南京师范大学_高等数学_期末试卷20套 (1)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

南京师范大学《高等数学》（下册）期末考试试卷1（6学时）学号姓名班级成绩一、填空题（4' 8=32'）:1、a,b,c,为单位向量，且满足 a b c 0则agb bgc cga .22、曲线y x绕x轴旋转所得的曲面方程为.z 023、设函数z x2 xy y2,,贝U——= ________________ .x y4、球面x2 y2 z2 9在点（1,2,2）处的切平面方程为 .1 x5、设二次积分I 0 dx ° f（x,y）dy ,则交换积分次序后得6、闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P x,y ,Q x,y在D上有一阶连续偏导数，则有（格林公式）：_____________________________7、微分方程2y y y 2e x的特解可设为 .8、微分方程dy 3x 1的通解为. dx二、选择题（3 5=15'）:1、设积分区域D由坐标面和平面x 2y 3z 6围成，则三重积分dv7 D(A) 6; (B) 12;(C) 18; (D) 36.2、微分方程y"y' (y")3 y4 3x 0的阶数是( ).(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4.3、设有平面：x 2y z 1 0和直线L:上」U J6,则与L的夹角1 1 2为(A)6(C)34、二元函数f(x,y) ( ). （B）二；4（D）2（A）可微（指全微分存在）可导（指偏导数存在）连续;(B)可微可导连续;(C)可微 可导，且可微 连续，但可导不一定连续; (D)可导 连续，但可导不一定可微.n15 、 设无穷级数绝对收敛，则n 1n( ).(A) P 1；(B) p 3; (C) p 2; (D) p 2.三、计算题(6' 5=30'):3、求哥级数 2n x 2n 1的收敛域;1、设函数u f(x, y,z)可微,2、已知方程x 2 y 2 4y z 23确定函数z z(x, y),求一和一；4、将函数f(x) ln3展开为x的哥级数;1 x5、求微分方程x2dy (2 xy x 1)dx 0的通解;四、(8')求函数 f (x, y) 4(x y) x2 2y2 的极值.五、(7')计算(y2 x)d ,其中D是由直线y x, y 2x及y 2所围成的闭区域.六、（8'）求旋转抛物面z 6 x2 y2和锥面z J x2 y2围成的立体的体积.期末考试试卷2（6学时）、填空题（4' 7=28'）:1、已知直线过点P( 3,2,4) , Q(6,3,2),则直线方程为2 22、函数f(x,y) ln (92x2y )的定义域是.；x y 42- 23、设函数z e 2x 3y ,则全微分dz .4、在(1,1)内，哥级数1 x 2 x 4 x 6 L 的和函数为5、哥级数 (X 7的收敛半径R.n 1n 26、设C 是在第一i 象限内的圆：x cost, y sint(0 t 万)，则 c xyds .7、微分方程 y" 8y' 16y 0的通解为.二、选择题(3 6=18')：1、下列方程表示的曲面为旋转曲面的是2 2(B ) 3 A z2;2 3(D) x 2 2y 2 z 2 4.0 ,则在点(x °, y °)处函数f (x, y)( ).(B) 一定取得极值； (D)全微分为零.2 2 (A)匕 1;49(0 z x 2 y 2;2、设 fx(x 0,y 0) 0, f y (x 0,y °) (A)连续；(C)可能取得极值；3 、 下列无2n n 1 1 n 25、微分方程y" 2y' 3y 5e 2x 的一个特解为(A) 5e 2x ;(B) 5e 2x ;(C) 2e 2x ;(D) 5e 2x .9 326、D 是点0,0 , 1,0 , 1,1为顶点的三角形区域，f x,y 在D 上连续,则 二 ().11(A)0dx 0fxy dy;重 积 (B) (D) 分Dfn d1 10dx x f x, y dy; 1 ydy f x, y dx.三、计算题(6' 4=24'):1、已知z (1 xy)x y,求函数z 在点P(1,1)处的偏导数二和二; x y1x(Q 0dx 0 f x, y dy;敛的是.3 sin n (A)— n 1 n(B)(1)n1.n1丁,(C)(1)n1.4、设积分区域D:x 23, 则二重积分(3)dxdy3、判断级数 小的敛散性；如果收敛，指出是绝对收敛还是条件 n 1 n 1收敛；4、将函数f (x) ln(x 21)展开为x 的哥级数;四、(7’)求微分方程x 23y dx xdy 0的通解.2、设 z f(x 2f 具有二阶导数，求工,X y五、（8'）某厂要用铁板作成一个体积为2m 3的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？六、计算下列积分：1、（7'）计算（2y x）d ,其中D是由抛物线y x2和直线y x 2所D围成的闭区域．2、(8')设积分区域由上半球面z JI x2 y2及平面z 0所围成,求三重积分zdxdydz.期末考试试卷3(6学时)一、填空题(4' 8=32')：、i r r 一一r r1、设a (2,2,1), b (4,5,3),则与a、b同时垂直的单位向量为2、yoz面上的抛物线z 2y2绕z轴旋转所得旋转曲面方程为.3、若f(x,y)在区域D:1 x2 y2 4上恒等于1,则f (x, y) dxdy .D4、设f(x, y) 4( x y) x2 y2,贝U其驻点为5、级数3q n收敛，则q的取值为.6、设z uv sint,而u e t , v cost.则全导数生.dt -------------------7、微分方程 y' e y sin x 0的通解为.8、设函数 z (1 y)x,则 dz|”)=.、选择题（3 5=15'）: 1、过点（2, -8, 3）且垂直于平面 x 2y 3z2 0的直线方程是).y(1 xz) x(1 y)函数在该点全微分存在的( ). (A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件； (D)既非充分也非必要条件. 4、积分1dy “f(x,y)dx 更换积分次序后为 0 y ( ).111-.;x(A) 0dx 0 f(x, y)dy ;(B) 0dx x f(x,y)dy ；21 x1 x(C) 0dx x f (x, y)dy ; (D) 0 dx , f (x, y)dy .(A) (x 2) 2( y 8) 3(z 3) 0 ; (B) (C)2 y 8_ ~2~(D)若函数y(x, z)xyz_2 y_8 1 —T 工z. 8 3y所确定，则上 x).y(x 1).，■ 、)x(1 y) (B)x(1 y)'3、二元函数z f （x,y ）在（右次）处的偏导数 f x (&,y 0)和 f y (%,y 0)存在是5、设& a i a ? L % % 0,i 1,L n),而无穷级数a n 收敛，则下列n 1说 法 不 正 确 的 是 ( ).(A) lim a n 0;(B) limS n 存在；nn(C) lim S n 0；(D) {S n }为单调数列.n三、计算题(6' 3=18')：1、曲面z 4 x 2 y 2上哪一点的切平面平行于平面2x 2y z 1 0,并写出切平面方程；绝对收敛.2、讨论级数 (n 11)n1卡的敛散性；若收敛，指出是条件收敛还是3、将函数f（x）——展开为（x 1）的哥级数;x 2x 2四、（7'）求微分方程2 y" y' y 2e x的通解.五、（7’）在所有对角线为2后的长方体中，求最大体积的长方体.六、（7‛）计算D2Jd ，其中D是由直线x y 2, y x及曲线xy 1所围成的闭区域.七、（7‛）计算D arctan^d ,其中D是由圆xy21,x2 y2 4及直线y 0,y x所围成的第一象限部分。

