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.32答案 B解析 利用正弦定理解三角形．在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A，∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.5． (·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.答案 2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.题型一 三角恒等变换例1 (1)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( ) A.22 B.33C. 2D. 3 (2)已知α，β ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 审题破题 (1)利用同角三角函数关系式先求sin α或cos α，再求tan α；(2)注意角之间的关系⎝⎛⎭⎫α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4. 答案 (1)D (2)－5665解析 (1)∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14，∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝ 3.(2)因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以α＋β＝⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以cos(α＋β)>0.易得cos(α＋β)＝45. 又π2<β－π4<3π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫β－π4<0， 易得cos ⎝⎛⎫β－π4＝－513. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos[(α＋β)－(β－π4)] ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×1213＝－5665.反思归纳 (1)公式应用技巧：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②常用切化弦、异名化同名、异角化同角等．(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．变式训练1 (1)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0<α<π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2<β<0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539. (2)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 答案 －142解析 cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－2(cos α＋sin α)．∵sin α＝12＋cos α，∴cos α－sin α＝－12，两边平方得1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＋sin α＝(cos α＋sin α)2＝ 1＋34＝72，∴cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－142.题型二 解三角形例2 △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .审题破题 (1)利用正弦定理，化去角B 的三角函数，再化简求值；(2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cos B 的值，进而求出角B . 解 (1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， 又a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a .所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，又0°<B <180°，得cos B ＝(1＋3)a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12.又cos B >0，故cos B ＝22，又0°<B <180°，所以B ＝45°.反思归纳 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．变式训练2 (·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解 (1)由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－42ac ＝79，即a 2＋c 2－4＝149ac .∴(a ＋c )2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9得a ＝c ＝3. (2)在△ABC 中，cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫792＝429.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B，∴sin A ＝a sin B b ＝3×4292＝223.又A ＝C ，∴0<A <π2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，∴sin (A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.题型三 解三角形的实际应用例3 某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝14，BC ＝10，AC ＝16，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低，请说明理由．审题破题 首先借助余弦定理列式，通过等量关系求出角C 的大小，进而求AB 的长度；然后借助正弦定理比较三角形的面积大小，并作出判断． 解 (1)在△ABC 中，由余弦定理得， AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝162＋102－2×16×10cos C ．①在△ABD 中，由余弦定理及∠C ＝∠D 整理得， AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D ＝142＋142－2×142cos C ．② 由①②得：142＋142－2×142cos C ＝162＋102－2×16×10cos C ，整理可得cos C ＝12，又∠C 为三角形的内角，所以∠C ＝60°.又∠C ＝∠D ，AD ＝BD ，所以△ABD 是等边三角形， 即AB 的长度是14.(2)小李的设计符合要求．理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD >AC ·BC ，∠C ＝∠D ，所以S △ABD >S △ABC .又已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC 建造环境标志费用较低． 即小李的设计使建造费用较低．反思归纳 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．变式训练3 (·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．典例 (12分)已知向量a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，3cos ωx )，其中0<ω<2.函数f (x )＝a ·b －12，其图象的一条对称轴为x ＝π6.(1)求函数f (x )的表达式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，S 为其面积，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，b ＝1，S △ABC＝3，求a 的值． 规范解答解 (1)f (x )＝a ·b －12＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx －12＝1＋cos 2ωx 2＋32sin 2ωx －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6.[3分] 当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫ωπ3＋π6＝±1， 即ωπ3＋π6＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<ω<2，∴ω＝1.[5分]∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z .[7分](2)f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1， 在△ABC 中，0<A <π，π6<A ＋π6<76π，∴A ＋π6＝π2，A ＝π3.由S △ABC ＝12bc sin A ＝3，b ＝1，得c ＝4.[9分]由余弦定理得a 2＝42＋12－2×4×1×cos π3＝13，故a ＝13.