插值法均差和牛顿插值公式PPT讲稿

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§2.4 差商与Newton插值公式

称为函数f (x)在x0、x1 、xk 点的二阶差商.
© 2009, Henan Polytechnic University §4 差商与Newton插值公式
6 6
第二章插值法
一般地，k-1阶差商的差商
f [ x0 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1 ,, xk ] x k x k 1
© 2009, Henan Polytechnic University §4 差商与Newton插值公式
1010
第二章插值法
性质3 若f(x)在[a,b]上存在n阶导数, 且节点x0 , x1 ,…,
xn∈[a,b] ,则至少存在一点 [a, b] 满足下式
f ( n ) ( ) f [ x0 , x1 ,, xn ] n!
f ( x 3 ) f ( x0 ) 1 1 a3 a a 1 2 x x x3 x2 x x 3 0 3 1

© 2009, Henan Polytechnic University §4 差商与Newton插值公式
© 2009, Henan Polytechnic University §4 差商与Newton插值公式
1212
第二章插值法
2.4.2 牛顿插值公式 N n ( x) a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )( x xn1 )
a0 f ( x0 )
1616
第二章插值法
f ( x ) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 )
f [ x , x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x , x0 , x1 ]( x x1 )

newton插值均差与差分

第五章函数近似计算(插值问题)的插值方法5.3 Newton 插值/均值与差分lagrange 插值多项式作为一种计算方案，公式简洁，做理论分析也方便。

其缺点是，当节点改变时，公式需要重建，计算量大；如果还要根据精度要求，选取合适的节点和插值多项式的次数，则只好逐次计算出)(1x L , )(2x L等，并做误差试算，才可以做到，这当然是不理想的。

为次，人们从改进插值多项式的形式入手，给出另一种风格的插值公式，这就是Newton(牛顿)插值公式。

Newton 插值公式通过均差和差分的记号来表达。

1．均差的概念及其性质定义 5.3.1 设函数f在互异节点 ,,10x x 上的值为 )(0x f , )(1x f ,等，定义(1)f 在j i x x ,上的1阶均差为 ji j i j i x x x f x f x x f --=)()(],[(2) f在k j i x x x ,,上的2阶均差为 ki k j j i k j i x x x x f x x f x x x f --=],[],[],,[（3）递推地，f在k x x x ,,,10 上的k阶均差为kk k k x x x x x f x x x f x x x f --=-02111010],,,[],,,[],,,[同时规定f在i x 上的零阶均差为)(][]i x f x f =性质1k 阶均差可以表示成1+k个函数值的线性组合，即∑=+-----=kj k j j j j j j j k x x x x x x x x x f x x x f 011010)())(()()(],,,[ (5.3.5)或记为∑=+=kj j k j k x x f x x x f 0110)(')(],,,[ω （5.3.5b ）证明：用数学归纳法。

当1=k 时由均差定义有11100101010)()()()(],[x x x f x x x f x x x f x f x x f -+-=--=故(5.3.5)式成立。

牛顿插值法ppt课件

为在点
处的二阶差商
称
f[x 0 ,x 1 , x n ] f[x 0 ,x 1 , ,x x n 0 1 ] x n f[x 1 ,x 2 , x n ]
为f (x)在点
处的n阶差商。
--
9
差商表
x
f(x)
一阶差商
二阶差商
三阶差商
x0
f(x0)
x1
f(x1) f [x0,x1]
x2
f(x2) f [x1,x2] f [x0,x1,x2]
--
14
例题分析（续1）
f
(x0, x1)
y1 x1
y0 x0
12 1(1)
1 2
f
(x1,
x2)
y2 x2
y1 x1
11 21
0
f
(x0, x1, x2)
f
(x1,x2) f (x0,x1) x2 x0
02（(1/12)）
1 6
--
15
例题分析（续2）
f (x)N2(x) f (x0)f[x0,x1](xx0)
令 xx0得： Nn(x0)c0y0f(x0); 令 xx1得： Nn(x1)c0c1(x1x0)y1f(x1); 由此可c0解 ,c1;c出 i 依：次类推。
--
6
具有承袭性的插值公式
线性插值公式可以写成如下形式：
其中
p 1 x p 0 x c 1 x x 0
p0xfx0，其修正项的系数 c1
f
x1f x0
x1 x0
再修正 p1 x 可以进一步得到拋物插值公式
p 2 x p 1 x c 2 x x 0 x x 1
其中

