最优控制第四章极小值原理及其应用.ppt

M [x(t f ), t f ] 0
M为q 维连续可微向量函数, q n
性能指标:
J [x(t f ),t f ]
t f F[x(t),u(t),t]dt
t0
最优控制问题就是要寻找最优容许控制u(t)使J为极小
令
(t) u(t) (t0 ) 0
Z T (t) [z1(t), z2 (t),zm (t)] 且[Z(t)]2 G[x(t),u(t),t] Z (t0 ) 0
4-1.连续时间系统的极小值原理
设系统状态方程为:
x(t) f [x(t),u(t),t]
初始条件 x(t0 ) x(0) , x Rn , u R p , Ω为有界闭集,不等式约束为
G[x(t),u(t),t] 0, G为m维连续可微的向量函数, m p
系统从x0转移到终端状态x(tf)，tf未给定,终端状态x(tf)满足等式约束
拉格朗日纯量函数
(x, x, , z, , ,t) H (x, , ,t) T x T [G(x, ,t) Z 2 ]
则
Ja [x(t f ),t f ] vT M[x(t f ),t f ]
t f (x, x, , z, , , t)dt
t0
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对Jα取一阶变分得
Ja
[
t
vT
则最优控制u*(t),最优轨线x*(t)和最优伴随向量λ*(t)必须满足下列条件:
(1).沿最优轨线满足正则方程:
x H
H ( G )T
x x
式中Γ是与时间t无关的拉格朗日乘子向量,其维数与G相同,若G中不包含x,则:
(2)横截条件及边界条件:
H
x
(t
f
)
[
x
M (
x
)T
v]t t
x
d dt
x
0
d dt
0
d dt
z
0
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横截条件:
[H
t
vT
M t ]t t f *
0
[
x
( M )T v x
x ]t t f *
0
t t f *
0
z
t t f *
0
把Φ的表达式代入欧拉方程:
横截条件:
H ( G )T
x x
d dt
0
d dt
z
0
H
(t
f
*)
[
t
vT
于是,系统方程为:
x f (x, ,t) Z 2 G(x, ,t)
x(t0 ) x0 z(t0 ) 0 (t0 ) 0
终端时刻tf 未给定,终端约束 M [x(t f ), t f ] 0
要求确定最优控制 u 使性能指标
为极小
J [x(t f ),t f ]
t f F[x(t), (t),t]dt
M t ]t t f *
(t
f
*)
[
x
( M x
)T
v] t t
f
*
由欧拉方程和横截条件知,最优轨线
z
0
*
z*
0
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以上为使性能指标Jα取极值的必要条件,为使性能指标为极小,还必须满足维尔斯 特拉斯函数沿最优轨线非负的条件,即:
E (x*, x, , z, *, *,Βιβλιοθήκη )-λ*(x*
,
x*
M t
] t tt f *
f
[ x
( )T
x
vT
M x
] t t
f
*
x(t
f
*
)
(t
f
*)
z
z(t
f
*)
t f * [( d ) x ( d )T ( d )T z]dt
t0 x dt x
dt
dt z
令 J a 0 可得增广性能指标泛函取极值的必要条件为
欧拉方程
第四章 极小值原理及其应用
用古典变分法解最优控制问题时,假定u(t)不受限制,从而得到最优控制应满足 H 0 u
实际上在工程问题中,控制变量总有一定的限制.
设控制变量被限制在某一闭集内 u
即u(t)满足 G[x(t),u(t),t] 0
满足限制条件的u(t)称为容许控制，由于δu不能是任意的, H 0 的条件已不存在 u
上式表明,沿最优轨线函数H相对最优控制u*(t)取绝对极小值,这是极小值原理的一 个重要结论.
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由
0
H
(
G
)T
0
H ( G )T
u
u
上式表明,在有不等式约束的情况下,沿最优轨线 H 0 不再成立 u
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定理:(极小值原理)
设系统的状态方程为
x(t) f [x(t),u(t),t]
控制u(t)是有第一类间断点的分段连续函数,属于p维空间中的有界闭集Ω,满足不 等式约束:
,
*
,
z*
,
*
,
*
,
t
)
(
x
)T
(
x
x*
)
(
*
)(
*)
(
z*
)(z
z* )
0
0
0
或: E (x*, x, , z, *, *, t) *T x
{(x*, x*, *, z*, *, *, t) *x*}
H (x*, *, , t) H (x*, *, *, t) 0
即: H (x*, *, u, t) H (x*, *, u*, t)
u
u
上述条件与不等式约束下的最优控制的必要条件相比较,横截条件及端点边
界条件没有改变,仅
H 0 u
这一条件不成立,而代之以与最优控制相对应的函数为绝对极小,其次是正则 方程略有改变,仅当G中不包含x时, 方程才不改变.
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当 t0和x(t0)给定,根据tf给定或自由, x(tf)给定,自由或受约束等不同情况下所导 出的最优解必要条件列表如下:
f
[H (x, u, , t)
t
( M t
)T
v]t t f
0
x(t0 ) x0
M [x(t f ),t f ] 0
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(3)在最优轨线x*(t)上与最优控制u*(t)相对应的H函数取绝对极小值,即
H (x*, *, u*, t) H (x*, *, u, t)
并且沿最优轨线,下式成立
H ( G )T
G[x(t),u(t),t] 0
在终端时刻tf 未知的情况下,为使状态自初态 x(t0 ) x0 转移到满足边界条件
M [x(t f ), t f ] 0的终态,并使性能指标
J [x(t f ),t f ]
t f F[x(t),u(t),t]dt
t0
达极小值.设哈密而顿函数为 H F (x,u,t) T f (x,u,t)
t0
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引入拉格朗日乘子向量λ及Γ,写出增广性能指标泛函
J a [ x(t f ),t f ] vT M [ x(t f ),t f ]
t f {F[ x(t), (t),t]
t0
T [ f (x, , t) x] T [G( x, , t) Z 2 ]}dt
令哈密而顿函数为
H (x, , ,t) F (x, ,t) T f (x, ,t)