[12分]评分细则 (1)f (x )没有化成sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6的得1分；(2)k ∈Z 没写的扣1分；(3)得出A ＝π3的给1分．阅卷老师提醒 (1)三角形和三角函数的结合是高考命题的热点，灵活考查分析、解决问题的能力．(2)此类问题的一般解法是先将三角函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用三角函数求值确定三角形的一个角，然后和正、余弦定理相结合解题． (3)解题中要充分注意在三角形中这个条件，重视角的范围．1． 已知cos (π－2α)sin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α等于( )A ．－72 B.72 C.12D ．－12答案 D解析 cos (π－2α)sin (α－π4)＝－cos 2αsin (α－π4)＝sin (2α－π2)sin (α－π4)＝2cos(α－π4)＝2cos α＋2sin α＝－22，∴sin α＋cos α＝－12，故选D.2． (·江西)已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则 ( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1答案 C解析 将函数整理，利用奇函数性质求解．由题意知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝1＋sin 2x 2， 令g (x )＝12sin 2x ，则g (x )为奇函数，且f (x )＝g (x )＋12，a ＝f (lg 5)＝g (lg 5)＋12，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝g ⎝⎛⎭⎫lg 15＋12， 则a ＋b ＝g (lg 5)＋g ⎝⎛⎭⎫lg 15＋1＝g (lg 5)＋g (－lg 5)＋1＝1，故a ＋b ＝1. 3． (·天津)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010B.105C.31010D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010.4． 设α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为( )A ．2 B. 3 C ．1 D.33答案 C解析 由已知得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)，∵β为锐角，∴cos β＋sin β≠0，因此有cos α＝sin α， 从而tan α＝1.5． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B的值为( )A.π6 B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D解析 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， 得a 2＋c 2－b 22ac ＝32·cos B sin B ，即cos B ＝32·cos B sin B，∴sin B ＝32.又∵0＜B ＜π，∴角B 为π3或2π3.故选D.6． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C ．当3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4取最大值时，A 的大小为 ( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.2π3答案 A解析 由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A >0，从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4，所以B ＝3π4－A .于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵0<A <3π4，∴π6<A ＋π6<11π12，从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2.故选A.专题限时规范训练一、选择题1． 已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 2． (·四川改编)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是( )A. 3 B ．2 3 C.32 D.12答案 A解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 3． 已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°答案 B解析 由题意知，12×4×3×sin C ＝33，∴sin C ＝32.又0°<C <90°，∴C ＝60°.4． 在△ABC 中，若0<tan A ·tan B <1，那么△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不确定答案 B解析 由0<tan A ·tan B <1，可知tan A >0，tan B >0，即A ，B 为锐角，tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B>0，即tan(π－C )＝－tan C >0，所以tan C <0，所以C 为钝角，所以△ABC为钝角三角形，选B.5． 已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于 ( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D ．255答案 A解析 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.6． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC 的面积为( )A.1574B.1572C.574D.572答案 A解析 cos A ＝34，cos C ＝2cos 2A －1＝18，sin C ＝378，tan C ＝37，如图，设AD ＝3x ，AB ＝4x ，CD ＝5－3x ，BD ＝7x .在Rt △DBC 中，tan C ＝BD CD ＝7x5－3x ＝37，解之得：BD ＝7x ＝327，S △ABC ＝12BD ·AC ＝1574.7． 函数f (x )＝sin 2x －4sin 3x cos x (x ∈R )的最小正周期为( )A.π8B.π4C.π2D ．π答案 C解析 f (x )＝sin 2x －2sin 2x sin 2x ＝sin 2x (1－2sin 2x )＝sin 2x cos 2x ＝12sin 4x ，所以函数的周期为T ＝2πω＝2π4＝π2，选C.8． 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 二、填空题。

智才艺州攀枝花市创界学校三角函数、解三角形与平面向量本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的)1．全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁U P＝()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】∵x2≤1⇔－1≤x≤1，∴∁U P＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】D2．(2021·高考)函数y＝ln(1－x)的定义域为()A．(0,1) B．[0,1)C．(0,1] D．[0,1]【解析】由得，函数定义域为[0,1)．【答案】B3．(2021·高考)f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，那么“f(x)为[0,1]上的增函数〞是“f(x)为[3,4]上的减函数〞的()A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件【解析】①∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称．∵f(x)为[0,1]上的增函数，∴f(x)为[－1,0]上的减函数．又∵f(x)的周期为2，∴f(x)为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数．②∵f(x)为[3,4]上的减函数，且f(x)的周期为2，∴f(x)为[－1,0]上的减函数．又∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)为[0,1]上的增函数．由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数〞是“f(x)为[3,4]上的减函数〞的充要条件．【答案】D4．f(x)＝sin2，假设a＝f(lg5)，b＝f，那么()A．a＋b＝0 B．a－b＝0C．a＋b＝1 D．a－b＝1【解析】f(x)＝＝，∴a＝＋，b＝＋＝－.因此，a＋b＝1.【答案】C5．(2021·高考)“对任意x∈R，都有x2≥0”的否认为()A．对任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x0∈R，使得x≥0D．存在x0∈R，使得x<0【解析】因为“∀x∈M，p(x)〞的否认是“∃x∈M，綈p(x)〞，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否认是“存在x0∈R，使得x<0”．【答案】D6．