江苏省苏州市相城区南京师范大学苏州实验学校2025届高三数学第一学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ） A ．22B ．25C ．10D ．202．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫ ⎝⎭<D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫ ⎝⎭<3．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．224．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -5．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-6．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ）A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()277．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A ．12ω=B ．6282f π+⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 8．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 9．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =，则AC 边上的高为（ ） A 5 B ．2C 5D ．15210．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π11．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．12．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南京师大附中2022-2023学年度第1学期高一年级期末考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1.已知 R,{13},2U A xx B x x ∣∣，则U A Bð（）A.,12, B. ,12, C.3, D.3, 【答案】C 【解析】【分析】由并集和补集的概念即可得出结果.【详解】∵R,{13},2U A xx B x x ∣∣∴),3(A B ，则,()[)3U A B ð，故选：C.2.已知22log 3,log 5a b ，则18log 15 （）A.21a ba B.12a b aC.1a bD.1a b 【答案】B 【解析】【分析】利用对数的换底公式和对数的运算性质进行运算求解即可．【详解】2221822log 15log 3log 5log 15log 1812log 312a ba ，故选：B ．3.设a b c d ,,,为实数，且c d ，则“a b ”是“”a c b d 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由a b 不能推出a c b d ，如2a ，3b ，0c =，1d ，满足a b ，但是a c b d ，故充分性不成立；当a c b d 时，又c d ，可得a c c b d d ，即a b ，故必要性成立；所以“a b ”是“”a c b d 的必要不充分条件.故选：B.4.函数 3ln f x x x的零点所在的大致区间为（）A.0,1 B.1,2 C.2,e D.e,3【答案】D 【解析】【分析】由题意可知 f x 在 0, 递增，且 e 0,30f f ，由零点存在性定理即可得出答案.【详解】易判断 f x 在 0, 递增， 3e lne 0,3ln310ef f .由零点存在性定理知，函数 3ln f x x x的零点所在的大致区间为 e,3.故选:D.5.已知π1sin 63x ，则25πsin()2cos ()6π3x x 的值是（）A.59B.19C.59D.1423【答案】C 【解析】【分析】令π6t x ，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果.【详解】令π6t x ，则π6 x t ，1sin 3t ，则2225π125sin()2cos ()sin(π)2cos ()sin 2sin 63399ππ2x x t t t t .故选：C.6.将函数 π2sin 43f x x 的图象向右平移π3个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数 g x 的图象，则函数g x 所具有的性质是（）A.图象关于直线3x对称B.图象关于点π,06成中心对称C. g x 的一个单调递增区间为5ππ,44D.曲线 g x 与直线y π6【答案】D 【解析】【分析】先利用题意得到 π2sin 23g x x ，然后利用正弦函数的性质对每个选项进行判断即可【详解】函数 f x 的图象向右平移π3个单位长度得到ππ5ππ2sin 42sin 42sin 43333y x x x ，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到 π2sin 23g x x ，对于A ，因为ππsin 2sinπ01,33所以直线3x不是 g x 的对称轴，故A 错误；对于B ，ππ2π3sin 2sin0,6332所以图象不关于点π,06成中心对称，故B 错误；对于C ，当5ππ,44x ，则π13π5π2,366x ，因为正弦函数sin y x 在13π5π,66不单调，故5ππ,44 不是 g x 的一个单调递增区间，故C 错误；对于D ，当 g x sin 232x 则ππ22π33 x k 或2π2π,Z 3k k ，则πx k 或Z π6, k k ，则相邻交点距离最小值为π6，故D 正确故选：D.7.函数 22cos 1x xf x x的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性及 f x 在π0,2上的函数值正负逐个选项判断即可．【详解】因为 22cos 1x xf x x ，定义域为R ，所以 222()cos()2cos ()()11x x x xf x f x x x，所以 f x 为奇函数，又因为π0,2x时 0f x ，所以由图象知D 选项正确，故选D ．8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ，用 x 表示不超过x 的最大整数，则 y x 称为高斯函数.例如：3.64,3.63 .已知函数 1e 21exx f x ，则函数 y f x f x 的值域是（）A.1,0 B.0 C.0,1 D.1,0,1 【答案】A 【解析】【分析】依题意可得 1121e xf x，再根据指数函数的性质讨论0x ，0x 和0x 时，函数的单调性与值域，即可得出答案.【详解】因为 1e 11e 11111121e21e 21e 21e x x xx x x f x ，定义域为R ，因为1e x y 在定义域上单调递增，则11exy 在定义域上单调递减，所以 1121exf x在定义域R 上单调递减，0x 时， 111e 0,1,,1,0,,01e 22xx f x f x， 00f 0x 时， 111e 1,,0,,,0,11e 22xx f x f x；则0x 时， 101,f x f x0x 时， 011f x f x ，0x 时， 000f x f x .故选：A.【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究 f x 的性质来研究 y f x f x的值域，突破难点.二､多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若,a b n 为正整数，则n n a bB.若0,0b a m ，则a m ab m bC.22222a ba b D.若0 ，则0sin 1 【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案．【详解】对于A ，若1,1,2a b n ，则n n a b ，故A 错误；对于B ，0,0b a m 时，a m aab bm ab am b a b m b，故B 正确；对于C ，由20,20a b ，则22222a b ab ，当且仅当a b 时取等号，故C 正确；对于D ，当π2时，πsin 12 ，故D 错误；故选：BC ．10.设m 为实数，已知关于x 的方程 2310mx m x ，则下列说法正确的是（）A.当3m 时，方程的两个实数根之和为0B.方程无实数根的一个必要条件是1mC.方程有两个不相等的正根的充要条件是01mD.方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m 【答案】BCD 【解析】【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数m 满足的不等式，解出m 的范围，判断正误.