计算方法Newton插值 ppt课件

2次插值为例）：
设x为区间[a, b]上的一点，可得：
f ( x f 0 () ) x f [x 0 x ] ( ,x x 0 )
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。这种求解差商的方法的优点是直接使用公式，缺点是计算量较大。
性质2 差商具有对称性,即在k阶差商 f [0,xx1, … ,xk] 中任意交换两个节点x i 和 x j 的次序,其值不变。
的系数ak (k=0,…,n)可根据以下插值条件推出。
N n (i) x fi( )x i 0 …,,n 1 ,
N n( 0 x)a0 f (0)x N n (1 ) x a 0 a 1 (1 x x 0 ) f 1 ()x N n ( 2 ) x a 0 a 1 ( 1 x x 0 ) a 2 ( 2 x x 0 )2 ( x 1 ) x f2 ) (
00
f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+3]
28 3 27 5 125 6 216
80 4 20
27 8 32
19
19 4 30
5
12527 53
49
49 5
219
10
216125 65
91
91 49 63
14
10 5 50
1
14 10 1 62
差商的性质
n次牛顿(Newton)插值公式的表达式：
N n (x f)(0 )x f[0 ,x 1 ](x x 0 ) f[0 ,x 1 ,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) … f[0 ,x 1 … ,x n ](x x 0 )(x x 1 ) …(x x n 1 )

第2章_插值法

56
13.214 285 71

175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,

计算方法—插值法

2018/10/20
lk ( x) lk 1 ( x) 1
13
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
L1(X)
L1(X)
∴ lg2.718 ≈L1 (2.718)=0.43428
2018/10/20 14
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
利用线性插值法对函数y=f(x) 进行逼近时，即用直线y=L1(x)代替曲线y=f(x)。
Chapter2 插值法
显然当插值区间较大或曲线[x0,x1]凸凹变化大时，线性插值的误差很大。为了减小这种误差，我们用简单的曲线(抛物线)去近似
代替复杂曲线y=f(x) 。二次多项式函数的曲线为抛物线，所以我们构造插值函数L2(x) ，即n=2。
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2.2 拉格朗日插值
5
2018/10/20
2.1 引言
多项式插值
Chapter2 插值法
对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次数不超过n的多项式，记为Pn(x)，则相应的问题就是多项式插值，并且把Pn(x)称为插值多项式。实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数
或分段多项式函数。由于次数不超过n的多项式的一般形式为： Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
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2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值已知函数y=f(x)的函数插值法
y yk
yk+1
求次数不超过1的多项式L1(x)=a0+a1x 满足插值条件L1(xk)=yk, L1(xk+1)=yk+1。

数值分析4.2 牛顿插值法

Rn ( x ) f [ x, x0 ,, xn ]( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
Rn(x)称为牛顿型插值余项。
可见, Nn(x)为次数不超过n 的多项式,且易知
Rn(xi)= 0 即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, …,n)
满足插值条件, 故其为插值问题的解, Nn(x)称为牛顿插值多项式。
f ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x , x0 , x1 ]( x x0 )( x x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x , x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )( x x2 )
差分有如下基本性质
性质1 各阶差分均可用函数值表示. 即
f i f n i c f n i 1 (1) c f i (1) c f n i j
n 1 n n n n n n j
n
f i f i c f i 1 (1) c f i n (1) c f i j
Rn ( x ) f [ x , x0 , , xn ]( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) f [ x , x0 , , xn ] n1 ( x )
k 1 n
f ( x ) N n ( x ) Rn ( x )
N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , , xn ]( x x0 ) ( x xn1 )

计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)

为f ( x)关于节点 x0 , xk 一阶均差 (差商)
2018/11/7
5
2018/11/7
6
二、均差具有如下性质：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]

j 0
k
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xk )
2018/11/7
27
fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
2
依此类推
m f k m1 f k 1 m1 f k
为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分
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28
差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分三阶差分四阶差分
2018/11/7
31
等距节点插值公式
一、牛顿前插公式
2018/11/7
32
2018/11/7
33
二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值无法比的. 但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点.
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25
2018/11/7
26
§
2.3.4 差分及其性质
一、差分
fk , 定义3. 设f ( x)在等距节点xk x0 kh 处的函数值为 k 0 ,1, , n , 称
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分