在△ABC中，假设sin2A＋sin2B＜sin2C，那么△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解析】由正弦定理，得a2＋b2<c2，∴cos C＝<0，那么C为钝角，故△ABC为钝角三角形．【答案】C7．(2021·高考)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，假设f(x)，g(x)的图象都经过点P，那么φ的值可以是()A. B.C. D.【解析】∵P在f(x)的图象上，∴f(0)＝sinθ＝.∵θ∈，∴θ＝，∴f(x)＝sin，∴g(x)＝sin.∵g(0)＝，∴sin＝.验证，φ＝π时，sin＝sin＝sin＝成立．【答案】B8．(2021·高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.假设b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，那么角C＝()A.B.C.D.【解析】由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，所以cos C＝＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝.【答案】B9．假设非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，那么a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，∴a·b＝－b2，设a与b的夹角为θ，又|a|＝|b|，∴cosθ＝＝＝－，∴θ＝120°.【答案】C10．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，那么()A．f(x)在(0，)单调递减B．f(x)在(，)单调递减C．f(x)在(0，)单调递增D．f(x)在(，)单调递增【解析】∵f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ＋)，又∵f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ＋)．由f(x)＝f(－x)知f(x)是偶函数，因此φ＋＝kπ＋(k∈Z)．又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝cos2x.由0<2x<π知0<x<时，f(x)单调递减．应选A.【答案】A11．(2021·高考)设变量x，y满足约束条件那么目的函数z＝y－2x的最小值为()A．－7 B．－4C．1 D．2【解析】可行域如图阴影局部(含边界)令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知，当直线l过A点时，z获得最小值．由得A(5,3)．∴z最小＝3－2×5＝－7.【答案】A12．(2021·课标全国卷Ⅱ)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，以下结论中错误的选项是()A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．假设x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减D．假设x0是f(x)的极值点，那么f′(x0)＝0【解析】假设c＝0，那么有f(0)＝0，所以A正确．由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c得f(x)－c＝x3＋ax2＋bx，因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的对称中心为(0,0)，所以f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为(0，c)，所以B正确．由三次函数的图象可知，假设x0是f(x)的极小值点，那么极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(－∞，x0)单调递减是错误的，D正确．第二卷二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中横线上)13．(2021·高考)设f(x)＝sin3x＋cos3x，假设对任意实数x都有|f(x)|≤a，那么实数a的取值范围是________．【解析】由于f(x)＝sin3x＋cos3x＝2sin，那么|f(x)|＝2≤2，要使|f(x)|≤a恒成立，那么a≥2.【答案】[2，＋∞)14．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，假设a＝e1＋3e2，b＝2e1，那么向量a在b方向上的射影为________．【解析】由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，所以a在b方向上的射影为|a|·cos<a，b>＝＝.【答案】15．(2021·高考)点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．假设平面区域D由所有满足＝λ＋μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，那么D的面积为________．【解析】设P(x，y)，且＝(2,1)，＝(1,2)．∴＝＋＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)，∴∴又1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴表示的可行域是平行四边形及内部．如图，点B(3,0)到直线x－2y＝0的间隔d＝.又|BN|＝.∴区域D的面积S＝×＝3.【答案】316．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．假设sin∠BAM＝，那么sin∠BAC＝________.【解析】因为sin∠BAM＝，所以cos∠BAM＝.在△ABM中，利用正弦定理，得＝，所以＝＝＝.在Rt△ACM中，有＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由题意知BM＝CM，所以＝sin(∠BAC－∠BAM)．化简，得2sin∠BAC cos∠BAC－cos2∠BAC＝1.所以＝1，解得tan∠BAC＝.再结合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC为锐角可解得sin∠BAC＝.三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(本小题总分值是10分)函数f(x)＝A sin(ωx－)＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的间隔为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈(0，)，f()＝2，求α的值．【解】(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的间隔为，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，∴函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－)＋1.(2)∵f()＝2sin(α－)＋1＝2，∴sin(α－)＝.∵0<α<，∴－<α－<，∴α－＝，∴α＝.18．(本小题总分值是12分)(2021·高考)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，(1)求cos A的值；(2)求c的值．【解】(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得＝.所以＝.故cos A＝.(2)由(1)知cos A＝，所以sin A＝＝.又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos2A－1＝.所以sin B＝＝.在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝.所以c＝＝5.19．(本小题总分值是12分)(2021·高考)函数f(x)＝cos，x∈R.(1)求f的值；(2)假设cosθ＝，θ∈，求f.【解】(1)因为f(x)＝cos，所以f＝cos＝cos＝cos＝×＝1.(2)因为θ∈，cosθ＝，所以sinθ＝－＝－＝－，cos2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－，sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝－.所以f＝cos＝cos＝×＝cos2θ－sin2θ＝－－＝.20．(本小题总分值是12分)向量a＝(cos，sin)，b＝(－sin，－cos)，其中x∈[，π]．(1)假设|a＋b|＝，求x的值；(2)函数f(x)＝a·b＋|a＋b|2，假设c>f(x)恒成立，务实数c的取值范围．【解】(1)∵a＋b＝(cos－sin，sin－cos)，∴|a＋b|＝＝，由|a＋b|＝，得＝，即sin2x＝－.∵x∈[，π]，∴π≤2x≤2π.因此2x＝π＋或者2x＝2π－，即x＝或者x＝.(2)∵a·b＝－cossin－sincos＝－sin2x，∴f(x)＝a·b＋|c＋b|2＝2－3sin2x，∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin2x≤0，∴2≤f(x)＝2－3sin2x≤5，∴[f(x)]max＝5.又c>f(x)恒成立，因此c>[f(x)]max，那么c>5.∴实数c的取值范围为(5，＋∞)．21．