【详解】对于A 选项，3m 时2310x 无实根，A 错误；对于B 选项，当0m 时方程有实根，当0m 时，方程无实根则2(3)40m m ，解得19m ，一个必要条件是1m ，B 正确；对于C 选项，方程有两个不等正根，则0m ，0 ，30m m ，10m ，解得01m ；对于D 选项，方程有一个正根和一个负根，则0m ，10m，解得0m ，D 正确；故选：BCD.11.设0,0a b ，已知22,a b M N ab a b，则下列说法正确的是（）A.M 有最小值B.M 没有最大值C.N 有最大值为2D.N 有最小值为2【答案】ABD 【解析】【分析】由均值不等式分别求出,M N 的最值，即可得出答案.【详解】,0a b 时 10,,2,AB b b a t M t a a b t，正确，0,0a b 时2a b ，则2C 2a b错误，D 正确；故选：ABD.12.设 为正实数，a 为实数，已知函数 4sin f x x a ，则下列结论正确的是（）A.若函数 f x 的最大值为2，则2a B.若对于任意的x R ，都有 πf x f x 成立，则2 C.当π3时，若 f x 在区间ππ,62上单调递增，则 的取值范围是10,3D.当a R ，函数 f x 在区间π0,2上至少有两个零点，则的取值范围是4, 【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：根据正弦函数的有界性分析判断；对B ：利用函数的周期的定义分析判断；对C ：以x 为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对D ：以x 为整体，结合正弦函数的性质分析判断.【详解】A 选项，由题意42a ，则2a ，A 正确；B 选项，若 πf x f x ，则 f x 的周期为π，设 f x 的最小正周期为T ，则()*2π=πkT k k ωN =Î，解得()*2ωk k N =Î，B 错误；C 选项，当π3时，∵ππ,62x，则πππππ,36323x ，若 f x 在区间ππ,62上单调递增，则0πππ632πππ232，解得10,3，C 正确；D 选项，由题意可得 2sin 2x，对 R ，在π0,2 上至少两个零点，∵π0,2x，则π,2x，若对 R ，在π0,2上至少两个零点，则π2π2，解得4 ，D 正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程．②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标．③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号．(3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论A >0，A <0.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13.命题“21,20x x ”的否定是__________.【答案】21,20x x 【解析】【分析】根据特称命题的否定，可得答案.【详解】由题意，则其否定为21,20x x .故答案为：21,20x x .14.已知2212sin cos 2sin cos，则tan __________.【解析】【分析】将已知式中分子221sin cos ，再分子分母同时除以2cos ，解方程即可得出答案.【详解】由题意222222sin 2sin cos cos tan 2tan 12sin cos tan 1，即tan 12tan 1，则tan 3 .故答案为：3.15.设函数21,0()3,0xx x f x x ，则满足3()(32f x f x 的x 的取值范围是__________.【答案】 1, 【解析】【分析】结合函数解析式，对x 分三种情况讨论，分别计算可得.【详解】当0x 时， 33212141122f x f x x x x，则 332f x f x在0x 时无解；当302x时， 3332132222x x f x f x x x，在R 单调递增，1x 时132123 ，则 332f x f x的解集为31,2；当32x 时， 33022*******x x f x f x，则332f x f x在32x 时恒成立；综上， 332f x f x的解集为 1, .故答案为： 1, ．16.已知函数 f x 是定义在R 上不恒为零的偶函数，且对于任意实数x 都有1()(1)x f x xf x 成立，则7(())2f f __________.【解析】【分析】根据解析式求出102f，进而得到若 10f x ，则 0f x ，从而求出7(())02f f .【详解】由 1()(1)x f x xf x ，令0x 可得 00f ，今12x可得11112222f f，由 f x 是偶函数可得1122f f，则102f，0,1x 时，若 10f x ，则 0f x ，则135702222f f f f，则7(())(0)02f f f .故答案为：0.三､解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17.设m R ，已知集合2321,2201x A xB x x m x m x∣∣.（1）当1m 时，求A B ；（2）若“x B ”是“x A ”的必要条件，求m 的取值范围.【答案】（1）3,12（2） 3, 【解析】【分析】（1）求出集合,A B ，由并集的定义即可得出答案.（2）由“x B ”是“x A ”的必要条件可得A B ，则322m，解不等式即可得出答案.【小问1详解】由3211x x 可得2301x x ，即 1230x x ，则3,12A， {210},1B x x m x m ∣时，13,1,,122B A B.【小问2详解】由“x B ”是“x A ”的必要条件可得A B ，则322m，则3m ，实数m 的取值范围是 3, .18.设tan 2 ，计算下列各式的值：（1）2sin cos 3sin cos；（2）22sin sin cos.【答案】（1）1（2）5【解析】【分析】（1）所求表达式分子分母同时除以cos ，代入求解即可；（2）将分子2看成222sin cos ，所求表达式分子分母同时除以2cos ，代入求解即可；【小问1详解】原式2tan 122113tan 1321；【小问2详解】原式22222222sin cos 2tan 22225sin sin cos tan tan 22.19.设函数 f x 和 g x 的定义域为 1,1 ，若 f x 是偶函数， g x 是奇函数，且()2lg(1)f x g x x .（1）求函数 f x 和 g x 的解析式；（2）判断 f x 在 0,1上的单调性，并给出证明.【答案】（1） lg(1)lg(1)f x x x ， lg 1lg 1g x x x （2）单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性构造关于 f x 和 g x 得方程组，进而求出它们的解析式；（2）根据函数单调性定义进行证明.【小问1详解】由 ()2lg(1)f x g x x ，可得 ()2lg(1)f x g x x ，由 f x 为偶函数， g x 为奇函数，可得 ()2lg(1)f x g x x ，则 lg(1)lg(1)f x x x ， lg 1lg 1g x x x ；【小问2详解】由（1）得 2lg(1)f x x f x 在 0,1单调递减，证明如下：取任意1212,(0,1),x x x x Î<，22211212221lg(1)lg(1)lg 1x f x f x x x x 由1201x x <<<，可得2212110x x ，则2122111x x ，则 2112221lg 01x f x f x x ，则 12f x f x ，则 f x 在 0,1单调递减.20.如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点D 修建一条长为m l 的栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且OAB .点H 在线段AB 上，且OH AB .线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.（1）当养殖观赏鱼的面积最小时，求l 的长度；（2）若游客可以在河岸OA 与栈道AH 上投喂金鱼，在栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂1 ，求 的取值范围.【答案】（1）；（2）ππ,42.