均差与牛顿插值jg3

其中,
,
N1 ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) = y0 + y0 − y1 ( x − x0 ) x0 − x1
。
这就是牛顿一次插值多项式，也就是点斜式直线方程。当 n=2 时,
f ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x 0 , x 1 , x 2 ]( x − x 0 )( x − x 1 ) + f [ x , x 0 , x 1 , x 2 ]( x − x 0 )( x − x 1 )( x − x 2 ) N2 ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x 0 , x 1 , x 2 ]( x − x 0 )( x − x 1 )
;
f [ x0 , x 1 , x 2 ] = = = =
y y y y 1 1 ( 0 + 1 )− ( 1 + 2 ) x0 − x2 x0 − x1 x1 − x0 x0 − x2 x1 − x2 x2 − x1
y0 y y2 1 1 + 1 ( − )+ (x0 −x1)(x0 −x2) x0 −x2 x1 −x0 x1 −x2 (x2 −x0)(x2 −x1) y0 y1 y2 + + (x0 − x1)(x0 − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x2 − x0 )(x2 − x1)
这就是牛顿二次插值多项式。显然,
N2 ( x0 ) = f ( x0 )
,
N2 ( x1 ) = f ( x0 ) + N2 ( x2 ) = f ( x0 ) +

牛顿插值PPT学习教案

利用插值条件 Nn(xi) f (xi), ( i 0,1,…, n) 代入上式,得到关于 Ak (k 0,1,…, n) 的线性代数方程组.
第3页/共50页
f (x0 ) Nn (x0 ) A0
f
( x1 )
Nn (x1)
A0
A1 ( x1
x0 )
f
( x2
)
Nn
(x2 )
A0
n 阶差商
xn f [xn] f [xn-1, xn] f [xn-2, xn-1, xn] f [xn-3, xn-2, xn-1, xn] f [x0, x1,…, xn]
第17页/共50页
例 1 给定 f (x) = lnx 的数据表
xi
2.20
f (xi) 0.78846
2.40 0.87547
牛顿插值
会计学
1
本讲主要内容:
➢ Newton插值多项式的构造 ➢ 差商的定义及性质 ➢ 差分的定义及性质 ➢ 等距节点Newton插值公式
第1页/共50页
➢ Newton 插值多项式的构造
{1,x x0, (x x0)(x x1), …, (x x0)(x x1)…(x x )} n1 是否构成Pn的一组基函数？
2.20）
记
0.087375(x 2.20)(x
n+1(x) (x x0)(x x1)(x x2)…(x xn)
2.40)
+0.0225(第x19页/共520页.20)(x
2.40)(x 2.60)
例 2 已知当 xi = 1,2,3,4,5 时，对应的函数值为 f(xi)= 1,4,7,8,6，求四次 Newton 插值多项式。解: 差商表

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f [x1 , x2 , x3 , x4 ]
规定函数值为零阶均差
2020/6/2
11
例1:已知下表，计算三阶差商
xi 1 f (xi ) 0
347 2 15 12
解：列表计算
2020/6/2
xi
f (xi )
一阶差商
二阶差商
三阶差商
10
32 1
4 15 13
4
7 12 -1
-3.5 -1.25
7
例