(本小题总分值是12分)(2021·高考)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，cos2A －3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)假设△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin B sin C的值．【解】(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0.解得cos A＝或者cos A＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝.(2)由S＝bc sin A＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.又b＝5，所以c＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理，得sin B sin C＝sin A·sin A＝·sin2A＝×＝.22．(本小题总分值是12分)函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．假设曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有一样的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)假设x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．【解】(1)∵曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，∴b＝d＝2.∵f′(x)＝2x＋a，故f′(0)＝a＝4.∵g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，∴g′(0)＝2＋c＝4，故c＝2.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)令F(x)＝kg(x)－f(x)，那么F′(x)＝(k e x－1)(2x＋4)，由题设可得F(0)≥0，故k≥1，令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2，①假设1≤k＜e2，那么－2＜x1≤0，从而当x∈[－2，x1)时，F′(x)＜0，当x∈(x1＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在[－2，＋∞)上最小值为F(x1)＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，此时f(x)≤kg(x)恒成立；②假设k＝e2，F′(x)＝(e x＋2－1)(2x＋4)，故F(x)在[－2，＋∞)上单调递增，因为F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立；③假设k＞e2，那么F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，从而当x∈[－2，＋∞)时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述k的取值范围为[1，e2]．。

三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与 θ终边同样 (α的终边在 θ终边所在的射线上 )? α＝ θ＋ 2k π(k ∈ Z )，注意： 相等的角的终边必定同样，终边同样的角不必定相等．随意角的三角函数的定义：设α是随意一个角， P(x ， y)是 α的终边上的随意一点 (异于原点 ) ，它与原点的距离是 r ＝ x 2＋y 2>0，那么 sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ y(x ≠ 0)，三角函数值只与角r r x 的大小相关，而与终边上点P 的地点没关．[问题 1] 已知角 α的终边经过点 P(3，－ 4)，则 sin α＋ cos α的值为 ________．答案 －152．同角三角函数的基本关系式及引诱公式 (1) 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1.sin α (2) 商数关系： tan α＝.cos α(3) 引诱公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限－ απ－ απ＋ α2π－ απ－ α2sin －sin α sin α －sin α － sin α cos α cos cos α － cos α－ cos αcos αsin α9π 7π [问题 2] cos ＋ tan － ＋ sin 21 π的值为 ___________________________ ．46答案22－333．三角函数的图象与性质 (1) 五点法作图；π(2) 对称轴： y ＝sin x ， x ＝ k π＋ 2， k ∈Z ；y ＝ cos x ， x ＝ k π，k ∈ Z ；π k π 对称中心： y ＝ sin x ，( k π，0) ，k ∈ Z ；y ＝ cos x ， k π＋ ， 0 ，k ∈ Z ； y ＝tan x ，，0 ，k ∈ Z .22(3) 单一区间：y ＝ sin x 的增区间： π π－ ＋2k π， ＋ 2k π ( k ∈Z )，2 2 π 3π＋ 2k π，＋ 2k π(k ∈ Z )；减区间： 22y ＝ cos x 的增区间： [－ π＋ 2k π，2k π] (k ∈ Z )， 减区间： [2k π， π＋ 2k π] k(∈ Z )；π πy ＝ tan x 的增区间： － ＋ k π， ＋ k π (k ∈ Z )．22(4) 周期性与奇偶性：y ＝ sin x 的最小正周期为 2π，为奇函数； y ＝ cos x 的最小正周期为 2π，为偶函数； y ＝ tan x 的 最小正周期为 π，为奇函数．易错警告： 求 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的单一区间时，简单出现以下错误：(1) 不注意 ω的符号，把单一性弄反，或把区间左右的值弄反；(2) 忘记写＋ 2k π，或＋ k π等，忘记写 k ∈ Z ；π (3) 书写单一区间时，错把弧度和角度混在一同．如[0,90 ]°应写为0，2 .[问题 3]函数 y ＝ sin － 2x ＋ π的递减区间是 ________．3π 5 答案k π－ 12， k π＋ 12π(k ∈ Z )4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式令α＝βsin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β――→sin 2α＝2sin αcos α.令 α＝βcos(α±β)＝ cos αcos β?sin αsin β――→ cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝ 2cos 2α－ 1＝ 1－2sin 2α.tan(α±β)＝ tan α±tan β1?tan .αtan β21＋ cos 2α21－ cos 2α2tan αcos α＝2， sin α＝， tan 2α＝2 .21－ tan α在三角的恒等变形中，注意常有的拆角、拼角技巧，如：α＝ (α＋ β)－β， 2α＝ (α＋ β)＋ (α－β)，1α＝ 2[( α＋ β)＋ (α－ β)] ．π π π πα＋ ＝ (α＋ β)－ β－ ， α＝ α＋ － .44443π3 π 12 π[问题 4] 已知 α，β∈ 4 ，π， sin( α＋ β)＝－ 5， sin β－ 4 ＝13，则 cos α＋4 ＝ ________.答案－ 56655．解三角形(1) 正弦定理： a ＝ b ＝ c＝ 2R( R 为三角形外接圆的半径 )．注意： ①正弦定理的一些变 sin A sinB sin C式： (ⅰ )a ∶ b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶sin C ；(ⅱ )sin A ＝ a ，sin B ＝ b ，sin C ＝ c；(ⅲ )a ＝ 2Rsin A ，2R 2R 2Rb ＝ 2Rsin B ，c ＝ 2Rsin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要联合详细状况进行弃取．在△ABC 中 A>B? sin A>sin B.222(2) 余弦定理： a 2＝ b 2＋c 2－2bccos A ，cos A ＝ b ＋ c － a 等，常采用余弦定理判定三角形的形状．2bc[问题 5]在△ ABC 中， a ＝ 3， b ＝ 2， A ＝ 60°，则 B ＝ ________.答案45°6．向量的平行与垂直设 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，且 b ≠0，则 a ∥ b ? b ＝ λa ? x 1y 2－x 2y 1＝ 0.a ⊥b (a ≠ 0)? a ·b ＝ 0? x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.0 当作与随意愿量平行，特别在书写时要注意，不然有质的不一样．[问题 6]以下四个命题：①若 |a |＝0，则 a ＝ 0；②若 |a |＝ |b |，则 a ＝ b 或 a ＝－ b ；③若 a ∥b ，则 |a |＝ |b |；④若 a ＝ 0，则－ a ＝ 0.此中正确命题是 ________．答案 ④7．向量的数目积 |a |2＝ a 2＝ a ·a ，a ·b ＝ |a||b |cos θ＝ x 1x 2＋ y 1 y 2，cos θ＝ a ·b ＝x 1x 2 ＋y 1 y 2 ，|a||b |x 12＋ y 12 x 22＋ y 22a ·b ＝ x 1x 2＋ y1y 2a 在b 上的投影＝ |a |cos 〈 a ， b 〉＝ |b|x 22＋ y 22 .