【解析】【分析】（1）过D 作,DM DN 垂直于,OA OB，求得,tan AM BN，从而得出养殖观赏鱼的面积113tan 2tan OAB S OA OB，利用基本不等式可求得OAB S 最小时 的值，进而求得l 的长度；（2）由π2AOB OHA，可得BOH ，则,,tan sin tan OH OH OA AH BH OH，由题意1BHOA AH，则tan 111sin tan，化切为弦可得1cos π0,2即可求得结果.【小问1详解】过D 作,DM DN 垂直于,OA OB ，垂足分别为,M N，则DM ON DN OM,tan tan tan DMAM BN DN，养殖观赏鱼的面积1113tan 22tan tan OAB S OA OB，由π0,2可得tan 0，则13tan tan ，当且仅当3tan 3 即π6 时取等号，则OAB S 最小时，π6，此时l的长度为1sin cos 22DM DNl；【小问2详解】由π2AOB OHA ，可得BOH ，则,,tan sin tan OHOH OA AH BH OH，由题意1BHOA AH，则tan 111sin tan，而22sin tan sin 1cos 1cos 1111cos cos 1cos cos 1cos cos sin tan sin，则1cos ，由π0,2可得cos 0，则cos 2 ，则ππ,42 .21.设a 为实数，已知函数 122xxf x， ln ln 2g x x x a .（1）若函数 f x 和 g x 的定义域为1, ，记 f x 的最小值为1M ， g x 的最小值为2M .当21M M 时，求a 的取值范围；（2）设x 为正实数，当 0g x 恒成立时，关于x 的方程0f g x a 是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由.【答案】（1）5,2（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用指数函数的单调性及二次函数的性质，分别求出 f x 和 g x 的最小值12,M M ，然后解不等式即可；（2）利用二次函数的性质，求得 g x 的最小值为1a ，由题意可得1a ，当 0g x时,()21g x ，()112g x ，可得 0f g x a ，即可得出结论.【小问1详解】当1x 时，函数2x y 和12x y 均单调递增，所以函数 122xx f x 单调递增，故当1x 时， f x 取最小值32，则132M ；当1x 时，ln 0x ， 2ln 11g x x a ，则当ln 10x ，即e x 时， g x 取最小值1a ，即21M a ，由题意得312a ，则52a ，即a 的取值范围是5,2；【小问2详解】当0x 时，ln R x ， 2ln 11g x x a ，则当ln 10x ，即e x 时， g x 取最小值为1a ，则 0g x 恒成立时，有10a ，即1a ，当 0g x 时，()21g x ，()112g x ，则()()1202g x g x f g x，则 0f g x a ，故关于x 的方程0f g x a 不存在实数解.22.设a R ，函数 2πsin cos ,,π2f x x x a x.（1）讨论函数 f x 的零点个数；（2）若函数 f x 有两个零点12,x x ，求证：123π2x x .【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数 f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123π2x x .【小问1详解】2cos cos 1f x x x a ，令 0f x ，即2cos cos 1x x a ，π,π2x时， 21cos 1,0,,0,04t x t t f x 即21t t a ，10a 或114a 即 5,1,4a时，21t t a 无解；114a 即54a 时，21t t a 仅有一解12t ，此时x 仅有一解2π3；1104a即514a 时，21t t a 有两解12t ，1cos 2x f x 有两个零点；综上， 5,1,4a时， f x 无零点，54a 时， f x 有一个零点，5,14a时， f x 有两个零点；【小问2详解】f x 有两个零点时，令1122cos ,cos t x t x ，则12,t t 为21t t a 两解，则121t t ，则12cos cos 1x x ，则221122cos 2cos cos cos 1x x x x ，由12π,,π2x x可得12cos 0,cos 0x x ，则122cos cos 0x x ，则2212cos cos 1x x ，则2221223πcos sin cos 2x x x，由2π,π2x可得223ππ3π,π,cos 0222x x，则123πcos cos 2x x ，由cos y x 在π,π2递减，可得123π2x x，则123π2x x .【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。

2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A ={x|−2＜x ＜73}，集合B ＝{﹣4，﹣2，0，2，4，6}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣2，0，2}B ．{﹣2，0，2，4}C ．{0，2，4}D ．{0，2}2．已知角α的终边经过点（3a ，﹣4a ）（a ＜0），则sin α+cos α等于（ ） A ．15B ．75C ．−15D ．−753．设点O 是正三角形ABC 的中心，则向量AO →，BO →，OC →是（ ） A ．相同的向量 B ．模相等的向量C ．共线向量D ．共起点的向量4．已知sin （α+π6）=13，则cos （α+2π3）＝（ ）A ．2√23 B ．13C ．−13D ．−2√235．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0），（x 1≠x 2），都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0且f （﹣1）＝0，则不等式xf （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣1，0）∪（0，1） B ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）6．设a 为实数，则关于x 的不等式（ax ﹣2）（2x ﹣4）＜0的解集不可能是（ ） A ．(2a，2)B ．（﹣∞，2）∪(2a ，+∞)C ．（2，+∞）D ．(2，2a)7．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +1）＝2f （x ），当x ∈（0，1]时，f(x)=−14sinπx ．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≥−√32，则实数m 的最大值为（ ）A ．94B ．73C ．52D ．838．已知常数ω＞0，函数f （x ）＝sin ωx 在区间[43π，53π]上单调，则ω不可能等于（ ）A ．83B ．2C ．85D ．43二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若函数f （x ）满足：①对定义域内的任意x 1，x 2，都有f （x 1）+f （x 2）＝f （x 1x 2）；②当x ＞1时，f （x ）＞0，则称f （x ）为“N 函数”．下列函数是“N 函数”的是（ ） A ．f （x ）＝2x B ．f （x ）＝lnx C ．f(x)=(12)xD ．f （x ）＝log 2x10．已知函数f(x)=2cos(2x +φ)(|φ|＜π2)，满足f(x)+f(π3−x)=0，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）的图象关于直线x =5π12对称 C ．f （x ）在区间[3π2，11π6]上单调递增D ．f （x ）在区间（0，π）上有两个零点11．已知f （x ）为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，有f （x +1）＝﹣f （x ），且当x ∈[0，1）时，f （x ）＝log 2（x +1）．下列命题正确的是（ ） A ．f （2023）+f （﹣2024）＝0B ．f （x ）是周期为2的周期函数C ．直线y ＝x 与f （x ）的图象有且仅有2个交点D ．f （x ）的值域为（﹣1，1）12．