f [x0 , x1]
f (x0 ) f (x1) x0 x1
f0 f1 x0 x1 x1 x0
f [x0 , x1 , x2 ]
f [x0 , x1 ] f [x0 , x2 ] x1 x2
1 ( f0 f1 ) 1 ( f0 f2 ) x1 x2 x0 x1 x1 x0 x1 x2 x0 x2 x2 x0
2020/6/2
9
性质3：若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，且节点
x0 ,K xn [a,b], 则n阶均差与导数关系如下：
2020/6/2
10
三、均差的计算方法(表格法): 均差表
xk f (xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [ x0 , x1 ]
x1 f ( x1 )
f [x1 , x2 ]
插值法均差和牛顿插值公式课件
§ 2.3.1 均差及其性质
我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为
l j(x)
n i0
(x xi ) (x j xi )
i j
j 0,1,2, ,n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多
2020/6/2
2
拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的推广，若从直线方程点斜式
2020/6/2
15
Nn (x)
2020/6/2
16
2020/6/2
17
2020/6/2
18
显然：
2020/6/2
19
例2：依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange插值多项式及Newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
x
0
f(x)
1
1
2
4
9
23
3
2020/6/2
20
解：(1)建立Lagrange插值多项式：基函数为
P1 ( x)
f0
f1 x1
f0 x0
(x
x0 )
( fi f (xi ) yi )
出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可把插值多项式表示为
Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )(x x1) an (x x0 )(x x1) (x xn1)
x2 x1
LL
依次可得到 a3, a4 ,L , an 。为写出系数的一般表达式，
2020现/6/2引入差商（均差）定义。
4
一、差商(均差)
定义2. 设f (x)在互异的节点 xi 处的函数值为 fi ,i 0,1, , n 称
f [x0 , xk ]
f (xk ) f (x0 ) xk x0
4 42
21
（2）Newton插值多项式：建立差商表为
一阶差商二阶差商三阶差商
01
19
8
2 23
14
3
43
-10
-8
11
4
2020/6/2
22
Newton插值多项式为
N3
(
x)
1
8(
x
0)
3(
x
0)(
x
1)
11 4
(
x
0)(
x
1)(
x
2)
（3）唯一性验证：将Newton插值多项式按x幂次排列，便得到
12
2.3.2 牛顿插值公式
2020/6/2
13
2020/6/2
14
Rn(x)
f (x) Nn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
f [x, x0 , x1 , , xn ]n1(x)
我们称 Nn (x) 为牛顿(Newton)均差插值多项式。
称 Rn (x) 为牛顿均差插值多项式的截断误差。
5 4
x2
x
L3(x)
(x 0)(x 1)(x 2) f ( l ( xi3)li (xx)) l0(x() 49l1(x0) )(234l2(x)1)3(l34(x) 2)
1 24
x3
1 8
x2
1 12
x
Lagrange插值多项式为
2020/6/2
11 x3 45 x2 1 x 1
2020/6/2
3
Pn (x0 ) a0 f0
当
Pn
(
x2
)
a0
a1(x2
Pn (x1) a0 a1(x1 x0 ) x0 ) a2 (x2 x0 )(x2 x1)
f1 f2
LL
a2
a0 f0
a1
f1 f0 x1 x0
f2 f0 f1 f0
x2 x0
x1 x0
(k 0)
为f (x)关于节点 x0 , xk 一阶均差(差商)
2020/6/2
5
2020/6/2
6
二、均差具有如下性质：
f [x0 , x1 , , xk 1 , xk ]
k
f (xj)
j0 (x j x0 ) (x j x j1)(x j x j1) (x j xk )
2020/6/2
f0
f1
f2
(x0 x1)(x0 x2 ) (x1 x0 )(x1 x2 ) (x2 x0 )(x2 x1)
2020/6/2
8
这个性质也表明差商与节点的排列顺序无关 (差商的对称性)。即
f [x0 , x1,L , xk ] f [x1, x0 , x2 ,L , xk ] L f [x1, x2 ,L , xk , x0 ]
N3
(x)
11 4
x3
45 4
x2
1 2
x
1
L3
(x)
2020/6/2
23
• 练习：
已知由数据(0，0)，(0.5，y)，(1，3)，(2， 2)构造出的三次插值多项式P3(x)的x3的系数是6，试确定数据y。
2020/6/2
24
l0
(x)
(x (0
1)( x 1)(0
2)( x 2)(0
4) 4)
1 8
x3
7 8
x2
7 4
x
1
l1 ( x)
(x 0)(x 2)(x 4) (1 0)(1 2)(1 4)
1 3
x3
2x2
8 3
x
l2 (x)
(x (2
0)( x 0)(2
1)( x 1)(0
4) 4)
1 4
x3
x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f (x4 )
二阶差商
f [x0 , x1 , x2 ] f [x1 , x2 , x3 ] f [x2 , x3 , x4 ]
三阶差商四阶差商
f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
f [x0 , x1 , , x4 ]