注意 ：〈a ， b 〉为锐角 ? a ·b >0 且 a 、 b 不一样向；〈 a ， b 〉为直角 ? a ·b ＝ 0 且 a 、 b ≠0；〈 a ， b 〉为钝角 ? a ·b <0 且 a 、 b 不反向．易错警告： 投影不是 “影 ”，投影是一个实数，能够是正数、负数或零．[问题 7]已知 |a |＝ 3， |b |＝ 5，且 a ·b ＝ 12，则向量 a 在向量 b 上的投影为 ________．12答案58．当 a ·b ＝ 0 时，不必定获得 a ⊥ b ，当 a ⊥ b 时， a ·b ＝ 0；a ·b ＝ c ·b ，不可以获得 a ＝c ，消去律不建立； ( a ·b )c 与 a ( b ·c )不必定相等， (a ·b )c 与 c 平行，而 a ( b ·c )与 a 平行．[问题 8]以下各命题：①若 a ·b ＝ 0，则 a 、b 中起码有一个为＝ c ；③对随意愿量 a 、 b 、 c ，有 (a ·b ) c ≠a (b ·c )；④对任一直量0；②若 a ≠0， a ·b ＝a ·c ，则22a ，有 a ＝ |a | .此中正确命题是b________．答案④9．几个向量常用结论：→ → →① PA ＋ PB ＋ PC ＝ 0? P 为 △ ABC 的重心；→→ → → →→② PA ·PB ＝PB ·PC ＝ PC ·PA? P 为 △ABC 的垂心；→→ABAC③向量 λ( → ＋ → ) ( λ≠ 0)所在直线过 △ ABC 的心里；|AB| |AC|→ → →④ |PA|＝ |PB|＝ |PC|? P 为 △ ABC 的外心．易错点 1 图象变换方向或变换量掌握禁止致误例 1 要获得 y ＝ sin(－ 3x)的图象， 需将 y ＝ 22(cos 3x －sin 3x)的图象向 ______平移 ______ 个单位 (写出此中的一种特例即可 )．错解 右π π或右1242π 找准失分点 y ＝ 2 (cos 3x － sin 3x)＝ sin 4－ 3x＝ sin － 3 x － π .12π题目要求是由 y ＝ sin － 3x ＋ 4 → y ＝ sin(－ 3x)．ππ右移 平移方向和平移量都错了；右移平移方向错了．412正解y ＝2π－ 3x2 (cos 3x －sin 3x)＝sin 4π＝ sin － 3 x － 12 ，ππ 2要由 y ＝ sin － 3 x － 12 获得 y ＝ sin( －3x)只要对 x 加上 12即可，因此是对 y＝2 (cos 3x － sin 3x)π 向左平移 12个单位．答案左π12易错点 2忽略隐含条件的发掘致误例 2ππ已知 cos α＝ 1， sin(α＋ β)＝ 5 3， 0< α< ， 0<β<，求 cos β.71422错解由ππ0<α<， 0<β< ，得 0<α＋β<π，2 211则 cos(α＋β)＝ ± .141 π4 3由 cos α＝ 7，0< α<2，得 sin α＝ 7.71 1 故 cos β＝ cos[(α＋ β)－ α]＝ cos(α＋β)cos α＋sin( α＋ β)·sin α＝或 .98 2找准失分点由 0<α＋ β<π，且 sin( α＋ β)＝ 5 33，14<2 π 2π 1 1∴ 0<α＋ β< 或<α＋ β<π，又 cos α＝ < ，337 2π π 2π 11∴ <α< ，即 α＋ β∈，π， ∴ cos(α＋ β)＝－14.323正解π 1 <cosπ 1，∵ 0< α< 且 cos α＝＝273 2π π π∴ <α< ，又 0<β< ，322π< 3，∴ <α＋ β<π，又 sin( α＋ β)＝5 3314 22π∴ 3 <α＋ β<π. ∴ cos(α＋ β)＝－1－ sin 2α＋ β ＝－1114，24 3sin α＝ 1－ cos α＝ 7 .∴ cos β＝ cos[(α＋ β)－ α]1＝ cos(α＋ β)cos α＋ sin( α＋ β)sin α＝2.易错点 3 忽略向量共线致误例 3已知 a ＝(2,1) ， b ＝ (λ， 1)， λ∈ R ，a 与 b 的夹角为 θ.若 θ为锐角，则 λ的取值范围是__________．错解∵ cos θ＝a ·b＝2λ＋ 1.2|a| |b ·| 5· λ＋ 1因 θ为锐角，有 cos θ>0 ，2λ＋ 1∴2 >0? 2λ＋ 1>0，5· λ＋ 1得 λ>－1， λ的取值范围是 －1，＋∞ .22找准失分点 θ为锐角，故 0<cos θ<1，错解中没有清除 cos θ＝ 1 即共线且同向的状况．正解由 θ为锐角，有 0<cos θ<1.又 ∵ cos θ＝ a ·b ＝ 2λ＋ 1 ，|a| |b ·| 25· λ＋ 1∴ 0<2λ＋ 12≠1，5· λ＋ 12λ＋1>0 ，λ>－ 1，∴2＋ 1 ，解得22λ＋ 1≠5· λλ≠ 2.∴ λ的取值范围是 λ|λ>－ 12且 λ≠2.1答案λ|λ>－ 且λ≠21． (2014 ·纲领全国 )已知角 α的终边经过点 (－ 4,3)，则 cos α＝ ()4 3 A. 5B. 534C ．－ 5D ．－5答案 D分析 由于角 α的终边经过点x 4 (－4,3)，所以 x ＝－ 4， y ＝ 3， r ＝ 5，所以 cos α＝＝－ .r52． (2014 ·纲领全国 )设 a ＝sin 33 ，°b ＝ cos 55 ，°c ＝ tan 35 ，°则 ( )A ．a>b>cB ． b>c>aC ． c>b>aD ． c>a>b答案 C分析∵ a ＝ sin 33 ，°b ＝ cos 55 °＝ sin 35 ，°c ＝ tan 35 °＝sin 35 °cos 35 ，°又 0<cos 35 °<1， ∴ c>b>a.4π3．已知 sin θ＋ cos θ＝ 3 (0< θ< 4)，则 sin θ－ cos θ的值为 ()2 2 1 1A. 3B ．－ 3C.3 D ．－ 3答案B分析∵ sin θ＋ cos θ＝ 4， ∴ (sin θ＋ cos θ)2＝ 1＋ sin 2θ＝ 16， ∴ sin 2θ＝ 7，3 9 9π 又 0<θ< ， ∴ sin θ<cos θ.4∴ sin θ－ cos θ＝－θ－ cos θ 22＝－ 1－ sin 2θ＝－ 3 .4．已知 a ， b 是单位向量， a ·b ＝ 0，若向量 c 知足 |c － a － b |＝ 1，则 |c |的取值范围是( )A ．[ 2－1， 2＋1]B ．[ 2－1， 2＋2]C．[1，2＋ 1]D．[1，2＋2]答案A分析∵ a·b＝0，且a， b 是单位向量，∴ |a|＝ |b|＝ 1.又∵ |c－a－b|2＝c2－ 2c·(a＋b)＋ 2a·b＋a2＋b2＝1，∴2c·(a＋b)＝c2＋ 1.∵ |a|＝ |b|＝ 1 且a·b＝ 0，∴|a＋b|＝2，∴c2＋1＝2 2|c|cosθ(θ是 c 与 a＋ b 的夹角)．又－ 1≤cos θ≤1，∴ 0<c2＋ 1≤2 2|c|，∴c2－2 2|c|＋1≤0，∴2－ 1≤|c|≤ 2＋ 1.5.函数 f(x)＝ Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分图象如下图，那么f(0) 等于 ()A ．－1B．－ 1 2C．－3D．－ 3 2答案B分析由题图可知，函数的最大值为2，所以 A＝ 2.又由于函数经过点ππ， 2 ，则 2sin2×＋φ＝ 2，33ππ即 2×＋φ＝＋ 2kπ， k∈Z，32π得φ＝－＋2kπ，k∈ Z.6f(0) ＝ 2sin φ＝ 2sin π－＋ 2kπ＝－ 1. 66．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对边的长分别为a，b， c，若 a2＋ b2＝ 2c2，则 cos C 的最小值为 ()3211A. 2B. 2C.2D．－2答案Ca2＋ b2－ c2c2分析∵ cos C＝2ab＝2ab，又∵ a2＋ b2≥2ab，∴2ab≤2c2.11∴ cos C≥ .∴ cos C 的最小值为 .22→ →π7． (2014 ·山东 )在△ ABC 中，已知 AB·AC＝ tan A，当 A＝6时，△ ABC 的面积为 ________．1 答案6π分析已知 A ＝ 6，→ → π π 由题意得 |AB||AC|cos＝ tan，66→ →2|AB||AC|＝ 3，所以 △ABC 的面积1 → → π 12 1 1S ＝ |AB||AC |sin＝××＝.26 2 3 2 68． (2014 ·江苏 )已知函数 y ＝ cos x 与 y ＝ sin(2x ＋ φ)(0 ≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为点，则 φ的值是 ________．答案π6分析由题意，得π π sin 2×＋ φ ＝cos，33由于π0≤φ<π，所以 φ＝ .6π π9．已知函数 f(x)＝Asin( ω＋ φ)，x ∈ R (此中 A>0，ω>0，－ 2<φ<2)， 其部分图象如下图．若横坐标分别为－1,1,5 的三点 M ，N ， P 都在函数 f(x)的图象上，记∠ MNP ＝ θ，则 cos 2θ的值是 ________ ．π3的交答案 －725分析由图可知， A ＝ 1， f(x)的最小正周期 T ＝ 8，2ππ所以 T ＝ ω ＝ 8，即 ω＝ .4πππ又 f(1) ＝sin( ＋ φ)＝ 1，且－ <φ< ，4 2 2 π π 3π所以－ <φ＋ < ，4 4 4 π π π即 φ＋ ＝ ，所以 φ＝ .424π所以 f(x)＝sin(x ＋ 1)．4由于 f(－ 1)＝ 0， f(1) ＝ 1， f(5)＝－ 1，所以 M(－ 1,0)，N(1,1)， P(5，－ 1)．→ → → →所以 NM ＝ (－ 2，－ 1)，NP ＝ (4，－ 2)， NM ·NP ＝－ 6，→ →5，|NM |＝ 5， |NP|＝ 2→ →则 cos ∠ MNP ＝NM·NP＝－ 3， →→ 5|NM| ·|NP|3即 cos θ＝－ 5.于是 cos 2θ＝ 2cos2θ－ 1＝－ 257.π23， x ∈ R . 10． (2014 天·津 )已知函数 f(x)＝ cos x ·sin(x ＋ 3)－ 3cos x ＋ 4 (1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)在闭区间 [－ π π， 4 ]上的最大值和最小值．41sin x ＋3 23 解 (1)由已知，有 f(x)＝cos x ·(2cos x)－3cos x ＋421 3 23＝ sin x ·cos x －2cos x ＋421 3 (1＋ cos 2x)＋ 3＝ sin 2x －4441 3 cos 2x＝ sin 2x －441π＝ sin(2x － )．23所以 f(x)的最小正周期T ＝ 2π＝ π.2(2) 由于 f(x)在区间 [－ π π[－ π π，－ ] 上是减函数，在区间12 ， ] 上是增函数， 4 124 π 1 π 1 ， f( π 1 f(－ ) ＝－ ， f(－ 12)＝－ 2 )＝ ，4 4 4 4所以，函数 f(x)在闭区间 π π1 ，最小值为－ 1 [－ ， ] 上的最大值为 4.4 42。