设f （x ），g （x ）都是定义域为区间D 的函数，若存在k ＞0，使得对任意x 1，x 2∈D ，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |g （x 1）﹣g （x 2）|成立，则称f （x ）在D 上相对于g （x ）满足k *条件．下列命题正确的是（ ）A ．若f(x)=√x ，g(x)=x ，f(x)在区间[2，4]上相对于g （x ）满足k *条件，则k 的最小值为√24B ．若f(x)=sinx ，g(x)=√x ，则f （x ）在区间（0，+∞）上相对于g （x ）满足2*条件C ．设a 为实数，若f （x ）＝ax 2，g(x)=1x，f （x ）在区间[2，3]上相对于g （x ）满足4*条件，则a的最大值为227D ．若f(x)=x ，g(x)=log 3(9x +1)，f （x ）在D 上相对于g （x ）满足1*条件，则D ⊆（﹣∞，0] 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．log 1168+(8116)34+20240= ． 14．“数濯聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为S 1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S 2，当S 1与S 2的比值为√5−12时，扇面为“美观扇面”．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R ＝20cm ，则此时的扇形面积为cm2．15．若a，b，c均为正数，且a+b+c＝3，则12a+1+2b+c的最小值是．16．设a为实数，若实数x0是关于x的方程e x+（1﹣a）x＝lna+lnx的解，则e x0−1ax0=．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A＝{x|（x﹣a﹣1）（x﹣2a+3）＜0}，集合B={x|2x4−x≥0}．（1）当a＝2时，求A∪B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．若将函数f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数g（x）的图象．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[0，2]时，求g（x）的单调递减区间．19．（12分）已知函数f（x）＝x|x|，函数g（x）＝x2﹣2x﹣m．（1）求不等式f（x3﹣2）＞﹣1的解集；（2）如果对于任意x2∈[﹣1，2]，都存在x1∈[﹣2，1]，使得g（x2）＝f（x1），求实数m的取值范围．20．（12分）中国政府在第七十五届联合国大会上提出．“中国将努力争取在2060年前实现碳中和．”随后，国务院印发了《关于加快建立健全绿色低碳循环发展经济体系的指导意见》．某企业去年消耗电费50万元，预计今年若不作任何改变，则今年消耗电费与去年相同．为了响应号召，节能减排，该企业决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网．安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：m2）成正比，比例系数约为0.6．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此模式下，安装太阳能供电设备后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x （单位：m 2）之间的函数关系是C(x)=k10x+60(x ≥0，k 为常数）．记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年 所消耗的电费之和为y （单位：万元）． （1）求常数k ，并写出y 关于x 的函数关系式；（2）当太阳能电池板的面积为多少平方米时，y 取得最小值？最小值是多少万元？ 21．（12分）已知函数f(x)=log 2(4x +1)+ax 是偶函数． （1）求实数a 的值； （2）若函数g （x ）＝22x +2﹣2x+m •2f（x ）的最小值为﹣4求实数m 的值．22．（12分）设a 为常数，函数f （x ）＝2cos 2x ﹣a sin x ﹣1． （1）当a ＝1时，求f （x ）的值域；（2）讨论f （x ）在区间（0，π）上的零点的个数；（3）设n 为正整数，f （x ）在区间（0，n π）上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n 的值．2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A ={x|−2＜x ＜73}，集合B ＝{﹣4，﹣2，0，2，4，6}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣2，0，2}B ．{﹣2，0，2，4}C ．{0，2，4}D ．{0，2}解：集合A ={x|−2＜x ＜73}，集合B ＝{﹣4，﹣2，0，2，4，6}，则A ∩B ＝{0，2}．故选：D ．2．已知角α的终边经过点（3a ，﹣4a ）（a ＜0），则sin α+cos α等于（ ） A ．15B ．75C ．−15D ．−75解：∵角α的终边经过点（3a ，﹣4a ）（a ＜0），则r ＝﹣5a ， ∴sin α=y r =45，cos α=x r =−35，∴sin α+cos α=15， 故选：A ．3．设点O 是正三角形ABC 的中心，则向量AO →，BO →，OC →是（ ） A ．相同的向量B ．模相等的向量C ．共线向量D ．共起点的向量解：∵O 是正△ABC 的中心，∴向量OA →，OB →，OC →分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量， ∵O 是正三角形的中心，∴O 到三个顶点的距离相等，即|AO →|=|OB →|=|OC →|，但是向量AO →，BO →，OC →它们不是相同的向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量． 故选：B ．4．已知sin （α+π6）=13，则cos （α+2π3）＝（ ）A ．2√23 B ．13C ．−13D ．−2√23解：∵sin （α+π6）=13，∴cos （α+2π3）＝cos[（α+π6）+π2]＝﹣sin （α+π6）=−13，故选：C ．5．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0），（x 1≠x 2），都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0且f （﹣1）＝0，则不等式xf （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣1，0）∪（0，1） B ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）解：定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0），（x 1≠x 2），都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，∴当x ＜0时，函数f （x ）为减函数，当x ＞0时，f （x ）为增函数， ∵f （﹣1）＝0，∴f （1）＝f （﹣1）＝0， 作出函数f （x ）的图象如图：xf （x ）＜0等价为{x ＞0f(x)＜0或{x ＜0f(x)＞0，即0＜x ＜1或x ＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）， 故选：D ．6．设a 为实数，则关于x 的不等式（ax ﹣2）（2x ﹣4）＜0的解集不可能是（ ）A ．(2a ，2)B ．（﹣∞，2）∪(2a ，+∞)C ．（2，+∞）D ．(2，2a)解：当a ＝0时，不等式可化为﹣2（2x ﹣4）＜0，即x ＞2，C 符合； 当a ＜0时，不等式可为（x −2a ）（x ﹣2）＞0，解得x ＞2或x ＜2a ，当a ＞0时，不等式可化为（x −2a ）（x ﹣2）＜0，若a ＞1，解得2a＜x ＜2，A 符合；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解集为2＜x ＜2a，D 符合．故选：B ．7．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +1）＝2f （x ），当x ∈（0，1]时，f(x)=−14sinπx ．