专题三、三角函数与平面向量的综合应用【知识点梳理】1．同角三角函数的基本关系式，正弦、余弦、正切的诱导公式常考常新两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强，对公式的正用、逆用、变形应用的技巧、方法要求较高，考查公式的灵活运用及变形能力．通过简单的恒等变换解决三角函数的化简求值是高考必考内容，且一直是高考的热点．2．研究三角函数的性质，一般要化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的形式，若是奇函数，则可化为f (x )＝±A sin ωx ；若是偶函数，则可化为f (x )＝±A cos ωx .求三角函数的定义域，实际上是利用三角函数图像或三角函数线来确定不等式的解，求函数的单调区间可以转化为求y ＝sin x 与y ＝cos x 的单调区间．3．解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现．4．平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性． [难点正本、疑点清源]1．三角函数问题一是化简求值问题，要熟练应用公式，紧扣角的范围，才可避免出错；二是三角函数的性质，要先将函数式化简为y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的形式，再研究其性质．2．向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运算律形成鲜明对比，要理解它们的联系与区别．要用向量的思想和方法去分析解决问题，一定要突出向量的工具性作用.【题型分类】题型一、三角函数式的化简求值问题例1、已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值． 探究提高：(1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”，对公式要会“正用”、“逆用”、“变形用”，记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“＋”，“－”的变化特点．(2)在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换．(3)本题的易错点是易用错公式和角的拆分不准确．已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图像上任意两相邻对称轴的间距为32π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f ⎝⎛⎭⎫32α＋π2＝2326，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos (4π＋2α) 题型二 三角形中的三角恒等变换例2、设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．探究提高：本题的难点是第(2)问，求解三角函数式的取值范围，首先要根据三角形内角之间的关系进行化简，然后根据已知条件确定角A 或角C 的取值范围，要利用锐角三角形的每个内角都是锐角，构造关于角A 的不等式确定其取值范围，最后利用三角函数的图像和性质确定三角函数式的取值范围．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c 且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋C ＋π41－cos 2A 的值．题型三 平面向量与三角函数例3 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．探究提高 向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．已知A 、B 、C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．8.平面向量与三角函数的综合问题试题：(12分)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .审题视角 (1)利用向量的垂直关系，将向量间的关系转化成三角函数式，化简求值．(2)根据向量模的定义，将求模问题转化为求三角函数最值的问题．(3)转化成证明与向量平行等价的三角函数式．规范解答(1)解由a与b－2c垂直，得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. [4分] (2)解|b＋c|2＝(b＋c)2＝b2＋c2＋2b·c＝sin2β＋16cos2β＋cos2β＋16sin2β＋2(sin βcos β－16sin βcos β)＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，最大值为32，所以|b＋c|的最大值为4 2. [8分] (3)证明由tan αtan β＝16，得sin αsin β＝16cos αcos β，即4 cos α·4cos β－sin αsin β＝0，故a∥b. [12分]第一步：将向量间的关系转化成三角函数式．第二步：化简三角函数式．第三步：求三角函数式的值或分析三角函数式的性质．第四步：明确结论．第五步：反思回顾．查看关键点，易错点和规范解答．批阅笔记(1)本题是典型的向量与三角函数的综合，题目难度中档，属高考的重点题型．(2)本题体现了转化与化归的思想方法．根据向量关系，转化为三角函数式的问题，利用三角函数解决．(3)易错分析．在将向量关系转化为三角函数式时易出错．在第(3)问中，学生不知道要推出怎样的三角关系式才能说明a∥b.事实上是学生忽略了a∥b的条件.方法与技巧1．研究三角函数的图像与性质的主要思想方法是数形结合思想，这主要体现在运用三角函数的图像研究三角函数的图像变换、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等知识；运用三角函数的图像解决取值范围、交点个数、定义域等内容．2．三角函数与向量的交汇综合是近几年高考的热点题型，主要从以下两个方面进行考查．(1)利用平面向量的知识(如向量的模、数量积、向量的夹角)，通过向量的有关运算，将向量条件转化为三角关系，然后通过三角变换及三角函数的图像与性质等解决问题．(2)从三角与向量的关联点(角与距离)处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．3．加强数学思想方法的考查，转化思想主要体现在把向量问题转化为三角问题．失误与防范1．对于三角函数的化简求值问题，一要熟练应用公式化简，二要注意角的范围．2．平面向量与三角函数问题，一般是通过向量运算，将其转化为三角函数式，要注意转化的准确性和灵活性．课时规范训练(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组一、选择题1．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a·b 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π2．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π33．已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝(1，3)，则|a ＋t b | (t ∈R )的最小值等于( )A ．1 B.32 C.12 D.22二、填空题4．已知0<α<π4，β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β，－1，b ＝(cos α，2)，且a·b ＝m ，则2cos 2α＋sin 2(α＋β)cos α－sin α＝________.5．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若AB →⊥OC →，则x 的值为______．6．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin 2x ＝________. 三、解答题7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (A >0，ω>0，|φ|<π2)，若该函数图像上的一个最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π6，3，与其相邻的对称中心的坐标是⎝⎛⎭⎫－π12，0. (1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2)求函数的最小值，并写出函数取得最小值时自变量x 的集合．8．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝ ⎝⎛⎭⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．B 组 专项能力提升题组一、选择题1．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，512πC.⎣⎡512π，π2D.⎣⎡⎦⎤π12，512π2．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S △ABC ∈⎣⎡⎦⎤32，32，则AB →与BC →夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π4，π3B.⎣⎡⎦⎤π6，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π3D.⎣⎡π3，π23．(2011·大纲版全国)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( )A ．2B.3C. 2D ．1二、填空题4．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值、最小值分别是__________．5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB ＝3，P 是BC 上的一个动点，当PD →·PA →取得最小值时，tan ∠DPA 的 值为________．6．(2011·上海)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________. 三、解答题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(n －m )＝14，求a ，b ，c 的值． 8．已知两个不共线的向量a ，b 的夹角为θ，且|a |＝3，|b |＝1，x 为正实数．(1)若a ＋2b 与a －4b 垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求|x a －b |的最小值及对应的x 的值，并指出向量a 与x a －b 的位置关系；(3)若θ为锐角，对于正实数m ，关于x 的方程|x a －b |＝|m a |有两个不同的正实数解，且x ≠m ，求m 的取值范围．答案题型分类·深度剖析例1 解 (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1， 得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)，可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6.又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6.从而cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－45. 所以cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤(2x 0＋π6)－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6·sin π6＝3－4310. 变式训练1 (1)13 (2)－1314 2例2 解 (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ， 所以sin B ＝12，由△ABC 为锐角三角形可得B ＝π6.(2)由(1)可知A ＋C ＝π－B ＝5π6，故C ＝5π6－A .故cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A＝32cos A ＋32sin A ＝3⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，由△ABC 为锐角三角形可得，0<C <π2，故0<5π6A <π2，解得π3A <5π6，又0<A <π2，所以π3<A <π2.故2π3<A ＋π3<5π6， 所以12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 所以32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 即cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.变式训练2 (1)13 (2)－72例3 解 (1)m·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x2＋1＋cosx22＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x2＋π6＝12， cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， 由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0.∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2， sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32.变式训练3 (1)5π4 (2)－59课时规范训练 A 组1．B 2.C 3.B 4.4＋2m 5.π2或π3 6.－1957．(1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈R (2)函数的最小值为－3； 相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈Z8．(1)π3(2) 3B 组1．D 2.B 3.A 4.4、0 5.1235 6.1527．解 (1)因为lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0，所以a b ＝cos B cos A≠1，所以sin 2A ＝sin 2B 且a ≠b .因为A ，B ∈(0，π)且A ≠B ，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2且A ≠B .所以△ABC 是非等腰的直角三角形． (2)由m ⊥n ，得m·n ＝0. 所以2a 2－3b 2＝0.①由(m ＋n )·(n －m )＝14，得n 2－m 2＝14， 所以a 2＋9b 2－4a 2－b 2＝14， 即－3a 2＋8b 2＝14.②联立①②，解得a ＝6，b ＝2. 所以c ＝a 2＋b 2＝10.故所求的a ，b ，c 的值分别为6，2，10. 8．解 (1)由题意得，(a ＋2b )(a －4b )＝0，即a 2－2a·b －8b 2＝0，得32－2×3×1×cos θ－8×12＝0，得cos θ＝16，又θ∈(0，π)，故θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 因此，sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫162＝356，tan θ＝sin θcos θ＝35.(2)|x a －b |＝(x a －b )2＝x 2a 2－2x a·b ＋b 2 ＝9x 2－2x ×3×1×cos π6＋1＝9⎝⎛⎭⎫x －362＋14，故当x ＝36时，|x a －b |取得最小值为12， 此时，a ·(x a －b )＝x a 2－a·b ＝36×9－3×1×cos π6＝0， 故向量a 与x a －b 垂直．(3)对方程|x a －b |＝|m a |两边平方整理， 得9x 2－(6cos θ)x ＋1－9m 2＝0，①设方程①的两个不同正实数解为x 1，x 2，则由题意得，⎩⎨⎧Δ＝(6cos θ)2－4×9×(1－9m 2)>0，x 1＋x 2＝6cos θ9>0，x 1x 2＝1－9m29>0.解之得，13sin θ<m <13.若x ＝m ，则方程①可以化为－(6cos θ)x ＋1＝0，则x ＝16cos θ，即m ＝16cos θ.而x ≠m ，故得m ≠16cos θ令13sin θ<16cos θ<13， 得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ<1，cos θ>12得0°<θ<60°，且θ≠45°，当0°<θ<60°，且θ≠45°时， m 的取值范围为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |13sin θ<m <13，且m ≠16cos θ； 当60°≤θ<90°，或θ＝45°时，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |13sin θ<m <13.。