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≥−√32，则实数m 的最大值为（ ）A ．94B ．73C ．52D ．83解：由f （x +1）＝2f （x ），得f （x ）＝2f （x ﹣1）， 又当x ∈（0，1]时，f(x)=−14sinπx ∈[−14，0]，故当x ∈（1，2]时，f(x)=−12sin[π(x −1)]∈[−12，0]；以此类推可知，当x ∈（2，3]时，f （x ）＝4f （x ﹣2）＝﹣sin[π（x ﹣2）]∈[﹣1，0]，且πx ∈（2π，3π]． 由−sinπx =−√32，得sinπx =√32，解得x =73或x =83． 若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≥−√32，结合f （x ）的图象可知，m ⩽73，所以m 的最大值为73．故选：B ．8．已知常数ω＞0，函数f （x ）＝sin ωx 在区间[43π，53π]上单调，则ω不可能等于（ ）A ．83B ．2C ．85D ．43解：因为x ∈[43π，53π]时，ωx ∈[4ωπ3，5ωπ3]，所以当f （x ）在区间[43π，53π]上单调时，在[4ωπ3，5ωπ3]内不含形如π2+kπ，k ∈Z 的值．对于A ，当ω=83时，区间[4ωπ3，5ωπ3]即[32π9，40π9]，故A 符合条件；对于B ，当ω＝2时，区间[4ωπ3，5ωπ3]即[8π3，10π3]，故B 符合条件；对于C ，当ω=8π5时，区间[4ωπ3，5ωπ3]即[32π15，8π3]，由5π2∈[32π15，8π3]，可知C 项不符合条件； 对于D ，当ω＝2时，区间[4ωπ3，5ωπ3]即[8π3，10π3]，故D 符合条件．故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若函数f （x ）满足：①对定义域内的任意x 1，x 2，都有f （x 1）+f （x 2）＝f （x 1x 2）；②当x ＞1时，f （x ）＞0，则称f （x ）为“N 函数”．下列函数是“N 函数”的是（ ） A ．f （x ）＝2x B ．f （x ）＝lnx C ．f(x)=(12)xD ．f （x ）＝log 2x解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f （x ）＝2x ，不满足f （x 1）+f （x 2）＝f （x 1x 2），不符合题意；对于B ，f （x ）＝lnx ，有lnx 1+lnx 2＝ln （x 1x 2），且当x ＞1时，lnx ＞0，符合题意； 对于C ，f （x ）＝（12）x ，不满足f （x 1）+f （x 2）＝f （x 1x 2），不符合题意；对于D ，f （x ）＝log 2x ，有log 2x 1+log 2x 2＝log 2（x 1x 2），且当x ＞1时，log 2x ＞0，符合题意． 故选：BD ．10．已知函数f(x)=2cos(2x +φ)(|φ|＜π2)，满足f(x)+f(π3−x)=0，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）的图象关于直线x =5π12对称 C ．f （x ）在区间[3π2，11π6]上单调递增D ．f （x ）在区间（0，π）上有两个零点解：由于函数f （x ）满足f(x)+f(π3−x)=0，故该函数关于点（π6，0）对称；所以f(π6)=2cos(π3+φ）＝0，由于|φ|＜π2，故φ=π6；所以f （x ）＝2cos （2x +π6），对于A ：函数的最小正周期为2π2=π，故A 错误；对于B ：当x =5π12时，f （5π12）＝2cos （5π6+π6）＝2cos π＝﹣2，故B 正确； 对于C ：由于x ∈[3π2，11π6]，所以2x +π6∈[19π6，23π6]，故函数在该区间上单调递增，故C 正确；对于D ：由于x ∈（0，π），2x +π6∈(π6，13π6)，故函数在该区间上有两个零点，故D 正确． 故选：BCD ．11．已知f （x ）为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，有f （x +1）＝﹣f （x ），且当x ∈[0，1）时，f （x ）＝log 2（x +1）．下列命题正确的是（ ） A ．f （2023）+f （﹣2024）＝0B ．f （x ）是周期为2的周期函数C ．直线y ＝x 与f （x ）的图象有且仅有2个交点D ．f （x ）的值域为（﹣1，1）解：根据题意，f （x ）为定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，有f （x +1）＝﹣f （x ），则有f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， 同时，当x ∈[0，1）时，f （x ）＝log 2（x +1）， 故函数f （x ）的图象如下图所示：由此分析选项：对于A ，f （x ）为偶函数，则f （2023）+f （﹣2024）＝f （2023）+f （2024）＝0，故A 正确； 对于B ，由函数的草图可得：f （x ）在定义域上不是周期函数，故B 错误； 对于C ，直线y ＝x 与函数f （x ）的图象有1个交点，故C 错误； 对于D ，函数f （x ）的值域为（﹣1，1），故D 正确． 故选：AD ．12．设f （x ），g （x ）都是定义域为区间D 的函数，若存在k ＞0，使得对任意x 1，x 2∈D ，都有|f （x 1）﹣f（x2）|≤k|g（x1）﹣g（x2）|成立，则称f（x）在D上相对于g（x）满足k*条件．下列命题正确的是（）A．若f(x)=√x，g(x)=x，f(x)在区间[2，4]上相对于g（x）满足k*条件，则k的最小值为√2 4B．若f(x)=sinx，g(x)=√x，则f（x）在区间（0，+∞）上相对于g（x）满足2*条件C．设a为实数，若f（x）＝ax2，g(x)=1x，f（x）在区间[2，3]上相对于g（x）满足4*条件，则a的最大值为2 27D．若f(x)=x，g(x)=log3(9x+1)，f（x）在D上相对于g（x）满足1*条件，则D⊆（﹣∞，0]解：对于A，由题知∀x1，x2∈[2，4]，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|g（x1）﹣g（x2）|成立，当x1＝x2时显然成立，不妨设x1＞x2，则|√x1−√x2|≤k|x1−x2|，即k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x，又2≤x2＜x1≤4，√2≤√x2＜√x1≤2，∴2√2＜√x1+√x2＜4，141√x+√x12√2=√24，∴k≥√24，故A正确；令x1=π2，x2=3π2，|f(π2)−f(3π2)|=|sinπ2−sin3π2|=2，而|g(π2)−g(3π2)|=|√π2−√3π2|=(√3−1)√π2，2|g(π2)−g(3π2)|=(√6−√2)√π＜(√6.25−1.4)√3.24=1.1×1.8=1.98＜2，此时|f(π2)−f(3π2)|＞2|g(π2)−g(3π2)|，故不符合要求，B错误，对于C，由题知∀x1，x2∈[2，3]，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|g（x1）﹣g（x2）|成立，当x1＝x2时显然成立，当x1≠x2时，|a(x1−x2)(x1+x2)|≤4|1x1−1x2|=4|x2−x1x1x2|，故|a(x1+x2)|≤4|1x1x2|，则|a|≤4x1x2(x1+x2)恒成立，又x1x2∈（4，9），x1+x2∈（4，6），∴4x1x2(x1+x2)∈(227，14)，∴|a|≤227，即−227≤a≤227，∴a的最大值为227，故C正确；对于D，由题可得在非空数集D上|f（x1）﹣f（x2）|≤|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，当x1＝x2时显然成立，不妨设x1＞x2，则x1−x2≤log3(9x1+1)−log3(9x2+1)，∴log 3(9x 2+1)−x 2≤log 3(9x 1+1)−x 1成立，令F(x)=log 3(9x +1)−x ，则函数F(x)=log 3(9x +1)−x 在非空数集D 上单调递增， ∵F(x)=log 3(9x+1)−x =log 39x+13x =log 3(3x +13x )，当x ∈（﹣∞，0]时，3x ∈（0，1]，y ＝3x 单调递增，y =x +1x在（0，1）单调递减，∴y =3x +13x 单调递减，∴F （x ）在（﹣∞，0]上单调递减，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．