第3讲 平面向量专题复习检测A 卷1．已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)，若a∥b ，则λ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．13 D ．－13【答案】B2．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0【答案】D3．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A ． 5 B ．2 5 C ．5 D ．10【答案】C4．(2019年某某模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为( )A ．1B ． 2C ．12D ．22【答案】D【解析】由a⊥(a －b )，可得a·(a －b )＝a 2－a·b ＝0，所以a·b ＝a 2＝1.所以向量a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝12＝22.故选D ．5．(2019年某某某某模拟)在△ABC 中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD →＝λDC →，CE →＝13AB →＋μAC →，则λ＋μ＝() A ．13B ．－13C ．76D ．－76 【答案】B【解析】如图所示，由BD →＝λDC →，可得AD →－AB →＝λ(AC →－AD →)，则AD →＝11＋λAB →＋λ1＋λAC →.又E 是AD 的中点，所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋12AD →＝12(1＋λ)AB →＋－λ－22(1＋λ)AC →.又CE →＝13AB →＋μAC →，AB ，AC 不共线，所以12(1＋λ)＝13，－λ－22(1＋λ)＝μ，解得λ＝12，μ＝－56，则λ＋μ＝－13.故选B ．6．(2017年新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a ＋2b|＝________.【答案】2 3【解析】|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.7．(2019年新课标Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________.【答案】23【解析】a·c ＝a·(2a －5b )＝2a 2－5a·b ＝2，c 2＝(2a －5b )2＝4a 2－45a·b ＋5b 2＝9，则|c|＝3.所以cos 〈a ，c 〉＝a·c |a||c|＝23.8．(2018年某某呼和浩特一模)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2AC ＝2，满足|BA →－tBC →|≤3|AC →|的实数t 的取值X 围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 【解析】由题意，得AC ＝1，cos 〈BA →，BC →〉＝BA 2＋BC 2－AC 22BA ·BC ＝3＋4－123×2＝32.由|BA →－tBC →|≤3|AC →|，得BA →2－2t |BA →||BC →|cos 〈BA →，BC →〉＋t 2BC →2≤3AC →2，即3－2t ×23×32＋4t 2≤3，解得0≤t ≤32.9．已知|a|＝4，|b|＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)求|a ＋b|的值；(2)当(a ＋2b )⊥(k a －b )时，求k 的值．【解析】(1)由已知，得a·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16， ∵|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a ＋b|＝4 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0. ∴k a 2＋(2k －1)a·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，解得k ＝－7.10．已知向量a ＝(cos x,2cos x )，b ＝(2cos x ，sin x )，函数f (x )＝a·b .(1)把函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(2)当a ≠0，a 与b 共线时，求f (x )的值． 【解析】(1)∵f (x )＝a·b ＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12＋1.由－π2＋2k π≤2x －π12≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π24＋k π≤x ≤7π24＋k π，k ∈Z ，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π，7π24＋k π，k ∈Z .(2)∵a≠0，a 与b 共线，∴cos x ≠0.∴sin x cos x －4cos 2x ＝0.∴sin x ＝4cos x ，tan x ＝4.则f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝2cos 2x ＋2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2＋2tan x tan 2x ＋1＝1017. B 卷11．(2017年新课标Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【答案】B【解析】如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线DA 所在直线为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)．设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )，PA →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32≥－32，当x ＝0，y ＝32，即P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32时，PA →·(PB →＋PC →)有最小值－32.12．(2018年某某某某模拟)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝53OA →－23OB →.若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A ．3B ．2 3C ．－2 3D ．－3【答案】A【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．∴OC →＝53OA →－23OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 1－23x 2，53y 1－23y 2.由|AB →|＝2，得(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝4.① 又A ，B 在圆O 上，∴x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4.② 联立①②得x 1x 2＋y 1y 2＝2，∴OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 1－23x 2，53y 1－23y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，化简得56(x 21＋y 21)－13(x 22＋y 22)＋12(x 1x 2＋y 1y 2)＝56×4－13×4＋12×2＝3. 13．(2019年某某)已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________．【答案】0 2 5【解析】由正方形ABCD 的边长为1，可得AB →＋AD →＝AC →，BD →＝AD →－AB →，AB →·AD →＝0， ∴|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|＝|λ1AB →＋λ2AD →－λ3AB →－λ4AD →＋λ5AB →＋λ5AD →＋λ6AD →－λ6AB →|＝|(λ1－λ3＋λ5－λ6)·AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD →|.要使|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|最小，只需要|λ1－λ3＋λ5－λ6|＝|λ2－λ4＋λ5＋λ6|＝0，此时只需取λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝1，λ4＝1，λ5＝1，λ6＝1，此时所求最小值为0.又|(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)·AD →|2＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)2＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)2≤(|λ1|＋|λ3|＋|λ5－λ6|)2＋(|λ2|＋|λ4|＋|λ5＋λ6|)2＝(2＋|λ5－λ6|)2＋(2＋|λ5＋λ6|)2＝8＋4(|λ5－λ6|＋|λ5＋λ6|)＋(λ5－λ6)2＋(λ5＋λ6)2＝8＋4(|λ5－λ6|＋|λ5＋λ6|)2＋2(λ25＋λ26)＝12＋42(λ25＋λ26)＋2|λ25－λ26|＝20，当且仅当λ1－λ3，λ5－λ6均非负或均非正，并且λ2－λ4，λ5＋λ6均非负或均非正，可取λ1＝1，λ2＝1，λ3＝－1，λ4＝－1，λ5＝1，λ6＝1，则所求最大值为20＝2 5.14．(2019年某某眉山模拟)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】(1)证明：因为m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，m∥n ， 所以a sin A ＝b sin B .结合正弦定理，可得a 2＝b 2，即a ＝b ， 所以△ABC 为等腰三角形．(2)因为m ＝(a ，b )，p ＝(b －2，a －2)，m⊥p ， 所以m·p ＝a (b －2)＋b (a －2)＝0，则a ＋b ＝ab . 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，其中c ＝2，C ＝π3，所以a 2＋b 2－ab ＝4，则(a ＋b )2－3ab －4＝0. 所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4(ab ＝－1舍去)． 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.。