log 1168+(8116)34+20240= 298． 解：原式＝﹣log 168+（32）3+1=−34+278+1=298．故答案为：298． 14．“数濯聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为S 1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S 2，当S 1与S 2的比值为√5−12时，扇面为“美观扇面”．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R ＝20cm ，则此时的扇形面积为 200（3−√5）π cm 2．解：因为S 1与S 2所在扇形的圆心角分别为θ，2π﹣θ， 所以S 1S 2=12θR 212(2π−θ)R 2=θ2π−θ，由θ2π−θ=√5−12，解得θ＝（3−√5）π， 所以扇形的面积为S 1=12θR 2=12×（3−√5）π×202＝200（3−√5）π．故答案为：200（3−√5）π．15．若a ，b ，c 均为正数，且a +b +c ＝3，则12a+1+2b+c 的最小值是 97 ．解：a ，b ，c 均为正数，且a +b +c ＝3，即12（2a +1）+（b +c ）＝3+12=72，所以12a+1+2b+c=（12a+1+2b+c ）•27[12（2a +1）+（b +c ）]=27•（12+2+b+c 2a+1+2a+1b+c ）≥27（52+2√b+c 2a+1⋅2a+1b+c ）=27×92=97，当且仅当b +c ＝2a +1时取等号， 所以12a+1+2b+c 的最小值为97． 故答案为：97．16．设a 为实数，若实数x 0是关于x 的方程e x+（1﹣a ）x ＝lna +lnx 的解，则e x 0−1ax 0= 1e．解：由题意知e x +（1﹣a ）x ＝lna +lnx ，得e x +x ＝ax +lnax ， 即e x +x ＝e lnax +lnax ，设f （x ）＝e x +x ，x ∈R ，则f （x ）＝e x +x 在R 上单调递增， 则由e x +x ＝e lnax +lnax 可得x ＝lnax ⇒e x ＝ax ，而实数x 0是关于x 的方程e x +（1﹣a ）x ＝lna +lnx 的解，即e x 0=ax 0， 故e x 0−1ax 0=e x 0eax 0=ax 0eax 0=1e． 故答案为：1e．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |（x ﹣a ﹣1）（x ﹣2a +3）＜0}，集合B ={x|2x4−x≥0}． （1）当a ＝2时，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝2时，A ＝{x |（x ﹣a ﹣1）（x ﹣2a +3）＜0}＝{x |1＜x ＜3}， 集合B ={x|2x4−x≥0}={x |0≤x ＜4}， 故A ∪B ＝{x |0≤x ＜4}； （2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，当a +1＝2a ﹣3，即a ＝4时，A ＝∅，符合题意； 当a +1＞2a ﹣3，即a ＜4时，A ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a +1}，则{2a −3≥0a +1≤4，解得32≤a ≤3，当a +1＜2a ﹣3，即a ＞4时，A ＝{x |a +1＜x ＜2a ﹣3}，则{a ＞4a +1≥02a −3≤4，此时a 不存在，综上，a 的范围为{a |32≤a ≤3或a ＝4}．18．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．若将函数f （x ）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数g （x ）的图象． （1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[0，2]时，求g （x ）的单调递减区间．解：（1）由图象可得，A ＝1，设f （x ）的最小正周期为T ，则12T =43−13，可得T =2πω=2，所以ω＝π，故f （x ）＝sin （πx +φ）， ∵由题意，当x =13+14T =13+12时，f （x ）＝1，即f （13+12）＝1， ∴sin （5π6+φ）＝1，即5π6+φ＝2k π+π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π−π3，k ∈Z ，∵|φ|＜π， ∴φ=−π3，故f （x ）＝sin （πx −π3）；（2）将函数f （x ）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数g （x ）＝sin （π2x −π3）的图象，∵当x ∈[0，2]时，π2x −π3∈[−π3，2π3]，∴当π2x −π3∈[π2，2π3]时，即x ∈[53，2]时，g （x ）的单调递减，即当x ∈[0，2]时，求g （x ）的单调递减区间为[53，2]．19．（12分）已知函数f （x ）＝x |x |，函数g （x ）＝x 2﹣2x ﹣m ． （1）求不等式f （x 3﹣2）＞﹣1的解集；（2）如果对于任意x 2∈[﹣1，2]，都存在x 1∈[﹣2，1]，使得g （x 2）＝f （x 1），求实数m 的取值范围． 解：（1）f （x ）＝x |x |={x 2，x ≥0−x 2，x ＜0，其大致图象如图所示：结合图象可知，函数在R 上单调递增，且f （﹣1）＝﹣1，不等式式f（x3﹣2）＞﹣1＝f（﹣1）可转化为x3﹣2＞﹣1，解得x＞1，即原不等式的解集为{x|x＞1}；（2）由（1）知，f（x）在[﹣2，1]上单调递增，f（﹣2）＝﹣4，f（1）＝1，故﹣4≤f（x1）≤1，设A＝[﹣4，1]，当﹣1≤x≤2时，g（x）＝（x﹣1）2﹣1﹣m先减后增，当x＝1时，g（x）取得最小值g（1）＝﹣1﹣m，当x＝﹣1时，函数取得最大值g（﹣1）＝3﹣m，即﹣1﹣m≤g（x）≤3﹣m，设B＝[﹣1﹣m，3﹣m]，对于任意x2∈[﹣1，2]，都存在x1∈[﹣2，1]，使得g（x2）＝f（x1），则B⊆A，所以{−1−m≥−43−m≤1，解得，2≤m≤3，所以m的范围为[2，3]．20．（12分）中国政府在第七十五届联合国大会上提出．“中国将努力争取在2060年前实现碳中和．”随后，国务院印发了《关于加快建立健全绿色低碳循环发展经济体系的指导意见》．某企业去年消耗电费50万元，预计今年若不作任何改变，则今年消耗电费与去年相同．为了响应号召，节能减排，该企业决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网．安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：m2）成正比，比例系数约为0.6．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此模式下，安装太阳能供电设备后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：m2）之间的函数关系是C(x)=k10x+60(x≥0，k为常数）．记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为y（单位：万元）．（1）求常数k，并写出y关于x的函数关系式；（2）当太阳能电池板的面积为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？解：（1）由题意可得C(0)=k60=50，即k＝3000，则由题：y=0.6x+6000010x+60=0.6x+6000x+6（x≥0）；（2）由（1）可得y=0.6(x+6)+6000x+6−3.6≥2√0.6(x+6)×6000x+6−3.6=116.4，当且仅当0.6(x+6)=6000x+6即x＝94时取等号，所以当x＝94时，y取得最小值，最小值是116.4．21．（12分）已知函数f(x)=log2(4x+1)+ax是偶函数．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）＝22x+2﹣2x+m•2f（x）的最小值为﹣4求实数m的值．解：（1）函数f(x)=log2(4x+1)+ax的定义域为R，因为函数f（x）是偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），又f(−x)=log2(4−x+1)−ax=log2(4x+14x)−ax=log2(4x+1)−2x−ax，f(x)=log2(4x+1)+ax，所以log2(4x+1)−2x−ax=log2(4x+1)+ax，所以﹣2x＝2ax⇒a＝﹣1；（2）由（1）知，f(x)=log2(4x+1)−x=log2(4x+1)−log22x=log2(4x+12x)=log2(2x+2−x)，所以2f(x)=2log2(2x+2−x)=2x+2−x，所以g（x）＝22x+2﹣2x+m•2f（x）＝22x+2﹣2x+m（2x+2﹣x）＝（2x+2﹣x）2+m（2x+2﹣x）﹣2=[(2x+2−x)+m 2]2−m24−2，令t=2x+2−x≥2√2x⋅2−x=2，当且仅当2x＝2﹣x，即x＝0时等号成立，设函数ℎ(t)=(t+m2)2−m24−2(t≥2)，其图像是开口向上，对称轴方程为x=−m2的抛物线，当−m2＜2时，即m＞﹣4时，ℎ(t)min=ℎ(2)=(2+m2)2−m24−2=−4，解得m＝﹣3，当−m2≥2时，即m≤﹣4时，ℎ(t)min=ℎ(−m2)=−m24−2=−4，解得m＝±2√2（舍去），综上可知，m＝﹣3．22．（12分）设a为常数，函数f（x）＝2cos2x﹣a sin x﹣1．（1）当a＝1时，求f（x）的值域；（2）讨论f（x）在区间（0，π）上的零点的个数；（3）设n为正整数，f（x）在区间（0，nπ）上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n的值．解：（1）由题意，f（x）＝2cos2x﹣a sin x﹣1＝﹣2sin2x﹣a sin x+1，令t＝sin x，t∈[﹣1，1]，所以g（t）＝﹣2t2﹣at+1，Δ＝a2+8＞0，可求得g（﹣1）＝﹣1+a，g（0）＝1，g（1）＝﹣a﹣1，当a＝1时，g（t）＝﹣2t2﹣t+1，图象的对称轴t=−1 4，所以函数的最大值为g(−14)=−2×(−14)2+14+1=98，最小值为g（﹣1）与g（1）中较小的那个，结合g（﹣1）＝﹣1+1＝0，g（1）＝﹣1﹣1＝﹣2，可得−2≤g(t)≤98，所以f（x）的值域为[−2，98]．（2）由（1）知，g（t）＝﹣2t2﹣at+1的两零点t1，t2满足t1t2=−12＜0，所以t1＜0，t2＞0，在区间（0，π）上，t＝sin x∈（0，1]，当t＝1时，x=π2有唯一解，当0＜t＜1时，x有两解x1、x2且x1+x2＝π．因此可得：当g（1）＞0，即a＜﹣1时，则t2＞1，f（x）无零点；当g（1）＝0，即a＝﹣1时，则t2＝1，f（x）有1个零点；当g（1）＜0，即a＞﹣1时，则0＜t2＜1，f（x）有2个零点．（3）由（1）（2）知，g（t）＝﹣2t2﹣at+1有两个零点t1＜0，t2＞0．当t1＝﹣1，即a＝1时，得t2=12，f（x）在（0，2kπ）（k∈N*）内零点个数为3k，在（0，（2k+1）π）内零点个数为3k+2，因为2024＝3×674+2，所以n＝674×2+1＝1349；当t2＝1，即a＝﹣1时，t1=−12，f（x）在（0，2kπ）（k∈N*）内零点个数为3k，在（0，（2k+1）π）内零点个数为3k+1，此时不存在n满足条件；当a＜﹣1时，则﹣1＜t1＜0，t2＞1，f（x）在（0，2kπ）和（0，（2k+1）π）（k∈N*）内零点个数均为2k，因为2024＝2×1012，所以n＝2024或2025；当﹣1＜a＜1时，则﹣1＜t1＜0，0＜t2＜1，f（x）在（0，kπ）（k∈N*）内零点个数均为2k，所以n＝k ＝1012；当a＞1，则t1＜﹣1，0＜t2＜1，f（x）在（0，2kπ）和（0，（2k﹣1）π）（k∈N*）内零点个数均为2k，所以n＝2023或2024．综上所述，正整数n的所有可能值为1012或1349或2023或2024或2025．。

S ←1While S <10S ←S +3M ←2S +3End while Print M学校 班级 考号 姓名__________________________◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆南京师范大学附属实验学校2007-2008-1高二年级期末考试数学试卷（模拟）一、填空题（每题5分，共70分）1.函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(,)a b 内极值点的个数为2. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果M 为3.某校有教师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n 的值为4．某徒工加工外形完全一样的甲、乙两种零件. 他加工的5个甲种零件中有2个次品，2 个乙种零件中有1个次品，现从这7个零件中随机抽取2个，则能查到甲种零件的次品 的概率为 （结果用分数表示）. 5．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= . 6. 数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为σ2，则数据2a 1，2a 2，2a 3，…，2a n 的方差为7如果执行下面的程序框图，那么输出的S =1y x cos x,x [,]222ππ=-∈-的最8. 函数大值为 若a b ≥，则c >d ，命题Q ：若e f ≤，9. ．已知命题P ：则a b <。

若P 为真且Q 的否命题为真，则“c d ≤”是“e f ≤的”10. 过抛物线2y ax (a 0)=<焦点为F 作直线L 交抛物线于A 、B 两点，则11AF BF+= 11. 物体的运动方程是S =10t －t 2 (S 的单位：m ； t 的单位：s), 则物体在t =2s 的速度是 12. 直线y ＝x －3与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为 ． 13. 若方程222222(2)60k x k y k k -++--=表示椭圆，则k 的取值范围是 14. 如下图，已知椭圆221/4y x +=，弦AB 所在直线方程为：022=-+y x ，现随机向椭圆内丢一粒豆子，则豆子落在图中阴影范围内的概率为_________。

南京师范大学2013-2014大一上学期高数期末考试及解答（根据试卷整理）一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：133()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.()A.B. C. D.2.在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为()A.B.C.D.3.下列各组向量中，可以作为基底的是()A.，B.，C.，D.，4.复数z 满足，则其共轭复数的虚部为()A. B.C.D.5.在中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若，，，则()A.B.C.D.6.已知正四面体的棱长为1，空间中一点M 满足，其中x ，y ，，且则的最小值为()A. B.C.D.17.已知，则()A.B.C.D.8.如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，满足，则该三棱柱体积的最大值为() A.B.3 C.D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，为复数，则()A. B.C.若，则D.若，则10.已知非零向量，，记，，则()A.若，则B.若，则C.若，，且，则，的夹角为D.若，则11.如图，在矩形ABCD中，，，将三角形ACD沿直线AC翻折得到三角形，在翻折过程中，下列说法正确的是()A.存在某个位置，使得三棱锥的外接球半径大于B.存在某个位置，使得异面直线与AC的所成的角为C.点B到平面ACD的距离的最大值为1D.直线与平面ABC所成角的正弦值最大为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量，，若，则实数x的值为______.13.求值：______.14.已知正四棱锥的所有棱长均为2，以点A为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。